MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 40 Pokažite da su nizovi a) a n = (−1) n+1 n b) a n+1 n = n√ 2 c)
a n = sin(n!) ograničeni.
n
Definicija 6 Za niz realnih brojeva (a n ) kažemo da je rastući (padajući)
ako vrijedi a n ≤ a n+1 (a n ≥ a n+1 ) za svaki n ∈ N. Ako vrijede stroge
nejednakosti kažemo da je niz (a n ) strogo rastući (strogo padajući). Za
niz koji je rastući ili padajući (strogo rastući ili strogo padajući) kažemo da
je monoton (strogo monoton).
Zadatak 41 Jesu li sljedeći nizovi monotoni?
a) a n = 2n−3 , b) a n = 3√ n+1− 3√ n c) a n = 2n
n!
n
.
Rješenje:
a) a n+1 −a n = 2(n+1)−3
n+1
− 2n−3
n
=
3
n(n+1)
> 0, ∀n ∈ N
Slijedi a n+1 > a n , te je ovaj niz strogo rastući.
√
b) a n = ( 3√ n+1− 3√ 3 (n+1)2 + 3√ n(n+1)+ 3√ n
n)· √ 2
3 (n+1)2 + 3√ n(n+1)+ 3√ n = 1
√ 2 3 (n+1)2 + 3√ n(n+1)+ 3√ n 2
Očito: a n+1 < a n , pa zaključujemo da je ovaj niz strogo padajući.
Definicija 7 Kažemo da je a ∈ R granična vrijednost ili limes niza
realnih brojeva (a n ), ako ∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N takav da za ∀n > n 0 vrijedi
|a n −a| < ε.
Tada pišemo: lim
n→∞
a n = a i kažemo da je niz (a n ) konvergentan.
Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Primjetimo da se nejednakost |a n −a| < ε može zapisati u obliku a−ε <
a n < a+ε, odnosno, nejednakost |a n −a| < ε odreduje sve one članove niza
(a n ) koji su od a udaljeni za manje od ε.
Zadatak 42 Dokažite da je broj 1 limes niza a n = n+1
n .
36