MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2 Nizovi<br />
Definicija 4 Funkcije a : N → R nazivamo nizovima u R.<br />
Uobičajeno je umjesto a(n) pisati a n i nizove označavati s (a n ).<br />
Zadatak 38 Napišite nekoliko prvih članova niza zadanog s:<br />
a) a n = ⌊ √ n ⌋, b) a n = ∑ n<br />
k=1k(k +1),<br />
c) a 1 = 1, a n+1 = 2a n −n, n ≥ 1.<br />
Rješenje: a) 1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,... b) 2,8,20,40,...<br />
c) 1,1,0,−3,−10,...<br />
Definicija 5 Za niz realnih brojeva (a n ) kažemo da je ograničen ako je<br />
skup {a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...} ograničen, tj. ako postoje m, M ∈ R tako da je<br />
m ≤ a n ≤ M za svaki n ∈ N.<br />
Zadatak 39 Pokažite da je niz (a n ) ograničen:<br />
a) Ako je a n = n3 +1<br />
n 3 +4 , pokažite 0 < a n < 1.<br />
b) Ako je a n = 1<br />
1·2 + 1<br />
2·3 +...+ 1<br />
n(n+1) , pokažite 0 < a n < 1.<br />
Rješenje: a) a n = n3 +4−3<br />
= 1− 3<br />
n 3 +4 n 3 +4 . Budući je 3<br />
> 0 za ∀n ∈ N<br />
n 3 +4<br />
zaključujemo da zaista vrijedi a n < 1. Očito, a n > 0 pa je dakle ovaj niz<br />
ograničen.<br />
1<br />
b) Vrijedi:<br />
n(n+1) = n+1−n<br />
n(n+1) = 1 n − 1<br />
n+1 . Sada:<br />
n∑ 1<br />
n∑<br />
( 1<br />
a n =<br />
k(k +1) = k − 1 )<br />
k +1<br />
k=1 k=1<br />
(<br />
= 1− 1 ) ( 1<br />
+<br />
2 2 3)<br />
− 1 ( 1<br />
+<br />
3 4)<br />
− 1 +...+<br />
= 1− 1<br />
n+1<br />
( 1<br />
n−1 − 1 ) ( 1<br />
+<br />
n n − 1 )<br />
n+1<br />
Slično kao gore, 0 < 1<br />
n+1 ≤ 1 2 , ∀n ∈ N, pa vidimo da 0 < a n < 1, te je niz<br />
(a n ) zaista ograničen.<br />
35