MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

2 Nizovi
Definicija 4 Funkcije a : N → R nazivamo nizovima u R.
Uobičajeno je umjesto a(n) pisati a n i nizove označavati s (a n ).
Zadatak 38 Napišite nekoliko prvih članova niza zadanog s:
a) a n = ⌊ √ n ⌋, b) a n = ∑ n
k=1k(k +1),
c) a 1 = 1, a n+1 = 2a n −n, n ≥ 1.
Rješenje: a) 1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,... b) 2,8,20,40,...
c) 1,1,0,−3,−10,...
Definicija 5 Za niz realnih brojeva (a n ) kažemo da je ograničen ako je
skup {a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...} ograničen, tj. ako postoje m, M ∈ R tako da je
m ≤ a n ≤ M za svaki n ∈ N.
Zadatak 39 Pokažite da je niz (a n ) ograničen:
a) Ako je a n = n3 +1
n 3 +4 , pokažite 0 < a n < 1.
b) Ako je a n = 1
1·2 + 1
2·3 +...+ 1
n(n+1) , pokažite 0 < a n < 1.
Rješenje: a) a n = n3 +4−3
= 1− 3
n 3 +4 n 3 +4 . Budući je 3
> 0 za ∀n ∈ N
n 3 +4
zaključujemo da zaista vrijedi a n < 1. Očito, a n > 0 pa je dakle ovaj niz
ograničen.
1
b) Vrijedi:
n(n+1) = n+1−n
n(n+1) = 1 n − 1
n+1 . Sada:
n∑ 1
n∑
( 1
a n =
k(k +1) = k − 1 )
k +1
k=1 k=1
(
= 1− 1 ) ( 1
+
2 2 3)
− 1 ( 1
+
3 4)
− 1 +...+
= 1− 1
n+1
( 1
n−1 − 1 ) ( 1
+
n n − 1 )
n+1
Slično kao gore, 0 < 1
n+1 ≤ 1 2 , ∀n ∈ N, pa vidimo da 0 < a n < 1, te je niz
(a n ) zaista ograničen.
35