MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

⇒ det(A 8 −A) = 0 ⇒ (A 8 −A) −1 nepostojiparješavamosustavX(I−A) = 0
⇔
[ ][
x11 x 12
x 21 x 22
1 −1
−1 1
]
=
[
0 0
0 0
]
⇔
⇒ x 11 = x 12 = a,⇒ x 21 = x 22 = b ⇒ X =
x 11 − x 12 = 0
−x 11 + x 12 = 0
x 21 − x 22 = 0
−x 21 + x 22 = 0
[
a a
b b
]
, a,b ∈ R.
1.6 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrice
Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica se pojavljuju u mnogim
problemima u primjeni što će ilustrirati i sljedeći primjer.
Primjer 1 Promatramo šumu sastavljenu od dvije vrste drveća gdje sa A n
i B n označavamo broj članova pojedine vrste u n-toj godini. Kada pojedino
drvo uvene, novo drvo raste na njegovom mjestu, ali može biti bilo koje vrste.
Konkretno, neka vrsta A bude dugo živuća sa 1% uvelih svake godine, dok
kod vrste B svake godine uvene 5% drveća. S druge strane vrsta B je brzo
rastuća pa 75% ispražnjenih mjesta preuzima vrsta B. Pitamo se koliko će
koje vrste biti nakon n godina?
Rješenje: Kao ilustraciju pogledajmo samo skicu kako bi riješili ovakav
problem.
Pokušajmo najprije, znajući vrijednosti A n i B n , odrediti broj stabala u
(n+1)-oj godini, odnosno A n+1 i B n+1 . Znamo da od vrste A tijekom godine
uvene 1% stabala, odnosno 0.01A n stabala. To znači da ih u (n+1)-ugodinu
prelazi 99%, odnosno 0.99A n . Slično, u (n+1)-u godinu prelazi 95% stabala
vrste B, odnosno 0.95B n , a uvene 0.05B n . Godišnje, dakle, ukupno uvene
0.01A n + 0.05B n stabala. 3/4 tih mjesta, odnosno 75%, preuzme vrsta B,
29