MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
⇒ det(A 8 −A) = 0 ⇒ (A 8 −A) −1 nepostojiparješavamosustavX(I−A) = 0<br />
⇔<br />
[ ][<br />
x11 x 12<br />
x 21 x 22<br />
1 −1<br />
−1 1<br />
]<br />
=<br />
[<br />
0 0<br />
0 0<br />
]<br />
⇔<br />
⇒ x 11 = x 12 = a,⇒ x 21 = x 22 = b ⇒ X =<br />
x 11 − x 12 = 0<br />
−x 11 + x 12 = 0<br />
x 21 − x 22 = 0<br />
−x 21 + x 22 = 0<br />
[<br />
a a<br />
b b<br />
]<br />
, a,b ∈ R.<br />
1.6 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrice<br />
Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica se pojavljuju u mnogim<br />
problemima u primjeni što će ilustrirati i sljedeći primjer.<br />
Primjer 1 Promatramo šumu sastavljenu od dvije vrste drveća gdje sa A n<br />
i B n označavamo broj članova pojedine vrste u n-toj godini. Kada pojedino<br />
drvo uvene, novo drvo raste na njegovom mjestu, ali može biti bilo koje vrste.<br />
Konkretno, neka vrsta A bude dugo živuća sa 1% uvelih svake godine, dok<br />
kod vrste B svake godine uvene 5% drveća. S druge strane vrsta B je brzo<br />
rastuća pa 75% ispražnjenih mjesta preuzima vrsta B. Pitamo se koliko će<br />
koje vrste biti nakon n godina?<br />
Rješenje: Kao ilustraciju pogledajmo samo skicu kako bi riješili ovakav<br />
problem.<br />
Pokušajmo najprije, znajući vrijednosti A n i B n , odrediti broj stabala u<br />
(n+1)-oj godini, odnosno A n+1 i B n+1 . Znamo da od vrste A tijekom godine<br />
uvene 1% stabala, odnosno 0.01A n stabala. To znači da ih u (n+1)-ugodinu<br />
prelazi 99%, odnosno 0.99A n . Slično, u (n+1)-u godinu prelazi 95% stabala<br />
vrste B, odnosno 0.95B n , a uvene 0.05B n . Godišnje, dakle, ukupno uvene<br />
0.01A n + 0.05B n stabala. 3/4 tih mjesta, odnosno 75%, preuzme vrsta B,<br />
29