MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Rješenje: a)OčitojeAX = 5X+3A ∗ ⇔ (A−5I)X<br />
[<br />
= 3A ∗ . Daljnjipostupak<br />
]<br />
−2 1<br />
rješavanja ovisi o tome je li matrica A − 5I = regularna ili<br />
−2 −1<br />
singularna. No kako je det(A−5I) = 4 ≠ 0 to je matrica A−5I regularna<br />
matrica. Sada je<br />
(A−5I)X = 3A ∗ ⇔ X = 3(A−5I) −1 A ∗ = 3· 1<br />
4<br />
= 3 4<br />
[<br />
−6 −2<br />
4 −8<br />
]<br />
=<br />
[<br />
−9/2 −3/2<br />
3 −6<br />
[<br />
−1 −1<br />
2 −2<br />
]<br />
.<br />
][<br />
4 −1<br />
2 3<br />
b) Imamo XA = 5X + 3A ∗ ⇔ X(A − 5I) = 3A ∗ ⇔ X = 3A ∗ (A − 5I) −1 .<br />
Odavde se lako vidi da je rješenje i ove jednadžbe<br />
[ ]<br />
−9/2 −3/2<br />
X = .<br />
3 −6<br />
Napomena: Iako kod matričnog množenja treba paziti na poredak množitelja<br />
ovdje smo dobili isto rješenje. Ovdje to nije slučajnost već posljedica jednakosti<br />
A −1 (A−λI) −1 = (A−λI) −1 A −1 . Pokažite tu jednakost. Ona povlači<br />
i da je A ∗ (A−λI) −1 = (A−λI) −1 A ∗ .<br />
]<br />
1.4 Rang matrice<br />
Važan pojam kod razmatranja postojanja rješenja kod linearnih sustava je<br />
rang matrice sustava.<br />
Definicija 2 Matrica A ≠ 0 ima rang r ako je barem jedna subdeterminanta<br />
r−tog reda različita od 0, dok su sve subdeterminante višeg reda jednake 0.<br />
Po definiciji nul-matrica ima rang jednak 0.<br />
Oznaka: r(A) = r.<br />
Navedene definicijske uvjete je računski zahtjevno provjeravati (npr. matrica<br />
reda 4 ima 16 subdeterminanti reda 3, pa kada bi htjeli pokazati da je rang<br />
takve matrice jednak 2, morali bi naći barem jednu subdeterminantu reda 2<br />
21