MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Rješenje: Kako je očito detA = 1 to je A regularna matrica, pa jednadžba<br />
XA − 2B = C povlači X = (C + 2B)A −1 . Primjetimo da imamo dobro<br />
”ulančane” matrice jer je matrica C +2B formata 2×3 dok je matrica A −1<br />
reda 3 tj. formata 3×3, pa je matrica X formata 2×3.<br />
Odredimo A −1 Gaussovim algoritmom:<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 −1 1 0 0 1 −1 0<br />
[A|I] = ⎢<br />
⎣ 0 1 1 0 1 0 ⎥<br />
⎦ ∼ ⎢<br />
⎣ 0 1 0 0 1 −1 ⎥<br />
⎦ ∼ ⎢<br />
⎣ 0 1 0 0 1 −1 ⎥<br />
⎦ ,<br />
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1<br />
što daje A −1 =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
X = (2B +C)A −1 =<br />
1 −1 0<br />
0 1 −1<br />
0 0 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ . Konačno<br />
[<br />
5 2 3<br />
5 −2 13<br />
] ⎡ ⎢ ⎢⎣<br />
1 −1 0<br />
0 1 −1<br />
0 0 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = [<br />
5 −3 1<br />
5 −7 15<br />
]<br />
.<br />
[<br />
Zadatak<br />
]<br />
24 Riješite matričnu jednadžbu (2A −1 X) −1 = A ∗ , ako je A =<br />
1 −2<br />
3 4<br />
.<br />
Rješenje: Kako je detA = 10 ≠ 0, to je matrica A regularna pa je zadatak<br />
dobro zadan. Sada je<br />
(<br />
2A −1 X ) −1 = A ∗ ⇔ ( 2A −1 X ) −1 = (detA)A −1 ⇔ 2A −1 X = 1<br />
detA A ⇔ X = 1<br />
2detA A2<br />
[ ][ ] [ ] [ ]<br />
= 1 1 −2 1 −2<br />
= 1 −5 −10 −1/4 −1/2<br />
=<br />
20 3 4 3 4 20 15 10 3/4 1/2<br />
Zadatak 25 Riješite matričnu<br />
[ ]<br />
jednadžbu a) AX = 5X + 3A ∗ b) XA =<br />
3 1<br />
5X +3A ∗ gdje je A = .<br />
−2 4<br />
20