MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Teorem 1 A je regularna matrica akko je detA ≠ 0
Vrijede sljedeća svojstva invertiranja matrica:
1. (AB) −1 = B −1 A −1 .
2. (A −1 ) −1 = A
3. (λA) −1 = 1 λ A−1 , λ ≠ 0
4. detA −1 = 1
detA .
Inverzna matrica se može dobiti i sljedećim postupkom (Gaussov algoritam;
daleko efikasniji od nalaženja adjunkte u slučaju matrica velikog reda):
Ukoliko je detA ≠ 0, onda se matrica [A.I] (jedinična matrica I se nadopiše
do matrice A), elementarnim transformacijama na recima može dovesti do
oblika [I.A −1 ].
Podelementarnimtransformacijamanarecimapodrazumjevajusesljedeći
postupci:
1. Zamjena dva retka.
2. Množenje nekog retka brojem različitim od 0.
3. Dodavanje nekog retka pomnoženog sa brojem nekom drugom retku.
⎡ ⎤
1 0 1
Zadatak 19 Odredite A −1 za A = ⎢
⎣ 0 0 2 ⎥
⎦ , koristeći a) adjunktu matrice
A b) Gaussov algoritam.
1 0 1
Rješenje: a) Kako je detA =
0 0 2
1 0
= −2
= −6 ≠ 0, to je
∣ −1 3 ∣
−1 3 1
∣ −1 3 1 ∣
matrica A regularna. Odredimo matricu algebarskih komplemenata matrice
A. Imamo redom:
A 1,1 = (−1) 2 ∣ ∣∣∣∣
0 2
3 1
∣ ∣ ∣∣∣∣ ∣ = −6, A 1,2 = (−1) 3 0 2
∣∣∣∣ −1 1 ∣ = −2, A 1,3 = (−1) 4 0 0
−1 3
∣ = 0,
17