MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

1.3 Pojam inverzne matrice. Matrične jednadžbe.
Definicija 1 Matricu B zovemo inverznom matricom matrice A ako je A·
B = B ·A = I (I jedinična matrica).
Oznaka: B = A −1 .
Naziv: Matricu koja ima inverznu zovemo regularnom matricom. Matricu
koja nema inverznu matricu zovemo singularnom matricom.
Kako je jedinična matrica kvadratna, slijedi da matrica A (pa onda i A −1 )
ima isti broj redaka i stupaca kao i I.
[ ]
1 1
Primjer 1 Pokažimo da je matrica A = singularna matrica. Pretpostavimo
suprotno. Neka je B = inverzna matrica matrice A
1 1
[ ]
b1,1 b 1,2
b 2,1 b 2,2
[ ]
b1,1 +b 2,1 b 1,2 +b 2,2
tj. neka je AB = BA = I. Kako je AB =
, da
b 1,1 +b 2,1 b 1,2 +b 2,2
bi vrijedilo AB = I mora vrijediti b 1,1 + b 2,1 = 1 i b 1,1 + b 2,1 = 0, što je
nemoguće, što znači da A −1 ne postoji.
Ako je AA −1 = I tada koristeći Binet-Cauchyjev teorem (i očitu činjenicu
da je detI = 1) slijedi detA·detA −1 = 1, što očito daje detA ≠ 0.
Ako je detA ≠ 0, tada možemo formirati matricu
⎡ ⎤T
A 1,1 A 1,2 ... A 1,n
B = 1
A 2,1 A 2,2 ... A 2,n
= 1
detA ⎢
⎣ . . . . ⎥ detA A∗ .
⎦
A n,1 A n,2 ... A n,n
Matricu A ∗ (transponiranu matricu matrice algerbarskih komplemenata) zovemo
adjunktom matrice A. Lako se vidi (koristeći Laplaceov razvoj determinante
i svojstvo da je determinanta matrice sa dva ista retka jednaka 0)
da je AA ∗ = A ∗ A = detA·I. Odavde odmah slijedi da je AB = BA = I tj.
da je B = A −1 .
Time je dobiven sljedeći teorem.
16