MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 12 Izračunajte
∣
−4 1 1 1 1
1 −4 1 1 1
1 1 −4 1 1
1 1 1 −4 1
1 1 1 1 −4
.
∣
Rješenje: Dodajući prvom stupcu prvo drugi stupac, te treći, četvrti i peti
stupac (primjetite da je zbroj elemenata po recima jednak 0), te razvijajući
determinantu po prvom stupcu dobije se:
−4 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 −4 1 1 1
0 −4 1 1 1
1 1 −4 1 1
=
0 1 −4 1 1
= 0.
1 1 1 −4 1
0 1 1 −4 1
∣ 1 1 1 1 −4 ∣ ∣ 0 1 1 1 −4 ∣
Zadatak 13 Izračunajte
∣
1 a b+c
1 b c+a
1 c a+b
∣
koristeći svojstva determinante.
Rješenje: Dodajući drugi stupac trećem stupcu, izlučujući iz trećeg stupca
zajednički faktor dobije se
1 a b+c
1 a a+b+c
1 a 1
1 b c+a
=
1 b a+b+c
= (a+b+c)
1 b 1
= 0.
∣ 1 c a+b ∣ ∣ 1 c a+b+c ∣ ∣ 1 c 1 ∣
Zadatak 14 Pokažite na primjeru determinanti reda 4 da ako su svi elementi
ispod (iznad) glavne dijagonale jednaki 0, onda je determinanta jednaka
produktu dijagonalnih elemenata.
13