MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 172 Nacrtajte kvalitativni graf funkcije y = e 1
2x .
Rješenje:
1. D(f) = R\{0}, f(x) > 0, ∀x ∈ D(f)
2. funkcija nije ni parna ni neparna, ni periodična
3. lim e 1
2x = e +∞ = +∞, lim e 1
2x = e −∞ = 0
x→0+ x→0−
⇒ pravac x = 0 je vertikalna asimptota (samo) s desne strane
lim e 1
2x = e 0 = 1
x→±∞
⇒ pravac y = 1 je horizontalna asimptota s obje strane (kosih stoga nema)
(
4. f ′ (x) = e 1
2x · − 1 )
< 0, ∀x ∈ D(f)
2x 2
⇒ pada na cijeloj domeni, nema ekstrema
5. f ′′ (x) = e 1 1+4x
2x · ⇒ f ′′ (x) = 0 ⇔ 1+4x = 0 ⇔ x = − 1 4x 4 4
◮
〈
intervali konveksnosti i konkavnosti
−∞, − 1 〉
: f ′′ (−1) = (+)· (−)
4 (+) < 0 ⇒ f konkavna
〈− 1 〉
4 , 0 : f ′′ (−1/6) = (+)· (+)
(+) > 0 ⇒ f konveksna
〈0, +∞〉 : f ′′ (1) = (+)· (+)
(+) > 0 ⇒ f konveksna
⇒ T
(− 1 )
4 , e−2 je točka infleksije
budući f ′′ mijenja predznak prilikom prolaska kroz nju
120