MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 170 Nacrtajte kvalitativni graf funkcije y = √ x 2 +1.
Rješenje:
1. D(f) = R, f(x) > 0, ∀x ∈ R
2. funkcija je parna (graf je simetričan s obzirom na os y)
3. vertikalnih asimptota nema
√
x2 +1 = +∞ ⇒ nema horizontalnih asimptota
⇒
lim
x→±∞
k = lim
x→±∞
x
k 1 = lim
x→+∞
l 1 = lim
x→+∞
√
x2 +1
x
√
1+ 1 x 2
x
(√
x2 +1−x)
√
|x| 1+ 1
x
= lim
2
x→±∞ x
−x
= 1, k 2 = lim
x→−∞
= (∞−∞) = lim
x→+∞
1
= lim √
x→+∞ x2 = 1 ∞ = 0
(√
l 2 = lim x2 +1+x)
= (∞−∞) = ... = 0
x→−∞
pravci y = x i y = −x su kose asimptote
√
1+ 1 x 2
= −1
x
√ (√ x2 +1+x
x2 +1−x)
· √
x2 +1+x
4. y ′ =
x
√
x2 +1 ⇒ f′ (x) = 0 ⇔ x = 0
◮ intervali monotonosti
〈−∞, 0〉 : f ′ (−1) = (−)
(+) < 0 ⇒ f pada
〈0, +∞〉 : f ′ (1) = (+)
(+) > 0 ⇒ f raste
⇒ u x = 0 lokalni minimum: m(0,1)
5. y ′′ =
1
√ > 0 ⇒ konveksna na cijeloj domeni, nema točaka infleksije
(x2 +1)
3
117