MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Definicija 22 Kaže se da je derivabilna funkcija f : (a,b) → R konveksna
(konkavna) na (a,b) ako se graf funkcije f nalazi iznad (ispod) svake svoje
tangente.
Iskažimo gornju definiciju i analitički. Ako je x 0 ∈ (a,b) proizvoljna
točka i f derivabilna na (a,b) tada je konveksnost ekvivalentna sa tvrdnjom
da je f(x) −[f ′ (x 0 )(x−x 0 ) + f(x 0 )] ≥ 0 za svaki x ∈ (a,b), dok u slučaju
konkavnosti treba vrijediti suprotna nejednakost.
Definicija 23 Kaže se da funkcija f : (a,b) → R ima u x 0 ∈ (a,b) točku
infleksije ako u x 0 prelazi iz konkavne u konveksnu ili obrnuto.
Teorem 14 Neka funkcija f : (a,b) → R ima drugu derivaciju. Ako je
f ′′ (x) > 0 za svaki x ∈ (a,b), tada je f konveksna na (a,b). Ako je f ′′ (x) < 0
za svaki x ∈ (a,b), tada je f konkavna na (a,b).
Dokaz: Neka je x 0 ∈ (a,b) proizvoljan. Definirajmo funkciju F : (a,b) → R
sa: F(x) = f(x) − f(x 0 ) − f ′ (x 0 )(x − x 0 ). Očito je F(x 0 ) = 0 i F ′ (x) =
f ′ (x)−f ′ (x 0 ), što dajeF ′ (x 0 ) = 0. Neka jesada f ′′ (x) > 0 zasvaki x ∈ (a,b).
Kako je F ′′ (x) = f ′′ (x) > 0 to je F ′ (x) strogo rastuća funkcija. Kako je
F ′ (x 0 ) = 0 to je F ′ (x) < 0 za x < x 0 i F ′ (x) > 0 za x > x 0 . Odavde je F
strogo padajuća funkcija za x < x 0 i strogo rastuća za x > x 0 tj. funkcija F
u x 0 ima (globalni) minimum i kako je F(x 0 ) = 0 slijedi F(x) ≥ 0 što i daje
konveksnost funkcije f.
Analogno se dokazuje i slučaj konkavnosti.
Teorem 15 Neka funkcija f : (a,b) → R ima neprekidnu drugu derivaciju.
Ako f u x 0 ∈ (a,b) ima točku infleksije, tada je f ′′ (x 0 ) = 0.
Dokaz: Neposredno slijedi iz prethodnog teorema (usporedi i sa dokazom
nužnog uvjeta za lokalni ekstrem).
Teorem 16 Neka funkcija f : (a,b) → R ima treću derivaciju. Ako je
f ′′ (x 0 ) = 0 i f ′′′ (x 0 ) ≠ 0, tada f u x 0 ima točku infleksije.
113