MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

More documents

Recommendations

Info

nastaje izbacivanjem njenog i-tog retka i j-tog stupca. Npr. ako je ⎡ ⎤ a 11 ... a 1,j−1 a 1j a 1,j+1 ··· a 1n . . . . . a i−1,1 ··· a i−1,j−1 a i−1,j a i−1,j+1 ··· a i−1,n A = a i,1 ··· a i,j−1 a ij a i,j+1 ··· a i,n , a i+1,1 ··· a i+1,j−1 a i+1,j a i+1,j+1 ··· a i+1,n ⎢ ⎣ . . . . . ⎥ ⎦ a n1 ··· a n,j−1 a nj a n,j+1 ··· a nn onda je ⎡ M ij = ⎢ ⎣ ⎤ a 11 ... a 1,j−1 a 1,j+1 ··· a 1n . . . . a i−1,1 ··· a i−1,j−1 a i−1,j+1 ··· a i−1,n a i+1,1 ··· a i+1,j−1 a i+1,j+1 ··· a . i+1,n . . . . ⎥ ⎦ a n1 ··· a n,j−1 a n,j+1 ··· a nn Minora elementa a ij matrice A ∈ M n,n je determinanta matrice M ij . Algebarski komplement elementa a ij je skalar A ij = (−1) i+j detM ij . Sada, za A ∈ M n,n vrijedi n∑ detA = a ij A ij , 1 ≤ i ≤ n. j=1 Ovu formulu nazivamo razvoj determinante po i-tom retku. Isto tako vrijedi formula Sada, za A = (a ij ) ∈ M n,n vrijedi n∑ detA = a ij A ij , 1 ≤ j ≤ n i=1 koju nazivamo razvoj determinante po j-tom stupcu. ⎡ ⎤ a 11 a 12 a 13 a 14 Zadatak 9 A = a 21 a 22 a 23 a 24 ⎢ ⎣ a 31 a 32 a 33 a ⎥ 34 ⎦ , M 23, A 23 , M 33 , A 33 =? a 41 a 42 a 43 a 44 10
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a 11 a 12 a 14 a 11 a 12 a 14 Rješenje: M 23 = ⎢ ⎣ a 31 a 32 a 34 ⎥ ⎦ , M 33 = ⎢ ⎣ a 21 a 22 a 24 ⎥ ⎦ , a 41 a 42 a 44 a 41 a 42 a 44 A 23 = (−1) 2+3 detM 23 = −detM 23 , A 33 = (−1) 3+3 detM 33 = detM 33 . −2 1 3 Zadatak 10 Izračunajte D = 5 4 2 ∣ −3 0 5 a) razvojem po drugom retku b) razvojem po trećem stupcu ∣ Rješenje: a) D = 5(−1) 2+1 ∣ ∣∣∣∣ 1 3 0 5 ∣ ∣ ∣∣∣∣ −2 3 ∣∣∣∣ −2 1 ∣ +4(−1)2+2 −3 5 ∣ +2(−1)2+3 −3 0 = −5(5−0)+4(−10+9)−2(0+3) = −35. ∣ b) D = 3(−1) 1+3 ∣ ∣∣∣∣ 5 4 −3 0 ∣ ∣ ∣∣∣∣ −2 1 ∣∣∣∣ −2 1 ∣ +2(−1)2+3 −3 0 ∣ +5(−1)3+3 5 4 = 3(0+12)−2(0+3)+5(−8−5) = −35. ∣ [ ] [ ] 1 2 4 3 Zadatak 11 Neka je A = i B = . 3 4 2 1 a) Vrijedi li AB = BA? b) Vrijedi li det(AB) = det(BA) = detA·detB? c) Vrijedi li formula za kvadrat zbroja, tj. (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 ? Rješenje: [ 8 5 a) AB = 20 13 ] [ 13 20 , BA = 5 8 11 ] . Dakle, AB ≠ BA.
Page 1 and 2: MATEMATIKA 1 skripta studij: Bioteh
Page 3 and 4: 5.6.2 Polarne koordinate . . . . .
Page 5 and 6: Neka je A ∈ M m,n i B ∈ M n,p .
Page 7 and 8: Rješenje: 2A−3X = B ⇒ 3X = 2A
Page 9: = = [ ] 3 [ ] [ cosα −sinα cos2
Page 13 and 14: Zadatak 12 Izračunajte ∣ −4 1
Page 15 and 16: ⎡ ⎤ 0 1 2 3 Rješenje: c) Iz de
Page 17 and 18: Teorem 1 A je regularna matrica akk
Page 19 and 20: to detA ≠ 0 ⇔ 4(1−k) ≠ 0
Page 21 and 22: Rješenje: a)OčitojeAX = 5X+3A ∗
Page 23 and 24: Rješenje: ⎛⎡ r(A) = r⎜⎢
Page 25 and 26: D 3 = ∣ 1 −1 −2 2 1 6 1 2 2 =
Page 27 and 28: Rješenje: ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎡ 1 1
Page 29 and 30: ⇒ det(A 8 −A) = 0 ⇒ (A 8 −A
Page 31 and 32: Kako računamo svojstvene vrijednos
Page 33 and 34: Nalaženje svojstvenih vektora: Slj
Page 35 and 36: 2 Nizovi Definicija 4 Funkcije a :
Page 37 and 38: Rješenje: ∣ |a n −a| = n+1 ∣
Page 39 and 40: Rješenje: 3n 2 −n+1 lim n→∞
Page 41 and 42: Rješenje: a) lim n→∞ n ( √ n
Page 43 and 44: 3 Realne funkcije realne varijable
Page 45 and 46: Sljedeći pojmovi se pokazuju koris
Page 47 and 48: * 2x−3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3/2 ⇒ D(
Page 49 and 50: konstantan, odnosno da ona nije uvi
Page 51 and 52: y⩵ arctg x Π2 1 6 4 2 2 4 6 1 Π
Page 53 and 54: x 4. U izraz arcsin √ 1+x 2 uvrst
Page 55 and 56: cije) koristeći skup R(f). Posebic
Page 57 and 58: D 2 ...−x 2 +14x−40 ≥ 0 ⇒ x
Page 59 and 60: Zadatak 69 Odredite domenu funkcije
Page 61 and 62:
= 4 lim x→+∞ b) = 4 lim x→−
Page 63 and 64:
Rješenje: a) x 3 −3x−2 lim = x
Page 65 and 66:
Rješenje: sin4x a)lim √ √ = 0
Page 67 and 68:
Rješenje: ( arcsinx 0 a) lim = x
Page 69 and 70:
Zadatak 93 (DZ) Izračunajte a) lim
Page 71 and 72:
Pravac koji siječe krivulju (na de
Page 73 and 74:
2.0 1.5 1.0 0.5 2 1 1 2 b) f ′ f(
Page 75 and 76:
• f(x) = n√ x y = n√ x ⇔ y
Page 77 and 78:
Zadatak 100 Odredite f ′ (x) ako
Page 79 and 80:
Rješenje: f ′ 5 (x) = − (5x+2)
Page 81 and 82:
Zadatak 111 (DZ) Za funkciju f(x) =
Page 83 and 84:
Zadatak 118 Ako je ae x + be y = 1
Page 85 and 86:
y ′ = dy dy dx = dt dx dt = ψ′
Page 87 and 88:
Sada Konačno, y ′ (2) t 0=1 = 12
Page 89 and 90:
Rješenje: x = rcosϕ , y = rsinϕ
Page 91 and 92:
što daje Jednadžbe tangente i nor
Page 93 and 94:
Zadatak 131 Ishodištem koordinatno
Page 95 and 96:
Zadatak 136 Krivulja je zadana u po
Page 97 and 98:
Teorem 7 (ROLLE) Neka funkcija f :
Page 99 and 100:
Napomenimo da funkcija može biti s
Page 101 and 102:
Spuštajući se tako ”skokovima
Page 103 and 104:
Rješenje: P(x) = x·y = x·√12
Page 105 and 106:
Rješenje: uvedimo oznake: R - polu
Page 107 and 108:
2. Kod primjeneL’Hospitalovog pra
Page 109 and 110:
Rješenje: a) lnx ∣ ∣∣ lim x
Page 111 and 112:
( Zadatak 166 Nadite asimptote kriv
Page 113 and 114:
Definicija 22 Kaže se da je deriva
Page 115 and 116:
6.7 Kvalitativni graf funkcije POST
Page 117 and 118:
Zadatak 170 Nacrtajte kvalitativni
Page 119 and 120:
◮ intervali monotonosti [ π 〉
Page 121 and 122:
7 6 5 4 3 2 1 10 5 0 5 10 Zadatak 1
Page 123 and 124:
Zadatak 174 Nacrtajte kvalitativni
show all

MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?