MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 144 Odredite lokalne i globalne ekstreme funkcije f(x) = x 1 x na
[10 −2 ,10 2 ].
Rješenje:
f(x) = e 1 x·lnx ⇒ D(f) = 〈0,+∞〉
f ′ (x) = e 1 x·lnx · 1−lnx
x 2
f ′ (x) = 0 ⇔ 1−lnx = 0 ⇔ x = e
〈0,e〉 : f ′ (1) = (+) (+)
(+) > 0, 〈e,+∞〉 : f′ (3) = (+) (−)
(+) < 0,
Odavde zaključujemo da funkcija u x = e postiže lokalni maksimum. Imamo
f(e) = e 1/e ≈ 1.4447.
Nadalje, vrijednosti funkcije f u rubovima zadanog intervala su:
f(10 −2 ) = 10 −200 < 1, f(10 2 ) = 10 1/50 ≈ 1.0471
Sada vidimo da funkcija u M(e,e 1/e ) poprima lokalni i globalni maksimum,
dok u točki m(10 −2 ,10 −200 ) poprima globalni minimum.
Zadatak 145 (DZ) Odredite lokalne i globalne ekstreme funkcije f(x) =
x
. x 2 +2x+4
Rješenje: maksimum u M(2,1/6), minimum u m(−2,−1/2)
Zadatak 146 (DZ) Odredite lokalne i globalne ekstreme funkcije f(x) =
x 1−lnx .
Rješenje: M( √ e, 4√ e) maksimum
Zadatak 147 U lik omeden lukom krivulje y = √ 12−x i koordinatnim
osima upišite pravokutnik maksimalne površine. Kolike su stranice i površina
tog pravokutnika?
102