Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu

Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i automatizacija 2007/2008 7
Pojednostavnimo izraze za derivacije:
i
∑ = N
i=
1
i
∑ = N
i=
1
Razdvojimo nepoznanice i poznate podatke:
b
0
⋅
2
( y − b − b ⋅ ) 0
i 0 1
x i
=
2 2
( y − b − b ⋅ x ) ⋅ x 0
i
N ⋅b
N
∑
i=
1
x
0
2
i
+ b
0 1 i i
=
1
+ b
1
⋅
⋅
N
∑
i=
1
N
∑
i=
1
N
∑
2
x i
= y
x
4
i
=
i=
1
N
∑
i=
1
i
i
y ⋅ x
Podijelimo svaku jednadžbu s brojem mjerenja N i uvedemo izraze za srednje
vrijednosti:
2
b x ⋅b
= y
0
+
1
2
4
2
x ⋅ b0
+ x ⋅ b1
= y ⋅ x
Sustav jednadžbi može se napisati u matričnom obliku:
⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
1 x b0
y
⎟ ⋅ = ⎜ ⎟
⎜
⎟
2 4
2
⎝ x x ⎠ ⎝ b1
⎠ ⎝ y ⋅ x ⎠
Riješimo sustav Cramerovim pravilom. Determinante su:
D
4 2
= x − ( ) ( )
2
4 2 2
D1 = y ⋅ x − x ⋅ y ⋅ x
0
x
Rješenje su optimalne procjene parametara:
AD b)
b
0
D
b
0
=
D
1
0
D
b
1
=
D
0
D
2
2
i
2 2
2
= y ⋅ x − y ⋅ x
4 2 2
2
2
( y) ⋅ ( x ) − ( x ) ⋅ ( y ⋅ x )
( y ⋅ x ) − ( y) ⋅ ( x )
= b =
x
4
−
2
( x ) 2
Izračunajmo pojedine srednje vrijednosti:
2
4
x = 22,7083 x = 1017,18 y = 13,25 x
Uvrštavanjem dobiju se vrijednosti determinanata:
D
0
= 501,509
D1
= 703,213 D2
= 261,656
1
x
4
−
2
( x ) 2
2
( y ⋅ ) = 562, 542
i procjena parametara: b = ,40219 b 0, 521738
0
1
1
=