Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu

Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i automatizacija 2007/2008 6
Zadatak 2
Neki mjerni ureñaj ima nelinearnu statičku karakteristiku danu funkcijom
y(x)=b 0 +b 1 x 2 .
(a 10) Izvedite izraze za procjenu parametara b 0 i b 1 metodom najmanjih kvadrata.
(b 10) Procijenite parametre b 0 i b 1 za slijedeće izmjerene vrijednosti ulaznih i
izlaznih veličina tijekom umjeravanja instrumenta:
AD a)
x 0 1,5 3 5 6 8
y 1 3 6,5 14 20 35
Prvo definiramo prividnu pogrešku za mjerni signal:
∆
i
= y
i
−
2
( b + b ⋅ x )
0 1 i
Na osnovu pogreške definiramo varijancu:
s
2
=
1
⋅
N − 2
i=
N
∑
i=
1
∆
2
i
=
1
4
⋅
6
( ) 2
2
∑ yi
− b0
− b1
⋅ xi
i=
1
Parametre procijenimo minimizacijom varijance. Nužni uvjeti minimuma su:
∂
s
∂b
Odredimo izraze za derivacije:
0
2
= 0
∂
s
∂b
1
2
= 0
∂
∂b
1
0
∂
s
∂b
2
s
2
∂ ⎡ 1
= ⎢ ⋅
∂b0
⎣ N − 2
i=
N
1 ∂
⋅∑
N − 2 ∂b
2
⋅
N − 2
2
⋅
N − 2
i=
1 0
i=
N
2
∑( yi
− b0
− b1
⋅ xi
)
2
( y − b − b ⋅ x )
i=
N
2
∑( yi
− b0
− b1
⋅ xi
) ⋅ ( −1) = 0
i=
1
∂ ⎡ 1
= ⎢ ⋅
∂b1
⎣ N − 2
i=
N
1 ∂
⋅∑
N − 2 ∂b
i=
1 1
i=
1
i
0
i=
N
2
∑( yi
− b0
− b1
⋅ xi
)
2
( y − b − b ⋅ x )
1
i
2
2
=
⎤
⎥ =
⎦
i=
N
2 2
∑( yi
− b0
− b1
⋅ xi
) ⋅ ( − xi
) = 0
i=
1
i=
1
i
0
1
i
2
2
=
⎤
⎥ =
⎦