Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu
Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu
Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i automatizacija 2007/2008 40 Inverznu matricu odredimo prema pravilu: Determinanta je: ⎛ 2 ⋅ s + 1 A = ⎜ 1 ⎜− 3⋅ s + ⎝ s −1 Adj A = Nakon adjungacije inverzna matrica je: − 3⋅ s⎞ ⎟ 2 ⋅ s ⎟ ⎠ A ( ) A A = 3 + 2 ⋅ s − 5 ⋅ s 2 A Provedemo množenje matrica: 1 1 = 3 + 2 ⋅ s − 5⋅ s 2 ⎛ 2 ⋅ s ⋅ ⎜ 1 ⎜3⋅ s − ⎝ s 3⋅ s ⎞ ⎟ 1+ 2 ⋅ s⎟ ⎠ ⎛ ⎜4 B = ⎜ ⎝2 W A = −1 1 ⎞ ⎟ 2 ⋅ s ⎟ 5 ⎠ ⋅ B Konačni rezultat je matrica prijenosnih funkcija: W 5⋅ s 1 ⎛ ⋅ ⎜ − 2 ⋅ s − 3 ⎝2 ⋅ 14 ⋅ s 1+ 15 ⋅ s = 2 3 ⎟ 2 2 ( − 2 + s + 8⋅ s ) 1−13⋅ s − 20 ⋅ s ⎞ ⎠ Rezultat možemo prikazati slijedećim blok dijagramom: X 1 X 2 14 ⋅ s 3 + 2 ⋅ s − 5⋅ s 1+ 15⋅ s 3 + 2 ⋅ s − 5⋅ s 2 2 ⋅ ( − 2 + s + 8⋅ s ) 2 ( − 3 − 2 ⋅ s + 5⋅ s ) − 1−13⋅ s 2 2 ( − 3 − 2 ⋅ s + 5⋅ s ) 2 2 − 20 ⋅ s 3 Y 1 Y 2 Do istog rezultata se može doći i bez matričnog računa kada se sustav jednadžbi riješi metodom supstitucije.
Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i automatizacija 2007/2008 41 Zadatak 16 Odredite prijenosne funkcije za protočni kemijski reaktor u kojem se provodi izotermna reakcija prvog reda A → B . Reakcija se provodi uz stalan protok i volumen. Zadane su slijedeće vrijednosti parametara: V = 10 L, q = 5 L/min, k = 0,2 min -1 . C Au W A C A C Au W B C B Zadaci: a) Odredite prijenosnu funkciju W A ako je ulazna veličina koncentracija reaktanta u pritoku a izlazna veličina koncentracija reaktanta u izlaznom toku. b) Odredite prijenosnu funkciju W B ako je ulazna veličina koncentracija reaktanta u pritoku a izlazna veličina koncentracija produkta u izlaznom toku. c) Odredite promjenu koncentracije reaktanta i produkta ako se ulazna koncentracija promjeni kao trajni impuls iznosa 1 mol/L. Rješenje: a) Bilanca reaktanta dana je bilancom: dc A V ⋅ = q ⋅ dt Prijenosnu funkciju odredimo transformacijom: V ⋅ s ⋅C A ( c Au − c A ) −V ⋅ k ⋅ c A ( s) = q ⋅ ( C ( s) − C ( s) ) −V ⋅ k ⋅C ( s) Au Koncentracija reaktanta je zavisna i ujedno izlazna veličina koju izdvojimo na lijevoj strani jednadžbe, a koncentracija reaktanta je ulazna veličina i izdvojimo na desnu stranu jednadžbe. V ⋅ s ⋅C A ( s) + q ⋅C ( s) + V ⋅ k ⋅C ( s) = q ⋅C ( s) Prijenosna funkcija je omjer izlazne i ulazne veličine: A A A A Au
- Page 1 and 2: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 3 and 4: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 5 and 6: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 7 and 8: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 9 and 10: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 11 and 12: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 13 and 14: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 15 and 16: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 17 and 18: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 19 and 20: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 21 and 22: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 23 and 24: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 25 and 26: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 27 and 28: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 29 and 30: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 31 and 32: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 33 and 34: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 35 and 36: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 37 and 38: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 39: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 43 and 44: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 45 and 46: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 47 and 48: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 49 and 50: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 51 and 52: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 53 and 54: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
- Page 55: Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i autom
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 40<br />
Inverznu matricu odredimo prema pravilu:<br />
Determinanta je:<br />
⎛ 2 ⋅ s + 1<br />
A = ⎜ 1<br />
⎜−<br />
3⋅<br />
s +<br />
⎝ s<br />
−1 Adj<br />
A =<br />
Nakon adjungacije inverzna matrica je:<br />
− 3⋅<br />
s⎞<br />
⎟<br />
2 ⋅ s ⎟<br />
⎠<br />
A<br />
( )<br />
A<br />
A = 3 + 2 ⋅ s − 5 ⋅ s<br />
2<br />
A<br />
Provedemo množenje matrica:<br />
1<br />
1<br />
=<br />
3 + 2 ⋅ s − 5⋅<br />
s<br />
2<br />
⎛ 2 ⋅ s<br />
⋅ ⎜ 1<br />
⎜3⋅<br />
s −<br />
⎝ s<br />
3⋅<br />
s ⎞<br />
⎟<br />
1+<br />
2 ⋅ s⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜4<br />
B =<br />
⎜<br />
⎝2<br />
W A<br />
= −1<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
2 ⋅ s ⎟<br />
5 ⎠<br />
⋅ B<br />
Konačni rezultat je matrica prijenosnih funkcija:<br />
W<br />
5⋅<br />
s<br />
1 ⎛<br />
⋅ ⎜<br />
− 2 ⋅ s − 3 ⎝2<br />
⋅<br />
14 ⋅ s<br />
1+<br />
15 ⋅ s<br />
=<br />
2<br />
3<br />
⎟<br />
2<br />
2<br />
( − 2 + s + 8⋅<br />
s ) 1−13⋅<br />
s − 20 ⋅ s<br />
⎞<br />
⎠<br />
Rezultat možemo prikazati slijedećim blok dijagramom:<br />
X 1<br />
X 2<br />
14 ⋅ s<br />
3 + 2 ⋅ s − 5⋅<br />
s<br />
1+<br />
15⋅<br />
s<br />
3 + 2 ⋅ s − 5⋅<br />
s<br />
2<br />
2 ⋅ ( − 2 + s + 8⋅<br />
s )<br />
2<br />
( − 3 − 2 ⋅ s + 5⋅<br />
s )<br />
−<br />
1−13⋅<br />
s<br />
2<br />
2<br />
( − 3 − 2 ⋅ s + 5⋅<br />
s )<br />
2<br />
2<br />
− 20 ⋅ s<br />
3<br />
Y 1<br />
Y 2<br />
Do istog rezultata se može doći i bez matričnog računa kada se sustav jednadžbi<br />
riješi metodom supstitucije.
Change language