Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu

Ž. Kurtanjek: PBF Mjerenja i automatizacija 2007/2008 39
Zadatak 15
Izračunajte prijenosne funkcije (matricu) sustava sa dvije ulazne i dvije
izlazne veličine (prikazanog na slici)
X 1
Y 1
W(s)
X 2 Y 2
zadanog sa sustavom od dvije linearne jednadžbe:
Rješenje
dy
2 ⋅
dt
1
dy
− 3⋅
dt
2
+ y
t
1
2
− ⋅ + 2 ⋅ + y2
+
dt dt
∫
0
1
= 4 ⋅ x
1
1
+
1
2
⋅
t
∫
0
x
1
2
⋅ dt
dy dy
3 y ⋅ dt = 2 ⋅ x + 5⋅
x
2
Primijenimo Laplaceove transformacije za sustav jednadžbi:
1 1
2 ⋅ s ⋅Y1
− 3⋅
s ⋅Y2
+ Y1
= 4 ⋅ X
1
+ ⋅ ⋅ X
2
2 s
1
− 3⋅
s ⋅Y1 + 2 ⋅ s ⋅Y2
+ Y2
+ ⋅Y1
= 2 ⋅ X
1
+ 5 ⋅ X
s
Izlazne zavisne veličine, koje su nepoznanice, izdvojimo na lijevoj strani, a ulazne
nezavisne veličine izdvojimo na desnoj strani sustava jednadžbi:
( 2 ⋅ s + 1)
⋅Y
− 3⋅
s ⋅Y
⎛ 1 ⎞
⎜−
3⋅
s + ⎟ ⋅Y
⎝ s ⎠
Isto napisano u matričnom obliku je:
1
1
2
+ 2 ⋅ s ⋅Y
= 4 ⋅ X
2
1
+
= 2 ⋅ X
1
2 ⋅ s
1
⋅ X
2
+ 5⋅
X
2
2
⎛ 2 ⋅ s + 1
⎜ 1
⎜−
3⋅
s +
⎝ s
− 3⋅
s⎞
⎟ ⎛Y
⋅⎜
2 ⋅ s ⎟
⎠ ⎝Y
1
2
⎞
⎛
⎜4
⎟ =
⎠
⎜
⎝2
1 ⎞
⎟ ⎛ X
2 ⋅ s ⋅⎜
⎟
5 ⎠
⎝ X
1
2
⎞
⎟
⎠
Riješimo inverzijom matrice:
⎛Y
⎜
⎝Y
1
2
⎞ ⎛ 2 ⋅ s + 1
⎜
⎟ = 1
⎠ ⎜−
3⋅
s +
⎝ s
− 3⋅
s⎞
⎟
2 ⋅ s ⎟
⎠
−1
⎛
⎜4
⋅
⎜
⎝2
1 ⎞
⎟ ⎛ X
2 ⋅ s ⋅
⎜
⎟
5 ⎠
⎝ X
1
2
⎞
⎟
⎠