Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu
Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu
Zbirka rijesenih zadataka - PBF - Sveučilište u Zagrebu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 1<br />
<strong>Sveučilište</strong> u <strong>Zagrebu</strong><br />
Prehrambeno-biotehnološki<br />
fakultet<br />
Prof. dr.sc. Želimir Kurtanjek<br />
<strong>Zbirka</strong> riješenih <strong>zadataka</strong> iz Mjerenja i<br />
automatizacije procesa<br />
Bolonjski moduli PB29 i PT29<br />
2007-2008
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 2<br />
Predgovor<br />
<strong>Zbirka</strong> riješenih <strong>zadataka</strong> namijenjena je studentima biotehnologije i<br />
prehrambene tehnologije Prehrambeno-biotehnološkog fakulteta koji su<br />
upisali module PB29 i PT29. <strong>Zbirka</strong> ima dva dijela, 10 <strong>zadataka</strong> iz Mjerenja i<br />
10 <strong>zadataka</strong> iz Automatizacije.<br />
Naglasak u zadacima iz mjerenja je na postavljanju jednostavnih bilanci<br />
tehnoloških procesa i analizu mjerenih podataka i naročito mjernih pogrešaka.<br />
Zadaci iz Automatizacije su usmjereni na analizu jednostavnih dinamičkih<br />
pojava regulacije sustava prvog i drugog stupnja. Za rješavanje <strong>zadataka</strong> iz<br />
Automatizacije potrebno je koristiti Laplaceove tablice koje se nalaze na<br />
Internet stranicama predmeta.<br />
Za pripremu ispita potrebno je uz zadatke koristiti predavanja u obliku skripte<br />
i Power Point prezentacije koje se takoñer nalaze na Internet stranicama<br />
predmeta.<br />
Prof. dr.sc. Želimir Kurtanjek
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 3<br />
Zadatak 1.<br />
U protočnom kemijskom reaktoru odvijaju se dvije paralelne reakcije prvog reda.<br />
Reaktor se napaja reaktantom A. Proces je opremljen s 4 mjerna ureñaja, za mjerenje<br />
volumnog protoka q (L/min), i kemijskog sastava izlaznog toka c A (mol/L), c B (mol/L)<br />
i c C (mol/L).<br />
q<br />
c A c B c C<br />
A<br />
r 1<br />
B<br />
r 2<br />
C<br />
Instrument za mjerenje protoka ima mjerni opseg [0 - 10 L/min] i klase točnosti Kl =<br />
0,5 % a instrument za mjerenje koncentracije ima mjerni opseg [0 – 20 mol/L] i klasu<br />
točnosti 0,1 %. Izmjereni su slijedeći podaci: volumen reaktora V = 5 L, protok q =<br />
2,5 L/min i sastav c A = 0,1 mol/L, c B = 4 mol/L i c C = 3 mol/L.<br />
1a<br />
(3%)<br />
1b<br />
(2%)<br />
1c<br />
(10%)<br />
1d<br />
(10%)<br />
Izračunajte koeficijente brzine reakcija k 1 = k 2 =<br />
Izračunajte koncentraciju reaktanta u ulaznom toku c Au =<br />
Izračunajte maksimalne relativne pogreške koeficijenta<br />
brzina reakcije<br />
Izračunajte maksimalne relativne pogreške ulazne<br />
koncentracije<br />
δk 1 %= δk 2 %=<br />
δc Au %=<br />
Rješenje:<br />
AD 1a) Koeficijente brzina reakcija odredimo iz bilanci produkata B i C:<br />
0 = −q<br />
⋅ c<br />
0 = −q<br />
⋅ c<br />
B<br />
C<br />
+ V ⋅ k ⋅ c<br />
1<br />
+ V ⋅ k<br />
2<br />
A<br />
⋅ c<br />
A<br />
Uvrstimo izmjerene podatke:<br />
− 2,5 ⋅ 4 + 5 ⋅ k<br />
− 2,5 ⋅3<br />
+ 5 ⋅ k<br />
Rješenja su koeficijenti brzina reakcija:<br />
1<br />
2<br />
⋅ 0,1 = 0<br />
⋅ 0,1 = 0<br />
⋅<br />
2,5 ⋅3<br />
k<br />
1<br />
= k<br />
min<br />
0,5<br />
0,5<br />
2,5<br />
4<br />
−1<br />
−1<br />
= 20 min<br />
2<br />
= = 15<br />
AD 1b) Koncentraciju reaktanta u ulaznom toku odredimo iz bilance reaktanta A<br />
q ⋅ c<br />
Au<br />
− q ⋅ c<br />
A<br />
−V<br />
⋅ k<br />
1<br />
⋅ c<br />
A<br />
−V<br />
⋅ k2<br />
⋅ c<br />
A<br />
=<br />
0
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 4<br />
Uvrstimo rezultate mjerenja:<br />
c<br />
Au<br />
V<br />
q<br />
V<br />
q<br />
= c<br />
A<br />
+ ⋅ k1<br />
⋅ c<br />
A<br />
+ ⋅ k2<br />
⋅ c<br />
A<br />
AD 1c)<br />
c Au<br />
= 0 ,1 + 4 + 3 = 7, 1<br />
mol<br />
Prvo odredimo maksimalne pogreške mjerenih veličina na osnovu klasa točnosti<br />
instrumenata.<br />
Kl ⋅ MO 0,5 ⋅10<br />
max ∆q V<br />
= = = 0,05 L / min<br />
100 100<br />
Kl ⋅ MO 0,2 ⋅ 20<br />
max ∆c<br />
= = = 0,04 mol / L<br />
100 100<br />
Maksimalnu pogrešku koeficijenta brzine reakcije odredimo razvojem izraza po<br />
pogreškama mjerenih veličina<br />
max<br />
∆q<br />
c<br />
B<br />
B<br />
∆k1<br />
= ⋅ + ⋅ ∆cB<br />
+ ⋅<br />
2<br />
V c<br />
A<br />
V ⋅ c<br />
A<br />
V c<br />
A<br />
q<br />
q<br />
c<br />
⋅ ∆c<br />
0,05 4 2,5 2,5 4<br />
max ∆k<br />
1<br />
= ⋅ + ⋅ 0,04 + ⋅ ⋅ 0,04 = 0,4 + 0,2 + 8 = 8,6<br />
2<br />
5 0,1 5 ⋅ 0,1 5 0,1<br />
maksimalna relativna pogreška koeficijenta brzine reakcije je:<br />
8,6<br />
maxδ<br />
k1 % = ⋅100<br />
= 43%<br />
20<br />
Za drugi koeficijent ponovimo isti postupak:<br />
∆q<br />
cC<br />
q q cC<br />
max ∆k2<br />
= ⋅ + ⋅ ∆cC<br />
+ ⋅ ⋅ ∆c<br />
2 A<br />
V c<br />
A<br />
V ⋅ c<br />
A<br />
V c<br />
A<br />
0,05 3 2,5 2,5 3<br />
max ∆k<br />
2<br />
= ⋅ + ⋅ 0,04 + ⋅ ⋅ 0,04 = 0,3 + 0,2 + 6 = 6,5<br />
2<br />
5 0,1 5 ⋅ 0,1 5 0,1<br />
6,5<br />
maxδ<br />
k2 % = ⋅100<br />
= 43,3%<br />
15<br />
AD 1d)<br />
Maksimalnu pogrešku ulazne koncentracije odredimo razvojem izraza<br />
⎡ V<br />
c<br />
Au<br />
= c<br />
A<br />
⋅ ⎢1 + ⋅<br />
1<br />
k<br />
2<br />
s obzirom na pogreške mjerenih podataka i procijenjenih<br />
⎣ q<br />
pogrešaka koeficijenata brzina reakcija<br />
⎤<br />
( k + ) ⎥⎦<br />
⎡ V<br />
⎡<br />
⎤<br />
max ∆c<br />
Au<br />
= ∆c<br />
A<br />
⋅ ⎢1<br />
+ ⋅<br />
1 2 ⎥ A ⎢ 2 1 2 ⎥ A ⎢ 1 2<br />
⎣ q ⎦ ⎣q<br />
⎦ ⎣ q<br />
A<br />
⎤ V<br />
⎡V<br />
⎤<br />
( k + k ) + c ⋅ ⋅ ( k + k ) ⋅ ∆q<br />
+ c ⋅ ⋅ ( ∆k<br />
+ ∆k<br />
) ⎥⎦
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 5<br />
⎡ 5<br />
⎡ 5<br />
⎤ 5<br />
max ∆c Au<br />
= 0,04 ⋅ ⎢1<br />
+ ⋅ ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
5<br />
2<br />
⎣ 2,5 ⎦ ⎣2,5<br />
⎦ ⎣2,5<br />
6<br />
max ∆c Au = ⋅ 100 = 84,5%<br />
7,1<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎤<br />
( 20 + 15) + 0,1 ⋅ ⋅ ( 20 + 15) ⋅ 0,05 + 0,1 ⋅ ⋅ ( 8,6 + 6, ) ⎥⎦
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 6<br />
Zadatak 2<br />
Neki mjerni ureñaj ima nelinearnu statičku karakteristiku danu funkcijom<br />
y(x)=b 0 +b 1 x 2 .<br />
(a 10) Izvedite izraze za procjenu parametara b 0 i b 1 metodom najmanjih kvadrata.<br />
(b 10) Procijenite parametre b 0 i b 1 za slijedeće izmjerene vrijednosti ulaznih i<br />
izlaznih veličina tijekom umjeravanja instrumenta:<br />
AD a)<br />
x 0 1,5 3 5 6 8<br />
y 1 3 6,5 14 20 35<br />
Prvo definiramo prividnu pogrešku za mjerni signal:<br />
∆<br />
i<br />
= y<br />
i<br />
−<br />
2<br />
( b + b ⋅ x )<br />
0 1 i<br />
Na osnovu pogreške definiramo varijancu:<br />
s<br />
2<br />
=<br />
1<br />
⋅<br />
N − 2<br />
i=<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
∆<br />
2<br />
i<br />
=<br />
1<br />
4<br />
⋅<br />
6<br />
( ) 2<br />
2<br />
∑ yi<br />
− b0<br />
− b1<br />
⋅ xi<br />
i=<br />
1<br />
Parametre procijenimo minimizacijom varijance. Nužni uvjeti minimuma su:<br />
∂<br />
s<br />
∂b<br />
Odredimo izraze za derivacije:<br />
0<br />
2<br />
= 0<br />
∂<br />
s<br />
∂b<br />
1<br />
2<br />
= 0<br />
∂<br />
∂b<br />
1<br />
0<br />
∂<br />
s<br />
∂b<br />
2<br />
s<br />
2<br />
∂ ⎡ 1<br />
= ⎢ ⋅<br />
∂b0<br />
⎣ N − 2<br />
i=<br />
N<br />
1 ∂<br />
⋅∑<br />
N − 2 ∂b<br />
2<br />
⋅<br />
N − 2<br />
2<br />
⋅<br />
N − 2<br />
i=<br />
1 0<br />
i=<br />
N<br />
2<br />
∑( yi<br />
− b0<br />
− b1<br />
⋅ xi<br />
)<br />
2<br />
( y − b − b ⋅ x )<br />
i=<br />
N<br />
2<br />
∑( yi<br />
− b0<br />
− b1<br />
⋅ xi<br />
) ⋅ ( −1) = 0<br />
i=<br />
1<br />
∂ ⎡ 1<br />
= ⎢ ⋅<br />
∂b1<br />
⎣ N − 2<br />
i=<br />
N<br />
1 ∂<br />
⋅∑<br />
N − 2 ∂b<br />
i=<br />
1 1<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
0<br />
i=<br />
N<br />
2<br />
∑( yi<br />
− b0<br />
− b1<br />
⋅ xi<br />
)<br />
2<br />
( y − b − b ⋅ x )<br />
1<br />
i<br />
2<br />
2<br />
=<br />
⎤<br />
⎥ =<br />
⎦<br />
i=<br />
N<br />
2 2<br />
∑( yi<br />
− b0<br />
− b1<br />
⋅ xi<br />
) ⋅ ( − xi<br />
) = 0<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
0<br />
1<br />
i<br />
2<br />
2<br />
=<br />
⎤<br />
⎥ =<br />
⎦
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 7<br />
Pojednostavnimo izraze za derivacije:<br />
i<br />
∑ = N<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
∑ = N<br />
i=<br />
1<br />
Razdvojimo nepoznanice i poznate podatke:<br />
b<br />
0<br />
⋅<br />
2<br />
( y − b − b ⋅ ) 0<br />
i 0 1<br />
x i<br />
=<br />
2 2<br />
( y − b − b ⋅ x ) ⋅ x 0<br />
i<br />
N ⋅b<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
x<br />
0<br />
2<br />
i<br />
+ b<br />
0 1 i i<br />
=<br />
1<br />
+ b<br />
1<br />
⋅<br />
⋅<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
2<br />
x i<br />
= y<br />
x<br />
4<br />
i<br />
=<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
y ⋅ x<br />
Podijelimo svaku jednadžbu s brojem mjerenja N i uvedemo izraze za srednje<br />
vrijednosti:<br />
2<br />
b x ⋅b<br />
= y<br />
0<br />
+<br />
1<br />
2<br />
4<br />
2<br />
x ⋅ b0<br />
+ x ⋅ b1<br />
= y ⋅ x<br />
Sustav jednadžbi može se napisati u matričnom obliku:<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
1 x b0<br />
y<br />
⎟ ⋅ = ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
2 4<br />
2<br />
⎝ x x ⎠ ⎝ b1<br />
⎠ ⎝ y ⋅ x ⎠<br />
Riješimo sustav Cramerovim pravilom. Determinante su:<br />
D<br />
4 2<br />
= x − ( ) ( )<br />
2<br />
4 2 2<br />
D1 = y ⋅ x − x ⋅ y ⋅ x<br />
0<br />
x<br />
Rješenje su optimalne procjene parametara:<br />
AD b)<br />
b<br />
0<br />
D<br />
b<br />
0<br />
=<br />
D<br />
1<br />
0<br />
D<br />
b<br />
1<br />
=<br />
D<br />
0<br />
D<br />
2<br />
2<br />
i<br />
2 2<br />
2<br />
= y ⋅ x − y ⋅ x<br />
4 2 2<br />
2<br />
2<br />
( y) ⋅ ( x ) − ( x ) ⋅ ( y ⋅ x )<br />
( y ⋅ x ) − ( y) ⋅ ( x )<br />
= b =<br />
x<br />
4<br />
−<br />
2<br />
( x ) 2<br />
Izračunajmo pojedine srednje vrijednosti:<br />
2<br />
4<br />
x = 22,7083 x = 1017,18 y = 13,25 x<br />
Uvrštavanjem dobiju se vrijednosti determinanata:<br />
D<br />
0<br />
= 501,509<br />
D1<br />
= 703,213 D2<br />
= 261,656<br />
1<br />
x<br />
4<br />
−<br />
2<br />
( x ) 2<br />
2<br />
( y ⋅ ) = 562, 542<br />
i procjena parametara: b = ,40219 b 0, 521738<br />
0<br />
1<br />
1<br />
=
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 8<br />
Zadatak 3.<br />
Razlika temperature uzorka A i B mjeri se termočlankom u spoju s mVmetrom.<br />
Ukupni otpor vodiča je R v a unutarnji otpor mV-metra je R u . Kalibracijska<br />
2<br />
karakteristika termočlanka je EMS = α ⋅t<br />
+ β ⋅ t Vrijednosti parametara su<br />
α = 0,004 mV K -1 , β = 1,76 10 -5 mV K -2 , otpori imaju vrijednosti Rv = 20 Ω i<br />
Ru = 300 Ω .<br />
Ωm<br />
Rv<br />
R u<br />
mV<br />
A<br />
B<br />
a(5) Odredite razliku temperature t B – t A i temperaturu t B ako je izmjeren napon na<br />
instrumentu V = 400 mV a temperatura na mjernom mjestu A je 0,5 0 C.<br />
b(10) Kolika je relativna pogreška mjerenja razlike temperature ako je instrument za<br />
mjerenje pada napona mjernog opsega 0 – 10 mV i klase točnosti 0,01 %.<br />
c(10) Kolika je relativna pogreška mjerenja razlike temperature ako se osim<br />
pogreške instrumenta mV-metra uzme u obzir i pogreška odreñivanja otpora<br />
Ω-metrom klase točnosti 0,1% s mjernim opsegom od 0-1 k Ω . Da li je važnija<br />
pogreška instrumenta za mjerenje pada napona (mV-metra) ili instrumenta za<br />
mjerenje otpora ( Ω -metra)?<br />
Rješenje:<br />
AD a) Razliku temperatura odredimo iz EMS na osnovu izmjerenog pada napona V<br />
na unutarnjem otporu mV-metra:<br />
EMS<br />
V = ⋅ Ru<br />
Ru<br />
+ Rv<br />
Razliku temperature t odredimo rješavanjem jednadžbe odreñene statičkom<br />
karakteristikom termočlanka:<br />
( R + R ) 2<br />
V ⋅<br />
u v<br />
EMS = = α ⋅t<br />
+ β ⋅t<br />
Ru<br />
Uvrstimo podatke i izmjerenu vrijednost pada napona V i riješimo jednadžbu:<br />
400 /1000 ⋅<br />
300<br />
( 20 + 300) −5<br />
2<br />
= 0,426669 = 0,004 ⋅t + 1,76 ⋅10<br />
⋅t
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 9<br />
Zadatak 4.<br />
1(25). Razina kapljevine mjeri se otporničkim termometrom u spoju s<br />
Wheastoneovim mjernim mostom.<br />
Otpornici u mostu imaju slijedeće<br />
vrijednosti:<br />
R A =200 Ω, R B = 250 Ω, R P = 300 ⋅ x Ω,<br />
R 0 = 150 Ω,<br />
x ∈ [ x 0<br />
,1]<br />
, R h<br />
= R0 ⋅ ( 1+<br />
β ⋅ h)<br />
; β =<br />
0,320 m -1 ,<br />
x je relativni položaj kliznika, h je<br />
razina u metrima, N je nul-instrument,<br />
napon baterije je E 0 = 10 V.<br />
R h<br />
h<br />
R B<br />
N<br />
R A<br />
R P<br />
x<br />
2a(5) Odredite x 0 i razinu ako je<br />
izmjerena vrijednost x = 0,45.<br />
2b(5) Odredite mjerni opseg<br />
pretvornika razine.<br />
2c(10) Kolika je maksimalna pogreška<br />
mjerenja razine ako su<br />
maksimalne pogreške pojedinih<br />
otpora ± 2 Ω<br />
2d(5) Koja je klasa točnosti mjerenja<br />
razine?<br />
E 0<br />
Mjerenje razine otporničkom metodom<br />
i Wheastonovim mjernim mostom<br />
AD a) Ravnoteža mjernog mosta odreñena je izrazom: RA<br />
⋅ Rh<br />
= RP<br />
⋅ RB<br />
Minimalan otkolon kliznika potenciometra x odredimo pri najmanjoj razini, za h=0.<br />
Vrijednost otpora mjernog pretvornika je: R h<br />
( h = 0) = R0<br />
= 150Ω<br />
Uvrstimo u izraz za ravnotežu mjernog mosta:<br />
200 ⋅ 150 = 300 ⋅ x ⋅ 0<br />
250 odavdje je vrijednost x 0 = 0,4<br />
AD b) Mjerno opseg je odreñen maksimalnim otklonom potenciometra x=1<br />
RA<br />
⋅ Rh<br />
( hmax<br />
) = RP<br />
( x = 1) ⋅ RB<br />
uvrstimo vrijednosti 200 150 ⋅ ( 1+<br />
0,321⋅<br />
max<br />
) = 300 ⋅1⋅<br />
250<br />
⋅ h dobije se h max =4,67 m<br />
AD c) Da izračunamo mjernu pogrešku razine moramo izraziti razinu otporima u<br />
mjernom mostu:<br />
RP<br />
⋅ RB<br />
( 1+<br />
β ⋅ h)<br />
=<br />
R0<br />
⋅ RA<br />
Maksimalnu pogrešku odredimo zbrojem pozitivnih članova Taylorovog razvoja:<br />
β ⋅<br />
max ∆h<br />
=<br />
R<br />
R<br />
B<br />
0<br />
⋅ ∆R<br />
P<br />
R<br />
+<br />
R<br />
P<br />
0<br />
⋅ ∆R<br />
B<br />
R<br />
+<br />
R<br />
P<br />
2<br />
A<br />
⋅ R<br />
B<br />
⋅ R<br />
0<br />
⋅ ∆R<br />
0<br />
RP<br />
⋅ R<br />
+<br />
R<br />
B<br />
2<br />
0<br />
⋅ ∆R<br />
0
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 10<br />
Budući da su pogreške pojedinih optpora jednaka izraz se može pojednostavniti:<br />
max<br />
1 ⎛ RB<br />
h = ⋅<br />
⎜<br />
β ⎝ R0<br />
⋅ R<br />
RP<br />
+<br />
R ⋅ R<br />
R<br />
+<br />
R<br />
⋅ R<br />
R<br />
+<br />
R<br />
⋅ R<br />
P B P B<br />
∆<br />
2<br />
2<br />
A 0 A A<br />
⋅ R0<br />
A<br />
⋅ R0<br />
⎞<br />
⎟ ⋅ ∆R<br />
⎠<br />
Uvrstimo vrijednosti otpora na gornjoj granici mjernog opsega i iznos pogreške<br />
pojeding otpora:<br />
1 ⎛ 250 300 300 ⋅ 250 300 ⋅ 250 ⎞<br />
max ∆ h = ⋅⎜<br />
+ + +<br />
2 = 0, 3m<br />
2 2<br />
⎟ ⋅<br />
0,320 ⎝150<br />
⋅ 200 150 ⋅ 200 200 ⋅150<br />
200 ⋅150<br />
⎠<br />
AD d) Klasa točnosti mjernog otporničkog pretvornika razine je:<br />
max ∆h<br />
Kl = ⋅100<br />
=<br />
h<br />
max<br />
0,3<br />
4,67<br />
⋅100<br />
= 6,4%
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 11<br />
Zadatak 5.<br />
Odredite kalibracijski pravac za mjerni sustav s linearnom statičkom<br />
karakteristikom.<br />
x<br />
mjerena<br />
veličina<br />
mjerni<br />
sustav<br />
y = l + k ⋅ x<br />
y<br />
mjerni<br />
signal<br />
Izmjereni podaci dani su u tablici:<br />
x 0,1 2,5 3,7 4,5 5,2 6,4 7,2 8,4 9,1 9,8<br />
y 0,25 4,8 7,8 8,6 12,1 13,5 14,8 17,5 19,1 19,9<br />
a(15) Odredite kalibracijski pravac primjenom metode najmanjih kvadrata.<br />
b(10) Odredite prividne pogreške, srednju relativnu postotnu pogrešku, i klasu<br />
točnosti instrumenta na osnovu kalibracije.<br />
c(10) Primjenom programa „Statistica“ odredite grafički prikaz 95% interval<br />
pouzdanosti kalibracije.<br />
d(10) Iz grafičkog prikaza pouzdanosti kalibracije odredite intervale pouzdanosti<br />
vrijednost mjerene veličine x za slijedeće izmjerene vrijednosti mjernog<br />
signala y, y=0,5; y=8 i y=18.<br />
AD a) Koeficijent smjera regresijskog pravca odreñen je izrazom:<br />
y ⋅ x − y ⋅ x<br />
k =<br />
x ⋅ x − x ⋅ x<br />
Prvo izračunamo srednje vrijednosti izmjerenih podataka:<br />
N<br />
N<br />
1<br />
1<br />
x = ⋅∑<br />
x i<br />
= 5.69 y = ⋅∑<br />
y i<br />
= 11. 835<br />
N i=<br />
1<br />
N i=<br />
1<br />
zatim izračunamo srednje vrijednosti produkata:<br />
N<br />
N<br />
1<br />
1<br />
y ⋅ x = ⋅∑<br />
y i<br />
⋅ x i<br />
= 85.1295 x ⋅ x = ⋅∑<br />
x i<br />
⋅ x i<br />
= 40. 945<br />
N<br />
N<br />
i=<br />
1<br />
uvrstimo u izraz za nagib<br />
i=<br />
1<br />
k<br />
85.1295 −11.835⋅<br />
5.69<br />
=<br />
= 2.07592<br />
40.945 − 5.69 ⋅ 5.69
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 12<br />
Odsječak na ordinati odredimo iz uvjeta da kalibracijski pravac prolazi kroz „težište<br />
podataka“, srednju vrijednost ulaznih i izlaznih podataka:<br />
l = y − k ⋅ x = 11 .835 − 2.07592 ⋅ 5.69 = 0.0230158<br />
AD b) Prividne pogreške izračunamo kao razliku pojedine vrijednosti mjernog<br />
signala i vrijednosti iz kalibracije<br />
∆<br />
i<br />
= y<br />
i<br />
− l − k ⋅ x<br />
Za prvi podatak: ∆<br />
1<br />
= 0,25 − 0,0230158 − 2,07592 ⋅ 0,1 = 0, 0193922<br />
Na isti način se odrede ostale prividne pogreške:<br />
x 0,1 2,5 3,7 4,5 5,2 6,4 7,2 8,4 9,1 9,8<br />
y 0,25 4,8 7.8 8,6 12,1 13,5 14,8 17,5 19,1 19,9<br />
∆y 0.02 -0.41 0.1 -0.76 1.28 0.19 -0.17 0.04 0.19 -0.47<br />
Srednju relativnu pogrešku izračunamo prema izrazu:<br />
i<br />
N<br />
1<br />
δ % = ⋅∑<br />
N<br />
i=<br />
1<br />
∆<br />
y<br />
i<br />
i<br />
⋅100<br />
=<br />
1<br />
10<br />
⎛ 0,02 0,41 0.47 ⎞<br />
⋅ ⎜ + + ....... + ⎟ ⋅<br />
⎝ 0,25 4,8 19.9 ⎠<br />
100 = 4,318<br />
%<br />
Klasa točnosti se procijeni iz maksimalne prividne pogreške max ∆ i mjernog<br />
opsega MO:<br />
max ∆ = 1,282 M.O.=19,9 Klasa točnosti = (1,282/19,9)·100=6,4 %<br />
AD c) Otvorimo prograram „Statistica“, upišemo podatke u dva stupca, x, i y, i<br />
primijenimo program za grafički prikaz s opcijom za linearnu regresiju i 95%<br />
interval pouzdanosti. Rezultat prikazujemo grafički:<br />
Y<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
Kalibracijski pravac<br />
Scatterplot (kalibracija 10v*10c)<br />
Y = 0.023+2.0759*x; 0.95 Conf.Int.<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
X
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 13<br />
AD d)<br />
Intervale pouzdanosti s razinom signifikantnosti 95 % mjerene veličine odredimo iz<br />
grafičkog prikaza.<br />
Prvo izračunamo vrijednosti mjerene veličine iz kalibracijskog pravca za izmjerene<br />
vrijednosti signala y =0,5; 8 i 18.<br />
1<br />
1<br />
x = ⋅<br />
y<br />
k 2,07592<br />
( y − l) = ⋅ ( − 0,0230158)<br />
Dobije se: x=0,229; x=3,8426<br />
x=8,659<br />
Iz grafikona procijenimo slijedeće 95% intervale:<br />
x= (0,229 ± 0,38); x=(3,8426 ± 0,22); x=(8,659 ± 0,3);<br />
0.4<br />
Observed Values vs. Residuals<br />
Dependent variable: X<br />
0.2<br />
0.0<br />
Residuals<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
0 2 4 6 8 10<br />
Observed Values<br />
95% confidence
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 14<br />
Zadatak 6.<br />
Kinetika enzimske reakcije mjeri se spektrometrijski u kiveti tijekom 28<br />
sekundi od početne koncentracije supstrata od 100 mmol L -1 . Vrijednosti<br />
koncentracije zapisivani su u vremenskim razmacima od 2 sekunde i prikazani su<br />
grafički a numeričke vrijednosti su dane u tablici.<br />
c s<br />
Redni broj eksperimentalnog podatka<br />
Slika. 1. Grafički prikaz eksperimentalnih podataka mjerene koncentracije<br />
t/s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28<br />
c S 100 96,3 92,5 88,5 84,4 80,1 75,6 70,8 65,8 60,4 54,5 48,1 41 32,5 22,4<br />
Raspodjela koncentracije tijekom eksperimenta pokazuje sporu promjenu u početku<br />
za velike koncentracije supstrata, a zatim nagli pad koncentracije u području manjih<br />
koncentracija. Na osnovu ovog zapažanja pretpostavljeno je da se radi o kinetici s<br />
inhibicijom supstratom i zadatak je procijeniti kinetičke parametre u izrazu:<br />
( c )<br />
=<br />
⋅<br />
s<br />
v<br />
s<br />
vm<br />
2<br />
cs<br />
K<br />
S<br />
+ cs<br />
+<br />
K<br />
I<br />
a) Lineariziraje kinetički model i definirajte matrice podataka za procjenu<br />
parametara primjenom metode najmanjih kvadrata.<br />
b) Procijenite parametre lineariziranog modela i izračunajte kinetičke parametre.<br />
c) Usporedite rezultate procjene s eksperimentalnim podacima.<br />
c<br />
Rješenje:<br />
AD a) Kinetički model lineariziramo odreñivanjem recipročne brzine reakcije<br />
(Lineweaver-Burk-ov pravac):<br />
1<br />
v<br />
( c )<br />
s<br />
1<br />
=<br />
v<br />
m<br />
K<br />
+<br />
v<br />
s<br />
m<br />
1<br />
⋅<br />
c<br />
s<br />
+<br />
K<br />
S<br />
1<br />
⋅ K<br />
I<br />
⋅ c<br />
s<br />
odnosno kao linearnu funkciju redefiniranih varijabli i parametara. Linearna<br />
funkcija glasi:
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 15<br />
y = b<br />
sa slijedećim definiranim varijablama:<br />
i novim parametrima:<br />
0<br />
+ b1<br />
⋅ x1<br />
+ b2<br />
⋅ x2<br />
y 1 1<br />
= c<br />
= x1<br />
= x2<br />
v( cs<br />
) cs<br />
s<br />
b<br />
0<br />
1<br />
=<br />
v<br />
m<br />
b<br />
1<br />
=<br />
K<br />
v<br />
S<br />
m<br />
b<br />
2<br />
=<br />
K<br />
S<br />
1<br />
⋅ K<br />
I<br />
AD b)<br />
Na osnovu lineariziranog modela definiramo slijedeće matrice podataka<br />
⎛ y ⎞ ⎛ 1<br />
1<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ y ⎟ ⎜ 1<br />
2<br />
⎜ ⎟ =<br />
...<br />
⎜...<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ y15<br />
⎠ ⎝ 1<br />
x<br />
x<br />
x<br />
1,1<br />
2,1<br />
...<br />
16,1<br />
x<br />
x<br />
x<br />
1,2<br />
2,2<br />
...<br />
16,2<br />
⎞<br />
⎟ ⎛b<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⋅⎜<br />
b<br />
⎟ ⎜<br />
⎝b<br />
⎠<br />
0<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Uvrstimo izmjerene podatke i dobijemo:<br />
Parametri se procijene metodom najmanjih kvadrata:<br />
b =<br />
T −1<br />
T<br />
( X ⋅ X) ⋅ X ⋅ Y<br />
Za izračunavanje matričnih operacija najbolje je upotrijebiti računalni<br />
program, na primjer kao što su Mathematica ili MatLab.<br />
Prvo izračunamo produkt transponirane matrice ulaznih podataka
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 16<br />
Matrica je nesingularna i može se odrediti inverzna matrica<br />
Množenjem inverzne matrice i produkta transponirane matrice ulaznih<br />
podataka X i izlaznih podataka Y dobiju se vektor parametara b 0 , b 1 i b 2 :<br />
Kinetički parametri se izračunaju iz relacija lineariziranog modela:<br />
v<br />
1<br />
K<br />
2<br />
m<br />
=<br />
S<br />
=<br />
I<br />
=<br />
b1<br />
b1<br />
b<br />
K<br />
b<br />
b<br />
1<br />
3<br />
Uvrštavanjem dobiju se kinetički parametri:<br />
v<br />
1 −1<br />
−1<br />
max<br />
19,8795 mmol L s K<br />
S<br />
= 4,5545 mmol L K<br />
I<br />
= 10, 0542<br />
= mmol L<br />
−1<br />
AD c)<br />
Točnost procijenjenih parametara možemo provjeriti tako da procjene<br />
parametara uvrstimo u bilancu za supstrat i njezinom integracijom<br />
usporedimo eksperimentalne vrijednosti koncentracija i izračunatih na<br />
osnovu procijenjenih parametara.<br />
Dinamička bilanca za supstrat glasi:<br />
dc<br />
dt<br />
s<br />
c<br />
( 0) 100<br />
s<br />
= −vmax ⋅<br />
c =<br />
2<br />
S<br />
K<br />
S<br />
+ cS<br />
+ cS<br />
/ K<br />
I<br />
Procijenjene vrijednosti parametara uvrstimo u bilancu i numerički<br />
integriramo u intervalu vremena od 0 do 30 sekundi.<br />
Za numerički postupak je takoñer najbolje primijeniti računalnu podršku za<br />
integraciju običnih diferencijalnih jednadžbi. Najprikladniji su programi:<br />
Mathematica i MatLab.<br />
Rezultati su prikazani na slici 2.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 17<br />
c s<br />
Redni broj eksperimentalnog podatka<br />
Slika. 2. Grafički prikaz eksperimentalnih podataka i izračunatih iz procjene<br />
parametara. Eksperimentalne vrijednosti su prikazane kao točke a iz bilance kao<br />
krivulja.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 18<br />
Zadatak 7.<br />
Bilanca topline u cijevnom izmjenjivaču odreñuje se mjerenjem protoka vode q kroz<br />
središnju cijev, temperature medija u unutarnjoj cijevi na ulazu T u i izlazu T i (vidi<br />
sliku). Temperatura ogrjevnog medija (vruće ulje) duž vanjskog plašta je stalna T p ,<br />
dužina cijevi je 2 m, radijus unutarnje cijevi je 0,1 m.<br />
q T u T p<br />
T i<br />
Izmjerene su slijedeće vrijednosti:<br />
q v = 10 L min -1 , T u = 25 0 C, T i = 80 0 C, T p = 120 0 C.<br />
2a(10) Odredite prosječni koeficijent prijenosa topline.<br />
2b(15) Izračunajte relativnu postotnu pogrešku odreñivanja koeficijenta prijenosa<br />
topline ako su maksimalne pogreške mjerenja protoka i temperature<br />
∆q = 0,1 L min -1 i ∆T = 0,1 0 C.<br />
Rješenje<br />
AD1) Bilanca topline za unutarnju cijev izmjenjivača je:<br />
q<br />
v<br />
⋅ ρ ⋅<br />
c<br />
P<br />
⋅<br />
( T − T ) = S ⋅ k ⋅ ( T − T )<br />
i<br />
S je površina unutarnje cijevi a srednju temperaturu T primijenimo<br />
aritmetičku sredinu (može se upotrijebiti i logaritamska sredina za<br />
protustrujno protjecanje).<br />
1<br />
S = L ⋅ 2 ⋅ R ⋅π T = ⋅ ( T u<br />
+ T i<br />
) 2<br />
u<br />
P<br />
Koeficijent prijenosa topline je:<br />
( T − T )<br />
q ⋅ ρ ⋅ c ⋅<br />
V P i u<br />
k =<br />
⎛ T + T<br />
u i ⎞<br />
2 ⋅π<br />
⋅ R ⋅ L ⋅⎜T<br />
−<br />
P<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Zadane vrijednosti parametara pretvorimo u sukladne mjerne jedinice.<br />
q v =1/6·10 -3 m 3 s -1 S=1,25664 m 2 ρ = 1000 kg m -3 c P = 4180 J kg -1 K -1<br />
Uvrštavanjem vrijednosti u izraz za koeficijent prijenosa topline dobije se:
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 19<br />
AD 2)<br />
k = 451,724 W m -2 K -1<br />
Maksimalnu pogrešku proračuna koeficijenta prijenosa topline odredimo iz<br />
pogrešaka pojedinih instrumenata i koeficijenata osjetljivosti<br />
max ∆k<br />
=<br />
∂k<br />
∂q<br />
v<br />
⋅ max ∆q<br />
v<br />
⎛<br />
⎜ ∂k<br />
+<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂Ti<br />
+<br />
∂k<br />
∂T<br />
u<br />
+<br />
∂k<br />
∂T<br />
p<br />
⎞<br />
⎟ ⋅ max ∆T<br />
⎟<br />
⎠<br />
Koeficijenti osjetljivosti za pojedine mjerene veličine su:<br />
∂k<br />
∂q<br />
v<br />
3,32634 ⋅10<br />
=<br />
T + 0,5 ⋅<br />
P<br />
6<br />
⋅ ( Ti<br />
− Tu<br />
)<br />
( − T − T )<br />
i<br />
u<br />
= 2,7 ⋅10<br />
6<br />
∂k<br />
∂T<br />
i<br />
=<br />
q<br />
V<br />
⋅<br />
7<br />
( 1,33053 ⋅10<br />
⋅ ( T − T )<br />
( T<br />
i<br />
− 2 ⋅T<br />
P<br />
+ T<br />
u<br />
)<br />
P<br />
2<br />
u<br />
= 11,559<br />
∂k<br />
∂T<br />
u<br />
=<br />
q<br />
V<br />
⋅<br />
7<br />
( 1,33053 ⋅10<br />
⋅ ( T − T )<br />
( T<br />
i<br />
− 2 ⋅T<br />
P<br />
+ T<br />
u<br />
i<br />
)<br />
2<br />
p<br />
= 4,867<br />
∂k<br />
∂T<br />
p<br />
=<br />
q<br />
V<br />
⋅<br />
7<br />
( 1,33053 ⋅10<br />
⋅ ( T − T )<br />
( T<br />
i<br />
− 2 ⋅T<br />
P<br />
+ T<br />
u<br />
)<br />
i<br />
2<br />
u<br />
= 6,6922<br />
Maksimalne pogreške su: max ∆q v =0,1·10 -3 /60=1,6667·10 -6 m 3 s -1<br />
max ∆T=0,1 K<br />
Uvrštavanjem se dobije:<br />
max ∆k=4,482+1,1559+0,4867+0,66922= 6,7938 W m -2 K -1<br />
6,794<br />
maksimalna relativna pogreška je: max δ% = 100 = 1,5 %<br />
451,72
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 20<br />
Zadatak 8.<br />
Razina kapljevine u spremniku mjeri se odreñivanjem otpora uronjenog mjernog<br />
osjetila (na slici). Omski otpor R(h) mjeri se Ω-metrom mjernog opsega 1 k Ω i klase<br />
točnosti 0,5 %. Kalibracijska funkcije je nelinearna i dana je izrazom<br />
Poznata je vrijednosti parametara<br />
2<br />
( + ⋅ h + ⋅ )<br />
R( h)<br />
= R α β h .<br />
R<br />
0<br />
0<br />
⋅ 1<br />
= 100Ω<br />
R(h)<br />
h<br />
AD a)<br />
a) Odredite vrijednosti parametra α i β ako je izmjeren otpor 500 Ω na<br />
razini h = 1 m i otpor 1 k Ω na razini h = 2 m.<br />
b) Odredite razinu za izmjereni otpor od 725 Ω<br />
c) Kolika je relativna pogreška izmjerene razine<br />
d) Odredite klasu točnosti mjerenja razine<br />
Parametre α i β statičke karakteristike odredimo iz poznatih vrijednosti razina i<br />
otpora. Riješimo sustav linearnih jednadžbi:<br />
500 = 100 ⋅<br />
1000 = 100 ⋅<br />
Rješenja su: α =3,5 m -1 i β=0,5 m -2 .<br />
AD b)<br />
2<br />
( 1+<br />
α ⋅1+<br />
β ⋅1<br />
)<br />
2<br />
( 1+<br />
α ⋅ 2 + β ⋅ 2 )<br />
Vrijednost razine odredimo za poznatu vrijednost otpora rješavanjem kvadratne<br />
jednadžbe:<br />
2<br />
( 1+<br />
3,5 ⋅ h + 0,5 ⋅ )<br />
725 = 100 ⋅<br />
h<br />
Rješenja jednadžbe su: h=1,47494<br />
vrijednost razine h=1,47494 m.<br />
h=-8.47494, a prihvatljiva je samo prva
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 21<br />
AD c)<br />
Relativnu pogrešku razine odredimo iz pogreške otpora instrumenta klase točnosti<br />
0,5 % i mjernog opsega 1000 Ω koja iznosi 5 Ω. Pogreška razine dobije se linearizacijom<br />
statičke karakteristike za izmjerenu vrijednost razine:<br />
( 3,5 + 2 ⋅ 0, ⋅ h) ⋅ ∆h<br />
∆R<br />
= 100 ⋅ 5<br />
∆R<br />
5<br />
∆ h =<br />
=<br />
= 0, 01m<br />
100 ⋅<br />
Relativna pogreška izmjerene razine je:<br />
AD d)<br />
( 3,5 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ h) 100 ⋅ ( 3,5 + 2 ⋅ 0,5 ⋅1,47494)<br />
∆h<br />
0,01<br />
δ % = ⋅100<br />
= ⋅100<br />
= 0,67%<br />
h 1,47494<br />
Klasu točnosti mjernog pretvornika razine odredimo iz maksimalne pogreške. Prvo<br />
moramo odrediti da li je maksimalna pogreška na donjoj ili gornjoj granici mjernog<br />
opsega. Iz rezultata AD c. vidimo da pogreška opada porastom razine, a maksimalna<br />
vrijednost je na donjoj granici, dakle za h =0.<br />
h 5<br />
max ∆ =<br />
= 0,<br />
100 ⋅ ( 3,5 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0)<br />
01428m<br />
Klasa točnosti je:<br />
0,01428<br />
Kl = ⋅100<br />
= 0,7%<br />
2
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 22<br />
Zadatak 9.<br />
Protok tekućine u cijevi mjeri se odreñivanjem pada tlaka na suženju primjenom<br />
prstenastog manometra (Slika 1.). Kroz cijev radijusa 1,5 cm protječe voda. Otvor<br />
mjernog suženja ima radijus od 0,75 cm. Koeficijent suženja mlaza je k m = 0,85 a<br />
koeficijent brzine je ξ = 0,91. Prstenasti manometar ima slijedeće značajke: Dužina<br />
poluge je 35 cm, masa utega je 250 g, radijus prstena je 12 cm, a radijus cijevi<br />
manometra je 5 mm.<br />
α<br />
Slika 1. Mjerenje protoka<br />
a(10) Odredite volumni protok ako je izmjeren kut α = 25 0 .<br />
b(15) Izračunajte maksimalnu pogrešku volumnog protoka ako je kut odreñen s<br />
pogreškom od 2 0 .<br />
AD a)<br />
Razliku tlaka na mjernom suženju u cijevi odredimo iz otklona prstenastog<br />
manometra prema formuli:<br />
M ⋅ g ⋅ R<br />
p<br />
2<br />
− p1<br />
= ⋅ sin( α )<br />
S ⋅ r<br />
Prvo uskladimo mjerne jedinice podataka a zatim uvrstimo:<br />
M=250 g = 0,25 kg<br />
R= 35 cm = 0,35 m<br />
r = 12 cm =0,12 m<br />
S = π r 0 2 = 3,14·(5/1000) 2 =7,854·10 -5 m 2<br />
0,25 ⋅ 9,81⋅<br />
0,35<br />
p2 − p1<br />
=<br />
⋅ sin(25) = 38490<br />
Pa<br />
− 5<br />
7,854 ⋅10<br />
Volumni protok odredimo na osnovu relacije izvedene iz Bernoullijeve jednadžbe uz<br />
koeficijente kojima se korigira pad tlaka zbog neidealnosti tekućine:<br />
q<br />
v<br />
=<br />
ξ ⋅ km<br />
⋅ A0 2 ⋅ ( p1<br />
− p2)<br />
⋅<br />
2 2<br />
1−<br />
k ⋅ k ρ<br />
m<br />
0
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 23<br />
Prvo odredimo koeficijent otvora mjernog suženja i površinu otvora mjernog<br />
suženja:<br />
k<br />
⎛ 0,75 ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 1,5 ⎠<br />
2<br />
0<br />
=<br />
2<br />
0,25<br />
⎛ 0,75 ⎞<br />
A0 = π ⋅⎜<br />
⎟ = 1,76 ⋅10<br />
⎝ 100 ⎠<br />
Uvrstimo u izraz za protok:<br />
−4<br />
m<br />
2<br />
q v<br />
−4<br />
0,91⋅<br />
0,85 ⋅1,76<br />
⋅10<br />
2 ⋅38490<br />
3 −1<br />
−1<br />
= ⋅ = 0,00122 m s = 1,222 L s<br />
2 2<br />
1−<br />
0,85 ⋅ 0,25 1000<br />
AD b)<br />
Prvo odredimo pogrešku u odreñivanju pada tlaka zbog pogreške kuta otklona:<br />
∆( p − p ) 1<br />
=<br />
2<br />
M ⋅ g ⋅ R<br />
⋅ cos<br />
S ⋅ r<br />
( α ) ⋅ ∆α<br />
Pogrešku kuta izrazimo u radijanima:<br />
2<br />
∆α<br />
= ⋅π<br />
= 0,034906<br />
180<br />
0,25 ⋅9,81⋅<br />
0,35<br />
p2 − p1)<br />
=<br />
⋅ cos(25) ⋅ 0,034906 = 2881, 3Pa<br />
7,854 ⋅10<br />
∆( − 5<br />
Pogreška protoka odreñena je osjetljivošću statičke karakteristike o padu tlaka:<br />
∆q<br />
v<br />
=<br />
d<br />
dq<br />
( p − p )<br />
2<br />
v<br />
1<br />
⋅ ∆<br />
( p − p )<br />
2<br />
1<br />
=<br />
ξ ⋅k<br />
m<br />
1−<br />
k<br />
⋅ A<br />
2<br />
m<br />
0<br />
⋅ k<br />
2<br />
0<br />
⋅<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
ρ ⋅<br />
2<br />
( p − p )<br />
2<br />
1<br />
⋅ ∆<br />
( p − p )<br />
2<br />
1<br />
Uvrstimo vrijednosti:<br />
∆<br />
q v<br />
0,91⋅<br />
0,85 ⋅0,000176<br />
=<br />
⋅<br />
2 2<br />
1−<br />
0,85 ⋅⋅0,25<br />
= 0,45 L s<br />
−1<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
2<br />
1000⋅<br />
( 38490)<br />
⋅ 2881,3 = 0,0000459m<br />
3<br />
s<br />
−1<br />
Relativna postotna pogreška protoka je:<br />
0,45<br />
δ q v<br />
% = ⋅100<br />
= 36,82%<br />
1,222
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 24<br />
Zadatak 10.<br />
Brzina sušenja prehrambenog proizvoda ispituje se mjerenjem vlažnosti<br />
ulaznog i izlaznog zraka u laboratorijskoj protočnoj sušari s povratnim tokom. Vlažni<br />
materijal mase 10 kg nalazi se u obliku poroznog sloja u cijevi kroz koju protjeće<br />
zrak. U ulaznoj i izlaznoj struji zraka mjeri se relativna vlažnost, volumni protok i<br />
temperatura. Tlak zraka na ulazu u sušaru je približno jednak tlaku na izlazu iz sušare<br />
i iznosi p = 1 bar.<br />
ulazni tok zraka<br />
izlazni tok zraka<br />
toplina<br />
y ul q ul T ul<br />
y iz q iz T iz<br />
vlažni proizvod<br />
1a(5) Izmjerene su sljedeće vrijednosti: y ul = 15 %, q ul = 7,2 m 3 h -1 , t ul = 25 0 C,<br />
y iz = 80 %, q iz = 9,6 m 3 h -1 , t iz = 60 0 C. Odredite masu isparene vode tijekom 1<br />
h sušenja.<br />
1b(5) Izračunajte specifičnu brzinu r sušenja materija. Napomena: specifična brzina<br />
sušenja je masa isparene vode (m H20 ) po jedinici mase proizvoda (m S) i<br />
jedinici vremena (t), [r]=kg kg -1 h -1<br />
1c(15)Odredite maksimalnu relativnu pogrešku odreñivanja specifične brzine sušenja<br />
ako je maksimalna pogreška mjerenja vlažnosti 1%!<br />
Rješenje<br />
AD a)<br />
Masu isparene vode odredimo iz bilance kao razliku izlaznog i ulaznog toka vodene<br />
pare. Tlakove vodene pare odredimo iz izmjerene relativne vlažnosti primjenom<br />
Antoinove korelacije:<br />
B<br />
log PH O<br />
( Pa)<br />
= A −<br />
Ulazni tok: t ul = 25 0 C<br />
10 2<br />
0<br />
A = 10,23255<br />
B =1750,286<br />
C = 235<br />
A−<br />
B<br />
C + T( C)<br />
C+<br />
25<br />
pH O<br />
= 10 = 3167Pa<br />
2<br />
Budući da je relativna vlažnost zraka 15% tada je vlažnost zraka u ulaznoj struji<br />
p H O<br />
= 0,15 ⋅ 3167 475 Pa<br />
2<br />
=
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 25<br />
Maseni ulazni tok vode je odreñen volumnim protokom i općom plinskom<br />
jednadžbom:<br />
q<br />
⋅ q<br />
H 2O<br />
v<br />
qH<br />
2O<br />
= qv<br />
⋅γ<br />
H 2O<br />
= ⋅ M<br />
H 2O<br />
R ⋅Tul<br />
−3<br />
H 2 O<br />
⋅18<br />
⋅10<br />
= 0, 0248<br />
( 273 + 25)<br />
p<br />
475 ⋅ 7,2<br />
−<br />
= kg H<br />
2O<br />
h<br />
8,314 ⋅<br />
Isti proračun ponovimo za izlaznu struju iz sušare:<br />
A−<br />
B<br />
C+<br />
60<br />
pH O<br />
= 10 19 924Pa<br />
2<br />
=<br />
Relativna vlažnost izlazne struje je 80% tako da je tlak vodene pare:<br />
1<br />
p H O<br />
= 0,8 ⋅19924<br />
15939<br />
2<br />
=<br />
Pa<br />
Izlazni tok vode iz sušare je:<br />
q<br />
15939 ⋅ 9,6<br />
−<br />
= kg H<br />
2O<br />
h<br />
8,314 ⋅<br />
−3<br />
H 2 O<br />
⋅18<br />
⋅10<br />
= 0, 994<br />
( 273 + 60)<br />
Razlika je masa isparene vode tijekom 1 sata sušenja<br />
1<br />
∆q<br />
H<br />
2 O<br />
= 0,994 − 0,0248 = 0, 969<br />
kg H O h<br />
2<br />
−1<br />
AD b)<br />
Specifična brzina sušenja r je masa isparene vode u jednom satu po masi materijala<br />
r sušenja<br />
−1<br />
0,969<br />
kg H<br />
2O h<br />
−1<br />
= = 0,097 h<br />
10kg<br />
AD c)<br />
Za analizu pogreške specifične brzine sušenja prvo odredimo pogreške ulaznih i<br />
izlaznih masenih tokova vode:<br />
za ulazni tok:<br />
−1<br />
∆q<br />
H 2 O<br />
= 0,01⋅<br />
0,0248 = 0, 000248kg H<br />
2O<br />
h<br />
za izlazni tok:<br />
−1<br />
∆q<br />
H 2 O<br />
= 0,01⋅<br />
0,994 = 0, 00994kg H<br />
2O<br />
h<br />
Ukupna maksimalna pogreška je zbroj: 0,00994+0,000248=0,010 kg H 2 O h -1<br />
maksimalna pogreška specifične brzine sušenja je 0,001 h -1 , odnosno 1,03 %.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 26<br />
Zadatak 11.<br />
Odredite prijenosnu funkciju regulacijskog kruga za stabilizaciju temperature<br />
u bioreaktoru s izmjenjivačem topline u obliku plašta. Nacrtajte procesnu shemu i<br />
sustavski prikaz s prijenosnim funkcijama. Na prikazu naznačite sve bitne<br />
elemente te ulazne i izlazne veličine regulacijskog sustava.<br />
Rješenje:<br />
Shematski prikaz procesa uključuje slijedeće elemente: bioreaktor, izmjenjivač<br />
topline, sustav za napajanje supstratima i izdvajanje produkta, mjerni sustav, izvršni<br />
sustav, i ulazno izlazne tokove.<br />
ulazni tokovi<br />
regulacijski<br />
ventil<br />
izlazni tokovi<br />
Regulator<br />
termometar Pt 100<br />
Izmjenjivač<br />
Bioreaktor<br />
Procesna shema s regulacijom temperature. Osnovni procesni elementi su:<br />
bioreaktor, izmjenjivač topline, sustav za mjerenje temperature, regulator i<br />
regulacijski ventili su izvršni elementi za upravljanje.<br />
Osnovni elementi regulacijskog kruga su: prijenosna funkcije procesa (biorekator s<br />
izmjenjivačem topline), prijenosna funkcija mjernog sustava za temperaturu (Pt 100 ),<br />
prijenosna funkcija regulatora (PID regulator), i prijenosna funkcija izvršnog sustava<br />
(regulacijski ventil). Povezani u negativnu povratnu vezu tvore regulacijski sustav.<br />
ulazna procesna<br />
veličina X P (s)<br />
+<br />
v<br />
-<br />
z<br />
proces<br />
W P (s)<br />
izlazna veličina Y(s)<br />
temperatura u biorektoru<br />
izvršni sustav<br />
W I (s)<br />
mjerni sustav<br />
W M (s)<br />
u<br />
referentna<br />
temperatura X I (s)<br />
regulator<br />
W R (s)<br />
ε<br />
Y M<br />
+<br />
-
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 27<br />
Prijenosne funkcije sustava odreñujemo izvoñenjem relacija izmeñu pojedinih<br />
parova ulaznih i izlaznih veličina.<br />
Na primjer, izlazna veličina mjernog sustava je mjerni signal Y M koji je odreñen<br />
dinamikom mjernog sustava, prijenosne funkcije W M , i promjene izlazne veličine Y<br />
(temperatura u bioreaktoru):<br />
Y<br />
M<br />
( s) = W ( s) ⋅Y( s)<br />
Razlika mjernog signala (izmjerene temperature) i ulazne informacijske veličine , to<br />
je referentna temperatura (odnosno optimalna radna temperatura koju održavamo),<br />
je regulacijsko odstupanje ε<br />
ε<br />
M<br />
( s) = Y ( s) − X ( s)<br />
Regulacijsko odstupanje je ulazna veličina za regulator koji daje upravljačku<br />
veličinu u(s) kao izlaznu veličinu:<br />
M<br />
I<br />
( s) ⋅ ( s)<br />
u(<br />
s)<br />
= WR ε<br />
Upravljačka veličine je ulazna veličina za izvršni sustav (regulacijski ventil) koji<br />
upravljački signal pretvara u promjenu protoka<br />
v(<br />
s)<br />
= WI ⋅<br />
( s) u( s)<br />
Izlazna veličina je odreñena prijenosnom funkcijom procesa<br />
Y<br />
( s) = W ( s) ⋅ ( x ( s) −ν<br />
( s)<br />
)<br />
Uvrstimo prethodne relacije u zadnju:<br />
Y s = W s ⋅ x s −W<br />
s ⋅u<br />
s = W s ⋅ x s −W<br />
s ⋅W<br />
s ⋅ε<br />
s<br />
( )<br />
P<br />
( ) (<br />
P<br />
( )<br />
I<br />
( ) ( )) P<br />
( ) (<br />
P<br />
( )<br />
I<br />
( )<br />
R<br />
( ) ( ))<br />
WP<br />
( s) ⋅ ( X<br />
P<br />
( s) −WI<br />
( s) ⋅WR<br />
( s) ⋅ ( YM<br />
( s) − X<br />
I<br />
( s)<br />
))<br />
=<br />
W ( s) ⋅ ( X ( s) −W<br />
( s) ⋅W<br />
( s) ⋅ ( W ( s) ⋅Y<br />
( s) − X ( s)<br />
))<br />
P<br />
P<br />
Riješimo jednadžbu za izlaznu veličinu Y(s)<br />
Y<br />
I<br />
R<br />
P<br />
M<br />
( s) ⋅ ( 1 + W ( s) ⋅W<br />
( s) ⋅W<br />
( s) ⋅W<br />
( s)<br />
) = W ( s) ⋅ X ( s) + W ( s) ⋅W<br />
( s) ⋅W<br />
( s) ⋅ X ( s)<br />
Rezultat je:<br />
Y<br />
( s)<br />
=<br />
P<br />
I<br />
WP<br />
( s)<br />
⋅<br />
( 1+<br />
WP<br />
( s) ⋅WI<br />
( s) ⋅WR<br />
( s) ⋅WM<br />
( s)<br />
)<br />
WP<br />
( s) ⋅WI<br />
( s) ⋅WR<br />
( s)<br />
( 1+<br />
W ( s) ⋅W<br />
( s) ⋅W<br />
( s) ⋅W<br />
( s)<br />
)<br />
P<br />
I<br />
R<br />
R<br />
M<br />
M<br />
X<br />
P<br />
P<br />
⋅ X<br />
P<br />
( s)<br />
I<br />
( s)<br />
+<br />
P<br />
I<br />
P<br />
I<br />
=<br />
R<br />
I
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 28<br />
Zadatak 12<br />
Na slici je prikazan standardni regulacijski krug s negativnom povratnom<br />
vezom. Na proces djeluju dvije ulazne veličine X P1 i X P2 . Prva ulazna procesna<br />
veličina X P1 je promjenljiva i njezina promjena je poremećaj koji se kompenzira<br />
djelovanjem regulatora. Druga ulazna procesna veličina X P2 je podesiva<br />
(mainpulativna) i ona se podešava djelovanjem regulatora. Na sustav takoñer djeluje<br />
i ulazna informacijska veličina X I koja je informacija o referentnoj vrijednosti<br />
izlazne veličine Y R . Dinamika procesa je odreñena sa dvije prijenosne funkcije W P1 i<br />
W P2 , a regulacijski krug ima slijedeće prijenosne funkcije: W M za mjerni sustav, W R<br />
je prijenosna funkcija regulatora, a izvršni sustav ima prijenosnu funkciju W I .<br />
X P1<br />
WP 1<br />
+<br />
Y<br />
+<br />
+<br />
WP 2<br />
X P2 -<br />
X I<br />
W I W M<br />
+<br />
W R<br />
-<br />
Zadaci:<br />
a) Odredite prijenosne funkcije sustava W 1 , W 2 i W 3 za tri ulazne veličine, dvije<br />
procesne i jednu ulaznu veličinu.<br />
b) Zadane su prijenosne funkcije mjernog i izvršnog sustava, W M =1 i W I =1.<br />
Prijenosne funkcije procesa su prvog stupnja,<br />
k1<br />
k2<br />
WP<br />
1<br />
=<br />
WP2<br />
= . Odredite kako polovi prijenosne funkcije<br />
τ<br />
1<br />
⋅ s + 1 τ<br />
2<br />
⋅ s + 1<br />
W 1 za poremećaj X P1 i za W 3 ulaznu informacijsku veličini X I zavisi o<br />
pojačanju regulatora, W R =k R , za slijedeće vrijednosti vrijednosti parametara<br />
procesa k<br />
1<br />
= 1,<br />
τ<br />
1<br />
= 2, k<br />
2<br />
= 0,5 i τ<br />
2<br />
= 1.<br />
c) Odredite promjenu izlazne veličine za pojačanje regulatora k R =2 pobuñenu<br />
trenutačnim impulsnim poremećajem prve ulazne veličine x P1 =δ(t).<br />
d) Odredite promjenu izlazne veličine za pojačanje regulatora k R =2 pobuñenu<br />
trenutačnim impulsnim poremećajem informacijske ulazne veličine X I =δ(t).
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 29<br />
Rješenje:<br />
Prijenosne funkcije regulacijskog sustava možemo odrediti rješavanjem sustava<br />
linearnih jednadžbi izvedenih iz relacija za pojedine podsustave (pojedine prijenosne<br />
funkcije).<br />
Za izvoñenje relacija uvedemo nazive pojedinih veličina prema vlastitom izboru. Na<br />
slici je dan prikaz s nazivima pojedinih veličina<br />
X P1<br />
t1<br />
WP 1<br />
+<br />
Y<br />
+ v<br />
t2 +<br />
WP 2<br />
X P2 -<br />
X I<br />
W M<br />
u<br />
W I<br />
+<br />
W R<br />
e<br />
ym<br />
-<br />
Relacije izvodimo počevši od izlazne veličine:<br />
Y = t1<br />
+ t2<br />
t1<br />
= WP ⋅ X<br />
t2<br />
= WP ⋅ v<br />
v = X<br />
u = W<br />
P2<br />
R<br />
1<br />
e = ym − X<br />
ym = W<br />
Relacije uvrštavamo slijedom od početka:<br />
Y<br />
2<br />
−W<br />
⋅ e<br />
M<br />
P1<br />
I<br />
⋅Y<br />
I<br />
⋅ u<br />
Y = WP1<br />
⋅ X<br />
P1<br />
+ WP2<br />
⋅ v<br />
WP ⋅ X + WP ⋅ X −W<br />
Y =<br />
1 P1<br />
2<br />
Y = WP1<br />
⋅ X<br />
P<br />
+<br />
1<br />
2<br />
= WP1<br />
⋅ X<br />
P<br />
+ WP<br />
1 2 2<br />
= WP1<br />
⋅ X<br />
P<br />
+ WP ⋅<br />
1 2 P2<br />
I R<br />
Y<br />
2<br />
(<br />
P I<br />
⋅ u)<br />
WP2<br />
⋅ ( X<br />
P<br />
−WI<br />
⋅WR<br />
⋅ e)<br />
⋅ ( X<br />
P<br />
−WI<br />
⋅WR<br />
⋅ ( ym − X<br />
I<br />
))<br />
( X −W<br />
⋅W<br />
⋅ ( W ⋅Y<br />
− X ))<br />
M<br />
I
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 30<br />
Izdvojimo izlaznu veličinu kao nepoznanicu a ulazne veličine kao nezavisne<br />
varijable zadržimo na desnoj strani:<br />
( 1 + WP2<br />
⋅WI<br />
⋅WR<br />
⋅WM<br />
) ⋅Y<br />
= WP1<br />
⋅ X<br />
P1<br />
+ WP2<br />
⋅ X<br />
P2<br />
+ WP2<br />
⋅WI<br />
⋅WR<br />
⋅ X<br />
I<br />
Y<br />
=<br />
WP<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
2<br />
I<br />
WP<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
2<br />
I<br />
WP ⋅W<br />
I<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
2<br />
2<br />
I<br />
1<br />
2<br />
I<br />
R<br />
R<br />
⋅W<br />
R<br />
R<br />
M<br />
M<br />
M<br />
⋅ X<br />
⋅ X<br />
⋅ X<br />
P1<br />
P2<br />
+<br />
+<br />
Pojedine prijenosne funkcije sustava su:<br />
X P1<br />
W 1<br />
X P2<br />
W 2<br />
+<br />
+<br />
Y<br />
+<br />
X I<br />
W 3<br />
Y<br />
= W1<br />
⋅ X<br />
P1<br />
+ W2<br />
⋅ X<br />
P2<br />
+ W3<br />
W<br />
W<br />
2<br />
W<br />
1<br />
3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
WP<br />
⋅ X<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
2<br />
I<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
I<br />
I<br />
WP<br />
WP ⋅W<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
I<br />
1<br />
R<br />
R<br />
R<br />
⋅W<br />
R<br />
M<br />
M<br />
M<br />
I<br />
b)<br />
Polove regulacijskog sustava odredimo za zadane prijenosne funkcije koje<br />
uvrštavamo u izvedene izraze:<br />
k1<br />
k2<br />
τ<br />
1<br />
⋅ s + 1<br />
τ<br />
2<br />
⋅ s + 1<br />
W1<br />
=<br />
W3<br />
=<br />
k2<br />
k2<br />
1+<br />
⋅ k R<br />
1+<br />
⋅ k R<br />
τ<br />
2<br />
⋅ s + 1<br />
τ<br />
2<br />
⋅ s + 1<br />
Pojednostavnimo dvostruki razlomak:
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 31<br />
W<br />
1<br />
=<br />
k1<br />
⋅ ( τ<br />
2<br />
⋅ s + 1)<br />
( τ<br />
1<br />
⋅ s + 1) ⋅ ( τ<br />
2<br />
⋅ s + 1) + k2<br />
⋅ k<br />
R<br />
W<br />
3<br />
k2<br />
=<br />
τ ⋅ s + 1+<br />
k<br />
2<br />
2<br />
⋅<br />
k R<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara:<br />
W<br />
1<br />
=<br />
1⋅<br />
( 1⋅<br />
s + 1)<br />
( 2 ⋅ s + 1) ⋅ ( 1⋅<br />
s + 1) + 0,5 ⋅ k<br />
R<br />
W<br />
3<br />
0,5<br />
=<br />
1⋅<br />
s + 1+<br />
0,5 ⋅<br />
k R<br />
Polovi su nultočke polinoma u nazivniku:<br />
2<br />
2 ⋅ s + 3⋅<br />
s + 1+<br />
0,5 ⋅ k = 0 i s 1 + 0,5 ⋅ k = 0<br />
s<br />
1 ⎛ 1<br />
= ⋅⎜<br />
− 3 ± 2 ⋅ − k<br />
r<br />
4 ⎝ 4<br />
R<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+<br />
R<br />
s = −1<br />
− 0, 5 ⋅ k<br />
1 ,2<br />
i<br />
r<br />
Za ulaznu poremećajnu veličini polovi su negativni i realni uz uvjet da je pojačanje<br />
regulatora pozitivno i maje od 0,25, 0 ≤ k r<br />
≤ 0, 25. Za pojačanje iznad 0,25 polovi<br />
su konjugirano kompleksni i dolazi do titrajnog odziva.<br />
Za ulaznu informacijsku veličinu postoji samo jedan realan i negativan pol koji se<br />
udaljava od imaginarne osi povećanjem pojačanja, odnosno dolazi do eksponencijalnog<br />
odziva koji ubrzava pomicanjem pola od imaginarne osi.<br />
c) Promjena izlazne veličine pobuñene promjenom prve ulazne procesne veličine je<br />
odreñena prijenosnom funkcijom W 1<br />
Y = W ⋅ X<br />
1<br />
P1<br />
=<br />
( 1+<br />
WP ⋅W<br />
⋅W<br />
⋅W<br />
)<br />
2<br />
WP<br />
I<br />
1<br />
R<br />
i trans-<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara procesa, pojačanje regulatora k r =2,<br />
formaciju ulaznog poremećaja X ( t) = ( t) X ( s) 1<br />
M<br />
⋅ X<br />
P1<br />
P1 δ<br />
P1<br />
=<br />
Y<br />
=<br />
1⋅<br />
( 1⋅<br />
s + 1)<br />
s + 1<br />
⋅1<br />
=<br />
2<br />
( 2 ⋅ s + 1) ⋅ ( 1⋅<br />
s + 1) + 0,5 ⋅ k 2 ⋅ s + 3⋅<br />
s + 2<br />
R<br />
Nultočke nazivnika su konjugirano kompleksni:<br />
2<br />
1<br />
2 ⋅ s + 3⋅<br />
s + 2 = 0 s1<br />
,2<br />
= ⋅ ( − 3 ± 7 ⋅i)<br />
4<br />
Promjenu izlazne veličine odredimo inverzijom Laplaceove transformacije<br />
uporabom formula 17 i 26 iz Tablica.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 32<br />
17.<br />
s<br />
2<br />
ω<br />
n<br />
+ 2⋅ξ ⋅ω<br />
⋅ s + ω<br />
2 2<br />
n n<br />
1 −ξ⋅ω<br />
n⋅t<br />
⋅ω<br />
⋅e<br />
⋅sin<br />
2<br />
n<br />
n<br />
z<br />
( ω ⋅ z⋅t) z = 1−ξ<br />
ξ < 1<br />
26.<br />
s<br />
2<br />
ω<br />
n<br />
⋅ s<br />
2 ξ ω s<br />
n −ξ<br />
⋅ω<br />
n⋅t<br />
( )<br />
+ ⋅ ⋅ ⋅ +<br />
⋅e<br />
⋅sin<br />
ωn<br />
⋅ z ⋅t<br />
+ Φ<br />
ω<br />
2 2<br />
n n<br />
2<br />
ω<br />
ξ < 1<br />
z<br />
⎛ ⎞<br />
= −<br />
2<br />
z<br />
z 1 ξ Φ = arctan⎜<br />
− ⎟<br />
⎝ ξ ⎠<br />
Izraz za Y(s) napišemo u skladu s formulama 17 i 26 na slijedeći način:<br />
Y<br />
( s)<br />
= 0,5 ⋅<br />
s<br />
2<br />
1<br />
+ 0,5 ⋅<br />
3<br />
+ ⋅ s + 1 s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
3<br />
+ ⋅ s + 1<br />
2<br />
3 9 1<br />
Usporedbom dobijemo ω n<br />
= 1 ξ = z = 1−<br />
= ⋅ 7<br />
4 16 4<br />
Uvrštavanjem dobije se konačni izraz:<br />
y<br />
( t)<br />
3<br />
1 − ⋅t<br />
4<br />
= ⋅ e<br />
14<br />
⎛ ⎛<br />
⋅ ⎜7<br />
⋅ cos⎜<br />
⎝ ⎝<br />
7 ⎞<br />
⋅t<br />
⎟<br />
+<br />
4 ⎠<br />
⎛<br />
7 ⋅sin⎜<br />
⎝<br />
7 ⎞⎞<br />
⋅ t ⎟⎟<br />
4<br />
⎠⎠<br />
Rezultat možemo prikazati grafički (uporabom računalne podrške, npr. W.R.<br />
Mathematica ili Matlab.<br />
0.5<br />
y(t)<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
2 4 6 8 10<br />
t
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 33<br />
d) Promjena izlazne veličine pobuñene promjenom ulazne informacijske veličine je<br />
odreñena prijenosnom funkcijom W 3<br />
Y<br />
= W<br />
3<br />
⋅ X<br />
I<br />
k<br />
=<br />
τ ⋅ s +<br />
2<br />
2<br />
1+<br />
k2<br />
⋅ k<br />
R<br />
0,5<br />
=<br />
=<br />
1⋅<br />
s + 1+<br />
0,5 ⋅ 2<br />
0,5<br />
s + 2<br />
Izlaznu promjenu tijekom vremena odredimo transformacijom br. 5 iz Tablica<br />
5.<br />
1<br />
s − a<br />
e a⋅t<br />
y<br />
1<br />
2<br />
−2⋅t<br />
( t) = ⋅ e<br />
Grafički prikaz rezultata je<br />
0.5<br />
y(t)<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
t<br />
2 4 6 8 10<br />
Komentar: Interesantni zaključci se mogu uočiti kada usporedimo grafičke prikaze<br />
promjena nastalih promjenom procesne i informacijske veličine.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 34<br />
Zadatak 13<br />
Odredite prijenosne funkcije regulacijskog sustava s modelom poremećaja<br />
izlazne veličine (prikazano na slici). Poremećaj izlazne veličine, označeno s Y d , d<br />
označava poremećaj ( d = „disturbance“), je model za ukupan utjecaj okoline na<br />
stanje procesa i poremećaje koji nastaju u samom procesu. U prikazu sustava su<br />
izostavljene prijenosne funkcije mjernog i izvršnog podsustava, pretpostavljeno je<br />
da su značajke idealne, odnosno prijenosne funkcije su konstante vrijednosti W=1.<br />
+<br />
+<br />
W P<br />
X p<br />
-<br />
Y d<br />
Y<br />
+<br />
+<br />
W R<br />
-<br />
X I<br />
Zadaci<br />
a) Odredite prijenosne funkcije za ulaznu procesnu veličinu X p , poremećaj izlazne<br />
veličine Y d , i ulazne informacijske veličine X I.<br />
b) Odredite izraz za izlaznu veličinu procesa Y u uvjetima regulacije stacionarnog<br />
stanja kada su zanemarivi poremećaju ulazne procesne veličine i ulazne<br />
informacijske veličine.<br />
Rješenje<br />
a) Prijenosne funkcije odredimo rješavanjem sustava linearnih jednadžbi koje<br />
povezuju prijenosne funkcije i pojedine veličine.<br />
Započinjemo s izrazom za izlaznu veličinu<br />
( X − u)<br />
Y = Yd<br />
+ WP<br />
⋅<br />
P<br />
Napisani izraz pokazuje daje izlazna veličina zbroj poremećaja izlazne veličine i<br />
djelovanja ulazne procesne i upravljačke veličine u regulatora na proces W P .<br />
Izraz za upravljačku veličinu je:<br />
u = W<br />
⋅<br />
( Y − )<br />
R<br />
X I
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 35<br />
Uvrstimo drugu jednadžbu u prvu i dobijemo:<br />
Y<br />
= Y<br />
d<br />
+ W<br />
P<br />
⋅<br />
( X −W<br />
⋅ ( Y − X ))<br />
P<br />
R<br />
I<br />
Y<br />
= Y<br />
d<br />
+ W<br />
P<br />
⋅ X<br />
P<br />
−W<br />
P<br />
⋅W<br />
R<br />
⋅Y<br />
+ W<br />
P<br />
⋅W<br />
R<br />
⋅ X<br />
I<br />
Riješimo dobivenu jednadžbu za izlaznu veličinu<br />
b)<br />
Y<br />
W<br />
=<br />
1+<br />
W<br />
P<br />
P<br />
⋅W<br />
R<br />
⋅ X<br />
P<br />
WP<br />
⋅WR<br />
+<br />
1+<br />
W ⋅W<br />
P<br />
R<br />
⋅ X<br />
I<br />
1<br />
+<br />
1+<br />
W ⋅W<br />
P<br />
R<br />
⋅Y<br />
d<br />
U uvjetima održavanja stacionarnog stanja i uz pretpostavku da nema<br />
poremećaja ulazne procesne i informacijske veličine, odnosno pretpostavljamo da su<br />
te veličine idealne konstante, tada jedini poremećaj u sustavu je posljedica<br />
poremećaja izlazne veličine:<br />
Y = 1<br />
1 + W ⋅W<br />
P<br />
R<br />
⋅Y<br />
d
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 36<br />
Zadatak 14<br />
Analizirajte vladanje regulacije koncentracije supstrata u protočnom<br />
bioreaktoru (na primjer u procesu biološke obrade otpadne vode, prikazano na slici<br />
1.). Pretpostavite da je tijekom procesa koncentracija biomase konstantna a<br />
koncentracija suspstrata znatno manja od Monod-ove konstante zasićenja.<br />
W P<br />
+<br />
s u s<br />
-<br />
W R<br />
+<br />
-<br />
Zadaci:<br />
a) Odredite prijenosnu funkciju procesa za slijedeće vrijednosti parametara:<br />
volumen bioreaktora (bio-bazena za biološku obradu otpadne vode) V = 100<br />
m 3 , volumni protok otpadne vode q = 5 m 3 h -1 , Monod-ova konstanta<br />
zasićenja K S = 2500 KPK, (kemijska potreba za kisikom KPK ima jedinicu<br />
mgO 2 L -1 ), koncentracija supstrata u ulaznom toku c su = 150 KPK,<br />
−1<br />
maksimalna specifična brzina rasta biomase µ<br />
m<br />
= 0,001h<br />
, koncentracija<br />
biomase je c X = 5 g s.t. L -1 , koeficijent prinosa biomase na supstratu je Y X/S =<br />
0,02.<br />
b) Odredite prijenosnu funkciju reguliranog procesa. U negativnoj povratnoj<br />
vezi je proporcionalan regulator. Ulazna veličina je koncentracija supstrata u<br />
ulaznom toku, izlazna veličina je koncentracija suspstrata u izlaznom toku.<br />
c) Izračunajte promjenu izlazne veličine kada se ulazna koncentracija promijeni<br />
kao trenutačni impuls (Diracov impuls) bez regulacije i kada je uključen<br />
regulator pojačanja k R = 10.<br />
Rješenje:<br />
ad a)<br />
Bilanca supstrata je dana izrazom:<br />
dcS<br />
1<br />
V = q ⋅ cSu<br />
− q ⋅ cS<br />
−V<br />
⋅ ⋅ µ<br />
m<br />
dt<br />
Y<br />
X / S<br />
cS<br />
⋅<br />
K + c<br />
S<br />
S<br />
⋅ c<br />
X<br />
Nelinearni Monod-ov kinetički model se može pojednostavniti iz uvjeta c S
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 37<br />
dc<br />
V<br />
dt<br />
Transformacija bilance je:<br />
S<br />
= q ⋅ c<br />
Su<br />
− q ⋅ c<br />
S<br />
µ<br />
m<br />
−V<br />
⋅<br />
Y<br />
X / S<br />
c<br />
⋅<br />
K<br />
X<br />
S<br />
⋅ c<br />
S<br />
V ⋅ s ⋅C<br />
V ⋅ s ⋅C<br />
S<br />
S<br />
c<br />
K<br />
m X<br />
( s) = q ⋅ C ( s) − q ⋅C( S ) −V<br />
⋅ ⋅ ⋅C<br />
( s)<br />
Su<br />
c<br />
K<br />
Y<br />
µ<br />
X / S<br />
m X<br />
( s) + q ⋅ C ( s) + V ⋅ ⋅ ⋅C<br />
( s) = q ⋅ C ( s)<br />
S<br />
Y<br />
µ<br />
X / S<br />
S<br />
S<br />
S<br />
S<br />
Su<br />
W<br />
P<br />
( s)<br />
C<br />
=<br />
C<br />
S<br />
Su<br />
( s)<br />
( s)<br />
q<br />
=<br />
µ<br />
m<br />
V ⋅ s + q + V ⋅<br />
Y<br />
X / S<br />
c<br />
⋅<br />
K<br />
X<br />
S<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara:<br />
W P<br />
( s)<br />
5<br />
=<br />
0,001<br />
100 ⋅ s + 5 + 100 ⋅ ⋅<br />
0,02<br />
5<br />
2500<br />
0,98<br />
=<br />
19,6 ⋅ s + 1<br />
ad b)<br />
Prijenosna funkcija reguliranog procesa za negativnu povratnu vezu odreñena je<br />
izrazom:<br />
W<br />
( s)<br />
W<br />
= 1+ W<br />
P<br />
P<br />
( s)<br />
( s) ⋅W<br />
( s)<br />
Uvrstimo prijenosnu funkciju procesa i proporcionalnog regulatora:<br />
R<br />
W<br />
( s)<br />
0,98<br />
19,6 ⋅ s + 1<br />
=<br />
0,98<br />
1+<br />
⋅ k<br />
19,6 ⋅ s + 1<br />
R<br />
0,98<br />
=<br />
19,6 ⋅ s + 1+<br />
0,98 ⋅ k<br />
R<br />
Promjena izlazne veličine kada proces nije reguliran odreñen je produktom<br />
prijenosne funkcije procesa i prijenosne funkcije ulazne veličine:<br />
Inverzijom izračunamo:<br />
C<br />
S<br />
0,98<br />
19,6 ⋅ s + 1<br />
( s) = ⋅ C ( s)<br />
c<br />
S<br />
Su<br />
0,98<br />
19,6<br />
−<br />
19, 6<br />
( t) = ⋅ e<br />
0,98<br />
=<br />
19,6 ⋅ s + 1<br />
t
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 38<br />
Za regulirani proces<br />
C S<br />
( s)<br />
0,98<br />
0,09<br />
=<br />
=<br />
19,6 ⋅ s + 1+<br />
0,98 ⋅10<br />
1,81 ⋅ s + 1<br />
Inverzijom odredimo vremensku promjenu izlazne veličine<br />
c<br />
S<br />
0,09<br />
1,81<br />
−<br />
1, 81<br />
( t) = ⋅ e<br />
t<br />
Na slici su prikazani rezultati promjene izlazne veličine tijekom 24 sata kada je<br />
proces bez regulacije i sa regulacijom.<br />
c S<br />
0.05<br />
0.04<br />
0.03<br />
bez regulacije<br />
0.02<br />
0.01<br />
sa regulacijom<br />
5 10 15 20<br />
t/h
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 39<br />
Zadatak 15<br />
Izračunajte prijenosne funkcije (matricu) sustava sa dvije ulazne i dvije<br />
izlazne veličine (prikazanog na slici)<br />
X 1<br />
Y 1<br />
W(s)<br />
X 2 Y 2<br />
zadanog sa sustavom od dvije linearne jednadžbe:<br />
Rješenje<br />
dy<br />
2 ⋅<br />
dt<br />
1<br />
dy<br />
− 3⋅<br />
dt<br />
2<br />
+ y<br />
t<br />
1<br />
2<br />
− ⋅ + 2 ⋅ + y2<br />
+<br />
dt dt<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
= 4 ⋅ x<br />
1<br />
1<br />
+<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
t<br />
∫<br />
0<br />
x<br />
1<br />
2<br />
⋅ dt<br />
dy dy<br />
3 y ⋅ dt = 2 ⋅ x + 5⋅<br />
x<br />
2<br />
Primijenimo Laplaceove transformacije za sustav jednadžbi:<br />
1 1<br />
2 ⋅ s ⋅Y1<br />
− 3⋅<br />
s ⋅Y2<br />
+ Y1<br />
= 4 ⋅ X<br />
1<br />
+ ⋅ ⋅ X<br />
2<br />
2 s<br />
1<br />
− 3⋅<br />
s ⋅Y1 + 2 ⋅ s ⋅Y2<br />
+ Y2<br />
+ ⋅Y1<br />
= 2 ⋅ X<br />
1<br />
+ 5 ⋅ X<br />
s<br />
Izlazne zavisne veličine, koje su nepoznanice, izdvojimo na lijevoj strani, a ulazne<br />
nezavisne veličine izdvojimo na desnoj strani sustava jednadžbi:<br />
( 2 ⋅ s + 1)<br />
⋅Y<br />
− 3⋅<br />
s ⋅Y<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜−<br />
3⋅<br />
s + ⎟ ⋅Y<br />
⎝ s ⎠<br />
Isto napisano u matričnom obliku je:<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+ 2 ⋅ s ⋅Y<br />
= 4 ⋅ X<br />
2<br />
1<br />
+<br />
= 2 ⋅ X<br />
1<br />
2 ⋅ s<br />
1<br />
⋅ X<br />
2<br />
+ 5⋅<br />
X<br />
2<br />
2<br />
⎛ 2 ⋅ s + 1<br />
⎜ 1<br />
⎜−<br />
3⋅<br />
s +<br />
⎝ s<br />
− 3⋅<br />
s⎞<br />
⎟ ⎛Y<br />
⋅⎜<br />
2 ⋅ s ⎟<br />
⎠ ⎝Y<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎜4<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝2<br />
1 ⎞<br />
⎟ ⎛ X<br />
2 ⋅ s ⋅⎜<br />
⎟<br />
5 ⎠<br />
⎝ X<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Riješimo inverzijom matrice:<br />
⎛Y<br />
⎜<br />
⎝Y<br />
1<br />
2<br />
⎞ ⎛ 2 ⋅ s + 1<br />
⎜<br />
⎟ = 1<br />
⎠ ⎜−<br />
3⋅<br />
s +<br />
⎝ s<br />
− 3⋅<br />
s⎞<br />
⎟<br />
2 ⋅ s ⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
⎛<br />
⎜4<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝2<br />
1 ⎞<br />
⎟ ⎛ X<br />
2 ⋅ s ⋅<br />
⎜<br />
⎟<br />
5 ⎠<br />
⎝ X<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 40<br />
Inverznu matricu odredimo prema pravilu:<br />
Determinanta je:<br />
⎛ 2 ⋅ s + 1<br />
A = ⎜ 1<br />
⎜−<br />
3⋅<br />
s +<br />
⎝ s<br />
−1 Adj<br />
A =<br />
Nakon adjungacije inverzna matrica je:<br />
− 3⋅<br />
s⎞<br />
⎟<br />
2 ⋅ s ⎟<br />
⎠<br />
A<br />
( )<br />
A<br />
A = 3 + 2 ⋅ s − 5 ⋅ s<br />
2<br />
A<br />
Provedemo množenje matrica:<br />
1<br />
1<br />
=<br />
3 + 2 ⋅ s − 5⋅<br />
s<br />
2<br />
⎛ 2 ⋅ s<br />
⋅ ⎜ 1<br />
⎜3⋅<br />
s −<br />
⎝ s<br />
3⋅<br />
s ⎞<br />
⎟<br />
1+<br />
2 ⋅ s⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜4<br />
B =<br />
⎜<br />
⎝2<br />
W A<br />
= −1<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
2 ⋅ s ⎟<br />
5 ⎠<br />
⋅ B<br />
Konačni rezultat je matrica prijenosnih funkcija:<br />
W<br />
5⋅<br />
s<br />
1 ⎛<br />
⋅ ⎜<br />
− 2 ⋅ s − 3 ⎝2<br />
⋅<br />
14 ⋅ s<br />
1+<br />
15 ⋅ s<br />
=<br />
2<br />
3<br />
⎟<br />
2<br />
2<br />
( − 2 + s + 8⋅<br />
s ) 1−13⋅<br />
s − 20 ⋅ s<br />
⎞<br />
⎠<br />
Rezultat možemo prikazati slijedećim blok dijagramom:<br />
X 1<br />
X 2<br />
14 ⋅ s<br />
3 + 2 ⋅ s − 5⋅<br />
s<br />
1+<br />
15⋅<br />
s<br />
3 + 2 ⋅ s − 5⋅<br />
s<br />
2<br />
2 ⋅ ( − 2 + s + 8⋅<br />
s )<br />
2<br />
( − 3 − 2 ⋅ s + 5⋅<br />
s )<br />
−<br />
1−13⋅<br />
s<br />
2<br />
2<br />
( − 3 − 2 ⋅ s + 5⋅<br />
s )<br />
2<br />
2<br />
− 20 ⋅ s<br />
3<br />
Y 1<br />
Y 2<br />
Do istog rezultata se može doći i bez matričnog računa kada se sustav jednadžbi<br />
riješi metodom supstitucije.
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 41<br />
Zadatak 16<br />
Odredite prijenosne funkcije za protočni kemijski reaktor u kojem se provodi<br />
izotermna reakcija prvog reda A → B . Reakcija se provodi uz stalan protok i<br />
volumen. Zadane su slijedeće vrijednosti parametara: V = 10 L, q = 5 L/min,<br />
k = 0,2 min -1 .<br />
C Au<br />
W A<br />
C A<br />
C Au<br />
W B<br />
C B<br />
Zadaci:<br />
a) Odredite prijenosnu funkciju W A ako je ulazna veličina koncentracija<br />
reaktanta u pritoku a izlazna veličina koncentracija reaktanta u izlaznom<br />
toku.<br />
b) Odredite prijenosnu funkciju W B ako je ulazna veličina koncentracija<br />
reaktanta u pritoku a izlazna veličina koncentracija produkta u izlaznom<br />
toku.<br />
c) Odredite promjenu koncentracije reaktanta i produkta ako se ulazna<br />
koncentracija promjeni kao trajni impuls iznosa 1 mol/L.<br />
Rješenje:<br />
a)<br />
Bilanca reaktanta dana je bilancom:<br />
dc<br />
A<br />
V ⋅ = q ⋅<br />
dt<br />
Prijenosnu funkciju odredimo transformacijom:<br />
V ⋅ s ⋅C<br />
A<br />
( c<br />
Au<br />
− c<br />
A<br />
) −V<br />
⋅ k ⋅ c<br />
A<br />
( s) = q ⋅ ( C ( s) − C ( s)<br />
) −V<br />
⋅ k ⋅C<br />
( s)<br />
Au<br />
Koncentracija reaktanta je zavisna i ujedno izlazna veličina koju izdvojimo na<br />
lijevoj strani jednadžbe, a koncentracija reaktanta je ulazna veličina i izdvojimo na<br />
desnu stranu jednadžbe.<br />
V ⋅ s ⋅C<br />
A<br />
( s) + q ⋅C<br />
( s) + V ⋅ k ⋅C<br />
( s) = q ⋅C<br />
( s)<br />
Prijenosna funkcija je omjer izlazne i ulazne veličine:<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
Au
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 42<br />
W<br />
A<br />
( s)<br />
C<br />
=<br />
C<br />
A<br />
Au<br />
( s)<br />
q<br />
D<br />
=<br />
=<br />
( s) V ⋅ s + q + V ⋅ k s + D + k<br />
U zadnjem izrazu je omjer volumnog protoka i volumena označen kao brzina<br />
razrjeñenja D.<br />
b)<br />
Bilanca produkta dana je izrazom:<br />
dc<br />
V ⋅<br />
dt<br />
B<br />
= −q<br />
⋅ c<br />
B<br />
+ V ⋅ k ⋅ c<br />
A<br />
Primijenimo Laplaceovu transformaciju:<br />
V ⋅ s ⋅C<br />
B<br />
( s) = −q<br />
⋅ C ( s) + V ⋅ k ⋅C<br />
( s)<br />
Izdvojimo izlaznu veličinu na lijevu stranu jednadže:<br />
C<br />
V ⋅ s ⋅C<br />
B<br />
B<br />
B<br />
( s) + q ⋅C<br />
( s) = V ⋅ k ⋅ C ( s)<br />
V ⋅ k<br />
V ⋅ s + q<br />
B<br />
k<br />
s + D<br />
( s) = ⋅ C ( s) = ⋅ C ( s)<br />
Uvrstimo rezultat koncentraciju reaktanta iz prethodnog zadatka<br />
C<br />
B<br />
k<br />
s + D<br />
Prijenosna funkcija za produkt je:<br />
c)<br />
A<br />
k<br />
s + D<br />
( s) = ⋅ C ( s) = ⋅ ⋅ C ( s)<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
D<br />
s + D + k<br />
k D<br />
W B<br />
( s)<br />
= ⋅<br />
s + D s + D + k<br />
Za promjenu ulazne koncentracije kao trajnog impulsa iznosa 1 transformacija za<br />
1<br />
ulaznu veličinu je C Au<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
Izraz razvijemo u parcijalne razlomke:<br />
D 1<br />
C A<br />
( s)<br />
= ⋅<br />
s + D + k s<br />
D 1 A<br />
C A<br />
( s)<br />
= ⋅ = +<br />
s + D + k s s + D + k<br />
B<br />
s<br />
Au
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 43<br />
Da se odredi A pomnoži se cijeli izraz sa nazivnikom (s+D+k)<br />
1 B<br />
D ⋅ = A + ⋅ ( s + D + k)<br />
s s<br />
U ovaj identitet uvrstimo vrijednost s = -D-k i dobijemo za A<br />
D<br />
A = −<br />
D + k<br />
Za odreñivanje konstante B pomnožimo identitet s varijablom s<br />
D<br />
s + D + k<br />
=<br />
A⋅<br />
s<br />
s + D + k<br />
+ B<br />
Uvrstimo vrijednost s = 0 i dobijemo izraz za B<br />
B =<br />
D<br />
D + k<br />
Konačan izraz za koncentraciju reaktanta je:<br />
D −1<br />
1<br />
C A ⎜<br />
D + k ⎝ s + D + k s<br />
⎛<br />
⎞<br />
( s) = ⋅ + ⎟<br />
⎠<br />
Za koncentraciju produkta razvijamo u parcijalne razlomke izraz:<br />
k D 1 A B<br />
C B<br />
( s)<br />
= ⋅ ⋅ = + +<br />
s + D s + D + k s s + D s + D + k<br />
Konstantu A odredimo množenjem s nazivnikom (s+D) i uvrštavanjem vrijednosti<br />
s = -D :<br />
C<br />
s<br />
A =<br />
k ⋅ D<br />
k ⋅<br />
( − D)<br />
= −1<br />
Konstantu B odredimo množenjem s nazivnikom (s+D+k) i uvrštavanjem<br />
vrijednosti s = -D - k<br />
k ⋅ D D<br />
B = = :<br />
− k ⋅<br />
( − D − k) D + k<br />
Konstantu C odredimo množenjem s nazivnikom (s+D+k) i uvrštavanjem<br />
vrijednosti s = 0:<br />
C =<br />
k ⋅ D<br />
D ⋅<br />
=<br />
k<br />
D<br />
( D + k)<br />
) + k
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 44<br />
Konačan izraz za koncentraciju produkta kao izlaznu veličinu je:<br />
−1<br />
D 1 k 1<br />
C B<br />
( s)<br />
= + ⋅ + ⋅<br />
s + D D + k s + D + k D + k s<br />
Za odreñivanje promjene izlaznih veličina tijekom vremena potrebno je izlazne<br />
veličine inverznom transformacijom prevesti u vremenske funkcije. Upotrijebimo<br />
formulu 5 iz tablice:<br />
5.<br />
1<br />
s − a<br />
e a⋅t<br />
−1<br />
⎡ D<br />
c<br />
A<br />
L ⎢<br />
⎣ D + k<br />
c<br />
B<br />
⎛ −1<br />
⎜<br />
⎝ s + D + k<br />
1 ⎞⎤<br />
⎟<br />
s<br />
⎥<br />
⎠⎦<br />
D<br />
D + k<br />
( + 1)<br />
−( D+<br />
k ) ⋅t<br />
( t) =<br />
⋅ + = ⋅ − e<br />
( t)<br />
⎡ − D<br />
k ⎤<br />
= L−<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
⎢<br />
+ ⋅ + ⋅<br />
s D D k s D k D k s ⎥ =<br />
⎣ + + + + + ⎦<br />
D t D − ( D + k ) ⋅t<br />
k<br />
− e<br />
− ⋅<br />
+ ⋅ e +<br />
D + k<br />
D + k<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara: V=10 L, q=5 L/min, k=0,2 min -1<br />
c<br />
c<br />
A<br />
B<br />
−0 ,7⋅t<br />
( t ) = 0 ,714286 ⋅ ( 1 − e )<br />
−0,7⋅t<br />
−0,5⋅t<br />
( t) = 0 ,285714 + 0,714286 ⋅ e − e<br />
0.7<br />
0.6<br />
c A<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
c B<br />
0.2<br />
0.1<br />
t/min<br />
2 4 6 8 10
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 45<br />
Zadatak 17<br />
Analizirajte vladanje regulacije sustava 1 reda s proporcionalnim P i<br />
proporcionalno-integralnim regulatorom (prikazano na slici).<br />
+<br />
X P<br />
-<br />
W 1 (s)<br />
Y<br />
+<br />
-<br />
W 1 (s)<br />
X P<br />
k R (1+1/τ I s)<br />
Y<br />
+<br />
+<br />
k R<br />
-<br />
-<br />
X I<br />
X I<br />
Sustav 1 reda reguliran P regulatorom.<br />
Sustav 1 reda reguliran PI regulatorom.<br />
Parametri procesa su: pojačanje k = 2, vremenska konstanta τ = 5.<br />
Zadaci:<br />
a) Izračunajte odziv sustava 1 reda sa i bez P regulatora za trenutni i trajni impuls<br />
ulazne procesne veličine. Pojačanje regulatora je k R = 4.<br />
b) Izračunajte odziv sustava 1 reda sa i bez P regulatora za trenutni i trajni impuls<br />
ulazne procesne veličine. Pojačanje regulatora je k R = 6 i vremenska konstnta<br />
integralnog djelovanja τ I = 4/3.<br />
Rješenje<br />
a) Prijenosna funkcija regulacijskog kruga s negativnom povratnom vezom za<br />
poremećaj ulazne procesne veličine dana je izrazom:<br />
W<br />
W ( s)<br />
=<br />
1+<br />
W<br />
P<br />
P<br />
( s)<br />
( s) ⋅W<br />
( s)<br />
Uvrstimo prijenosnu funkciju sustava 1 reda:<br />
R<br />
W<br />
=<br />
1+<br />
W<br />
1<br />
( s)<br />
( s) ⋅ k<br />
R<br />
1<br />
k<br />
W ( s)<br />
=<br />
τ ⋅ s + 1<br />
k<br />
1+<br />
⋅ k<br />
τ ⋅ s + 1<br />
R<br />
k<br />
=<br />
τ ⋅ s + 1+<br />
k ⋅ k<br />
R<br />
Odziv reguliranog procesa za poremećaj ulazne procesne veličine je:
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 46<br />
Za trenutni poremećaj je ( s) = 1<br />
X P<br />
Y<br />
( s) = W ( s) ⋅ X ( s)<br />
Za trajni poremećaj iznosa 1 transformacija je ( s)<br />
Promjene izlazne veličine su:<br />
P<br />
1<br />
X P<br />
=<br />
s<br />
k<br />
Y ( s)<br />
=<br />
τ ⋅ s + 1+<br />
k ⋅<br />
k R<br />
i<br />
k 1<br />
Y ( s)<br />
= ⋅<br />
τ ⋅ s + 1+<br />
k ⋅ k s<br />
R<br />
Nakon uvrštavanja vrijednosti parametara dobiju se slijedeće promjene izlazne<br />
veličine:<br />
2<br />
5 ⋅ s + 1<br />
5<br />
bez regulatora i za trenutni poremećaj Y ( s)<br />
= y( t) = ⋅ e<br />
bez regulatora i za trajni poremećaj Y ( s)<br />
= ⋅ y( t) = 2 ⋅<br />
⋅ +<br />
⎜<br />
1 e<br />
5 s 1 s<br />
⎟ ⎝ ⎠<br />
s regulatorom i za trenutni poremećaj<br />
13<br />
= 2 2 1<br />
2 − ⋅t<br />
= ⋅ y = ⋅ e<br />
5<br />
Y ( s)<br />
5 ⋅ s + 1+<br />
2 ⋅ 6 5 13<br />
s +<br />
5<br />
s regulatorom i za trajni poremećaj<br />
13<br />
− ⋅t<br />
5<br />
Y<br />
2 1 2 ⎛<br />
( s)<br />
=<br />
⋅ = ⋅ ⎜<br />
1 − e<br />
5 ⋅ s + 1+<br />
2 ⋅ 6 s 13 ⎝<br />
Rezultati se mogu analizirati grafički:<br />
( t)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
5<br />
2<br />
1<br />
2<br />
5<br />
t<br />
−<br />
⎛<br />
⎜ −<br />
t<br />
−<br />
5<br />
⎞<br />
0.4<br />
0.3<br />
y(t)<br />
bez regulatora<br />
1.5<br />
y(t)<br />
bez regulatora<br />
0.2<br />
1.0<br />
0.1<br />
s P regulatorom<br />
0.5<br />
s P regulatorom<br />
2 4 6 8 10<br />
Odziv na trenutni impuls.<br />
t<br />
2 4 6 8 10<br />
Odziv na trajni impuls.<br />
t
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 47<br />
b)<br />
Prijenosna funkcija regulacijskog kruga s negativnom povratnom vezom za<br />
poremećaj ulazne procesne veličine dana je izrazom:<br />
W<br />
W ( s)<br />
= 1+ W<br />
P<br />
P<br />
( s)<br />
( s) ⋅W<br />
( s)<br />
Uvrstimo prijenosnu funkciju sustava 1 reda i PI regulatora:<br />
k<br />
W ( s)<br />
= τ ⋅ s + 1<br />
k ⎛ 1 ⎞<br />
1+<br />
⋅ k ⋅<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
R<br />
1<br />
τ ⋅ s + 1 ⎝ τ<br />
I<br />
⋅ s ⎠<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara:<br />
2<br />
2<br />
W ( s)<br />
=<br />
5 ⋅ s + 1<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2 ⎛ 1 ⎞<br />
9 5⋅<br />
s<br />
1+<br />
⋅ 6 ⋅⎜1+<br />
⎟ 5 ⋅ s + 1+<br />
12 +<br />
5⋅<br />
s + 1 ⎝ 1,25 ⋅ s ⎠<br />
s<br />
2 / 5 ⋅ s 10<br />
W ( s)<br />
=<br />
= ⋅<br />
2<br />
2<br />
s + 13/ 5⋅<br />
s + 9 / 5 45 s<br />
R<br />
9 / 5⋅<br />
s<br />
+ 13/ 5⋅<br />
s + 9 / 5<br />
2 ⋅ s<br />
+ 13⋅<br />
s + 9<br />
Izlaznu veličinu za trenutni poremećaj odredimo iz transformacije u tablicama:<br />
26.<br />
s<br />
2<br />
ω<br />
n<br />
⋅ s<br />
+ 2⋅ξ ⋅ω<br />
⋅ s + ω<br />
2 2<br />
n n<br />
2<br />
ω<br />
n −ξ<br />
⋅ω<br />
n ⋅t<br />
⋅ e ⋅sin( ω<br />
n<br />
⋅ z ⋅ t + Φ)<br />
ξ < 1<br />
z<br />
⎛ z ⎞<br />
z = −<br />
2<br />
1 ξ Φ = arctan⎜<br />
− ⎟<br />
⎝ ξ ⎠<br />
2 9<br />
13<br />
gdje je ω<br />
n<br />
= ωn<br />
= 1, 341 2 ⋅ξ ⋅ωn<br />
= ξ = 0, 9689<br />
5<br />
5<br />
1<br />
2 ⎛ 0,24745 ⎞<br />
z = − ξ = 0,24745 φ = arctan⎜<br />
− ⎟ = arctan( − 0,255) φ = −0,<br />
249<br />
⎝ 0,9689 ⎠<br />
Odziv na trenutni poremećaj je:<br />
10 9 / 5 −0,9689⋅1,341<br />
⋅t<br />
y t = ⋅ ⋅ e ⋅ sin 1,341 ⋅ 0,24745 ⋅t<br />
− 0,249<br />
45 0,2475<br />
( ) ( )<br />
y(<br />
t)<br />
= 1,616 ⋅ e<br />
−1,298⋅t<br />
⋅ sin(0,33 ⋅ t − 0,249)
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 48<br />
Odziv na trajni impuls je:<br />
10<br />
Y s)<br />
= ⋅<br />
45 s<br />
9 / 5⋅<br />
s 1 10<br />
⋅ = ⋅<br />
+ 13/ 5⋅<br />
s + 9 / 5 s 45 s<br />
(<br />
2<br />
2<br />
Primijenimo transformaciju iz tablica:<br />
9 / 5<br />
+ 13/ 5⋅<br />
s + 9 / 5<br />
17.<br />
s<br />
2<br />
ω<br />
n<br />
+ 2⋅ξ ⋅ω<br />
⋅ s + ω<br />
2 2<br />
n n<br />
1 −ξ<br />
⋅ω<br />
n ⋅t<br />
⋅ω<br />
⋅e<br />
⋅sin( ω ⋅ z ⋅t) z = 1−ξ<br />
2<br />
n<br />
n<br />
z<br />
ξ <<br />
y<br />
1 298<br />
−0,9689⋅1,341<br />
⋅t<br />
−1,<br />
⋅t<br />
( t) = ⋅1,341<br />
⋅ e ⋅ sin( 1,341 ⋅ 0,2475 ⋅t) = 5,418 ⋅ e ⋅ sin( 0,33 ⋅t)<br />
0,24745<br />
Rezultate analiziramo u grafičkom prikazu<br />
0.4<br />
y(t)<br />
0.3<br />
0.2<br />
bez regulatora<br />
0.1<br />
s PI regulatorom<br />
2 4 6 8 10<br />
t<br />
1.5<br />
y(t)<br />
bez regulatora<br />
1.0<br />
0.5<br />
s PI regulatorom<br />
2 4 6 8 10<br />
t
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 49<br />
Zadatak 18<br />
Analizirajte kao se mijenja frekvencija titraja i pojačanje regulacijskog kruga<br />
s sustavomdrugog stupnja zavisno od pojačanja proporcionalnog P regulatora u<br />
negativnoj povratnoj vezi.<br />
X P<br />
+<br />
-<br />
k<br />
2 ⋅ξ<br />
+ ⋅ s<br />
1 2<br />
⋅ s +<br />
2<br />
n<br />
ω n<br />
ω<br />
1<br />
Y<br />
+<br />
k R<br />
-<br />
X I<br />
Slika: Regulacija sustava 2 stupnja s proporcionalnim P regulatorom<br />
Zadaci:<br />
a) Izvedite izraz za frekvenciju titraja i pojačanje regulacijskog kruga zavisno<br />
od pojačanja regulatora.<br />
b) Izračunajte odzive za trenutnu impulsnu promjenu ulazne procesne veličine<br />
za parametre procesa: ω<br />
n<br />
= 2 ξ = 0,5 i k =10<br />
i slijedeća pojačanja regulatora k R = 0 (bez regulacije), k R = 1, k R = 4<br />
Rješenje:<br />
Primijenimo formulu za prijenosnu funkciju regulacijskog kruga s povratnom<br />
vezom:<br />
W<br />
( s)<br />
W<br />
=<br />
1+<br />
W<br />
P<br />
P<br />
( s)<br />
( s) ⋅W<br />
( s)<br />
Pojednostavnimo dvostruki razlomak:<br />
R<br />
=<br />
1+<br />
1<br />
ω<br />
1<br />
ω<br />
2<br />
n<br />
2<br />
n<br />
⋅ s<br />
⋅ s<br />
2<br />
2<br />
k<br />
2 ⋅ξ<br />
+ ⋅ s + 1<br />
ωn<br />
k<br />
⋅ k<br />
2 ⋅ξ<br />
+ ⋅ s + 1<br />
ω<br />
n<br />
R
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 50<br />
W<br />
( s)<br />
=<br />
1 2<br />
⋅ s<br />
2<br />
n<br />
ω<br />
k<br />
2 ⋅ξ<br />
+ ⋅ s + 1+<br />
k ⋅ k<br />
ω<br />
Da jednostavnije uočimo zavisnost parametara o pojačanju regulatora napišemo<br />
gornji izraz u standardnom obliku sustava drugog stupnja i zatim parametre<br />
neposredno očitamo:<br />
n<br />
R<br />
W<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
2<br />
+<br />
k ⋅ω<br />
⋅ξ<br />
⋅ω<br />
⋅ s +<br />
2<br />
n<br />
2<br />
( 1+<br />
k ⋅ k ) ⋅ω<br />
2<br />
n<br />
R n<br />
Frekvencija regulacijskog kruga proporcionalno raste s korijenom pojačanja<br />
regulatora prema izrazu:<br />
2<br />
ω<br />
=<br />
2<br />
( + k ⋅ ) ⋅ω<br />
1 k R n<br />
Da odredimo promjenu pojačanja regulacijskog kruga K usporedimo brojnik<br />
prijenosne funkcije<br />
K ⋅<br />
2<br />
K ⋅ ω = k ⋅ω<br />
2<br />
n<br />
2<br />
2<br />
( + k ⋅ k R<br />
) ⋅ω<br />
= k ⋅ω<br />
1<br />
n<br />
n<br />
k<br />
K = 1+ k ⋅ k R<br />
Vidimo da pojačanjem regulatora dolazi do proporcionalnog smanjenja pojačanja<br />
sustava.<br />
b)<br />
Odziv izlazne veličine za trenutni impuls x ( t) = ( t) X ( s) = 1<br />
izrazom:<br />
P<br />
δ<br />
P<br />
odreñen je<br />
Y<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
2<br />
+<br />
k ⋅ω<br />
2<br />
n<br />
2 ⋅ξ<br />
⋅ωn<br />
⋅ s +<br />
R n<br />
2<br />
( 1+<br />
k ⋅ k ) ⋅ω<br />
Vremenski tijek promjene izlazne veličine dan je inverznom transformacijom<br />
26.<br />
s<br />
2<br />
ω<br />
n<br />
⋅ s<br />
+ 2⋅ξ ⋅ω<br />
⋅ s + ω<br />
2 2<br />
n n<br />
2<br />
ω<br />
n −ξ<br />
⋅ω<br />
n ⋅t<br />
⋅ e ⋅sin( ω<br />
n<br />
⋅ z ⋅ t + Φ)<br />
ξ < 1<br />
z<br />
⎛ z ⎞<br />
z = −<br />
2<br />
1 ξ Φ = arctan⎜<br />
− ⎟<br />
⎝ ξ ⎠
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 51<br />
bez regulacije k R = 0<br />
40<br />
Y s =<br />
2<br />
s + 2 ⋅ s + 1<br />
40 −t<br />
( ) y( t) = ⋅ e ⋅ sin( 3 ⋅t)<br />
3<br />
10<br />
y(t)<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-2<br />
2 4 6 8 10<br />
t<br />
za k R = 1<br />
Y<br />
40<br />
40 −t<br />
( s) =<br />
y( t) = ⋅ e ⋅ sin( 43 ⋅t)<br />
s<br />
2<br />
+ 2 ⋅ s + 44<br />
43<br />
4<br />
y(t)<br />
2<br />
2 4 6 8 10<br />
t<br />
-2<br />
za k R = 4<br />
Y<br />
2<br />
40<br />
40 −t<br />
( s) =<br />
y( t) = ⋅ e ⋅sin( 163 ⋅ t)<br />
s<br />
y(t)<br />
2<br />
+ 2 ⋅ s + 164<br />
163<br />
1<br />
-1<br />
2 4 6 8 10<br />
t<br />
-2
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 52<br />
Zadatak 19<br />
Analizirajte regulaciju sustava drugog stupnja s proporcionalno diferencijalnim PD<br />
regulatorom u povratnoj vezi.<br />
X P<br />
+<br />
-<br />
k<br />
2 ⋅ξ<br />
+ ⋅ s<br />
1 2<br />
⋅ s +<br />
2<br />
n<br />
ω n<br />
ω<br />
1<br />
Y<br />
k<br />
R<br />
⋅<br />
( 1 + τ ⋅ s)<br />
D<br />
+<br />
-<br />
X I<br />
Zadaci:<br />
a) Izračunajte značajke regulacijskog sustava<br />
b) Izračunajte prijelazni odaziv izlazne veličine za trenutni impulsni poremećaj<br />
ulazne procesne veličine za slijedeće vrijednosti parametara:<br />
k= ω<br />
n<br />
= ξ = k R = τ =<br />
Rješenje:<br />
a)<br />
Primijenimo formulu za prijenosnu funkciju regulacijskog kruga s povratnom<br />
vezom:<br />
k<br />
1 2 2 ⋅ξ<br />
⋅ s + ⋅ s + 1<br />
2<br />
W<br />
( )<br />
( )<br />
( P<br />
s<br />
ω<br />
W s<br />
W s ) W ( s ) n<br />
ωn<br />
=<br />
=<br />
1+<br />
k<br />
P<br />
⋅<br />
R<br />
1+<br />
⋅ k ( s )<br />
R<br />
⋅ 1+<br />
τ<br />
D<br />
⋅<br />
1 2 2 ⋅ξ<br />
⋅ s + ⋅ s + 1<br />
2<br />
ω ω<br />
Nakon eliminacije dvostrukog razlomka dobije se:<br />
n<br />
n<br />
D<br />
W<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
2<br />
+ ω ⋅<br />
n<br />
k ⋅ω<br />
2<br />
n<br />
2<br />
( ⋅ξ<br />
+ k ⋅ k ⋅τ<br />
⋅ω<br />
) ⋅ s + ( 1+<br />
k ⋅ k ) ⋅ω<br />
2<br />
R D n<br />
R n
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 53<br />
Budući da je u nazivniku polinom drugog stupnja možemo zaključiti da PD<br />
regulator ne mijenja stupanj dinamičkog vladanja, ali dolazi do promjene vrijednosti<br />
parametara.<br />
Usporedbom dobivenog izraza sa standardnim oblikom prijenosne funkcije sustava<br />
drugog stupnja dobijemo značajke regulacijskog kruga:<br />
frekvencija regulacijskog sustava ω = 1+ k ⋅ k<br />
prigušenje regulacijskog sustava<br />
pojačanje regulacijskog sustava<br />
b)<br />
S<br />
2 ⋅ξ<br />
+ k ⋅ k<br />
R<br />
⋅τ<br />
D<br />
⋅ωn<br />
ξ<br />
S<br />
=<br />
2 ⋅ω<br />
⋅ 1+<br />
k ⋅ k<br />
k<br />
S<br />
n<br />
k<br />
= 1+ k ⋅ k<br />
Upišimo vrijednosti parametara k=10, ω<br />
n<br />
= 2 , ξ = 0, 25 i izračunamo izlaznu<br />
promjenu bez regulatora<br />
Y<br />
40 5 2<br />
−t<br />
/<br />
( s) =<br />
y( t) = 16 ⋅ ⋅ e ⋅ sin⎜<br />
⋅ t<br />
s + s +<br />
⎟ 2<br />
4<br />
3 ⎝ 2 ⎠<br />
Grafički prikaz rezultata je:<br />
y(t)<br />
R<br />
R<br />
⎛<br />
15<br />
⎞<br />
R<br />
10<br />
5<br />
-5<br />
2 4 6 8 10<br />
t<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara regulatora k 1 τ = 0, 1<br />
Y<br />
3<br />
40 80<br />
2<br />
R<br />
=<br />
D<br />
−5⋅t<br />
/<br />
( s) =<br />
y( t) = ⋅ e ⋅ sin⎜<br />
⋅t<br />
s + ⋅ s +<br />
⎟ 2<br />
5 44<br />
151 ⎝ 2 ⎠<br />
y(t)<br />
⎛<br />
151<br />
⎞<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
2 4 6 8 10<br />
t
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 54<br />
Zadatak 20<br />
Parametri sustava drugog stupnja imaju slijedeće vrijednosti:<br />
pojačanje k=1, prirodna frekvencija ω = 1, koeficijent prigušenja ξ = 2.<br />
Proces se regulira proporcionalnim regulatorom P s pojačanjem k R u povratnoj vezi.<br />
X P<br />
+<br />
-<br />
k<br />
2 ⋅ξ<br />
+ ⋅ s<br />
1 2<br />
⋅ s +<br />
2<br />
n<br />
ω n<br />
ω<br />
1<br />
Y<br />
k<br />
R<br />
+<br />
-<br />
X I<br />
Zadaci:<br />
a) izračunajte polove sustava bez regulacije<br />
b) Odredite pojačanje k R da regulirani sustav ima oba pola negativna i identična<br />
c) Prikažite grafički položaj polova<br />
d) Izračunajte odzive nereguliranog i reguliranog sustava za trenutni poremećaj<br />
ulazne procesne veličine<br />
Rješenje<br />
a) Polovi sustava drugog stupnja su nultočke polinoma u nazivniku prijenosne<br />
funkcije<br />
s<br />
2<br />
2<br />
+ 2 ⋅ξ<br />
⋅ω<br />
⋅ s + ω<br />
s<br />
2<br />
+ 4 ⋅ s + 1 = 0<br />
= 0<br />
Polovi su rješenja ove kvadratne jednadžbe s = −2<br />
3<br />
1 ,2<br />
±<br />
Oba pola su realna i negativna i sustav nema titrajne značajke.<br />
b) Polovi reguliranog sustava odreñuju je iz prijenosne funkcije regulacijskog<br />
kruga<br />
WP<br />
( )<br />
( s)<br />
W s = 1+ W s ⋅ k<br />
P<br />
( )<br />
R<br />
Polovi su nultočke polinoma:<br />
2<br />
2<br />
s + 2 ⋅ξ<br />
⋅ω<br />
⋅ s + 1+<br />
k ⋅ k ⋅ω<br />
( ) = 0<br />
R
Ž. Kurtanjek: <strong>PBF</strong> Mjerenja i automatizacija 2007/2008 55<br />
Uvrstimo vrijednosti parametara procesa:<br />
s<br />
2<br />
( ξ ± − − k ⋅ k )<br />
1,2<br />
= −ω ⋅ 1<br />
R<br />
+ ξ<br />
s1<br />
,2<br />
= −2<br />
± 3 − k R<br />
Očigledno regulirani sustav ima identične polove za pojačanje regulatora k R = 3, za<br />
koje su oba pola s 1,2 = -2.<br />
c) Grafički prikaz polova<br />
polovi reguliranog<br />
procesa<br />
Im<br />
Re<br />
polovi nereguliranog<br />
procesa<br />
d) Promjene izlazne veličine za trenutni impulsni poremećaj su<br />
bez regulacije<br />
1 ( −2−<br />
y(<br />
t)<br />
= ⋅ ( e<br />
2 ⋅ 3<br />
3⋅t<br />
)<br />
e<br />
( −2+<br />
−<br />
3 ) ⋅t<br />
)<br />
sa regulacijom<br />
−2⋅t<br />
y( t) = t ⋅ e<br />
y(t)<br />
0.20<br />
0.15<br />
bez regulacije<br />
0.10<br />
0.05<br />
s regulacijom<br />
2 4 6 8 10<br />
t