Lineárn´ı soustavy

Lineární soustavy
Homogenní lineární soustava diferenciálních rovnic 1. řádu má tvar 1
(1) ẋ = Ax,
kde A je reálná matice typu (n, n), x(t) = (x 1 (t),. . . ,x n (t)) je neznámá
n-rozměrná vektorová funkce s nezávisle proměnnou t (čas), ẋ značí derivaci
x podle t.
Věta 1. (o existenci a jednoznačnosti řešení) Pro každé t 0 ∈ R a vektor
x 0 = (x 0 1, . . . , x 0 n) ∈ R n existuje právě jedno řešení ϕ: R → R n
splňující v každém čase (1) a počáteční podmínku ϕ(t 0 ) = x 0 . □
Poznámka 2. Řešení ϕ z Věty 1 budeme někdy značit ϕ(t, t 0, x 0 ),
speciálně pro t 0 = 0 použijeme značení ϕ(t, x 0 ).
Pro matici A uvažujeme mocniny: A 0 = E (jednotková matice), A 1 =
A, pro n ≥ 1, A n = AA } {{ · · · A}
. Exponenciela e A matice A je definována
n−krát
vztahem
(2) e A =
∞∑
k=0
A k
k! .
V následujícím tvrzení popisujeme možný způsob, jak nalézt řešení z
Věty 1.
Věta 3. Buďte t 0 ∈ R a vektor x 0 = (x 0 1, . . . , x 0 n) ∈ R n . Pak
( ∞
)
∑
(3) ϕ(t, t 0 , x 0 ) = e A(t−t0) x 0 A k (t − t 0 ) k
=
x 0 .
k!
Příklad 4. Uvažujme případ, kdy je matice A v soustavě (1) diagonální,
i.e.,
⎛
⎞
λ 1 0 0 . . . 0 0
0 λ 2 0 . . . 0 0
A =
⎜ . . . . . . . .
⎟
⎝ 0 0 0 . . . λ n−1 0 ⎠ ,
0 0 0 . . . 0 λ n
Přímým výpočtem ověříme, že
k=0
1 V zápisu soustavy píšeme x, ẋ místo x T , (ẋ) T
1
□

2
⎛
e A(t−t0) =
⎜
⎝
řešení ϕ z (3) má tedy tvar
e λ 1(t−t 0 )
0 0 . . . 0 0
0 e λ 2(t−t 0 )
0 . . . 0 0
. . . . . . . .
0 0 0 . . . e λ n−1(t−t 0 )
0
0 0 0 . . . 0 e λn(t−t 0)
ϕ(t, t 0 , x 0 ) = (x 0 1e λ 1(t−t 0 ) , x 0 2e λ 2(t−t 0 ) , . . . , x 0 ne λ n(t−t 0 ) ).
⎞
⎟
⎠ ;
Poznámka 5. Formule pro řešení ϕ daná Větou 3 je vhodná pro
nalezení řešení pouze v případech, kdy umíme vypočítat matici e A(t−t 0)
(např. pro diagonální matici).
□
Definice 6. (vlastní čísla a vektory matice) Komplexní l-násobný
kořen λ 0 (polynomické) charakteristické rovnice s neznámou λ
det(A − λE) = 0
nazýváme l-násobným vlastním číslem matice A. Jakýkoliv nenulový
vektor u řešící soustavu (A−λ 0 E)u = 0 n (0 n značí nulový vektor v R n )
nazýváme vlastním vektorem matice A příslušejícím vlastnímu číslu
λ 0 .
□
Poznámka 7. Je známo, že polynom je určen jednoznačně svými
kořeny, jejich násobnostmi a koeficientem u nejvyšsí mocniny. Pro
matici A s vlastními čísly λ 1 , . . . , λ n (vícenásobná vlastní čísla se v
seznamu opakují) lze tedy psát
(4) det(A − λE) = (−1) n (λ − λ 1 ) · · · (λ − λ n ).
Po dosazení λ = 0 do (4) dostáváme
(5) det A = (−1) 2n λ 1 · · · λ n = λ 1 · · · λ n .
Příklad 8. Vypočtěme vlastní čísla a příslušející vlastní vektory matice
⎛
⎝ −1 0 0
⎞
1 −2 1 ⎠ .
1 0 −1
Charakteristická rovnice má tvar
−λ 3 − 4λ 2 − 5λ − 2 = 0
□
□

s jednoduchým (1-násobným) kořenem λ 3 = −2 a 2-násobným kořenem
λ 2,3 = −1.
I. Podle Definice 6, vlastní vektor v = (v 1 , v 2 , v 3 ) příslušející vlastnímu číslu
−2 je nenulovým řešením soustavy (A − (−2)E)v = 0 3 , tedy rovnic
v 1 = 0
v 1 + v 3 = 0 ;
Vlastním vektorem je tedy jakýkoliv vektor ve tvaru (0, r, 0) s nenulovým
r ∈ R.
II. Vlastní vektor u = (u 1 , u 2 , u 3 ) příslušející vlastnímu číslu −1 je
nenulovým řešením soustavy (A − (−1)E)u = 0 3 , tedy rovnic
u 1 − u 2 + u 3 = 0
u 1 = 0 ;
Vlastním vektorem je tedy jakýkoliv vektor ve tvaru (0, s, s) s nenulovým
s ∈ R.
□
Poznámka 9. K příkladu 8 poznamenejme, že lineární podprostor
V −1 = {(0, s, s)} s∈R
má dimenzi (= 1) menší než násobnost 2 vlastního
čísla −1. V případě V −2 = {(r, 0, −r)} r∈R je dimenze podprostoru V −2
i násobnost λ 1 = −2 rovna 1.
□
Poznámka 10. K popisu řešení soustavy (1) použijeme vlastní čísla a
vlastní vektory matice A:
I. Má-li matice A reálná vlastní čísla λ 1 , . . . , λ n (v seznamu je λ j tolikrát,
kolik je jeho násobnost) a těmto vlastním číslům přísluší navzájem
lineárně nezávislé vlastní vektory u 1 , . . . , u n , jsou funkce
ϕ 1 = e λ 1t u 1 , . . . , ϕ n = e λ nt u n
navzájem lineárně nezávislými řešeními soustavy (1); z Věty 1 pak
plyne, že každé řešení (1) má tvar c 1 ϕ 1 +· · ·+c n ϕ n , kde c 1 , . . . , c n ∈ R.
II. Má-li matice A imaginární vlastní čísla α+iβ, α−iβ s příslušejícími
vlastními vektory u = u 1 + iu 2 , u = u 1 − iu 2 , jsou funkce
ϕ = e αt (u 1 cos βt − u 2 sin βt), ψ = e αt (u 1 sin βt + u 2 cos βt)
navzájem lineárně nezávislými řešeními soustavy (1).
III. Je-li λ 0 komplexní l-násobné vlastní číslo matice A, existuje l
navzájem lineárně nezávislých řešení soustavy (1) majících tvar
(6) p 1 (t)e λ 0t , . . . , p l (t)e λ 0t ,
kde p 1 (t), . . . , p l (t) jsou vektorové polynomické funkce stupně nejvýše
l − 1.
□
3

4
Poznamenejme, že vlastní číslo je imaginární právě tehdy, když jsou
vlastní vektory, vektorové polynomické funkce p i (t) a řešení (6) imaginární
(reálná řešení (1) lze obdržet jejich ”zreálněním”).
Příklad 11. Řešme soustavu (1) s maticí z Příkladu 8. Podle Věty 1
stačí nalézt tři lineárně nezávislá řešení ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 soustavy (1); každé
její další řešení pak bude mít tvar ϕ = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 + c 3 ϕ 3 při vhodných
konstantách c 1 , c 2 , c 3 ∈ R. Podle Poznámky 10(I) a výsledku Příkladu
8 lze volit
⎛
ϕ 1 (t) = e −2t ⎝ 1 ⎞
0 ⎠ .
−1
K odvození funkcí ϕ 2 , ϕ 3 použijeme část III Poznámky 10, která se váže
k případu násobného vlastního čísla. V této části se tvrdí , že existují
reálné polynomické vektory p 1 (t), p 2 (t) stupně nejvýše 1, pro které
jsou vektorové funkce p 1 (t)e −t , p 2 (t)e −t lineárně nezávislými řešeními
naší soustavy. S využitím znalosti omezení stupňů p i (t) položme
⎛
p(t) = ⎝ a ⎞
1t + b 1
a 2 t + b 2
⎠ ,
a 3 t + b 3
kde a i , b i ∈ R, i = 1, 2, 3 jsou (zatím) neznámé koeficienty. Dosazením
řešení p(t)e −t do soustavy, sloučením koeficientů u stejných mocnin
proměnné t v každé z rovnic a anulováním sloučených koeficientů (vztahy
platí pro každé t ∈ R) obdržíme pro a i , b i , i = 1, 2, 3
(7) a 1 = 0, a 2 = a 3 = b 1 , b 2 = b 3 .
Zřejmě jsou funkce p 1 (t) = (0, 1, 1) (a 1 = a 2 = a 3 = 0, b 1 = 0, b 2 =
b 3 = 1) a p 2 (t) = (1, t, t) (a 1 = 0, a 2 = a 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = b 3 = 0),
zvolené ve shodě se (7), lineárně nezávislé. Lze tedy položit
ϕ 2 (t) = e −t ⎛
⎝ 0 1
1
⎞
⎛
⎠ , ϕ 3 (t) = e −t
⎝ 1 t
t
Definice 12. (rovnovážný stav) Řešení u ∈ Rn soustavy lineárních algebraických
rovnic
(8) Au = 0 n
⎞
⎠ .
□
nazýváme rovnovážným stavem soustavy (1).
□

Poznámka 13. Soustava (8) má vždy (triviání) nulové řešení u = 0 n .
Bod 0 n ∈ R n je tedy rovnovážným stavem soustavy (1) nezávisle na
volbě matice A. Někdy bude vhodné omezit naši pozornost na soustavy,
pro něž je 0 n jediným rovnovážným stavem. Ze známých výsledků
lineární algebry plyne, že jde o situaci, kdy má matice A tyto navzájem
ekvivalentní vlastnosti:
- det A ≠ 0 (matice A je regulární)
- existuje A −1
- vlastní čísla matice A jsou nenulová (srov. s Poznámkou 7)
V souhlase s maticovou terminologií budeme soustavu (1) s regulární
maticí A nazývat regulární soustavou.
□
Příklad 14. Najděme rovnovážné stavy soustavy (1), kde
⎛
A = ⎝ 1 1 0
⎞
2 1 1 ⎠ .
1 0 1
Snadno zjistíme, že soustava Au = 0 3 má řešení dané vektory ve tvaru
(s, −s, −s), s ∈ R. Rovnovážnými stavy soustavy (1) jsou tedy všechny
body přímky {(s, −s, −s)} s∈R .
□
Poznámka 15. Často je výhodné uvažovat fázový portrét soustavy (1),
kterým rozumíme systém (všech) orientovaných (ve směru pokračování s
rostoucí proměnnou t) integrálních křivek 2 zakreslených v R n opatřeném
kartézským systémem souřadnic x 1 , . . . , x 3 n .
□
Další výklad věnujeme vztahu rovnovážného stavu 0 n a ostatních
trajektorií fázového portrétu regulární soustavy (1). Chování jejího
řešení ϕ popíšeme pomocí limit
lim ||ϕ(t)||,
t→∞
lim ||ϕ(t)||.
t→−∞
Pro řešení ϕ regulární soustavy (1), platí jedna z následujících možností:
(TL1) ϕ ≡ 0 n (’ϕ je nulové řešení’);
(TL2) lim t→∞ ||ϕ(t)|| = 0, lim t→−∞ ||ϕ(t)|| = ∞ (’ϕ se přibližuje k 0 n
pro t → ∞’, ’ϕ se vzdaluje od 0 n pro t → −∞’);
(TL3) lim t→∞ ||ϕ(t)||, lim t→−∞ ||ϕ(t)|| neexistují (’ϕ krouží kolem 0 n ’);
(TL4) lim t→∞ ||ϕ(t)|| = ∞, lim t→−∞ ||ϕ(t)|| = 0 (’ϕ se vzdaluje od 0 n
pro t → ∞’, ’ϕ se přibližuje k 0 n pro t → −∞’);
2 orientovanou integrální křivku budeme nazývat trajektorií
3 v takzvaném fázovém prostoru
5

6
(TL5) lim t→∞ ||ϕ(t)|| = lim t→−∞ ||ϕ(t)|| = ∞ (’ϕ se vzdaluje od 0 n pro
t → ∞ i pro t → −∞’, ’ϕ je sedlového typu’).
Definice 16. Rovnovážný stav 0 n ∈ R n (ve fázovém portrétu) regulární
soustavy (1) je
- stabilní, jestliže každé její nenulové řešení má vlastnost (TL2) nebo
(TL3);
- asymptoticky stabilní, jestliže každé její nenulové řešení má vlastnost
(TL2).
□
Věta 17. Rovnovážný stav 0 n ∈ R n regulární soustavy (1) je:
- stabilní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice A mají nekladné
reálné části;
- asymptoticky stabilní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice
A mají záporné reálné části.
□
Věta 18. (Routhovo-Hurwitzovo kritérium) Uvažujme polynomickou
rovnici ve tvaru
(9) a n ≠ 0, a 0 > 0, a 0 λ n + a 1 λ n−1 + · · · + a n−1 λ + a n = 0
a definujme determinanty △ i , i = 1, . . . , n předpisem
∣ a n−1 a n−3 a n−5 · · · 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a n a n−2 a n−4 · · · 0
△ n =
0 a n−1 a n−3 · · · 0 , . . . , △ 2 =
∣ a ∣
n−1 a n−3 ∣∣∣
, △ a n a 1 = |a n−1 | .
n−2 . . . . .
∣ 0 0 0 · · · a 0
Jestliže platí △ i > 0 pro i = 1, . . . , n, mají všechny kořeny rovnice (9)
záporné reálné části.
□
Uvedené kritérium lze použít k vyšetření stability rovnovážného stavu.
Příklad 19. (i) Vlastní čísla matice
(
0 −3
4 0
regulární soustavy (1) jsou λ 1,2 = ±2i √ 3. Podle Věty 17 je tedy bod
0 2 (v příslušném fá zovém portrétu) stabilní.
(ii) Uvažujme regulární soustavu (1) s maticí
⎛
)
⎝ −1 0 0
1 −2 1
1 0 −1
Charakteristická rovnice má tvar (a 3 > 0)
⎞
⎠ .
λ 3 + 4λ 2 + 5λ + 2 = 0;

7
pro determinanty △ 1 , △ 2 , △ 3 z Věty 18 platí
△ 3 =
∣
5 1 0
2 4 0
0 5 1
∣ = 18, △ 2 =
∣ 5 1
2 4
∣ = 18, △ 1 = |5| = 5.
Rovnovážný stav 0 3 je tedy podle Vět 18 a 17 asymptoticky stabilní.
□
Poznámka 20. Na obrázcích 1-6 jsou naznačeny fázové portréty základních
typů (rovnovážných stavů) regulárních rovinných soustav - vývoj trajektorie
v čase vede od červené k modré.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Obr.1. Nestabilní uzel.

8
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Obr. 2. Stabilní uzel.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Obr. 3. Centr - vývoj trajektorií v kladném směru.

9
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Obr. 4. Sedlo.
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Obr. 5. Nestabilní ohnisko.

10
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Obr. 6. Stabilní ohnisko.
Poznámka 21. Typy příkladů: exponenciela (speciální) matice, vlastní čísla
a vlastní vektory matice (n = 2, 3), řešení soustavy (1), jejíž matice má
pouze jednoduchá vlastní čísla (n = 2, 3), rovnovážné stavy soustavy
(1), stabilita r.s. 0 n regulární soustavy (1) pomocí Věty 17, stabilita
r.s. 0 n regulární soustavy (1) pomocí Věty 18.
□
Uvažujme soustavu (1) a soustavu
(10) ẏ = By
pro B = P −1 AP , kde P je jistá regulární matice 4 . Pokud dokážeme
vypočítat exponencielu
e Bt , t ∈ R,
lze použít Větu 3 k vyjádření řešení ψ soustavy (10) splňujícího počáteční
podmínku ψ(0) = y 0 :
ψ(t) = e Bt y 0 .
Označíme-li x 0 = P y 0 , lze řešení ϕ soustavy (1) splňujícího počáteční
podmínku ϕ(0) = x 0 zapsat ve tvaru
ϕ(t, x 0 ) = P ψ(t) = P e Bt P −1 x 0 .
4 P −1 tedy existuje; matice A, P −1 AP jsou takzvaně podobné
□

V dalším se tedy budeme zabývat maticemi (v roli výše uvedené matice
B), pro které lze ’snadno’ určit exponencielu. Začneme poznámkou
popisující situaci pro systémy v rovině.
Poznámka 22. Je známo, že je-li A reálná matice typu (2, 2), je tato
podobná právě ( s jednou ) z následujících tří matic:
λ1 0
(1) B 1 =
, jsou-li λ
0 λ 1 , λ 2 ∈ R různá vlastní čísla A, nebo
2
jestliže λ 1 ( = λ 2 = λ)
∈ R a dim V λ = 2
λ0 1
(2) B 2 =
, je-li λ
0 λ 0 ∈ R 2-násobné vlastní číslo A a dim V λ0 =
0
1 ( )
a b
(3) B 3 =
, jsou-li a ± ib imaginární vlastní čísla A
−b a
Lze ukázat, ( že )
e
- e B1t λ 1 t
0
=
0 e λ 2t
( )
- e B2t = e λ 0t 1 t
0 1
( )
cos bt sin bt
- e B3t = e at □
− sin bt cos bt
Příklad 23.
Řešme soustavu (1) s maticí
( )
1 1
A =
.
−4 1
Vlastní čísla matice jsou 1 + 2i, 1 − 2i. Matice A je tedy podobná s
maticí
( )
1 2
B = P −1 AP =
.
−2 1
Řešení ψ soustavy (10) splňující počáteční podmínku ψ(0) = y 0 =
(y 01 , y 02 ) má tvar
( ) ( )
cos 2t sin 2t
ψ(t) = e Bt y 0 = e t y01
− sin 2t cos 2t y 02
a tedy pro řešení ϕ soustavy (1) splňující počáteční podmínku ϕ(0, x 0 ) =
x 0 = P −1 y 0 platí
ϕ(t, x 0 ) = P ψ(t) = P e Bt P −1 x 0 .
Postup z Příkladu 23 má jeden nedostatek. Neobsahuje vysvětlení,
jakým způsobem lze spočítat matici P . Této otázce se budeme věnovat
v další části. Z důvodu přílišné formální složitosti vynecháme v našem
11
□

12
pojednání případ, kdy dimenze prostoru V λ je menší než násobnost λ
jakožto vlastního čísla matice A soustavy (1) - srov. s Poznámkou 9.
Pro účely dalšího výkladu zavedeme následující značení: symbolem
(11) diag(λ 1 , . . . , λ n )
zapisujeme reálnou diagonální matici typu (n, n), jejíž diagonální prvek
s řádkovým a sloupcovým indexem i je roven λ i . Podobně, zápisem
(12) diag([a 1 , b 1 ], . . . , [a n , b n ])
míníme reálnou blokově diagonální ( matici typu ) (2n, 2n), jejíž i-tý diagonální
blok je čtvercová matice
i ai b
.
−b i a i
Uvedená značení můžeme i kombinovat v symbolu
(13) diag(λ 1 , . . . , λ k , [a 1 , b 1 ], . . . , [a l , b l ]).
Příklad 24. Je tedy
⎛
diag(π, 10, [1, 2], [3, −4]) =
⎜
⎝
π 0 0 0 0 0
0 10 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0
0 0 −2 1 0 0
0 0 0 0 3 −4
0 0 0 0 4 3
⎞
.
⎟
⎠
Je-li matice A ve tvaru (11), resp. (12) nebo (13), lze snadno napsat
její exponencielu e At z Věty 3. V případě (13) je e At rovna
diag(e λ 1t , . . . , e λ kt , [e a 1t cos b 1 t, e a 1t sin b 1 t], . . . , [e a lt cos b l t, e a lt sin b l t]).
V následující větě popíšeme vlastnosti matice, již lze ’diagonalizovat’
na tvar (13).
Věta 25. Předpokládejme, že matice A je typu (n, n), kde n = k + 2l
a
(i) A má reálná vlastní čísla λ 1 , . . . , λ k , jimž přísluší lineárně nezávislé
vlastní vektory u 1 , . . . , u k ,
(ii) A má 2l různých imaginárních vlastních čísel a j + ib j , a j − ib j s
příslušnými vlastními vektory v j + iw j , v j − iw j , j = 1, . . . , l.
Pak je matice P = (u 1 . . . u k v 1 w 1 . . . v l w l ) invertibilní a
(14) P −1 AP = diag(λ 1 , . . . , λ k , [a 1 , b 1 ], . . . , [a l , b l ]).
□

Příklad 26. Uvažujme matici
⎛
(15) A =
⎝ 2 3 −3
0 −1 3
−6 −3 1
⎞
⎠ .
Charakteristická rovnice det(A − λE) = 0 má konkrétní tvar
−λ 3 + 4λ 2 − 14λ + 20 = −(λ − 2)(λ 2 − 2λ + 10) = 0
s kořeny λ 1 = 2, λ 2 = 1 + 3i a λ 3 = 1 − 3i. Pro aplikaci Věty 25
(k = l = 1) vypočítáme vlastní vektory
u 1 = (u 11 , u 12 , u 13 ), v 1 + iw 1 = (v 11 + iw 11 , v 12 + iw 12 , v 13 + iw 13 )
a v 1 − iw 1 příslušející vlastním číslům λ 1 , λ 2 , λ 3 .
I. Podle Definice 6, vlastní vektor u 1 je nenulovým řešením soustavy
(A − 2E)u 1 = 0 3 , tedy rovnic
−2u 11 − u 12 + 3u 13 = 0
2u 11 + u 12 − 3u 13 = 0
−6u 11 − 3u 12 − u 13 = 0
lze volit například u 1 = (1, −2, 0).
II. Podobně, vlastní vektor v 1 + iw 1 příslušející vlastnímu číslu 1 + 3i
je nenulovým řešením soustavy (A − (1 + 3i)E)(v 1 + iw 1 ) = 0 3 , tedy
rovnic s komplexními koeficienty
(−1 − 3i)(v 11 + iw 11 ) + (−1)(v 12 + iw 12 ) + 3(v 13 + iw 13 ) = 0
2(v 11 + iw 11 ) + (2 − 3i)(v 12 + iw 12 ) + (−3)(v 13 + iw 13 ) = 0
(−6)(v 11 + iw 11 ) + (−3)(v 12 + iw 12 ) + (−3i)(v 13 + iw 13 ) = 0
po rozepsání v reálných a imaginárních částech dostáváme šest ’reálných’
rovnic se šesti neznámými v 11 ,w 11 ,v 12 ,w 12 ,v 13 ,w 13 :
−v 11 + 3w 11 − v 12 + 3v 13 = 0
−3v 11 − w 11 − w 12 + 3w 13 = 0
2v 11 + 2v 12 + 3w 12 − 3v 13 = 0
2w 11 − 3v 12 + 2w 12 − 3w 13 = 0
−6v 11 − 3v 12 + 3w 13 = 0
−6w 11 − 3w 12 − 3v 13 = 0
řešením je například vlastní vektor (−1−i, 1+i, 1−i) a tedy vlastnímu
číslu 1 − 3i přísluší vlastní vektor (−1 + i, 1 − i, 1 + i).
Vypočítali jsme, že u 1 = (1, −2, 0), v 1 = (−1, 1, 1), w 1 = (−1, 1, −1).
Matice P , P −1 z Věty 25 splňují
;
;
;
13
□

14
⎛
P = ⎝
1 −1 −1
−2 1 1
0 1 −1
⎞
⎛
⎠ , P −1 = 1 ⎝
2
−2 −2 0
−2 −1 1
−2 −1 −1
Násobením matic snadno ověříme, že v souladu s Větou 25
⎛
(16) P −1 AP = diag(2, [1, 3]) = ⎝ 2 0 0
⎞
0 1 3 ⎠ .
0 −3 1
Příklad 27. Uvažujme soustavu (1) s maticí (15). Podle Věty 1 má
tato soustava právě jedno řešení ϕ: R → R 3 splňující počáteční podmínku
ϕ(0) = (1, 2, 3). K nalezení ϕ použijeme výsledek Příkladu 26 a Větu
3. Použitím ’diagonalizovaného’ tvaru (16) matice A a předchozí části
přednášky dostaneme
e diag(2,[1,3])t = diag(e 2t , [e t cos 3t, e t sin 3t]) =
Podle Věty 3 je pak řešení ϕ dáno vztahem
⎛
⎞ ⎛
ϕ(t) = P ⎝ e2t 0 0
0 e t cos 3t e t sin 3t ⎠ P −1 ⎝ 1 2
0 −e t sin 3t e t cos 3t 3
⎛
⎞
⎠ .
□
⎝ e2t 0 0
0 e t cos 3t e t sin 3t
0 −e t sin 3t e t cos 3t
⎞
⎠ .
□
⎞
⎠ .

Nelineární soustavy
Uvažujme nyní autonomní soustavu diferenciálních rovnic 1. řádu 5
(17) ẋ = f(x),
kde G je otevřená podmnožina R n , f = (f 1 , . . . , f n ): G ⊂ R n → R n ,
x(t) = (x 1 (t), . . . , x n (t)) je neznámá n-rozměrná vektorová funkce s
nezávisle proměnnou t (čas), ẋ značí derivaci x podle t.
Poznámka 28. Je-li funkce f v zápisu soustavy (17) nelineární, mluvíme
o nelineární soustavě. Zpravidla uvažujeme funkci f se spojitými parciálními
derivacemi v G, tj. f ∈ C 1 (G).
□
Věta 29. (o existenci a jednoznačnosti řešení) Jsou-li funkce f soustavy
(17) a všechny její parciální derivace spojité v G, pak ke každému
t 0 ∈ R a vektoru x 0 = (x 0 1, . . . , x 0 n) ∈ G existuje právě jedno maximální řešení ϕ
splňující (17) a počáteční podmínku ϕ(t 0 ) = x 0 .
□
Poznámka 30. Řešení ϕ z Věty 1 budeme někdy značit ϕ(t, t 0, x 0 ),
speciálně pro t 0 = 0 použijeme značení ϕ(t, x 0 ).
□
Definice 31. (rovnovážný stav) Řešení u ∈ Rn soustavy rovnic
(18) f(u) = 0 n
nazýváme rovnovážným stavem soustavy (17).
V dalším předpokládáme, že f má spojité parciální derivace a u ∗ je
rovnovážným stavem soustavy (17). Použitím Taylorovy věty na složku
f j , j = 1, . . . , n funkce f v bode u ∗ dostaneme pro všechna u ’blízká’
u ∗
(19) f j (u) = f(u ∗ ) +
n∑
i=1
kde g j , j = 1, . . . , n je funkce s vlastností
g j (u − u ∗ )
(20) lim
u→u ∗
||u − u ∗ ||
∂f j (u ∗ )
∂x i
(u i − u ∗ i ) + g j (u − u ∗ ),
= 0.
Položíme-li x = u − u ∗ , lze využitím vztahů ẋ = ˙u, f(u ∗ ) = 0 n a (19)
zapsat (17) ve tvaru
kde
ẋ = Ax + g(x),
5 V zápisu soustavy píšeme ẋ, f(x) místo (ẋ) T , (f(x)) T
15
□

16
( ∂fj (u ∗ )
(21) A =
∂x i
) n
i,j=1
je Jakobiho matice matice funkce f v bodě u ∗ . Lineární soustavu
(22) ẋ = Ax
nazýváme linearizací soustavy (17) v rovnovážném stavu u ∗ .
Příklad 32. Spočtěme linearizace soustavy (17) pro
(23) f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 2 1 − x 2 + x 3 , x 1 − x 2 , 2x 2 2 + x 3 − 2)
ve všech jejích rovnovážných stavech. Přepíšeme-li soustavu pomocí jejích
skalárních rovnic, má tvar
x˙
1 = x 2 1 − x 2 + x 3
x˙
2 = x 1 − x 2 .
x˙
3 = 2x 2 2 + x 3 − 2
Ve shodě s Definicí 31, vektor u = (u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ R 3 je rovnovážným
stavem právě tehdy, když
u 2 1 − u 2 + u 3 = 0
u 1 − u 2 = 0
2u 2 2 + u 3 − 2 = 0
řešeními jsou dva vektory (1, 1, 0) a (−2, −2, −6).
J f (x 1 , x 2 , x 3 ) funkce f je podle (21) rovna
⎛
⎝ 2x ⎞
1 −1 1
1 −1 0 ⎠ .
0 4x 2 1
;
Jakobiho matice
Linearizací soustavy v rovnovážném stavu (1, 1, 0) je tedy soustava
⎛
ẋ = J f (1, 1, 0)x = ⎝ 2 −1 1
⎞ ⎛
1 −1 0 ⎠ ⎝ x ⎞
1
x 2
⎠ ,
0 4 1 x 3
respektive v rovnovážném stavu (−2, −2, −6) soustava
⎛
⎞ ⎛
−4 −1 1
ẋ = J f (−2, −2, −6)x = ⎝ 1 −1 0 ⎠ ⎝ x ⎞
1
x 2
⎠ .
0 −8 1 x 3
□

Poznámka 33. Typy příkladů: diagonalizace matice s vesměs reálnými
vlastními čísly jimž přísluší lineárně nezávislé vlastní vektory (n = 2,
’diagonalizace’ matice s imaginárními vlastními čísly (n = 2, výpočet
řešení soustavy (1) s počáteční podmínkou pomocí ’diagonalizace’ (n =
2, výpočet linearizace soustavy v rovnovážných stavech. □
Definice 34. Rovnovážný stav u ∗ soustavy (17) nazýváme
- zdrojem, jestliže všechna vlastní čísla Jakobiho matice J f (u ∗ ) mají kladné
reálné části;
- odtokem (výlevkou), jestliže všechna vlastní čísla Jakobiho matice
J f (u ∗ ) mají záporné reálné části;
- sedlem, jestliže všechna vlastní čísla Jakobiho matice J f (u ∗ ) mají nenulové
reálné části a existuje alespoň jedno vlastní číslo se zápornou a alespoň
jedno vlastní číslo s kladnou reálnou částí.
□
17
3
2
1
0
−1
−2
−3
−1 0 1 2 3 4
Obr. 7.
x˙
1 = cos x 1 ,
x˙
2 = sin x 2 .
Poznámka 35. Podobně jako pro lineární soustavu - srov. s Poznámkou
15 - lze i v případě nelineární soustavy (17) uvažovat její globální fázový
portrét. Budeme jím rozumět systém (všech) orientovaných (ve směru
pokračování s rostoucí proměnnou t) integrálních křivek 6 zakreslených
v G ⊂ R n opatřené kartézským systémem souřadnic x 1 , . . . , x n 7 .
Pro otevřenou U ⊂ G budeme fázovým portrétem v U rozumět část
globálního fázového portrétu odpovídající množině U. Obr. 7 ukazuje
6 orientovanou integrální křivku budeme nazývat trajektorií
7 v takzvaném fázovém prostoru

18
fázový portrét v U = [−π/2, 3π/2] × [−π, π] pro nelineární rovinnou
soustavu.
□
Poznámka 36. V Definici 34 jsme uvažovali případy, kdy všechna
vlastní čísla matice J f (u ∗ ) mají nenulové reálné části 8 . V takovém
případě je soustava (1) s maticí A = J f (u ∗ ) regulární - srov. s Poznámkou
13 - a každá trajektorie jejího fázového portrétu vyhovuje právě jedné
z možností (TL1)-(TL5) zavedených před Definicí 16.
□
V následujících větách ukazujeme, že v případě hyperbolického rovnovážného
stavu u ∗ se fázový portrét (17) v dostatečně malém okolí u ∗
’podobá’ fázovému portrétu linearizace soustavy (17) v u ∗ (možnosti
(TLn) a (TNn) si navzájem odpovídají).
Věta 37. Předpokládejme, že u ∗ je hyperbolickým rovnovážným stavem
soustavy (17). Existuje okolí U bodu u ∗ takové, že pro každé řešení ϕ
z fázového portrétu v U platí jedna z následujících možností:
(TN1) ϕ ≡ u ∗ (’ϕ je konstatní řešení’);
(TN2) lim t→∞ ϕ(t) = u ∗ (’ϕ se přibližuje k u ∗ pro t → ∞’, ’ϕ opouští U
pro t → −∞’);
(TN3) možnost odpovídající (TL3) nenastává v případě hyperbolického
rovnovážného stavu;
(TN4) lim t→−∞ ϕ(t) = u ∗ (’ϕ opouští U pro t → ∞’, ’ϕ se přibližuje k
u ∗ pro t → −∞’);
(TN5) ’ϕ opouští U pro t → ∞ i pro t → −∞’ (’ϕ je sedlového
typu).
□
Věta 38. Předpokládejme, že u ∗ je hyperbolickým rovnovážným stavem
soustavy (17). Pak existuje okolí U bodu u ∗ takové, že
- je-li u ∗ zdrojem, mají všechny nekonstatní trajektorie ve fázovém
portrétu v U vlastnost (TN4);
- je-li u ∗ odtokem, mají všechny nekonstatní trajektorie ve fázovém
portrétu v U vlastnost (TN2);
- je-li u ∗ sedlem, mají všechny nekonstatní trajektorie ve fázovém portrétu
v U vlastnost (TN5).
□
Abstraktní formulace výše uvedených výsledků, která používá pojem
homeomorfismu 9 , je shrnuta v následující větě:
Věta 39. (Grobman-Hartman) Předpokládejme, že u ∗ je hyperbolickým
rovnovážným stavem soustavy (17). Existuje okolí U bodu u ∗ a homeomorfismus
h okolí U na R n takový, že h zobrazuje trajektorie fázového
8 u ∗ je takzvaným hyperbolickým rovnovážným stavem
9 pro oblasti F, G ⊂ R n je h homeomorfismem F na G, jestliže h je bijekcí mezi
F ,G a h, h −1 jsou spojitá zobrazení

portrétu v U soustavy (17) na trajektorie 10 fázového portrétu linearizace
této soustavy v rovnovážném stavu u ∗ .
□
Definice 40. Uvažujme soustavu (17) pro n = 2 s řešením ϕ. Existujeli
nejmenší číslo T > 0 pro něž ϕ(t) = ϕ(t + T ) pro každé t ∈ R,
nazýváme ϕ periodickým řešením (17) s periodou T . Obor hodnot ϕ je
takzvaným cyklem soustavy (17) (nebo také uzavřenou tajektorií). □
Příklad 41. Uvažujme soustavu (17) pro
(24) f(x 1 , x 2 ) = (−x 1 + x 2 + x 2 2, −x 2 ).
Jediným rovnovážným stavem soustavy je 0 2 . Jakobiho matice J f (x 1 , x 2 )
funkce f je podle (21) rovna
( )
−1 1 + 2x2
0 −1
a tedy
J f (0, 0) =
(
−1 1
0 −1
Matice J f (0, 0) má 2-násobné vlastní číslo λ 1,2 = −1. Rovnovážný stav
je tedy odtokem. Podle Věty 38 existuje okolí U r. stavu 0 2 takové,
že každé nekonstatní řešení ϕ má ve fázovém portrétu v U vlastnost
(TN2) pro u ∗ = 0 2 .
□
V další části přednášky se budeme zabývat limitními množinami ve
fázových prostorech (portrétech).
Definice 42. (limitní množina) Uvažujme soustavu (17) a její řešení ϕ.
Je-li
- ϕ definováno pro t ≥ t 0 , symbolem ω(ϕ(t 0 )) značíme množinu všech
bodů x ve fázovém prostoru, ke kterým existuje rostoucí posloupnost
(časů) t n (závisející na x) s vlastností
)
.
lim
n
t n = ∞ & x = lim
n
ϕ(t n ).
Množinu ω(ϕ(t 0 )) budeme nazývat ω-limitní množinou bodu ϕ(t 0 ).
- ϕ definováno pro t ≤ t 0 , symbolem α(ϕ(t 0 )) značíme množinu všech
bodů x ve fázovém prostoru, ke kterým existuje klesající posloupnost
(časů) t n (závisející na x) s vlastností
lim
n
t n = −∞ & x = lim
n
ϕ(t n ).
19
Množinu α(ϕ(t 0 )) budeme nazývat α-limitní množinou bodu ϕ(t 0 ).
□
10 homemorfismus h tedy zachovává orientaci

20
V definici ω-limitní (α-limitní) množiny se předpokládá, že příslušné
řešení ϕ je definováno (globálně) pro každý čas t ≥ t 0 (t ≤ t 0 ). K
ověření této vlastnosti řešení lze použít například
Věta 43. (Chillingworth) Uvažujme dvojrozměrnou (n = 2) soustavu
(17), pro niž G = R 2 a f má spojité parciální derivace v G. Pak je
každé řešení definováno pro každé t ∈ R.
□
Nyní popíšeme možné ω-limitní množiny pro širokou třídu rovinných
soustav. Řešení ϕ je omezené, jestliže ||ϕ(t)|| < K při vhodném K ∈ R
a každém t ≥ t 0 .
Věta 44. (Poincaré-Bendixson) Uvažujme dvojrozměrnou (n = 2)
soustavu (17) s konečně mnoha rovnovážnými stavy. Buď ϕ její omezené
řešení definované pro t ≥ t 0 . Pro množinu ω(ϕ(t 0 )) nastane právě
jedna z následujících tří možností:
- ω(ϕ(t 0 )) je rovnovážný stav
- ω(ϕ(t 0 )) je cyklus
- pro každé u ∈ ω(ϕ(t 0 )) jsou limitní množiny α(u), ω(u) rovnovážnými
stavy
□
Poznámka 45. Typy příkladů: určování zdroje, odtoku a sedla mezi
rovnovážnými stavy soustavy (17), popis lokálního fázového portrétu
pomocí Věty 38, určování typů limitních množin pro specialní soustavy
(17), určování typů limitních množin pro rovinné soustavy (17) s
použitím počítače a Věty 44.
□
Definice 46. Uvažujme soustavu (17). Funkce F : G → R je 1.
integrálem soustavy (17), jestliže platí
n∑
n∑
F ˙ =
i=1
δF
x˙
i =
δx i
i=1
δF
δx i
f i = 0.
Integrálními křivkami (17) jsou vrstevnice funkce F , tj. křivky parametrického
systému {F (x 1 , x 2 ) = c} c∈R .
□
Příklad 47. Pro soustavu
je funkce
x˙
1 = α(x 0 2 − x 2 )x 1 ,
x˙
2 = β(x 1 − x 0 1)x 2
F (x 1 , x 2 ) = βx 0 1( x 1
− ln x 1
) + αx 0
x 0 1 x
2( x 2
− ln x 2
)
0
1 x 0 2 x 0 2
1. integrálem. □
Existuje důležitá třída soustav, které mají 1. integrál. Jde o takzvané
hamiltonovské soustavy. Pro jednoduchost omezíme naši pozornost
pouze na případ v rovině.

Definice 48. Buď H : G ⊂ R2 → R hladká funkce. Rovinná soustava
ẋ 1 = − δH , ẋ 2 = δH
δx 2 δx 1
se nazývá hamiltonovslá, funkci H nazýváme Hamiltonovou funkcí soustavy.
□
Příklad 49. Ukažme, že libovolná rovinná hamiltonovská soustava má
1. integrál. Skutečně, je jím přímo Hamiltonova funkce H. Platí totiž
Ḣ = δH x˙
1 + δH x˙
2 = δH (− δH ) + δH δH
= 0
δx 1 δx 2 δx 1 δx 2 δx 2 δx 1
Věta 50. (Liouville) Uvažujme soustavu (17), nechť Ω(0) značí libovolnou
oblast ve fázovém prostoru v čase t = 0 a Ω(t) značí obraz
této oblasti v čase t (tedy bod x 0 ∈ Ω(0) se po čase t zobrazí do bodu
x(t; x 0 ) ∈ Ω(t)). Označme ’objem’ oblasti Ω(t) symbolem V (t). Platí
(25)
dV (t)
dt
∫
=
Ω(t)
Je-li div f ≡ 0 ve fázovém prostoru, je
oblasti Ω(t) se s časem nemění.
div f dx.
dV (t)
dt
21
□
= 0 a tedy objem V (t)
□
Příklad 51. Ukažme, že pro libovolnou rovinnou hamiltonovskou soustavu
oblast Ω(t) z předchozí věty nemění obsah. Zřejmě stačí ověřit,
že div (− δH
δx 2
, δH
δx 1
) = 0. Platí
div (− δH , δH ) = − δ2 H
+
δ2 H
= 0,
δx 2 δx 1 δx 2 δx 1 δx 1 δx 2
neboť smíšené parciální derivace
rovny.
Příklad 52. Buď soustava
x˙
1 = f 1 (x 1 , x 2 ),
δ2 H
δx 2 δx 1
,
δ 2 H
δx 1 δx 2
x˙
2 = f 2 (x 1 , x 2 )
jsou si podle známé věty
□
hamiltonovská. Ukažme, jak lze nalézt Hamiltonovu funkci H. Víme,
že platí
f 1 = − δH , f 2 = δH .
δx 2 δx 1
Je tedy
∫
H(x 1 , x 2 ) = −
f 1 (x 1 , x 2 )dx 2 = F 1 (x 1 , x 2 ) + c(x 1 ).

22
Protože současně máme
δH
δx 1
= δF 1
δx 1
+ c ′ (x 1 ) = f 2 ,
lze z poslední rovnosti vypočítat c ′ (x 1 ) a další integrací pak i funkci
c(x 1 ).
□
Věta 53. (Liapunov) Uvažujme soustavu (17) s rovnovážným stavem
x 0 ∈ G, nechť existuje okolí U rovnovážného stavu x 0 a skalární funkce
V : U → R, která splňuje
• V (x 0 ) = 0
• V (x) > 0, pro všechna x ∈ U \ {x 0 }.
Pak platí následující tvrzení:
• Je-li ˙V ≤ 0 na U \ {x0 }, rovnovážný stav x 0 je stabilní.
• Je-li ˙V < 0 na U \ {x0 }, rovnovážný stav x 0 je asymptoticky
stabilní.
• Je-li ˙V > 0 na U, rovnovážný stav x0 je nestabilní.
□
Příklad 54. Uvažujme soustavu (17) pro
(26) f(x 1 , x 2 ) = (−x 3 1 + x 1 x 2 , −x 3 2 − x 2 1).
Ukažme, že skalární funkce V (x 1 , x 2 ) = x 2 1+x 2 2 je Liapunovovou funkcí této
soustavy v rovnovážném stavu 0 2 . Předně je V pozitivně definitní na
R 2 . Pro derivaci ˙V platí
(27)
˙V = 2x 1 x˙
1 +2x 2 x˙
2 = 2x 1 (−x 3 1+x 1 x 2 )+2x 2 (−x 3 2−x 2 1) = −2(x 4 1+x 4 2) < 0
na R\{0 2 }. Podle Věty 53 je tedy 0 2 asymptoticky stabilním rovnovážným
stavem soustavy - srov. obr. 8.
□

23
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Obr. 8.
x˙
1 = −x 3 1 + x 1 x 2 ,
x˙
2 = −x 2 1 − x 3 2.
Poznámka 55. Často není lehké nebo dokonce možné najít Liapunovovu
funkci soustavy (17). Jiná je situace pro takzvanou gradientní soustavu
11 , pro kterou lze Liapunovovu funkci v rovnovážném stavu x 0
vyjádřit pomocí funkce V , pokud má tato v bodě x 0 lokální extrém.
Náčrt rovinného fázového portrétu
Pro určení fázového portrétu v rovině jsou rozhodující takzvané singulární
trajektorie, mezi které patří:
• rovnovážné stavy
• cykly (uzavřené trajektorie)
• separatrix sedel (trajektorie ’vcházející’ do sedla a ’vycházející’ ze
sedla)
Pro stručnost pouze konstatujme, že singulární trajektorie dělí fázovou
rovinu na takzvané ’buňky’ a v každé z těchto buněk se již trajektorie
chovají ’kvalitativně stejně’. K analýze singulárních trajektorií můžeme
použít některé z následujících kritérií.
Lemma 56. (Bendixson) Uvažujme soustavu (17) pro n = 2. Je-li D
jednoduše souvislá oblast a div f = δf 1
δx 1
+ δf 2
δx 2
nemění na D znaménko,
nemá soustava (17) cyklus ležící v D srov. obr. 9.
□
11ẋ = −gradV (x), kde V : R n → R

24
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6 −4 −2 0 2 4 6
Obr. 9. Fázový portrét bez cyklu, D = R 2 .
x˙
1 = x 1 − x 3 2, x˙
2 = x 1 + x 2 .
Lemma 57. Je-li γ cyklus soustavy (17) s n = 2 a vnitřek γ je částí G,
má soustava (17) uvnitř cyklu γ rovnovážný stav - srov. obr. 10. □
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Obr. 10. Rovnovážný stav uvnitř cyklu.
Lemma 58. Uvažujme soustavu (17) pro n = 2, nechť div f = δf 1
δx 1
+
δf 2
δx 2
= 0 na jistém okolí U rovnovážného stavu ¯x = ( ¯x 1 , ¯x 2 ). Má-li

linearizace soustavy (17) v bodě ¯x center, existuje okolí V ⊂ U bodu
¯x takové, že V obsahuje pouze cykly soustavy (17) s vnitřním bodem ¯x
srov. obr. 11.
□
25
4
2
0
−2
−4
−6
−6 −4 −2 0 2 4 6
Obr. 11.
x˙
1 = cos x 2 ,
x˙
2 = sin x 1 .
Lemma 59. (Poincaré) Uvažujme soustavu (17) pro n = 2. Je-li D
uzavřená omezená oblast s hranicí δD tvořenou dvěma Jordanovými
křivkami a libovolná trajektorie protínající δD směřuje dovnitř D, má
soustava (17) uvnitř D buď rovnovážný stav nebo cyklus - srov. obr.
12. □

26
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Obr. 12.
Cyklus r = 1 uvnitř oblasti D omezené kružnicemi r 1 = .8, r 2 = 1.2.
Příklad 60. Načrtněme fázový portrét soustavy
x˙
1 = −x 2 + x 1 x 2 ,
x˙
2 = x 1 + 1 2 (x2 1 − x 2 2).
Singulární trajektorie jsou:
• Rovnovážné stavy: (−2, 0), (1, √ 3), (1, − √ 3), (0, 0). První tři
stavy jsou sedly, linearizace v bodě (0, 0) odpovídá centru.
• Cykly: Z Lemmatu 58 plyne existence cyklů kolem (0, 0). Jiné
cykly v portrétu nejsou.
• Separatrix sedel: Lze ukázat, že separatrix jsou takzvanými
heteroklinickými trajektoriemi spojujícími jednotlivá sedla.
Fázový portrét má celkem 7 buněk - srov. obr. 13.
□

27
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Obr. 13.
x˙
1 = −x 2 + x 1 x 2 ,
x˙
2 = x 1 + 1 2 (x2 1 − x 2 2).
Příklad 61. Načrtněme fázový portrét soustavy
x˙
1 = x 2 ,
x˙
2 = −x 1 + x 2 1.
Singulární trajektorie jsou:
• Rovnovážné stavy: (1, 0), (0, 0). Stav (1, 0) je sedlem, linearizace
v bodě (0, 0) odpovídá centru.
• Cykly: Z Lemmatu 58 plyne existence cyklů kolem (0, 0). Jiné
cykly v portrétu nejsou.
• Separatrix sedel: Lze ukázat, že (dvě) separatrix představují takzvanou
homoklinickou trajektorii spojující sedlo (1, 0).
Fázový portrét má celkem 3 bunǩy - srov. obr. 14.
□

28
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Obr. 14.
x˙
1 = x 2 ,
x˙
2 = −x 1 + x 2 1.
Věta 62. (Andronov-Hopf, n ∈ R) Uvažujme soustavu (17) ve tvaru
(28) ẋ = A(ω)x + G(x, ω),
s parametrem ω ∈ R a C 1 -funkcí G: R n × R → R n pro niž
G(x, ω)
lim
||x||→0 ||x||
= 0
stejnoměrně vzhledem k ω z libovolné omezené podmnožiny R. Označme
β 1 (ω), . . . , β n (ω) vlastní čísla matice A a předpokládejme, že
• β 1 (ω) = β 2 (ω) = α(ω) + iρ(ω) blízko hodnoty ω 0 ,
• α(ω 0 ) = 0,
• dα(ω
dω 0) ≠ 0,
• ρ(ω 0 ) ≠ 0,
• Reβ j (ω 0 ) ≠ 0 pro všechna j ≥ 3.
Pak je ω 0 pro soustavu (17) bifurkační hodnotou, tj. existuje posloupnost
ω m taková, že
• lim m ω m = ω 0
• soustava (17) s parametrem ω = ω m má cyklus Γ m
• posloupnost cyklů {Γ m } konverguje k rovnovážnému stavu 0 n ,
tj.
(29) lim
m
max
x∈Γ m
||x|| = 0.
□

29
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Obr. 15.
x˙
1 = −x 2 + x 1 (1 − x 2 1 − x 2 2), x˙
2 = x 1 + x 2 (1 − x 2 1 − x 2 2).
Věta 63. (Andronov-Hopf, n = 2) Uvažujme soustavu (17) pro n = 2
ve tvaru
(30) ẋ = f(x, ω),
s parametrem ω ∈ (ω 0 − ε, ω 0 + ε) a C ∞ -funkcí f : R 2 × R → R 2 pro
niž f(0 2 , ω) = 0 2 pro každé ω ∈ (ω 0 − ε, ω 0 + ε). Označme β 1 (ω), β 2 (ω)
vlastní čísla Jakobiho matice J f (0 2 , ω) a předpokládejme, že
• β 1 (ω) = β 2 (ω) = α(ω) + iρ(ω) blízko hodnoty ω 0 ,
• α(ω 0 ) = 0,
• dα(ω
dω 0) ≠ 0,
• ρ(ω 0 ) ≠ 0.
Pak je ω 0 pro soustavu (17) bifurkační hodnotou, tj. existuje posloupnost
ω n taková, že
• lim n ω n = ω 0
• soustava (17) s parametrem ω = ω n má cyklus Γ n
• posloupnost cyklů {Γ n } konverguje k rovnovážnému stavu 0 2 , tj.
(31) lim
n
max
x∈Γ n
||x|| = 0.
Příklad 64. Obrázky 15-17 ukazují fázové portréty sysému
x˙
1 = −x 2 + x 1 (ω − x 2 1 − x 2 2),
x˙
2 = x 1 + x 2 (ω − x 2 1 − x 2 2)
□

30
pro hodnoty parametru ω ∈ {−1, 0, 1}.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Obr. 16.
x˙
1 = −x 2 + x 1 (−x 2 1 − x 2 2), x˙
2 = x 1 + x 2 (−x 2 1 − x 2 2).
Ověřením předpokladů Věty 63 lze ukázat, že ω 0 = 0 je bifurkační hodnotou
soustavy.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Obr. 17.
x˙
1 = −x 2 + x 1 (−1 − x 2 1 − x 2 2), x˙
2 = x 1 + x 2 (−1 − x 2 1 − x 2 2).

31
□

32
1. Modely
Fish harvesting model
is a system
Ṅ = f(N) − νEN,
where
N(t) = population level at time t;
Ė = α(νpEN − cE),
E(t) = a measure of effort expended in fishing;
f(N) = ”natural growth” of the population (when f(N) = rN(1− N K ),
the population growth is called logistic model);
ν = a constant per-capita rate;
p = price of fish (pνEN is the revenue from the harvest);
c = a constant cost of per unit effort (cE is the total cost);
α = a positive parameter.
It is assumed that f(N) is ”well-behaved” and there are two positive
numbers, defined by ¯N = ν/νp and ˆN where ¯N > ˆN, such that
f(N)
N
d
dN
≥ 0, 0 < N < ¯N,
(
f(N)
N
)
> 0, N < ˆN.
Vojenský konflikt dvou armád
x˙
1 (t) = −α 1 x 2 (t),
x˙
2 (t) = −α 2 x 1 (t),
kde x i (t) je počet vojáků státu X i , i = 1, 2, v čase t, α i
účinnost zbraní vojska státu X i .
> 0 je

33
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Obr. 18.
x˙
1 = −x 2 ,
x˙
2 = −2x 1 .
Průběh boje - obr. 18: má smysl uvažovat jen první kvadrant,
mohou nastat celkem tři různé průběhy a výsledky boje (viz obrázek,
s vodorovnou osou x 1 a svislou osou x 2 ) v závislosti na počáteční
podmínce (x 1 (0), x 2 (0)):
(i): Je-li (x 1 (0), x 2 (0)) nad přímkou o rovnici y = x √ α 2 /α 1 , pak
po konečném čase t jest x 2 (t) > 0, x 1 (t) = 0 a tedy vítězí stát
X 2 (trajektorie od červené k modré).
(ii): Je-li (x 1 (0), x 2 (0)) pod přímkou o rovnici y = x √ α 2 /α 1 , pak
po konečném čase t jest x 1 (t) > 0, x 2 (t) = 0 a tedy vítězí stát
X 1 (trajektorie od červené k zelené).
(iii): Je-li (x 1 (0), x 2 (0)) na černé přímce o rovnici y = x √ α 2 /α 1 ,
pak po nekonečném čase t jest x ( t) = x 2 (t) = 0 a tedy ani jeden
ze států nevítězí (oboustranné vyčerpání armád). □
Závěr. Zvýší-li jeden stát dvojnásobně účinnost zbraní, musí druhý
stát při zachování účinnosti zvýšit čtyřnásobně počet vojáků svého vojska,
aby eliminoval zvýšení účinnosti zbraní protivníka.
Poznámka 65. Realističtější model uvažuje místo konstant α 1 , α 2
funkce α 1 (x, y), α 2 (x, y). Topologický typ fázového portrétu (průběhu a
výsledku boje) zůstane stejný jako v případě konstant. Přesný předpis
funkcí α 1 (x, y), α 2 (x, y) není znám (k topologickému typu: obvod čtverce
a kružnice jsou topologicky stejného typu).
□

34
Dravec-kořist
Jednoduchý model aplikace matematiky v ekologii, pochází z 20. let
minulého století.
ẋ = ax − bxy
ẏ = −cy + dxy
To, že se kořist (např. zajíci) množí, můžeme znázornit rovnicí ẋ = ax,
kde a > 0 je konstanta (faktor množení). Dravci (např. lišky) bez
potravy vymírají, což lze znázornit rovnicí ẏ = −cy, kde c > 0 je
konstanta (faktor úhynu). A faktor, že dravec potká lišku jest hxy,
kde h > 0 je konstanta ( b pro kořist, d pro dravce).
Velikost
populace
kořisti
Velikost populace dravců
Obr. 19.
Po uplynutí určitého času se systém vrátí do původního stavu a celý
cyklus se opakuje - srov. obr. 19.
Model vztahu Romea a Julie
Ṙ(t) = αJ(t) + γR(t)
˙ J(t) = βR(t) + δJ(t),

(soustava dvou dif. rovnic s časem jako nezávisle proměnnou) neboli
lineární soustava s maticí
( )
γ α
A =
β δ
• R(t) je míra lásky Romea k Julii. Je kladná, jestliže Romeo
cítí sympatii k Julii a je záporná, jestliže Romeo cítí antipatii
k Julii.
• α je stupeň, jakým Romeo odpovídá představám Julie.
• γ je míra aktivity Romea vůči Julii. Je záporná, jestliže je
Romeo opatrný a je kladná, jestliže ’plane’.
• J(t) je mírá lásky Julie k Romeovy. Je kladná a záporná analogicky
k Romeovým pocitům.
• β je stupeň, jakým Julie odpovídá představám Romea.
• δ je míra opatrnosti Julie analogicky k γ.
35
Poznámka 66. Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat hodnoty
α, β, γ, δ z intervalu [−1, 1], přičemž hodnota −1 znamená nejvíce
negativní stav a hodnota +1 naopak nejvíce kladný stav - srov. tři
níže uvedené volby koeficientů α, β, γ, δ a příslušné fázové portréty -
obr. 20-22.
□
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Obr. 20. Ṙ = R + .5J, ˙ J = .5R + J.

36
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Obr. 21. Ṙ = R + .5J, ˙ J = R + .5J.
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Obr. 22. Ṙ = .5R − .5J, ˙ J = R − .5J.

Otázky ke zkoušce
37
1) vlastní čísla a vlastní vektory matice (n = 2, 3, Definice 6)
2) typy rovnovážných stavů lineárního systému (obr. 1-6)
3) linearizace nelineárního systému v rovnovážném stavu (vztahy (21),(22))
4) typy rovnovážných stavů nelineárního systému (Definice 34)
5) Andronov-Hopfova bifurkace (ověření předpokladů Věty 63)
6) 1. integrál (výpočet dle Příkladu 49 a Příkladu 47)
7) hamiltonovský systém (ověření, výpočet Hamiltonovy funkce dle
Příkladu 51 a Příkladu 52)
8) náčrt rovinného fázového portrétu (použití kritérií a příkladů 56-61)
9) Liapunovova funkce (ověření předpokladů Věty 53, Poznámka 55)
10) vytvoření fázového portrétu pomocí počítačového programu