à¸à¸à¸à¸µà¹8 à¸à¸²à¸£à¸«à¸¡à¸¸à¸ - electron.rmutphysics.com
à¸à¸à¸à¸µà¹8 à¸à¸²à¸£à¸«à¸¡à¸¸à¸ - electron.rmutphysics.com
à¸à¸à¸à¸µà¹8 à¸à¸²à¸£à¸«à¸¡à¸¸à¸ - electron.rmutphysics.com
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
บทที่ 8 การหมุน<br />
เอกสารประกอบการสอนวิชาฟสิกส 1 สําหรับวิศวกร และ ฟสิกสพื้นฐาน 1<br />
อ.สุกัญญา นิลมวง ภาควิชาฟสิกส คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลธัญบุรี<br />
8-1 ความเร็วเชิงมุม<br />
พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบจุดคงที่หนึ่ง ใหเวลา t 1 ตําแหนงเชิงมุมของแนวเสน OP อยูที่ θ 1<br />
วัดจากแกน OX เวลาผานไปเปน t 2 ตําแหนงเชิงมุมของแนวเสน OP อยูที่ θ 2 ความเร็วเชิงมุม<br />
เฉลี่ย จะเปน<br />
ω av =<br />
2 − θ<br />
t 2 − t1<br />
θ<br />
1<br />
=<br />
ความเร็วเชิงมุมชั่วขณะ เปน<br />
ω =<br />
l im t 0<br />
Δ →<br />
หนวย เรเดียนตอวินาที ( 1 rad ⋅s -1 หรือ 1 s -1 )<br />
θ คือ ตําแหนงเชิงมุม (Angular position) มุมที่ทํากับระดับมีหนวยเปนเรเดียน<br />
Δθ<br />
Δ<br />
t<br />
=<br />
Δθ<br />
Δ<br />
d<br />
dt<br />
θ<br />
t<br />
θ =<br />
a<br />
r<br />
ถา a คือเสนรอบวงของวงกลม θ = 2π rad<br />
2 π rad (1 รอบ) = 360 o<br />
1 rad =<br />
360 o<br />
2π<br />
8-2 ความเรงเชิงมุม<br />
ถาความเร็วเชิงมุมไมคงที่ แสดงวาอนุภาคมีความเรงเชิงมุม ให ω 1 และ ω 2 เปนความเร็ว<br />
เชิงมุมชั่วขณะที่เวลา t 1 และ t 2 ความเรงเชิงมุมเฉลี่ยจะเปน<br />
ความเรงเชิงมุมชั่วขณะจะเปน<br />
α av =<br />
α =<br />
ω2<br />
− ω<br />
t 2 − t1<br />
1<br />
Δω<br />
l im<br />
Δ t → 0 Δt<br />
=<br />
=<br />
Δω<br />
Δt<br />
dω<br />
dt<br />
หนวย เรเดียนตอวินาที 2 (1 rad⋅s -2 หรือ 1 s -2 )<br />
ฟสิกสราชมงคล
2<br />
dθ<br />
เพราะ ω = dt<br />
α =<br />
d dθ<br />
dt dt<br />
เปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่เชิงเสน<br />
θ คือตําแหนงเชิงมุม<br />
2<br />
d θ<br />
=<br />
2<br />
dt<br />
x คือระยะกระจัดเชิงเสน<br />
ω คือความเร็วเชิงมุม เปรียบเทียบกับ v คือความเร็วเชิงเสน<br />
α คือความเรงเชิงมุม<br />
a คือความเรงเชิงเสน<br />
8-3 การหมุนดวยความเรงเชิงมุมคงที่<br />
dω<br />
dt<br />
dω<br />
∫<br />
dω<br />
=<br />
= α =<br />
= αdt<br />
∫<br />
α dt<br />
ω = αt<br />
+ c<br />
1<br />
const<br />
ใหเวลาเริ่มตน t = 0 อนุภาคมีความเร็วเชิงมุม ω 0<br />
ดังนั้น ω = ω0 + αt<br />
ω<br />
dθ<br />
∫<br />
=<br />
=<br />
dθ<br />
dt<br />
ωdt<br />
∫<br />
( )<br />
dθ = ω + αt dt<br />
0<br />
= ω t + 1 αt + c<br />
2<br />
2<br />
0 2<br />
ใหเวลาเริ่มตน t = 0 อนุภาคมีตําแหนงเชิงมุม θ 0 ได C 2 = θ 0<br />
2<br />
ดังนั้น θ = θ + ω t + αt<br />
0 0<br />
t =<br />
ω −ω0<br />
α<br />
2<br />
ω = ω + 2 α θ -θ<br />
2 0<br />
1<br />
2<br />
( )<br />
0<br />
ฟสิกสราชมงคล
3<br />
การเคลื่อนที่เชิงเสนที่มีความเรงคงที่ การหมุนที่มีความเรงเชิงมุมคงที่<br />
a = คงที่<br />
α = คงที่<br />
v = v 0 + at<br />
ω = ω 0 + αt<br />
1<br />
x = x 0 + v 0 t + 2 at<br />
2<br />
θ = θ 0 + ω 0 t +<br />
1<br />
2<br />
αt<br />
2<br />
v 2 2<br />
= v0 + 2a(x − x0)<br />
ω 2 2<br />
= ω + 2 α θ − )<br />
0 ( θ0<br />
ตัวอยาง 8-1 ลอจักรยานหมุนดวยความเรงเชิงมุมคงที่ 2 rad⋅s -2 ใหเวลาเริ่มตน t = 0 ซี่ลอ OP<br />
อยูในแนวระดับ มีความเร็วเชิงมุม = 4 rad.s -1<br />
ก) ณ เวลา t = 3.0 s ซี่ลอจะทํามุมกับแนวระดับเทาไร<br />
ข) ความเร็วเชิงมุม<br />
หลักการคํานวณ<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
……………………………………………………………………………………………………….<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ข)……………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
……………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
4<br />
8-4 ความสัมพันธระหวางปริมาณเวกเตอรของการเคลื่อนที่เชิงเสนและการเคลื่อนที่เชิงมุมของ<br />
อนุภาคที่เคลื่อนที่เปนวงกลม<br />
ถาวัตถุหมุนดวยความเร็วไมสม่ําเสมอรอบจุด O จะเกิดความเรงขึ้น 2 แนวคือ<br />
ความเรงแนวสัมผัส และแนวตั้งฉาก<br />
a || = rα<br />
O<br />
a<br />
r<br />
P<br />
a ⊥ = ω 2 r<br />
θ<br />
x<br />
จุด P หางจากจุดหมุนเปนระยะ r เคลื่อนที่เปน<br />
วงกลม โดยมีตําแหนงกระจัดเชิงมุมเริ่มตนเทากับ<br />
θ เพิ่มขึ้นเปน Δθ ในชวงเวลา Δt อนุภาคที่จุด P<br />
จะเคลื่อนที่เปนสวนโคงของวงกลม Δs = rΔθ<br />
v<br />
v<br />
av<br />
=<br />
Δs<br />
Δθ<br />
= r<br />
Δt<br />
Δt<br />
=<br />
ds dθ<br />
= r<br />
dt dt<br />
=<br />
rω<br />
ความเร็วของอนุภาคที่เปลี่ยนไป Δv กับความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไปΔ ω สัมพันธกันดังนี้<br />
ความเรงในแนวตั้งฉาก หรือรัศมี<br />
Δ v = rΔω<br />
Δv<br />
Δω<br />
= r<br />
Δt<br />
Δt<br />
a =<br />
Δω<br />
r<br />
Δt<br />
a =<br />
dω<br />
r dt<br />
= rα<br />
2<br />
v<br />
a⊥ = =<br />
r<br />
2<br />
ω r<br />
ความเรงลัพธ a = a = a + a<br />
2 2<br />
⊥ II<br />
ฟสิกสราชมงคล
5<br />
8-5 พลังงานจลนของการหมุน<br />
ขณะที่วัตถุหมุน อนุภาคตาง ๆ ที่ประกอบขึ้นเปนวัตถุก็หมุนพรอมไปกับวัตถุดวย<br />
สมมติใหอนุภาคตัวหนึ่งมวล m i อยูหางจากจุดหมุนเปนระยะทาง r i ความเร็วเชิงเสนของอนุภาค<br />
และพลังงานจลนเปน<br />
v<br />
i<br />
=<br />
ωr<br />
i<br />
1 2 1 2 2<br />
ki = mv<br />
i i<br />
= mr<br />
i i<br />
ω<br />
2 2<br />
1 2 2 1 2 2 1 2 2<br />
Ktotal<br />
= mr<br />
11ω m2r2ω m33<br />
r ω<br />
2 2 2<br />
1 2 2 2 2<br />
= ( mr<br />
11<br />
+ mr<br />
2 2<br />
+ mr<br />
3 3<br />
+ ....)<br />
ω<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
= ( ∑ mr<br />
i i ) ω<br />
2<br />
+ + + .....<br />
I<br />
=<br />
∑<br />
mr<br />
2<br />
i i<br />
K<br />
=<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Iω<br />
เรียกคา Ι วาเปนความเฉื่อยของการหมุน หรือโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุ สัมพัทธกับ<br />
แกนหมุน วัดความตานทานของวัตถุที่มีตอการหมุนมีหนวยเปน กิโลกรัม-เมตร 2 (kg⋅m 2 )<br />
โมเมนตความเฉื่อยขึ้นอยูกับแกนหมุน<br />
I<br />
= ∑ mr<br />
2<br />
i i<br />
สมการที่หาโมเมนตความเฉื่อยในกรณีที่มวลเปนจุด<br />
ฟสิกสราชมงคล
6<br />
ตัวอยาง 8-3 โมเมนตความเฉื่อยของสวนประกอบชิ้นหนึ่งของเครื่องจักร ดังรูป จะเปนเทาไร<br />
(ก) รอบแกนหมุน A ตั้งไดฉากกับระนาบ ABC<br />
(ข) ให BC เปนแกนหมุน<br />
(ค) จากขอ (ก) ถามีความเร็วเชิงมุม ω = 40 rad⋅s -1<br />
พลังงานจลนการหมุนจะเปนเทาไร<br />
หลักการคํานวณ<br />
…………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
……………………………………………………………………………………………………..<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
7<br />
โมเมนตความเฉื่อยของมวลรูปทรงตาง ๆ รอบแกนหมุนที่ผานจุดศูนยกลางมวล<br />
8-6 วิธีคํานวณหาโมเมนตความเฉื่อย<br />
ถามวลมีรูปทรงขนาดใหญและเนื้อวัตถุกระจายอยางสม่ําเสมอ แบงมวลของวัตถุ<br />
ออกเปนชิ้นเล็ก ๆ มีคา dm อยูหางจากแกนหมุนเปนระยะ r โมเมนตความเฉื่อยของอนุภาคเล็กๆ นี้<br />
จะเปน<br />
dI<br />
I<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫ r<br />
ρ∫<br />
2<br />
r dm<br />
2<br />
r dm<br />
2<br />
( ρdv)<br />
2<br />
rdv<br />
dV คือปริมาตรเล็ก ๆ ของมวล dm จึงมีลักษณะเหมือนจุด<br />
ฟสิกสราชมงคล
8<br />
ตัวอยาง 8-6<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………..<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
9<br />
ตัวอยาง 8-7 ทรงกระบอกกลวง ยาว l มีเสนผาศูนยกลางในและนอกเปน R 1 และ R 2 ตามลําดับ ให<br />
แกนหมุนผานจุดศูนยกลางมวลของทรงกระบอก แบงปริมาตรของทรงกระบอกกลวงเปนเปลือก<br />
เล็ก ๆ dV หางจากแกนหมุนเปนรัศมี r หนา dr ยาว l (บริเวณแรเงาในรูปภาพ) ปริมาตรของ<br />
เปลือกเล็ก ๆ dV =2πrldr<br />
หลักการคํานวณ<br />
มวลของเปลือกเล็ก ๆ dm = ρdV = 2πρlrdr<br />
r<br />
dr<br />
l<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………..<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………..<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
10<br />
ตัวอยาง 8-8<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
……………………………………………………………………………………………………….<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
……………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
11<br />
8-7 ทฤษฎีแกนขนาน<br />
ทฤษฎีของสไตเนอร (steiner’s theorem) หรือทฤษฎีแกนขนาน (parallel axis<br />
theorem)<br />
Ι = Ι cm + Md 2<br />
Ι cm คือโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุมวล M รอบแกนหมุนที่ผานจุดศูนยกลางมวล<br />
Ι คือ โมเมนตความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนซึ่งขนานกับแกนที่ผานจุดศูนยกลางมวล<br />
และหางเปนระยะ d<br />
ตัวอยาง 8-9 จงหาโมเมนตความเฉื่อยของแทงกลม ใหแกนหมุนอยูที่ปลายแทง<br />
หลักการคํานวณ<br />
………………………………………………………………………………………………………..<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
12<br />
8-8 ทอรค_<br />
คือ แรงที่กระทําใหวัตถุหมุน หรือโมเมนตของแรงรอบจุดใด ๆ มีคาเทากับผลคูณ<br />
ระหวางขนาดของ แรง กับระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนมายังแนวแรง เปนปริมาณเวกเตอร<br />
ทําใหวัตถุหมุนรอบแกน O อัตราการหมุนจะขึ้นอยูกับขนาดของแรง ถาแรงที่กระทําผานแกนหมุน<br />
แขนของโมเมนตจะเปนศูนย ทอรคก็จะเปนศูนยดวย<br />
Γ = F l<br />
นิวตัน-เมตร (N⋅m)<br />
Γ 1 = +F 1 l 1<br />
Γ 2 = -F 2 l 2<br />
แรง F 1 ทําใหวัตถุหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุด O<br />
แรง F 2 ทําใหวัตถุหมุนตามเข็มนาฬิการอบจุด O<br />
ถาแรง F ไมตั้งฉากกับแกนหมุน แรง F สามารถแตกออกเปน 2 แนว คือ<br />
แรง ในแนวขนานกับ r Fcosθ ไมเกิดทอรค เพราะแขนโมเมนตผานจุดหมุน<br />
และ แรง ในแนวตั้งฉากกับ r F sinθ ทําใหเกิดทอรค<br />
ฟสิกสราชมงคล
13<br />
8-9 ทอรคและความเรงเชิงมุม<br />
ใหอนุภาคมวล m อยูหางจากแกนหมุนเปนระยะ r แรงสุทธิที่กระทําตออนุภาค<br />
เทากับ F แยกออกเปน 2 แรงคือ F ⊥ ในแนวตั้งฉาก หรือรัศมี และ F || สัมผัสกับเสนทางการ<br />
เคลื่อนที่<br />
F || = ma ||<br />
F || r = mr 2 α<br />
Γ = Ι อนุภาค α<br />
ΣΓ = Ι วัตถุ α<br />
ΣΓ คือ ทอรครวมที่เกิดจากแรงกระทําจากภายนอก สวนทอรคที่เกิดจากแรงภายใน<br />
จะหักลางกันหมด เพราะเปนแรงคูกิริยาและปฏิกิริยา<br />
ตัวอยาง 8-11 ลูกกลิ้งมวล 50 kg รัศมี 0.1 m หมุนรอบแกนไดโดยไมมีความฝด พันเชือกรอบ<br />
ลูกกลิ้งทรงกระบอกตัน จงหาความเรงเชิงมุม เมื่อดึงปลายเชือกดวยแรงคงที่ 20 N<br />
หลักการคํานวณ<br />
…………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
14<br />
8-10 งานและกําลังของการหมุน___________________________________<br />
แรง F ทําใหลูกกลิ้งรัศมี R เคลื่อนที่ไดระยะกระจัดเชิงมุม Δθ ถามุมนี้มีขนาดเล็กมาก ๆ แรงจะ<br />
คงที่ในชวงเวลาสั้น ๆ งานที่ทําโดยแรง F คือ<br />
งานที่ทําโดยทอรคคงที่จะเทากับผลคูณของทอรคกับระยะกระจัดเชิงมุม<br />
ตัวอยาง 8-15 มอเตอรไฟฟาขับหินเจียรโดยใหทอรค 10 N.m โมเมนตความเฉื่อยของใบเจียร =<br />
2 kg.m 2 ถาเริ่มหมุนจากหยุดนิ่ง จงหางาน พลังงานจลน และกําลังเฉลี่ยของมอเตอรหลังจาก<br />
หมุนไปได 8 วินาที<br />
หลักการคํานวณ<br />
…………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
15<br />
8-11 แกนหมุนคงที่<br />
ถาแกนหมุนไมไดหยุดนิ่งอยูกับที่ มีการเลื่อนตําแหนงและหมุนไปพรอม ๆ กัน<br />
ใหมวล M กลิ้งไปดวยความเร็ว v และหมุนดวยความเร็วเชิงมุม ω พลังงานจลน<br />
Ι c คือ โมเมนตของความเฉื่อยของทรงกระบอกรอบแกนหมุนผานจุดศูนยกลางมวล<br />
ตัวอยาง 8-17 โบวลิ่งลูกหนึ่งกําลังกลิ้งลงมาโดยไมมีการลื่นไถลบนพื้นเอียงทํามุม θ กับระดับ<br />
จงหาความเรงของลูกโบวลิ่งตามแนวพื้นเอียง<br />
รูป 8-20 แผนภาพแทนแรงของลูกโบวลิ่งขณะที่กําลังกลิ้งลงมาบนพื้นเอียง<br />
หลักการคํานวณ<br />
………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
16<br />
8-12 โมเมนตัมและการดลเชิงมุม<br />
พิจารณามวล m เคลื่อนที่บนระนาบดวยความเร็ว v รอบแกนหมุน O<br />
ทอรคคงที่กระทําบนวัตถุที่มีโมเมนตความเฉื่อย Ι ในชวงเวลา t 1 ถึง t 2 ทําใหความเร็ว<br />
เชิงมุมเปลี่ยนจาก ω 1 ไปเปน ω 2 จะได<br />
( ω2 −ω1)<br />
Γ= Iα<br />
= I<br />
( t2 − t1)<br />
Γ( t2 − t1) = I( ω2 − ω1)<br />
= Iω2 − Iω1 = L2 − L1<br />
=ΔL<br />
.<br />
การดลเชิงมุม คือการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุม<br />
เขียนโมเมนตัมเชิงมุมใหอยูในรูปของสมการอนุพันธ<br />
dL dω<br />
= I =<br />
dt dt<br />
Γ = Iα<br />
∴ Γ =<br />
dL<br />
dt<br />
Iα<br />
เขียนโมเมนตัมเชิงมุมใหอยูในรูปของเวกเตอร<br />
L = r× P = r×<br />
mv<br />
r เปนเวกเตอรบอกตําแหนงของอนุภาคเทียบกับจุด O<br />
L เปนเวกเตอรตั้งฉากกับระนาบของรูป มีขนาดเทากับ<br />
mvr<br />
ฟสิกสราชมงคล
17<br />
8-13 การคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม<br />
การดลเชิงมุมของจานหมุนแตละใบ คือการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม<br />
จานหมุน 2 ใบ มีโมเมนตความเฉื่อย Ι และ Ι′และมีความเร็วเชิงมุมเริ่มตน ω 0 และ ω′ 0<br />
ตามลําดับ ประกบจานทั้งสองเขาหากันดวยแรงในแนวระดับ แรงนี้จะไมทําใหเกิดทอรค<br />
เพราะวาอยูแกนเดียวกันกับแกนหมุน รอสักครูจานทั้งสองจะมีความเร็วเชิงมุมเทากับ ω<br />
หลังจากที่จานมีความเร็วเชิงมุมรวมกัน ทอรครวมเปนศูนย เพราะวา เปนแรงกิริยา<br />
และคูกิริยา กระทําที่จุดเดียวกัน มีขนาดเทากันแตทิศทางตรงกันขามกัน ทอรคของจานใบใหญจะ<br />
เทากับทอรคของจานใบเล็ก แตทิศทางแตกตางกัน Γ = -Γ′ หรือเขียนอยูในรูปของการดล<br />
เชิงมุม J θ = - J θ ′<br />
J θ = Ιω - Ιω 0<br />
J θ ′ = Ι′ω - Ι′ω 0 ′<br />
เพราะ J θ = - J θ ′ ดังนั้น<br />
Ιω - Ιω 0 = -(Ι′ω - Ι′ω 0 ′)<br />
Ιω 0 + Ι′ω 0 ′ = (Ι+Ι′) ω .<br />
ถาไมมีทอรคภายนอกกระทํากับระบบหรือทอรคสุทธิของระบบเปนศูนย<br />
ระบบจะคงที่ เราเรียกวา กฎการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม<br />
โมเมนตัมเชิงมุมของ<br />
ฟสิกสราชมงคล
18<br />
ตัวอยาง 8-18 จากรูป 8-23 กําหนดใหจานใบแรกมีมวล 2 kg มีรัศมี 0.2 m ความเร็วเชิงมุม<br />
เริ่มตน 50 rad⋅s -1 จานใบที่สองมีมวล 4 kg มีรัศมี 0.1 m ความเร็วเชิงมุมเริ่มตน 200 rad⋅s -1 จง<br />
หาความเร็วเชิงมุมสุดทายหลังจากจานประกบกัน อยากจะทราบวาพลังงานจลนของระบบอนุรักษ<br />
หรือไม<br />
หลักการคํานวณ<br />
………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
19<br />
ตัวอยาง 8-20 ประตูกวาง 1 m มวล 1.5 kg หมุนไปมารอบบานพับโดยไมมีแรงเสียดทาน ยิง<br />
ลูกปนมวล 10 กรัม ดวยความเร็ว 400 m⋅s -1 ตั้งฉากกับบานประตู ฝงเขาไปบริเวณจุดกึ่งกลางของ<br />
ประตู จงหาความเร็วของประตูหลังจากถูกยิง อยากทราบวาพลังงานจลนของระบบอนุรักษ<br />
หรือไม<br />
หลักการคํานวณ<br />
………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
………………………………………………………………………………………………………<br />
ฟสิกสราชมงคล
Change language