Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

Rysunek 6.12 Geometria i warunki brzegowe w zagadnieniu Motza
6.3.2 Rozwiązanie
Rozwiązanie problemu Motza składa się z dwóch części, co jest
spowodowane przez osobliwość występującą na jednym z brzegów. Pierwszy
człon to liniowa kombinacja rozwiązań podstawowych, podczas gdy drugi opisuje
osobliwość. W związku z powyższym rozwiązanie tego zagadnienia jest
w postaci[Geo1996]:
a po uproszczeniu
N
N
u n (x) = c j lnr 2 j + α k r 2k−1 2 cos 2k − 1 Θ, (6.10)
2
i=1
k=1
N
N
u n (x) = c j log r 2 j + α k r β kcos[β k Θ] , (6.11)
i=1
k=1
gdzie c j , α k , β k to nieznane współczynniki, r j = (x − x j ) 2 + (y − y j ) 2 , x i y to
współrzędne dowolnego punktu wewnątrz rozważanego obszaru, xj i yj oznaczają
współrzędne punktów źródłowych, w których występują osobliwości rozwiązań
podstawowych.
Obliczenia przeprowadzono dla 60 punktów kollokacji NC=60 oraz 12
punktów źródłowych NS=12. Również w tym przypadku przeprowadzono
obliczenia zarówno dla punktów źródłowych rozmieszczonych na konturze
podobnym do rozważanego obszaru oraz dla punktów rozmieszczonych przez
algorytm genetyczny, a następnie wyniki zestawiono w celu porównania.
69