Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

M
T e (x, y) = T e j ∙ N e j (x, y), (4.11)
j=1
gdzie M odpowiada liczbie węzłów przyjętego elementu e, T e j oznacza temperaturę
w węźle j elementu e, N e j to funkcja kształtu elementu e. Stosując przedstawioną
wcześniej metodę Galerkina, możemy zapisać:
∂ ∂Te
λ
∂x ∂x + ∂ ∂Te
λ
∂y ∂y + Q̇ N e i (x, y)dxdy = 0.
(4.12)
Ω e
Korzystając z twierdzenia Greena, otrzymujemy następującą zależność:
∂ ∂Te
λ
∂x
Ω e
∂x N i e + ∂ ∂y
λ
∂Te
∂y N i e dxdy =
(4.13)
= λ ∂Te
∂x
dy − λ
∂Te
∂y dx N i e
Γ e .
Przekształcając lewą stronę równania otrzymujemy:
∂ ∂Te
λ
∂x
Ω e
∂x + ∂ ∂y
λ
∂Te
∂y N i e dxdy =
(4.14)
= − λ ∂Te e
e
∂N i ∂Te ∂N i ∂Te ∂Te
+ λ dxdy + λ dy − λ
∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y dx N i e ,
Ω e Γ e
Biorąc pod uwagę, że
Q̇ = λ ∂T
∂x n x + λ ∂T
∂y n y, (4.15)
i podstawiając do równania Galerkina otrzymujemy:
λ ∂Te
∂x
Ω e
∂N i
e
∂x
+ λ
∂Te
∂y
∂N i
e
dxdy =
∂y
(4.16)
= Q̇ N e i dxdy + λ ∂Te
∂x
Ω e
dy − λ
∂Te
∂y dx N i e
Γ e .
41