Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

gdzie L i B oznaczają operator liniowe, f(x) i g(x) są znanymi funkcjami, x oznacza
dowolny punkt rozważanego obszaru, a u(x) oznacza poszukiwaną funkcję.
Przybliżone rozwiązanie problemu u(x) może być przedstawione w następujący
sposób:
M
u(x) = a i φ i (x), (4.3)
gdzie a i to nieznane współczynniki, zaś φ i (x) oznacza funkcje próbne.
i=1
Korzystając ze słabej formy rozwiązania, algebraiczne równanie na nieznane
współczynniki można zapisać w następującej formie:
v j (x)[Lu(x) − f(x)]dΩ +
Ω
(4.4)
+ v̅j(x)[Bu(x) − g(x)]d∂Ω = 0,
dla j = 1, … , M,
∂Ω
gdzie v j i v̅j są funkcjami wagowymi.
Definiując
R(x, a) = Lu(x) − f(x), (4.5)
jako resztę (residuum), będącą błędem aproksymacji można minimalizować ten
błąd, przez co aproksymacja będzie lepsza, a co za tym idzie rozwiązanie
dokładniejsze. Oznacza to, że oczekujemy spełnienia następującego związku:
v j (x)R(x, a)dΩ = 0 dla j = 1, … , M. (4.6)
Ω
W przypadku, kiedy jako funkcje wagowe przyjęte zostaną funkcje kształtu
v j (x) = N i (x) wówczas otrzymujemy znaną metodę Galerkina.
38