Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...
Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...
Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4 Metoda elementów skończonych<br />
4.1 Wprowadzenie<br />
Metoda elementów skończonych (MES, ang. FEM – Finite Element Method)<br />
jest jedną z najstarszych i najpopularniejszych metod stosowanych <strong>do</strong><br />
numerycznego rozwiązywania cząstkowych równań różniczkowych. Jest to<br />
alternatywna metoda wobec omawianej w poprzednim rozdziale metody<br />
kollokacji brzegowej. Podstawowa różnica pomiędzy tymi dwoma metodami<br />
związana jest z tym, że w metodzie elementów skończonych rozwiązanie<br />
w rozważanym obszarze obliczane jest w sposób przybliżony, a nie jest spełnione<br />
ściśle jak w metodzie kollokacji brzegowej. Stosując MES rozważany obszar jest<br />
dzielony na po<strong>do</strong>bszary, a następnie równanie jest rozwiązywane w sposób<br />
przybliżony dla każdego z tych po<strong>do</strong>bszarów. Pod tym względem jest to metoda<br />
po<strong>do</strong>bna m.in. <strong>do</strong> metody różnic skończonych, metody objętości skończonych oraz<br />
innych, w których obszar podlega dyskretyzacji.<br />
Metoda elementów skończonych jest obecnie bardzo często stosowaną<br />
metodą. Jej powszechność związana jest przede wszystkim z dwoma aspektami:<br />
• <strong>do</strong>stępność – istnieje wiele komercyjnych i niekomercyjnych<br />
implementacji tej metody;<br />
• możliwość rozwiązywania problemów o bardzo złożonej geometrii.<br />
Matematyczne podstawy metody elementów skończonych można<br />
wyprowadzić z tych samych założeń co metodę kollokacji brzegowej tj.<br />
wyznaczając przybliżone rozwiązanie zagadnienia z wykorzystaniem metody<br />
ważonych reszt (metoda ważonych residuów). Metoda ważonych residuów<br />
pozwala na przybliżone rozwiązywanie układów równań różniczkowych.<br />
Zakładając że rozważany problem jest sformułowany w następujący sposób:<br />
Lu(x) = f(x) w obszarze Ω,<br />
(4.1)<br />
Bu(x) = g(x)<br />
w obszarze ∂Ω,<br />
(4.2)<br />
37