13.04.2014 Views

Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

4 Metoda elementów skończonych<br />

4.1 Wprowadzenie<br />

Metoda elementów skończonych (MES, ang. FEM – Finite Element Method)<br />

jest jedną z najstarszych i najpopularniejszych metod stosowanych <strong>do</strong><br />

numerycznego rozwiązywania cząstkowych równań różniczkowych. Jest to<br />

alternatywna metoda wobec omawianej w poprzednim rozdziale metody<br />

kollokacji brzegowej. Podstawowa różnica pomiędzy tymi dwoma metodami<br />

związana jest z tym, że w metodzie elementów skończonych rozwiązanie<br />

w rozważanym obszarze obliczane jest w sposób przybliżony, a nie jest spełnione<br />

ściśle jak w metodzie kollokacji brzegowej. Stosując MES rozważany obszar jest<br />

dzielony na po<strong>do</strong>bszary, a następnie równanie jest rozwiązywane w sposób<br />

przybliżony dla każdego z tych po<strong>do</strong>bszarów. Pod tym względem jest to metoda<br />

po<strong>do</strong>bna m.in. <strong>do</strong> metody różnic skończonych, metody objętości skończonych oraz<br />

innych, w których obszar podlega dyskretyzacji.<br />

Metoda elementów skończonych jest obecnie bardzo często stosowaną<br />

metodą. Jej powszechność związana jest przede wszystkim z dwoma aspektami:<br />

• <strong>do</strong>stępność – istnieje wiele komercyjnych i niekomercyjnych<br />

implementacji tej metody;<br />

• możliwość rozwiązywania problemów o bardzo złożonej geometrii.<br />

Matematyczne podstawy metody elementów skończonych można<br />

wyprowadzić z tych samych założeń co metodę kollokacji brzegowej tj.<br />

wyznaczając przybliżone rozwiązanie zagadnienia z wykorzystaniem metody<br />

ważonych reszt (metoda ważonych residuów). Metoda ważonych residuów<br />

pozwala na przybliżone rozwiązywanie układów równań różniczkowych.<br />

Zakładając że rozważany problem jest sformułowany w następujący sposób:<br />

Lu(x) = f(x) w obszarze Ω,<br />

(4.1)<br />

Bu(x) = g(x)<br />

w obszarze ∂Ω,<br />

(4.2)<br />

37

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!