Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

a ij = Bφ i x j ,
j = 1, … , N, i = 1, … , M;
(3.7)
b j = gx j − Bu n x j ,
j = 1, … , N, i = 1, … , M.
(3.8)
W podstawowym wariancie metody kollokacji brzegowej liczba nieznanych
stałych c i dokładnie odpowiada liczbie punktów kollokacji, co oznacza, że M=N.
Często spotykaną modyfikacją metody kollokacji brzegowej jest sytuacja, w której
liczba punktów kollokacji przewyższa liczbę nieznanych współczynników, a zatem
N>M. W takim przypadku układ liniowych równań (3.6) jest układem
nadokreślonym, a metoda nazywana jest metodą kollokacji brzegowej w sensie
najmniejszych kwadratów, jako że jej realizacja sprowadza się do
zminimalizowania sumy kwadratów błędów spełnienia warunku brzegowego
w wybranych punktach kollokacji.
Rysunek 3.1 Rozmieszczenie punktów kollokacji na brzegu
obszaru i punktów źródłowych na zewnątrz obszaru
Metoda kollokacji brzegowej polega na spełnieniu w sposób ścisły zadanego
układu równań różniczkowych opisujących rozpatrywane zagadnienie
w rozważnym obszarze. Jest to niezwykle ważna właściwość tej metody, wymaga
ona jednak, aby skorzystać właśnie z takich funkcji próbnych, które spełniają
w sposób ścisły rozważane równanie lub układ równań różniczkowych. Jest to
cecha wyróżniająca tę metodę, która jest zarówno jej zaletą jak i wadą.
Niepodważalnym atutem jest fakt, iż dysponujemy ścisłym rozwiązaniem
30