Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

zegowej warunek brzegowy spełniany jest poprzez kollokowanie go
w wybranych punktach na brzegu obszaru (rysunek 3.1). Metoda kollokacji
brzegowej jest metodą analityczno-numeryczną, co pozwala na dalszą analizę
otrzymanego rozwiązania, m.in. na jego całkowanie, wyznaczanie wartości
numerycznej rozwiązania dla dowolnie wybranego punktu rozważanego obszaru
etc.
Przyjmując definicję problemu jak we wzorze (3.1) rozwiązanie można
przedstawić w następującej postaci:
M
u(x) = u n (x) + c i φ i (x), (3.3)
i=1
gdzie u n (x) oznacza rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego (3.1), zaś
φ i (x) oznacza funkcje próbne spełniające w sposób ścisły równanie jednorodne
uzyskiwane z równania (3.1).
Jako że metodę kollokacji brzegowej można traktować jako szczególny
przypadek metody ważonych reszt, wobec tego wymaga się spełnienia
następującego warunku:
v̅j(x)[Bu(x) − g(x)]d∂Ω = 0,
dla j = 1, … M, (3.4)
∂Ω
gdzie v̅j są pewnymi funkcjami wagowymi.
Zakładając, że funkcje wagowe będą w postaci funkcji Diraca:
v̅j(x) = δx j − x, (3.5)
gdzie x 1 , … , x N oznaczają punkty kollokacji na brzegu ∂Ω, wówczas warunek
brzegowy (3.2) jest spełniony w N punktach na brzegu rozważanego obszaru.
Postępując w ten sposób otrzymujemy układ N równań o M niewiadomych c i .
W przypadku gdy różniczkowy operator przedstawiony w równaniu (3.1) jest
liniowy powstaje układ równań liniowych o następującej postaci:
gdzie A={aij}, b={bj} oznaczają kolejno:
Ac = b (3.6)
29