Politechnika Poznańska Zastosowanie algorytmów genetycznych do ...

3 Metoda rozwiązań podstawowych
3.1 Wprowadzenie
Istnieje bardzo wiele fizycznych problemów, które modelowane są przy
pomocy równań różniczkowych w zadanym obszarze oraz warunków brzegowych
zdefiniowanych na jego brzegu. Takie zagadnienie można zapisać w sposób
następujący:
Lu(x) = f(x) w obszarze Ω,
(3.1)
Bu(x) = g(x)
w obszarze ∂Ω,
(3.2)
gdzie L oznacza liniowy operator eliptyczny, B oznacza znany operator
różniczkowy, f(x) i g(x) są znanymi funkcjami, x oznacza dowolny punkt
rozważanego obszaru, a u(x) oznacza poszukiwaną funkcję.
Wypracowano wiele metod pozwalających na rozwiązanie takiego
zagadnienia. Jedną z takich metod jest metoda rozwiązań podstawowych często
oznaczana skrótowo MFS (ang. Method of Fundametal Solutions) lub MRP (skrót
nazwy polskiej). Jako że procedura ta należy do metod bezsiatkowych nie wymaga
ona dyskretyzacji rozważanego obszaru. W konsekwencji, użycie tej metody może
w znaczący sposób skrócić czas obliczeń. Należy również zaznaczyć, że metoda
rozwiązań podstawowych jest szczególnym przypadkiem metody kollokacji
brzegowej.
3.2 Metoda kollokacji brzegowej
Metoda kollokacji brzegowej może być interpretowana jako wariant metody
Trefftza, a więc metody polegającej na tym, iż rozważane równanie różniczkowe
jest ściśle spełnione w obszarze, zaś warunki brzegowe spełnione są w sposób
przybliżony. Ścisłe spełnienie równania różniczkowego jest możliwe poprzez
przyjęcie odpowiednich funkcji próbnych. Metod na przybliżone spełnienie
warunków brzegowych jest wiele, w szczególności, w metodzie kollokacji
28