y - Белорусский государственный экономический университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УО «Белорусский государственный экономический университет»
Сборник задач и упражнений
по высшей математике
для студентов экономических специальностей
В 2 частях
Часть II
МИНСК 2013

УДК 51 (075.3)
ББК 22.1я 73
С 23 Печатается в авторской редакции
Авторы: Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков, Л.В.Станишевская,
Н.Н.Ящина
Рецензенты: зав. отделом ИМ НАН Беларуси, доктор физико-математических
наук, профессор Н.А.Лиходед
Рекомендовано кафедрой высшей математики
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических
специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и
др.). – Минск: БГЭУ, 2013. – Ч.2. – 270 с.
Содержит задачи по следующим разделам математики: функции нескольких
переменных, интегральное исчисление и дифференциальные уравнения,
ряды. Каждый параграф сборника содержит краткие сведения из теории, решенные
примеры для иллюстрации наиболее рациональных методов решения и
задачи для самостоятельного решения. В конце каждой главы даны контрольные
задания. В приложении содержатся варианты тестовых заданий для контроля
усвоения студентами учебного материала. Для усиления прикладной экономической
направленности курса высшей математики в сборнике приведено
большое количество задач экономического содержания.

Содержание
Предисловие …………………………………………………………………. 5
Раздел IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ………… 6
Глава 8. Функции нескольких переменных …………………………. 6
8.1. Основные понятия ……………………………………………... 6
8.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 9
8.3. Частные производные, полный дифференциал, производная
в данном направлении и градиент функции …………………. 12
8.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Частные
производные и дифференциалы высших порядков ………….. 18
8.5. Экстремум функций нескольких переменных. Условный
экстремум ………………………………………………………. 22
8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких
переменных. Функция нескольких переменных в экономических
задачах …………………………………………………….. 25
8.7. Контрольные задания к главе 8 ………………………………. 28
Раздел V.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………………………...
37
Глава 9. Неопределенный интеграл …………………………………... 31
9.1. Непосредственное интегрирование …………………………... 33
9.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
и методом подстановки ………………………………………... 39
9.3. Интегрирование по частям……………………………………... 48
9.4. Интегрирование рациональных функций …………………… 57
9.5. Интегрирование тригонометрических функций ……………... 69
9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций …….. 81
9.7. Контрольные задания к главе 9 ……………………………….. 93
Глава 10. Определенный интеграл и его приложения……………….. 95
10.1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница …….. 95
10.2. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле ………………………………………. 103
10.3. Приближенное вычисление определенных интегралов
(формула трапеции). Несобственные интегралы …………….. 110
10.4. Геометрические приложения определенного интеграла ……. 122
10.5. Приложения определенного интеграла в решении
физических и экономических задач …………………………... 140
10.6. Контрольные задания к главе 10 ……………………………… 145
3

Глава 11. Дифференциальные уравнения …………………………….. 149
11.1. Основные понятия и определения …………………………….. 149
11.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися
переменными …………………………………………. 154
11.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка ….. 157
11.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка …….. 161
11.5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами ………………………………….. 166
11.6. Контрольные задания к главе 11 ……………………………… 175
Раздел VI. РЯДЫ ………………………………………………………….. 177
Глава 12. Числовые ряды ………………………………………………... 177
12.1. Числовой ряд, его сходимость ………………………………… 177
12.2. Исследование на сходимость рядов с положительными членами.
Признаки сравнения …………………………………….. 183
12.3. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный
признак сходимости ……………………………………………. 185
12.4. Абсолютная сходимость. Признак Лейбница о сходимости
знакочередующихся рядов …………………………………….. 190
12.5. Контрольные задания к главе 12 ……………………………… 193
Глава 13. Степенные ряды ………………………………………………. 195
13.1. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости …………… 195
13.2. Ряды Тейлора и Маклорена …………………………………… 199
13.3. Применение рядов в приближенных вычислениях ………….. 203
13.4. Контрольные задания к главе 13 ……………………………… 207
Примерные варианты тестовых заданий ………………………………… 209
О т в е т ы …………………………………………………………………….. 227
Л и т е р а т у р а ……………………………………………………………... 269
4

П Р Е Д И С Л О В И Е
В первые два года обучения студенты экономических специальностей
изучают курс высшей математики, являющийся фундаментом экономического
образования. Для успешного и глубокого усвоения данного курса необходимы
не только учебники и справочники по соответствующим разделам, но и
задачники, служащие для закрепления теоретического материала и повышения
уровня математической подготовки студентов с усилением ее прикладной
экономической направленности.
При подготовке сборника авторы исходили из того, что наиболее
эффективной формой изучения высшей математики является, помимо изучения
теоретического материала, самостоятельная работа студентов над
практическими заданиями при надлежащем контроле со стороны
преподавателей. Поэтому каждый параграф содержит краткие сведения из
теории, носящие справочный характер, и достаточно большое число примеров с
подробным решением для иллюстрации наиболее рациональных приемов. В
конце каждой главы даны соответствующие контрольные задания, что
облегчает использование этого сборника преподавателями.
Материал сборника подготовили сотрудники кафедры высшей
математики Белорусского государственного экономического университета:
глава 8 –– кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Марков;
главы 9, 10 –– кандидат физико-математических наук Л.В. Станишевская;
глава 11 –– ассистент Н.Н. Ящина;
главы 12, 13 –– кандидат физико-математических наук, доцент Л.Н.
Гайшун.
Кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Денисенко
участвовал в написании и редактировании всего сборника.
В конце книги даны ответы на предложенные задачи и приведен список
литературы, в который вошли в основном все источники, использованные
авторами при составлении данного сборника.
В приложении также даны примерные варианты тестовых заданий для
контроля усвоения курса студентами.
Задачник может быть использован студентами экономических
специальностей различных вузов всех форм обучения.
Авторы будут благодарны за все замечания и предложения по улучшению
данного сборника.
5

Раздел IV
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Основные понятия
Рассмотрим множество D , состоящее из пар действительных чисел x, y,
и некоторое множество Z действительных чисел.
Если каждой паре действительных чисел x, y
D по некоторому правилу
f поставлено в соответствие одно определенное действительное число
z Z , то говорят, что на множестве D задана функция z f x,
y, принимающая
значения из множества Z .
z f x,
y называют функцией двух переменных, а переменные
Функцию
x и y – независимыми переменными или аргументами.
Множество D называется областью определения функции. Областью
определения функции двух переменных является множество точек плоскости.
Функцию двух переменных можно задавать аналитически, графически и
табличным способом.
Частное значение функции z f x,
y
при x x0
, y y0
обозначается
через z0 f x0, y0
.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных
z f x,
y является, вообще говоря, поверхность в пространстве Oxyz .
Аналогично определяется функция большего числа переменных
z f x , x2 , , .
1
x n
Геометрические изображения функции трех и большего числа переменных
не имеют простого геометрического смысла.
В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление
о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или
поверхности уровня), т.е. линии или поверхности, где данная функция сохраняет
постоянное значение.
z f x,
y называется множество всех точек
Линией уровня функции
плоскости Oxy , для которых данная функция имеет одно и то же значение.
Таким образом, уравнение линии уровня есть x, y C,
f где C – некоторая
постоянная.
Поверхностью уровня функции u f x,
y,
z
называется множество всех
точек пространства Oxyz , для которых данная функция имеет одно и то же значение.
6

Пример 8.1. Прибыль банка z есть функция процентной ставки x , по которой
банк выдает кредит, и процентной ставки y , по которой банк принимает
вклады.
Пример 8.2. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S xy,
где x и y – длины сторон прямоугольника, т.е. S – функция двух переменных.
Область определения данной функции – это множество точек x, y
таких, что
x 0, y 0, т.е. множество всех точек плоскости, расположенных в первой
четверти, не включая оси координат (рис. 8.1).
y
O
x
Рис. 8.1
Пример 8.3. Найти область определения функций:
1
x
1) z ; 2) z arcsin xy .
2 2
4 x y
2
Р е ш е н и е. 1) Функция имеет действительные значения, если
2 2
2 2
4 x y 0 или x y 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты
точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат.
Область определения функции есть внутренность этого круга (рис. 8.2).
y
-2 O 2
Рис. 8.2
x
2) Первое слагаемое функции определено при 1
1
или 2 x 2.
2
Второе слагаемое имеет действительные значения, если xy 0 , т.е. в двух слуx
7

x 0, x 0,
чаях: при или при . Область определения всей функции изображена
на рис. 8.3 и включает границы
y 0 y 0
области.
y
0
-2 2
x
Рис. 8.3
Пример 8.4. Найти линии уровня следующих функций:
1
1) z 2 x y ; 2) z 2 2
6x
y
.
Р е ш е н и е. 1) Уравнение линий уровня данной функции можно записать
в виде 2 x y C или y 2
x C . Линии уровня являются прямыми.
1
6x
2 y
2
2) Уравнение линий уровня данной функции можно записать в виде
C
2 2
или 6x
y 1
. Линии уровня
являются эллипсами.
C 0
2 2
x y
C , или 1
1 1
6C
C
C
0
Задачи для самостоятельного решения
8.1. Вычислить частные значения функций:
3x
2y
а) z при x 2, y 1; при x 1, y 3;
2 x y
3
б) z x sin y в точке 2;
2 2
1 1
M ; в) z x y y 3 в точке Q ; .
3 2 3
8.2. Найти области определения следующих функций и сделать чертежи:
а)
z
2 2
9 x y ; б) 2
в) z x
y
z 1
x y ;
ln ; г) z x arccosy;
8

2
2
x
д) z 4 x 4 y ; е) z arcsin ;
y
2
2
ж) z x 16 16 y ; з) z y cos x ;
x y
; к) z arctg
2 2
1
x y
2
и) z lnx
y
1
л) z
2 2
x y
; м) 2 2
z sin x y
;
2
2 1
н) z ; о) z .
y x
x 5 y
8.3. Найти области определения следующих функций трех переменных:
а) u x y z ; б) u lg xyz;
в) u arccosx
arccosy
arccosz;
г)
u
2 2 2
1
x y z .
8.4. Найти линии уровня следующих функций:
2 2
а) z lnx
y
; б) z arcsin xy
г) z xy;
д)
8.5. Найти поверхности уровня функций:
; в)
2
x
z ; е) z
y
а) u x y z; б) u x y z ;
в)
u
2 2 2
x y z ; г)
z
u .
2 2
x y
z
2 2
x 4y ;
2 2
9x
4y
.
8.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Пусть в некоторой области D задана последовательность точек
x 1, y 1,
x 2,
y 2 , ..., x n,
y n , ... . Точка M
0
x0, y0
также принадлежит области D .
Расстояние между точками x , y n n
и x , y 0 0
может быть вычислено по формуле
d
n
2
x
x y
2
.
n
0 n
y0
Будем говорить, что последовательность точек x n, y n
стремится к точке
x , y 0 0
, если при n расстояние d 0 n
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x , y 0 0
, кроме
может быть самой точки.
Число A называется пределом функции z f x,
y
в точке x , y 0 0
, если
для любой последовательности точек
x ,
, стремящейся к точке с коорди-
n y n
9

натами x , y 0 0
, точки которой отличны от точки x , y 0 0
и не выходят из области
определения функции, соответствующая последовательность значений
функции f x y ,
f x , y ,
... , f x n,
y , ... стремится к числу A. В этом случае
пишут:
1, 1 2 2
n
10
lim
xx0
yy
0
f
x,
y A
Функция z f x,
y
x , y 0 0
, если предел функции x, y
функции в точке x , y 0 0
, т.е. f x
, y f x
y
.
называется непрерывной в точке с координатами
f при x x0
и y y0
равен значению
lim , 0 0
.
xx0
yy0
Для функции большего числа переменных предел и непрерывность определяются
аналогично.
1)
Пример 8.5. Найти пределы функций:
2xy
lim
x
4 4
x y
2
y3
; 2)
2
sin 3xy
lim ; 3)
x1
y
y0
x y
lim .
x0
x
2xy
Р е ш е н и е. 1) Функция z
определена и непрерывна на
4 4
x y 2
всей плоскости, поэтому предел этой функции равен значению функции в точке
2xy
2
23
12 4
2 ; 3, т.е. lim .
x2
4 4
x y 2 16 81
2 99 33
y3
sin 3xy
2) Функция z в точке 1 ; 0
не определена. Воспользуемся первым
y
sin
замечательным пределом lim 1.
0
sin 3xy
lim
x1
y
y0
3xsin 3xy
lim
x1
3xy
y0
sin 3xy
3lim x lim
x1
x1
3xy
y0
y0
y0
311
3.
3) Рассмотрим две последовательности точек, стремящихся к точке
1 1
0 ; 0, а именно: M
1
1
1
x y
; и M ; 0 n n , тогда lim lim n n 2 ,
n n n
x0
x n
1
y0
n
1
0
x y
lim lim n 1.
x0
x n
1
y0
n
Для разных последовательностей точек получены разные пределы, это и
показывает, что данная функция предела не имеет.

xy 2
Пример 8.6. Найти точки разрыва функции z
x 2 .
y
Р е ш е н и е. Для данной функции знаменатель не должен обращаться в
2
2
ноль. Если x y 0 , то y x – уравнение параболы. Следовательно, данная
функция имеет линией разрыва параболу
2
y x .
8.6. Найти пределы функций:
Задачи для самостоятельного решения
а)
tg2xy
lim ; б)
x3
y
y0
3 3
x y
lim ;
x3
x y
y3
xy
в) lim
; г) lim
x0 2 xy 4
x
y0
д) 3 3
1/
3 3 x y
x0
y0
x 1
;
y 1
1
y1
1
lim 1 x y ; е) lim x
ysin
;
x
x y
y
2 2
x y
y
ж) lim ; з) lim ;
x0
2 2
2 2
x y
x0
x y
y0
y0
2 2
и) lim x
y
x0
y0
sin
1
; к)
xy
3 3
x y
lim .
x0
x y
y0
8.7. Найти точки разрыва функций:
2 2
1
а) z ln x y ; б) z 2 2
9 x y
;
1
в) z ; г)
x y
2
1
z cos ;
xy
1
д) z
x
2 2 y
3 2 ; е)
1
ж) u ;
x y z
з)
z
2
x
x
y
y
2
;
1
u cos .
xyz
11

8.3. Частные производные, полный дифференциал,
производная в данном направлении и градиент функции
Для функции двух переменных
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих
переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения
функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится
к нулю.
z f x,
y , полагая, например, y постоянной,
получаем производную
z
lim
x
x
0
f
x
x,
y
f x,
y
x
f
x,
y,
которая называется частной производной функции z по переменной x . Аналогично
определяется частная производная функции z по переменной y
z
lim
y
y
0
f
x,
y x
f x,
y
y
Полным приращением функции z f x,
y
f
x
y
x,
y.
называется разность
x
x, y y
f x
y
z f
, .
Полным дифференциалом функции z f x,
y
полного приращения
y
называется главная часть
z , линейная относительно приращений аргументов x и
z f x,
y обозначается символом dz .
. Полный дифференциал функции
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции
есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
2 2
x y .
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности
ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она
называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по
определению, совпадают с их приращениями, т.е. dx x
и dy y
. Полный
дифференциал функции z f x,
y
находится по формуле
z
z
dz dx dy .
x
y
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u f x,
y,
z
находится по формуле
u
u
u
du dx dy dz .
x
y
z
12

При достаточно малых
x и
y , а значит, при достаточно малом
2 2
x y , для дифференцируемой функции z f x,
y
имеет место приближенное
равенство
откуда
z dz или
f
z
z
z x
y
,
x
y
x
x, y y f x,
y x
y.
z
z
(8.1)
x
y
Формула (8.1) применяется для приближенного вычисления значения
z f x,
y x x, y y
по известным значениям функции
функции в точке
z x, y и ее частных производных
в данном направлении l MM1
называется
z
x
Производной функции z f x,
y
где f M
и
z
l
z и
y
в данной точке y
x, .
lim
M1M
0
f
M
f M
1
M M
f M 1
– значения функции в точках M и
1
дифференцируема, то справедлива формула
1
,
M . Если функция z
z
z
z
cos cos , (8.2)
l
x
y
где – угол, образованный вектором l с осью Ox , а – угол, образованный
вектором l с осью Oy , причем 90
(рис. 8.4).
y
M
M
1
O
x
Рис. 8.4
13

Аналогично определяется производная в данном направлении l для
u f x,
y,
z . В этом случае
функции трех аргументов
u
l
u
u
u
cos
cos
cos
, (8.3)
x
y
z
где , ,
– углы между направлением l и соответствующими координатными
Градиентом функции
осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения
функции в этом направлении.
z f x,
y называется вектор, проекциями которого
на координатные оси являются соответствующие частные производные данной
функции:
z
z
grad z i j . (8.4)
x
y
Производная данной функции в направлении l связана с градиентом
функции следующей формулой:
z
прl
grad z ,
l
т.е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на
направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей
линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке
есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т.е.
z
при l grad z производная принимает наибольшее значение, равное
l
z
x
2
2
z
.
y
Аналогично определяется градиент функции трех переменных u f x,
y,
z
u
u
u
grad u i j k .
x
y
z
:
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
1)
Пример 8.7. Найти частные производные следующих функций:
y
3 2
z ln ctg ; 2) u x y z 4x
5y
2z
2.
x
14

z
1
x
ctg
Р е ш е н и е. 1) Рассматривая y как постоянную величину, получим:
y
x
1
2
sin
y
x
y
2
x
2y
. Аналогично, рассматривая x как по-
2y
sin
x
z
1
1
стоянную, получим:
y
y
2
ctg
sin
x
u
2 2 u
2) 3x
y z 4 2x
3 yz
x
y
z
y
2
x
, 5
2
1 2
y x 2y
xsin
x
x
u
3 2
, x y 2 .
z
Пример 8.8. Найти полный дифференциал функции
Р е ш е н и е. Найдем частные производные
3y
x
3
2
y
3
. Тогда
.
z
x
2
z
3 3
x y .
3x
x
3
2
y
2
2
2
2
3x
3y
3x
dx 3y
dy
dz dx dy
.
3 3
3 3
3 3
2 x y 2 x y 2 x y
3
,
3.01
Пример 8.9. Вычислить приближенно 1 .02 .
Р е ш е н и е. Искомое число будем рассматривать как значение функции
y
z x при x 1 0, 2, 3 0, 1
1 ; 3 равно
1;
3 1
3 1
y . Значение функции в точке
z , x 0, 02 , y 0, 01. Используя формулу (8.1), получим
z
dz yx
3.01
1,02
y1
x
x y
1
0,06 1,06.
ln xy 310,02
1ln10,01
0,06. Следовательно,
Пример 8.10. Найти производную функции
z
2 2
2x
3y
в точке M 1;
0
в направлении, составляющем с осью Ox угол в 60 .
Р е ш е н и е. Найдем частные производные данной функции и их значения
в точке M : 4x
; 4; 6y
; 0. Здесь cos
z
z
z
z
x
x
M
y
y
1
cos60
, cos
cos30
2
z
1 3
4
0
2.
l
2 2
3
2
M
. Применяя формулу (8.2), получим
Пример 8.11. Найти и построить градиент функции
M 1;1 .
2
z x y в точке
15

Р е ш е н и е. Вычислим частные производные и их значения в точке M :
z
z
z 2 z
2xy
; 2;
x ; 1. Следовательно, grad z 2 i j
x
x
M
y
y
M
(рис. 8.5).
y
2
1
M
O
1 2 3
Рис. 8.5
x
Задачи для самостоятельного решения
8.8. Найти частные производные функций:
3 3
а) z x y 3xy
в)
д)
2
; б) z x sin 2x
4y
x y
z ; г)
x 3y
4
y
z ; е)
x
2 2
x y
ж) z arcsin , x 0 , y 0; з)
2 2
x y
и)
л)
y
z ; к)
x
y
z arctg ; м)
x
н) u xy z
; о)
;
y
z x ;
x
sin
y
z e ;
x a
z ln sin ;
y
5x
z ;
2
x y
2
cos x
z ;
y
xy
u z .
8.9. Найти полные дифференциалы следующих функций:
3 4 2
а) z x y 5x
y ; б)
z x
2 y 3 ;
2 2
x y
2
2
в) z ; г) z sin x cos y ;
2 2
x y
y
3 3
д) z yx ; е) z lnx
y ;
16

x
x y
ж) z ln 1
; з) z arctg arcctg ;
y y x
x
и) z ln tg ; к) u xyz ;
y
3 3 3 3
л)
u x y z ; м) u
8.10. Найти приближенные значения:
а) 3
xy
z e
.
1,02
2 0, 99 ; б) sin 32
cos59
;
4,04
2 2, 97 ; г) 1,03 8, 99 ;
в) 2
1,98
2 0,15
д) arctg 1 ; е) 1,95
e .
0,97
8.11. Найти производную функции
M в направлении,
составляющем с осью Ox угол в
z
2
2
x xy 2y в точке 1;
2
60 .
3 2 2
8.12. Найти производную функции x 2x
y xy 1
z в точке 1;
2
направлении, идущем от этой точки к точке N 4;
6.
8.13. Найти производную функции
биссектрисы первого координатного угла.
2
8.14. Найти производную функции x 3yz
5
z
2 2
ln x y в точке 1;1
P в
K в направлении
u в точке 1 ; 2; 1
N в направлении,
составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.
K в направ-
8.15. Найти производную функции u xy yz zx
лении, идущем от этой точки к точке L 5;
5;15.
8.16. Найти z
8.17. Найти z
8.18. Найти u
grad в точке ; 1
grad в точке ; 3
в точке 2;1;
3
3 3
2 , если z x y 3xy
.
5 , если
grad в точке ; 2; 3
z
2 2
x y .
1 , если u xyz .
8.19. Найти угол между градиентами функции
B 1; 1 .
y
1 1
z ln в точках A ; и
x
2 4
17

8.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Частные
производные и дифференциалы высших порядков
Если z f x,
y, x t
, y t
от t . При этом
dz
dt
если f , и – дифференцируемые функции.
, то z называется сложной функцией
z
dx z
dy
, (8.5)
x
dt y
dt
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например x , то
«полная» производная функции z по x находится по формуле:
dz
dx
Если z f x,
y, где x u,
v, y u,
v
z
z
dy
. (8.6)
x
y
dx
(u и v – независимые переменные),
и если f , и – дифференцируемые функции, то
z
z
x
z
y
,
u
x
u
y
u
Уравнение F x, y 0, имеющее решение x
z
z
x
z
y
. (8.7)
v
x
v
y
v
0 , y 0 , определяет в окрестности
x
0
переменную y как непрерывную функцию x при условии, что производная
0 и непрерывна в некоторой окрестности точки 0
F
y
x , y 0 . Эта
функция называется неявной. Если в окрестности точки x 0 , y 0 существует
F
также и непрерывная производная , то неявная функция имеет производную
x
dy , определяемую формулой
dx
Уравнение x, y,
z
0
dy
dx
F
x
. (8.8)
F
y
F при аналогичных условиях определяет z как неявную
функцию x и y , имеющую частные производные
z
x
F
x
F
z
,
z
y
F
y
. (8.9)
F
z
18

z
Пусть дана функция z f x,
y, имеющая частные производные и
x
z . Частные производные от этих производных называются частными производными
2-го порядка и
y
обозначаются:
2
z
z
;
2
x
x
x
z
x
y
2
z
yx
2
z
z
;
y
x
xy
z
y
y
z
.
y
2
;
2
Аналогично определяются и обозначаются частные производные 3-го порядка и
других высших порядков.
Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования,
равны, если они непрерывны:
d
2 2
z z
xy
yx
z
x
y
z
xyx
z
yx
3
3
3
,
2
2
и т.д.
Таблица производных высших порядков выглядит следующим образом:
2
z
2-го порядка ,
2
x
2 2
z z
, .
2
xy
y
3
3
3
3
z z z z
3-го порядка , , , и т.д.
3 2
2 3
x
x
y
xy
y
Полный дифференциал второго порядка определяется так:
2
2
z
z dx
2
x
. По-иному данное равенство можно записать
символически:
d
3
2
2
2
z z
2 dxdy dy
2
xy
y
z dx dy
z и т.д.
x
y
d
3
2
z dx dy
x
y
2
2
z . Аналогично
dz
Пример 8.12. Найти , если dt
z
3x2
y
e , где x cost
,
2
y t .
dz
dt
e
Р е ш е н и е. По формуле (8.5) имеем:
3x2
y
dz , если
dx
3
2
3x2
y
3x2
y
3cost2t
sin t
e 2
2t
e 4t
3sin t e 4t
3sin t
Пример 8.13. Найти частную производную
xy
z e , где y x
.
19
z
x
и полную производную
.

dz
dx
Р е ш е н и е.
x
xy xy
ye xe .
z
x
xy
ye
. На основании формулы (8.6) получаем
z
Пример 8.14. Найти
z и , если
u
z f x,
y , где x uv , y .
u
v
v
z z
z
1
Р е ш е н и е. Применяя формулы (8.7), получим: v
,
u
x
y
v
z
z
z
u
u
.
2
v
x
y
v
Пример 8.15. Найти dx
dy , если 2 2
3
3 2 2
y x y 1
0
x .
Р е ш е н и е. Обозначая левую часть данного уравнения через x
y
F
2 2 2
2 2
найдем частные производные 3x
y 2x
3
2x
6x
x
y
F
y
3
получим
x
2 2 2
2 2
x
y 2y
3
2y
6y
x
y
dy
dx
F
x
F
y
6x
6y
Пример 8.16. Найти
2 2 2
x y 1
x
2 2 2
x y 1 y
z
x
2
2
F , ,
1
,
1
. Отсюда, применяя формулу (8.8),
.
z и , если 3 3
4 2
2
x y z yz y 0 .
y
Р е ш е н и е. Обозначая левую часть данного уравнения через F x
y,
z
, ,
F 2 F
F
найдем частные производные 3x , 12y
3 z 1, 4 z y .
x
y
z
Применив формулы (8.9), получим:
F
F
2
2
3
3
z
x
3x
3x
z
y
12y
z 1
12y
z 1
,
.
x
F
4z
y 4z
y y
F
4z
y y 4z
z
z
Пример 8.17. Найти частные производные второго порядка от функции
x
z arctg .
y
Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные первого порядка:
z
1
x
x
1
y
2
2
1
y
x
2
y
y
2
z
1
y
x
1
y
2
2
x
y
2
x
2
x
y
2
. Теперь дифференцируем
20

вторично:
2
z
2
x
x
x
2
2
z
xy
y
x
2
y
y
2
y
y
2
1
2xy
,
2 2
x
y 2 2
2
y
y
x
2 2
2 2
x
y
2y
y x y
2 2 2
2 2
x
y x
y 2
2
z
x
y
Смешанную частную производную можно найти и иначе:
2 2
z z
x y y x x
x
2
x
y
2
1
x
.
2
2 2
2 2
y
2x
x x y
2 2 2
2 2
x
y x
y 2
2xy
2 2
x
y 2
.
,
Пример 8.18. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков
функции z 2x
3xy
y .
2
2
Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные первого порядка:
z
z
z
z
4x
3y
, 3x
2y
. Тогда dz dx dy 4x
3ydx
3x
2ydy
.
x
y
x
y
2
2
z z
Найдем теперь частные производные второго порядка: 4 , 3,
2
x
xy
2
z
2
y
d
2
z
2
. Дифференциал второго порядка запишется следующим образом:
2
2
4dx
6dxdy
2dy
.
Задачи для самостоятельного решения
dz
8.20. Найти , если: dt
а)
в)
z
2
2
x xy y ,
y
z ,
x
t
x e ,
y
2
x t , y t ; б)
2t
1 e ; г)
z
2 2
x y , x sin t
x
z ln
sin
,
y
, y cost
;
2
x 3t , y t 2 1.
dz
8.21. Найти , если: dx
а) z arctg xy
в)
, где
x
y e ; б)
z
x
x
2
2
y
, где y 2x
1
y
y
y
z xe , где y x; г) z , где y ln x .
2
x
21

z
z
8.22. Найти и , если:
u
v
2
x
а) z , где x u 3v
, y 2 v u ; б)
y
в)
y
z x , где x uv ,
dy
8.23. Найти из уравнений:
dx
22
x
z arctg , где x usin
v , y ucosv
;
y
u
2 2
y ; г) z x y y x, где x
v
а) 2 2 2 3 5
3
x y x y 0; б) x y a ;
3y
3x
3 3
в) xe ye 0; г) x y 4axy
0.
8.24. Найти
а)
x
z
x
z и , если:
y
2
3
2
3
2
2
u v , y u v
3 3 3
2
y z 2zx
a ; б) 3cosx 2y
3z x 2y
3z
;
2 2 3
в) x 2y
z 3xyz
3y
2 0; г) x cos y ycos
z z cos x 1.
8.25. Найти все частные производные 2-го порядка, если:
2
x y
2
а) z ln x
y; б) z arctg ; в) z 2xy
y ;
1
xy
y 1
2
г) z ; д) z xsin x
y; е) z y lnx 1.
x 1
8.26. Найти d 2 z , если:
3
y
а) z ; б)
3
x
x
z y ln ; в) z
y
2
3
2 .
x y
e ; г) z sin x tg y
8.5. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум
Точка
0
x0, y0
z f x,
y
x
y
f M
f ( M
f
2 .
M называется точкой максимума (минимума) функции
M 0
M 0
, если существует такая окрестность точки M
0
, что для всех точек
M , из этой окрестности, отличных от точки M
0
, выполняется неравенство
f ). Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума этой функции.
0
x0, y0
Необходимые условия экстремума. Если функция z f x,
y
в точке
M имеет экстремум, то либо все ее частные производные первого порядка
в этой точке (если они существуют) равны нулю, т.е.
z
z
0 , 0, (8.10)
x
y
либо хотя бы одна из них не существует.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции
z f x,
y равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются
критическими.
Аналогично определяются необходимые условия экстремума функции
большего числа переменных.
2
z
Достаточные условия экстремума. Пусть A ,
2
x
в критической точке x
M и
0 0, y0
A
B
B
C
2
AC B .
2
z
B
xy
z
y
2
и C
2
Тогда, если:
1) 0, A 0, то функция имеет в точке M
0
максимум;
2) 0, A 0, то функция имеет в точке M
0
минимум;
3) 0, то в точке M
0
экстремума нет;
4) 0, то экстремум может быть, а может и не быть (требуются дополнительные
исследования).
Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции z f x,
y
условии, что x и y связаны уравнением x, y 0
при
, составляется вспомогательная
функция Лагранжа
u f x, y
x,
y. (8.11)
Координаты точки экстремума x, y
должны удовлетворять системе трех
уравнений
u
u
x, y 0 , 0 , 0 , (8.12)
x
y
из которой и находятся , x и y .
Пример 8.19. Исследовать на экстремум функцию
z x
3 3xy
2 15x
12y
.
Р е ш е н и е. Найдем частные производные и составим систему уравнений
(8.10): 3x
3y
15
0, 6xy
12
0 или 2 2
z
2 2 z
x y
5
0
. Ре-
x
y
xy 2
0
1; 2 M 2; 1 ,
шая систему, получим четыре критические точки: M ,
2
z
M 31;
2, M 4
2; 1
. Найдем производные 2-го порядка 6x
,
2
x
2
2
z z
2
6y
, 6x
и составим определитель AC B для каждой критической
2
xy
y
точки.
1
2
23

1) Для точки 1;
2
2
2
2
z z
z
M 1
: A 6 , B 12, C
2
x
M
xy
2
M
y
1
2
6, AC B 36 144
0. Значит, в точке M
1
экстремума нет.
M 2;1 : A 12, B 6, C 12, 144 36
0, A 0. В
2) Для точки
2
точке M
2
функция имеет минимум. Этот минимум равен значению функции
при x 2, y 1: z 8 6 30
12
28.
min
3) Для точки M : A 6, B 12, C 6, 36 144
0. Значит, в
точке M
3
экстремума нет.
M 2; 1 : A 12, B 6, C 12, 144 36
0,
4) Для точки
4
A 0. В точке M
4
функция имеет максимум, равный
z 8
6 30 12
28.
max
Пример 8.20. Найти экстремум функции z 6 4x
3y
при условии,
2 2
что переменные x и y удовлетворяют уравнению x y 1.
Р е ш е н и е. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего
и наименьшего значений z плоскости z 6 4x
3y
для точек пересече-
2 2
ния ее с цилиндром x y 1.
2 2
Составим функцию Лагранжа (8.11): u643x
y
x y
1.
Найдем частные производные
уравнений (8.12)
y 3
1
5
и 5
2
,
2
u
u
4 2x
, 3 2y
и составим систему
x
y
4 2 x 0
5
3 2y
0 , из которой следуют решения:
1
,
2 2
x y 1
2
4
x
2
,
5
3
y
2
.
5
1
M
1
x 4
1
5
,
2
2
2
u u u
2
2 2
Так как 2
, 0 , 2
d u 2
dx dy . Если
2
2
x
xy
y
5 4 3 2
, x и y , то d u 0 и в этой точке функция имеет условный минимум.
Если , x и y , то d u 0 и в этой точке функция имеет
2 5 5
5 4 3 2
2 5 5
16 9
16 9
условный максимум. Таким образом, z
max
6 11, z
min
6 1.
5 5
5 5
, то
24

Задачи для самостоятельного решения
8.27. Исследовать на экстремум следующие функции:
2
2
2
а) z x xy y 9x
6y
20 ; б) z y x y x 6y
;
x
2
z ; г) z e x
y 2
в) x
3 8y
3 6xy
4
;
2 2
2
2
д) z x y 2ln x 18ln
y ; е) z x xy y 2x
y ;
2
2 2
ж) 3
z 1
x y ; з) z 2xy
4x
2y
.
8.28. Найти условные экстремумы следующих функций:
1 1
1 1 1
а) z при x y 2;
б) z x y при ;
2 2
x y
x y 2
2 2
2 2
в) z xy при x y 2; г) z x y при x y 1
2 3
.
8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных в экономических задачах
Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, или
в точке границы области.
z x
2
Пример 8.21. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
2
y xy x y в области x 0, y 0, x y 3.
Р е ш е н и е. Указанная область – это треугольник (рис. 8.6).
1) Найдем критические точки. Для этого решим систему уравнений
z
z
2x
y 1
0, 2y
x 1
0.
x
y
3,0
3 3
,
2 2
1
, 0
2
M
y
x
1
0,
2
Рис. 8.6
25
0,
3

В результате получаем точку M 1;
1
z 1.
M
. В точке M значение функции
2) Исследуем функцию на границах области.
Если x 0, то z y
2 y , и задача сводится к отысканию наибольшего и
наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке 3 y 0.
Проводя исследование, находим: z 6 в точке 0;
3;
1
точке 0 ; .
2
Если y 0, то z x x
3; 0;
наиб
x0
2 . По аналогии находим: 6
1 1
z
наим
в точке
y0 ; 0 .
4 2
наиб
1
z
наим
в
x0 4
z в точке
y0
Если x y 3, т.е. y 3 x , функция имеет вид z 3x
2 9x
6 . По
3 3 3
аналогии находим: z наим
в точке
x y3
;
4 2 2
z .
z совпадает
с z наиб
x0
и наиб
y0
наиб
; 6
наиб
xy3
Сопоставляя все полученные значения функции z , делаем вывод, что
6 ; 3 3; 0 , z 1
в критической точке М .
z в точках 0 и
наим
Пример 8.22. Производятся два вида товаров, цены которых соответственно
равны 40 и 20. Функция затрат, связанных с производством этих товаров,
имеет вид Cx, y 0,2x
0,1 xy 0,3y
, где x , y – количества
2
2
товаров
первого и второго видов. Требуется составить функцию прибыли, найти ее экстремумы
и проверить известное правило экономики: предельная цена товара
равна предельным издержкам на производство этого товара.
Р е ш е н и е. Составим функцию прибыли z p x p y Cx,
y
p
2
2
2
2
ax
bxy cy
40x
20y
0,2x
0,1 xy 0, y
1x
p2
y
3
кой точки зрения переменные x и y должны быть неотрицательными.
1
2
. С экономичес-
Для нахождения критических точек сначала выпишем необходимое условие,
т.е. найдем первые частные производные функции z и приравняем их к
z
z
нулю: 40 0,4x
0,1 y 0, 20 0,1x
0,6 y 0 . Решая систему уравне-
x
y
ний 40 0,4x
0,1 y 0
, получаем
20 0,1x
0,6 y 0
2200
x ,
23
400
y . Таким образом, имеем
23
2200 400
критическую точку M ; . (Если бы оказалось, что хотя бы одна из
23 23
переменных приняла отрицательное значение, то задача с экономической точки
зрения не имела бы решения.)
26

Проверим достаточное условие экстремума. Найдем вторые частные про-
2
2
2
z z z
изводные функции z : 0,
4, 0,
1, 0,
6. Вычислим их зна-
2
2
x
xy
y
2
2
z
z
чения в критической точке M : A 0,
4, B 0,
1,
2
x
xy
2
z
2
y
M
0,6
C . Находим AC B
0,4
0,6
0,1 0,24 0, 01
2
M
0,23
0. Значит, найденная критическая точка является точкой экстремума, а
так как A 0, то это точка максимума.
48000
Определим максимальное значение прибыли z
max
z M
. В данном
23
случае предельная цена товара x равна p 40, а товара y равна p 20 . Выражение
«предельная цена товара равна предельным издержкам на производство
этого товара» математически записывается в виде: p1 ,
Cx,
y
x
C
x,
y
p2 , где M – это точка экстремума. В нашем случае
y
C x,
y
x
M
M
2200 400 920
0,4
0,1 40,
23 23 23
1
C
x,
y
y
M
M
2
0,1
2200
23
2
0,6
460 20 .
23
Следовательно, известное правило экономики действительно выполняется.
400
23
M
Задачи для самостоятельного решения
8.29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в указанной области:
2
2 2
а) z x y в области x y 1;
2 2
б) z x y 3xy
в области: 0 x 2, 1
y 2;
в) z xy x y в области: x 1, x 2, y 2, y 3;
2 2
г) z x y 6x
4y
2 в области: 1 x 4, 3 y 2 ;
2 2
д) z x y 2xy
4x
в области: x 3, y 0, x y 1 0.
8.30. При каких размерах открытая прямоугольная емкость объемом V имеет
наименьшую поверхность?
8.31. Сечение канала должно иметь форму равнобочной трапеции заданной
площади. Как выбрать его размеры, чтобы площадь поверхности канала, омываемая
водой, была наименьшей?
27

8.32. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой.
При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее
изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном
объеме?
8.33. Найти стороны участка в виде прямоугольного треугольника, имеющего
при заданной площади S наименьший периметр.
8.34. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его
боковая поверхность равна S .
8.7. Контрольные задания к главе 8
Вариант 1
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: ln2x
3y
5
z .
2. Найти частные производные функции
2 2
z x y 5xy
2x
3y
6.
3. Найти полный дифференциал функции
3 3
z x y 4xy
.
4. Вычислить приближенное значение 3 2 2
1,02
0,05 .
5. Найти экстремумы функции z x
2y
2 4x
12y
.
Вариант 2
2 2
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: z x y 25 .
2. Найти частные производные функции
3. Найти полный дифференциал функции
z
3 4
3 2 2
x 2y
8xy
x y yx .
z x
4 y 4 .
3
4. Вычислить приближенное значение 0,09
0,99
3
ln .
2 2
5. Найти экстремумы функции z 3x
4y
6x
8y
15.
Вариант 3
1. Найти область определения функции и сделать чертеж:
2. Найти частные производные функции z y 3x
y
sin .
3
2
3. Найти полный дифференциал функции z sin x cos y .
4. Вычислить приближенное значение
5 2,03
0,02 2
e .
2
2
5. Найти экстремумы функции z x 4xy
5y
2x
6y
80.
1
z
.
2 2
x y 25
28

Вариант 4
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: z
1
2 2
64 x y
.
2. Найти частные производные функции z xcos 2 y
2x
.
y2
3. Найти полный дифференциал функции
z y 2 x .
1,97
4. Вычислить приближенное значение arctg 1.
1,02
2
2
5. Найти экстремумы функции z 3x
4xy
y 10x
8y
5.
Вариант 5
1. Найти область определения функции и сделать чертеж:
2 2
2 2
x
y 416
x y
z .
2. Найти частные производные функции z 5
3xy .
2 2
3. Найти полный дифференциал функции z lnx
y
4. Вычислить приближенное значение 2, 03
0 ,97 .
.
5. Найти экстремумы функции z x
3 3xy
2 51x
24y
.
Вариант 6
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: z y x .
2. Найти частные производные функции
z
z ln 1 xy .
sin 2x3y
3 .
3. Найти полный дифференциал функции
4. Вычислить приближенное значение
2 2
4,05
2,93 .
4 4 2
2
5. Найти экстремумы функции z x y 2x
4xy
2y
.
Вариант 7
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: z 2 x y
xy
2. Найти частные производные функции
2x
y
z .
x 3y
3. Найти полный дифференциал функции
x y
z arctg .
y
2 1
4. Вычислить приближенное значение 1,02 9, 97.
2 2
x
y
2 2
5. Найти экстремумы функции z e x
2y
.
ln .
29

Вариант 8
1. Найти область определения функции и сделать чертеж:
x
z arccos arccos
1
y
y 2
.
2. Найти частные производные функции
3
2x
z 2 2
1
x y
.
3. Найти полный дифференциал функции z e
cos y .
1,02
2 0, 97 .
1
x y
z .
2 2
1
x y
4. Вычислить приближенное значение 2
5. Найти экстремумы функции
Вариант 9
2
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: z y 2x
4 .
y 2
2. Найти частные производные функции z arccos .
x 2
3. Найти полный дифференциал функции z x x y .
4. Вычислить приближенное значение sin 31
cos58
.
z cos x cos y
2 sin x sin y .
5. Найти экстремумы функции 2
Вариант 10
1 1
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: z .
x 1
y
xy 1
2. Найти частные производные функции z arcctg .
xy 1
2
3. Найти полный дифференциал функции z 1 sin xy .
4. Вычислить приближенное значение 6,02 sin
28
x
5. Найти экстремумы функции z y
x y
2
8 , 0,
y 0
.
x .
30

Раздел V
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 9. Неопределенный интеграл
Пусть функция f (x)
задана на некотором множестве Х. Тогда функция
F (x), определенная на этом множестве, называется первообразной функции
f (x) , если она дифференцируема для любых x X и F ( x)
f ( x)
для всех
x X .
Если F (x)
– одна из первообразных функции f (x)
на множестве Х, то
любая другая первообразная функции f (x)
имеет вид F( x)
c, где с – некоторая
постоянная.
Совокупность
F( x)
c всех первообразных функции f (x)
на множестве
Х называется неопределенным интегралом от функции f (x)
и обозначается
f ( x)
dx, где – знак интеграла, f (x)
– подынтегральная функция, f ( x)
dx –
подынтегральное выражение. Таким образом,
f ( x)
dx F(
x)
c .
Операция нахождения всех первообразных функции f (x)
называется
интегрированием этой функции.
Перечислим основные свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования):
;
d f ( x)
dx f ( x)
;
1) f ( x)
dx f ( x)
2) dx
3) d ( F(
x))
F(
x)
c ;
4) ) ( ) ( ,
f ( x dx f x dx const 0)
;
5) ( x)
g(
x))
dx f ( x)
dx
( f g(
x)
dx.
31

Таблица основных неопределенных интегралов:
1. 0 dx c .
2. 1 dx x c .
1
x
3. x dx c ( 1)
.
1
dx
4. x c .
2 x
dx
5. ln | x | c.
x
x
6. e
dx e c .
x
x
x a
7. a
dx c ( a 0, a 1)
.
ln a
8. sin xdx
cosx
c .
9. cos xdx
sin x c .
dx
10. tgx c x n,
nZ
.
cos 2 x 2
dx
.
sin 2 x
11. ctgx
c x
n,
nZ
dx
12. arcsin x c arccosx
c (| x | 1)
.
2
1
x
dx x
x
13. arcsin c arccos
c (| x | |
a |, a 0)
2 2
a x a
a
dx
14. arctg x c arcctg
x c .
2
1
x
dx 1 x 1 x
15. arctg c arcctg c ( a 0)
.
2 2
x a a a a a
dx 1 x a
16. ln c ( a 0, | x | |
a |) .
2 2
x a 2a
x a
.
dx 2 2
17. ln x x a c ( a 0,
в случае знака «минус» должно быть
2 2
x a
| x | | a |) .
Интегралы 1–17 называются табличными.
32

9.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственным интегрированием называют приведение данного интеграла
к алгебраической сумме более простых интегралов, используя основные
правила интегрирования (свойства 4 и 5 неопределенного интеграла), тождественные
преобразования подынтегральной функции и таблицу основных интегралов.
dx
Пример 9.1. Найти интеграл .
3
x x
Р е ш е н и е. Данный интеграл не является табличным. Представим
7
1
подынтегральную функцию в виде x
2
, а затем применим формулу 3
3
x x
таблицы основных интегралов и получим:
7
1
7
dx
2
5
x 2 2
2
2
x dx c x c
3
2
x x
7
1
5 5x
2
c .
x
1
Пример 9.2. Найти интеграл 1 dx .
x
Р е ш е н и е. Преобразуем подынтегральную функцию, а затем применим
формулы и правила интегрирования:
3
1 1 1 1
dx dx dx
1
dx 1
3
3
dx
dx
3 3
2 3
2 3
x x x x
x x x
1
2
dx 2
3
x x
dx
3
3 x dx x dx x 3ln | x | 3
c
x
1
2
3 1
x 3ln | x | c.
2
x 2x
6 12
Пример 9.3. Найти интеграл
dx
.
2 2
2x 9 2x
9
Р е ш е н и е. Используя правила 4 и 5 интегрирования и формулы 15, 16
таблицы интегралов, находим:
6 12 6 dx 12 dx
2
2
dx
2
2
2x
9 2x
9 2 3 2
2
2 3
x x
2
2
3
x
1 x 1 2
x 2 x 2 3
3
arctg 6 ln c 2arctg
2 ln c.
3 3 3 3
2 x
3 x 2 3
2 2 2 2
3
33

dx
Пример 9.4. Найти интеграл .
2
9 4x
Р е ш е н и е. Данный интеграл приведем к табличному следующим образом:
dx dx 1 dx 1 x 1 2x
arcsin c arcsin c.
2
9 2 2
9 4x
3
2
3
2
2 3
2 x
2
2
4
x
2
3 1
Пример 9.5. Найти интеграл x x 2
dx
.
x
Р е ш е н и е. Находим
1 1
1
1
4
x 2
dx x
2
2 x
2
dx 2
x
2dx
dx
x
x
3
3
3
x
2
4
3
x
x x c.
x
x
x c
5 3 3
5
Пример 9.6. Найти интеграл
dx .
x
3
Р е ш е н и е. Используя правило 5 интегрирования и формулу 7 таблицы
интегралов, получим:
x x
x
x
5 3 3
5 5
5
dx
5 3 dx
5 dx 3 dx
x
3
3
3
e
e
2x
e
x
x
x
5
3
3 5
5x
3
c 5x
5
5
ln
ln 3
3
3
e
Пример 9.7. Найти интеграл
e
Р е ш е н и е. Находим
1
dx
1
x c.
x
2
2
x
x
x
2x
x
c.
1
dx .
1
( e ) 1
( e 1)(
e 1)
x
x
dx
dx ( e 1) dx e dx dx
x
x
e 1
e 1
x
x e
Пример 9.8. Найти интеграл
e
1 dx .
2
cos x
Р е ш е н и е. Сведем данный интеграл к сумме табличных путем преобразования
подынтегральной функции и использования правила 5:
x
x
e
x 1
x dx x
e 1 dx
e
dx
e
dx e tgx c.
2 2
2
cos x cos x
cos x
34

Пример 9.9. Найти интеграл
3
5
x x e
x
Р е ш е н и е. Применяя правило 5 интегрирования и формулы 3, 6, 5
таблицы интегралов, получим:
3
x x
11
5
x
e
5
x
x
4
dx
x
14
3
e
x
1
dx
x
x
14
3
5
x
x
4
dx .
x dx
dx
e dx
x
x
3
x
3 x
e ln | x | c
e ln | x | c.
11
3 3 2
11x
x
3
x x x
Пример 9.10. Найти интеграл a
b 2 dx .
Р е ш е н и е. Согласно формуле 7 таблицы интегралов, имеем
a
x
b
x
x
x
x (2ab)
(2ab)
2 dx (2ab)
dx c
c.
ln(2ab)
ln 2 ln a ln b
x
Пример 9.11. Найти интеграл
4x
2
x
4 3x
Р е ш е н и е. Записав числитель в виде 2 x 1
3( x 1)
3 и почленно
разделив его на знаменатель, получим сумму табличных интегралов 17, 2 и
16:
4x
2
x
2ln x
4 3x
2
2 cos
1
cos2
1
x
2
2
dx
2
1
3x
x
2
3
ln
2
1
3( x
x
2
2
1
x 1
c.
x 1
2
1
2 cos x
Пример 9.12. Найти интеграл dx.
1
cos2x
Р е ш е н и е. Используя формулу
2
x
x
2
2 cos x dx 1
dx dx dx tgx
2
2
2cos x cos x 2
2
2
dx.
1)
3 dx
dx 2 3 dx 3
2
x 1
2
2
2cos x 1
cos2x
, имеем
1
2
x c.
2 x
Пример 9.13. Найти интеграл 5sin
dx.
2
1 cos
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой sin 2 x x
.
2 2
2 x 5
5 5 5 5
5sin dx (1
cosx)
dx dx
cosxdx
x sin x c.
2 2
2 2 2 2
2
dx
2
x 1
35

Пример 9.14. Найти интеграл ( tgx ctgx)
dx.
Р е ш е н и е. Возведя подынтегральную функцию в квадрат и воспользовавшись
формулами tg x 1,
ctg x 1,
tgx ctgx 1, получим
2 1
2 1
2
2
cos x
sin x
2
2
2 1 1
(
tgx ctgx)
dx (
tg x 2 ctg x)
dx
dx
2 2
cos x sin x
dx dx
tgx ctgx c.
2 2
cos x sin x
dx
Пример 9.15. Найти интеграл
.
2 2
sin xcos
x
Р е ш е н и е. Умножим числитель на «тригонометрическую» единицу
2 2
(sin x cos x 1)
и разделим затем почленно на знаменатель:
2
sin
2
dx
xcos
2
x
2
2
(sin x cos x)
dx dx
dx
tgx
ctgx
c.
2 2
2 2
sin x cos x cos x sin x
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
4 3 2
3x
9.1. (
x 2x
6x
8x
7) dx.
9.2.
36
4
2x
2 1
9.3.
x 2x
dx.
9.4.
2
x
(
a bx)
2 dx.
9.5. (
)
3 x 2
a bx dx.
9.6. dx.
3
x
( x 1)(
x
9.7.
2
3x
2
6)
dx.
1 3 5 7
9.9.
dx.
2 4 6 8
x x x x
9.11.
1
1 dx .
x
( x 1)(
x
9.13. 2
x
x 9
9.15. dx.
x 3
2
3
3
1)
dx.
3
5x
1 2 3
9.8.
dx.
2 3
x x x
x
4
x 5
9.10.
dx.
4
5 x
9x
9.12.
5
( x
9.14.
9.16.
12x
2
4
2
x 1)
x
3
dx
4x
9
. 2
2
6x
2
x
7x
8
dx.
3
3
dx.
7x
2
4x
2
dx.

dx
9.17.
5
9.19.
x
9.21.
x
2
x
.
dx
4x
1
. 2
2
2
4
dx.
1
x
9.23. dx.
2
x 1
9.25.
x
2
2
x
2
a
1
2x
9.27. 2
x (1 x
2
dx.
2
2
dx.
)
9.29. 3x
5
9.18.
x
9.20.
dx
2x
8
. 2
3
9x
2
dx.
2
x 9
x
9.22. dx.
2
x 1
x
9.24. dx.
2
x 1
2
4
2 x
9.26.
1
x
4
2
dx.
9.28. (3x
x)
2 dx.
2 3 x dx.
9.30. 3 x x
dx.
x 3
x 3
dx.
9.32. 1 1
dx.
4 3
x x
9.31. x
3
x
9.33.
x
1 3
dx.
x 1
9.34. dx .
3 2
x
7 1
9.35.
x dx.
9.36.
3 5
x dx.
3
x
x
2
3
(1
9.37. 2
x dx.
9.38.
x
x
9.39. 3ax dx ( a 0).
9.40.
3 7
9.41.
dx.
2
1
x
2
1
x
2 8
9.43.
dx.
2 2
1
x 1
x
x n
dx
)
1 2
2
2 3x
2
dx.
5 3
9.42.
dx.
2
2 x
2
2 x
3 1
x
9.44.
2
1
x
.
2
dx.
5 1
x
9.45.
2
1
x
2
dx.
9.46.
2
3 x
3 x
9 x
4
2
dx.
37

x
x 3e
9.47.
e
5 dx.
4
x
e
9.49.
e
2x
x
3x
1
dx.
1
9.51. e
3 dx.
5
9.53.
x 2
x
7
35
x
x1
dx.
x
x 2
9.55.
2
1 dx.
5
x
9.57. cos 2 x
dx.
2
x
x e
9.48.
e
1 dx.
3
x
x
2x
3x
9.50. 2
3 5 dx.
3 2 5
9.52. dx.
x
3
2
9.54.
x
x 1
x
3
15
x
x1
dx.
x
x a
9.56.
a
1 dx.
4 3
x
9.58. tg x dx.
2
2
9.59. ctg x dx.
9.60. ( 3sin x 4cosx)
dx.
1
8 7cos
9.61. 3sin
x dx.
9.62.
2
cos x
2
cos x
3
x
dx.
1
9.63.
3cosx
1dx.
2
cos x
2cos2x
9.65. dx.
2
sin 2x
3tg
x 4
9.67. dx.
2
sin x
1
cos x
9.69. dx.
1
cos2x
dx
9.71. .
1
cos2x
2
2
cos2x
9.64.
dx.
2 2
4cos x sin x
9.66. ( x
2 2sin x 3e
) dx.
2
9.68.
3sin x 5dx.
2
sin x
dx
9.70. .
1
cos2x
x x
9.72. cos
sin dx.
2 2
2
x
9.73. (
2 )
2 3 2ctg
tgx ctgx dx.
9.74. 2
cos x
2
x
dx.
a bctg x
9.75.
c c cos2x
2
dx.
2
a btg x
9.76. dx.
c
sin 2 x
38

9.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
и методом подстановки
Если нахождение интеграла f ( x)
dx затруднительно, то пользуются методом
подстановки или методом замены переменной. При применении этого
метода используют подстановки двух видов:
1) x (t),
где x (t)
– монотонная непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной t. В этом случае ( x)
dx f ( t)
2) u (x)
такой подстановке
f ( t)
dt ;
, где u – новая переменная. Формула замены переменной при
f
x)
(
x)
dx f ( (
x))
d(
(
x))
( f ( u)
du.
Эта процедура называется подведением функции u (x)
под знак дифференциала
и, фактически, эквивалентна замене переменной х на новую переменную
u (x)
.
В простых случаях введения новой переменной u необходимо иметь в
виду следующие преобразования дифференциала dx:
1. dx d( x a),
где а – постоянная величина.
1
2. dx d(
ax),
где постоянная a 0 .
a
1
3. dx d(
ax b),
где постоянная a 0 .
a
1 2
4. xdx d(
x ).
2
1 2
5. xdx d(
x b)
.
2
6. sin xdx
d(cosx)
.
7. cosxdx
d(sin
x)
.
8. dx d(ln x)
. x
В общем случае ( x)
dx d (
x)
.
20 dx
Пример 9.16. Найти интеграл (3x
5) .
Р е ш е н и е. Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной.
Здесь достаточно развернуть выражение ( 3x 5) по формуле
20
бинома
Ньютона и применить почленное интегрирование. Однако этот способ связан с
большим количеством вычислений. При помощи замены переменной можно
39

сразу свести данный интеграл к табличному. Полагая
1
3 dx dt , т.е. dx dt . Отсюда получаем
3
20 1 20 1 1 21 1
21
(3x
5) dx t
dt t c (3x
5) c.
3 3 21 63
3 x 5 t , имеем
7 3
Пример 9.17. Найти интеграл x 2x
3 dx.
Р е ш е н и е. Так как
под знак дифференциала, будем иметь:
x
2
1
6
7 3
2x
7
(2
8
x
1 3
2 1
3 dx (2x
3) 6x
dx (2x
6
6
3
3)
8
7
c
7
(2
48
x
3
3
2
2
d( 2x
3) 6x
dx, то, применяя метод подведения
1
7
3)
8
7
c.
4
2
3)
1
7
d(2x
3
3)
x dx
Пример 9.18. Найти интеграл .
10
x 1
Р е ш е н и е. Применим подстановку
5
x t . Тогда
4
5 x dx dt ,
4
4 1 x dx 1 dt 1 1 5
x dx dt и arctgt
c arctgx c.
10
2
5 x 1
5 t 1
5 5
Пример 9.19. Найти интеграл
xdx
49 x
4
.
Р е ш е н и е. Находим
x
2
2x
2
2
x
1 x
arcsin c
xdx 1 2xdx
1 d
4
x 2 2 2 2
7 ( x ) 2 2 2 2
49
7 ( x ) 2 7
dx
Пример 9.20. Найти интеграл
.
2
x 4x
20
Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат в знаменателе
2
4x
20 ( x 2) 16
, получим:
dx
dx d(
x 2) 1 x 2
arctg c
2 2 2
x 4x
20 ( x 2) 16
( x 2) 4 4 4
4
1
2 2 (
2
.
xdx
Пример 9.21. Найти интеграл
.
4
2
2x
6 2x
16
Р е ш е н и е. Поступим так же, как в примере 9.20:
6
xdx
2x
d(
2
2x
2
16
(
2x
2
3)
3)
2
5
2
2x
2
xdx
3)
1
2 2
2
1
25 2 2 (
1
10
ln
2 x
2 x
2
2
2
2x
2
2 xdx
2
3) 25
8 1 x
c ln
2 20 2 x
2
2
.
4 2
c .
2
40

x 1
Пример 9.22. Найти интеграл dx .
x 3
Р е ш е н и е. Записав числитель в виде ( x 3) 4, почленно разделив
его на знаменатель и применив формулы 2 и 5 таблицы интегралов, имеем:
x 1
( x 3) 4 4
dx
d(
x 3)
dx dx 1
dx
dx 4 dx 4
x 3 x 3 x 3
x 3
x 3
x 4ln | x 3| c
.
x(2
3x
)
Пример 9.23. Найти интеграл dx .
4
6 x
Р е ш е н и е. Разделив почленно числитель на знаменатель, приведем к
сумме двух интегралов:
x(2
3x
6 x
4
2
)
dx
2
2xdx
6 x
4
4
3
x
3
6 x
4
dx
( x
41
2
)
2
2
d(
x
2
)
6
2
3
4
1 x 3 d(
x 6) 1 x 3 4
arctg arctg ln( x 6) c .
4
6 6 4 x 6 6 6 4
Пример 9.24. Найти интеграл
2
1
x dx .
1
x
3
4x
dx
6 x
Р е ш е н и е. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выраже-
1
x (1 x)
1
x dx
ния на 1 x : dx dx dx
1
x (1 x)(1
x)
2
2
1
x 1
x
arcsin x
e
1
2
d(1
x
2
4
xdx
1
x
2
2
2
arcsin x (1
x )
2
d(1
x ) arcsin x 1
x
1
x
2
2
)
1
2
Пример 9.25. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Положим
2x1
e t
t
t 2x1
dx dt e
dt e
2x
1
2x
t
1
2x1
e
dx .
2x
1
t 1
2 x 1 t , тогда x , dx tdt
2
c .
e
Пример 9.26. Найти интеграл 4
e
2
Р е ш е н и е. Сделаем замену e
2x
2x
x
x
2
dx .
3
2
t , тогда 2 e x dx dt и
e 1 2e
1 dt 1 1 t
dx dx arctg c
4x
2x
2
2
e 3 2 ( e ) 3 2 t 3 2 3 3
1 e
arctg
2 3
2x
3
1
c arctg
2 3
1
3e
2x
c .
и
2
c .

Пример 9.27. Найти интеграл sin(
1 5x
) dx .
Р е ш е н и е. Заметив, что
d( 1
5x)
5dx
, имеем
1
1
1
c.
5
5
5
sin( 1 5x
) dx sin(1
5x)(
5)
dx sin(1
5x)
d(1
5x)
cos( 1
5x)
dx
Пример 9.28. Найти интеграл
.
sin 2 x 1 ctgx
Р е ш е н и е. Так как
1
d( 1
ctgx)
2
sin
dx d(1
ctgx)
(1 ctgx)
2
d(1
ctgx)
2
sin x 1
ctgx 1
ctgx
виду
1
(
2
1
ctgx)
1
c 2
1
ctgx c.
2
Пример 9.29. Найти интеграл sin xcosxdx
.
dx , то интеграл приводится к
x
1
Р е ш е н и е. Так как
d(sin x)
cosxdx, то
sin
4
xcosxdx
sin
4
x d(sin
x)
1
sin
5
5
x c.
sin 4x
Пример 9.30. Найти интеграл
cos 2x 4
dx
4
.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что
sin 4x 2sin 2x
cos2x
, получим
d(cos 2 2x)
4cos2xsin
2xdx,
sin 4x
1
dx
4
cos 2x
4 2
( 4)sin 2xcos2x
1
dx
2 2 2
(cos 2x)
2 2
d(cos
(cos
2
2
2x)
2x)
2
2
2
2
1 1 cos 2x
1 cos 2x
arctg c arctg c .
2 2 2 4 2
Пример 9.31. Найти интеграл sin 2 8xdx
.
1
Р е ш е н и е. Применяя формулу sin 2 8x
(1 cos4x)
, имеем
2
1
1 1
1 1 1
sin
2 8x dx (1 cos4x)
dx dx
cos4x dx x cos4xd(4x)
2
2 2
2 2 4
1 1
x sin 4x
c .
2 8
2
42

x
dx
Пример 9.32. Найти интеграл
.
x 2 3ln x
3
Р е ш е н и е. Так как d( 2 3ln x)
dx , то
x
dx
2 3ln x
1
1
2
1 3dx
1 d(2
3ln x)
1
(2
3ln x)
3 x 2 3ln x 3 2 3ln x 3
(2 3ln x)
2
c 2 3ln x c.
3 1 3
2
x (arccos3 x)
Пример 9.33. Найти интеграл
2
1
9x
Р е ш е н и е.
x (arccos3 x)
1
9x
2
2
2
1
2
dx.
x (arccos3 x)
1
dx dx dx
2
2
1
9x
1
9x
18
2
d(2
3ln x)
( 18)
x
1
9x
2
dx
2
1 (arccos3x)
( 3)
1
2
2 1
(1 9 )
2
dx x d(1
9x
) (arccos3x)
3
2
1
(3x)
18
3
1
2
d(arccos3x)
1
18
(1 9x
1
2
2
)
1
2
1 (arccos3x)
3 3
3
1
c
9
1
9x
2
1
(arccos3x)
9
3
c .
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
9.77. (5
2 )
6 3 4 3
x dx.
9.78. x (1 2x
) dx.
dx
9.79. .
3 5x
x
9.81. dx.
2 3
( x 1)
dx
9.83. .
2
x x 1
9.85.
x
2
dx
.
6x
25
x
9.80. .
2
5 3x
dx
3x
1
9.82. dx.
2
x 9
9.84.
x
2
dx
.
5x
6
dx
9.86.
x(x 1)
.
43

2x
3
9.87. dx.
2
x 3x
5
2
x
9.89.
5 x
6
dx.
x
9.91. dx.
2x
4 5
dx
9.93. .
2 7x
2
6x
6x
1
9.88.
dx.
3 2
2x
3x
x 2
x
9.90.
.
x
4 4x
2 5
dx
dx
9.92. .
3
( 2x
1)
2
9.94. 3x
1dx.
3
9.95. 1 2x dx;
9.96. x x 1dx.
2
3 3 2
9.97. x 3 x dx.
9.98.
x
dx
2
1
x
.
9.99.
9.101.
9.103.
9.105.
9.107.
9.109.
x
2
2 3x
x
2
4x
3
dx.
dx
.
2x
2
dx
5x
3
3
2
x
.
2 dx
x
.
x 1
dx.
2
x 1
2x
1
dx.
2
9x
4
x
9.111.
3
2
( 1
x )
2
dx.
3 2
1
2x
x
9.100.
1
x
9.102.
9.104.
9.106.
9.108.
9.110.
dx
1
2x
dx
2
x
2 3x
2x
x
dx.
3x
4 1
x 1
2
2
2 dx
x
.
x
dx.
6
x 1
9.112. x 1 x dx .
dx.
.
2
.
9.113. x x 3 dx .
9.114. ( x 1) x 1
dx .
2
3
9.115. x x 1 dx .
9.116. x x 1 dx .
3
2
9.117.
3x
5
dx.
x
9.118.
2
2 x
x
dx.
44

dx
9.119. .
1
x
dx
9.121. .
1
3 x 1
9.123.
x
dx
2x 9
.
dx
9.125. .
( x 2) x
9.127.
x
9.129.
dx
.
1
2
x
dx
x
4 x
.
dx
9.120. .
1
1
x
9.122.
x
dx
x 1
.
dx
9.124. .
( x 3) x
9.126.
9.128.
x
2
9.130.
2
dx
.
x 1 x 1
dx
.
1
2
x
3
x 1
dx.
x 1
3
x
9.131. 3
x( x
dx.
x)
9.132. e
5x
dx.
x
9.133.
x
e
3
e
3
dx .
2
9.135. x e
3
x 1
dx.
9.134. 2
x dx.
e x
4
9.136. x dx.
e x
3
x x
9.137. (2
5 )
2 dx.
e
9.139.
e
3x
x
8
dx.
2
2x
e
9.141. dx.
4x
e 5
e
9.138.
7 e
x
2x
x
dx.
e
9.140. dx.
4x
e 6
2x
e
9.142.
2 3e
sin
9.143. e x dx
cosxdx.
9. 144. .
5x
1
e
9.145.
dx
1
x
e
.
9.146.
x
e
dx
2x
.
2
dx.
e x
9.147. dx.
x
x
e
9.149. dx.
2x
e e
9.148.
9.150.
4
e
x
2
16 e
e
e
2x
x
x
dx.
dx.
1
45

dx
9.151. .
xln x
(2ln
9.153.
x
x
1)
3
dx.
dx
9.152. .
x( 3 ln x)
dx
9.154. .
( 3x
1)ln(3
x 1)
dx
9.155. .
xln 2 x
dx
9.157. .
xln
xln ln x
9.159.
x
x
9.161. cos dx.
2
ln x
1
2ln x ln
2
dx.
x
9.156.
9.158.
x
2 ln x
dx.
x
ln x
dx.
2 ln x
ln 2x
9.160. dx.
xln 4x
9.162. sin 3x
dx.
9.163. sin(
a bx)
dx.
9.164. cos(
a bx)
dx.
dx
9.165. .
cos 2 3x
dx
9.166. .
sin 2 2x
9.167. sin x cosx
dx.
9.168. x
2 cos( x
3 1) dx .
9.169. sin x sin 5xdx.
9.170. sin 2x
cos3x
dx.
x x
9.171. cos5x cos7x
dx.
9.172. 2sin
3 cos dx.
2 2
9.173.
x x
1 cos sin dx .
2 2
3
9.174. cosx
cos2x
cos5x
dx.
9.175. sin 2 x cosx
dx.
9.176. cos 3 x sin x dx.
9.177. tgx dx.
9.178. ctgx dx.
2
dx
9.179. .
tg2x
dx
9.180. .
ctg5x
9.181. sin 5 x dx.
9.182. cos 5 x dx.
sin x
9.183. dx.
x
9.184. sin 6 x dx.
9.185. cos 6 x dx.
cos 5 x
9.186. dx.
sin x
46

9.187. ctg 5 xdx.
9.188. tg
3 xdx.
cosx
9.189. dx.
3
sin x
1 dx
9.191. cos .
2
x x
1
2cosx
9.193. dx.
2
sin x
sin x
9.195. dx;
1
3cosx
sin 2x
9.197. dx.
2
1
3cos x
2 sin 2x
9.199. dx.
2
sin x
sin x
9.201.
dx.
2
cos x 4cosx
5
2 3sin
9.203. 2
sin x
3
x
dx.
a sin 3 x
9.205. dx.
b bcos2x
sin x
9.207. dx.
cos2x
9.209.
9.211.
3
sin x
dx.
1
2cosx
cosx
dx.
4 7sin x
tgx
9.213. dx.
cos 2 x
9.215.
a
2
sin x cosx
sin
2
x b
x arcsin2 x
9.217.
dx.
2
1
4x
2
cos
2
dx.
x
sin x
9.190. dx.
4
cos x
sin 2x
9.192. dx.
1
cos2x
sin 2x
9.194. dx.
1 2cos2x
1
2sin x
9.196. dx.
2
cos x
cosx
9.198. dx.
1
2sin x
cos2x
9.200. dx.
sin x cosx
1
sin x
9.202. dx.
2
sin x
5 4cos
9.204. 2
cos x
9.206.
9.208.
9.210.
3
sin 2x
3
7 cos
4
x
dx.
dx.
x
sin x
dx.
3 5cosx
cosx
dx.
2 cos2x
x
9.212. .
sin dx
2 x
3
ctgx
sin x cosx
9.214.
dx.
sin x cosx
sin ln x
9.216. dx.
x
9.218.
1
x
x
dx.
arcsin x
2
arctg
9.219.
(1 x)
x
dx.
x
9.220.
arcsin2 x
dx.
2
1
4x
47

9.3. Интегрирование по частям
Одним из эффективных методов интегрирования является метод интегрирования
по частям. Этот метод чаще всего применяется для интегрирования
некоторых трансцендентных функций (например, ln x , arcsin x,
arctgx ), а также
произведений алгебраических и трансцендентных функций. Суть его состоит в
следующем. Если u u(x)
и v v(x)
– непрерывно дифференцируемые на некотором
интервале функции, кроме того, на этом интервале существует интеграл
vdu, то на нем существует интеграл udv и имеет место формула
udv uv vdu
.
Это соотношение называется формулой интегрирования по частям. При использовании
этой формулы подынтегральное выражение нужно разбивать на
два множителя u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv
и vdu было более простым, чем интегрирование исходного выражения udv .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.
Для интегралов вида
ax
Q( x)
e dx,
Q(
x)sin
axdx,
Q(
x)cosaxdx,
где Q (x)
– многочлен, в качестве u следует брать Q (x)
, а в качестве dv –
выражения
e ax
dx, sin ax dx,
cosax
dx соответственно.
В случае интегралов вида
Q(
x)ln
x dx,
Q(
x)arcsin
xdx,
Q(
x)arccosxdx,
Q(
x)arctgxdx,
Q(
x)arcctgx dx
в качестве u берут функции ln x,
arcsin x , arccosx,
arctgx,
arcctgx
, а в качестве
dv – выражение
Q ( x)
dx .
Интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с
исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из получающегося
относительно исходного интеграла уравнения.
Пример 9.34. Найти интеграл ( 5 x e dx.
Р е ш е н и е. Положим u 5 x , dv e dx.
Тогда
2
2x
1 2x
1
(2 )
2 x
v e dx e d x e , du 2xdx.
2
2
По формуле интегрирования по частям имеем
2 2x
1 2 2x
1 2x
1 2 2x
2x
(5
x ) e dx (5 x ) e e
( 2x)
dx (5 x ) e xe dx.
2
2
2
Итак, мы понизили степень х на единицу. Поступим аналогично с интегралом
xe 2 x dx , т.е еще раз применим интегрирование по частям: за u
возьмем х, а за d – e 2 x
2x
1 2x
dx . Тогда du = dx, e
dx e . Для упрощения
2
вычислений при переходе от dv к v можно полагать с = 0. Следовательно,
48
2 )
2x
2x

2x 1 2x
1 2x
1 2x
1 1 2x
xe dx xe e
dx xe e c. Окончательно имеем
2 2 2 2 2
2x
( 5 x
2 ) e dx
1 2 2x
1 2x
1
(5 )
2 x
x e xe e c.
2
2 4
x
(3 x
x
2(3 x
x
2(3 x
x
Пример 9.35. Найти интеграл
(3 x
Р е ш е н и е. Находим
2
2
)
2
1
(3
x
2
2
2
dx
2
)
)
2
u x,
dv (3
x
1
( 2x)
dx (3
x
2
1 1
ln
2 2 3
2
)
2
)
3 x
c
3 2(3 x
2
2
)
d(3
x
2
dx .
xdx,
du dx,
v (3
x )
2
2
1 (3 x )
)
2 1
1 dx x 1 dx x 1
2
2
2 2
2 2
) 2 3 x 2(3 x ) 2 ( 3) x 2(3 x ) 2 x
x
x
2
2
1 x
ln
) 4 3 x
2
2
2
xdx
1
3
c .
3
1
2(3 x
dx
(
2
3)
)
2
dx
Пример 9.36. Найти интеграл 2
( x a
2
)
3
.
Р е ш е н и е. Представив числитель в виде (( a x ) x ) и разделив
2
a
его почленно на знаменатель, получим два интеграла. Ко второму применим
формулу интегрирования по частям:
( x
1
2
2
dx
2
a )
( x
3
1
a
u
x,
dv
( x
2
a
1 x
2 2
a
4( x a
x
2 2 2 2
4a
( x a )
2
)
2
3
2
2
2
( a x ) x
2 2 3
( x a )
d(
x
2
xdx
a
)
2
2
2
3
4a
2
)
3
a
1
4
)
( x
( x
2
1
dx
a
, du dx,
v
2
2
2
1 ( x
2
dx
a
dx
a
2
2
)
)
2
2
2
2
a )
2
4a
( x
( x
2
1
a
2
2
2
49
2
2
( x
dx
2
a )
xdx
a
( x
)
2
4( x
2
x
2
2
a
3
dx
a
2
)
1
a
2
2
2
1
2
)
.
1 2 2 2
1
2
2
a
( x
)
1
4a
2
2
x
2
a )
( x
3
d(
x a )
2 2 3
( x a )
2
2
2
2
2
1
2
a
2
dx
В результате применения формулы мы понизили степень знаменателя на
единицу и получили аналогичный интеграл, к которому вторично применим
формулу интегрирования по частям:
( x
dx
2
a
2
dx
a
)
2
2
)
2

50
.
)
(
2
2
1
1
2
1
)
(
2
1
2
1
)
(
2
1
2
1
)
2(
1
1
)
2(
1
1
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
,
,
)
(
,
)
(
1
1
1
)
(
1
1
)
(
)
(
1
)
(
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
x
a
x
a
x
arctg
a
c
a
x
arctg
a
a
a
x
a
x
a
x
arctg
a
a
x
dx
a
a
x
a
x
a
x
arctg
a
a
x
dx
a
x
x
a
a
x
arctg
a
a
x
a
x
a
x
d
a
x
a
x
a
x
d
a
x
xdx
v
dx
du
a
x
xdx
dv
x
u
dx
a
x
x
a
a
x
arctg
a
a
dx
a
x
x
a
a
x
dx
a
dx
a
x
x
x
a
a
a
x
dx
Окончательно получим
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
)
(
4
)
(
2
2
1
4
3
)
( a
x
a
x
c
a
x
a
x
a
x
arctg
a
a
a
x
dx
.
)
(
8
3
)
(
4
8
3
2
2
4
2
2
2
2
5 c
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
arctg
a
Пример 9.37. Найти интеграл
dx
x
a
2
2 , если 0
a .
Р е ш е н и е.
.
arcsin
,
,
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
x
a
dx
x
a
x
a
x
x
a
dx
a
dx
x
a
x
a
x
dx
x
a
a
x
a
x
a
x
dx
x
a
x
x
a
x
x
v
x
a
xdx
du
dx
dv
x
a
u
dx
x
a
Мы получили уравнение относительно исходного интеграла, из которого
находим
.
arcsin
2
1
2
1 2
2
2
2
2
c
a
x
a
x
a
x
dx
x
a
Пример 9.38. Найти интеграл
dx
x )
1
(5
log 3
.
Р е ш е н и е. Так как )
1
ln(5
ln 3
1
1)
(5
log 3
x
x
, то

1
5dx
log 3 (5x
1)
dx ln(5x
1)
dx ln(5 1), ,
,
ln 3
u x dv dx du v x
5x
1
1
5x
1
(5x
1)
1
xln(5x
1)
dx
xln(5x
1)
dx
ln 3
5x
1
ln 3
5x
1
1
1 d(5x
1)
1
1
xln(5x
1)
dx ( xln(5x
1)
x ln(5x
1))
c
ln 3
5 5x
1
ln 3
5
1
1
x ln(5x
1)
x
c .
ln 3
5
Пример 9.39. Найти интеграл
( x
2 x 1)cos5
xdx.
Р е ш е н и е. Так как одним из множителей является многочлен второй
степени, то найдем данный интеграл, применив последовательно два раза формулу
интегрирования по частям:
2
( x 2 x 1)cos5
xdx
[ u x x 1,
dv cos5xdx,
du (2x
1)
dx,
1
1 x x 1
1
v
5
5
5 5 5
1
1
u 2x
1,
dv sin 5xdx,
du 2dx,
v sin 5xd(5x)
cos5x
5
5
x
cos5xdx
cos5xd(5x)
sin 5x
sin 5x
(2x
1)sin
xdx
2
x 1
1 2x
1
sin 5x
cos5x
5
5
5
2x
1
2
cos5x
25 125
2x
1
1
cos5x
x
25 5
u
e
1
e
b
2
2
2
5
2
x
cos5xdx
x 1
sin 5x
5
x x 1
2x
1
cos5xd(5x)
sin 5x
cos5x
5
25
23
x sin 5x
c .
25
Пример 9.40. Найти интеграл
Р е ш е н и е.
, dv cos( bx)
dx,
du ae
a 1
cos( bx)
e
b b
sin( bx)
e ax sin( bx)
dx .
ax
ax
ax
e
sin( bx)
dx u e , d
sin( bx)
dx,
du ae dx,
1
1 1 ax a ax
sin(
bx)
d(
bx)
cos( bx)
e cos( bx)
e
b
b
b
b
ax
ax
ax
ax
2
sin( bx)
dx
c.
cos( bx)
dx
2
125
v sin(
bx)
dx
sin 5x
c
1
1
dx,
v cos(
bx)
dx cos(
bx)
d(
bx)
sin( bx)
b
b
a
b
e
ax
51

Из полученного относительно исходного интеграла уравнения находим
2
ax a ax
a ax 1 ax
e sin( bx)
dx e sin( bx)
dx e sin( bx)
e cos( bx)
c.
2
Отсюда
2
b
b
b
e
ax
sin( bx)
dx
a
ax
e
2
a b
2
2
b
2
b
( asin(
bx)
bcos(
bx))
c.
2
a
e
2
b
ax
1
sin( bx)
e
b
Пример 9.41. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Применим подстановку
sin(ln
x)
dx e
t sin t dt
ax
cos bx
sin(ln x)
dx .
c
ln x t , тогда x e , dx e dt и
. Последний интеграл уже найден в общем виде с помощью
интегрирования по частям (см. пример 9.40), поэтому
sin(ln
x) dx
arctg
3
x
t
t e
x
e sin t dt (sin t cost)
c (sin(ln x)
cos(ln x))
c.
2
2
Пример 9.42. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Имеем:
3
x
dx
u arctg t,
dv tdt,
3
x t,
x t
3
,
dt
du
1 t
dx 3t
2
2
arctg
3
dt
x
3
1
, v tdt
t
2
x
dx.
arctg t 2
3t
dt 3t
arctg t dt
t
2
2
1 2 1 t 3 2 3 ( t 1)
1
3 2 3
3
t arctg t dt t arctg t
dt t arctg t dt
2
2
2 2 1 t
2 2 1 t 2 2
3 dt 3 2 3 3
3 2
t arctg t t arctg t c (
t 1)
arctg t t
c
2
2 1 t 2 2 2
2
3 3 2
3 3
(
x 1)
arctg x x c .
2
Пример 9.43. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Находим
(1 x
2
arcsin x
2
) 5
dx .
arcsin x
dx
dx
dx
dx
u
arcsin x,
dv , du , v
2 5
2 5
2
2 5
(1 x )
(1 x ) 1 x 1
x
t
t
52

1
2
1
2
(1 x
1
2
t
2
)
( t 1)
dx
2
t
t
t 1
1
2
1
x
2
2
t
d(
t 1)
1
x
1
dt
2
1
2
x(3
2x
) 1
arcsin x
3
2
3
3(1 x )
2
2
1
,
t
2
( t 1)
3
3
2
x
2
tdt 1
t 1
2
1
1
,
t
1
2
2
2
x(3
2x
) x(3
2x
) 1
arcsin x
3
3
2
3
3(1 x )
2
2
3(1 x )
2
2
3
3
2
x
t 1
,
t
( t 1)
1
1
dt
t 1
2
2
1
x
t 1
31
x
(3x
2x
(3x
2x
) dx x(3
2x
2 2
(1 x )
2
3(1 x )
3
2
(1 x )
3
2
) dx
(1 x
2
3
)
1
dx
2t
( t 1)
2
3
2
)
arcsin x
3
2
2
1
2
1
2
2
d(
t 1)
2
x
1
x
t
dt
t 1
1 1 (4x
4x)
2x
3x
2x
1 d(1
2x
x ) 1 xdx
dx arcsin x
2 2
3
2 4 2
3 2 (1 x )
6 1
2x
x 3 (1 x )
2
2
3(1 x )
2
3
3x
2x
1 2 1 d(1
x ) 3x
2x
1 2
arcsin x ln(1 x ) arcsin x ln(1 x )
3
2 2
3
3 6 (1 )
3
2
x
2
3(1 x )
2
3(1 x )
2
1
6(1 x
)
2
c
.
Найти интегралы.
Задачи для самостоятельного решения
2
3
2
4
2
9.221. e x dx .
9.222. xe x dx .
9.223. xe x x
dx .
9.224. ( x 3) e dx .
2
9.225. ( x 3x
5) e
3dx
.
9.227. (2x
7) e 2 dx .
x
x
9.226.
9.228. e
3x
dx .
x
2
( 5x
7x
1)
e
2
dx .
4
9.229. e x 1 dx .
9.230. xe 3x
dx .
9.231. xe 4x dx .
9.232. x2 x dx .
9.233. x7 x dx .
9.234. ( ax b)
e dx .
x 2nx
9.235. e dx .
53
9.236. x e dx .
2
x
x

2
9.237. x e
x
dx .
5x
9.238. x e dx .
2
2
9.239. x e
x
3
dx .
9.240. (
x
2
2x
2) e dx .
9.241. (
e x x)
2 dx .
9.242. (
e x x 1)
2 dx .
3
9.243. x e
x
dx .
3
9.244. x e
2x
dx .
2
9.245. x e dx .
3
x
3
9.246. x ( e
x 1 1
x
e ) dx .
2
9.247. x e dx .
5
x
54
1
xe x
9.248. dx .
x 1
9.249. (
e x x)
3 dx .
9.250. e x sin xdx .
x
e
9.251. 2 sin 3x
dx .
2
e x
9.252. sin 5xdx
.
9.253. 2
e x sin xdx .
9.254. sin 2 x
e x dx .
4
9.255. e 2x sin 2 xdx
.
9.256. e 2ax
sin 2 ( bx)
dx .
9.257. e x cos3xdx
.
9.258. (
1) cosxdx
.
2 x
9.259. e x cos dx .
9.260. 4 x
cos( 2 x
e e ) .
2
dx
9.261. e ax cos( bx)
dx .
9.262. xe x sin xdx
.
9.263. 25 x 2 dx .
9.264.
( x
x
9.265.
(1 x
2
2
2
)
2
dx .
e x
2
dx
2
4)
9.266. x 9dx
.
9.267. x 7 dx .
9.268. x a dx .
9.269. ln x dx .
9.270. ln(
x 2) dx .
9.271. ln 5x dx .
9.272. ln(
9 x ) dx .
9.273. ln( x 2 1) dx .
9.274. log 2 (1 2x
) dx .
9.275. x ln xdx
.
9.276. x ln 3xdx.
9.277. x ln( x 1) dx .
9.278. x ln xdx.
9.279. ( 2x 1)ln( x 1)
dx .
9.280. x ln xdx.
2 x
2
9.281. x ln dx .
9.282. x ln(2 x)
dx.
3
9.283. ( x 2 2x
2)ln xdx
.
9.284. x ln( x 3) dx.
2
3
2
2
2
3
.

9.285. ( x 3 8)ln 2xdx
.
9.286. ln 2 x dx.
9.287. x ln 2 3xdx
.
9.288. 3 x ln 2 x dx .
2
2
9.289. (
x 1) ln xdx .
9.290. ( x
2 3x)ln
xdx.
9.291.
ln x
.
2
x
9.293.
ln 2x
dx .
3
x
9.295.
ln( x 1)
dx .
x 1
ln x
9.297. dx .
5
x
ln x
9.299.
x
2
3
dx .
ln x
9.292. dx .
3
x
ln 3x
9.294. dx.
x
ln x
9.296. dx.
3
x
ln x
9.298. dx.
2
x
ln ln x
9.300. dx.
x
9.301. sin 2x dx .
9.302. x sin x dx.
9.303. x sin 4x
dx .
9.304. ( x 2)sin 5x
dx.
9.305. ( x 3)sin 2x
dx .
9.306. x sin x dx.
2
9.307. x sin x dx .
9.308. x sin 7x
dx.
2
9.309. (2x 3)sin 2x
dx .
9.310. ( x
2 a)sin 2x
dx.
9.311. ( 2 x
x x 3)sin dx .
9.312. ( x
2 2x
3)sin 3x
dx.
2
3
9.313. x sin x dx.
9.314. x
3 sin x
2 dx.
9.315.
xcosx
xcosx
dx.
9.316.
2 dx.
3
sin x
sin x
9.317.
x 1
x
dx.
9.318.
2 dx.
sin x
sin 2 6x
9.319. sin(ln 5x ) dx.
x
9.320. sin
ln dx.
3
x
9.321. sin
ln dx.
9
9.322. cos x dx.
9.323. ( x 1)cos x dx.
9.324. x cosxdx.
9.325. x cos3xdx.
9.326. ( 9x
1)cos2 xdx.
x 1
nx
9.327. cos dx.
4 2
9.328. x cosxdx.
2
2
2
55

2
9.329. x cos5xdx.
9.330. (2x
x 1)cos
xdx.
2
9.331. (
ax bx c)cos xdx.
9.332. (
x 1) cosxdx.
9.333.
x
dx.
cos 2 x
9.334. x cos 2 2xdx.
9.335.
xsin
x
dx.
3
cos x
9.336. (
e x cosx)
dx.
9.337. cos(ln x ) dx.
x
9.338. cos
ln dx.
3
9.339. cos( 3ln x ) dx.
9.340. x tg xdx.
x
9.341. arcsin x dx.
9.342. arcsin dx.
2
9.343. arcsin x dx.
9.344. arcsin 2x
dx.
9.345. x arcsin xdx.
9.346. x arcsin 3xdx.
2
9.347. (
x 1) arcsin xdx.
9.348. arcsin 2 x dx.
arcsin x
9.349. dx.
1
x
arcsin2 x
9.351. dx.
2x
1
9.353.
arcsin x
(1 x
2
)
3
dx.
56
arcsin 3x
9.350. dx.
1
3x
x
arcsin
9.352. 2
dx.
2 x
x
arcsin
9.354. 2
dx.
2
x
x
9.355. arccos x dx.
9.356. arccos dx.
2
x
9.357. arccos 3x dx.
9.358. arccos
dx.
x 1
9.359. ( 2 arccos 2x
x 1)arccos xdx.
9.360. dx.
2x
arccosx
arccos x
9.361. dx .
9.362. dx.
1
x
1
x
9.363.
x arccosx
dx.
2
1
x
9.364. arctg xdx.
9.365.
x
arctg .
5 dx
9.366. arctg 6xdx.
9.367. arctg x dx.
9.368. arctg
2x
1dx.
2
2
3

9.369. x arctg xdx.
9.370. x arctg 9xdx.
x
9.371. x arctg dx.
9.372. ( x
2 2) arctg xdx.
a
x
9.373. arcctg .
2 dx
x
9.374. x arcctg .
2 dx
2
9.375. x arcctg x 1dx.
9.376. ( x 4) arcctg 2xdx.
9.4. Интегрирование рациональных функций
Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена)
находится непосредственно:
n n1
n
n1
(
a0x
a1x
... an1x
an
) dx a0 x dx a1
x dx ...
a0
n1
a1
n an1
2
an1
xdx an
dx x x ... x anx
c .
n 1
n 2
Функция, заданная в виде отношения двух многочленов
n n1
0
Pn
( x)
a x a1x
... an1x
an
R( x)
( a0
0, b
m m1
0
Q ( x)
b x b x ... b x b
m
0
1
m1
m
0
0),
называется дробной рациональной функцией (или рациональной дробью).
В дальнейшем будем считать, что коэффициент b 1, так как в противном
случае можно разделить числитель и знаменатель на этот коэффициент.
Если n m , рациональная дробь называется правильной, в противном
случае – неправильной.
Любая правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет только
действительные корни а, b, …, l кратности , ,
..., ,
т.е. Q m (x)
представим
в виде
Q m
( x)
( x a)
( x b)
...
( x l)
, разлагается на сумму конечного
числа простейших рациональных дробей, и это разложение имеет вид
P ( )
B
n x A1
A2
A
B1
B2
... ...
2
2
Q ( x)
x a ( x a)
( x a)
x b ( x b)
( x b)
m
...
L1
L2
x l ( x l)
2
L
...
( x l)
,
где A 1 , A2 ,... , L
– действительные числа.
Если знаменатель имеет действительные и комплексные корни, т.е. раскладывается
на линейные и квадратичные множители
Q m
( x)
( x a)
( x b)
...
( x
2
px q)
( x
2
hx r)
, то
57

Pn
( x)
Q ( x)
m
C
x D
2
( x px q)
A1
A
...
x a ( x a)
M1x
N1
..
2
x hx r
B B
1
...
x b ( x b)
M
x N
,
2
x hx r
...
C1x
D1
...
2
x px q
где A 1 , A2 , ..., M , N
– действительные числа, которые подлежат определению.
Для их нахождения применяют метод неопределенных коэффициентов.
Суть этого метода разъясним на примерах.
Рассмотрим, как интегрируются простейшие правильные дроби.
A
x a
d(
x a)
x a
I. dx A Aln | x a |
A
n
( x a)
A
II. dx A(
x a)
d(
x a)
A c
c
n
n1
( x a)
n 1
(1 n)(
x a)
( n 2 – натуральное число).
Ax B
III. dx .
2
x px q
При вычислении интегралов такого вида в числителе подынтегральной дроби
2
выделяют выражение 2x
p ( x px q)
, а в знаменателе – полный квадрат:
B
A d(
x
2
2 x
c .
2B
(2x
p)
p
Ax B A A A
dx dx
2
2
x px q 2 x px q 2 x
Ap
2 p
x
2
2
dx
p
q
4
p
d
x
Ap
2
B
2
2 p
x
q
2
Ap
dt
B
.
2
2 2
p
t
q
4
2
2
2
p
4
x
2
2
n1
px q)
px q
p
t
2
2x
p
dx
px q
A
ln | x
2
2
px q |
2 p
2
Если k q 0, (т.е. дискриминант p 4q 0), то
4
58

Ax B A 2 Ap
dt
dx ln | x px q | B
2
2 2
x px q 2
2 t k
A 2 Ap
1 t
ln | x px q |
B arctg c , t x
2
2 k k
В случае положительного дискриминанта
Ap
2
1
2
t
ln
k t
c,
p
.
2
Ax B A 2 Ap
dt
dx ln | x px q | B
2
2 2
x px q 2
2 t k
A
ln | x
2
B
IV.
2
px q |
B
Ax B A 2
dx (
x px q)
n
( x px q)
2
Ap
2 ( t
k
k
t x
p
.
2
n
2
d ( x px q
2
dt
k
2(1 n)(
x
A
px q)
B
Ap
2 ( t
,
2 2 n
2
n 1
2 2 n
)
2
p 2 p
где t x
, k q
, n2
– натуральное число, и квадратный трехчлен
2 4
2
x px q имеет комплексные корни.
dt
Полученный интеграл
можно вычислить с помощью триго-
2 2 n
( t k )
нометрической подстановки
)
dt
k
t k tgz или путем повторного интегрирования по
частям свести его к интегралу вида III.
В случае неправильной рациональной дроби ( n m ) сначала надо выделить
целую часть, деля числитель P n (x)
на знаменатель Q m (x)
по правилу «деления
углом», т.е. представить дробь в виде
где M (x)
– многочлен, а
Pn
( x)
P(
x)
M ( x)
,
Q ( x)
Q ( x)
m
P(
x)
Q ( x)
m
m
– правильная рациональная дробь.
Таким образом, чтобы проинтегрировать любую рациональную дробь,
надо уметь интегрировать многочлен и простейшие рациональные дроби.
dx
Пример 9.44. Найти интеграл
.
2
x 6x
18
Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат в знаменателе подынтегрального
выражения, получим
dx
dx d(
x 3) 1 x 3
arctg c .
2 2
2 2
x 6x
18
( x 3) 9 ( x 3) 3 3 3
)
59

dx
Пример 9.45. Найти интеграл
.
3x
2 12x
20
Р е ш е н и е. Вынося за скобки коэффициент при
квадрат в знаменателе, будем иметь
dx 1 dx 1 dx 1 d(
x 2)
2
3x
12x
20 3 2 20
2 8
x 4x
3
( x 2)
3
2 2
3
3 ( x 2)
1 3 3( x 2) 1 3( x 2)
arctg c arctg c .
3 2 2 2 2 2 6 2 6
x
2
1
ln
4
dx
Пример 9.46. Найти интеграл
.
2
x 10x
21
Р е ш е н и е. Находим
dx
dx d(
x 5)
5
2
x t
2 2
10x
21 ( x 5) 4 ( x 5) 2
t
t
2
2
c
1
ln
4
x
x
7
3
c .
60
2
x и выделяя полный
Этот интеграл можно найти и другим способом. Разложим знаменатель
подынтегрального выражения на множители: x 10x
21
( x 3)( x 7)
. Так
как каждый множитель входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная
рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших
дробей типа I:
1 A B
.
2
x 10x
21 x 3 x 7
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
2
t
2
dt
2
A B Ax 7A
Bx 3B
( A B)
x ( 7A
3B)
.
2
x 3 x 7 ( x 3)( x 7) x 10x
21
1 ( A B)
x ( 7A
3B)
Следовательно,
.
2
2
x 10x
21 x 10x
21
Освободившись от знаменателей, получим равенство
1 ( A B)
x ( 7A
3B)
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А и В
A B 0
7A
3B
1,
1 1
из которой получим A , B .
4 4
2
2
3
2

61
Таким образом,
.
3
7
ln
4
1
3|
ln |
4
1
7 |
ln |
4
1
7
4
1
3
4
1
7)
4(
1
3)
4(
1
18
6
2
c
x
x
c
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
Пример 9.47. Найти интеграл
dx
x
x
x
6
5
4
2 .
Р е ш е н и е. Так как 5
2
6)
5
( 2
x
x
x
, то
6
5
ln
2
1
2
1
2
5
2
5
2
3
6
5
6)
5
(
2
1
6
5
2
3
6
5
5)
(2
2
1
6
5
3
5)
(2
2
1
6
5
8
2
2
1
6
5
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
d
x
x
x
x
d
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
.
3
2)
(
ln
3)
(
2)
(
ln
2
1
2
3
ln
3)
2)(
ln (
2
1
2
3
ln
2
3
6
5
ln
2
1
2
1
2
5
2
1
2
5
ln
2
3
2
2
4
3
2
c
x
x
c
x
x
c
x
x
x
x
c
x
x
x
x
c
x
x
Пример 9.48. Найти интеграл
dx
x
x
x
2
9
2
2 .
Р е ш е н и е. Находим
2
2)
(
2
8
2
1)
(2
2
8
1)
(2
2
9
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
d
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
.
7
1
2
7
16
2
ln
2
7
2
1
2
1
8
2
2
2
c
x
arctg
x
x
x
x
d

( x
7
2
7x
5
Пример 9.49. Найти интеграл
dx .
2
2
( x 2x
9)
Р е ш е н и е.
5
x
7x
5
dx 7 7 1 , 1,
2
x t x t
2 2
2x
9) (( x 1)
8)
2
t
7
2
( t 8)
2
7 ( t
2
8)
1
2
1
dt 7
2
( t
( t
2
2
dt
t dt
8)
8)
2
2
2
2( t
( t
8)
7
2
8)
2
2
dt
2
7
2
( t
2
2
d(
t 8)
2
2 2
( t 8)
dt
8)
2
.
dx dt
( t
2
dt
8)
1 2 2
Представив числитель последнего интеграла в виде (
t 8) t
2
и
8
почленно разделив его на знаменатель, получим два интеграла. Ко второму
применим формулу интегрирования по частям:
( t
2
dt
8)
1
8 ( t
2
t
2
2
1 ( t 8) t 1 dt 1 t 1 dt
dt
2 2
2 dt
2 2
2
2
8 ( t 8) 8 t 8 8 ( t 8) 8 t (2 2)
8)
2
2
dt u
t,
dv
( t
8)
2 1
1 ( t 8) 1 1 1 t 1
t
2 arctg
2
2 1 2( t 8) 8 2 2 2 2 8
2( t 8)
1 t t 1 1 t
arctg arctg c
2
16 2 2 2 16( t 8) 16 2 2 2 2
1 t t
arctg c .
2
32 2 2 2 16( t 8)
( x
2
Окончательно имеем:
7x
5
2x
9)
2
dx
2( t
2
2
tdt
2
,
du dt,
2
v
( t
7 1 t
arctg
8) 16 2 2 2 8( t
2
2
t
8)
2
dt
1
2
t
c
8)
1
2
d(
t
2
( t
2
8)
8)
dt
2
t 8
1 t t 28 1 x 1
x 29
arctg c arctg
c .
2
2
16 2 2 2 8( t 8) 16 2 2 2 8( x 2x
9)
2
2
dx
Пример 9.50. Найти интеграл .
3
x 27
Р е ш е н и е. Разложим на множители знаменатель подынтегрального
3
2
выражения: x 27 ( x 3)( x 3x
9)
и представим исходную дробь в виде
суммы простейших дробей:
62

1 A
3
x 27 x 3
Освобождаемся от знаменателей:
2
Bx C
.
2
x 3x
9
1
A ( x 3x
9) ( Bx C)(
x 3) .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
A B 0
3A
3B
C 0
9A
3C
1 ,
1 1 2
из которой A , B , C . Тогда
27 27 9
x
3
dx
27
1
27
dx
x 3
1
27
x
2
x 6
dx
3x
9
1
ln |
27
x 3|
1
54
(2x
3) 9
dx
2
x 3x
9
1
ln |
27
x 3|
1
54
x
2x
3 1
dx
3x
9 6
2
x
2
dx
3x
9
1
ln |
27
x 3|
1
54
1
6
d(
x
2
x
2
3
d x
3x
9) 1
2
3x
9 6
2
3 3 3
x
2
2
2 2x
3
arctg c
3 3 3 3
1
ln
27
x
2
x 3
2
3x
9
1
ln |
27
x 3|
1
54
ln x
1 2x
3
arctg c .
9 3 3 3
2
3x
9
3x
2x
1
Пример 9.51. Найти интеграл
dx .
2 2
( x 1)
( x 1)
Р е ш е н и е. Разложим рациональную дробь на простейшие множители
2
3x
2x
1
2 2
( x 1)
( x 1)
Освободимся от знаменателя:
2
2
2
A B
x 1
( x 1)
2
2
Cx D
.
2
x 1
3x 2x
1
A(
x 1)(
x 1)
B(
x 1)
( Cx D)(
x 1)
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
2
3x
2
3
2x
1
( A C)
x ( A B 2C
D)
x ( A C 2D)
x ( A B D)
.
2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
уравнений: A C 0,
A B 2C
D 3, A C 2D
2, A B D 1.
Решения системы: A 1,
B 1,
C 1,
D 1.
Следовательно,
63

2
3x
2x
1
dx dx
dx
2 2
( x 1)
( x 1)
x 1
( x 1)
x dx
1
dx ln | x 1|
2
2
x 1
x 1
( x 1)
1
( x 1)
1
ln(
2
x
2
1)
arctg x c ln
2
x 1
( x 1)
dx ln | x 1|
2
x 1
1
2
x 1
| x 1|
64
1
2
d(
x
2
x
2
1)
arctg x ln | x 1|
1
1
arctg x c .
x 1
x 2x
4x
4
Пример 9.52. Найти интеграл
dx .
4 3 2
x 2x
2x
Р е ш е н и е. Выделим целую часть исходной неправильной рациональной
дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель «углом»:
Тогда
5 3
3 2
x 2x
4x
4 4x
4x
4x
4
dx x 2
dx xdx 2 dx
4 3 2
4 3 2
x 2x
2x
x 2x
2x
4
1
2
3
2
3
5
x x x 1
1 2 x x x 1
dx x 2x
4
dx .
4 3 2
2 2
x 2x
2x
2
x ( x 2x
2)
Разложим дробь в последнем интеграле на простейшие рациональные
3
2
2x
2ln( x
x
2
x x x 1
A B Cx D
дроби:
.
2 2
2 2
x ( x 2x
2) x x x 2x
2
С помощью метода неопределенных коэффициентов получим систему
A C 1
2A
B D 1
2A
2B
1
2B
1 ,
1
1
из которой A 0,
B , C 1,
D . Следовательно,
2
2
1
5 3
x
x 2x
4x
4 1 2 dx 2 1 2 2
dx x 2x
2 4
2
4 3 2
2 dx x x
2
x 2x
2x
2
x x 2x
2 2 x
(2x
2) 1
1 2 2 2x
2
dx
2
dx x 2x
2
dx 2
2
2
2
x 2x
2 2 x x 2x
2 ( x 1)
1
x
2
–
х 5 + 2х 3 + 4x + 4
х 5 + 2х 4 + 2х 3 4
– 2х 4 + 4x + 4
–
– 2х 4 – 4х 3 – 4х 2
2
4х 3 + 4х 2 + 4х + 4
2x
2) 2arctg
( x 1)
c .
2
3
х 4 + 2х 3 + 2х 2
х – 2
1

Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
dx
9.377.
x 7
.
3
9.379. dx.
1
2x
dx
9.381. .
2
x 121
dx
9.383. .
2
27 3x
dx
9.385. .
2x
2 19
dx
9.387. .
2x
2 8x
dx
9.389. .
2
( x 2)
dx
9.391. .
2
1
2x
x
dx
9.393.
.
3x
2 8x
2
dx
9.395. .
2
x 4x
8
dx
9.397.
.
12x
2 4x
1
dx
9.399.
.
3x
2 7x
2
dx
9.401.
.
2
6x
x 18
dx
9.403.
.
2x
2 3x
4
2x
7
9.405.
.
2
2 x x
dx
x 1
9.407. dx.
2
x 4x
8
x 7
9.409.
dx.
2
2x
8x
1
dx
9.378.
3 x
.
5
9.380. dx.
2x
3
dx
9.382. .
2x
2 32
dx
9.384. .
3x
2 11
dx
9.386. .
2
x 3x
dx
9.388. .
2
x 7x
dx
9.390. .
2
( x 5)
dx
9.392. .
2
x x 6
dx
9.394. .
2
x 8x
9
dx
9.396. .
2
x x 2
dx
9.398. .
2
3 2x
x
dx
9.400.
.
2
35 3x
2x
dx
9.402.
.
2
5x
4x
2
dx
9.404. .
2
x x 1,5
1
x
9.406. dx.
2
x x 1
x 2
9.408. dx.
2
x 6x
x
9.410. dx.
( x 2)( x 3)
65

x 2
9.411. dx.
2
3x
x
3x
2
9.413. dx.
2
2x
x 3
2,5x
1
9.415.
dx.
2
x 2x
10
x 6
9.417. dx.
2
x 2x
5
2 x
9.419. dx.
2
x 4x
7
1
3x
9.421. dx.
2
x 4x
8
2 1,5
x
9.423.
dx.
2
x 8x
15
5x
9.425.
dx.
2
2x
2x
5
dx
9.427. .
3
x 125
dx
9.429. .
3
x 4x
dx
9.431.
.
2 3
3x
7x
6x
dx
9.433.
.
x
3 2x
2 x 4
dx
9.435.
.
3 2
2x
8x
10x
4
dx
9.437. .
4
1
x
dx
9.439.
x 4 x
9.441.
( x
9.443.
( x
9.445.
x
4
2
2
2 2
dx
.
3
2)(3 x
dx
4)
2x
3
2
.
2
dx
13x
.
)
2
.
14x
24
1
2x
9.412. dx.
( x 2)(1 x)
x 5
9.414. dx.
2
x 2x
8
x 5
9.416.
dx.
2
2x
2x
3
x 1
9.418. dx.
2
x x 6
x 2
9.420.
dx.
2
3x
2x
5
x 0,6
9.422.
dx.
2
x 0,2x
0,17
x 1
9.424.
dx.
2
5x
2x
1
x 0,6
9.426.
dx.
2
x 10x
29
dx
9.428. .
3
x 64
dx
9.430.
.
x
3 6x
2 12
x 8
dx
9.432.
.
3 2
x x 3x
3
dx
9.434. .
3
x 3x
2
dx
9.436. .
3
(2x
3)
dx
9.438. .
x 4 2x
2
dx
9.440. 2
(2x
4x)
9.442.
( x
9.444.
( x
2
2
2
.
dx
4x
3)( x
dx
9)
2x
1
9.446.
dx.
2 2
( x 2x
5)
2
.
2
.
4x
8)
66

0,5x
9x
6
9.447.
dx.
9.448.
2 2
dx.
2 2
( x 2x
2)
( x 2x
10)
x 1,5
4,5x
3
9.449.
dx.
9.450.
2 2
dx.
2 2
( x 2x
5)
( x 3x
3)
9.451.
x
2
9.453.
( x
9.455.
( x
dx
2
2
x
dx
5
.
6)
3
dx
6x
10)
9.452.
3x
.
9.454.
( x
3
3
2
dx
(1 x)
dx
5)
x 4
.
9.456.
dx.
3 2
x 6x
11x
6
x 2
4 x
9.457.
dx.
9.458.
2 3
dx.
3 2
12 19x
8x
x
x 2x
x 2
7x
15
x 6
9.459.
dx.
9.460.
3 2
dx.
3
2x
4x
10x
x 36x
x 7
3 x
9.461. dx.
9.462.
3 dx.
3
x 49x
x 9x
x 2
x 1
9.463. dx.
9.464.
3 2
dx.
3 2
x 3x
x 2x
2x
x
3x
7
9.465. dx.
9.466.
4 2
dx.
3 2
x x 5
x x 4x
4
11x
9
9.467.
.
2
( x 1)(
x 3)
dx
2x
9.468.
dx.
4 2
x 3x
2
x 1
3x
2
9.469. dx.
9.470.
2 2
dx.
4 3
( x 2)
x x
3x
4
3x
9.471. dx.
9.472.
4 3
dx.
4 2
x 2x
x 7x
12
x 2
x 1
9.473.
dx.
9.474.
2 2
dx.
2 2
( x 2)( x 3)
( x x 1)(
x 1)
x
x
9.475.
dx.
9.476.
4 2
dx.
2 2
2x
12x
10
( x 1)
x
9.477.
dx.
2 3 4 5
1
x 2x
2x
x x
x
9.478.
dx.
6 5 4 3 2
x 2x
3x
4x
3x
2x
1
2
x
9.479.
2 2x
4
dx.
2
3x
2x
3
9.480.
dx.
3
x x
3
.
2
.
67

68
9.481.
.
2
1
5
2
2
3
2
dx
x
x
x
x
x
9.482.
.
6
5
0,5
2
3
2
dx
x
x
x
x
9.483.
.
2
3
3
2
1
3
2
dx
x
x
x
x
9.484.
.
1
2
3
3
2
dx
x
x
x
9.485.
.
4)
1)(
(
2
0,5
2
2
dx
x
x
x
x
9.486.
.
1)
2)(
(
1,5
0,5
2
2
dx
x
x
x
x
x
9.487.
.
12
11
2
2
41
91
2
3
2
dx
x
x
x
x
x
9.488.
.
2)
3
)(
(4
6
2
2
2
dx
x
x
x
x
x
9.489.
.
2)
2
16)(0,5
8
(
2
2
2
dx
x
x
x
x
x
9.490.
.
4
5 2
4 2
dx
x
x
x
9.491.
.
128
160
72
14
14
2
3
4
2
dx
x
x
x
x
x
x
9.492.
.
)
(1
5
2
dx
x
x
9.493.
.
5)
2
4)(
(
16
16
19
2
2
2
dx
x
x
x
x
x
9.494.
.
3
2 3
6 2
dx
x
x
x
9.495.
.
5)
4
(
1)
1)(
(
2
2
2
dx
x
x
x
x
x
9.496.
.
4)
2)(
(
6
2
2
3
dx
x
x
x
9.497.
.
2
7
9
5
5
18
17
5
2
3
4
2
3
dx
x
x
x
x
x
x
x
9.498.
.
4
13
13
4
3
4
3
2
2
3
dx
x
x
x
x
x
x
9.499.
.
1)
2)(
(2
3
2
2
3
dx
x
x
x
9.500.
.
2)
1)(2
2
(
2
2
2
2
3
dx
x
x
x
x
x
9.501.
.
2)
2)(
(
6
13
6
3
3
2
dx
x
x
x
x
x
9.502.
.
4
8
5
2
17
6
3
2
3
4
2
3
dx
x
x
x
x
x
x
9.503.
.
2
2
1
1
5
4
3
2
4
dx
x
x
x
x
x
x
9.504.
.
1)
3)(
(2
17
8
2
2
2
4
dx
x
x
x
x
x
9.505.
.
1)
(
2
4
3
3
2
2
4
dx
x
x
x
Найти интеграл, выделив предварительно целое выражение в подынтегральной
неправильной дроби.
9.506.
.
3
2
3
4
dx
x
x
9.507.
.
1
2
dx
x
x
9.508.
.
3
1
2
dx
x
x
9.509.
.
4
6
3
2
dx
x
x
x
9.510.
.
5
7
2
dx
x
x
9.511.
.
5
11
6
2
dx
x
x
x

x
9.512. dx.
2
x 4x
3
9.514.
x
2
2
2
x
dx.
5x
10
2x
3 5
9.516. dx.
x 1
x
9.518.
x
9.520.
x
9.522.
3
3
3
3x
9.524.
3x
x
2
2
5x
7
dx.
2
2x
1
dx.
2
x 1
2
3x
3x
1
dx.
2
x x
3
x
x
x
9.526. dx.
2
x 1
x
9.528.
x
9.530.
x
4
2
4
5
4
3
2
7
dx.
1
4
x
dx.
81
5x
2
dx.
x
x x 8
9.532. dx.
3
x 4x
4
x
9.513.
x
x
9.515. dx.
x 1
2
2
2x
1
dx.
3x
4
3
3
x
9.517.
1
x
x
9.519.
x
3
2
2
dx.
2
x 1
dx.
6x
5
3
x 2x
9.521. dx.
2
x 2x
3
x
9.523.
3
2
2
x x 3
dx.
2
x x 1
x 2
9.525. dx.
3 2
x x
x
9.527. dx.
2
x 4
3
4
4
x x 2x
9.529.
dx.
3 2
x x x 1
9.531.
x
4
5
3
x 1
dx.
2
8x
16
x 1
9.533. dx .
4
x 16
5
9.5. Интегрирование тригонометрических функций
Обозначим через R (sin x,
cosx)
рациональную функцию от sin x и cos x .
Интегралы вида R (sin x,
cosx)
dx приводятся к интегралам от рациональных
функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки
t tg . В результате этой подстановки имеем
x
2
2
2t
1
t 2dt
R (sin x,
cosx)
dx R
,
.
2 2
1
t 1
t 1
t
2
Заметим, что универсальная подстановка во многих случаях приводит к
сложным вычислениям, поэтому применяется только тогда, когда нельзя применить
другие подстановки, вид которых зависит от свойств функции
R (sin x,
cosx)
.
69

Если R (sin x,
cosx)
– четная функция относительно sin x и cos x , т.е.
R ( sin x,
cosx)
R (sin x,
cosx)
, то подстановка t tgx преобразует исходный
интеграл в интеграл от рациональной функции аргумента t. При этом используются
формулы
sin
2
2
x 2
tg x 2 1
, cos x .
2
1
tg x 1
tg x
Если R (sin x,
cosx)
– нечетная функция относительно sin x , т.е.
R ( sin x,
cosx)
R (sin x,
cosx)
, то интеграл рационализируется с помощью
подстановки t cosx
.
Если R (sin x,
cosx)
– нечетная функция относительно cos x , т.е.
R (sin x,
cosx)
– R (sin x,
cosx)
, то подстановка t sin x рационализирует интеграл.
Интегралы вида R ( tg x)
dx рационализируются с помощью подстановки
t tgx , а интегралы вида R ( ctg x)
dx – с помощью подстановки t ctgx .
dx dx
Интегралы вида ,
2n 1 находят с помощью универсаль-
2n
sin x
1
cos x
ной тригонометрической подстановки.
При нахождении интегралов вида sin ax cosbx
dx,
cos ax cosbx dx ,
sin ax sinbx dx , где a b , применяются тригонометрические формулы
Если
a b, то
1
sin ax cosbx
sin(
a b)
x sin( a b)
x;
2
1
cosax
cosbx
cos(
a b)
x cos( a b)
x;
2
1
sin ax sin bx cos(
a b)
x cos( a b)
x.
2
1
cos2ax
sin ax cosaxdx
sin 2axdx
c ;
2
4a
1 cos2 sin 2
cos 2 ax x ax
ax dx dx c ;
2 2 4a
1 cos2 sin 2
sin 2 ax x ax
ax dx dx c.
2 2 4a
Интегралы вида sin x cos x dx ,
m
n
где
m, n
N , вычисляются с помощью
подстановки t sin x при нечетном п, а при нечетном m – с помощью
подстановки t cosx
. В случаях четных m и п используются тригонометрические
формулы
70

1
1
sin x cosx
sin 2x;
sin 2
1
x (1 cos2x);
cos 2 x (1 cos2x).
2
2
2
Интегралы вида
n
n
, n tg x ctg x dx dx
tg xdx ctg
xdx,
dx,
dx,
, ,
2m
2m
2k
cos x sin x sin x cos
2 l
x
где
n, m,
k,
l N , находят с помощью формул
n
2 1
2 1
tg x 1,
ctg x 1.
2
2
cos x
sin x
dx
Пример 9.53. Найти интеграл .
13 5cosx
1
Р е ш е н и е. Так как функция
не является четной относительно
sin x и cos x , нечетной относительно sin x и cos x , то применим уни-
13 5cosx
x
версальную тригонометрическую подстановку t tg . Получим
2
2
dx x
1
t 2dt
t
tg , x 2arctg t,
cosx
, dx
2
2
13 5cosx
2
1
t 1
t
dt
dt dt 1 d(3t)
2
2
2
2
2 2
2 2
2 1
t 18t
8 (3t)
2 3 (3t)
2
1
t
13
5
2
1
t
1 1 3t
1 3 x
arctg c arctg
tg c .
3 2 2 6 2 2
cos x ;
dx
dx
Пример 9.54. Найти интеграл
.
2sin
x 5cosx
5
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция рационально зависит от
2dt
применим подстановку
и
2
1
t
dx
2sin x 5cosx
5
sin x и
x
t tg , тогда ,
2
sin 2t
1
t
x , cosx
2
1
t 1
t
2
2dt
2t
2
1
t
2
2
1
t
1
t
5
1
t
2
2
5
2
dt 1 d(2t
5)
2t
5 2 2t
5
1
ln |
2
1 x
2t
5| c
ln 2tg
5
2 2
c .
71

Пример 9.55. Найти интеграл
2cos
72
2
dx
.
2
x 3sin x
Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функция – четная относительно
sin x и cos x , то применим подстановку t tgx :
dx
dt
, , , sin
2
2 t
tgx x arctg t dx
2
2cos x 3sin x
1
t
dt
2
1
dt 1 d(
3t)
t
2
2
2 2
2 3t
2 3t
3 ( 3t)
( 2)
2 2
1
t 1
t
1
ln
2 6
3tgx
3tgx
2
c.
2
cos
Пример 9.56. Найти интеграл
sin
3
8
x
dx .
x
2
2
t
x
1
t
2
1 1
ln
3 2 2
, cos
2
3t
3t
1
x
1
t
2
2
2
c
Р е ш е н и е. Применим подстановку t sin x , так как подынтегральная
функция является нечетной относительно cos x , и получим
3
cos x cos x cosx
dx
8 8
sin x sin x
2
(1 t ) dt 8
t
dt t
8
t
2
dx t sin x,
6
1
dt
7t
7
1
5t
dt cosxdx,
cos
5
1
c
7sin
sin x
Пример 9.57. Найти интеграл
dx .
2
cos x cosx
3
7
2
x 1
t
1
x 5sin
2
5
c .
x
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является нечетной относительно
sin x , поэтому применим подстановку t cosx
:
3
2
sin x sin xsin
x
dx
2
dx t cosx,
dt sin xdx,
sin
2
cos x cosx
cos x cosx
2
2
(1 t ) dt ( t 1)
dt ( t 1)
dt dt
dt
2
t t t(
t 1)
t
t
t ln | t | c
cosx
ln | cosx
| c
.
2
x 1
t
3 2tgx
Пример 9.58. Найти интеграл dx .
sin 2x
2tgx
Р е ш е н и е. Так как sin 2x , то применим подстановку t tgx :
2
1
tg x
3 2tgx
dt
2t
dx
t tgx,
x arctg t,
dx , sin 2x
2
2
sin 2x
1
t 1
t
2

(3 2t)
dt (3 2t)
dt 3 dt 3
3
dt ln | t | t
c ln | tgx | tgx
c .
2 2t
(1 t )
2t
2 t 2
2
2
1
t
dx
Пример 9.59. Найти интеграл .
3
sin x
Р е ш е н и е. Находим
dx x
t tg ,
3
sin x 2
1
4
1
dt
4
x 2arctg t,
2dt
dx
1
t
1
dt
4
2
2t
, sin x
1
t
2 2
2 4
(1 t ) 1 2t
t
3
dt
t
3 3
t
t
1
dt
2
t
2
1
4
(1 t
2
1
tdt
8t
2dt
8t
)
(1 t
2
3
2
)
3
1
ln |
2
t |
1
t
8
2
1
c
8tg
2
x
2
1
ln
2
x
tg
2
1
tg
8
2
x 1 cosx
c
2 8(1 cosx)
1
cosx
8(1 cosx)
1
ln
2
x cosx
tg c
2
2 2sin x
1
ln
2
x
tg c .
2
x 5x
Пример 9.60. Найти интеграл sin cos dx .
2 2
Р е ш е н и е.
x 5x
1
1
sin
cos dx (sin(
2x)
sin 3x)
dx (sin(
2x)
d(
2x)
2 2 2
4
1
1 1 1 1
sin 3xd(3x)
cos( 2x)
cos3x
c cos2x
cos3x
c .
6
4 6 4 6
Пример 9.61. Найти интеграл cos 9x cos 6x
cos 3x
dx.
1
Р е ш е н и е. Так как cos 9x
cos 6x
(cos 3x
cos15x)
, то
2
1 2 1
cos 9x
cos 6x
cos 3x
dx cos
3xdx
cos15x
cos 3xdx
2
2
cos
1
4
2
x
1
cos 6x
3x
2
1
sin 6
24
x
1
4
1
sin 12
48
(1 cos 6x)
dx
x
1
4
1
sin 18x
c .
72
(cos12x
cos18x)
dx
73

Пример 9.62. Найти интеграл (sin x sin 7x)
dx .
Р е ш е н и е.
2
2
(sin
x sin 7x)
dx sin
xdx 2sin
x sin 7xdx
sin
7xdx
1
1
(1
cos 2x)
dx (cos 6x
cos 8x)
dx (1
cos14x)
dx
2
2
1 1 1 1 1 1
x sin 2x
sin 6x
sin 8x
x sin14x
c
2 4 6 8 2 28
1 1 1 1
x sin 2x
sin 6x
sin 8x
sin14x
c .
4 6 8 28
2 x 4 x
Пример 9.63. Найти интеграл sin
cos dx .
3 3
x x
Р е ш е н и е. Так как sin и cos входят в подынтегральное выражение
в четных степенях, то воспользуемся формулами
3 3
2 x
2 x 1
2 2x
2 2x
1 4x
1 2
2 x
x
sin cos sin , sin 1 cos ,
cos 1
cos
3 3 4 3 3 2
3 3 2
3
и будем иметь
sin
2
x
cos
3
4
x
dx
3
1
4
sin
2
2x
3
cos
2
x
dx
3
1
16
2
2
4x
2x
1
cos
1 cos dx
3
3
1
16
1
dx
16
4x
1
cos dx
3 16
2x
cos dx
3
1
16
4x
cos
3
2x
cos dx
3
1
16
x
3
sin
64
4x
3
3
sin
32
2x
3
1
32
2x
cos
3
cos 2xdx
1
16
x
3
sin
64
4x
3
3
sin
32
2x
3
3
sin
64
2x
3
1
sin 2
64
x c
1
16
x
3
sin
64
4x
3
3
sin
64
2x
3
1
sin 2x
c.
64
3 4
Пример 9.64. Найти интеграл cos x sin xdx
.
Р е ш е н и е. Так как степень cos x нечетная, то применим подстановку
t sin x , из которой dt cosxdx
. Таким образом получаем
cos
1
t
5
3
5
x sin
1
t
7
4
7
4 2
4 2 4
xdx sin
x cos xcosxdx
t
(1 t ) dt t
dt t
c
1
sin
5
5
x
1
sin
7
7
x c .
6
dt
74

sin 3 xdx
Пример 9.65. Найти интеграл .
2 cos x
Р е ш е н и е. В подынтегральное выражение sin x входит в нечетной
степени, поэтому применим подстановку t cosx
и получим
3
sin xdx
2 cos x
t
cosx,
dt sin
xdx
2
t 1
dt .
t 2
В полученном интеграле выделим целую часть в подынтегральной дроби:
Следовательно,
–
t 2 – 1
t 2 – 2t
2t – 1
–
2t – 4
3
t – 2
t + 2
.
2
t 1
dt
t 2
1
cos
2
2
3 1
t
2 dt
t
t 2 2
x 2cosx
3ln | cosx
2 | c
.
Пример 9.66. Найти интеграл
tg
2
2t
3ln | t 2 | c
6
dx
(2x
1 6
3)
Р е ш е н и е. Так как ctg (2x
3)
, то будем иметь
6
tg (2x
3)
dx
6
4 1
6 ctg (2x
3)
dx ctg ( 2x
3)
tg (2x
3)
1
dx
2
sin (2x
3)
1 4 1 1 4
t
2x
3, dt 2dx
ctg
t
1
( )
2
dt
ctg
t d ctg t
2 sin t 2
1 4 1 5 1 2 1 1 5 1 2
ctg
t dt ctg t ctg
t
1
( )
2
dt
ctg t ctg
t d ctg t
2
10 2 sin t 10 2
1 2 1 5 1 3 1 1 1 5 1 3 1
ctg
t dt ctg t ctg t
1
dt ctg t ctg t ctg t
2
2
10 6 2 sin t 10 6 2
1 1 5 1 3 1
t c ctg (2x
3) ctg (2x
3) ctg(2x
3) x c .
2 10
6
2
4
tg 2x
Пример 9.67. Найти интеграл dx .
6
cos 2x
Р е ш е н и е. Сделаем замену t 2x
и применим формулу
1
2
1
tg t .
2
cos t
.
75

4
В результате получим
2
tg 2x
1 4 1 dt 1 4 2 2
dx
(1 ) ( )
6 tg
t
2
2 tg
t tg t d tg t
cos 2x
2 cos t cos t 2
1 8 6 4 1 9 1 7 1 5
(
tg t 2tg
t tg t)
d(
tg t)
tg 2x
tg 2x
tg 2x
c .
2
18 7 10
dx
Пример 9.68. Найти интеграл .
cos 8 3x
Р е ш е н и е. Находим
dx 1 1
2 1 1 dt
t 3x,
dx dt,
1 tg t
8
2
2 2
cos 3x
3 cos t
3 cos t cos t
1 2 3 1
2 4 6
(1
tg t)
d(
tg t)
(1
3tg
t 3tg
t tg t)
dt
3
3
1 1 3 1 5 1 7 1 3 1 5 1 7
t tg t tg t tg t c x tg 3x
tg 3x
tg 3x
c .
3 3 5 21
3 5 21
3
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
dx
9.534. .
17 15cosx
dx
9.536. .
9 5cosx
dx
9.538. .
2 3sin x
dx
9.540. .
6 5sin x
dx
9.542. .
1 sin x cosx
dx
9.544. .
5 3sin x 4cosx
dx
9.546. .
6 sin x 2cosx
dx
9.548. .
3 sin x 8cosx
dx
9.535. .
5 cosx
dx
9.537. .
11
cos2x
dx
9.539. .
4 7sin x
dx
9.541. .
1 sin x
dx
9.543. .
2 3sin x 2cosx
dx
9.545. .
2sin
x 7cosx
dx
9.547. .
4 7sin x 4cosx
dx
9.549.
.
4 3sin x 7 cosx
76

dx
9.550. .
8 2sin x 3cosx
dx
9.552. .
cosx
3sin x
dx
9.554. .
7 5sin x 6cosx
dx
9.556. .
2sin
x sin 2x
1 sin 3x
9.558. dx.
1 sin 3x
cos5x
9.560.
.
2
(1 cos5x)
dx
dx
9.562.
.
2
2
3cos 2x
4sin 2x
dx
9.564.
1 4sin xcosx
4cos
1 sin x
9.566. dx.
4
sin x
dx
9.568. .
4 2
cos 5xsin
5x
dx
9.570. .
3 3
sin xcos
x
dx
9.572. .
3sin x cos
7 x
9.574.
16sin
2
2
dx
dx
9.575.
(sin 2x
cos2x)
3
2 x
x 8sin x cosx
3cos
cos x cos x
9.577.
dx.
4 2
sin x cos x 1
cos 3x
9.579. dx.
3
sin 3x
5
5
2
.
.
2
.
x
dx
9.551.
.
2 3sin x cosx
dx
9.553. .
5 4sin x 3cosx
dx
9.555. .
5 3sin x 2cosx
1 sin
9.557. 1
sin
x
x
dx.
sin 2x
9.559. dx.
1 sin 2x
9.561.
dx
.
2
2sin x 2sin xcosx
1
2 x 2 x
9.563. sin cos dx.
3 3
2
cos 2x
9.565.
dx.
2
sin 2x
4sin 2xcos2x
4 x 2 x
9.567. sin cos dx.
4 4
dx
9.569. .
sin 5 xcosx
x
cos
9.571. 2
dx.
3 x 3 x
sin cos
2 2
dx
9.573. .
4
3 x 5 x
sin cos
4 4
9.576. cos 3 ( x 1) dx.
9.578. cos 3 (2x
3) dx.
9.580.
3sin
3 x
cos
2
x
cos
2
2
2
dx.
x
2
77

5 x
cos
dx
9.581. .
9.582. 2
dx.
sin 2x
sin 4x
2 x
1 cos
2
dx
9.583.
cosx(1
sin
3
2 x
.
)
78
cos x
9.584. dx.
2
1
cos x
cos xdx
9.585.
.
9.586.
2
cos 3 x dx.
sin x sin x
9.587. cos 5 x
dx.
9.588.
2
cos 7 4x
dx.
3 x
3
cos
cos x
9.589. dx.
9.590. 3
2
dx.
1 cos x
2 x
sin
3
sin 2x
sin 3x
9.591. dx.
9.592.
2 dx.
5
cos 2 x
cos 3x
sin 3
3
x
sin 2x
9.593. dx.
9.594. dx.
2
cos x
cos 2x
3 x
sin
3
9.595. 2
sin x sin x
dx.
9.596.
9 x
dx.
cos
cos 2x
2
9.597. ctg 2 1
2x
dx.
sin 2x
9.598. sin 3 x
dx.
cosx
3
3 1
1
tg x
9.599. ctg x dx.
9.600.
6
dx.
sin x
sin xcos
x
4 1
dx
9.601. tg 2x
1dx.
9.602.
2
cos 2x
.
2
1 cos x 2,5sin 2x
x
tg
9.603. 2
dx
dx.
9.604.
2 x x
.
tg tg 1
sin x cos
3 x
2 2
dx
dx
9.605. .
9.606.
sin 3 x x
.
3 3
cos
sin x cos x
2 2
dx
dx
9.607. .
sin x
9.608. .
sin 5 2x
3
5

dx
9.609. .
sin 7 x
dx
9.610. .
cos2x
dx
sin x cos x
9.611. .
9.612.
cos 3 x
dx.
sin 2x
4
x
9.613. sin 2x cos 7xdx.
9.614. sin cos 3xdx.
2
9.615. sin 3x cos 8xdx.
9.616. sin(
6x
5)cos 4xdx.
x x
9.617. sin x sin sin dx.
9.618. sin 2x
sin 8xdx.
2 3
x 4x
9.619. sin 3x sin 7xdx.
9.620. sin sin dx.
3 3
9.621. sin
3x
sin 3x
dx.
9.622.
5
sin
4x
sin
4x
dx.
3 12
3
9.623. sin
6x
sin
6x
dx.
9.624.
5 10
cos
x cos
x dx.
3
9.625. cos
x cos
x dx.
9.626.
4
cos 3x
cos10xdx.
x x
9.627. cos cos dx.
9.628. cos 2x
cos 6xdx.
4 5
x x
9.629. cos x cos cos dx.
9.630. cos3x
cos
x dx.
2 4
6 3
x
9.631. cos
x cos
dx.
9.632.
10 3 5
cos
(6x
1)cos(2 x 2) dx.
9.633. sin 2 x
dx.
9.634. sin 2 8x
dx.
5
9.635. cos 2
3x
dx.
9.636.
3
cos 2
4x
dx.
6
2 2
2 x 4 x
9.637. sin x cos x dx.
9.638. sin cos dx.
8 8
9.639. sin 4 3x dx.
9.640. cos 4 2x
dx.
2
2
9.641. cos 3x sin 5x
dx.
9.642. sin x cos x dx.
9.643. cos 6 x
dx.
9.644.
4
sin 8 x dx.
4 2
2 x 5 x
9.645. sin x cos x dx.
9.646. sin cos dx.
2 2
4
4
79

9.647. 5
3 x 5 x
sin cos dx.
3 3
4 x 3 x
9.649. sin cos dx.
5 5
5
5
9.648. sin x cos xdx.
2
4
9.650. sin x cos x dx.
9.651. sin x cos x dx.
9.652. sin x cos x dx.
9.653. sin 3
3 2
x dx.
9.654. sin 4x
cos 4x
dx.
3
sin 2x
sin 6x
9.655. dx.
9.656.
cos2x
3
dx.
cos 2x
3 2
cos 6x
x 5 x
9.657. cos sin dx.
9.658. tg 3 xdx.
2 2
2
3
9.659. tg
2x
dx.
9.660.
4
tg 2xdx.
3
4 x
9.661. ctg 5xdx.
9.662. tg dx.
6
6
1
9.663. ctg xdx.
9.664. dx.
7
ctg x
dx
4 1
9.665. .
9.666.
8
tg x dx.
6
tg 2x
cos x
4 x
sin
9.667. 2
dx
dx.
9.668.
8 x
.
cos
3 4
sin x cos
2 x
2
dx
dx
9.669. .
9.670. .
sin 4 5x
cos 4 7x
dx
dx
9.671. .
9.672.
cos 6 x
.
sin 6 2x
2
sin 2x
9.673.
dx.
9.674.
3 2
(1
2sin x )
3 dx.
cos x sin x 1
9.675. (1
2cos3x )
3 dx.
9.676. (1
3cos x )
2 dx.
x x
sin
cos
9.677.
2 2
sin x
1 sin 4x
9.679. dx.
2
sin 2x
2
dx.
3
1 sin x
9.678. dx.
2
cos x
sin 2x
9.680.
2
25sin x 9 cos
3
4
3
5
2
dx.
x
80

sin x
sin x
9.681. dx.
9.682.
dx.
1
tg x
3 x 2 x
cos sin 1
2 2
9.683. Интегрируя по частям, вывести формулы «понижения степени»:
n 1
n1
n 1
n2
sin
xdx cos x sin x sin
x dx;
n
n
n 1
n1
n 1
n2
cos
xdx sin x cos x cos
x dx.
n
n
6
6
По этим формулам найти 1) sin x dx ; 2) cos x dx .
9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Если подынтегральная функция иррациональна, то ее с помощью замены
переменной во многих случаях можно привести к рациональному виду или к
табличному интегралу. Этот способ называется интегрированием посредством
рационализации подынтегрального выражения.
ax b
В интегралах вида
R
x, n dx , где R – рациональная функция,
cx d
п – натуральное число и a , b,
c,
d – постоянные, рационализация подынте-
грального выражения достигается одной из трех подстановок:
n
1. t ax b , если с = 0 ;
2. t n x , если b = с = 0 ;
ax b
3. t n в остальных случаях.
cx d
где
Интегралы вида
n
m
n
1 1 2 2 k k
R x, ( ax b)
, ( ax b)
,..., ( ax b)
dx,
n ,
1 , m1
, n2,
m2,
..., n k mk
– целые числа, преобразуются в интегралы от рациональной
функции с помощью подстановки ax b t , где s – наименьшее
общее кратное чисел n 1 , n2 , ..., nk
(НОК ( n1 , n2 , ..., nk ) s).
Интегралы вида
R x
n
, 1
рационализируются подстановкой
кратное чисел
n ...,
1 , n2 , nk
.
ax
cx
b
d
ax
cx
m1
m
,...,
b
d
nk
s
t
n
ax
cx
b
d
s
mk
m
dx
, где s – наименьшее общее
81

a
С помощью тригонометрических подстановок x asin
t,
x ,
cos t
x atgt к рациональному тригонометрическому виду приводятся соответственно
интегралы
2 2
2 2
2 2
R x,
a x dx,
R x,
x a dx,
Rx
x a
2
Интегралы вида Rx
ax bx cdx
82
, dx .
, могут быть найдены с помощью
таких же подстановок, так как после выделения полного квадрата в квадратном
трехчлене и применения подстановки получают интегралы от выражений
2 2
2 2
2 2
R t
, a t , R t
, t a , t
, t a
Интегралы вида
( x )
R .
Mx N
ax
2
bx
dx
c
находятся с помощью подста-
1
новки x .
t
m n p
Интегралы от дифференциальных биномов x ( a bx ) dx , где m , n,
p –
рациональные числа, выражаются через элементарные функции только в трех
случаях:
1) если р – целое число, то используем подстановку x
m m
1
2
общее кратное знаменателей дробей m и ,
s s
1
2
l
t
, где l – наименьшее
n т.е. НОК s s
l ;
m 1
k
2) если – целое число,
n s
p , то a bx t , где s – знаменатель дроби р;
n
s
m 1
k a s
3) если p – целое число, p , то b t , где s – знаменатель
n
s
n
x
дроби р.
dx
Пример 9.69. Найти интеграл
.
2
x 3x
17
dx
Р е ш е н и е. Интегралы вида
приводятся к табличным
2
ax bx c
интегралам путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена. Поэтому
преобразуем квадратный трехчлен к виду
x
2
x
3
3x
17
x
2
2
dx
3x
17
2
59
4
3
x
2
. Тогда
3
d
x
2
2
2
59
2
ln x
3
2
x
2
3x
17
c.
1 ;
2

7x
1
Пример 9.70. Найти интеграл
dx .
2
2x
x 5
Ax B
Р е ш е н и е. Для нахождения интегралов вида
dx в числителе
выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком
2
ax bx c
корня, и затем раскладывают интеграл на сумму двух интегралов, один из которых
есть табличный, а другой – вида
. Значит, выделим в числи-
dx
2
ax bx c
теле производную подкоренного выражения:
7 3
(4x
1)
7x
1
4 4 7 (4x
1)
dx 3 dx
dx
dx
2
2
2 5 4 2
2 5
2 5 4 2
x x x x
x x 2x
x 5
1
1
d
x
7 2
2
3
4 7 2
2
x x 5
2d(2x
x 5)
2x
x 5
4
4 2
2
2 2
1 39
x
4
4
3
ln x
4 2
1
4
x
2
1
2
x
5
2
c .
Пример 9.71. Найти интеграл
dx
.
(2x
3) 2x
3
5 3
Р е ш е н и е. Так как НОК (5; 2) = 10, то применим подстановку
10
10
t 3
9
dx
t dt
2x
3 t . Тогда x , dx 5t
dt и
5
6
2
5 3
( 2x
3) 2x
3 t t
4
t dt
5
5
t 1
5
(2
4
x 3)
2
5
t
3
t
5
(2
3
2
1 5
t 1
dt
t
t 1
4
x 3)
3
10
5
(2
2
x 3)
1
5
4
5
t
3
3
5(2x
3)
2
5
t
2
1
10
2
5t
5ln | t 1|
c
5ln
10
2x
3 1
c .
2
2
3
1
6
1
6
x x 2 x x
Пример 9.72. Найти интеграл
dx .
3
x(1
x)
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является рациональной функцией
от x , x , x , x , x
3
, и наименьшее общее кратное знаменателей дробей
равно 6. Поэтому вводим замену
x t , dx 6t
dt и искомый интеграл приводим
к виду:
6
3 2
5
9
5
83

x
2
x 2
x(1
3 2
3
x
x)
6
x
dx 6
( t
12
t
t
6
6
2t
(1 t
4
2
t)
t
)
5
dt 6
t
11
t
t
5
2
2t
1
3
1
dt
6
t
9
t
7
t
5
2t
1
3
2t
dt t
2
t 1
5
10
3
t
4
8
t
6
6t
2
6
2t
dt 6
2
t 1
dt
2
t 1
3
t
5
10
3
t
4
8
t
6
6t
2
6 ln | t
2
1
1|
6
2
ln
t 1
c
t 1
3
x
5
5
3
3
4
x
4
3
x 6x
1
3
6 ln
3
x 1
3ln
6
6
x 1
c .
x 1
dx
Пример 9.73. Найти интеграл
.
x 1
x
3 3
x
x 1 Р е ш е н и е. Сделаем замену t
3
1
, из которой x ,
3
x
1
t
2
2 3
2
3t
dt
dx 3 2
(1 t )
и dx
t (1 t )
t
3
dt 3
dt
x t t t t
3 2
3
1 (1 ) (3 ) (1 )(3 )
x
3
3
x
t
3
dt.
2
(1 t)(3
t)(
t t 1)
2
Подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби:
t
2
(1 t)(3
t)(
t
2
A
t 1)
1
t
B
3 t
Ct D
.
2
t t 1
Применяя метод неопределенных коэффициентов для нахождения
A , B,
C,
D , получим систему уравнений
A B C 0
2A
4C
D 1
2A
3C
4D
0
3A
B 3D
0,
1 9 7 2
из которой A , B , C , D .
6 26 39 39
Таким образом,
84

2
t
(1 t)(3
t)(
t
3
78
3
39
3
(2t
1)
7
1
t |
7
dt ln |1 t |
2
78 t t 1
6
1
dt
2 1 9
ln |1 t | ln | 3 t |
2
2
1 3 6 26
t
2
2
9
ln | 3
26
2
dt
t 1)
2t
1
arctg c .
3
Окончательно
dx
x 1
x 3 3
x
3
x 1
1
x
3
13
1
ln 1
2
arctg
3
1
6
dt
1 t
x 1
x
1
2
3
3
27
26
9
26
ln 3
Пример 9.74. Найти интеграл
dt
3 t
3
x 1
1
c .
x
1
39
9
ln | 3
26
x 1
x
3 2x
3 2x
dx
x
7t
2 1
dt ln |1 t |
2
t t 1
6
t |
7
ln | t
78
.
7
26
ln
2
7
78
d(
t
2
t
t 1|
3
2
2
x 1
x
t 1)
t 1
ax b
Р е ш е н и е. Это интеграл вида
R x, dx . Применим подстановку
t,
x , dx . Тогда
cx d
2
3 2x
3( t 1)
6t
dt
3 2x
dx
2
2 2
3 2x
2( t 1)
( t 1)
3 2x
x
2
2
t ( t 1)
t
4
dt 4
2 2 2 2 2
( t 1)
( t 1)
( t 1)(
t
( t
t
2
2
2
2
dt.
1)
Разложим
t
t A B Ct D
на простейшие: .
2
2 2
2
1)(
t 1)
( t 1)(
t 1)
t 1
t 1
t 1
Освободившись от знаменателей, будем иметь:
3
2
2
рациональную дробь
( A B C)
t ( A B D)
t ( A B C)
t A B D.
Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
A B C 0,
A B D 1,
A B C 0, A B D 0, решение которой
A
1
,
4
1
B ,
4
C 0,
1
D . Таким образом,
2
85

( t
2
t
2
1)(
t
2
dt
1)
1
4
dt 1
t 1
4
dt 1
t 1
2
dt
2
t 1
1
4
1
ln | t 1|
4
ln | t 1|
1
2
arctg t c
1
4
В результате
ln
t 1
t 1
1
2
arctg
t c .
3 2x
3 2x
dx
x
ln
3 2x
3 2x
3 2x
3 2x
1
2 arctg
1
3 2x
3 2x
c .
2 2
Пример 9.75. Найти интеграл a x dx,
a 0 .
Р е ш е н и е. В примере 9.37 мы нашли этот интеграл, используя метод
интегрирования по частям. Однако его можно вычислить с помощью тригонометрической
подстановки x a sin t :
2 2
2 2 2
a x dx x
asin
t,
dx a cos t dt
a a a sin t cos t dt
2 2 a
a a
a cos
t dt (1
cos 2t)
dt t sin 2t
c
2
2 4
x
t arcsin ,
a
2x
2
a
a
2
x
2
2
sin 2t
2sin
t cos t 2sin t
2
a
2
arcsin
x
a
x
2
a
2
2
x
Пример 9.76. Найти интеграл
2
2
1
sin
c .
dx
( 7 x
Р е ш е н и е. Применим подстановку
Тогда
dx
( 7 x
2 ) 3
1
7
2
2 ) 3
t 2
.
x
a
x
1
a
7dt
x
7tg
t,
dx , tg t .
cos t 7
x
2
dt 2 1 1 1
1
tg t
cos
t dt sin t c
3
2
cos t 7 7
2 2
cos t(1
tg t)
2
2
2
sin
t
2
tg t
2
1
tg t
7
x
7 x
2
c .
86

x
2
sin
t
Пример 9.77. Найти интеграл
x
2
dx
.
2
x 3
3 3sin t
Р е ш е н и е. Сделав замену x , dx dt,
получим
2
cos t cos t
dx
2
x 3
1
cos
3
cos
2
t
2
3
t
cos
sin t dt
2
t
3
1
2
x
3
cos
2
1
cos
t dt
3
3
t
2
x 3
x
2
x 3
c .
3x
1
sin
3
t c
Пример 9.78. Найти интеграл
x
2
4x
20 dx .
Р е ш е н и е. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
2
4dt
4 x 20 dx ( x 2) 16dx
x 2 4tg t,
dx
cos t
2
x
2
2
1
tg t dt dt
16
16
.
2
3
cos t cos t
Так как подынтегральная функция является нечетной относительно
то используя подстановку
dt
16
3
cos t
16
(1 z
2
)
dz
3
2
(1 z
2
z sin t,
t arcsin z,
dz
16
2
(1 z )
dt
dz z
z 1
z
16 16 dz 8ln
16
2
2 2
z 1
(1 z ) z 1
(1 z
2
)
1
2
2
dz
1
z
(1 z ) z
16
2 2
(1 z )
2
2
)
2
2
dz .
2
, будем иметь
2
dz
cos t ,
1
2(1 z
Последний интеграл найдем интегрированием по частям:
2
2
z
zdz
z 1
d(1
z )
dz u
z,
dv , du dz,
v dz
2 2
2 2
2 2
2 2
(1 z ) (1 z )
(1 z ) 2 (1 z )
2
z
) 2(1 z
Следовательно,
2
)
1
2
dz
1
z
2
z
2(1 z
1
ln
) 4
2
z
z
1
1
c .
87

88
.
20
4
2
20
4
2
4ln
20
4
2
2
20
4
2
sin
,
20
4
16
4
2
1
1
1
1
cos
1
sin
1
sin
4ln
cos
8sin
1
1
4ln
1
8
1
1
4ln
1
8
1
1
8ln
20
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
x
x
x
t
tg
t
c
t
t
t
t
c
z
z
z
z
c
z
z
z
z
z
z
dx
x
x
Пример 9.79. Найти интеграл
dx
x
x
2
10
11 .
Р е ш е н и е. Находим
dt
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
dx
t
x
dx
x
dx
x
x
)
cos2
(1
18
cos
36
6cos
36sin
36
6 cos
,
6sin
5
5)
(
36
10
11
2
2
2
2
,
6
10
11
6
5
1
,
6
5
sin
9sin 2
18
2
2
x
x
x
t
cos
x
t
c
t
t
.
10
11
2
5
6
5
18arcsin
10
11
18
5
6
10
11
6
5
2
cos
2sin
sin 2
2
2
2
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
t
t
Пример 9.80. Найти интеграл
5
2
3)
(
2
x
x
x
dx
.
Р е ш е н и е. Это интеграл вида
dx
c
bx
ax
x
N
Mx
2
( )
. Поэтому сделаем
замену 2
2
2
2
1
8
20
5
2
,
,
1
3
,
1
3
t
t
t
x
x
t
dt
dx
t
x
t
x
. Тогда
3
1
4
1
1)
(5
1
5
ln
5
2
1
2
1
1)
(5
1)
(5
5
2
1
2
1
1)
(5
2
5
1
8
20
1
5
2
3)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
x
t
c
t
t
t
t
d
t
dt
t
t
t
t
t
dt
x
x
x
dx
.
3)
2(
5)
2
5(
4
2
ln
5
2
1
3)
2(
5)
2
5(
3
2
ln
5
2
1
2
2
c
x
x
x
x
c
x
x
x
x
x

x
3
Пример 9.81. Найти интеграл
dx .
(1 4x
)
Р е ш е н и е. Подынтегральную функцию представим в виде
(1 4x
2
)
3
2
x
3
2
. В нашем случае мы имеем интеграл от дифференциального би-
3 m 1
нома, причем m 3,
n 2, p , 2 – целое число. Поэтому делаем
2 n
2
3
2 2 2 1
t 1
x
замену 1 4x
t , x , xdx t dt.
Значит, dx
3
4 4
2
(1 4x
)
2
2
(1 t ) t dt
3
1
16
t
1
16
1
1
dt
2
t
1
16t
Пример 9.82. Найти интеграл
3
2
t
c
16 16
(2 x
x
4
2 ) 5
dx .
1
1
4x
2
1
4x
16
2
c .
Р е ш е н и е. Запишем подынтегральную функцию в виде x ( 2 x )
2.
5 m 1
3 5
Здесь m 4,
n 2, p , p 1
– целое число. Поэтому положим
1
t , x , x , dx . Тогда
2 n 2 2
2 2 2 2 2
2 t dt
2
2
x
t 1
2
2 3
t 1
( t 1)
(2 x
x
4
2
)
5
dx
5
2 2 2
6
2t
( t 1)
t dt
t
2
2 dt
2
2 2
t 1
4
2 3
( t 1)
( t 1)
2
2
2
2 3t
2
2 3
3t
2
2
t
2 dt t 4t
2
dt .
2 2
2 2
( t 1)
3 ( t 1)
( t 1)
Подынтегральную функцию последнего интеграла разложим на простей-
3t
2 A B C D
шие дроби: .
2 2
2
2
( t 1)
( t 1)
t 1
( t 1)
t 1
( t 1)
Освободившись от знаменателей, имеем
3t
2
2 ( A C)
t
3
( A B C D)
t
2
4
( A
2B
C 2D)
t A B C D .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
уравнений A C 0,
A B C D 3, A 2B
C 2D
0,
A B C
D 2 , из которой находим
Итак,
2
3t
( t 1)
2
2
( t 1)
2
dt
5
4
5 1 5 1
A , B , C , D .
4 4 4 4
dt 1 dt 5 dt 1 dt
2
t 1
4 ( t 1)
4 t 1
4 ( t 1)
2
2
5
89

t
5
ln |
4
1
t 1|
4( t 1)
2
2 x
.
x
Окончательно
2
5
5
ln |
4
1
t 1|
c
4( t 1)
2
3
5
ln
4
t
t
1
1
2( t
t
c,
1)
2
2
( 2 x ) 2 (2 x ) 4 2 x 5 2 x x 1
2
dx
ln
x 2 x
4
3
x 3 x x 2
2
2 x x 2
2
c.
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
9.684.
dx
.
2
x 13x
41
9.686.
dx
.
2
x 4x
8
9.688.
dx
.
2
x 2x
8
9.690.
3x
13
.
2
1
x
9.692.
dx
.
( x 2)( x 4)
x 1
2x
1
9.694.
dx.
1
2x
1
1
9.696.
3 x
9.698.
1
6
x 7
3 x
(3 x)
3 4
( x 7)
4 3 dx
6
2x
9.700. dx.
3
1
2x
9.702.
3
x
x
7
5
dx
( x 5)
.
3
.
dx.
x 3 2
9.704.
dx.
2
( x 3) x 3
9.685.
9.687.
9.689.
9.691.
9.693.
dx
.
2
x 4x
8
dx
.
3x
2 2x
5x
2
dx.
2
2x
12x
11
3x
2
dx ;
2
x 10x
24
dx
.
3
x ( x x)
3 2
3
2x
5
9.695. dx.
3
1
2x
5
x
9.697.
9.699.
2
3 2
x
4x
x 1
4
dx.
3
x 1
3
x
6 5
x
dx.
1 x 1
9.701. 4
dx.
2
( x 1)
x 2
9.703.
9.705.
3 2
x
dx
1
3
(2x
5)
3 2
x
dx
3
.
.
2x
5
90

9.706.
9.708.
9.710.
dx
.
3 7 2x
7 2 x
3
3
2x
1
dx.
6x
1
x 4
dx.
3x
14
x
9.712.
1
3 x
4
3
dx.
9.713.
1
9.707.
dx
.
4
9 2x
9 2x
9.709.
x
dx.
2x
1
9.711.
x 9
dx.
( x 8) x 6
3
( x 1)
dx.
2
x 2x
3
9.714. x a x dx.
9.715. 5 x
2 dx.
9.716. 2 2 2
x dx.
9.717. 6x
x 7 dx.
9.718. 5 2x x 2 dx.
9.719. 3 4x
x 2 dx.
2
2
9.720. (
x 1) 3 2x
x dx.
9.721. (
x 2) 4x
x dx.
3 2
3
3 2
3
9.722.(
x 1) ( x 2x
1)
dx.
9.723.(
x 2) ( x 4x
2) dx.
dx
dx
9.724.
.
9.725.
2
3
.
2
2
( x 6x
13)
( x 2x
3) 2x
x
9.726.
( x
x
9.728.
(6 x
9.730.
2
6x
11)
2
2
)
5
( x 1)
2
(1 2x
x
dx
dx.
2
)
3
x
dx.
2
. 9.727.
6x
8
9.729.
9.731.
x
2
(3 x
( x
2
2
)
5
( x 1)
2
( x
dx.
2
2x
2)
( x 2)
2
2
5
4x
2)
2
dx.
3
dx.
9.732.
( x
2
dx
a
2
)
3
.
9.733.
2
x 2x
1
dx.
4
( x 1)
9.734.
9.736.
9.738.
1
9.740.
x
2
x 2x
dx.
2
( x 2)
(8 2x
x
( x 1)
dx
2
x
dx
3x
6
.
1
2
x
.
2
)
3
dx.
9.735.
( x
9.737.
2
4)
dx
3 2x
x
4x
2 2x
x
dx
9.739.
( x 1)
x
9.741.
x
dx
x
2
x
2
.
2
2
2
.
1
dx.
.
2x
91

9.742.
x
9.744.
x
9.746.
x
dx
11x
9.748.
( x 3)
9.750.
9.752.
9.754.
( x 3)
9.756.
x
2
x
dx
.
2
x 1
dx
.
2
x 2x
.
dx
.
2
x 4x
3
3x
16
dx.
2
x 11x
32
5x
7
dx.
2
x 8x
7
dx
4 3
1
x
9.758.
( x 2)
9.760.
( x 1)
9.762.
x
9.764.
2
dx
x 1
dx.
2
x 4x
5
.
dx
1
( x 2)
4 3 2
x
(1 x
x
3
(5 7x
2
dx
)
2
3
3x
)
3
.
dx.
3
.
.
3x
9.743.
( x 1)
9.745.
x
dx
4
9.747.
( x 1)
9.749.
( x 3)
dx
2x
2
x
.
2x
2
dx
2
.
6x
5
.
6x
3
dx
.
2
5x
28x
40
x 2
9.751.
dx.
2
x x 2x
2
3x
5
9.753.
dx.
2
( x 2) x 5x
7
9.755.
dx
3 3
1
x
dx
9.757.
( x 1)
.
3 2
x
dx
9.759.
.
3 2
( x 1)
( x 2)
9.761.
x
9.763.
3
dx
3 3
2 x
x
3
(2 3x
9.765.
(2 x)
3
2
)
3
.
.
dx.
3 3 2
x
dx
6x
.
12x
6
9.766.
9.768.
9.770.
3 x
3
2 2x
2
3
1
2 x
dx.
9.767.
2 x
x 2
dx.
9.769.
x 2 1
1
x
x
5
9.772. 1 1
x 1
4
dx.
9.771.
4
92
x 1
(1 4x
6
dx
4 x
3 3 2
x
)
dx.
1
1
dx.
x 3 dx .
9.773. 3 x 5x
3 x 3 dx .
9.774. 3 x 1 3 x dx .
9.775.
3 3 2
dx
10
2
x
2x
1 x 2x
1
4 2
.
.

9.7. Контрольные задания к главе 9
1.
x
4.
x
Вариант 1
Найти интегралы.
dx
x
x
3 2x
2 5
. 2. sin 2x sin dx.
3. .
3x
3
5
x 1
dx
dx
2 x
. 5.
2
x arcsin dx.
6.
8 x
2
x 6 x dx .
2
Вариант 2
Найти интегралы.
3 2
dx
x 2x
x 1
1.
. 2.
2
sin 3x cos 4x
dx.
3.
dx.
2
14x
x 45
x 1
4. sin 2 3x dx.
5. ( x x
3)sin dx.
4
6. dx
9 3 cos x .
1.
4.
1.
4.
Вариант 3
Найти интегралы.
3 2
dx
x
2x
12x
24x
21
. 2.
2
cos cos 3x
dx.
3. dx.
15 2x
x
2
x 3
2
x dx
x
. 5.
2
( x 3) arctg dx.
6. 2x 2 3x
5 dx .
x 3
5
Вариант 4
Найти интегралы.
3
dx
2 sin x
. 2.
2
dx.
5 x 4x
3 3 cos 2x
x 7
dx .
2
14x
x
x
5. x ln dx.
6.
7
3x
10
3. dx.
4 3
x 5x
5
x
x 2
dx .
1.
x
Вариант 5
Найти интегралы.
dx
dx
. 2. sin(
6x 1)cos 4x
dx.
3.
5x
6
8
2
dx
4. 3 2x
3 2 x
.
3
x
e
5. 5 sin 7x
dx .
3
x
6. x 4 x dx .
.
93

Вариант 6
Найти интегралы.
dx
x x
1. . 2. sin cos dx.
3.
2x
2 x 1
2 4
( x
dx
4. . 5.
2
x ln( x 2) dx.
6.
x 24 x
x
2
dx
3)
dx
2
.
5 2ln x
.
Вариант 7
Найти интегралы.
dx
dx
1. . 2.
x(x 10)
.
5 sin 3x
4.
x
x
2
2
1
dx.
11
5. x
e x sin dx.
5
x
3.
x
6.
x
2
3
x 2
dx.
4x
1
dx
.
5x
x
2
Вариант 8
Найти интегралы.
dx
1.
. 2. cos 3
4
x
(2x 7) dx.
3. dx.
21x
2 2
11x
2
x 16
3x
7
4. dx.
5. ln( 2
2
x 3x
2) dx.
6. x x 3 dx .
5x
12
Вариант 9
Найти интегралы.
x 2
1. dx.
2.
3 cos 4
2
x 2x
6
3x dx.
3.
x 4x
x 6
4.
x
2
x
4
3
dx.
dx.
5. ( x 2 x
5x
1)sin
dx.
5
6. dx
x .
2 7sin 4cos x
Вариант 10
1.
4.
Найти интегралы.
dx
dx
. 2.
2
.
12 x 33
x
3 4sin
2
10 x
x
2
dx.
5. ( x
2 x 5) e dx.
x
dx
3. 3
( x 1)
(2 x)
dx
6. .
3 sin x 3cosx
2
.
94

Глава 10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
10.1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x)
определена на отрезке a ,b.
Разбиением отрезка
a, b
назовем конечное множество точек x0, x1 , , xn,
таких что
a x0 x1
x2
xn1
xn
b.
Отрезки x k 1,
x k
называются частичными
отрезками, число max x , где x x x , называется диаметром разбиения.
k1,
n
k
k
Выберем произвольно на каждом частичном отрезке точку x , x
построим сумму
n
k1
f
k
k1
x
f
x
f
x
f
x
,
k
k
1
1
2
2
n
n
и
которая называется интегральной суммой или суммой Римана, соответствующей
данному разбиению отрезка a, b
и выбору точек i.
Рассмотрим
предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.
n
lim
0
i1
.
f
i x i
Если существует этот предел, не зависящий от способа разбиения отрезка a,
b
и от выбора промежуточных точек i,
то говорят, что функция f (x)
интегрируема
по Риману на отрезке a ,b,
а сам предел называется определенным инте-
b
гралом и обозначается f ( x)
dx.
Число а называется нижним пределом, число
a
b – верхним пределом интеграла, функция f (x)
– подынтегральной функцией,
выражение
b
a
f ( x)
dx – подынтегральным выражением, а задача о нахождении
f ( x)
dx – интегрированием функции (x)
Если ( x)
0
f на b
f на отрезке b
a, .
k
k1
a, , то определенный интеграл f ( x)
dx геометрически
представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной
линиями y f ( x),
x a,
x b,
y 0 (рис. 10.1).
b
a
k
95

1. f ( x)
dx
f ( x)
dx.
a
a
a
2. f ( x)
dx 0.
b
c
a
b
Основные свойства определенного интеграла
3. f ( x)
dx f ( x)
dx f ( x)
dx.
a
b
a
4. f 1( x)
f2(
x)
dx f1(
x)
dx f2(
x)
dx.
a
b
b
5. cf ( x)
dx c
f ( x)
dx,
где с – постоянная.
a
6. Если ( x)
0 f ( x)
0
a
b
a
b
c
b
a
f для x ( a;
b)
и a b,
то
b
b
(
) 0 ( ) 0
f x dx
f x dx .
a a
7. Если f x)
f ( ) для x ( a;
b)
и a b,
то
b
a
1( 2 x
b
1( x)
dx f2(
x)
a
f
dx.
8. Оценка определенного интеграла: если (x)
и m f x)
M a, b , где m, M – некоторые числа, то
9. Если (x)
( на
b
m( b a)
f ( x)
dx M ( b a).
f непрерывна на отрезке b
что справедливо равенство f ( x)
dx f ( b a)
(теорема о среднем значении).
b
a
a
Рис. 10.1
96
f интегрируема на отрезке a,
b
a, , то существует такая точка a,b,

10. Если функция f (x)
непрерывна и ( x ) f ( t)
dt,
то справедливо равенство
( x)
f ( x),
т.е. производная определенного интеграла от непрерывной
функции f (x)
по его переменному верхнему пределу х существует и равна
значению подынтегральной функции при том же х.
Если функция (x)
f непрерывна на отрезке b
x
a
a, и F (x) какая-либо первообразная
для f (x)
на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-
Лейбница
2
Пример 10.1. Вычислить интеграл x 2 dx как предел интегральной сум-
0
мы.
b
a
b
f ( x)
dx F(
x)
F(
b)
F(
a).
a
Р е ш е н и е. Так как ( x)
x , a 0, b 2,
2
f то разделим отрезок ,2
b a 2
равных частей x k и выберем k x k . Получим
n n
2 4
2n
2 2n
x0 0,
x1
, x2
, , xn1
, xn
2,
n n
n n
f
f
2
2 4
2n
1 2
n
n n
n
, f
, , f
,
2k
2 2 k
k k
Следовательно,
3
n n n
x
.
2
0
2
x dx lim f
2
n
n
k1
3
2
2
n
2 k
3
n
3
2
k xk
lim 2
lim k
.
n
k1
3
2
2
n
1
n
n
3
k1
2 3 n n1
2
Продифференцировав тождество ( x 1)
x
x x
x x
раза по х и положив затем x 1, можно найти, что
n
k1
n
k1
2
0
( n 1)
n(
n 1)
k(
k 1)
3
и, значит,
(1 n)
n ( n 1)
n(
n 1)
k k
k1
k1
k1
2 3
Таким образом,
1 1
(1 )(2 )
2 n(
n 1)(2n
1)
8
x dx 8 lim
8 lim n n .
n
3
6n
n
6 3
0 на n
три
n(
n 1)(2n
6
n
n n
2
1
( k 1)
k
k(
k 1)
.
1)
97

Пример 10.2. Оценить интеграл
13
5
98
cosx
1
x
4
dx.
Р е ш е н и е. Так как cosx 1,
то при x 5 получим неравенство
13
cosx
1 2
cosx
2
5 . Следовательно,
4
4
dx 85
, т.е.
4
1
x 1
x
5 1
x
13
5
cosx
1
x
4
dx 0,32.
3
dx
Пример 10.3. Оценить интеграл
2 5cos
Р е ш е н и е. Поскольку 0 cos x 1,
то
2
4
1
7
2
.
x
1
2 5cos
2
3
1
dx 1
dx
или
2
7 3 4 2 5cos x 2
3 4 84 2 5cos x 24
4
3 4
x
2
.
Пример 10.4. Вычислить среднее значение функции
y в ин-
x
тервале (1, 4).
1
2
и
3 x
1
3
Р е ш е н и е. Согласно теореме о среднем f ( x)
dx f ( c)(
b a)
. Тогда
b
4
1
1
f ( c)
f ( x)
dx.
В данном примере f ( c)
3 x
1 dx
3
b a
4 1
x
3
x
3
4
2
1
3
0
a
1 4 3 2 3 4
3
3
3 3
x
2
3
x
2
1
1
3
4
3
4
3
4 2
2
b
a
3 3
2
4 2
1
4
2
2
2 1 1
Пример 10.5. Вычислить
x
3 dx.
1
x x
Р е ш е н и е. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
1 1 1 3 1
ln
3 dx
x x
x x 3 2x
3
Пример 10.6. Вычислить
Р е ш е н и е.
0
2
2
1
x
8
3
3 2
x
ln 2
3
9
1 2
3 2
2 3 2 3
2 3
5 3 3
3
x x dx x x dx
x 2 3 9.
x
0
3
5
dx.
0
1
8
1
3
1
2
5
3
.
4
65
ln 2.
24

2
0
e1
0
dx
5 x
Пример 10.7. Вычислить
Р е ш е н и е.
2
2
5
dx
2
0 2
x
arcsin
Пример 10.8. Вычислить
Р е ш е н и е.
3x
5
dx
x 1
e1
3e
38
3e
11.
0
1
2
0
3( x 1)
8
dx
x 1
e1
0
2
0
dx
5 x
2 .
x 2
arcsin
5 0
e1
0
3x
5
dx.
x 1
3
8
dx
x 1
0
2x
x 7
Пример 10.9. Вычислить dx.
x 3
Р е ш е н и е.
2x
x 7
dx
x 3
0
1
1
28
2x
7 dx
x 3
3
28ln 3 (1 7 28ln 2) 28ln 8.
2
12
2
cos
Пример 10.10. Вычислить
6
6
2
6
e x
3
x
2
3
dx.
x
3
2
1,11.
5
e 1
3x
8ln x 1
7x
28ln x 3
Р е ш е н и е. e
3dx
3 e
3d
3e
3
3e
e 3e(
e 1).
3
x
Пример 10.11. Вычислить cos
3
Р е ш е н и е.
2x dx
1
sin 2x
2
12
2
cos
1
sin
3
3
2
2x
3
x
12
2
1
2xcos2x dx
2
12
2
12
2
1 1 1 1
2 2 3 8
3
x
2x
dx.
2
1
sin xdsin 2x
11
.
48
6
3
2
0
1
0
99

dx
Пример 10.12. Решить уравнение
1 arcsin x 1
x
Р е ш е н и е.
x
x
dx darcsin
x
ln arcsin x 1 ln arcsin x
1
2
arcsin x
1
x
2
1
2
arcsin x
x
2
x
2
2
ln 2.
ln .
6
Следовательно, имеем уравнение ln arcsin x ln
ln 2,
откуда
6
1 3
ln arcsin x ln , arcsin x ln т.к.
x ,
x sin .
3
3 2 3 2
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.1 – 10.3 найти интегралы составлением интегральных сумм
и переходом к пределу.
1
1
1
2
10.1. x dx.
10.2. x dx.
10.3. e x dx.
0
В задачах 10.4 – 10.9 оценить интегралы.
1
2
2
x 5
10.4. x (1 x)
dx.
10.5. .
2 dx
x 2
0
2
5
3
sin x
10.7. 8 x dx.
10.8. dx.
4
1 x
1
0
0
4
2
100
0
sin x
10.6. dx.
x
2
2
dx
10.9. .
5 2sin x
В задачах 10.10 – 10.12 найти среднее значение функции y f (x)
на заданном
отрезке.
10.10.
2
f ( x)
x на отрезке 4
,5.
3
10.11. f ( x)
x 2x
1
на отрезке 0
,1.
10.12. f ( x)
5 2sin x 3cosx
на отрезке
, .
2
В задачах 10.13 – 10.89 вычислить интегралы.
6
3
6
2
10.13. 7
x dx.
10.14. ( 1) .
x
x dx
1
1
10.15. 2
x x dx.
10.16. 3
x 1 x .
2
2
1
0
1
3 6 2
dx
0

27
8
3
3 2
10.17. x dx.
10.18. 4
x .
3
dx
x
1
4
1
10.19. dx.
1
x
x
3
1
7
10.20. x 3 dx.
5
2
x
10.21. x x 4 dx.
10.22. dx.
2
0
0 1
x
5
x
10.23. .
2
1 x 1
dx
2
2x
1
10.25. dx .
2x
1
10.27.
0
1
0
3x
2
x
1
3
dx
10.29. .
2
3 x
3
6
dx
10.31. .
2
12 x
2
3
2
dx.
5
dx
10.33. .
2
x 2x 3
2
5
dx
10.35. .
2
x 4x
1
2
x 1
10.37. dx.
2
x 2x
1
0
1
x
10.39. dx.
6
0 4 x
1
dx
10.41.
.
2
0 6 4x
2x
2
dx
10.43.
.
2
0,75 2 3x
2x
1
dx
10.45. .
2
0 4 x
5
x
10.47. .
2
0 x 4
dx
2
3
0,5
1
2x
x 1
10.24. dx.
x 1
0
4
x 3
10.26. dx .
x 2
3
3
2
2
dx
10.28. .
2
x x
1
3
dx
10.30. .
2
6 x
6
2
1
dx
10.32. .
2
x 4x
13
2
8
dx
10.34. .
2
x 6x 34
3
1
dx
10.36. .
2
x 4x 5
0
1
x
10.38. dx.
4
1 x
0
1
x
10.40. dx.
8
1 x
0
3,5
dx
10.42.
.
2
2 5 4x
x
1
dx
10.44.
.
2
0 x 2x 2
3
x
10.46. dx.
2
0 4 x
1
10.48. xe x dx.
0
3
3 2
101

3
2
10.49. dx.
0
x
0,5
arcsin2x
dx
10.51. 5
.
2
0 1 4x
0
2 x 1
10.50. x 9
dx.
1
1
3 x1
dx
10.52. 9
.
x
1
dx
10.53. e x 2
e
.
10.54.
x
dx.
2
x
x
0
1
10.55. e dx.
0
1
x e
x
0
1
1
dx
10.56. .
e x e
x
5 1 2
10.57. 3
e x dx
x dx.
10.58. .
3 xln
x
10.59.
0
e
1
x
dx
1
ln . 2
x
e
1
ln x
10.61. dx.
x
1
4
0
e
e
4
e
ln x
10.60. dx.
x
1
10.62. sin x dx.
10.63. sin 4x dx.
10.64. sin x dx.
0
4
4
0
2
dx
10.65. cos
x dx.
10.66. .
2
cos x
2
6
dx
10.67. .
2
cos x
8
0,5
dx
10.69. .
2
cos 5x
0
4
0
4
dx
10.68. .
2
cos 3x
0
2
10.70. sin x dx.
10.71. cos x dx.
10.72. cos 2x
dx.
0
2
3
0
4
10.73. sin x dx.
10.74. cos x dx.
2
4
10.75. sin 3 x sin 7xdx.
10.76. sin x cosxdx.
2
10.77. sin x cos xdx.
10.78. sin x cosxdx.
0
2
10.79. cos5 cosxdx.
0
2
0
2
0
2
0
2
x 10.80. 1
sin 4x
cos4xdx.
4
1
4
2
2
3
3
4
2
3
2
102

3
6x
x
10.81. 3 2cosx sin xdx.
10.82. sin
cos dx.
3 3
0
3
dx
10.83. .
2
tgxcos
x
4
0
2
10.84. sin x cosx dx.
0
3
2
e
cos(ln x)
10.85. dx.
x
1
1
arctgx
10.87. dx.
2
1
x
0
1
3
dx
10.89.
.
2
2
1 arcsin 3x
1 9x
6
2
10.86. 1
cosx
dx.
10.88.
0
4
0
dx
11
. 2
arctgx x
10.2. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле
– непре-
Если f (x) непрерывная на отрезке b
рывно дифференцируемая функция на отрезке , ,
a, функция, а x t
такая, что
,
a,b
и
( )
a,
(
)
b,
то справедлива формула замены переменной в определенном
интеграле
b
a
( t)
(
t)
dt
f
( t)
f ( x)
dx f d(
t).
Если функции u u(x)
и v v(x)
непрерывно дифференцируемые на отрезке
a, b
функции, то имеет место формула интегрирования по частям в
определенном интеграле
если
если
Если функция
f (x) четная функция, то
b
a
udv uv
b
a
b
a
vdu.
f (x) нечетная функция, то
a
a
a
a
f ( x)
dx 0
;
f ( x)
dx 2
f ( x)
dx ;
f (x) периодическая функция периода Т, то при любом a R
aT
a
f ( x)
dx
a
0
T
0
f ( x)
dx.
103

Пример 10.13. Вычислить интеграл x 7 x dx.
Р е ш е н и е. Сделаем замену t 7 x,
из которой получим
2
x 7 t , dx 2t
dt.
Вычислим новые пределы интегрирования: если x 2,
то
t 3; если x 3,
то t 2.
Поэтому
3
2
x
7 x dx
5 3
t 7t
2
5 3
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2 4
4 2
7
t t
( 2t
dt)
2
7t
t dt
2
t
7t
32
2
5
56
3
243
5
3
189
3
64
.
15
Пример 10.14. Вычислить интеграл x 2x
1dx.
2
1
3
3
2
dt
Р е ш е н и е. Положим 2 2 2 t 1
x 1 t.
Тогда x , 2xdx
t dt.
Если
2
x 1, то t 1;
если x 2,
то t 7.
Таким образом,
2
1
x
3
2x
1 1
t
4 5
5
2
1dx
1
t
3
3
1
2
1
7
x
2
2x
2
1
xdx
1 49 7
4
5
7 7
3
1
2
1
7
1
5
t
2
1
1
t t
dt
2 4
1
3
91 7
30
12
x
Пример 10.15. Вычислить интеграл .
x 4
dx
5
1
7
t
2
15
4
2
t
2
1
30
dt
91
7 4.
Р е ш е н и е. Положим x 4 t.
Тогда x t 4, dx 2t
dt.
Если x 5,
то t 3;
если x 12,
то t 4.
Значит,
12
5
x
x
dx 2
64
50
2
16
9 12
.
3
3
4
2
4
t 4 t dt
2 2
t 4
t
3
t
dt 2
4t
3
4 3
3
3
Пример 10.16. Вычислить интеграл x 1
x dx.
1
0
Р е ш е н и е. Пусть x sint,
тогда dx cost
dt.
Если x 0,
то t 0;
если
x 1, то t 2.
Отсюда находим:
4
4
2
2
104

1
0
x
4
2
0
1
x
dx
t
1
sin
1
cos2t
1
cos2t
1
dt
2 2 8
t cost
dt
2
3
2
1
2
cos
2t
1
sin 2tcos2t
1
sin 2t
1
16
1
16
2
1
cos4tdt
cos2t
dt t
0
2
2
1
sin
48
2
0
2t
sin
3
1 sin 2t
sin 2
16
t
3
t
2
0
3
0
4
1
8
0
2
2
0
2
1
16
t
16
0
2
2
0
1
sin 4t
64
0
0
2
1
8
0
3
2
2
0
sin
2
cos 2t
cos
1
sin 4t
64
2
.
32
0
4
2
t cos t dt
2t
cos2t
1
dt
d(sin 2t)
2
2
1
sin 2t
16
dx
Пример 10.17. Вычислить интеграл .
3cosx
1
0
2
0
1
t
8
x
Р е ш е н и е. Применим подстановку t tg , из которой x 2arctgt ,
2
2dt
dx . Если x 0,
то t 0;
если x 2,
то t 1.
Следовательно,
2
1
t
2
1
dx
dt
dt dt
2
3cosx
1
0
t
2
1
t
1 t 2 1 1 t 2 1
ln ln ln 3
2 2.
2 2 t 2 0 2 2 1
2 2 2
2
2
2
2
1
t
0 2 t 0
1
t 3 1
0 2
1
2
1
x
2
2
e
Пример 10.18. Вычислить интеграл dx.
x x
0 e e
x
dt
Р е ш е н и е. Сделаем замену t e . Тогда e x 2
t
2 , x 2ln t,
dx и,
t
2
e
e
если x 0,
то t 1;
если x 2,
то t e.
Значит, dx 2
x
x
e e
1
ln t
2
t
4
2 4
e 1
1 ln
.
1 1 2
e e
x
0
t dt
0 2 1
t t
2
t
105

5
5
2
Пример 10.19. Вычислить интеграл (3 ln x ) dx.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
e
2
e
(3 ln x)
2
x(3
ln x)
x(3
ln x)
2
dx
u (3 ln x)
2
2 e
2
e
2
e
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2(ln
, dv dx,
du
dx
(ln x 3) dx
u ln x 3, dv dx,
du , v x
x
e
2
x(ln
x 3)
e
2
2
e
e
2
x
x
2
dx
e (3 2)
3)
dx,
v x
e(3
1)
2
2 2
2
2
2
e
(2 3) e(1
3) e e e 4e
2e
4e
2e
2e
5e
10e.
5
x sin 3x
Пример 10.20. Вычислить интеграл .
2
5
2x
3
dx
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция – нечетная, следовательно,
x sin 3x
dx 0.
2
2x
3
3
Пример 10.21. Вычислить интеграл x arctg xdx.
Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функция – четная, то
x arctg xdx 2
dx
xarctg xdx u
arctg x,
dv xdx,
du
1
x
3
3
3
2
2
2
, v
2
3
0
2
2
x
2
x
arctg x
2
0
3
0
3
arctg x
1
2
0
0
3
3
2
x
1
x
2
dx
x
2
4
3
3 3
3
arctg x
0
3.
0
3
2
x 1
1
dx
2
x 1
2
x
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.90 – 10.113, 10.115 – 10.147 вычислить интегралы методом
замены переменной.
1
10.90. 1 1
x dx.
0
x 10.91. x x 4 dx.
5
0
106

2
2x
10.92. dx.
1 2x
0
8
dx
10.94. .
1 x 1
0
3
dx
10.93. .
3x
1
4 3
4
3
10.95. x 1
7x
dx.
1
2 3
3
2 2
2
10.96. x 4 3x
dx.
10.97. 6x
9x
dx.
3
0
3
2
2
10.98. 27 x dx.
10.99. 3 x dx.
2
7
3
2
2
10.100. 7 x dx.
10.101. 1 x dx.
1
0
2 2
2 2
10.102. x 9 4x
dx.
10.103. x 2 x dx.
0,5
4
2 2
10.104. 16 x dx.
2
2
x 10.105. 4
25 .
2
3
2 3
0
0
3
0,5
0
0
2
0,4
2 3
x dx
0,2
2 2
3 2
10.106. x 12 x dx.
10.107. x 4x
1dx.
0
3
dx
10.108.
.
10x 3 5x 1
10.110.
0
1
0,25
5 3
dx
. 2
1
2 x
dx
10.112.
.
3x 6x 1
1 3
x
dx
10.114. Решить уравнение: .
2
x x 1
12
4
dx
10.116. .
2
x 5 x
3
5
5
2
1,5
0,5
1
x
10.109. .
2 x
dx
0
2
x
10.111. .
4 x
dx
0
1
dx
10.113. .
2
x 4x
1
1
a 2
x
10.115. dx.
a x
0
2
dx
10.117. .
2
3x
x 1
3
10.118.
1
3
dx
.
2 3
1 x
8
x
10.120. dx.
2 2x
2
5
x
10.119. .
4x 5
dx
1
1
dx
10.121.
.
2
1 3 x 9x
15x 1
107

1
1
x
10.122. dx.
2
x
2 2
4
x
10.124. dx.
2
0 16 x
1
x
10.126. dx.
2
1
1
x
10.128.
1
0
2
2
dx
2
.
2 5
9x
3
1
dx
10.130. .
2x
2x
e e
0
2
e 2e
10.132. dx.
x
e 1
0
x
x 2
10.134. dx
.
5 3cos2x
0
4
dx
10.136. .
3 cos2x
6
2
dx
10.138. .
2cosx
3
0
x
3 sin
10.140. 2
dx.
3 sin x
0
4
dx
10.142. .
2
1
2sin x
10.144.
0
3
4
6
2
1
tg x
dx.
2
1
tgx
sin x
10.146.
dx.
2
cos x cosx
2
3
6
x 9
10.123. dx .
x
3
1
x
10.125. dx.
2
0 4 x
2
2
1
x
10.127.
dx.
2 2
0 (1 x)
2 x
e
dx
10.129. .
x 1
2ln x
1
2ln2
10.131. 1dx.
0
ln5 2
2
e x
e e 1
10.133.
.
2x
dx
e 3
0
2x
2x
dx
10.135. .
x
0 2 sin
2
4
dx
10.137. .
1
sin 2x
0
3
dx
10.139. .
3 2cos3x
0
x
sin
10.141. 2
dx.
x
01
3cos
2
6
10.143. sin 3xcos
3xdx.
0
3 x
2 cos
10.145. 2
dx.
x
3 sin
2
2
cosx
10.147.
dx.
2
6 5sin x sin x
0
2
В задачах 10.148 – 10.150 вычислить интегралы.
2
1
x arcsin x
10.148. dx.
2
1
1
x
3
10.149. sin xcos4xdx.
3
3
108

7
3 2
10.150. x 6 3x
dx.
7
В задачах 10.151 – 10.184 вычислить интегралы интегрированием по частям.
0,5
10.151. xe
2x
dx.
0
3
(
2
10.152. x e dx.
x
10.153. x 4) e
2 2
dx.
10.154. cosxdx.
2
2
2
10.155. e x sin 2xdx.
0
6
3
10.157. e x cos3xdx.
2
0
0
3
ex
2
2 2
10.156. e x cos 2xdx.
0
3x
10.158. ex sin dx.
2
3 2
10.159. e x cos2xdx.
10.160. ln xdx.
0
1
10.161. ln( x 3) dx.
2
16
10.163. x ln xdx.
1
10.162. 1
ln( x 1)
.
0
e
2
1
e1
10.164. xln 1
4x 2 dx.
2
0,5e
0,5
x
2
2 x
2
10.165. x ln dx.
10.166. x ln 4xdx.
2
4
0,5e
0,5
2 dx
2e
2
x
10.167. cosln dx.
2
2
3
4
2x
10.169. xsin
dx.
3
0
2
10.171. xcosx dx.
0
2
10.173. x cosx dx.
0
2
4
2
10.175. x cos 2x dx.
0
2
x
10.177. dx.
2
sin x
4
3
xsin
x
10.179. dx.
2
cos x
3
2
0
5 x
10.168. x
cos dx.
3
3
0
x
10.170. x
cos dx.
3
3
4
x
10.172. xsin
dx.
4
0
4
2
10.174. x sin x dx.
0
2
3 x
10.176. x sin dx.
2
0
3
2 x 3
10.178. x sin 5x
cos tg xdx.
3
3
1,5
x
10.180. arcsin dx.
3
0
109

0,5
4
10.181. arccos2x dx.
10.182. arctg x 1dx.
0
2
3
x
arcsin( x 1)
10.183. xarctg dx.
10.184. dx.
2
2 x
0
2
2
0
10.3. Приближенное вычисление определенных интегралов
(формула трапеций). Несобственные интегралы
Точное вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–
Лейбница не всегда возможно или целесообразно. В этих случаях, а также в
случае, когда подынтегральная функция задана табличным способом, определенные
интегралы вычисляют приближенно.
Формула трапеций относится к одной из простейших формул приближенного
вычисления определенных интегралов и имеет вид
b
b a y y
f n yi ,
n 2 i1
n1
0
( x)
dx
a
где n – число частей, на которые разбивается отрезок a
, b;
x
i
0
a x0 x1
xn 1
xn
b;
yi
f i , n значения подынтегральной
функции в точках разбиения отрезка a , b.
Заметим, что число n выбирается
произвольно, и чем больше n, тем с большей точностью получим значение интеграла.
Если функция f (x)
имеет непрерывную вторую производную f (x)
на
отрезке a , b,
то абсолютная погрешность формулы трапеций выражается не-
( b a)
равенством ( n)
M 2,
где
2
12n
3
M
max f (
a,
b
2 x
x
dx
Пример 10.22. По формуле трапеций, приняв n 5,
вычислить
0 2 x
оценить абсолютную погрешность полученных результатов.
1 b a
Р е ш е н и е. В данном случае f ( x)
, 0, 2 и
2 x n
x k x 0,2k
k
1,5 . Находим x ; x 0,2; x 0,4; x 0,6; x 0,8; x 1;
y
y
0
4
0
f ( x
0
f ( x
1
) 0,5; y
2 0
4
)
1
;
2,8
y
5
1
f ( x
5
f ( x
)
1
.
3
0 0 1 2 3 4 5
1
)
1
;
2,2
y
2
f ( x
2
)
).
1
;
2,4
y
3
f ( x
3
)
1
1
;
2,6
и
110

По формуле трапеций получаем
1
dx 0,5 0,333
0,2
0,4545 0,4167 0,3846 0,3571
0 2 x 2
0,2 2,0296 0,4059 .
Оценим абсолютную погрешность. Для этого находим
1
2
6
f ( x)
; f ( x)
; f ( x)
, т.е. критической точки на
2
3
(2 x)
(2 x)
(2 x)
4
2
отрезке 0 , 1
функция
3
(2 x)
значение функции (x)
f на отрезке , 1
не имеет. Поэтому, чтобы найти наибольшее
0 , надо сравнить значения f (x)
на
1 2
концах данного отрезка: f ( 0) , f (1)
. Значит,
4 27
1
1 1 1
M 2 max f ( x)
, и ( 5) 0,00083 0,001.
x
0,1
300 4 1200
4
Пример 10.23. На сколько частей нужно разбить промежуток интегрирования,
чтобы по формуле трапеций с точностью до 0,001 вычислить
2
x
интеграл cos dx.
2
0
Р е ш е н и е. Число отрезков n, на которые нужно разбить промежуток
( b a)
M 2
интегрирования, найдем из неравенства ,
2
12n
n
M
3
( 2
b a)
M
.
12
x 1 x 1 x
Поскольку f ( x)
cos ; f (
x)
sin ; f ( x)
cos , то
2 2 2 4 2
1 x 1
max f ( x)
max cos . Значит,
4 2 4
2
x0,
0
2
x
2
3
n
80,623, 9.
8
4 12
0,001
n
3
из
которого
111

Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.185 – 10.188 вычислить приближенно интегралы по формуле
трапеций с точностью до 0,01.
dx
10.185. .
x 2
3
0
1,2
2
10.186.
1
dx
.
x
10.187. e x dx.
10.188. e
x
2 dx .
0
В задачах 10.189 – 10.220 по формуле трапеций вычислить интегралы,
приняв n 10.
1
dx
10.189. .
1
x
dx
10.192. .
1
4x
dx
10.195. .
1
7x
0
1
0
1
0
1
dx
10.198. .
110x
dx
10.201.
x 9
0
1
0
1
10.204.
x
0
1
10.207.
x
0
2
.
dx
36
2
.
dx
81
2
.
dx
10.210.
x 2
1
0
3
.
dx
10.213.
x 5
1
0
3
.
dx
10.216.
x 8
1
0
3
10.219.
0
3
.
dx
10.190. .
1
2x
dx
10.193. .
1
5x
dx
10.196. .
1
8x
dx
10.199.
x 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
10.202.
x
0
1
10.205.
x
0
1
10.208.
x
0
2
.
dx
16
2
.
dx
49
2
.
dx
100
2
.
dx
10.211.
x 3
1
0
3
.
dx
10.214.
x 6
1
0
3
.
dx
10.217.
x 9
dx
cosx dx.
10.220. .
x
1
0
2
1
3
.
2
0
dx
10.191. .
1
3x
dx
10.194. .
1
6x
dx
10.197. .
1
9x
dx
10.200.
x 4
1
0
1
0
1
0
1
0
1
10.203.
x
0
1
10.206.
x
0
2
.
dx
25
2
.
dx
64
2
.
dx
10.209.
x 1
1
0
3
.
dx
10.212.
x 4
1
0
3
.
dx
10.215.
x 7
1
0
1
10.218.
x
0
3
.
dx
10
3
.
В задачах 10.221 – 10.228 найти, на сколько частей нужно разбить промежуток
интегрирования, чтобы по формуле трапеций вычислить интегралы с
точностью до 0,001.
112

3
10.221.
1
4
dx
.
x
113
1,2
10.222. sin x dx.
0
dx
10.223. x (ln x 1)
dx.
10.224. .
x 2
1
2
10.225. sin
x dx.
10.226. e x dx.
1
0
dx
10.227.
1
x
0
2 .
3
0
2
1
2
10.228.
1
В задачах 10.229 – 10.232 вычислить приближенно интегралы по формуле
трапеций и оценить абсолютную погрешность полученных результатов.
5
2
10.229.
1
dx
.
x
x 2 dx,
n 6.
10.230. x dx, n 8.
6
4
2
2
10.231. x 3dx,
n 6.
10.232. x
0
1
4
0
0
1 dx,
n 8.
dx
10.233. Зная, что , вычислить приближенно число , воспользовав-
2
0 1
x 4
шись формулой трапеций при n 10.
Оценить абсолютную погрешность
полученных результатов.
dx
10.234. Зная, что ln 2,5,
x
5
2
вычислить приближенно значение ln 2,5,
воспользовавшись
формулой трапеций при n 8.
Оценить абсолютную погрешность
полученных результатов.
10.235. Ширина реки 28 м; промеры глубины в поперечном сечении реки через
каждые 2 м дали следующие результаты (х – расстояние от одного берега;
у – соответствующая глубина):
х 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
у 0,2 0,9 1,5 2,1 2,7 3,5 3,2 3,1 3,6 2,8 1,6 1,3 0,7 0,5 0,3
Определить секундный расход Q воды в реке, если средняя скорость те-
28
чения v = 1,5 м/с. Q
S V
, S y dx
.
0
10.236. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади
участка между рекой и прямой АВ проведены 11 перпендикуляров к
АВ от реки через каждые 5 м (АВ = 60 м). Длины этих перпендикуляров
оказались равными 3,28 м; 4,02 м; 4,64 м; 5,26 м; 4,98 м; 3,62 м; 3,82 м;
4,68 м; 5,26 м; 3,82 м; 3,24 м. Вычислить приближенное значение площади
участка.

Несобственные интегралы
y непрерывна на промежутке
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от
неограниченных функций называются несобственными интегралами.
Пусть функция f (x)
a ; и интегрируема
на любом конечном его отрезке ; b , a b.
a Тогда несобственным интегралом
с бесконечным верхним пределом называется предел
lim f ( x)
dx,
кото-
рый обозначается символом f ( x)
dx,
т.е.
a
a
f ( x)
dx lim f ( x)
dx.
114
b
b
a
b
b
a
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках
;b и ( ; )
:
b
f ( x)
dx lim f ( x)
dx,
c
b
a
a
f ( x)
dx lim f ( x)
dx
lim f ( x)
dx.
a
a
b
b
c
Если сходятся оба интеграла в правой части последней формулы, то инте-
грал f ( x)
dx называется сходящимся, и расходящимся, если хотя бы один из
них расходится.
Если f (x)
непрерывна для всех х отрезка a , b,
кроме точки с, в которой
f (x) имеет разрыв II рода, то по определению
b
a
f ( x)
dx lim
0
c
a
f ( x)
dx lim
где и изменяются независимо друг от друга.
b
b
0
c
f ( x)
dx,
Несобственный интеграл f ( x)
dx ( f ( c)
,
a c b)
называется
a
сходящимся, если оба предела в правой части равенства существуют, и расходящимся,
если не существует хотя бы один из них.
или
В случае
c a или c b получаем
b
a
f ( x)
dx lim
b
0
a
f ( x)
dx
( 0),

a
0
b
f ( x)
dx lim f ( x)
dx ( 0) .
a
При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются
одним из признаков сравнения.
1 0 . Если функции f (x)
и (x)
определены на промежутке a
;
115
, интегрируемы
на отрезке a , A,
где A a и 0 f ( x)
(
x)
для всех x a,
то из сходи-
мости интеграла (x)dx следует сходимость интеграла
a
a
f ( x)
dx,
а из рас-
ходимости интеграла f ( x)
dx вытекает расходимость интеграла
(x)dx
a
a
(признак сравнения).
2 0 . Пусть на промежутке ;
a определены две положительные функции
f (x) и (x), интегрируемые на любом конечном промежутке a , b.
Тогда,
f ( x)
если существует конечный предел lim L 0,
x
g(
x)
то интегралы f ( x)
dx
a
и (x)dx сходятся или расходятся одновременно (предельный признак
a
сравнения).
3 0
. Если интеграл f ( x)
dx сходится, то сходится и интеграл
a
a
случае интеграл f ( x)
dx называется абсолютно сходящимся.
a
f ( x)
dx . В этом
4 0 . Если при x функция f ( x)
0 является бесконечно малой порядка
1
по сравнению с ,
x
при 1.
то интеграл f ( x)
dx сходится при 1
и расходится
a
1
На практике часто для сравнения используется функция ( x)
. Известно,
что сходится при 1
2
x
dx
a x
и расходится при 1 .
Аналогичные признаки сходимости можно указать и для интегралов от
разрывных функций. Для сравнения в признаке 4 0 используют интеграл
b
dx
dx
( 0) или
,
a ( b x)
a ( x a)
который сходится при 1
и расходится при 1.
b

arctg 3x
Пример 10.24. Вычислить интеграл 2 dx или установить его расходимость.
1 1
9x
Р е ш е н и е. Найдем
1
arctg 3x
dx
2
1
9x
lim
a
1
3
a
1
arctg 3x d(
arctg 3x)
arctg
lim
6
1
lim
a
6
6 2
Данный интеграл сходится и приближенно равен 0,15.
2
2
2 1
2
3 3
arctg a arctg arctg 3
0,15.
Пример 10.25. Вычислить интеграл
a
dx
2
3x
a
1
2 2
x
1x
4
расходимость.
Р е ш е н и е. Разложив подынтегральную функцию, находим:
2 2
x
1x
4
1
3
0
1
lim
3
dx 1
2
x 4 3
0
a
a
dx
1
3
0
dx 1
lim
2
x 4 3
1 1 x
lim
3
arctg
a
2 2
b
0
dx 1
2
x 1
3
dx 1
lim
2
x 4 3
0
a
b
0
a
a
dx 1
2
x 4 3
dx 1
2
x 4 3
dx
1
x
2
a
1 1 x
lim
3
arctg
b
2 2
0
1
lim
3
dx
1
x
b
0
lim
arctgx
b
0
a
2
dx
1
x
1
3
1
3
2
0
b
1
1
1
1
0
0 0
0
.
3
2
3
2 6 2
6 2 6
Данный интеграл сходится и равен 6
.
1
b
0
Пример 10.26. Исследовать интеграл
Р е ш е н и е.
2
1
x
3
x
dx
dx 1
d
3
x 3 x
1
1
1
1
x
3
x
2
dx
1
x
или установить его
2
lim
arctgx
dx
3
3
x
a
3
1
a
dx
3
lim
a
1
x
dx
3
lim
a
1
x
3
b
0
на сходимость.
3 1
ln
a ln1 .
1 a
1
3 a
1 1 1
lim lim ln
lim
lim
2
2
2 1
3
x
a
1
x a
a
2 2a
3 a
2
Исходный интеграл расходится, так как расходится один из интегралов в правой
части последнего равенства.
116

Пример 10.27. Исследовать сходимость интеграла
2
0
2
sin
cos
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при
x . Следовательно,
2
2 2
2
2
2 2
2
sin x
sin x dx sin x sin x cos
x sin
x 1
1
dx lim
cos x
cos 0
2
2
0 x 0 cos x cos x cos x 1
sin
cos x
cos x
2
1
sin
lim
0
lim
0
2
1
ln
2
lim
x
0
d (sin x)
lim
0
0
2
2
sin x 1
2
lim
sin x 1
0
1
1
2
Интеграл расходится.
Значит,
lim
0
0
( cos x)
dx
d (sin x)
lim
2
sin x 1
0
0
2
0
cos x
1
sin
2
sin x
0
dx
x
sin
1
1 2
sin
lim ln
2 2 0
sin
1
2
dx
Пример 10.28. Исследовать сходимость интеграла 2
(x 2)
.
1
Р е ш е н и е. Функция
2
( x 2)
3
0
2
3
0
dx
( x 2)
( x 2)
2
1 1 1
lim lim
0
1 2
2
0
1 2
Интеграл расходится.
2
3
0
x
x
dx .
имеет бесконечный разрыв при x 2.
2
3
21
dx dx
2
lim (
x 2) d(
x 2)
2 2
2
10
0 ( x 2) 2 ( x 2)
0
1
d(
x 2) lim
10
x 2
1
.
2
1
1
3
lim
20
x 2
2 0
2
2
2
dx
Пример 10.29. Исследовать сходимость интеграла 8 .
1
x
1
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция f ( x)
в промежутке интегрирования
меньше, чем ( x)
. Исследуем на сходимость :
8
1
x
1
dx
8
8
x
x
1
1
117

a
8
1 1 1 1
lim lim
lim
,
8
a
dx
dx
x dx
7
7
1
1
7 1
т.е. интеграл
x a
a
x a
7 7a
7
8 сходится,
а, значит, и также сходится на основании признака сравнения.
1 x
dx
8
1
x
1
1
cosx
Пример 10.30. Исследовать сходимость интеграла dx.
3
x
a
cosx
cosx
1 dx
Р е ш е н и е. Так как и
3 3 3 lim x
3
x x x x a
1
1
3
dx
1 a
1 1 1
dx lim lim
,
2
2
2 1
то интеграл
a
x a
3 сходится, а тогда, согласно
признаку сравнения, сходится и интеграл . Следовательно, на
2a
2 2
1 x
cosx
dx
3
x
основании признака 3 0 интеграл
1
cosx
dx сходится.
3
x
1
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.237 – 10.281 вычислить несобственные интегралы или установить
их расходимость.
dx
10.237. . 2
2 x
10.239.
10.241.
10.243.
3
10.245.
x
2
1
x
dx
.
6x
11
dx
2
x
dx
10.247.
1
x
0
dx
10.249. .
n
1 x
.
2x
5
dx
3x
10
2
.
dx
2x
2 5x
3 .
.
7
3
10.238.
10.240.
0
10.242.
0
10.244.
10.246.
2
10.248.
a
dx
.
x 2
dx
x 4
x
2
.
2
dx
.
2x
2
x 1 dx
x 1
x
dx
10.250.
1
x
1
2
.
dx
x 2
2
.
dx
, 0.
x
2 .
118

10.251.
0
10.253.
10.255.
0
10.257.
1
10.259.
1
10.261.
1
x
x
x
4 dx
2
.
2
dx
(x
dx
x
x
2
dx
.
x 1
.
dx
5 .
5)
1
dx
x x
2
.
2
.
10.252.
1
10.254.
1
10.256.
1
10.258.
2
10.260.
1
10.262.
1
1
2x
dx
x (1 x)
x
2
.
dx
.
x
x
x
dx
x
3
10.263. e x dx.
10.264.
e x dx.
x
10.265. x2 dx.
1
0
10.267.
e
10.269.
0
10.271.
3
e
10.273.
0
0
10.266.
e
2
dx
.
x 1
dx
.
2
x 1
.
x
dx
.
2
x 1
dx .
xln
x
dx
.
10.268. ln 2x
dx.
xln 2 x
xe x
0
2
dx.
dx
.
x ln 4 x
arctg x
dx
1
x
2
.
0
10.270. x
0
10.272.
1
10.274.
1
0
2
e
x
2
arctg x
x
dx.
dx.
2
arctg 2x
dx
1
4x
2
10.275. e x cosx
dx.
10.276. x cosx
dx.
10.277. sin
0
5x dx.
10.278. cosx
dx.
10.279.
e x sin 7x
dx.
10.280.
0
10.281.
e px dx.
0
0
0
arctg x
1
x
2
.
2 3 2
dx.
119

В задачах 10.282 – 10.306 исследовать на сходимость несобственные интегралы.
10.282.
0
10.284.
10.286.
dx
1
x
x
dx
3 .
1
2 3 3 .
1
10.288.
2
x
dx
.
x 1
3 2
7 2
3 2x
.
x 1
5 3
dx
10.290.
1
x
10.292.
1
10.294. e
10.296.
x
2
x
0
2
e x
1
x
2
10 .
x 1
dx.
3
1
x 2
dx.
dx.
2
ln x
1
10.298.
1
10.300.
0
10.302.
0
10.304.
1
x
dx.
x arctg x
dx.
3
1
x
x
2
sin
x
2
x
dx.
x
sin x
dx.
sin x
10.306. dx
x
0
1
10.307.
0
2
.
10.283.
2
10.285.
10.287.
0
10.289.
0
10.291.
10.293.
1
10.295.
x
dx.
4
x 1
2x
dx.
2
x 1
x
4
e x
x
1
e x
1
2
x
x
2
dx.
2
dx
2
x x
.
dx
2x 1
x
dx.
1 dx.
2
.
1
ln(1 x)
10.297. dx.
x
1
2
10.299. 1 cos dx.
x
1
cos2x
10.301. dx
1
x
0
10.303.
В задачах 10.307 – 10.338 вычислить интегралы.
6
10.309.
dx
x
.
dx
( 4 x)
2 3 2 .
1
0
2
.
cosx
dx.
3
x x
2
10.305. x
4
10.308.
0
2
10.310.
sin dx.
dx
.
x x
dx
(x 1)
0 3 2 .
120

1
10.311.
0
1
10.313.
0
2
10.315.
10.317.
0
2
0
3
dx
.
x( 1
x)
x
1
x
x
3
4 x
x
2
x
3
10.319.
3
0
1
2
10.321.
0
2a
10.323.
0
2
10.325.
1
2
10.327.
1 x
2
10.329.
0
2
2
1
3
x
x
dx.
dx.
4 5
dx.
x x
5 3
x
2a
dx.
x
x dx
.
x 1
2
dx.
3
dx
.
2
x 1
x
5
4 x
2
dx.
dx.
121
4
10.312.
2
1
10.314.
0
3
10.316.
1
1
x
10.318.
0
3
10.320.
0
2
dx
6x
x
dx
1
x
2
2 .
x
2
x 1 dx.
2
x
3
2
9 x
dx
10.322. .
0 3 x 1
a
10.324.
0
2
10.326.
1
x
3
10.328.
2 2
a
2
a
.
8
x 2 dx.
x
2
x
dx.
2
dx
.
2
x 1
dx.
3x
dx.
x 4
4 2
0,5
dx
10.330. .
2
0 xln x
1
1
10.331. ln x dx.
10.332. x
0
0
10.333.
0 1
e x
1
1
x
3
dx.
arcsin x
10.335. dx .
2
0 1
x
e1
10.337.
2
( x 1)
dx
.
ln( x 1)
3
1
10.334.
0
0
2
ln x dx.
2
x ln x dx.
arccosx
10.336. dx .
2
1
1
x
1
dx
10.338. .
0 x
В задачах 10.339 – 10.375 исследовать интегралы на сходимость.
2
dx
10.339. .
x
1
dx
10.342.
(x 1)
2
0
2 .
dx
10.340. .
2 x
2
0
3
dx
10.343. 2
(x 2)
.
1
1
10.341.
x
0
dx
5x
2
.
dx
10.344.
(x 1)
3
0
2 .

1
dx
10.345.
1
x
0
3 .
dx
10.348.
27 x
3
0
1
dx
10.351.
1
x
0
0
4 .
3 .
dx
10.354.
.
3
( x 1)
x 1
2
e
10.357.
1
dx
x ln
3
.
x
1 3
ln 1
x
10.360.
0
1
e
sin
dx
10.363.
0 e 1
2
2x
10.346. dx
x 4
2
1
10.349.
x
0
1
2
2
.
dx
x
x 1 10.352. dx .
x x 2
0
e
10.355.
0
1
10.358.
dx.
10.361.
x
1
.
3 x
1
10.366. sin(ln
0
1
10.369.
cos
2
1
x
0 3 2
2
0
x
e
2
0
2
10.364.
0
4
dx
.
1
dx.
1
cos x
.
10.347.
1
1
1
10.350.
10.353.
dx
x x 4
2
.
dx
1
x
0 3 4 .
1
0
dx
2
x x
.
1
dx
10.356. .
2
0 xln x
e x 1 3 2
10.359. ln 1
x
ln(sin x)
dx.
x
dx
.
sin x
0
e
x
1
2 5 3
ln 1
x
10.362.
0
2
10.365.
0
e
sinx
1
x dx
cos x
1
5
cos x
x ) dx.
10.367. cos(ln x ) dx.
10.368. dx.
x
x
dx.
0
2
10.370. sin
0
1
x
dx
x
2 .
0
1
10.371.
1
cos
x
2
.
dx.
0 3 x
dx
10.372. ctgx dx.
10.373. tgx dx.
10.374.
tgx
0
4
10.375.
0
cos3x
dx.
sin x
0
1
0
.
x
dx.
dx.
10.4. Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением
y f ( x)
f ( x)
0, x
a,
b,
то площадь плоской фигуры, ограниченной
этой кривой, прямыми x a, x b и осью Ох (рис. 10.2), вычисляется по
формуле
b
S f ( x)
dx,
причем S 0.
a
122

у
у = f (х)
у
0
а
b
х
0
а
b
х
у = f (х)
Рис. 10.2
Рис. 10.3
Если f ( x)
0, x
a,
b
(рис. 10.3), то в этом случае
b
S f ( x)
dx f ( x)
dx.
a
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми y c, y d,
непрерывной кривой x g( y)
g(
y)
0, y
c,
d
и осью Оу (рис. 10.4), вычисляется
по формуле
b
a
d
S g(
y)
dy.
c
у
d
с
0
х = g(y)
Рис. 10.4
х
Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y f x),
y f ( )
f x)
f ( x),
x
a,
b (рис. 10.5), то ее площадь равна
1( 2
S
b
f2( x)
f1(
x)
dx.
a
1( 2 x
у
у = f 2 (х)
0
а
у = f 1 (х)
b
х
Рис. 10.5
123

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми
g y)
g ( y),
y
c,
d
y c, y d и кривыми
x g y),
x g ( )
1( 2 y
1( 2
вычисляется по формуле S g2( y)
g1(
y)
dy.
d
c
(рис. 10.6), то ее площадь
у
d
х = g 1 (у)
х = g 2 (у)
0
х
с
Рис. 10.6
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x a, x b,
осью
Ох и кривой, заданной параметрическими уравнениями
x x t ), y y ( t ), t t 1,
t , находится по формуле
( 2
при условии, что x(t)
S
t
2 t1
y(
t)
x(
t)
dt
x строго возрастает на
убывающая на t 1 , t 2
функция, то S y(
t)
x(
t)
dt.
t
2 t1
t 1 , t 2 . Если же x x(t)
строго
Пример 10.31. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y sin x,
y 0 0 x 4 (рис. 10.7).
Р е ш е н и е. Данная фигура является криволинейной трапецией, прилегающей
к оси Ох, поэтому ее площадь
у
О /4 /2
Рис. 10.7
х
/
S
4
sin
x dx cosx
0
0
sin
1
1
4
2
2
/ 4
(кв.ед.).
124

Пример 10.32. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью
0 x 0
2 2
2 2
x y 1,
касательной к ней в точке
;
и осью Ох (рис. 10.8).
2 2
Р е ш е н и е. Уравнение касательной имеет вид y y kx
, где уг-
2 x
ловой коэффициент k y
2 1.
2
Следовательно,
2
1
x x
2
S
2
2
2
x
x
sin t,
dx cost
dt,
если
1
4
1
/ 2
/ 4
2 dx
cos
1
2
2
1
x
1 1
t dt
4 2
2
1
dx
x
2
x
2
2
,
то
2 2
y
x
y x
2
2 2
искомое уравнение касательной.
Касательная пересекает ось Ох в
2
точке B 2; 0.
Найдем площадь за-
штрихованной фигуры АВС:
2x
2
2
2
t ; если
4
1
4
1
2
4
1
2
2
1
x
x 1,
то
1
4
2
dx
t 1
2
2
/ 2
2
/ 4
4
4
8
2
2
1
cos2tdt
t sin 2t
(кв. ед.).
Пример 10.33. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
2
2
у
2
0
А
y 2x
x , y x 2 (рис. 10.9).
Р е ш е н и е.
2
2
С
В
Рис. 10.8
х
– 1
у
В
С
2
х
А
2
– 3
Рис. 10.9
125

Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решим систему
2
y 2x
x ,
2
2
уравнений:
2x x x 2, x x 2 0, x 1 1,
y1
3,
y
x 2,
x , y 0. Следовательно, кривые пересекаются в точках А (–1; –3) и С (2;
2 2 2
0). Таким образом, искомая площадь фигуры АВС
S
2
1
2
2
2
2
x x x 2dx
x x 2
8
2 4
3
2
1
3
1
2
1
9
2 (кв.ед.).
2
dx
1
3
x
3
1
2
x
2
2x
Пример 10.34. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y 3x
4, x y 2 0 (рис. 10.10).
Р е ш е н и е.
2
1
x
1 y
2 3
у
5
4
3
О
–2
х = у + 2
7
х
Рис. 10.10
2
Найдем точки пересечения кривых:
2
2
y 3x
4,
x
y 2,
y 3( y 2) 4, y 3y
10
0, y , y 5.
S
5
2
Находим площадь фигуры:
y 2
1
3
y
2
4
5
dy
3
2
1
3
y
2
1 2 2
10
y dy
3
1
9
y
3
1
2
y
2
10
3
5 343
y
.
2 18
Пример 10.35. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой
3
x acos
t,
y asin
t (рис. 10.11).
3
Р е ш е н и е. Вычислим площадь S 1 ее части, ограниченной дугой АВ, и
результат увеличим в 4 раза.
Если x 0,
то t ; если x a,
то t 0.
2
126

у
А
– а
0
В
а
х
– а
Рис. 10.11
S
3a
1
3
16
0
2
2
2
a
asin
0
t 3a
cos
1
cos2t
2
2
2
0
3
2
2
t(
sin
t)
dt 3a
1
cos2t
3
dt
a
2 8
t cos
2t
cos
2t
cos2t
1
dt
2
2
3 2 1 cos4t
3 2 3 2
1
sin 2td
(sin 2t)
a dt a sin 2t
2 a t 2
8
0
2
2
0
sin
2
2
0
2
4
cos
3
2
t dt
16
2
0
8
0
3
16
a
2
2
sin 2t
2
0
3a
3a
32 16
2
1
16
a
2
3a
32
sin
Искомая площадь
2
.
3
2t
2
0
3
16
a
2
t
2
0
3
64
a
3
a
S 4S1
(кв.ед).
8
2
2
sin 4t
2
0
3a
16
2
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.376 – 10.497 найти площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями.
2
10.376. y 2x
x , y 0.
10.377. y 3x
18
x , y 0.
10.378.
2
y 4x
x и осью Ох. 10.379. y x 1,
y 2.
10.380. y 0, y 2x
1,
x 1,
x 1.
2
2
10.381. y x , y x 2.
10.382. y x x,
y 3x.
2
2
2
127

2
10.383. y x 2x
3, y 3x
1.
10.384. y
1 x 2 2x
4, y 10
.
3
x
2
2 7
10.385. y x,
y 2x
x .
10.386. y 7x
2x
, x y .
2
2
2
x
10.387. y x , y 0, x 3.
10.388. y x 2, y x,
x 0.
2
2
10.389. y 2(1 x),
y 1
x , x 0.
10.390. y x
2 , y 2 x,
y 0.
10.391. y 0, y 4x
2 , y ( x 1)
.
10.392. x 0,
y 2x
4,
осью Ох и y x 2 1.
10.393. y 0, x 0, y x
1,
y 2 x .
2 3 2
2
2
10.394. y x , y 1
x . 10.395. y x , y 2x
x .
4
2
2
10.396. y x 2x
2, y 2 4x
x .
2
10.397. y x 2, y 1
x , x 0, x 1.
10.398. y x
3 3x
2 9x
1,
x 0, y 6 ( x 0) .
2
2
10.399. x 4y,
x y 3.
10.400. y 8x,
2x
3y
8 0.
2
2
10.401. y x , y 3x
4.
10.402. y x 2x
3, y 4 2x.
10.403. y 0,
y x
2, y x . 10.404. y x , y 2 2x
.
10.405. y x, y 4 3x,
y 0.
10.406. y x , y x.
3
10.407. y x , y 2x,
y x.
10.408. y 2x,
y 4x
x .
2
10.409. y ( x 1)
.
2
2
10.410. y x
6x
5 и осями координат.
3
10.411. y 1 x 2 , y 2 .
2 2
x
2 2
10. 412. y x
, y x 2x
4.
2
10.413. y x, y x 2, x 0.
10.414. y x
, x y 2 0.
2
2
10.415. 4y x , 2y
6x
x 0.
10.416. y x 1,
2y
x , y 5.
2
2
2
10.417. y 2x,
y 4x
x . 10.418. y 8x
16,
y 24x
48.
2
10.419. y x 6x
9, 4x
y 12
0.
10.420. y x 2x,
y 3.
2
10.421. y x
4x
3, y 0.
10.422. y 6x,
x y 16.
2
2
2
10.423. x 2y,
x y 8.
10.424. y 2x
4, x 0.
2
10.425. y 3 2x
x , y 0.
10.426. y x , y 2 x .
2
10.427. y x 4x,
y x 4.
10.428. y 6x
x , y 0.
2
10.429. y 1
x,
x 3.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
128

2
10.430. y x 6x
10,
y 6x
x , x 1.
2
2
10.431. y x 6x
7, y x 1.
10.432. y x
6x
5, y x 5.
2
10.433. y x 6x
7, y x
7.
10.434. y x
6x
5, y x 1.
2
10.435. y x 2, y x 2.
10.436. y x 1,
x y 3.
2
10.437. y 9x,
y x 2.
10.438. y 4x,
x 4y.
2
10.439. y 2x
1,
y x 1.
10.440. y 9 x , y 0.
2
10.441. y 4y
5 x,
x 0.
10.442. y 4 x,
x 0.
2
10.443. y 2x
x , y x.
10.444. y 9x,
x 9y.
10.445. xy 2,
x 2y
5.
10.446. y x
, y 2e
, x 0, x 1.
x
10.447. y e , y 0, x 2.
2
2
2
10.448. y x , y x .
1
1
1 5
10.449. y , x 1,
x 2, y 0.
10.450. y , y 0, x , x .
2
x
x
2 2
4
5
10.451. y , x 1,
y x 1.
10.452. y , y 6 x.
2
x
x
6
10.453. xy 3,
x y 4.
10.454. y , y 5 x.
x
5
1
10.455. y , y 6 x,
x 6.
10.456. y , y x,
x 2.
x
x
9
10.457. y , y x,
x 9, y 0.
10.458. y 2 x,
x 0, y 6 0.
x
10.459. 2 , 3
2
x
y x y x .
10.460. y x , y 0, x 4, y .
x 2
2
x 3x
1
10.461. y
, x 1,
x 2 и осью Ох.
x
x
10.462. y e , x 0, y 0, x 3.
2
3
x
10.463. y 2 , y 2, x 0.
x3
3x
3
1
10.464. y 2 1,
y 2 1,
y . 10.465. y log 2 x,
y 0, x , x 2.
2
2
10.466. y ln x,
x e,
y 0.
10.467. y 1
e , x 2, y 0.
x
10.468. y 1
e , y 1
e , x 0.
2
2
10.470. x y 4, y 2x
x ( x 0, y 0), x 0.
2
2
2
2
x
10.469. y e , x 1,
x 0.
10.471. y x 3, x y 9.
10.472. x y 3, x 9 y .
2
10.473. y cosx,
y 1
x,
x . 10.474. y sin x,
y 0, 0 x .
2
10.475. y sin 2x,
y 1,
x 0 ( x 0) .
2
2
2
x
2
2
2
x
2
2
129

10.476. y sin 6x,
x 0,
x и осью Ох.
3
3
10.477. y cosx,
y 0, x , x . 10.478. y 2 2 x,
y .
4 4
x
2
4 x
10.479. y , y 7 x .
4
10.480. x 12 cost
5sin t , y 5cost
12 sin t.
10.481. Одной аркой циклоиды x 3(
t sin
t),
y 3(1 cost)
и осью Ох
( 0 t 2
).
10.482. x 3cost,
y 2sin
t (эллипс).
10.483. y 2x
2 8x,
касательной к этой параболе в ее вершине и осью ординат.
2
10.484. y x
16
и касательными к этой параболе, проведенными из начала
координат.
2
10.486.
10.485. y x 4x
9 и касательными к ней, проведенными в точках с абсциссами
x 1 3
и x 2 0 .
2
y 1
4x
x и касательными к ней, проведенными в точках с абсциссами
x 1 0 и x 2 3.
10.487. xy 3 и прямой, проходящей через точки (1; 4), (0,5; 6).
10.488. y x 2 10
и касательными к этой параболе, проведенными из точки
(0; 1).
10.489. y x , осью Ох и касательной к кривой
2 2
x 0 2.
2
2
y 2x в точке x , где
0, y 0
10.490. y x x 2 и касательной к кривой y ln x 3 в точке с абсциссой
x 1.
3x
10.491. y e , x 3 и прямой, являющейся касательной к линии
y e в точке
с абсциссой x 0.
3x
10.492. y cosx
0
x ,
y 0, x 0 и прямой, являющейся касательной к
2
линии y cosx
в точке x .
4
10.493. К эллипсу x 2 2
y 1
16 4
проведена касательная в точке C 2; 3 . Найти
площадь криволинейного треугольника АВС, где А (4; 0) – вершина
эллипса, а В – точка пересечения касательной с осью Ох.
10.494.
2
y x и нормалью к ней, проведенной через точку параболы с абсциссой
x 1.
130

2
2
2
10.495. y 2x и нормалью к ней в точке (2; 2).
10.496. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного ду-
x y
гами эллипсов 1 x y
, 1 ( a b)
.
2 2 2
a b b a
2
2
2 2
10.497. Круг x y 75 разделен гиперболой x y 1
на три части. Найти
12 100
площадь средней части.
2
2
2
Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y f (x),
осью Ох и прямыми x a, x b,
вокруг оси Ох (рис.
10.12), находится по формуле
b
V y dx
f ( x)
dx.
a
2
b
a
2
у
y = f(x)
О
а
b
х
Рис. 10.12
Если вокруг оси Ох вращается фигура, ограниченная кривыми
y f x),
y f ( x),
0 f ( x)
f ( x),
x a,
b и прямыми x a, x b,
то объем
(
1 2
1
2
тела вращения вычисляется по формуле
b
V f ( x)
f ( x)
dx.
a
2
2
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной
трапеции, ограниченной кривой x g(y),
осью Оу и прямыми y c, y d (рис.
10.13), определяется по формуле
d
2
1
V x dy
g ( y)
dy.
c
2
d
c
2
131

у
d
x g(y)
c
0
х
Если фигура ограничена кривыми x g y),
x g ( )
0 1 2
1( 2 y
g ( y)
g ( y),
y c,
d и прямыми y c, y d,
то объем тела, полученный
при вращении этой фигуры вокруг оси Оу, можно найти по формуле
d
V g ( y)
g ( y)
dy.
c
2
2
Пример 10.36. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной линиями xy 9,
y 0, x 3, x 6 (рис. 10.14).
Р е ш е н и е. Находим
3
2
6
9
V
x
6
dx 81
x
3
2
81
dx
x
6
3
Рис. 10.13
2
1
1 1 27
81
.
6 3
2
у
3
2
3
0
9
y
x
3 6
х
Рис. 10.14
Пример 10.37. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной линиями 4y x , x 4y
12
0 (рис. 10.15).
2
132

Р е ш е н и е. Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему
уравнений
2
4y
x ,
4y
x 12
0,
2
x
y
,
4
2
x
x 12
0,
2
x
y
,
4
x1
4,
x
2
3.
4у + х – 12 = 0
у
3
4у = х 2
– 4
О 3
х
Рис. 10.15
Следовательно,
V
9x
37
54 .
120
4
2 2
2
2 4
3 x x
3 x x
dx 9 x
4 4
4
2 16 16
dx
3
3
3
4
x
2
1
48
x
3
1
80
x
5
3
4
27
27
4
9
16
243
80
36 12
4 64
3 5
Пример 10.38. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной линиями xy 5,
y 1,
y 5 и осью Оу (рис. 10.16).
Р е ш е н и е.
у
5
5
x
y
1
О
5
Рис. 10.16
х
133

Искомый объем
2
5
5
V
1
y
5
dy 25
y
1
2
25
dy
y
5
1
1
25
1
20
.
5
Пример 10.39. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной линиями
x
x
y arccos , y arccos ,
6
2
y 0
(рис. 10.17).
Р е ш е н и е.
y
2
x = 2 cos y
x = 6 cos y
–6 –2
0
2 6
x
Так как arccos x
y , то x 6 и x 6cos
y;
y 0;
; при x 0 y .
6
2
x
Аналогично для y arccos , x 2,
x 2cos
y;
y 0;
. Значит,
2
/ 2
V
0
(6cos y)
(2cos y)
1 / 2 2
16
y sin 2y
8
.
2 0
2
2
Рис. 10.17
/ 2
dy 32
0
cos
2
/ 2
y dy 16
(1 cos2y)
dy
0
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.498 – 10.548 найти объем тела, образованного при вращении
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной данными кривыми.
2
5
10.498. y 6x,
y 0, x 3.
10.499. 4xy
25, y 0, x , x 5.
2
2 2
2
3
10.500. y x,
x y.
10.501. x 4y,
x 8y.
1
2
2
10.502. y , y x,
y 0, x 2.
10.503. y 2x
, 8y
( x 2) , y 0.
x
134

2
x
10.504. y 2x,
y 2, x 0.
10.505. y 1,
x y 7 0.
8
2 3
10.506. 2y x , x 4.
10.507. xy 4,
x 1,
x 4, y 0.
2
10.508. x ( y 1)
, x 0, y 2.
10.509. x y , x 1,
y 0.
10.510. xy 2,
x 1,
x 2, y 0.
10.511. y ( x 4) , x 0.
2
10.512. y 4x
x , y x.
10.513. y x , x 2, y 0.
2
10.514. y x
5x
6, y 0.
10.515. y 4x
2x
, y 2x
x .
3
10.516. y x 2, x 1,
y 1.
10.517. y 2x
x , x y 2 0, x 0.
2
10.518. x 1
y,
x 0, x y 2, x 1.
10.519. y x , y x .
2
10.520. y x , y 1,
x 2.
10.521. y 2x
x , y x
2.
10.522. 64 ,
2
2
y x 8y.
10.523. (2y
5) 10x,
x 0, y 5.
2
x 16
x
x
10.524. y 2 , y 2 log 2 x,
x 0, y 0.
10.525. y xe , x 1,
y 0.
x
10.526. y xe , x 1,
y 0.
2
2
2
3
3
2
2
10.527. y sin 2x,
0 x / 2, y 0.
10.528. y sin x,
x , y 0.
10.529. y 3sin
x,
y sin x,
0 x .
2
10.530. y cosx,
y sin x,
y 0, 0 x
/ 2.
10.531. y 5cosx,
y cosx,
0 x / 2.
x
2
10.532. y sin
,
y x .
2
2
4
2
3
2
x x
a
10.533. y e
a
e
a ,
x a,
y 0.
2
10.534. y x x .
10.535. x y a , y 2a
( a 0) .
2
10.536. y 2ax,
x a.
10.537. xy a , y 0, x a,
x 2a.
2
2
2
10.538. y 2px,
y 0, x a.
10.539. 2py
x , 2qy
( x a)
, y 0.
2
2 2
10.540. ( y a)
ax,
x 0, y 2a.
10.541. x y a
2 , x 2a.
2
2
2
x y
2 y
x y x y
10.542. 1,
x 1
( x 0) . 10.543. 1,
1.
25 9 15
9 25 25 9
2 2
2 2
x y
x y
10.544. 1,
x a h.
10.545. 1,
x h.
2 2
2 2
a b
a b
2 2
x y
10.546. 1.
2 b
2
a
2
2 2
10.547. ( x R)
( y R)
R , x 0, y 0 ( x R,
y R)
.
10.548. x acost,
y bsin
t.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
135

В задачах 10.549 – 10.582 найти объем тела, образованного при вращении
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной данными кривыми.
2
10.549. y 2x
x , y 0.
10.550. y 4x,
y x.
2
10.551. y 4 x,
x 0.
10.552. y x , 8x
y .
2
10.553. x y , x 1,
y 0.
10.554. y x , x 2, y 0.
10.555. xy 4,
x 1,
x 2 и осью Ох. 10.556. y 4x
2 , y 2.
3
2
2
3
3
10.557. y x , x 0, y 8.
10.558. xy 4,
y 0, x 3, x 7.
2
10.559. 8y 3( x 1)
, 8y
3.
10.560. y ( x 4) , x 0.
10.561. y x x, x 4,
y 0.
10.562. x y 4, y 2.
2
10.563. 3y 9 x , x y 3 0.
10.564. 4y
4 x , 2y
3 4 x .
x
x
10.565. x y 2,
x 0, y 0.
10.566. y arccos , y arccos , y 0.
5
3
2 2
2 4 2
10.567. x y 6.
10.568. x y y .
2/3 2/3 2/3
10.569. x y a .
10.570. y arcsin x,
y , x 0.
2
10.571. x 2 2
y 1.
5 4
10.572. y arcsin x,
y 0, x 1
.
10.573. y sin x,
0 x , y 1,
x 0.
10.574. y cosx,
0 x 2
, y 1.
2
x
2x
10.575. y e 6, y e , x 0.
10.576. x y a, x 0, y 0.
2
10.577. xy k , y 0, x a,
x b (0 a b)
.
2
2
x
10.578. 2py
( x a)
, 2py
a . 10.579. y a , x y a.
a
2 2
2 2 2
x y
10.580. x y a .
10.581. 1.
2 b
2
a
10.582. x a( t sin t),
y a(1
cost)
.
10.583. Плоскость, перпендикулярная к оси параболоида вращения, отсекает от
него сегмент, радиус основания которого r и высота h. Найти объем
сегмента.
10.584. Определить объем бочки, высота которой равна h, диаметр каждого из
оснований – d, диаметр среднего сечения – D. Осевые сечения боковой
поверхности являются параболами с вершинами на окружности среднего
сечения.
2
2
2
2
2
3
2
2
136

Вычисление длины дуги кривой
Если дуга кривой задана уравнением y f ( x)
( a x b)
и функция f (x)
имеет непрерывную производную в промежутке a ; b,
то длина дуги кривой,
содержащейся между двумя точками с абсциссами x a, x b,
вычисляется по
формуле
b
2
f (
x)
dx
2
l 1
1
y
dx.
Если кривая задана уравнением g(y)
a
b
a
x в промежутке d
c; и функция
x g(y) имеет непрерывную производную в этом промежутке, то длина дуги
кривой определяется по формуле
d
2
g(
y)
dy
2
l 1
1
x
dy.
c
Длина дуги кривой, заданной параметрически x 1( t);
y 2(
t)
t1 t t 2 , где 1( t),
2(
t)
– непрерывно дифференцируемые функции, выражается
формулой
l
2
/3
/3
1
ln
2
l
t2
t1
t2
2 2
1 x
y
dt.
t1
2
2
(
t)
2
( t)
dt
1
Пример 10.40. Найти длину дуги линии y ln от
sin x
1
Р е ш е н и е. Поскольку y ln , y
ctg
x,
то
sin x
cos
1
sin
2
2
x
dx
x
dx
sin x
sin x dx
2
sin x
2
cos x 1
3 1 1
ln 3 ln ln 3 1,0986 .
cos x 1
2 3
3
2
/ 3
/3
2
/3
/3
2
/3
/3
d
c
d(cos
x)
2
cos x 1
Пример 10.41. Вычислить длину дуги параболы
точки А (8; 8).
Р е ш е н и е. Из уравнения параболы
до 8, следовательно,
2
2
x до x .
3 3
y 2 8x
от вершины до
y y
x , x
и у изменяется от 0
8 4
137

y
4
8
8
l
0
y
1
16
16 y
5
1
4
8
0
2
2
dy
8
0
1
4
1
4
16 y
8
0
8
0
2
16 y
y
2
16 y
2
2
dy 8
dy 4ln y
dy u
5
16 y
16 y
1
4
2
8
0
8
0
2
16 y
16 y
8
, dv dy,
du
2
2
5
dy 4
1
4
8
0
8
0
16 y
2
y dy
16 y
2
dy
2
y 16
, v y
dy 4ln2
5.
Мы получили уравнение, относительно
8
0
2
16 y dy 16
5 8ln 2 5 и, значит,
8
0
2
16 y dy, из которого найдем, что
1 8
0
l
4
y
l
0
16 y
2
dy 4 5 2ln 2
5.
Пример 10.42. Найти длину дуги линии x t
2 sin t 2t
cost,
2
2
t cost
2t
sin t (0 t ).
2
2
Р е ш е н и е. Найдем x ( t)
t cost,
y(
t)
t sin t.
Тогда
t
4
cos
2
t t
4
sin
2
t dt
t
0
2
1
dt t
3
3
3
0 3
Пример 10.43. Найти длину дуги линии x 8sin
t 6cost,
y 6sin
t 8cost
от t 0 до t / 2.
Р е ш е н и е. Найдем x
( t)
8cost
6sin t,
y(
t)
6cost
8sin t,
.
2
2
x(
t)
y(
t)
64cos
2
100 10.
2
t 96sin t cost
36sin
/ 2
2
t 36cos
2
t 96sin t cost
64sin
/ 2
/ 2
Следовательно, l x(
t)
y(
t)
dt 10
dt 10t
5
.
0
2
2
0
0
2
t
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.585 – 10.623 найти длину дуги кривой.
2 2 2
x
10.585. x y a .
10.586. y (0 x 2) .
4
2
10.587. y 4 x между точками пересечения ее с осью Ох.
2
138

2
x
2
10.588. y 4 ( y 0) .
10.589. x y (0 y 1)
.
2
2 3
10.590. y x от начала координат до точки 5
; 5 5.
10.591. y 2 4x
от вершины до точки 1 ; 2 .
3/ 2
4 5/ 4
10.592. y 2x
(0 x 11)
. 10.593. y x (0 x 9) .
5
2 1
x 2
10.594. y 2x
x 1
( x 1)
. 10.595. y 2 x (0 x 1)
.
4
4
2 3
10.596. x ( y 1)
(0 x 2 3) .
3
2 3
10.597. y x от точки (0; 0) до точки (4; 8).
2
2
10.598. 2y x 4 ( 2
x 2) . 10.599. y x x (0 x 3) .
3
10.600. y
1 x 2 (0 x 1) .
2
2 3
10.601. y x , отсекаемой прямой x 5.
2 2
3/
10.602. y 2 x (0 x 1)
.
10.603. x y (0 y 3) .
3
10.604. 2y x 2 3,
отсеченной осью Ох.
2
3
10.605. y ( x 1)
, отсеченной прямой x 4.
10.606.
2
2
9y x(
x 3) между точками пересечения с осью Ох.
2
x ln x
10.607. y (1 x 3) . 10.608. y ln x (2 2 x 2 6) .
2 4
x
10.609. y e ( 0 x ln 7) .
1 3
от начала координат до точки ; ln .
2 4
2
10.611. x ln cos y (0 y ).
10.612. y ln sin x ( x ).
3
3 3
2
10.610. y ln1
x
x
10.613. y arcsin e ( ln 7 x ln 2) .
x
10.614. y arcsin e (0 x 1)
.
10.615. y ln( 2cosx)
между смежными точками пересечения с осями координат
Оу и Ох.
2
11 15
10.616. y x x arccos 1
x x .
36 16
2 9
10.617. y 1
x arcsin x 0
x .
16
139

10.618. x R(cost
t sin t),
y R(sin
t t
cost)
(0 t )
.
10.619. Одной арки циклоиды x a( t sin
t),
y a(1
cost)
.
3
10.620. x acos
t,
y asin
t (астроида).
10.621.
x
2/3
2/3
2/3
3
y a (астроида). 10.622. x acost,
y asin
t.
a x / a x
/ a
10.623. y e
e 0
x a.
2
2 2
x y
10.624. Доказать, что длина эллипса 1
( a b)
равна длине
2 2
a b
2 2 x
синусоиды y a b sin
(0 x 2b)
.
b
10.5. Приложения определенного интеграла
в решении физических и экономических задач
Если непрерывная функция f (t)
характеризует производительность труда
рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной
рабочим за промежуток времени от t 1 до t 2 , выражается формулой
V
t
2 t1
f ( t)
dt.
Если в функции Кобба-Дугласа затраты труда считать линейно зависимыми
от времени, а затраты капитала неизменными, то объем продукции V за Т
лет равен
T
V ( t ) e
t dt.
0
Если проценты по вкладу начисляются непрерывно и их характеризует
функция y f (t),
а удельная норма процента равна i, то дисконтированный доход
К за время Т составляет
K
T
0
f ( t)
e
it dt
Скорость оттока рабочей силы в момент времени Т можно определить
при помощи уравнения восстановления
L(
t)
f ( t)
T
t0
f ( t)
L(
T t)
dt,
где f (t) доля тех, кто был вначале (при t t 0 ) и покинул предприятие в настоящий
момент, при t T; L(
T t)
– скорость оттока людей, пришедших кому-то
.
140

на смену; f ( t)
L(
T t)
– полная скорость оттока заместителей, покидающих
предприятие в настоящий момент.
Общую сумму S текущих издержек обращения и капиталовложений, сводимых
к текущим затратам, можно определить по формуле
S
0
f ( t)
dt.
Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью v v(t),
то пройденный ею за промежуток времени от t 1
до t 2
путь
S
t
2 t1
v(
t)
dt.
2
Пример 10.44. Найти среднее значение издержек K ( x)
3x
4x
2,
выраженных
в денежных единицах, если объем продукции х меняется от 0 до 3
единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее
значение.
Р е ш е н и е. Согласно теореме о среднем значении,
b
f 1
f ( x dx
b a
) называется средним значением функции на отрезке a
; b.
В нашем случае
1
3
3
a
1
3
2
3 2
3
x 4x
2dx
x
2x
2x (27 18
6) 17
f
0
3
0
1
3
(ден.ед.),
т.е. среднее значение издержек равно 17. Определим, при каком объеме издержки
принимают это значение. Для этого решим уравнение
3x
2
4x
2 17
3x
2
4x
15
0.
Так как объем продукции не может быть отрицательной величиной, то
5
x (ед. продукции).
3
Пример 10.45. Найти объем продукции, произведенной рабочим за третий
час рабочего времени, если производительность труда описывается функцией
f ( t)
3t
2t
1.
2
3
Р е ш е н и е. V 3t
2t
1dt
t
t t 15.
2
2
3
Пример 10.46. Найти объем произведенной продукции за 5 лет, если
функция Кобба–Дугласа
3t
g( t)
(1 t)
e .
2
3
2
141

V
5
0
1
e
3
Р е ш е н и е.
(1 t)
e
3t
3t
5 1
( t 1)
0 3
dt
u t 1,
dv e
5
0
e
3t
1
dt
3
3t
1
dt,
du dt,
v e
3
15 1 3t
5 1 15
6e
1
e 17e
2.
9
Пример 10.47. Определить дисконтированный доход, если процентная
ставка – 5 %, первоначальные вложения – 5 млн р., прирост – 1 млн р. в год.
Срок – 5 лет.
Р е ш е н и е. В нашем случае функция капиталовложений, согласно условию
задачи, является линейной и равна f ( t)
k lt,
где k 5,
l 1,
т.е.
f ( t)
5 t.
Удельная норма процента i 0,05.
Тогда дисконтированный доход
равен:
K
5
0
20e
(5 t)
e
0,05t
500 600e
0,05t
(5 t)
0,25
dt u 5 t,
dv e
5
0
20
5
0
e
0,05t
32,72(млн р.).
0,05t
142
0
dt 20 5 10e
9
3t
400e
dt,
du dt,
v 20e
0,25
0,05t
5
0,05t
Пример 10.48. Определить скорость оттока рабочей силы, если t 0 0 ;
T 5; f ( t)
0,24; f ( t)
L(
T t)
e
0,24 2e
t
/ 2
(5 t).
Р е ш е н и е. Так как L( t)
f ( t)
f ( t)
L(
T t)
dt,
то
5
L(
t)
0,24 e
0
t
/ 2
t
/ 2
(5 t)
(5 t)
dt u
5 t,
dv e
5
0
5
2
e
0
t
/ 2
T
t0
t
/ 2
dt 0,24
10
4e
6,24 4e
0
dt,
du dt,
v e
t
/ 2
5
0
5
0
5/
2
t
/ 2
dt 2e
6,547 .
Пример 10.49. Определить общую сумму текущих затрат, если функция,
характеризующая текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет
10
вид f ( t)
.
2
t 2t
5
S
0
Р е ш е н и е.
t
2
10
2t
5
a
10
lim
2
( t 1)
2
a
0
dt 10
1
a
2 0
a 1
1 1
5 lim arctg
arctg 5
arctg 5(1,57 0,46) 5,55.
a
2 2 2 2
2
lim
a
1
2
t
arctg
t
/ 2

v
3 м/с. Найти путь S, прой-
1
Пример 10.50. Скорость движения точки t
2
денный точкой за время Т = 5 с. после начала движения. Чему равна средняя
скорость движения за этот промежуток?
5
1 3 1 4
5
Р е ш е н и е. S t dt t 78,125 м,
2 8 0
78,125
5
v ср .
T
S
0
15,625м/с.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.625 – 10.632 найти среднее значение издержек K (х), выраженных
в денежных единицах, если объем продукции х изменяется от x 1 до x 2 .
Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.
2
10.625. K x)
2x
3x
1,
x 0, x 4.
( 1 2
2
10.626. K x)
6x
4x
1,
x 0, x 5.
( 1 2
x
10.627. K x)
e 2, x 0, x 4.
( 1 2
2
10.628. K x)
2x
3x
4, x 2, x 5.
( 1 2
x 1
10.629. K x)
2
4, x 1,
x 5.
( 1 2
2
10.630. K x)
3x
4x
1,
x 1,
x 4.
( 1 2
x
10.631. K x)
3 1,
x 0, x 3.
( 1 2
2
10.632. K x)
6x
2x
1,
x 1,
x 3.
( 1 2
В задачах 10.633 – 10.638 найти объем произведенной продукции за указанные
промежутки времени, если производительность труда описывается заданной
функцией времени.
10.633.
10.634.
2
t 3t
f ( t)
за первый час работы.
2
( t 1)
t 1
2
f ( t)
32 28t
9t
за первую половину восьмичасового рабочего дня.
3
10.635. f ( t)
5 за пятый час работы.
3 t 2
3
10.636. f ( t)
4 за третий час работы.
4 t 5
2
10.637. f ( t)
0,00625t
0,05t
0, 5 за восьмичасовой рабочий день.
10.638.
2
f ( t)
32 4t
3t
за третий и четвертый часы работы.
143

В задачах 10.639 – 10.642 найти объем произведенной продукции, если
задана функция Кобба-Дугласа g (t)
и указан временной промежуток.
10.639.
10.641.
t
g ( t)
(14 t)
e за три года. 10.640.
10t
g( t)
(25 t)
e за пять лет. 10.642.
5t
g( t)
(10 t)
e за один год.
2t
g( t)
(3 t)
e за два года.
10.643. Определить дисконтированный доход К, если:
а) процентная ставка – 8 %, первоначальные вложения – 10 млн р., прирост
– 1 млн р. ежегодно. Срок – 3 года;
б) процентная ставка – 7 %, первоначальные вложения – 10 млн р., прирост
– 1 млн р. в год. Срок – 6 лет;
в) процентная ставка – 2 %, первоначальные вложения – 3 млн р., прирост
– 1 млн р. в год. Срок – 10 лет.
10.644. Определить скорость оттока рабочей силы, если:
t
а) f ( t)
L(
T t)
; f ( t)
0,29; t0
0; T 3;
2
t 1
б) f ( t)
L(
T t)
sin t cost;
f ( t)
0,21; t0 0; T 6;
t
e
в) f ( t)
L(
T t)
; f ( t)
0,26; t0 0; T 4;
t
e 1
г) f ( t)
L(
T t)
3t
2 t;
f ( t)
0,75; t0 0; T 16.
10.645. Найти общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая
текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет вид:
2
2t
а) f ( t)
;
г) f ( t)
e ;
t
2 1
1
5
б) f ( t)
;
д) f ( t)
;
2
3
t t 1
( t 4)
4
4t
в) f ( t)
;
г) f ( t)
3e
.
( t 1)
t 1
10.646. Скорость движения тела задана формулой v 1 2t
м/с. Найти путь,
пройденный телом за первые 10 с. после начала движения.
10.647. Скорость точки
3
v 0,1
t м/с. Найти путь S, пройденный точкой за промежуток
времени Т = 10 с., протекший от начала движения. Чему равна
средняя скорость движения за этот промежуток?
144

10.6. Контрольные задания к главе 10
Вариант 1
3
2
dx
0
1. Вычислить интеграл x
3x .
/ 6
sin x
2. Вычислить интеграл dx.
cosx
0
2
3. Вычислить несобственный интеграл e 7x dx или установить его расходимость.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
1
y , y 0, x 5, x 10.
x
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,
2 1
ограниченной кривыми y x,
y 0, x 2.
2
0
Вариант 2
x x x 1
1. Вычислить интеграл
dx.
2
1
x
2. Вычислить интеграл cos x sin 2x dx.
1
0
/3
0
3
2
2
x dx
3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
2
0 4 x
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y
e
x
3
, x 0, y 0, x 5.
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной кривыми xy 16,
y 0, x 4, x 8.
5
Вариант 3
dx
1. Вычислить интеграл .
1 2x 1
2. Вычислить интеграл sin x dx.
4
0
6
0
5
145

3. Вычислить несобственный интеграл
dx
3 5 x
или установить его расходимость.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y sin x,
y cosx,
0 x .
4
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной кривыми y sin x,
0 x , y 0.
e dx
1. Вычислить интеграл .
2
1
e
x
1
0
Вариант 4
/ 2
2. Вычислить интеграл sin x cosx dx.
0
x
6
dx
3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
2
3 ( 6 x)
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y cosx,
y x , x 0.
2
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной кривыми y ( x 1)
, x 2.
2
3
dx
1. Вычислить интеграл .
1
x
4
0
/3
Вариант 5
xsin
x
2. Вычислить интеграл dx.
2
cos x
/3
146
3. Вычислить несобственный интеграл e 4x dx или установить его расходимость.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y e
x
0
, y e,
x 0.
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной кривыми y
1 x 2 2x
2, y 2.
2

dx
1. Вычислить интеграл .
x
e 1
1
0
/ 2
Вариант 6
dx
2. Вычислить интеграл
.
1
sin x cosx
4
3. Вычислить несобственный интеграл
0
dx или установить его расходи-
мость.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y sin 2x,
y sin x,
x .
3
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной кривыми 3y
x 9, x y 3.
2
0 x
31
Вариант 7
3x
2
1. Вычислить интеграл
dx.
2
1
x 2x
2
/ 2
4
2. Вычислить интеграл sin x dx.
0
dx
3. Вычислить несобственный интеграл
или установить его
2
x 4x
7
расходимость.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
1
y ln x,
y 0, x , x e.
e
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной кривыми y x , y 5x.
2
Вариант 8
e
x ln x
1. Вычислить интеграл dx.
x
2. Вычислить интеграл x arctg x dx.
1
1
1
147

5
dx
3. Вычислить несобственный интеграл
3 8x
x
его расходимость.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y
2
x 4,
y
2
3x
12.
x
5. Найти длину дуги кривой y e (ln 3 x ln 5) .
2
15
или установить
Вариант 9
/ 21/
2
2x
5
1. Вычислить интеграл
dx.
2
1 4x
4x
17
/ 2
3 2
2. Вычислить интеграл sin x cos x dx.
2
/3
или установить его рас-
5
dx
3. Вычислить несобственный интеграл
2 3 5 x
ходимость.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 4x
, y 2x
.
2
3
5. Найти длину дуги кривой y x 0
x .
2
2
3
2
Вариант 10
1. Вычислить интеграл x x 1dx.
2. Вычислить интеграл cosx
sin x dx.
3
1
/ 2
0
3
2
e
dx
3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
1 x ln x
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y
e
x
3
, x 0, y 0, x 4.
5. Найти длину дуги кривой y ln sin x x .
3 2
148

Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида
11.1. Основные понятия и определения
n
x, y,
y,
y
, , y
0
F , (11.1)
где F – функция своих аргументов, заданная в области D, x – независимая переменная,
n
y , y , y
, ,
y - искомая функция и ее производные, называется обыкновенным
дифференциальным уравнением.
Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение
(11.1), называется порядком этого уравнения. Дифференциальное уравнение
n
(11.1) будет n-го порядка при условии, что y обязательно входит в это уравнение.
Решением дифференциального уравнения (11.1) называется функция
y x , определенная в области D, которая, будучи подставлена в уравнение
(11.1) вместе со своими производными, обращает его в тождество. График этой
функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде
x , y , то его обычно называют интегралом дифференциального уравнения.
0
Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального
уравнения. В общем случае нахождения решений уравнения (11.1) потребуется
n последовательных интегрирований, поэтому общее решение будет содержать
n произвольных постоянных, т.е. иметь вид
y x C , C , ,
(11.2)
или
, 1 2
C n
y,
C , C , , C 0
, 1 2 n
x . (11.3)
Соотношение (11.3) называется общим интегралом уравнения (11.1). Придавая
в соотношениях (11.2) или (11.3) произвольным постоянным C , C2 , , C
1
конкретные числовые значения, получим частное решение или частный интеграл.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F x, y,
y . (11.4)
Если оно разрешимо относительно y , то
0
y f x,
y
где функция f x, y
задана в некоторой области D плоскости y
, (11.5)
x; .
n
149

Функция вида y x,
C
называется общим решением дифференциального
1) при любых значениях C функция
уравнения первого порядка, определенного в области D, если она удовлетворяет
следующим условиям:
y x,
C является решением уравнения
первого порядка;
2) для любых начальных условий x0 y0
D
постоянной C, что выполняется равенство y x
, C
Функция x
, y,
C
0
; существует такое значение
.
0
, обращающая дифференциальное уравнение первого
порядка в тождество, называется общим интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство
интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра C.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка форму-
y x,
C дифференциального
лируется следующим образом: найти решение
порядка, удовлетворяющее начальному условию y y0
при x x0
, т.е. найти интегральную
кривую этого уравнения, проходящую через точку с координатами
x 0 ; y 0
.
Могут быть случаи, когда из общего решения уравнения некоторые решения
не получаются ни при каких значениях C. Такие решения называются особыми.
Признаком особого решения служит нарушение свойства единственности, т.е.
если интегральная кривая является особым решением y x , то через каждую
точку этой кривой будет проходить, по крайней мере, еще одна интегральная
кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную.
Пример 11.1. Определить порядок дифференциального уравнения:
IV
а) y 2y
4 0 ; б) 2 2
y xy
x 0 ; в) y x y 0.
Р е ш е н и е. Первое уравнение является дифференциальным уравнением 4-
го порядка, так как порядок старшей, входящей в него производной равен 4; второе
– уравнением 2-го порядка, поскольку порядок старшей производной равен 2;
третье уравнение является уравнением 1-го порядка, так как оно содержит только
первую производную.
Пример 11.2. Показать, что функция
y e является решением дифференциального
уравнения y 3y
18y
0.
y
3x
9e
,
27e
3x
3x
0
Р е ш е н и е. Найдем производные нужного порядка
9e
y
3x
3x
y e ,
y
3x
3e
,
3x
27e
и подставим их выражения в уравнение. Получим тождество
18e
3x
0. Это означает, что функция
3x
y e является решением
данного дифференциального уравнения. Это частное решение, так как оно не содержит
произвольной постоянной.
150

Пример 11.3. Установить, является ли функция x y Cx 0 общим ин-
2 2
тегралом дифференциального уравнения 2xy y
x y 0.
Р е ш е н и е. Найдем производную 2x
2yy
C 0 , т.е.
2
2
уравнения x y Cx 0 находим
производной:
y
x
2
2
y
x
2y
2 2 2
x
, y
2
2
2
2
C 2x
y
. Из
2y
x y
C и подставляем его в формулу для
x
y x
2xy
. Подстановка производной в диффе-
y x 2 2
ренциальное уравнение приводит к тождеству 2xy x y 0.
2xy
2
Таким образом, неявная функция x y Cx 0 является общим интегралом
данного дифференциального уравнения.
Пример 11.4. Показать, что функция
2
y x
2
2
C
2
является решением дифференциального
уравнения y
2x
. Построить семейство интегральных кривых и
выделить интегральную кривую, проходящую через точку 2 ; 3.
Р е ш е н и е. Найдем производную
данное уравнение. Получим тождество
Следовательно,
уравнения.
Уравнение
y x
2
C
y ( x
2 C)
2x
и подставим ее в
2x 2x
.
является решением данного дифференциального
y x
2 C
(*)
определяет семейство парабол (рис. 11.1), которое и будет
семейством интегральных кривых. Найдем интегральную
кривую (параболу), проходящую через заданную
точку 2 ; 3. Подставив координаты этой точки в
уравнение (*), получим
3 2
2 C , откуда C 1, следовательно,
функция y x 2 1
является частным решением
данного дифференциального уравнения, а ее график (интегральная кривая)
будет проходить через заданную точку.
1
Пример 11.5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение y .
2
x
Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y 1 0, y1
1.
y
0
C=1
C=0
y x 2 1
x
Рис.11.1
151

Р е ш е н и е. Данное дифференциальное уравнение – 2-го порядка, следовательно,
его необходимо дважды проинтегрировать, и общее решение будет зависеть
от двух постоянных: y C 1, y ln
x C1x
C2
.
1
x
Используя начальные условия, находим значения постоянных:
1
1
C1,
C1
2,
0
ln1
C1
C2.
C2
2.
Следовательно, частное решение дифференциального уравнения –
y ln
x 2x
2.
Пример 11.6. Дано семейство функций
y x C
1
x
2
, где C – параметр.
Найти дифференциальное уравнение с заданным семейством решений.
y x
Р е ш е н и е. Из семейства функций легко увидеть, что C . Продифференцировав
y x C 1
x , получим y
1
. Подставив значение
2
1
x
2
Cx
2
1
x
xy
x
1
xy
C, получим y 1
или y
. Это и есть искомое уравнение; его
2
2
1
x
1
x
общее решение
y x C 1
x .
2
Пример 11.7. Для семейства функций y C1 xy
0
x найти дифференциальное
уравнение.
Р е ш е н и е. Из исходного уравнения определим
x y
C . Продифферен-
xy 1
цируем исходное уравнение. Получим 1
y Cy
xy
0
x
y y xy
C. Тогда
. Подставим значение
2
2
1
y
0, xy 1 yxy
y
xy x y
y yxy
0 .
xy 1
1
y
Отсюда y 0 .
2
1
x
2
Задачи для самостоятельного решения
11.1. Определить порядок дифференциального уравнения.
2 2
а) x y
y x x y 0; б) y y 0;
IV
в) 3y
8 0
;
y ; г) y pxy
qx
y ; е) y ay by
0.
д) pxy
qxy
0
152

11.2. Установить, является ли данная функция решением (интегралом) соответствующего
дифференциального уравнения.
4
x 1
а)
2 2
y x 1
; y
y x
1 3 ;
2
x 1
б) y C1 sin 7x
C2
cos7x;
y
49y
0;
1
1
в) y Cx ; xy
y 0 ;
C
y
1
y x 1 Ce
x ;
x y
1
2x
y x ;
2
2
2
г)
x
д) y Ce sin x;
y
2y
2y
0 ;
x x
е) y Ce e ; xy 2y
xy 0;
2 Cx
2
;
1
2x
2 2
2 2
y
;
ж) y ; 21
x y
y xy
з) x 0; y x
y
2xy
0
2 2
и) Cy; xyy
y x y;
e x y
2
4
2
к) x y Cy ; xy dx x
y dy .
2
4
2x
11.3. Дано общее решение y C1 e C2e
дифференциального уравнения
y y
2y
0. Найти частные решения, если:
а) C , C 0;
б) C , C 1;
в) C , C 5.
1 1 2
1 0 2
153
x
2x
11.4. Дано общее решение y e C
C x
1 3 2
1 2 дифференциального уравнения
y 4y
4y
0. Найти частные решения, если:
а) y 0 2, 0 0; б) y 0 1, 0 3; в) 1
e , 1
0
y
y
2
y
y .
11.5. Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные
частные решения и построить их.
а) y 3x
2 ; y0 2 ; б) y 2;
y0 1,
y0 2
;
в) 6;
y0 1;
y 0 3; y 0 6
2
x
.
y ; г) 4y
2xy
0; y1
5
2
y
.
д) y ; y0 1
11.6. Составить дифференциальные уравнения заданных семейств функций.
а) y x C ; б)
в)
x
ln y C tg ; г)
2
д) 1
2
2
1
x
2
y Ce ;
2
C x
y ;
2x
2 2
x C y ; е) 1 x
2 1
y
Cy ;
y
ж) arcsin x C ; з) y sin Cx .
x

11.2. Дифференциальные уравнения с разделенными
и разделяющимися переменными
Уравнения вида
а также вида
x
y
y f1
f2
, (11.6)
xP
ydx
Q xQ
ydy
0
P (11.7)
1 2
1 2
называются уравнениями с разделяющимися переменными.
Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в
уравнение с разделенными переменными. Для (11.6) это
1
Q1
xP2
Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общие решения:
y
. Тогда уравнения запишутся так:
dy
f
2
y
P
f1xdx
,
Q
x
x
2
y
y
1 2
dx dy
1
Q
P
0.
dx
f
2
y
, для (11.7) –
dy
f1
x dx
f y
2
,
P
Q
x
x
Q
dx
P
2
y
y
dy C
1 2
.
1
Но при умножении можно потерять решения, поэтому после получения
общего решения необходимо проверить, являются ли нули функций f 2 y, Q 1 x,
P 2 y
решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле
при каком-то значении C.
Уравнения такого вида применяются в экономических исследованиях,
например, определение спроса из эластичности спроса относительно цены –
E x
y
x
y
y; закон изменения производительности труда может быть выражен
дифференциальным уравнением первого порядка
1
y
t
dy
dt
Пример 11.8. Проинтегрировать уравнение y y
0
. Найти интегральную
кривую, проходящую через точку 4; 3
A .
t
x
y
f
t
, и т.д.
154

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение
dy
dx
2
2
x
, xdx ydy 0 . Полу-
y
ченное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Интегри-
x y
2 2
руя, получаем C1
или x y 2C1
. Пусть
2 2
x
2
y
2
0 ), тогда общий интеграл уравнения запишется в виде
1
2
2C C (так как
x
2
y
2
C
2
. Это
семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом C . Найдем
A 4; 3 . Подставляя координаты
окружность, которая проходит через точку
2 2
точки в уравнение, получаем
2
2
4 3 C , т.е. C 25 и x y 25 – искомая
интегральная кривая.
y
Пример 11.9. Проинтегрировать уравнение y x
0.
x
dy y
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде . Разделяя переменные,
dx x
dy dx
получим 0. Интегрируя, находим ln x ln y C1
. Постоянную C 1 мож-
y x
но представить в виде 1 ln C C
0
его, получим ln xy ln C C
0, т.е. xy C C 0
C . Подставляя C 1 в решение и преобразуя
2
2
. Разделяя переменные, предполагалось,
что y 0, следовательно, могло быть потеряно решение y 0. Но
оно может быть получено из общего интеграла при C 0. Таким образом, общий
xy C C R
.
интеграл выражается формулой
Пример 11.10. Проинтегрировать уравнение
y xy
2 2xy
.
dy
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде xy
2 2y
. Разделим переменные,
для этого умножим данное уравнение на
y
dy
xdx
2y
2
dx
2
dx
. Получаем
y
2 2y
1 y x
2Ce
0. Интегрируя, получаем ln C1
или y
2
(где
2 y 2 2
x
1
Ce
e 2C 1
C ) – общее решение. Так как уравнение умножалось на выражение
dx
, то могли быть потеряны решения y 0 и y 2
. Решение y 0 получа-
y
2 2y
ется из общего решения при C 0, а y 2
– при C , так как
y
e
2C
2
C 1
2
2
x
x
C
e
2
при
C . Это частные решения.
2
x
155

Пример 11.11. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
2
2
xdx
y1
x dy
0
xy .
Р е ш е н и е. Вынесем соответствующие множители за скобки, получим
уравнение с разделяющимися переменными x y
1dx
y1
x dy
0
2
2
. Разделив
2
2
xdx ydy
уравнение на y 1 1
x
0 , получим 0 . Интегрируя это уравнение,
находим: ln 1
x ln 1
y ln C , ln 1 y ln C1
x
2 2
1
x 1
y
2
2
2
2
.
Таким образом 1
C1
x
0
2
2
y – общий интеграл данного дифференциального
уравнения.
Решения x 1
получаются из общего интеграла при C , так как
2
2 1
y
x 1
1
при C . Это частные решения.
C
dy
y 1
Пример 11.12. Проинтегрировать уравнение y
y 1
.
x
Р е ш е н и е. Умножив данное уравнение на
dx
, получим
y 1
dx
x
в области 1
. Проинтегрировав, будем иметь 2 y 1
ln x C – общий интеграл
x . Есть решение y 1, которое не получается
y , ;
00;
из общего. Его называют особым.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.7 – 11.30 проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях
найти частное решение.
xy
x 11.8. y
e .
11.7. 2dy
y
1 dx 0.
2
2
2
11.10. x y
1
cos2y.
11.9. x
1 y 2xy
.
2
2
11.11. y y cosx.
11.12. dx 1
x dy 0.
2
dy
11.13. 1
y dx ydy 0.
11.14. sin xdx 0.
y
2
1
y
6
11.15. y .
11.16. y sin xdx cos xdy 0.
2
1
x
2xy
sin y π
11.17. y ; y3 12.
11.18. y ; y0 .
2 2
3 x
1
x 2
156

2
11.19. y x e ; y0 1.
2
3
x
11.21. 9ydy
x y
1 dx 0.
2
11.20. x y y
2 1.
x 11.22. 2x
1
y dx ydy 0; y0 1.
11.23. x xydy
y
xy dx 0.
11.24. y
1 x 2 dx x 4xdy
0.
2
3
11.25. 3x ydx 2 9 x dy 0.
11.26. e y dx ydy 0.
11.27. ln 2 xdx 0.
xydy 11.28. y e y 1
e y 1 0.
11.29. 1
arccosx dx y 1
x dy 0.
2
2
y 11.30. xe y dy 1
ln xdx 0.
11.31. Предположим, что все цены на товары, кроме одного, и доходы потребителей
фиксированы, а эластичность спроса на товар относительно цены на данный
1
товар выражена функцией E x y
x . Определить функцию спроса на данный
товар.
x
11.32. Полные издержки K есть функция объема производства x. Найти функцию
издержек, если известно, что предельные издержки для всех значений x равны
средним издержкам.
11.33. Пусть темп изменения производительности труда характеризуется функцией
t
y y t , если:
f . Определить функцию производительности труда
2t
а) f t
, y0 1; б) t
, ye 1
t
2
1
2
x
2
2x
2
2x
1
f .
t ln t
2
2
11.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение вида
y f x,
y
(11.8)
называется однородным, если z f x,
y
t выполняется тождество f tx
ty f x,
y
т.е. при любом 0
, . Аналогично дифференциальное
уравнение
x, ydx
Qx,
ydy
0
называется однородным, если P x, y
и x
y
степени, т.е.
– однородная функция нулевой степени,
P (11.9)
m
m
, ty t Px,
y, Qtx
ty t Qx,
y
P tx
Q , – однородные функции одной
, .
Однородное уравнение можно привести к виду
y
y
, (11.10)
x
157

следовательно, с помощью замены y xu ( u y x,
y
u xu)
оно сводится к
уравнению с разделяющимися переменными относительно x и новой функции
u x :
du
u xu
u, x u u .
dx
К однородным уравнениям сводятся уравнения вида
a
1x
b1
y c1
y f
, (11.11)
a2x
b2
y c2
a1
b1
для которого 0, преобразованием 0 0
a b
x X x , y Y y , где постоян-
2
2
ные x 0 и y 0 являются решением системы уравнений
a1x
b1
y c1
0,
a2x
b2
y c2
0.
158
При 0 уравнение (11.10) сводится к уравнению с разделяющимися переменными
преобразованием a x b y t
1 1 .
Пример 11.13. Проинтегрировать уравнение
Р е ш е н и е. Уравнение однородное. Положим
2 2 2
u
xu x u 4
2 2
.
2xyy
y 4x
y xu . Тогда
du
u , 2 u
2 4
2
2
2
2x
u x , т. е. 2 2xuu
u 4 xu или
dx
2udu
dx
C
, x 0 . Проинтегрировав, получим ln u
2 4 ln или C xu 2 4.
2
u 4 x
x
2
y
y
Подставив u , получим C x
x
4
или y 2 4x
2 Cx 0
2
x
– общий интеграл.
При решении уравнения мы полагали, что x 0. Но x 0 – решение уравнения.
Это частное решение. Оно может быть получено из общего интеграла
2 2
1
C1 y
4 x
x , где C1 C
при C 1 0.
Пример 11.14. Проинтегрировать однородное уравнение
4 3
4 3
2x
ydx
x
2xy
dy
0
y .
Р е ш е н и е. Пусть
y xu , тогда dy udx xdu . И уравнение (после сокращения
на 4 0
dx
x
x ) примет вид udx
1
2u
xdu
0
3
2
1
2u
du
dx 1 3u
, du
u
0, u 1.
u
4
u
x
u
1
u
3
4
u или
3

Интегрируя, получаем
3
ln x ln u ln 1
u ln C , откуда x1 u
Cu .
y
Подставляя u , получим x
3 y
3 Cxy
x
– общий интеграл.
При u 1
получается решение y x
. Это частное решение может быть
получено из общего при C 0. При u 0 получаются решения y 0, x 0. Они
3 3
могут быть получены из общего интеграла C x
y
xy
Пример 11.15. Проинтегрировать уравнение
2x 8 dx 3y
5x
11
dy .
0
3
1 при C 0 .
Р е ш е н и е. Составляем систему:
2x
8 0,
3y
5x
11
0.
Ее решение x , y 3. Делаем замену x X 4,
y Y
3. Получаем
0 4 0
dY 2X
2XdX 3Y
5X
dY
0 или 0 – однородное уравнение. Полагаем
dX 3Y
5X
du 2 3u
5u
Y Xu. Получается X
0 . Разделяем переменные
dX 3u
5
3u
5 dX
du 0 и интегрируем 2ln
u 1
3ln 3u
2 ln CX 0 или
2
3u
5u
2 X
C 3u
2 3 X u
1 2
Y
. Подставляя u , получим C3Y
2X
3 Y
X 2 . Следо-
X
вательно, 2
2
C 3y
2x
1 3 y x 1
– общий интеграл исходного уравнения.
2 1
Решения y x 1
и
x
2
y (при u 1
и u соответственно) являют-
3
3
ся частными, так как получаются из общего при C 0 и C .
1
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.34 – 11.73 проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях
найти частное решение.
11.34. y
x y dx 0.
2
2
xdy 11.35. x
y dx 2xydy
0.
2
2
y
11.36. y 4xy
4x
y
0.
11.37. x y
y x tg 0.
x
x
xy y e
11.38. ydx x y tg dy
0.
11.39. y
.
2
y
x
159
2
2
2
x y

y y
11.40. ycos
dx
xcos
dy 0.
x x
x 11.41. y e , y1
0.
11.42. x
ydx
0,
y1
2.
y
x
xdy 11.43. xy dy x
y dx.
y
x
x
y
11.44. y , y1 0.
11.45. xdy yln
dx 0, y1
1.
y
x
x y
11.48. y .
x 2y
2
2
2
11.47. 2xy
y dx
2xy
x dy 0.
11.46. y 1
ln y ln x,
y1
e .
2 2
11.49. x x
2ydx
x
y dy 0.
11.50. xdy x y dx ydx.
2
2
2
11.51. x
ydx
x
y dy 0.
2
2
11.52. x
y xy dx x dy.
11.53. xy xdy
ydx 0,
y1
1.
11.54. xdy ydx ydy.
11.55. x
y dx x dy 0.
2
3
y
x
y
x
2 2 2 2
2
2
y
11.56. 2x y
4xy
y 0.
11.57. y
.
2
x xy
2
2
11.58. x y dy 2xydx
0.
11.59. y
x dy 2xydx
0.
11.60. 5
x dy 6y
dx 0.
2
2 3 2
2
2
2
xy 11.61. xy
3y
2x
2 xy x .
y
11.62. y
ycos
ln .
x
3y
7x
7 3x
7y
3 y
x 11.63. x y xsin
y,
y2 π.
11.64. . 11.65. 12y
5x
8 y 5y
2x
3 0.
11.66. x
y 4dx
3x
5y
2 dy.
11.67. 4x
y 1dx
x
3y
3 dy.
11.68. 2x 4y
6dx
x
y 3 dy 0.
11.69. x
2y
1dx
3
2x dy 0.
11.70. x 2dx
y
2x
1 dy 0.
11.71. 6x
y 1dx
4x
y 2 dy 0.
t
t
t
2x
y 3
y 2
11.72. y .
11.73. y 2
.
x y 4
x y 1
11.74. Пусть динамическая функция предложения товара имеет вид
dpt
xt
dpt
dp
F
xt
, pt
, , где x t – запас товара, p t – цена товара, t – ве-
dt p x p dt
dt
личина, характеризующая изменение цены. Определить, как изменяется цена товара
в зависимости от его количества, если динамическая функция предложения
товара равна скорости изменения запаса товара.
11.75. Определить функцию изменения цены товара в зависимости от его
количества, если динамическая функция предложения товара
y
x
3
2
F
x , p
t t,
dp
dt
t
160

xt dpt
пропорциональна скорости изменения запаса товара с коэффициентом
p dt
t
пропорциональности, равным величине 1 ln p ln x
, при условии, что p
t
t
1
1 .
e
11.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
или
Уравнения, которые можно записать в виде
y p x y q x
(11.12)
dx
dy
y
y
называются линейными, (11.12) – относительно
dx
dy
x, . Если q x 0 q
y
0
p x q , (11.13)
dy
y, , (11.13)– относительно
dx
, то уравнение называется линейным однородным,
иначе – линейным неоднородным.
Линейное однородное – это уравнение с разделяющимися переменными,
его общее решение выражается формулой
p
x
dx
y Ce .
Для решения линейного неоднородного уравнения можно применять метод
вариации произвольной постоянной, тогда общее решение неоднородного
уравнения получается в виде
x
x
dx
y C e .
p
Линейное неоднородное уравнение может быть сведено к решению двух
уравнений с разделяющимися переменными при помощи подстановки
y x u x v x . Тогда уравнение (11.12) приводится к виду
u
v v
pxvu
qx
v
(частное решение), а функция u определяется из
. В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяющих
уравнению pxv
0
уравнения u v qx
(общее решение). Тогда y x ux,
Cvx
даст общее решение
исходного уравнения.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
x
xy
y p y q , (11.14)
где – действительное число. В случае 0,
1
уравнение (11.14) является
линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному при помощи подстановки
u y
1 , но его можно решать также подстановкой y uv. Записав
161

уравнение в виде
u
v
v
pxvu
qxu v
u
. Тогда
, находим частное решение уравне-
1
ния v pxv
0 и общее решение уравнения qxu v
y x ux,
Cvx
даст общее решение уравнения Бернулли.
Пример 11.16. Решить уравнение
sinx
.
y ycosx
e
Р е ш е н и е. Для решения используем метод вариации произвольной по-
стоянной. Для этого решим линейное однородное уравнение y ycosx
0 .
dy
dy
ycosx
0 , cosxdx
0, ln y sin x ln C , т. е.
dx
y
y
C
sinx
y Ce .
sinx
Решение неоднородного уравнения ищем в виде
sinx
sinx
xe
Cxcosxe
y C x e
, тогда
. Подставляя y и y в уравнение, получаем
sinx
C x 1, значит, Cx x C . Следовательно, y x
Ce
линейного неоднородного уравнения.
Пример 11.17. Найти общее решение линейного уравнения
Р е ш е н и е. Решение будем искать в виде
Уравнение можно записать в виде
3
частное решение,
2
3
или u x
x u x
– общее решение
3
.
xy
y x
y uv, тогда y uv
uv
.
u xv v xuv
x . Значит, x v v 0, v x –
2
x
, u C 2
– общее решение. Следовательно,
2
x
y
2
C
x
– общее решение исходного дифференциального уравнения.
Полагаем
dx 3x
Пример 11.18. Найти общий интеграл уравнения 4 0 .
dy y
Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным относительно
dx
x, .
dy
dx
3v
3v
1
x uv , тогда uv
uv, u v
uv
4 0 , v 0 , v ,
3
dy
y
y y
3
u 4y , u y
4 C
C . Следовательно, x y – общий интеграл.
3
y
Пример 11.19. Найти решение уравнения x
y 1
начальному условию y 1 0.
y
, удовлетворяющее
162

y
Р е ш е н и е. Если рассматривать x как функцию от y , учитывать, что
1 , то получим линейное уравнение x
x y . Пусть x uv , x
uv
uv
,
x
y
, v v 0,
v e , u e
y y
y y
y , u ye dy ye
e C .
тогда u v uv
v
y
y
Значит, x Ce y 1
– общее решение.
Подставляем начальные значения 1
C 1, C 0. Следовательно, искомое
частное решение имеет вид y
1
x или x
1
y .
3
Пример 11.20. Проинтегрировать уравнение xy y y x x
y
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде y y
2 2 x
2 1
. Это уравнение
Бернулли, 2 . Применим подстановку
x
u y
2 2 .
1
1
y
. Тогда
1
y ,
u
u
u
y и уравнение принимает вид u 2x
2 1. Это линейное уравнение.
2
u
x
Решим его методом вариации произвольной постоянной. Однородное уравнение
u
u 0 имеет решение u Cx . Значит, решение неоднородного уравнения
x
ищем в виде
C
x
x
2
ln
Cxx
u . Тогда u Cxx
Cx, C xx
2x
2 1, C x
x C . Значит, u x
xln
x Cx
решение исходного уравнения.
3
и
1
2x
,
x
y 1
Cx x
3 xln
x
– общее
2
x
.
Пример 11.21. Найти общий интеграл уравнения y x
sin y 1
2y
0
Р е ш е н и е.
Рассмотрим это уравнение относительно
dx . Тогда
dy
dx
3
dx
2y x x
sin y . Это уравнение Бернулли. Пусть x uv , тогда uv
uv,
dy
dy
3 3
2yv
v u
v sin y
2
3
2yu v u
, 2y v v 0, v y , 2u u
sin y ,
Следовательно,
x
2
y
C cos y
или
x
2 cos y y Cx 2 – общий интеграл.
u
2
1
.
C cos y
163

Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.76 – 11.121 найти общее решение линейных дифференциальных
уравнений, в отмеченных случаях найти частное решение.
2x
2
x
11.76. y y 1
x .
11.77. y y 1.
2 2
1
x
1
x
2x
11.78. y y tg x .
11.79. y cosx
ysin
x 1.
cosx
11.80. 2 2x
2
y x
y x 0.
11.81. y y 2xx
1.
2
1
x
3y
2
y 1
11.82. y , y1
1.
11.83. y
4 .
3
x x
x x
2x
x
11.85. xy
y e .
11.84. y 2y
e .
5x
11.86. y 5y
e , y0 0,1
.
11.88. xy x
1y
3x
e , y1
0.
2
x
2
x
11.90. xy 2x
y , y0 1.
11.92.
x
11.87. y
2xy
xe .
y x 2
11.89. y
xe .
x
2 e
e
y
y , y
1
x
1
x
x
6xy
1
2 2 x1
x
y
11.93. x y
y x e .
2
4
x 1
2
x 1
.
1
sin x
x
11.91. 0 2.
2
2
11.94. y yctgx
, yπ
2 1.
11.95. y ctgx
y 2, y0 1.
y
11.97. y
y tg x sin 2x.
11.96. cosx
2ysin
x 2, y0 3.
cosx
11.98. y ysin
x e sin x,
yπ
2 3.
arcsin x
11.100. xy
y .
2
1
x
11.101. sin x y 1
cosx,
yπ
2 1.
xy
11.99. y
x.
2
1
x
y
11.102. y
sin xcosx
y sin
3 x.
11.103. y sin x y 1
cosx,
yπ
2 0.
x 2
2 e 3x
3
3
xx
1
1
e
2
y x 5
x
11.106. xy
.
ln x ln x
11.104. y x y , y0 0.
11.105. y 1ln
x 2y,
ye 0.
2
x
11.108. y y x 2.
11.107. y 2xy
ln x,
ye 1.
164

2
1
4x
11.109. y 2xx
y.
11.110. y y 3.
2
x
2
2
11.112. x
y dy
ydx,
y0 1.
11.111. y x y.
3
2
y
3x
y
11.113. y x x 4y
3y
, y2 1.
11.114. y , y0 1.
11.115. 2 xy
1,
y0 0.
2
e y y
11.116. x 2xy
2
.
y
e 3
cos ydx x 2cos y sin ydy,
y 0 π 4
11.117. .
11.118. 1 2xy
y
yy
1 ,
y0 1.
11.119. y xctg
yy
1,
y0 π 2.
sin 2
11.120. 2 ydy
ydx 4ln ydy,
y0 1.
x 11.121. x
y dy dx 0.
В задачах 11.122 – 11.133 проинтегрировать уравнения Бернулли.
2
2
11.122. xy y xy .
11.123. xy
4y
x y.
11.124. 2 2 3
2
xy y y x x.
11.125. 2y
y
y x 0.
2y
2 y
2
11.126. y .
11.127. xy
y ln x y.
x cos
2 x
3 3
2
11.129. y y
y 4xx
1 0.
11.128. y x y xy.
11.130. y
y x y.
2
11.131. x x
1y
y xx
2 y 0.
11.132. yx
x yx
.
2
2
11.133. 2x
2 yln
y x y
y.
2
Простейшая модель воспроизводства национального дохода имеет вид
dy
yt
B Ct
, где B – коэффициент капиталоемкости национального дохода,
dt
т.е. отношение производственного накопления к приросту национального дохода;
C t – непроизводственное потребление, прирост материальных оборотных
средств, государственных материальных резервов, потери.
11.134. Найти функцию, характеризующую изменение национального дохода
y y t , если известно, что величина потребления задается функцией C 2t
, коэффициент
капиталоемкости прироста дохода 0, 5
11.135. Найти функцию дохода y yt
задается функцией
B , 0 2
y .
, если известно, что величина потребления
C 4t
, коэффициент капиталоемкости 0, 25
B , 0 4
y .
165

11.136. Функция предложения промышленной продукции предприятия, являющаяся
функцией цены предшествующего года, имеет вид S 3p
8t
1
2 .
dp
dt
Спрос на данный товар определяется ценой на промышленную продукцию этого
dp
года, т.е. функция спроса имеет вид q p 7 t . Определить цену равновесия
на товар (цену, при которой спрос равен
dt
предложению).
11.137. Цена товара А в начале года составляла 36 денежных единиц, а через t
dp
недель – p t
. Спрос определяется уравнением q 120 2 p 5 , а предложение
dt
dp
– уравнением S 3p
30 50 , где q и S выражены в тыс. денежных единиц.
dt
Как должна изменяться цена товара, чтобы для каждого значения t равновесие
сохранялось?
11.5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения вида
( n)
( n1)
a xy
a1x
y
an1xy
anxy
f x
0, n f x – непрерывные на a; b
функции, a x 0
где a i xi
,
0 , (11.15)
0
, называется линейным
дифференциальным уравнением n-го порядка. Оно всегда имеет общее
решение, но нахождение его при n 2 затруднительно. При n 2 уравнение
можно записать так:
xy
qxy
f x
y p
. (11.16)
При f x 0 уравнение называется линейным однородным, при x 0
f –
неоднородным. Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения имеет вид
где x y x
y 2
x
x
y C1 y1
C2
y2
, (11.17)
1 , – два линейно независимых частных решения.
Решения являются линейно независимыми, если их отношение – не постоянное
число.
Для неоднородного линейного уравнения общее решение имеет вид
x
C y xx
y C1 y1
2 2 , (11.18)
166

где x y x
y 2
1 , – два линейно независимых частных решения линейного однородного
уравнения, соответствующего неоднородному;
неоднородного уравнения;
или
x
y Y
,
x
– частное решение
где Y – общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному.
Все частные решения получаются из общего при фиксированных C 1 , C 2 .
Частное решение может быть задано начальными условиями (Коши) x 0 ,
y0 yx 0 , y0 yx 0 , где x 0 a;
b
, y 0 , y
0 – произвольные.
Если px p, qx
q – постоянные, то линейное дифференциальное уравнение
x
y py
qy f
(11.19)
называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффици-
x y x
f x составляют
ентами. Для нахождения y1 , 2 этого уравнения при 0
квадратное уравнение p λ
q 0, которое называется характеристическим.
λ 2
Для этого уравнения возможны три случая.
1. D 0, корни уравнения λ 1 , λ 2 вещественные различные. Общее решение
однородного уравнения
2. 0
λ1 x λ
C1e
C2e
λ1 λ2
y
2
.
x
D , корни λ вещественные одинаковые. Общее решение од-
λ x
нородного уравнения y e C
C x
.
1
2
λ 1,
2
3. D 0 , корни уравнения α iβ ( i 1)
комплексные. Общее реше-
αx
ние однородного уравнения y e C
sin βx C2 cos βx
.
1
Пример 11.22. Проинтегрировать уравнение y 5y
6y
0 и найти
частное решение, если x , y 3, y
5.
0 0 0 0
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 5λ
6 0 .
Корни этого уравнения 2,
λ 3. Значит, общее решение этого уравнения
y C e
2x
1
C e
2
3x
λ1 2
. Найдем производную
y
2x
3x
2C1 e 3C2e
.
Для нахождения частного решения подставляем в функцию и производную
начальные условия, получаем систему уравнений
C1
C2
3
2C1
3C2
5.
Решая систему, получим C , C 1. Значит, частное решение
2x
3x
y 4e
e .
1 4 2
λ 2
167

Пример 11.23. Найти общее решение уравнения y 12y
36y
0.
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 12λ
36 0.
Уравнение имеет кратный корень λ λ 6 . Общее решение
6x
y e C C x .
1
2
λ 1 2
Пример 11.24. Проинтегрировать уравнение y 6y
10y
0 и найти
частное решение, если 0 2, 0 1
y y .
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 6λ10
0.
6 4
Здесь D 36 40 4
0. Корни этого уравнения λ 1 , 2
2
6 2 1
3
i . Значит, α 3,
β 1. Общее решение
2
3x
y e
3x
C1sin x C2 cosx.
Найдем производную y
3e
C1
sin x C2
cosx
3
e x
C1cos x C2
sin x .
Для нахождения частного решения подставляем в функцию и производную
начальные условия, получаем систему уравнений
откуда , C 2
1 7 2
C2
2
3C2
C
1
1,
3x
C . Значит, частное решение y e 7sin
x 2cosx
λ 2
λ 2
.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно применять
метод вариации произвольных постоянных. Для этого нужно решить систему
уравнений
C1
xy1x C2
xy2x
0,
C1
xy1
x
C2
xy2
x f x,
где y 1 , y 2 – линейно независимые частные решения однородного уравнения, относительно
C1 x, C2
x. Затем взять для каждой из полученных функций одну
первообразную C10 x, C20x. Тогда частное решение дифференциального урав-
C x y x C x y x , а общее решение, согласно
нения запишется
x 10 1 20 2
(11.18), запишется так:
C y x C y x C x y x C x y x .
y 1 1 2 2 10 1 20 2
e
Пример 11.25. Проинтегрировать уравнение y 4y
4y
.
3
x
Р е ш е н и е. Линейно независимые частные решения однородного уравнения
y 4y
4y
0:
y
1
2x
e ,
y
2
xe
2x
. Получаем систему
2x
168

x
2x
C1
e C2
2C1
1
C x
x
x
2x
0,
2x
xe
C
x1
2x
2
xe
e
2x
2x
e
x
Находим: C1 x ,
2 10 , C2 x , C
3 20 x
2
. Следовательно,
общее решение уравнения
y
e
2x
1
C1
C2x
.
2x
Если функция
1
x
2x
1
x
2x
3
.
1
2x
1 2x
1 2x
e xe
2
y C1e
C2xe
или
x 2x
f x
имеет специальный вид, т.е. является произведением
показательной функции и многочлена либо произведением показательной функции,
многочленов и тригонометрических функций, то существуют методы построения
частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными
коэффициентами.
вид
Если αx
f x P x e , то частное решение неоднородного уравнения имеет
n
n
xe
αx
x Q , (11.20)
когда α не является корнем характеристического уравнения;
или вид
n
xe
αx
x xQ , (11.21)
когда α – простой корень характеристического уравнения;
или вид
x
2
n
xe
αx
x Q , (11.22)
когда α – кратный корень характеристического уравнения, где
Q
n
x
A
2
n
0 A1
x A2
x
An
x – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.
αx
Если f x
e P
xsin
βx Q x
, то частное решение неоднородного
уравнения имеет вид
n
m
cos βx
αx
x
e Pxsin
βx Q x
~ ~
cos βx , (11.23)
l
когда α iβ не является корнем характеристического уравнения; или вид:
αx ~ ~
x
xe Pl
xsin
βx Ql
xcos
βx, (11.24)
~ ~
когда iβ
x x – много-
α – корень характеристического уравнения, где P l , Q l
член степени l maxn,
m
с неопределенными коэффициентами.
l
169

Если правая часть дифференциального уравнения является суммой двух
x f x f x , то частным решением уравнения является функция
функций f 1
2
x 1 x2x,
где 1x
и 2x
– частные решения уравнений y py
qy f1x
py
qy f x
соответственно.
y 2
и
Пример 11.26. Определить структуру частного решения дифференциального
уравнения
x
.
y 4y
3y
3xe
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 4λ
3 0 имеет корни
λ1 2
1
αx x
3, λ 1. Правая часть f x Pxe
3xe
; α 1
– простой корень характеристического
уравнения. В соответствии с формулой (11.21) частное решение
имеет вид x x 2
x
x xQ x e x Ax B e Ax Bx e .
1
Пример 11.27. Определить структуру частного решения дифференциального
уравнения y 9y
sin3x
xcos3x
.
корни
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 9 0 имеет комплексные
λ , 2
3i
. Правая часть f x
P0 xsin 3x
Q1
xcos3x
; множитель
1
λ 2
λ 2
αx
e равен
1, значит α 0 , β 3; число α iβ 3i
является корнем характеристического
уравнения. Согласно (11.24) частное решение имеет вид
~ ~
2
2
x x P x sin3x
Q x cos3x
Ax Bx sin3x
Cx Dx cos3
.
x
1 1
Пример 11.28. Проинтегрировать уравнение y 9y
18x
2 5.
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 9 0 имеет корни
3, λ 3. Значит, общее решение соответствующего однородного уравне-
λ1 2
ния
3x
1
3x
Y C e C e .
2
Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
часть является многочленом второй степени f x
P x
x 5
αx
λ 2
18 2
2
; множитель
e равен 1, значит α 0 – не является корнем характеристического уравнения.
В соответствии с формулой (11.20) частное решение имеет вид
2
x
Q2
x
Ax Bx C . Подставляя выражения для x, x 2Ax
B
2
2
x
2A
в данное уравнение, получаем: 2A
9Ax
Bx C18x
5
2
2
,
, или
9Ax 9Bx
2A
9C
18x
5.
Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее равенство
должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Поэтому коэффициенты
при одинаковых степенях x, стоящие в разных частях, равны между
170

собой:
9A
18
9B
0
2A
9C
5.
Из полученной системы уравнений находим, что
A 2,
B 0, C 1, поэтому x 2x
2 1
– частное решение неоднородного
уравнения.
Значит, общее решение неоднородного уравнения
y C e
3x
3 x
2 2
1 C2e
x
1.
Пример 11.29. Проинтегрировать уравнение
y
2x
.
2y
2y
6e
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 2λ 2 0 имеет комплексные
корни λ1 1
i,
λ2
1
i . Значит, общее решение соответствующего од-
x
нородного уравнения Y e C
cosx
C2 sin x
.
1
Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
x
2x
часть имеет вид
f
x
0 6
e
P x e , значит α 2 – не является корнем характеристического
уравнения.
В соответствии с формулой (11.20) частное решение имеет вид
2x
2x
2x
x
e Q0
x
Ae . Подставляя выражения для x, x 2Ae
2x
2x
2x
2x
2x
x 4Ae
в данное уравнение, получаем: 4Ae
4Ae
2Ae
6e
2x
2x
2Ae
6e
.
Так как
λ 2
,
, т.е.
2x
A . Поэтому
x
– решение дифференциального уравнения, то последнее равенство
должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Следовательно,
3
x 3e
– частное решение неоднородного уравнения, а
x
2x
общее решение
y e C cosx
C sin x e .
1 2 3
Пример 11.30. Проинтегрировать уравнение
y 4y
4y
16sin 2x
24cos2x
.
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 4λ 4 0 имеет кратный
корень λ λ 2. Значит, общее решение соответствующего однородного
λ 1 2
2x
уравнения Y e C
C x
.
1
2
Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
f x P0 x sin x Q0
x cosx
16sin 2x
24cos2
, множитель
часть имеет вид x
x
e равен 1, значит, α 0 , 2, число i
2i
не является корнем характеристического
уравнения.
В соответствии с формулой (11.22) частное решение имеет вид
~ ~
x P x sin 2x
Q x cos2x
Asin 2x
Bcos2
. Подставляя выражения для
x
0 0
λ 2
171

x, x 2Acos2x
2Bsin
2x
, x 4Asin 2x
4Bcos2x
в данное уравнение,
получаем:
4Asin 2x
4Bcos2x
8Acos2x
8Bsin 2x
4Asin 2x
4Bcos2x
16sin
2x
24cos2x , т.е. 8Acos2x
8Bsin 2x
16sin 2x
24cos2x.
Так как
x
– решение дифференциального уравнения, то последнее равенство
должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Следовательно,
8A 24, 8B
16. Значит, A 3,
B 2
. Поэтому x
3sin 2x
2cos2x – частное решение неоднородного уравнения, а общее решение
2x
C
C x
3sin 2x
2cos2x
y e
.
x
1
2
Пример 11.31. Проинтегрировать уравнение
y
7 y
12y
8xe
12e . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y 0 0, y 0 .
2
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 7λ 12
0 имеет различные
корни 3, λ 4. Значит, общее решение соответствующего однородного
λ1 2
3x
1
4x
уравнения Y C e C e .
2
Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
часть является суммой двух функций
f
x
3x
x e
x
x
Px
xe , f x e P x 12e
1 1 8
λ 2
.
2 0
x
3x
Рассмотрим первую функцию f x e Px
xe
1 1 8
3x
, α 3 является простым
корнем характеристического уравнения.
В соответствии с формулой (11.21) частное решение уравнения
y
3x
3x
3x
2
7y
12y
8xe
имеет вид 1x
xe Q1
x
e Ax
Bx
. Подставляя вы-
3x
2
3x
2
ражения для 1x, 1 x e 3Ax
3B
2Ax
B , 1 x e 9Ax
3
9B 12Ax
6B
2A
в данное уравнение, получаем: e x 2
9
Ax 9B
12Ax
3x
2
3x
2
3 3
6B
2A
7e
3Ax
3B
2Ax
B 12e
Ax Bx 8xe
, e x ( 2Ax
B
3x
x
2A)
8xe
. Значит, 2A 8, B 2A
0 , т.е. A 4, B 8. Следовательно,
3x
2
3x
2
x
e
4x
8x 4e
x
2x
.
1
x
x
Рассмотрим вторую функцию f x e P x 12e
2 0
, α 1
– не является
корнем характеристического уравнения.
В соответствии с формулой (11.20) частное решение уравнения
x
x
x
7y
12y
e имеет вид: 2x e Q0
x
Ae
y 12
x
x
x, x Ae , x Ae
2
x
x
2
Ae 7Ae
12Ae
12e
,
x
x
. Подставляя выражения для
2
в данное уравнение, получаем:
x
x
6Ae 12e .Значит, 6A 12, т.е. A 2 . Следователь-
172

но,
x
x 2e
2
. Частное решение исходного уравнения равно сумме двух найден-
3x
2
x
ных, т.е.
x
x
x 4e
x 2x
2e
.
1 2
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения
3x
4x
3
1 C2e
4e
x 2x
x 2
x
y C e
2e
.
Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
заданным начальным условиям, т.е. значения постоянных C 1 и C 2:
0 0
y : C C 2 0.
1 2
2
3x
x
x
2x
4e
2x
2 e
y 3C e
2 ,
0 2
3x
4x
3x
1 4C2e
12e
3C 1 4C2
6 .
y : 2
Получилась система
C1
C2
2
, из которой C 1 16, 2 14
3C
1 4C2
8
C .
3x
4x
3x
2
x
Следовательно, частное решение
y 16e
14e
4e
x 2x
2e
.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.138 – 11.167 найти общие решения однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
11.138. y 4y
3y
0. 11.139. y 2y
8y
0.
11.140. y 3y
2y
0 . 11.141. y 16y
0.
11.142. y y
90y
0. 11.143. y 4y
21y
0.
11.144. y 12y
35y
0. 11.145. y 13y
36y
0 .
11.146. y 2y
y 0. 11.147. y 8y
16y
0.
11.148. y 6y
25y
0. 11.149. y 9y
0 .
11.150. 16y y 0 . 11.151. y 4y
20y
0.
11.152. y 4y
13y
0. 11.153. y 4y
0.
11.154. y 20y
100y
0. 11.155. 16y 8y
y 0.
11.156. y 6y
9y
0 . 11.157. 25y 10y
y 0.
11.158. y 14y
49y
0 . 11.159. 49y 14y
y 0.
11.160. y 4y
4y
0. 11.161. y y
y 0.
11.162. y 3y
0. 11.163. y 4y
0.
11.164. y 7y
10y
0 . 11.165. y y
2y
0.
11.166. y 2y
17y
0. 11.167. y 6y
10y
0.
В задачах 11.168 – 11.178 проинтегрировать уравнения методом вариации
произвольных постоянных.
173

11.168.
x
e
y y . 11.169.
x
e 1
2x
174
1
y 4y
.
cos2x
e
2x
x
11.170. y 4y
4y
. 11.171. y y
e cose
.
3
x
2x
e
11.172. y y tg x. 11.173. y 4y
5y
.
cosx
x
2
11.174. y
2y
y 3e
x 1. 11.175. y y .
2
sin x
x 1
11.176. y 2y
y xe .
x
xe
2
x 2x
2
1
11.177. y 2y
y . 11.178. y y 4 x .
3
x
x x
В задачах 11.179 – 11.192 записать структуру частного решения неоднородного
уравнения.
11.179. 3y 10y
3y
2cos3x
sin 3x
. 11.180. y 4y
3cos4x
.
11.181. 5y 9y
2y
x
2x
. 11.182. y y
y e
cosx
.
11.183. y 49y
x
4x
. 11.184. y 3y
2x
5x.
2y 7y
3y
2x
1
e . 11.186.
3x
11.185.
11.187. y 4y
5y
xcos2x
sin 2x
. 11.188. y
11.189.
2 x
.
5y
6y
y x
e
4x
.
8y
16y
2xe
x
4y
4y
sin 2x
e . 11.190. y 2y
2y
xe
x sin x
y 2
11.191. y 36y
2xsin 6x
cos6x
. 11.192.
.
x
.
y 3y
2y
x 7e
В задачах 11.193 – 11.218 найти общие решения неоднородных уравнений.
11.193. y 2y
8y
16x. 11.194. y 4y
12x
.
11.195. y 3y
4y
8x
2 1. 11.196. y
11.197. y 2y
10y
10x
2 6x
. 11.198.
3
y
4x .
x
y y
2 y 4e
.
2x
11.199. y 9y
14y
5e
.
x
11.200. y 5y
4y
6e
.
x
x
11.201. y 4y
4y
18e
. 11.202. y 2 y
y 4e
.
2x
2x
2
11.203. y 4y
3y
3xe
. 11.204. y
y
6y
e 15x
4x
3.
11.205. y 2y
2y
5sin
x . 11.206. y 5y
6y
2cosx
.
11.207. y 2y
8y
17sin
x 34cosx
. 11.208. y 6y
25y
39sin 2x
.
11.209. y 2y
10y
13sin
2x. 11.210. y 6y
9y
36cos3x
.
11.211. y y 2sin
x 4xcosx
. 11.212. y 9y
2sin3x
12xcos3x
.
x
11.213. y 2y
5y
10e
cos2x
. 11.214. y 2y
2y
4xe
x sin x .
2x
2
11.215. y
6y
8y
24e
16x
2 . 11.216. y
2 3x
y
3x
12e
.
x
11.217. y y 2e
4cosx. 11.218. y y 2sin
x 9cos2x
.

В задачах 11.219 – 11.227 найти решения, удовлетворяющие начальным
условиям.
11.219. y y x, yπ
21,
yπ
2
0.
2x
11.220. y 4y
4y
6e
, y0 0, y 0 0
2
y
.
11.221. 3y
2y
2x
2x
4, y0 3, y 0 4
y
.
11.222. 2y
y 9sin 2x
12cos2x,
y0 2,
y 0 0
3 2
y
.
11.223. 14y
53y
53x
42x
59x
14,
y0 0, y 0 7
2x
11.224. y y e sin x,
y0 0, y 0 1
11.225. y 6y
25y
32x
12sin3x
36x
12cos3x
, y 0 4 , 0 0
2 3x
11.226. y 3y
2y
2x
e , y0 0, y 0 0
x
11.227. y 2y
5y
8e
sin 2x,
y0 2, y 0 6
11.6. Контрольные задания к главе 11
1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
x3y
tg y tg x
1. xe dy xdx . 2. dx dy 0 .
2 2
cos x cos y
3.
2
2 x
y 1
y . 4.
y
3
2
5.
.
.
.
2x
e
y .
ln y
xy x y y
1
y . 6. y y y
2 0 .
7. y y cos2x
y
cos2x
y
cos 3 . 8. x x
y y y
0
2
9. y xy
x y
.
3 2 2 2
xy .
2
2
1
.
1 . 10. x y
y 1
x xy
11. x 4dy
xydx 0. 12. ln xdx y
1xdy
0
13. 2y
y
2 0
2
y .
y .
y . 14. xy dy
ydx y dx 0
2
15. y xy
3 1
x y.
2. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения.
2
2
x .
1. 1y
4xy
3, y0 0
1
y
.
cosx
x . 2. y tg x , y0 0
x
x
.
3. 1 x y y
e , y0 0. 4. y y ln x 1,
y1
0
2
x
5. xy
y xe 0, y1
1
2e
. 6. xy
y e , y1
0
7. x y 1ln
x 2y,
ye 0. 8. xy x
1y
3x
e , y1
0
x
2
x
2
.
.
175

3
2
9. x 1y
y x x , y0 0. 10. y 2y
x 0, y1
0
11. 1y
xy x x,
y 21
176
2
x
.
2
x
2
3
2y
e
x
. 12. y
, y1
2
y
.
13. ctgx
y 2cos xctgx,
y0 0
4
14. x
2ydx,
y1
0
x
x
1
.
2e
3 2
x
.
xdy . 15. y x y x 1
0, y1
0
3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
x . 2. y x
2 y
xyy
1. ydx
x
ydy
0
2
2
2 .
3. y 2xydx
x dy 0. 4. y
xy dx
xdy
x y
ln . 6.
x
5. xy y x
y
.
y y
y 4 .
x x
.
2 2
2
2
7. x y dx
2xydy
0. 8. x
2xyy
xy y
y
9. y
yln
1
0
x
x . 10. 2ydx
xdy 0
2 2
11. xy y x xyy
13.
y
x
x .
3
2 2
2 . 12. 2x
y y2x
y
1
2
.
y 0
sin y
x
. 14. y ydx x dy 0
2
2
15. 2
2y
9x
dx
x
4xydy
0
xy .
2
x .
4. Найти частное решение дифференциального уравнения.
y 5y
6y
72x,
y 0 2, y
0 .
y 6y
13y
26x
1,
y 0 0, y
0 .
2y y
1
2x,
y 0 7, y
0 .
y 4y
2 8x,
y 0 5,5, y
0 .
y y cos2x,
y 0 0,2,
y
0 .
1. 0
2. 1
3. 0
4. 6
5. 2
2
y
.
6. 2y
5y
5x
4x
2, y0 0, y 0 2
x
2
7. y 2y
e x
x 3 ,
y0 2, y 0 2
2x
.
y
.
8. y 3y
2y
e
, y0 1,
y 0 0
9. y cos3x,
yπ
2
4, y π
2
3
8
2x
10. y y e , y0 1,
y 0 2
x
.
y
.
y 2y
2y
2x,
y 0 0, y
0 .
11. y 4y
3xe
, y0 0, y 0 3
12. 4y
sin x,
y0 0, y 0 4 3
13. 0
5x
14. y 4y
3y
8e
, y0 0, y 0 0
2
y
.
15. 6y
8y
8x
4x
12,
y0 0, y 0 1
.
.
.
2

Раздел VI
РЯДЫ
Глава 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
12.1. Числовой ряд и его сходимость
Пусть задана последовательность чисел a a , a , ,
a , .
Выражение
1, 2 3 n
a 1 a2
a3
a n a n
(12.1)
n1
называется числовым рядом. Числа a a , , называются членами ряда. a
первый член,
1, 2 a3
a второй член, a третий член и т.д. Член a n ряда, стоящий
2
3
на n-ом месте, называется n-ым членом или общим членом ряда. Ряд (12.1) считается
заданным, если известен его общий член.
Пример 12.1. Написать четыре первых члена ряда, если задан его общий
n1
( 1)
член an
.
2n
3
( 1)
1
Р е ш е н и е. Если n 1, то a 1 . Если n 2
2 1
3 5
21
11
, то
( 1)
1
( 1)
1
a 2 . Если n 3, то a 3 . Если n 4, то
2
2 3 7
2 3
3 9
41
( 1)
1
1 1 1 1 ( 1)
a 4 . Следовательно,
.
2
4 3 11
5 7 9 11 n1
2n
3
Если задан ряд (12.1), то можно составить последовательность сумм
S a S a a ; S a a a ; ;
S a a a
a ; ,
1 1; 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 3 n
которые называются частичными или частными суммами ряда. Сумма первых
n членов ряда
Sn a1 a2
a n
(12.2)
называется n-ой частичной суммой.
Если последовательность частичных сумм S имеет конечный предел S,
S n
n
n1
т.е. lim S , то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда
и пишут a S,
в противном случае ряд называется расходящимся.
n
31
n
n1
1
177

Разность r n между его суммой S и частичной суммой S n
r S
(12.3)
n S n
называют остатком ряда (12.1) после n-го члена или n-ым остатком ряда. Подробнее,
S a a
a a a
a . Тогда
1 2 n n1
n2
nk
r
n
a
a
a
a
1 2 3
n
n
n
nk
m
mn1
Теорема. Для того, чтобы ряд (12.1) сходился, необходимо и достаточно,
чтобы
lim r 0.
(12.4)
n
n
Свойства сходящихся рядов
1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного
числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.
2. Если ряд
n1
n1
a сходится и его сумма равна S, то будет сходиться также
n
и ряд ca , где с – любое действительное число, а его сумма будет равна сS.
n
3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, причем
сумма вновь образованного ряда равна сумме или разности исходных рядов, т.е.
если
n1
a
n
S
n1
и b S ,
n
0
n1
то a
b S S .
n
n
Пример 12.2. Исследуем вопрос о сходимости ряда по определению
1 1 1 1
.
1
2 23
3
4 n(
n 1)
Р е ш е н и е. Составим частичную сумму
1 1 1 1
S n .
1
2 23
3
4 n(
n 1)
1 1 1
Преобразуем общий член ряда , тогда
n(
n 1)
n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ,...;
1
2 1 2 2 3
2 3 3
4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1
S n 1
1
;
2 2 3 3 4 n n 1
n
0
a
.
lim S
n
n
1 lim 1
1.
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1.
n n
178

Пример 12.3. Изучим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов
геометрической прогрессии. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
со знаменателем q и первым членом a a 0,
вида
a
1
a q a q
1
1
2
1, 1
n1
n1
a1q
a1q
, (12.5)
в дальнейшем для простоты будем называть рядом геометрической прогрессии.
a1 a1q
Р е ш е н и е. Частичная сумма ряда Sn
, a1
0, q 1.
1
q
Рассмотрим 4 случая.
1. Пусть q 1,
тогда
n
n
a1
q a1
lim q 0 и lim Sn
lim a1
,
n
n n
1 q 1 q
1
q
a1
т.е. ряд сходится и его сумма S .
1
q
n
2. Пусть q 1,
тогда q при n и, следовательно, S .
Поэтому
ряд расходится и суммы не имеет.
3. Пусть q 1,
тогда ряд принимает вид a a a
a . Тогда
n1
S n na 1 , при n S .
Значит, ряд расходится.
n
n
1 1 1 1
4. Пусть q 1,
тогда ряд принимает вид a a a
n 1
a
1 1 1 a1
( 1)
1 . Его частичные суммы попеременно будут равны то 0, то а 1 , в
зависимости от того, будет ли n четным или нечетным числом. Очевидно, что
при n частичные суммы S n не стремятся ни к какому пределу. Ряд расходится.
Таким образом, ряд геометрической прогрессии
a1
, если 1
1
q
a
1
1q
n q
.
(12.6)
n1
расходится,
если q 1
n
Гармонический ряд
Ряд вида
n1
1
1
n
1
2
1 1
,
3 n
называется гармоническим. Можно строго доказать, что он расходится.
(12.7)
179

Обобщенный гармонический ряд, или ряд, Дирихле –
это ряд вида
1
,
(12.8)
n1
n
где – любое действительное число.
Ряд
1 cхходитс , если 1
.
1
(12.9)
n
n расходится, если 1
т.е.
Например, если 1это гармонический ряд, который расходится.
1
Если 1,
то получаем расходящийся ряд 2
1
1 1 1 1
1
2 3
.
1
n1
2
n1
n
n
n
Если α равно, например 2, то получаем сходящийся ряд
n1
1 1
1
2
n 2
1
2
3
1
n
2 2
,
так как 2 1
.
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то его общий член a n стремится к нулю при n ,
lim a 0.
(12.10)
n
n
Необходимый признак сходимости не является достаточным. Выполнение
условия (12.10) еще не означает сходимость ряда. Так, например, для расходящегося
гармонического ряда 1
n1
n условие lim a 0
n
n выполняется. Действительно,
a n , поэтому lim 0.
n
n
n
1
1
Однако если условие lim a 0 нарушается, то ряд расходится.
n
n
Следствие. (Достаточный признак расходимости ряда).
Если общий член ряда a n не стремится к нулю при n ,
т.е.
lim a 0,
(12.11)
то ряд расходится.
n
n
180

lim a
n
n
Например, для ряда 3n
7
3n 7
его общий член a n , при n
n1 2n
14
2 n 14
3n
7 3
lim 0. Значит, ряд расходится.
n
2n
14
2
8 27 64
Пример 12.4. Исследовать сходимость ряда 1 ... .
4 7 10
Р е ш е н и е. Обозначим общий член ряда U . Определим формулу общего
члена ряда. Рассмотрим последовательности числителей. Числители дробей,
членов ряда, можно представить в виде 1 , 2 , 3 , 4 ,... и т.д., т.е. показатель
степени каждого члена равен трем, а основание степени совпадает с номером
этого члена. Тогда общий член последовательности числителей b n n . Знаменатели
дробей 1 ,4,7, 10, ... образуют арифметическую прогрессию с первым
членом a 1 и разностью d 3 , поэтому общий член арифметической про-
1
грессии a a d( n 1)
1
3( n 1)
1
3n
3 3n
2
Общий член ряда
n n
.
3
181
3
3
n
3
3
bn
n
n
Un . Найдем lim Un
lim . Необхо-
a 3n
2
n
n
3n
2
димый признак не выполняется. Ряд расходится.
n
Пример 12.5. Исследовать сходимость ряда
1
1
n1
n
Р е ш е н и е. Общий член ряда
e 0 . Необходимый признак не выполняется. Ряд расхо-
1
lim an
lim 1
n
n n
дится.
n
a
n
n
1 1 . Вычислим
n
Пример 12.6. Исследовать сходимость ряда
n
Р е ш е н и е. Общий член ряда
a n
ln( n 2)
.
2ln n 1
n
.
3
ln( n 2)
.
2ln n
2 1
ln( n 2)
Вычислим lim an
lim
n
n 2ln n 1
. Для вычисления предела отношения
двух бесконечно больших функций натурального аргумента правило Лопиталя
непосредственно применить нельзя, так как для таких функций не определено
понятие производной. Чтобы вычислить предел a n такого выражения, обозначим
его f (n)
и заменим более общим выражением f ( x)
, x .
2ln x 1
ln( x 2)
3

Здесь дискретный аргумент п заменен непрерывным аргументом х. Доказано,
что если существует lim f ( x)
конечный или бесконечный x , то lim f ( n)
x
n
тоже существует и равен lim f ( x)
, поэтому вычислим lim ln( x 2)
x
x
2ln x 1
1
(ln( x 2))
lim
x
x (2ln x 1)
x
2 2 x 1 x
1 1
lim lim
x 2( x 2 ) lim 1
. Тогда
2 x
( x 2) 2 2
x
1
lim a 0
x
n . Необходимый признак не выполняется. Ряд расходится.
2
Задачи для самостоятельного решения
12.1. Дан общий член ряда. Написать первые четыре члена ряда.
n1
2n 1
( 1)
2
а) a n ; б) an
.
n 3
n!
1 1 1
1
12.2. Найти сумму ряда
.
13
35
57
(2n
1)(2n
1)
Доказать сходимость следующих рядов и найти их сумму.
n1
1 1 1 1
1
12.3.
.
3 6 12 3
2
3 4
12.5. .
n
6
n1
n
n
n
1 1 1
12.4. 1
.
2 3
5 5 5
1
12.6. .
2n 3
12.7. 1 1 1
1
15
59
913
(4n
3)(4n
1)
.
n0
Исследовать сходимость ряда, используя следствие из необходимого признака
сходимости.
2n
7
12.8. .
n 1
n1
5
12.9.
1
.
n1
n
n
n 4
12.10. .
5n
3
n1
12.11. n
.
n13n
5
2n
1
12.12. .
2
n 5
n1
2
n 2
12.13. .
5n
5
n1
1
n
12.14. .
2
2n
3n
n1
2
182

12.2. Исследование сходимости рядов с положительными членами.
Признаки сравнения
Ряд
a1 a2
a3
an
(12.12)
называется положительным, если все его члены положительны, т.е. a 0, и
неотрицательным, если a 0 .
Первый признак сравнения
n
n
a , 0 и b , 0 , причем
Пусть даны два неотрицательных ряда
n
a b для всех n. Тогда:
n
n
1
n a n
n1
n b n
1) если сходится ряд b n , то сходится и ряд a
n1
n1
2) если расходится ряд a n , то расходится и ряд b n .
n1
n1
Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме).
Если a n и b n a n 0,
bn
0
ряды с положительными членами и существует
конечный и отличный от нуля предел
n1
n1
an
lim l ( l 0, l ),
n
b
то ряды
n1
a n и
n1
n
n
b сходятся или расходятся одновременно.
Пример 12.7. Исследовать сходимость ряда 1
.
n
n1 5 2
1 1 1 1
Р е ш е н и е. Запишем ряд в виде ... . Сравним
n
7 27 127 5 2
члены данного ряда с членами ряда 1
, который запишем в виде
n
15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ; , , , ..., . Но ряд
n n n
5 25 125 5 7 5 27 25 127 125 5 2 5
1
сходится, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
n
n15
знаменател 1
ь q 1
5
. Следовательно, исходный ряд 1
15
по первому
n
n 2
признаку сравнения тоже сходится.
183
n
n
;

Пример 12.8. Исследовать сходимость ряда 1
.
n1 4n
3
1 1 1 1 1
Р е ш е н и е. Запишем ряд в виде 1
... и сравним
его с гармоническим рядом 1
... ... 11,
,
5 9 13 17 4n
3
1 1 1 1 1
1 1
2 3 4 5 n
2 5
1 1 1 1 1 1 1 1
, , ,
..., , ... . Гармонический ряд расходится, поэтому
расходится и данный ряд по первому признаку сравнения.
3 9 4 13 5 17 n 4n
3
Пример 12.9. Исследовать сходимость ряда 3n
1
.
2
n1
n
3n
1
Р е ш е н и е. Общий член ряда a n . Для больших п общий член
2
n
3n 1
3n
3
ряда . Поэтому сравним данный ряд с гармоническим рядом
2 2
n n n
1
n1
n , применив второй признак сравнения. Итак, 3n
1
1
a n , b
2
n .
n
n
an
3n
1
1 (3n
1)
n 3n
1
lim lim : lim lim 3
2
x
2
b x n n x
n x
n
n
0. Мы сравнивали исходный
ряд с расходящимся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд
расходится.
Пример 12.10. Исследовать сходимость ряда n
.
3
n1
2 n
n
Р е ш е н и е. a n . Для сравнения возьмем обобщенный гармонический
ряд 1
3
2 n
, который сходится при 1
n1
n и расходится при 1 . Для
сходится, как обобщенный гармо-
n n 1
больших п a n . Ряд
3 3 2
2 n n n
n1
n
1
нический ряд при 2 1. Положим b n
2
1
2
n
. Применяя второй признак сравнения,
вычислим предел lim an
n 1 n
lim : lim 1
0
3 2
.
x
b x
2 n n x
2 n
3
n
Мы сравнивали данный ряд со сходящимся рядом. По второму признаку
сравнения данный ряд сходится.
3
184

a n
Пример 12.11. Исследовать сходимость ряда 5 2
.
n
n1 3
Р е ш е н и е. Применим второй признак сравнения. В этом примере
5 2
n
3
n
ряд с рядом
. Для больших п
2
n1 3
n
an
5 2
n
3
n
2
3
n
n
2
3
n
n
. Поэтому сравним данный
. Это ряд геометрической прогрессии со знаменателем
n
2 2
q 1 и, значит, сходится. Обозначим п-й член этого ряда bn
. Тогда
3
3
n n
n n
n
a 5 2 2
n
(5 2 )3 5 2 5
lim lim
: lim lim lim 1
1
0
3 3
.
x
x
n n
x
n n
3 2 x
n
2 x
n
bn
2
Мы сравнивали исходный ряд со сходящимся рядом. Поэтому исходный
ряд по второму признаку сравнения сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать сходимость ряда с помощью признаков сравнения.
1
12.15. .
n 5
n1
3n
12.19. .
4
n 1
n1
2
3
12.16. .
2n
4
n1
1
12.20. .
3
n n 2
n1
5
12.17. .
2n
3 5
n1
2n
12.21. .
2
n 4
n1
n
1
12.18. .
3n
5
n1
1
12.22. .
ln ( n 2)
n1
12.3. Признак сходимости Даламбера и Коши.
Интегральный признак сходимости
Признак Даламбера
n1
Если для положительного ряда a , a 0 существует
n
n
an
lim 1 l ,
n
a
n
то при l 1
ряд сходится, при l 1
– расходится. В случае l 1
признак вопрос
о сходимости ряда не решает. В этом случае следует применять другие признаки.
185

2
Пример 12.12. Исследовать сходимость ряда .
n!
Р е ш е н и е. Символ n! означает произведение натуральных чисел от 1 до
n включительно, т.е. n! 1
23n.
Считается, что 0!
1;
1!
1; 2! 1
2;
n1
n1
n
2 1
3!
1
23
и т.д. Применим признак Даламбера: an
,
n!
an 1
и, следо-
n 1!
вательно,
n
2 2
an 1
n!
2
an
2
. Тогда lim 1 lim 0 1.
n
a ( n 1)!2
n 1
n
a n
n 1
Даламбера ряд сходится.
a
n
Пример 12.13. Исследовать сходимость ряда n
1 n!
n
n
n
n
2 2
n
Р е ш е н и е. Применяя признак Даламбера, получаем an ,
n!
n1
n1
n
n
n
( n 1)
an1
( n 1)
n!
( n 1)
n 1
1
n1 ,
n n 1
.
( n 1) ! an
( n 1) ! n n n n
n
n
an
1
lim 1
lim 1
e 1.
Ряд расходится.
n
a n n
n 1
Р е ш е н и е. Исследуя по признаку Даламбера ряд , получа-
2n
5
ем:
a
n
lim
n
n
n
Пример 12.14. Исследовать сходимость ряда
n
n 1
2n
1 5
По признаку
по признаку Даламбера.
n
, a
2n
5
2
1
1 n 2 an1
n1
, lim
2n
7 n
an
lim
n
2
2n
5 1
lim n lim
2n
7 n1
1 n
n
lim
n
( n 2) 2n
5
2n
7 ( n 1)
2 5
n 111
2 7
n
.
n1
lim
n
.
n
( n
( n
2)
1)
2n
5
2n
7
Предел l 1,
признак Даламбера вопрос о сходимости этого ряда не решает. Но
в данном случае ряд расходится, так как нарушается необходимый признак
n 1
сходимости ряда, lim an
lim и не равен нулю.
n
n
2n
5
186

a
n 1
Пример 12.15. Исследовать сходимость ряда 7
n1 3n
2
7
Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера. Так как an
,
3n
2
n
7 1
, то
3n
5
lim
x
7 3n
2
lim 7 lim
x
3n
5 x
7 1
7 1. По признаку Даламбера
ряд расходится.
a
a
a
n 1
n
3n
3n
lim
x
2
7 lim
5 x
n1
7
:
3n
5
3 2
n
3 5
n
187
n
7
lim
3n
2 x
n
n1
7
7
n
.
3n
2
3n
5
Пример 12.16. Исследовать сходимость ряда n
.
1 (2n)!
Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера.
n
n1
n1
n n1
.
= lim
x
n
, a
(2n)!
n1
( n 1)
( n 1)
(2( n 1))!
(2n
2)!
n
lim
x
an
1
=
a
lim
x
n
n
n
( n 1)
(2n
( n 1)
(2n)!
n (2n
2)!
n 1
( n 1)1
2...
2n
lim
n
x
n 1
2...
2n(2n
1)(2n
2 )
n1
:
2)!
n
n
n
=
(2n)!
n
1 1
= lim
1
0 1
. По признаку Даламбера ряд сходится.
(2 1)2
x
n n
Признак Коши
Если для ряда с неотрицательными членами a , a 0 существует предел
lim n a l,
n
n
то при 1
n1
l ряд сходится, при l 1
ряд расходится.
При l 1,
как и в случае признака Даламбера, вопрос о сходимости остается
нерешенным.
На практике признак Коши удобно применять, когда извлекается корень
n-ой степени из общего члена a n ряда.
Коши.
Пример 12.17. Исследуем сходимость ряда
Р е ш е н и е. Имеем
a
n
2
n
n
n
n
2
,
lim
n
n
2
n
n
n1
n
n
n
n
nn2
2
n
n
2
по признаку
n 2 2
lim 2
2 lim 1
21
2 1.
Ряд расходится по признаку Коши.
n
n n
n

Пример 12.18. Исследовать сходимость ряда 5
n
n1
n .
Р е ш е н и е. Общий член ряда
признак Коши, так как
n
a
n
n
a
n
5
n
5
lim 0 1.
Следовательно, ряд сходится.
n
n
n
n
n
5
n
n
. Здесь удобно применить
5 5
5
n
. Тогда lim n a n
n lim
n n
n
n
n
n
lim
n
n
Пример 12.19. Исследовать сходимость ряда
n1
n n
arctg .
Р е ш е н и е. Применим признак Коши. Общий член ряда an arctg n .
n n
an
lim arctg n lim arctg n 1.
По признаку Коши ряд расходится.
n
n
2
n
Интегральный признак сходимости Коши–Маклорена
Пусть члены ряда an
положительны и убывают, т.е. a 1 a2
a3
n1
a , и пусть f (x)
непрерывная, положительная убывающая функция,
n
определенная для x 1
и такая, что f 1) a , f (2) a , ,
f ( n)
a , ,
тогда
1
( 1 2
n
f ( x)
dx и ряд a n сходятся или расходятся одновременно.
n1
Пример 12.20. Исследуем вопрос о сходимости ряда 1
R
n
n
, .
1
Р е ш е н и е. Применим интегральный признак сходимости, тогда
1
f ( x)
. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим
x
B
dx
несобственный интеграл lim
dx
.
x B
x
1. Если 1,
то
1
1
188
1
, если 1;
1
,
если 1.
B
1
dx dx x B 1 1
lim lim lim B 1
1
1
1 x B
1 x B B 1
2. Если 1,
то lim lim ln x lim ln
B ln1 .
1
dx
x
B
B
1
dx
x
B
B
1
B

Ряд расходится. Тогда несобственный интеграл
dx сходится , если 1;
расходится , если 1.
1 x
Поэтому и ряд, который является рядом Дирихле или обобщенным гармоническим
1 сходится , если 1;
n 1 n расходится , если 1
.
Пример 12.21. Исследуем сходимость ряда
n
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию
f
1
1
( n 1)ln
1
x)
( x 1)ln
(
2
2
.
( n 1)
. Она удовле-
( x 1)
творяет условиям интегрального признака сходимости, поэтому, применяя признак,
рассмотрим несобственный интеграл
1
dx
dx
lim
lim
2
2
( x 1)ln
( x 1)
B
1 ( x 1)ln
( x 1)
B
1
1
B
lim
ln( x 1)
1
B
1
lim
ln( B 1)
B
B
1
ln 2
B
1
.
ln 2
Несобственный интеграл сходится. Значит, сходится и ряд.
d(ln(
x 1))
2
ln ( x 1)
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера.
1
12.23. .
n
n4
n1
1
12.24. .
n
n 3
n1
2
12.25. .
n 1
n1
n
5
12.26. .
n!
n1
n
12.27. n
.
n1(
n 1)!
2
n!
12.28. .
n
n
n1
n
12.29. .
n 1 ( n 1)!
n1
n
3
12.30. .
n 2
n1
n
Исследовать сходимость ряда по признаку Коши.
12.31. n
.
n1
2n
1
n
2
n
1
12.32.
1
.
n1
n
1
12.33. .
ln
n ( n 1)
n1
189

1
12.34. n
1 1
arctg . 12.35.
1 .
n
n1
n
n1
7 n
2
3 4
12.37. n
.
1
1
n n
2
12.40. 2
.
n
n1
3
1
n
n
n
1
12.38. n
.
n1
3n
3
12.41. 2
.
n
n1
2
1
n
n
n
n
2
2
1
12.36. n
.
2
1
3 1
n n n
2
12.39. .
n
( n 1)
n1
3 1
12.42. n
.
n1
5n
2
Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака.
1
1
12.43. .
12.44. .
3
( n 2)ln ( n 2)
( n 1)ln
( n 1)
n1
n
12.45. .
n 4
2
n1 3
n1
12.46. n
2
.
n
n1
e
12.4. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница
Будем рассматривать ряды с членами произвольных знаков. Ряд
1 n
u n
(12.13)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин
его членов, т.е. ряд
1 n
u n . (12.14)
Теорема. Из сходимости ряда из абсолютных величин (12.14) следует
сходимость исходного ряда (12.13).
Ряд
n1
u n называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то
время как ряд, составленный из абсолютных величин его членов (12.14), расходится.
на абсо-
Пример 12.22. Исследовать ряд
n
лютную и условную сходимость.
1
( 1)
2
n
n1
1
1
2
2
1
2
3
1
2
4
n
...
n
n
190

Р е ш е н и е. Ряд
n
1
( 1)
2
n
n1
1
1
2
2
191
1
2
3
1
2
4
так как соответствующий ряд из модулей его членов
Дирихле, при 2 1
является сходящимся.
... сходится абсолютно,
n1
( 1)
2
n
n1
n1
1
n
2
– ряд
n 1
1 2 3 4
u n
Назовем знакочередующимся ряд вида u u u u ...
( 1)
...,
где u 0 , т.е. ряд, в котором члены попеременно меняют знак. Например, ряд
n
1 1 1
n
1
... ( 1)
2 3 4
1
1
...
n
знакочередующийся.
Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда
n1
1 2 3 4
n
n
1 u2
u3
u4
... u n 1
un
u u u u ...(
1)
u ...,
u 0 (12.15)
убывают по абсолютной величине u ... и
n
n
lim u 0 , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит первого
члена, т.е. S u1
.
Пример 12.23. Исследовать сходимость ряда
1
1
2
1
3
1 ( 1)
...
4 n
n1
...
=
n1
( 1)
n
n1
1 1 1 ( 1)
Р е ш е н и е. Ряд 1
... ...
2 3 4 n
.
n1
=
n1
( 1)
n
n1
сходится в
1 1 1
1
силу признака Лейбница, так как 1) 1 ... ; 2) lim 0.
2 3 4
n
n
В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов
n1
n1
( 1)
n
( 1)
2
n
n1
n1
n1
1
, является гармоническим, т.е. расходящимся. Значит, ряд
n
сходится условно.
Заметим, что знакочередующиеся ряды, удовлетворяющие условиям признака
Лейбница, называются рядами Лейбница, или рядами лейбницевского типа.
Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и
меньше его по абсолютной величине, т.е. r u .
n
n1
Действительно, если сумму S сходящегося ряда (12.7) представить как
сумму S S n rn
, где r n – n-ый остаток ряда.

Подробнее
n1
n
n1
S u
1 u
2 u3
... ( 1)
u u u
n
( 1)
n1
( 1)
n2
... .
Sn
rn
n
( n1 n2
Рассмотрим теперь r 1)
( u u ...). Остаток ряда представляет
n
собой новый знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака
Лейбница, поэтому его сумма r n u n 1, где u n1
– абсолютная величина первого
из отброшенных членов.
Пример 12.24. Найти приближенно сумму ряда
n1
1
( 1)
n(2n
1)!
с
точностью до 0,001.
Р е ш е н и е. Запишем ряд в развернутом виде.
1 1 1 1
... . Ряд знакочередующийся лейбницевского типа. Он
13
25!
37!
49!
1
сходится и имеет сумму S . Для того, чтобы найти сумму ряда приближен-
3
но с заданной точностью, надо определить число n, равное количеству первых
n членов ряда, которые надо оставить, чтобы заменить сумму ряда S его частичной
суммой S , а остальные члены отбросить, оценив сумму отброшенных
n
членов r n . Для ряда Лейбница r n u n 1 ()
. По условию r n 0, 001. Запишем,
учитывая оценку ()
, более сильное неравенство: u n1 0, 001. Ищем член ряда,
значение которого по абсолютной величине меньшей заданной точности. Отбрасываем
все члены ряда, начиная с него. Все предыдущие члены ряда суммируют.
Их количество и есть искомое число п, и частичная сумма S представляет
приближенную сумму ряда с заданной точностью.
В нашем случае
1
1
1
u 1 0,33334, u2
0,00417, u3
0,00006 0,001.
3
240
15120
Третий член меньше по абсолютной величине 0,001, поэтому, начиная с
него, все остальные члены ряда отбрасываем. А для получения приближенного
значения суммы с точностью 0,001 надо взять два первых члена. Округлив до
тысячных долей, имеем:
S 0,33334
0,00417 0,32917; S 0,329.
n1
n
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на абсолютную и условную сходимость.
( 1)
12.47. .
n
3
n0
n1
( 1)
12.48. .
n
7 n
n0
192
n
( 1)
( n 1)
12.49. .
3n
2
n0
n

( 1)
12.50. .
2n
5
n1
n1
( 1)
12.53. .
nln
n
n2
( 1)
( n 1)
12.56. .
n!
n1
n
n1
12.59.
.
n
4
2
( 1)
12.51. .
ln n
n2
( 1)
12.54. .
2
( n 1)ln
( n 1)
n1
n
n1
n1
( 1)
n
12.57. .
3
n 5
n1
n1
( 1) 3 1
n
( 1)
12.60.
5 2
.
2
n0
4n
3n
1
n1
n n
Вычислить сумму ряда с точностью ε.
( 1)
12.61. , 0,01.
2
2n
1
n0
( 1)
12.63. , 0,001.
n 2
2 n
n1
n
n1
( 1)
12.65. , 0,001.
n!
n1
n1
2
( 1)
4
12.52. .
3
n 1
n0
( 1)
n
12.55. .
n
2
( 1)
12.62. , 0,01.
3
2n
3
n0
n
n
n1
n1
n1
( 1) 1
12.58. n
.
3
n1
n 2
( 1)
12.64. , 0,001.
n
n3
n1
n1
( 1)
4n
12.66. , 0,01.
3
3n
5
n0
n1
n
12.5. Контрольные задания к главе 12
Исследовать сходимость рядов.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1
1. .
4
5n
n1
1
2. .
n1
5 n
n1
2
2 1
3. n
.
2
1
12 3
n n
4n
1
4. .
n 5
n1
(2n)!
5. .
2n
n
n1
n
1
1. .
n n 4
n1
1
2. .
n
(3n
2)2
n1
n
3.
.
n1
2n
5
6n
5
4. .
5n
6
n1
n!
5. .
n
10
n1
n
n 6
1. .
2n
5
n1
1
2. .
n
n
n1
n 1
3. .
n 3
2
n1 3
2
4. .
n 2
n1
5
5. .
n!
n1
n
n
193

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
1
1. .
2
n1
n n 1
1
2. .
2
n n
n1
1
3. .
n
n3
n1
3n
2
4. .
2n
3
n1
5. n
.
1(2n)!
n
n
7
n
1. .
n
n1 3
1
2. .
3
nln
n
n2
7
3. .
(2n)!
n1
3n
2n
9
4. .
3n
1
n1
3
1. .
n
n
n1
7
1
2. .
( n 2) ln( n 2)
n1
3. n
.
4
n11
n
5n
4
4. .
2n
3
n1
n n
n 1
5. arctg .
5. arcsin .
5
2n
n1
n1
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9
7
1. n
.
2
n1
3n
1
3n
4
2. .
2
n 2
n1
2
2 3
3. .
n n
2 3
n1
n
1
4. .
2
n 2n
3
n1
1
5. n
.
n1
n 2
n
n
2
1
1. .
3n
7
n1
4
2. .
3n
5
n1
n
(2n)
3. .
(2n
1)!
n1
n
3n
4. .
3
1
n
n1
12n
5
5.
.
n1
3n
1
2
n
1
1. .
3
n n 2
n1
2
1
2. n n
.
2
1
3 2
n n n
1
3. .
n ln n
n1
n 1
4. .
3
n n!
n1
3n
5. .
2n
4
n1
n
Вариант 10
n1
n
1. sin .
n
3
n 1
4. .
n
6 3
n1
2
n
2
2.
1
.
n1
n
n 1
n!
3.
.
1
5. .
2
n1
(3n 1)
1
n1
2
2
2
194

Ряд вида
Глава 13. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
13.1. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости
2
c 0 c1x
c2x
... cnx
... cnx
, (13.1)
n0
где c c , , ... – числа, называемые коэффициентами ряда, х – переменная,
0, 1 c2
называется степенным рядом.
Придавая переменной х определенные числовые значения, получаем
числовые ряды, которые могут сходиться, а могут расходиться. Совокупность
всех числовых значений х, при которых степенной ряд сходится, называется
областью сходимости ряда.
Рассматривают также ряды более общего вида (по степеням разности
((х – а), где а – некоторое число), а именно
2
n
n
0 c1(
x a)
c2(
x a)
... cn(
x a)
... cn(
x a)
n0
195
n
c . (13.2)
Исследование таких рядов путем замены у = х – а сводится к исследованию
рядов (13.1). Поэтому в дальнейшем рассматриваем ряды по степеням х
(13.1).
Теорема Абеля. Если степенной ряд
n0
c
n
nx
n
сходится при значении
x 0 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих неравенству
| x | | x0
| . Если этот степенной ряд расходится в точке x x1
, то он
расходится для всех значений х, для которых x | | x | .
| 1
Для каждого степенного ряда (13.1), если он не является рядом, сходящимся
лишь в точке х = 0, существует положительное число R такое, что при
| x | R ряд абсолютно сходится, а при | x | R расходится. (Заметим, что некоторые
ряды могут сходиться только в одной точке, тогда R = 0, а некоторые – в
любой точке числовой оси, тогда R ).
Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) – интервалом
сходимости степенного ряда (рис. 13.1). На концах интервала сходимости,
т.е. в точках х = –R и x = R, степенной ряд может быть как сходящимся, так
и расходящимся.
расходится
?
O
–R
сходится
.
0
Рис. 13.1
?
O
R
расходится
х

Для ряда (13.2) интервал сходимости ряда принимает вид
| x a | R или
a R x a R, т.е. ( a R,
a R)
. Радиус сходимости степенного ряда (13.1)
можно определить по формулам
или
cn
R lim
(13.3)
n
c
n
n
n1
1
R . (13.4)
lim | c |
Для всех значений х, принадлежащих области сходимости степенного
ряда, соответствующие числовые ряды сходятся и имеют определенные суммы,
т.е. сумма сходящихся на некотором множестве степенного ряда есть функция,
определенная на этом множестве. Обозначим ее f ( x),
x ( R,
R)
.
f (x)
n0
n
n
c nx .
Свойства степенных рядов
1. Сумма степенного ряда f (x)
непрерывна внутри его интервала сходимости.
2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком
принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно
дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды, полученные
почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного
ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Пример 13.1. Найти область сходимости ряда 2 x
.
n0 n 3
Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости ряда по формуле
R lim
n
c
n1
n
n1
cn
2
2
, cn
, cn1
n1 n 3 n
cn
2 n 4
R lim lim
n
1
c n
n
n 3 2
n
1
Итак, R . Интервал сходимости ряда
1 1 ,
2
2 2 . Проверим сходимость
1
ряда на концах интервала. При R ряд принимает вид
2
1
2
lim
n
n
n
n
.
4
4
3
n
1
2
.
196

n0
2
n
n 1
2
n 3 n0
n
( 1)
.
n 3
Получим знакочередующийся ряд. Напишем его в
1 1 1
1 1 1
развернутом виде: ...
. Так как ...,
3 4 5
3 4 5
1
1
lim 0, то по признаку Лейбница ряд сходится (условно). При R
n
n 3
2
n
n
1
2
ряд имеет вид
2 1
. Исследуем сходимость этого ряда с помощью
признака сравнения в предельной форме. Будем сравнивать его с обоб-
n0
n 3 n0
n 3
1
щенным гармоническим рядом , который является расходящимся.
n
n1
1 1 an
1 n n
Итак, an
; bn
lim lim lim 1
0.
n 3 n n
b n
n 3 1 n
n 3
n
По признаку сравнения рядов в предельной форме ряд расходится. Таким образом,
область сходимости исходного ряда принимает вид
1 1 ,
2 2 .
Пример 13.2. Найти область сходимости ряда
n
Р е ш е н и е. Обозначим х + 3 = у и получим ряд
n
радиус сходимости ряда.
c
R lim
n
c
n
n1
n1
n1
( 1)
5 ( n 1)
lim
n
n 2 n
5 n ( 1)
2
5( n 1)
lim
n
2
n
2
1
n1
( 1)
( x 3)
n 2
5 n
1
n1
n
n
.
( 1)
y
n 2 . Найдем
5 n
n 1
5lim
n
n
2
5 .
Значит, R 5, а интервал сходимости будет (–5, 5). Проверим сходимость
ряда на концах интервала. Пусть y 5
, тогда ряд имеет вид
n1
( 1)
5
n1
1
2
n1
n
( 5)
2
n
n
n1
( 1)
n
2n1
2
n1
1
.
2
n
Ряд сходится, так как
n
– сходящийся обобщенный гармонический ряд с
показателем 2 1.
Пусть у = 5. Тогда имеем
n1
n1
( 1)
5
n 2
5 n
n
n1
( 1)
2
n
n1
.
197

Ряд знакочередующийся, сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных величин
n1
( 1)
n
2n1
2
n1
1
n
2
– обобщенный гармонический сходящийся ряд.
Следовательно, ряд сходится для 5 y 5. Заменив переменную у = х + 3,
получим 5 x 3
5 или 8 x 2. Область сходимости исходного ряда
8, 2 .
Пример 13.3. Найти область сходимости ряда n ! x .
n0
Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости.
c
R lim
n
c
n
n1
n!
1
lim lim 0.
n
( n 1)!
n
n 1
Радиус сходимости R 0. Ряд сходится только в одной точке x 0.
n
Задачи для самостоятельного решения
Найти области сходимости степенных рядов.
x n ( x 2)
13.1. .
13.2. .
3n
1
n 2
n0
( x 1)
13.4. .
n
n7
n1
n
n1
n
2 n
13.3. x .
n!
0 n
x n ( x 2)
13.5. .
13.6. .
2
n
3n
1
3 1
n 1
n0
n
n
2
n x n
1
( 3)
13.7. 1
.
n 13.8. n x .
1 n 2
n1
3n
4
n
( x 2) n!
13.10. .
(2n)!
n0
n
13.11.
n 1
n
( x 1)
n
n
8
1 . 2
n
( 1)
13.13. 1
n x n
.
(2n
1)
2n
1
13.14. ( 1) 2
n1
n
n
x
n 2
.
n1
2 n!
n
13.16. x .
n
n
1 n
n
n1
n1
( 1)
n
13.19. x .
3
n 1
n1
x
13.17. .
n
3 ( n 2)
n1
n!
x
13.20. .
n
n
1 n
n
n
n 1
13.9. .
n
1 n 4
n
2
n x n
2 ( x 4)
13.12. .
n
n
n1
n
n1
n1
( 1)
3 n
13.15. x .
3
n 1
x
13.18. .
n
3 n!
1 n
n
n
n
198

13.2. Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f (x)
является суммой степенного ряда на некотором промежутке,
то говорят, что она разлагается в степенной ряд на этом промежутке
или степенной ряд сходится к функции f (x)
на указанном промежутке.
Пусть функция f (x)
имеет в окрестности точки х = а производные любых
порядков.
Степенной ряд
f (
a)
f (
a)
2 f
f ( a)
( x a)
( x a)
...
1!
2!
n0
f
( n)
( a)
( x a)
n!
n
( n)
( a)
( x a)
n!
n
...
(13.5)
называется рядом Тейлора функции f (x)
в точке х = а . Если а = 0, то ряд
Тейлора принимает вид
f (0)
f (0)
2 f
f (0) x x ...
1! 2!
n
0
f
( n)
(0)
x
n!
n
( n)
(0)
x
n!
n
...
(13.6)
и называется рядом Маклорена. Пусть f ( x)
S ( x)
r ( x)
, где S n (x)
– частичная
сумма, а r n (x)
– остаток ряда Тейлора.
Теорема. Ряд Тейлора сходится к данной функции f (x)
тогда и только
тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при n , т.е. для всех значений
х из интервала сходимости
lim ( x)
0 . (13.7)
r n
n
Теорема. (Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора).
Если производные любого порядка п = 0, 1, 2,… функции f (x)
ограничены в
некоторой окрестности точки x 0 одним и тем же числом M 0, т.е.
(
f n )
( x)
M
, то ряд Тейлора функции (x)
n
n
f сходится к f (x)
для любого х из
этой окрестности.
Теорема. Если функция f (x)
разложима в ряд Тейлора, то это разложение
единственно.
Пример 13.4. Разложить в ряд Тейлора функцию
(х + 2) и найти область сходимости полученного ряда.
1
y по степеням
x
199

Р е ш е н и е . Запишем ряд Тейлора для функции f (x)
в окрестности точ-
( n)
f (
a)
f ( a)
2 f ( a)
n
ки х = а . f ( a)
( x a)
( x a)
... ( x a)
... . По усло-
1!
2!
n!
вию a 2.
Вычислим значения функции и ее производных в точке x 2
.
1
1
f ( x)
, f
2 ;
x
2
1
1
f (
x)
, f
2
;
2
2
x
2
1
2
2!
f (
x)
, f
2
;
3
3
x
2
.......... .......... .......... .......... ..............
( n)
n!
f
n
x
Тогда составляем ряд
1
,
f
( n)
n!
( 2)
n
2
1
.
1 1( x 2) 2!( x 2)
2
3
2 1! 2 2!2
( x 2)
3
2
2
( x 2)
4
2
3
2
3!( x 2)
4
3!2
( x 2)
...
n1
2
n
3
n!(
x 2)
...
n1
n!2
...
n0
Найдем радиус сходимости ряда
n
n
0
( x 2)
n1
2
y
2
n
n1
cn
1 2
R lim lim 2.
n
n
n1
c 2 1
n1
n
n
.
1 ( x 2)
...
2
2 2
, положив y x 2 .
Ряд y
сходится на интервале (–2, 2), т.е. для всех у, удовлетворяющих
неравенству 2 y 2. На концах интервала при у = –2 имеем
n1
n0
2
ряд
1 1 1 1
1 1 1
..., который расходится. При у = 2 получаем ряд ... ,
2 2 2 2
2 2 2
который также является расходящимся.
Итак, областью сходимости ряда
n
областью сходимости ряда
n0
( x 2)
n1
2
n
0
y
2
n
n1
n2
будет интервал (–2, 2). Тогда
будет интервал (–4,0), так как
y x 2,
2 x 2 2 или 4 x 0, или интервал (– 4, 0).
200

2
Разложение функций в ряд Маклорена
3
n1
x x x x x
1. e 1
... ... , x ; (13.8)
1! 2! 3! ( n 1)!
3
5
2n1
x x x
n1
x
2. sin x ...
( 1)
... , x ; (13.9)
1! 3! 5!
(2n
1)!
2
4
x x x
n x
3. cosx
1
... ( 1)
...
2! 4! 6! (2n)!
m
4. (1 x)
m m(
m 1)
1
x x
1! 2!
m(
m 1)...(
m n 1)
x
n!
2
3
6
n
...,
2
2n
m(
m 1)(
m 2)
x
3!
x x x
n1
x
5. ln(1 x)
x ... ( 1)
...
2 3 4
n
(13.12)
6.
1
ln
1
x
x
3 5
x x
2
x
3 5
3
4
n
, x ; (13.10)
3
...
1
x 1;
(13.11)
, 1
x 1;
...
, 1
x 1; (13.13)
1 x 13
x 135
x
7. arcsin x x ...
2 3 2
4 5 2
46
7
2n1
5
135...(2n
1)
x
... , 1
x 1;
(13.14)
2
46...2n
2n
1
3
5
7
x x x
n1
x
8. arctg x x ... ( 1)
, 1
x 1. (13.15)
3 5 7
2n
1
Пример 13.5. Разложить в ряд Маклорена функцию y 1 . 1 x
Р е ш е н и е. Разложим функцию в окрестности точки а = 0 в ряд Маклорена,
т.е. представим в виде
( n)
f (0)
f (0) 2 f (0) n
f (0) x x ... x ... .
1! 2!
n!
Имеем
1
y ,
1
x
1
y(
x)
(1 x)
1
2
y ( x)
(1 x)
2
3
,
,
7
2n1
y(0)
1;
y
0
1;
2!
y (0) 2!;
1
201

1
2 3
y
( x)
(1 x)
.......... .......... .......... .......... ..............
y
( n)
4
1
2... n
( x)
n
(1 x)
,
1
,
3!
y
(0) 3!;
1
y
( n)
n!
(0) n!
.
1
Составляем ряд
1 2 2 3 3 n!
n
2 3 n
... ... 1
... ... n
1 x x x x x x x x x .
1! 2! 3! n!
n0
Получили ряд геометрической прогрессии со знаменателем
q x и первым
членом a 1. Этот ряд, как известно, сходится, если | q | |
x | 1 . Отсюда
1
имеем: интервал сходимости ряда (–1, 1), а сумма ряда
S
1 . 1 x
Итак, на интервале 1
x 1
ряд сходится к функции
1 , т.е.
1 x
1 = 1
2 3 ...
n
x x x x ..., 1 x 1 .
1 x
Пример 13.6. Разложить в ряд Маклорена функцию y x ln(1 x ).
Р е ш е н и е. Разложим в ряд Маклорена функцию y x ln(1 x ). Так
x x ( 1)
x
как для 1
x 1
по формуле (13.12) ln(1 x)
x ...
... ,
2 3 n
то, заменяя х на
2
x , получим
ln(1 x
2
) x
2
x4
x
2 3
6
6
( 1)
...
n
8
n1
2n
n1
2 2 4 x x ( 1)
x
x ln(1 x ) x ...
2 3 n
Область сходимости ряда 1, 1
.
x
2
...,
2n2
3
....
2
2
n
2
2
n
Задачи для самостоятельного решения
Разложить в ряд Маклорена.
1
13.21. f ( x)
.
1
x
13.22. x
f ( x)
1
x
.
1
2
13.23. f ( x)
.
13.24. f ( x)
.
x
2
e
1
3x
2
202

sin 3x
13.25. f ( x)
xcos
x.
13.26. f ( x)
.
x
Разложить в ряд Тейлора.
1
x
13.27. f ( x)
по степеням ( x 2) . 13.28. f ( x)
cos по степеням .
x
2
2
x
3
1
13.29. f ( x)
x по степеням ( x 1) . 13.30. f ( x)
по степеням ( x 2) .
x 3
x
13.31. f ( x)
e2
по степеням ( x 2) .
13.3. Применение рядов в приближенных вычислениях
Представление элементарных функций в виде степенных рядов позволяет
применять эти ряды для приближенных вычислений. С заданной степенью точности
можно вычислить значения функций, значения определенных интегралов,
которые не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-
Лейбница, а также можно интегрировать дифференциальные уравнения.
0
Пример 13.7. Вычислить cos 12 с точностью до 0,0001, пользуясь разложением
cos x в ряд Маклорена.
0
3,1416
Р е ш е н и е. Переведем 12 в радианы: 12
0,2094.
180 15 15
Используем разложение косинуса в ряд Маклорена
2
4
6
x x x
n1
x
cosx
1
( 1)
,
2! 4! 6!
2( n 1)
!
( , ).
Получим
cos12
0
1
1
2! 15
2( n1)
2
1
4! 15
4
который сходится на
1
6! 15
6
.
Определим, сколько первых n членов разложения функции в степенной
ряд надо оставить, чтобы сумма отброшенных членов (остаток ряда r n ) не превосходила
0,0001.
Ряд (*) – знакопеременный ряд, члены которого удовлетворяют признаку
Лейбница. Тогда используется оценка r n u n1 , где u n1
– первый из отброшенных
членов по абсолютной величине.
1
2! 15
2
4
1 0,00219
0,00219 0,0001; 0,00008 0,0001.
4! 15
24
(*)
203

Поэтому достаточно взять два первых члена ряда
2
0 1
cos12 1
0,9781.
2! 15
Действительно, если взять в этом равенстве два первых члена, то будем иметь
0,2094
приближенное равенство cos 1
0,9781,
15 2
2
погрешность которого
15 15
равна сумме остатка r 4 знакочередующегося ряда, т.е.
.
6! 8!
По признаку Лейбница сумма знакочередующегося ряда не превосходит абсолютной
величины первого члена.
4
(0,2094)
В нашем случае r n 0,00008 0,0001.
Поэтому мы допускаем
ошибку меньшую
24
0,0001.
Итак, cos12 0 0, 9781 с точностью до 0,0001.
В случае знакопостоянного ряда оценка погрешности сложнее. Во многих
случаях можно использовать прием, когда ряд из отброшенных членов сравнивают
с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Пример 13.8. Вычислить ln 3,
взяв первые три члена разложения функции
в ряд. Оценить погрешность.
Р е ш е н и е. Будем использовать разложение в степенной ряд функции
3 5 7
2n1
1
x
1
x x x x x
ln , формула (13.13). ln 2
.
1
x
1
x
3 5 7 2 1
Этот ряд
x
n
1
x
1
сходится при x (1,1) . Полагаем 3,
тогда 1
x 3 3x;
4x
2, x .
1
x
2
Эта точка принадлежит области сходимости ряда. Тогда
ln 1 1 1 1 1
3 2
.
3 5 7
2 2 3 2 5 2 7 2
9 По условию, надо взять три первых
9
члена ряда. Погрешность вычисления – остаток ряда r n .
2 1 1 1 1
r n
.
7 9 11
2 7 2 9 2 11 2
13 Этот ряд знакопостоянный положительный.
13
Оценим каждый член ряда следующим образом: множитель, следующий
1 1 1 1
за степенью двойки ( 9, 11, 13, …) заменяем на 7: ; ,
9 9 11 11
2 9
2 7
2 11
2 7
1 1
, . Правые части неравенств увеличиваются:
13 13
2 13
2 7
6
8
204

1 1 1 1 1 1 1 1
r n 2
2
7 9 11 13
7 9 11 13
2 7 2 9
2 11
2 13
2 7 2 7 2 7 2 7
1 1 1 1
1
.
6
2 4 6
2 7 2 2 2
Ряд, стоящий в скобках, представляет собой бесконечно убывающую
1
a1
геометрическую прогрессию со знаменателем q . Его сумма S , где
4
1
q
a 1 1, т.е. 1 4
S
1 3
.
1
4
Заменяя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию ее суммой,
1 4 1
получим r n 0,01.
Таким образом, взяв три члена ряда можно
6 4
2 7
3 2 21
1 1 1
вычислить ln 3 с точностью до 0,01ln 3 2
1,
095
3 5 , т.е.
2 2 3
2 5
ln 3 1,095.
e
x
Пример 13.9. Вычислить число е с точностью до 0,00001.
Р е ш е н и е. Воспользуемся разложением функции
2
3
n
205
x
e в ряд Маклорена:
x x x x
1
,
x .
Полагая x 1, имеем
1! 2! 3! n!
1 1 1 1
e 1
. Этот ряд положительный. Остаток ряда r n имеет
1! 2! 3! n!
вид
r 1 1 1
n
( n 1)!
( n 2)! ( n 3)!
или
r 1 1 1
1
.
n!
n 1
( n 1)(
n 2) ( n 1)(
n 2)( n 3)
Заменяя каждый из
n
сомножителей n 2,
n 3, n 4, n 5, меньшей величиной n 1, получим
неравенство r 1 1 1 1
.
2 3
n!
n 1
( n 1)
( n 1)
В скобках получаем бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q 1 и n 1
n
1
1
первым членом a 1 , сумма S которой равна
n 1
a1
1 1
S
1
q ( n 1)
1
1
n 1

n 1
1
. Получаем .
( n 1)(
n 11)
n
r 1
n
n!
n
Путем подбора определяем. при каком
n будет выполняться неравенство r 0,00001.
Положим, например, n 4.
1
1
1
r 4 0,010417; r 5 0,001667;
r 6 0,000231;
4!4
5!5
6!6
1
1
r 7 0,000028; r 8 0,000003 0,00001.
7!7
8!8
Итак, принимаем n 8
1 1 1 1 1
e 11
2! 3! 4! 5! 6!
0,001389 0,000198 0,000025 2,718279,
1
7!
или e 2, 71828 с точностью до 0,00001.
Пример 13.10. Вычислить
Р е ш е н и е. Разложение в ряд функции
e
x
2
1
8!
0,5
x x x
1
,
1! 2! n!
0
n
2 0,5 0,166667 0,041667 0,008333
2
e x dx с точностью до 0,001.
n
x
e :
x
.
2
2
x x x
Заменим х на x , получим разложение e x 1
,
1! 2! 3!
0,5
0,5 2 4 6
3 5 7 9 1
2
x x x x x x x
1
2
e x dx
1! 2! 3!
dx
x
0 0
3 2 5 6 7 24 9
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 5
7
9
2 3
2 2 2 5
6 7 2 24 9
2 2 24 320 5376 110592
1
1
0,0031
0,001; 0,0002 0,001.
320
5376
Поэтому, начиная с четвертого члена, отбрасываем все оставшиеся члены
0,5
1 1 1
ряда,
2
e dx 0,5 0,0417 0,0031
0, 4614
2 24 320
0
или 0,461 с точностью
до 0,001.
x
2
2
sin x dx.
x
1
Пример 13.11. Вычислить с точностью до 0,001
0
Р е ш е н и е. Разложим в подынтегральном выражении
4
6
sin x в ряд
206

Маклорена
1
sin x
dx
x
1
3 5 7
x x x
x
3! 5! 7!
dx
x
1
2
x
1
3!
x x
5! 7
0 0
0
!
1 2 4 6
3 5 7
x x x x x x 1
1
dx
x
0
6 120 5040 18 600 35280 0
1 1 1
1
1 . Так как 0,000028 0,001,
то
18 600 35280
35280
1
sin x
dx 1
x
0
1
18
1
600
0,9461 с точностью до 0,0001.
4
6
dx
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить, взяв три члена соответствующего ряда Маклорена и оценить
погрешность ε.
13.32. 3 e .
13.33. sin18 .
13.34. 5 1,1 .
13.35. ln 1,04 .
0
13.4. Контрольные задания к главе 13
1 – 2. Найти области сходимости степенных рядов.
3. Разложить в ряд Маклорена.
4. Вычислить приближенно с точностью 0, 001.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
n
1. x
.
n13n
1
2.
n1
( x 2)
n
n
3
1 . n
x
x
2 x
1. .
n!
n1
n
n
( x 4)
2. .
n
3 n
n1
n
n
1. x
.
2
n12n
1
(2n
1)!
n
2. ( x 3) .
n
2 n!
e e
3
xcosx
sin x
3. y .
3. y x cos4x.
3. y
.
2
2
x
0,5
0,5
3
3
sin x
3
4. 1
x dx,
10
. 4. dx,
10
.
x
0
0
n1
1/8
3
4. 1 x dx.
0
207

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
x
1. .
n
n7
n1
n
( x 2)
2. .
n
3 4
n1
n
2
x
1. .
3n
5
n1
n!
n
2. ( x 4) .
n
n
n1
n
1. x
.
n 2
n14
n 1
2.
n1
n
( x 1)
n
3
n
8
1 . n
arctg x
1 1
3. y .
3. y ln .
x
x 1
x
3. 1
y
2 x
.
0,5
dx
4. .
4
1 x
0
1
3
5
4. x cosxdx.
4. 37.
0
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9
5 n
1. x .
n
4 1
n1
n
n n
2. ( x 1)
.
n1
n 3
n
5 x
1. .
n
4 n 5
n1
n
n 1
n
2. ( x 5) .
n
2 3
n1
2
n
2n
3 n
1. x .
n
9
n1
n ( x 2)
2. .
n
( n 3)
5 3
1
3. y 8 x .
3. y sin 5x
cos5x.
3. y .
3 3
1
x
x
1 sin
0,2
4. 4
e x
dx.
4. arctg 0,1 .
4. dx.
3
x
x
0
n1
0,1
n
n
Вариант 10
1. x
.
n
n1(3n
2)4
10
4. 1024.
n
n!3
n
2. ( x 3) .
n
n
n1
n
3. y sin
x .
4
208

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задания к главе 8
№ Задание Варианты ответов Ответ
1
y
Если z x ln , то z y
x 2 x x 4)
1) xy ; 2) ; 3)
2 ; 4) ;
x
y y y
2
2
Если z x 4xy
y 4x
, то
z x
5)
y 1
ln
x x
1) 2x 4xy
1; 2) 2x 4y
4;
3) 2x 4y
1; 4) 4y 4 ;
5) другой ответ
2)
3
2 2
Если z x y xy 3x, то
4
z xx
Если
5 Если
1) 2x; 2)
2
2y y ; 3) 2 y ;
4) 2xy
; 5) 2y
3
x
y 1 y x
z y ln , то z xy
1) 1; 2) ; 3) ; 4) ;
y
x x
2
2
x y
u
6 Найти
x
7
8
z
x2 y3z
e , то xz
z в точке M 3; 4
3x
2y 4
Найти z
y
в точке
z 2xsin
4y
Найти
1
M 4;
, ес-
2
ли
z
z yy
в точке
x
9 Найти z
yx
4
y
3
z 5xy
2x
5)
u 1)
, если
M 2;
, если
2
5 в точке M 1;
0
2
y
, если
10 Полный дифференциал функции
z
2
2
x 3xy
y в точке
M 1; 2 равен…
x 1
ln
y y
3e
x2
y3z
; 2)
x2
y3z
3) 6e
; 4)
5) другой ответ
x2 y3z
e
2e
;
x2
y3z
1) 7dx 8dy
; 2) 8dx 7dy
;
3) 8dx 7dy
; 4) 12dx 9dy
;
5) 12dx 7dy
;
3)
2)
1)
–12
16
6
20
3)
209

№ Задание Варианты ответов Ответ
11 Полный дифференциал функции
1) dx 4dy
; 2) dx dy ; 1)
z xy y 2x
5 в точке 3) dx 4dy
; 4) dx 5dy
;
2
M 2;1
равен…
5) dx 5dy
12 Полный дифференциал функции
1) 15dx 58dy
; 2) 16dx 50dy
; 3)
z 2x
2x
y y в точке 3) 16dx 50dy
; 4) 16dx 46dy
;
2 3 3 2
M 2;1
равен…
5) 32dx 46dy
13 Полный дифференциал функции
1) 46dx 60dy
;
2)
z 3y
9xy
x 2 в точ-
2) 25dx 9dy
;
2
2
ке M 1;
3
равен…
3) 7dx 11dy
;
4) 27dx 9dy
;
5) 25dx 9dy
14 Полный дифференциал функции
1) 16dx 10dy
; 2) 10dx 10dy
; 2)
z y 4xy
2x
7 в точке 3) 17dx 3dy
; 4) 10dx 3dy
;
2
M 4; 3
равен…
5) 10dx 10dy
15 Если
3 3
z x y 2xy
67,
3
x 0, y 0, то минимум этой
функции z
min
16 Если z y
2
x y x 6y
, то
12
максимум этой функции
z
max
17
8 8
13
Если z xy 1, x 0,
x y
y 0, то минимум этой функции
z
min
18 Если
23
2
2
z 7 x xy y 4x
8y
,
то максимум этой функции
z
max
19 Если функция
17
2
2
z x xy y 6x
9y
7,
имеет в точке M
0
x0; y0
экстремум,
то x 2 0
2
y0
20 Если функция
9x
z 3x
y 13, имеет критическую
точку P
y
0
x0; y0
, то
x 0
y 0
4
210

Задания к главе 9
№ Задание Варианты ответов Ответ
1 Найти интеграл
1 6 7 5 8 3
2)
5 4 2
1) x x x 7x
c;
x 7x
8x
7dx
5 5 3
1 5 7 5 8 3
2) x x x 7x
c;
6 5 3
1 5 7 5 8 3
3) x x x 7x
c
6 5 3
2 Найти интеграл
x 8
2 1) x 4ln
c;
x
dx
x 8
2
x 64
x 8
2) x 4ln
c;
x 8
x 8
3) x 4 ln c
x 8
3 Найти интеграл
1 3 x
x
1) x cos ;
cos 2 dx
2 2 c
3
6
1 3 x
2) x sin c;
2 2 3
1 3 x
3) x sin c
2 2 3
4 Найти интеграл
3 5
2
1
8 x
x
2
dx
x
1) 3arcctgx
5arcsin c;
2 2
x
2) 3arctgx
5arcsin c;
2 2
x
3) 3 arctgx 5arcsin c
3 2
1)
3)
2)
5 Найти интеграл
(
1
2x)
9 dx
6 Найти интеграл
5
2
x 3 x 1
dx
1) (1 2x)
c;
20
211
1 10
1 10
2) (1 2x)
c;
20
1
10
3) (1 2x)
c
20
1 2 6
1) (2x 1) c;
18
1 2 5
2) (3x 1) c;
9
1
3) (3x
2 1)
6 c
36
1)
3)

№ Задание Варианты ответов Ответ
7 Найти интеграл
1) arctg ( x 1) c;
2)
8
dx
2) arctg ( x 1) c;
2
x 2x
2
1
3) arctg(
x 1)
c
2
Найти интеграл
1 x 2
dx
1) arctg c;
5 5
2
x 4x
29
1 x 2
2) arctg c;
5 5
1)
3)
1 x 2
arctg c
5 5
9 Найти интеграл
1) arctg ( x 2) c;
3)
dx
2) arcctg ( x 2) c;
2
x 4x
5
3) arctg ( x 2)
c
10 Найти интеграл
x
x 1
dx 2
1 2
1) ln | x 1| c;
2
1 2
2) ln | x 1| c;
2
1 2
3) ln | x 1|
c
3
11 Найти интеграл
1 x
dx 1) ln c;
15 x 15
x(x 15)
1 x
2) ln c;
15 x 15
1 x 15
3) ln c
15 x
1)
1)
12 Найти интеграл
1 x 4
dx 1) ln c;
7 x 3
2
x x 12
1 x 3
2) ln c;
7 x 4
1 x 4
3) ln c
7 x 3
13 Найти интеграл
1 x 9
dx 1) ln c;
10 x 1
( x 1)( x 9)
1 x 9
2) ln c;
10 x 1
1 x 9
3) ln c
10 x 1
2)
1)
212

№ Задание Варианты ответов Ответ
14 Найти интеграл
1 x 2
3)
dx 1) ln c;
7 x 5
2
x 3x
10
1 x 2
2) ln c;
7 x 5
1 x 2
3) ln c
7 x 5
15 Найти интеграл
1
x
2
x 2
dx
1)
2
4x
2 4
3)
x
2
x c;
5 5
2)
2
4x
2 4
x
2
x c;
9 5
3)
2
4x
2 4
x
2
x
c
5 9
16 Найти интеграл
1
2)
1) cos(2 3x)
c;
sin(
2 3x) dx
2
1
2) cos(2 3x)
c;
3
1
3) sin(2 3x)
c
3
17 Найти интеграл
sin xcos7xdx
18 Найти интеграл
sin 5xsin
5xdx
19 Найти интеграл
sin 2xsin
9xdx
1 1
1)
1) cos8x
cos6x
c;
16 12
1 1
2) cos16x
cos6x
c;
8 16
1 1
3) sin8x
sin 6x
c
16 12
x 1
2)
1) sin10x
c;
3 10
x 1
2) sin10x
c;
2 20
x 1
3) sin 5x
c
10 10
1 1
2)
1) cos7x
sin 7x
c;
14 22
1 1
2) sin 7x
sin11x
c;
14 22
1 1
3) sin 7x
cos11x
c
14 22
213

№ Задание Варианты ответов Ответ
20 Найти интеграл
1 1
1)
1) sin 6x
sin 2x
c.
cos4x
cos2x
dx.
12 4
1 1
2) sin 3x
sin 2x
c.
4 12
1 1
3) cos3x
sin 2x
c.
4 4
21. Найти интеграл
1
x
3)
1) cos7x
3sin c;
x
sin
7x
cos dx
7
2
2 1
x
2) cos7x
2cos c;
7
2
1
x
3) cos7x
2sin c
7
2
22 Найти интеграл
dx
2
23 Найти интеграл
x
e dx
e
x
x
2
24 Найти интеграл
dx
2
5 x
25 Найти интеграл
dx
9
xln
x
1) 2 x 4ln(2 x)
c;
2) 3 x 4ln(2 x)
c;
3) 4 x 2ln(2 x)
c
1) ln | 2| c;
e x
2
2) ln | e x 2| c;
1
3) ln | e x 2 | c
2
1)
3 5 x 2ln 5 x 1 c;
2)
2 5 x 4ln 5 x 2 c
;
3) 2 5 x ln 5 x 2
c
1) 1
c;
7
7ln x
1
2) c;
8
7ln x
3) 1
c
x 8
8ln
Задания к главе 10
1)
1)
2)
3)
№ Задание Варианты ответов Ответ
1 Вычислить интеграл
7
6 x 2 x dx
2
211
214

№ Задание Варианты ответов Ответ
2 Вычислить интеграл
64
4
2
32 28x
9x
dx
3 Вычислить интеграл
3
1
x
3 dx
2
4 Вычислить интеграл
7
3
3
x dx
1
4
5 Вычислить интеграл
4
1
30 x x dx
0
2 1
6 Вычислить интеграл
4
2
x
3
x dx
7 Вычислить интеграл
2
2
x
dx
2
2 8 x
8 Вычислить интеграл
9
1
3 x dx
4
x
9 Вычислить интеграл
/ 2
0
cosx
dx
10 Вычислить интеграл
3
2
3 x 1
dx
1
11 Вычислить интеграл
3
2
5 x x dx
0
2 9
12 Вычислить интеграл
2
8
x
2
1
4
dx
x
1
13 Вычислить интеграл
2
2
3 x 2x
dx
0
2
215
20
66
2
40
1
56
162
21
4

№ Задание Варианты ответов Ответ
14 Вычислить интеграл
2
12
/ 2
0
sin x sin 2xdx
15 Вычислить интеграл
15
/ 2
0
sin
3
x cos
2
xdx
16 Вычислить интеграл
8
2 1
/8
0
cosx
cos3xdx
17 Вычислить интеграл
/5
30
sin 2 5x
dx
0
18 Вычислить интеграл
/ 6
dx
4
3 1
/8 cos 2 2x
19
e
dx
Вычислить интеграл
1
x
20 Вычислить интеграл
6
x
3
dx
1 x 3
21 Вычислить интеграл
10
84 dx
2
x 6x
58
3
2
1
3
4
1
20
3
22 Вычислить интеграл
1
5 x
e
dx
e
0
23 Вычислить интеграл
/ 4
dx
2
0 cos x
24 Вычислить интеграл
3
dx
24
x
2
2
25 Вычислить интеграл
/ 3
e
dx
6 sin(ln x )
x
1
5
1
4
3
216

Задания к главе 11
№ Задание Варианты ответов Ответ
1 Определить порядок дифференциального
уравнения
3
x
2 y y
2
2 Определить порядок дифференциального
2
уравнения
3
y y 3 0
3 Определить порядок дифференциального
уравнения
y sin 4 x sin 2x
4 Определить порядок дифференциального
уравнения
4y
8y
5y
5cosx
5 Определить порядок дифференциального
уравнения
2
xy
y y
6 Определить порядок дифференциального
уравнения
IV
y y 0
7 3
3C
x ln x 1
y – общее
решение дифференциального
2 2
уравнения y x y dy
xdx 0.
Найти C, если y 0 3
3
2
1
4
9
8
9
y 2
ln x C – общее решение
y 2
дифференциального уравнения
y xy
2xy
. Найти C, если
y 0
1
1
1
ln y C x –
2
2
2y
2x
общее решение дифференциального
уравнения
3 3 2 3
1
x y
dx y
1x
dy 0.
y 1
Найти C, если 1
0
0
217

№ Задание Варианты ответов Ответ
10 2x
3x
y C e C e – общее решение
1
2
дифференциального уравнения
y 5y
6y
0 . Найти частное
y .
решение, если y 0 0, 0 4
В ответ указать значение 2C1
C2
4
11 y C1 cos3x
C2
sin 3x
– общее
решение дифференциального
уравнения y 9y
0. Найти
частное решение, если y 0 1,
y 0 6 . В ответ указать значение
4C C
1
2
12 x x
C e C xe – общее решение
y 1 2
дифференциального уравнения
y 2y
y 0. Найти частное
решение, если y 0 3, y 0 5
ответ указать значение 3C1
C2
. В
13 Уравнением с разделяющимися
переменными является…
6
1) y ;
x
2 9
2xy
2) y ;
2 2
x y
3) y y x
2 0;
4) y y xy
3 0;
5) y 4y
3y
0
2
7
1)
14 Линейным уравнением первого
порядка является…
6
1) y ;
x
2 9
2xy
2) y ;
2 2
x y
3)
x
8y
12y
e ;
y 65
4) y y x
2 0;
5) y 4y
3y
0
4)
218

№ Задание Варианты ответов Ответ
15 Уравнением Бернулли является…
6
4)
1) y ;
x
2 9
2xy
2) y ;
2 2
x y
3) y y x
2 0;
4) y y xy
3 0;
5) y 4y
3y
0
16 Однородным уравнением первого 6
порядка является… 1) y ;
x
2 9
2xy
2) y ;
2 2
x y
3) y y x
2 0;
4) y y xy
3 0;
5) y 4y
3y
0
17 Линейным однородным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами является…
2xy
1) y ;
2 2
x y
2) y 8y
y cos4x
;
3) y y x
2 0;
4) y y xy
3 0;
5) y 4y
3y
0
2)
5)
18 Линейным неоднородным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами является…
19 Найти общее решение (общий интеграл)
дифференциального уравнения
y 2x
1ctg
y.
6
1) y ;
x
2 9
2xy
2) y ;
2 2
x y
3) y 8y
2y
5cos4x
;
4) y y x
2 0;
5) y 4y
3y
0
1) ln cos y x x C ;
2
2) ln cos y x x C ;
1
3) x
2 x C ;
2
cos y
1 2
4) x x C ;
2
sin y
1
5) 2x
C
2
cos y
2
3)
2)
219

№ Задание Варианты ответов Ответ
20 Найти общее решение (общий интеграл)
1) cos y Ccosx
;
1)
дифференциального урав-
2) sin y Csin
x ;
нения sin ycosxdy
cos ysin
xdx .
3) cos y cosx
C ;
21 Найти общее решение (общий интеграл)
дифференциального урав-
2
x 2
нения y e x1
y
.
22 Найти общее решение (общий интеграл)
дифференциального урав-
2 2
нения y 1
x cos y 0.
23 Найти частное решение (частный
интеграл) дифференциального
уравнения
2
1
y
y , y0 π 4
2
1
x
24 Найти частное решение (частный
интеграл) дифференциального
уравнения
y ctgx
y 2, y 0
3
25 Найти общее решение дифференциального
уравнения
2
x y 2xy
3
2
4) cos y cos x C ;
5) tg y tg x C
1) arcsin y
2) arctg y
3) arctg y
2
2
e x 2
0 ,5 C ;
e x
2
C ;
2 C ;
e x
4) ln y
1
0 ,5 C ;
5) arctg y
0 ,5
2
e x 2
e x 2
C
1) tg y C arccosx
;
2
2) tg y C ln x
1
x
;
3) ctg y C arcsin x ;
4) tg y C arcsin x;
5) ctg y C arccosx
1) arctg y arctgx
1;
2) y x ;
4
3) arctgy arctgx
3 ;
4) arctg y arctgx
1;
5) arctgy
arctgx
3
1) y 2 cosx
;
2) y 1 2cosx
;
3) y 3 sin x;
4) y 2 sin x;
5) y 2cosx
2
1) y Cx 1 x;
2) y C 1
x ;
2
3) y Cx 1 x;
4) y C 1
x ;
5)
y Cx
2
3x
3
5)
4)
4)
1)
1)
220

№ Задание Варианты ответов Ответ
26 Найти общее решение дифференциального
уравнения
2 3
2
1) y 2 x C ;
5)
2) y 2 5x
Cx ;
3 2
y
y
2
3
x x
3) y 2 5x
C ;
2
4) y 1 x C x ;
27 Найти общее решение дифференциального
уравнения
y
y tg x tg x
28 Найти общее решение дифференциального
уравнения
y
ycosx
cosx
29 Найти общее решение дифференциального
уравнения
y x y
xcosx
5) y 2 x C x
1) y 1 C ;
2) y 1 Ccosx
;
3) y C sin x 1;
4) y C cosx
1;
5) y C cosx
1
1) y Ce 1;
2
sinx
x
2) y e
sin C ;
sinx
3) y Ce 1;
cosx
4) y Ce 1;
5) y C 1
1) y x
x C
sin ;
2) y xsin x C ;
3) y xcos x C;
4) y xsin x C;
5) y xsin
x C
3
4)
3)
4)
30 Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения
x
y
y e , y 0
1
31 Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения
2
x y
xy 1
0, y 1
0
32 Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения
4
x y
2y
2x
, y1
0. В ответ
y 2
записать
221
1) x
y x 1
e ;
2) y xe 1;
3) y x
2 1e
x
x
;
x
4)
y x 1 e ;
x
5) y xe 1
1) y xln
x ;
2) y ln x x ;
3) y xln
x ;
4) y ln
x x ;
5) y 1 x
2 1
x
1)
4)
12

№ Задание Варианты ответов Ответ
33 Найти частное решение линейного
18
дифференциального уравнения
3
y y x,
y1
0. В ответ записать
y 3
x
34 Найти общее решение (общий ин-
1) cosy
x C ln x ; 2)
теграл) однородного дифференциального
уравнения
2) sin y
x C ln x ;
2
первого порядка
3) sin y
x C 1
x ;
x
2
y xy
4) cosy
x C 1
x ;
cosy
x
5) sin y C ln x
35 Найти общее решение (общий интеграл)
однородного дифференци-
y
x
1) e ln C
x;
4)
ального уравнения
2) e x ln Cx ;
первого порядка
y x
xy
y xe
3) e y ln Cx ;
y
x
4) e ln Cx ;
36 Найти общее решение (общий интеграл)
однородного дифференциального
уравнения
первого порядка
2 xy y dx xdy
0
37 Найти общее решение (общий интеграл)
однородного дифференциального
уравнения
первого порядка
2
x y
y x y
38 Найти общее решение линейного
однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
y 8y
16y
0
e y x
5) 1
x C
2
2
1) y xln
Cx ;
2) y xln
Cx ;
2
2
3) y ln Cx ;
4) y x 1 x C ;
5) y xln
Cx
1) y x ln Cx ;
2) y ln
Cx ;
3) y xln
Cx ;
4) y ln Cx x ;
5) y x ln Cx
4x
1) y C1e
C2e
;
2) y C1 cos4x
C2
sin 4x;
4x
y e
C C x ;
2
4x
3)
4)
1
1 2
4x
1
4x
y C C e ;
5) y e C
C x
2
2
1)
5)
5)
39 Найти общее решение линейного
однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
y 4y
5y
0
222
3x
2x
1) y C1e
C2e
;
2)
x
y e
C1 cos5x
C2
sin5x;
x x
3) y C1e
C e
5
2 ;
5x
4) y e C1 cosx
C2
sin x;
5x
x
5) y C e e
1
C 2
3)

№ Задание Варианты ответов Ответ
40 Найти общее решение линейного 1) y C1 cos5x
C2
sin 5x
; 1)
однородного дифференциального
25
2) y C1e
x C2
;
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами 3) y C1e
x C2
;
25
y
5x
5x
25y
0
4) y C1e
C2e
;
5)
5x
y e C1 cos5x
C2
sin5x
41 Найти общее решение линейного
7x
1) y e C1
C2x;
2)
однородного дифференциального
7x
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами 3) y C1 cos7x
C2
sin 7x;
y 7y
0
2) y C1 C2e
;
7x
7x
4) y C e C e ;
42 Найти общее решение линейного
однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
y 4y
5y
0
43 Найти общее решение линейного
однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
y 16y
64y
0
5)
y C e
1
1
x
x
C
2
7x
2e
2x
2e
1) y C1e
C ;
2)
x
y e C1 cos2x
C2
sin 2x;
3)
3x
C e
x
C e ;
y 1 2
2x
e C1 cosx
C2 sin x;
4x
x
y C1e
C2e
8x
8x
y C1e
C2e
;
y C1 cos8x
C2
sin 8 ;
8x
y e C1
C2x
;
8x
y C1
C2e
;
8x
e C1
C2x
4) y
5)
4)
5)
1)
y
2) x
3)
4)
5)
Задания к главе 12
№ Задание Ответ
1 Записать общий член ряда
1 2 3 4
11 102 1003 10004
2 Пользуясь определением сходимости ряда, найти
1
его сумму
3
1 2 3 4
4 16 48 256
3
5 5 5 5
5
Если ряд
сходится, то
n
3 9 27 3
2
его сумма равна
223

№ Задание Ответ
4 Найти сумму ряда по определению
23
1 1 1
1
1 7 3
9 5 11
(2n
1)(2n
5)
90
5 Найти сумму ряда по определению
3
n n
45 243 3 6
1
n
81 729 9
6 Записать общий член ряда
1
2 1
3 1
4
1
2 2
1
2 1
3 1
4
2
7 Записать общий член ряда
1 3 5 7
2 3 4
2 2 2 2
8 Найти сумму ряда
1
1 1 1
1
1 4 4 7 7 10
(3n
2)(3n
1)
3
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
n
n
1
n1 2 1
n1
n
1
n1 1
n1
1
n
1
n
n1 5
n
n
2
7
n
n
2
n
1 14
3n
4
n
n1 7
n1
n1
n1
n
2n
3
tg
n
4
tg
n
n
Исследовать сходимость рядов
n
224
Расход.
Расход.
Сход.
Сход.
Сход.
Сход.
Расход
Сход.
Расход.
Расход.

№ Задание Ответ
19
2
n
Сход.
20
21
22
23
24
25
n1
5
n 4
sin
n
n1 2
1
n1 3n
2
1
n1 ln( n 4)
sin
n1 3n
1
n
( n 3)( n 2
1
arctg
n
n1
1 )
Сход.
Расход.
Расход.
Расход.
Сход.
Расход.
26
27
28
29
30
n
n
n1 3 1
n 2
n1 n!
1
1 n6
n
n
n
arcsin
n
n1 7
n
1
1 (ln( n 1))
n
n
Сход.
Сход.
Сход.
Сход.
Сход.
Задания к главе 13
№ Задание
Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки x
0
1
y 1
x 3
в окрестности точки x 0 3
2 y 3
x в окрестности точки x 1
0
3 y ln x в окрестности точки x 2
0
225

№ Задание
4
x
y e в окрестности точки x 0 3
5
y 1
x 2
в окрестности точки x 0 5
x
6 y e
1 в окрестности точки x 0 1
7
y sin x в окрестности точки 0 3
6
x
8 3 2
y x в окрестности точки x 0 1
9 1
y в окрестности точки 0 3
x
x
10 y ln x в окрестности точки x 3
11 1
y
3 3
2 x
12 1 1
y ln x
x 1
x
13 y arctg x
14 y 1 cos3x
15 y sin 2x
16 1
y
2
4 x
17 1
y
1 x
18 2
y arcsinx
19 y xcosx
2
y ln 2 x
20
0
Разложить в ряд Маклорена
226

ОТВЕТЫ
Глава 8
4
1 1
11
8.1. а) z ( 2;1) ; z(1;3)
3;
б) z2;
4 3; z
; .
3
3 2 3
6
2
2
8.2. а) x y 9;
б) y x;
в) y x;
г) 1
y x,
х – любое;
x
д) 2 x 2, 2 y 2;
е) 1
1;
ж) x 4 , x 4,
4 y 4;
y
з) y 0 y
0
2
или ; и) y x;
к) xy 1,
xy 1;
л) y x, y x;
cosx
0 cosx
0
2
2
м) 2n x y (2n
1)
( n 0,1,2,3, )
; н) y x;
о) x 5,
y 0.
8.3. а) x 0 , y 0, z 0;
б) xyz 0;
в) x 1 , y 1,
z 1;
г) x y z 1.
2 2
8.4. а) x y c ( c 0)
окружности; б) xy c c 1 гиперболы или пара
2 4 2
прямых x 0,
y 0;
в) x y c ( c 0)
– эллипсы; г) xy c ( c 0)
– гиперболы
или пара прямых x 0,
y 0 ( c 0) ; д)
2
y cx ( c 0, x 0)
– параболы с
выколотой точкой (0; 0) или x 0 ( y 0)
– ось Оу с выколотой точкой (0; 0); е)
2
2
9 x 4y
c ( c 0)
– гиперболы или пара прямых 2y 3x
, 2y
3x
( c 0) .
8.5. а) z c x y – плоскости в пространстве; б) z c x y – плоскости
2
2
в пространстве; в) x y z c,
( c 0)
– сферы; г)
2
2
2
z c x y – поверхности
уровня.
8.6. а) 6; б) 27; в) – 4; г) – 1; д) е; е) 1 ж) предел не существует; з) предел не
существует; и) 0; к) 0.
2
8.7. а) О (0; 0) – точка разрыва; б) x y 9 – окружность; в) y x – прямая;
г) x 0 или y 0 – ось Ох и ось Оу; д) М (2; – 3) – точка разрыва; е) y x
–
прямая; ж)
2
z x y – плоскость; з) x 0 или y 0 или z 0 – координатные
плоскости.
z 2 z 2
8.8. а) 3x
3y;
3y
3x;
x
y
z
4x
2 cos(2 x 4y);
y
z
б) 2xsin(2
x 4y)
xcos(2
x 4y)
;
x
z 4y
z 4x
z y 1
в) ; ; г) yx ;
x
2
2
( x 3y)
y ( x 3y)
x
2
2
2
227

z
y
x
y
ln x;
4
z y z 4y
д) ; ;
x 2
x y x
3
x
y
sin
sin
x
x
e cos xe cos
z
y z
y
е) ;
;
x y y
2
y
x
y
z 2 2 xy
ж)
;
x
3
2 2
x y
z
y
2
x
2
2x
y
2
2
3
;
z 1 x a
з) ctg ;
x y y
z
y
x a
2 y
x a
ctg
;
3 y
z y z 1
и) ; ;
x 2
x y x
2
5
x 2y
z
к)
;
x
3
2
2
x y
z
y
5xy
x y
2
3
;
z y
л) ;
x 2 2
x y
z
y
x
2
x
y
2
;
z 2xsin
x
м) ;
x y
2
z
y
cosx
y
2
2
;
u
z 1
н) yz(
xy)
;
x
u
y
xz(
xy)
z 1
;
u
z
z
( xy)
ln( xy);
u
xy
о) yz ln z;
x
u
y
xz
xy
ln z;
u
z
( xy)
xy
z
1
.
8.9. а) dz
3x
2 xy
3 2
10 dx
4y
5x
dy;
б) dz xy2 y
2 dx 3xy
dy ;
4xy
в) dz ydx
3xdy ;
x
2
y
2
2
2 y
г) dz sin 2xdx
sin 2ydy
; д) dz y x
1
dx
2 2
3
x dx y dy
x y ( 1 yln
x)
dy;
е) dz
1 x
; ж) dz dx
dy;
3 3
x y
x y y
2( y dx xdy)
з) dz ; и) dz 2 x
dx
dy;
2 2
x y
2x
ysin
y
к) du yz dx xz dy xy dz ;
y
2
2
2
x dx y dy z dz
xy
л) du
; м) du e ( yz dx xz dy dz) .
2
3 3 3 3
x y z
228

8.10. а) 1,01; б) 0,272; в) 5,014; г) 9,26; д) 0,805; е) 4,40;
9 3
1 68
8.11. . 8.12. 1. 8.13. . 8.14. . 8.15. . 8.16. 9i 4 j .
2
2 33
13
8.17. 5 3
3
i j . 8.18. 6i 3 j 2 k . 8.19. arccos .
4 4
10
dz
8.20. а) 2 2 dz dz
t 4t
t t 2t
; б) 0;
в)
t t
e e
;
dt
dt dt
2
3t
3t
4
2
dz
3
г)
t
ctg .
dt 2
4
2 1
4 2
t
t 1
t
2 1
x
dz y xe dz 4x(
x y)
dz y
dz 1
2y
8.21. а) ; б) ; в) e 1 x (
x)
; г) .
dx 1
x
2 y 2 dx
2
2
x y
dx
dx 3
x
z x(2y
x)
z 2x(3y
x)
z xcosv
ysin
v
8.22. а) ;
; б)
;
u
2
2
y v
2 2
y
u
x y
z u(
ycosv
xsin
v)
;
v
2 2
x y
z
yx
v
y 1
z
2xy
y
v
u
x
2
y
u
ln x ;
2
v
2
2v
x 2yx
.
z y 1 y 1
в) yx v x ln x ;
u
v
z
2 2
г)
2xy
y
x 2yx 2u;
u
dy 3 2x
8.23. а) ;
dx 4 y 5
3x
dy y dy 3ye
e dy 4ay
3x
б) 3 ; в) ; г) .
dx x dx 3y
3x
2
3xe
e dx 3y
4ax
3y
2
z 2z
3x
z 3y
8.24. а) ; ;
x 2
2
3z
2x
y 3z
2x
z 2x
3yz
z 4y
3xz
3
в) ; ;
x 2
2
3z
3xy
y 3z
3xy
z cos y zsin
x
г)
;
x ysin
z cosx
2
2 2
y x
z
8.25. а)
;
2
2
x 2
x y
2
z xsin
y cosz
.
y ysin
z cosx
2
z 2x
x
y
2
x y
2
z 1
б) ;
x 3
2
;
2
z
y
z
2
y
x
2
2
;
3
1
y
2
;
229

2
z 2x
б) ;
2
2
x
2
1
x
2
z
x
y
0;
2
z
y
2
2y
2
1
y
2
;
2
z y
в)
;
2
x
3
2
2xy
y
2
2
z
x
y
xy
2xy
y
2
3
;
2
z
y
2
x
2
2xy
y
2
3
;
2
z 2( y 1)
г) ;
2
3
x ( x 1)
2
z
x
y
1
( x 1)
2
;
2
z
y
2
0;
2
z
д) cos( x y)
;
2
x
2
z
x
y
cos( x
y)
xsin(
x
y);
2
z
y
2
xsin(
x
y);
2
z y
е) ;
2
2
x ( x 1)
2
2
z
x
y
2y
;
x 1
2
z
y
2
2ln( x 1).
3
2
2 12y
2 18y
6y
2 2 y 2 2 1 2
8.26. а) d z dx dxdy dy ; б) d z dx dxdy dy ;
5
4
3
2
x x x
x x y
2 2
в)
2 x
d z 2e
y 2 2
2
2
2x
1
dx 4xydxdy
2y
1
dy
;
2
2 2sin y 2
г) d z 2sin
xdx dy .
3
cos y
1
2
8.27. а) z min ( 4;1)
1;
б) z max (4;4) 12;
в) z min (1; ) 3;
г) zmin 2;0) ;
2
(
e
д) z (1;3) 10
18ln 3;
е) z ( 1;0)
1;
ж) z (0;0) 1;
з) экстремума нет.
min
min
8.28. а) z (1;1) 2;
б) z ( 2;
2)
4;
z (2;2) 4;
в) z 1;1)
min
max
18 12 10
z min (1; 1)
1;
z max ( 1;1) zmax
( 1;
1)
1;
г) z min ( ; ) 2 .
13 13 13
min
max
min (
8.29. а) zнаиб
2
при
3 3
2
x ,
3
1
y ,
3
2
z наим при
3 3
2
x ,
3
1
y ;
3
б) z 13
при x 2, y 1
(краевой максимум), z наим 1 при x y 1
наиб
(внутренний минимум) и при x 0, y 1
(краевой минимум); в)
z ; 2 5, z 2;
3 11; г) z 3;
2
11, 1 ; 2 9
наим 1
наиб
z 2;
0
4, 3;
3 6
наим
z .
наиб
наим
z ; д)
наиб
230

8.30. 3 2V , 3 2V , 0,5
3 2V . 8.31. l b 2 A /
4 3 , / 3, где l – боковая сторона
трапеции, b – основание, – угол наклона боковой стороны, A – данная
площадь сечения. 8.32. R h 5 / 2, H h/ 2, где R – радиус основания
палатки, H – высота цилиндрической части, h – высота конической верхушки.
8.33. 2 S , 2 S , S
2 . 8.34. S /
3
R .
Глава 9
1 5 1 4 3 2
3 2
8
9.1. x x 2x
4x
7x
c.
9.2. x x 5x
7ln x c .
5 2
x
9.3.
1 x
3 2 1
x c .
3
2 2 b 3
9.4. a x abx x c .
x
3
3
3 3 2 2 2 3 b 4 1 x
9.5. a x a bx ab x x c.
9.6. c .
2 9.7. 1 1
2
x 2 x 2ln | x | .
2
4
x 6 3
x
c
2 3
1 1 1 1
1 5 5
9.8. ln | x | c . 9.9. c.
9.10. x c .
2 3 5 7
3
x 2x
x x x x
25 3x
3 1
3 2
4 1
9.11. x 3ln | x | c.
9.12. 3x
6x
6x
7ln | x | c .
2 2
x 2x
x x
9.13. 1 3 1 2 1
1 2
2 1
x x ln | x | c.
9.14. x 2x
3ln | x | c .
2
3 2
x
2
x 2x
9.15. 1 x 2 3x
.
2
c
1 2x
3
9.16. ln c .
12 2x
3
2
1 x 5
9.17. ln c .
2 5 x 5
1 x
1
1 2 2 x
9.18. arctg c . 9.19. arctg 2x
c . 9.20. x arctg c .
4 2
2
2 3 3
5 x 1
1 x 1
9.21. x ln c . 9.22. x arctg x c . 9.23. x ln c .
2 x 1
2 x 1
9.24. 1 x 3 x arctg x .
3
c a x a
9.25. x ln c . 9.26. arctg x x
1 x 3 .
2 x a
3
c
3 12 2 1 2
9.27. ln | x | arctg x c . 9.28. 3x
x x x c . 9.29. 3 2 3
x 3 x x x
5 2
2 3
2 2
5x c. 9.30. 6 x x x c.
9.31. 2 3
x x x
3 x .
15
3 4
c
4
9.32. 2 x 4 x c.
2
9.33. x x 3x
6 x ln x c . 9.34. 3 ( x 4)
3 x .
3
4
c
231

7 3
9.35. x
7 x .
8
3 2
2 x
c x 12 6 3
9.36. x x 3 x c.
9.37.
2 7
9
2x
2 24 x c.
9.38.
x
2
n
4x
x
2
2n
1
2x 2n
2
c .
4n
1
9.39. 3a x x c .
3
9.40.
1 3x arcsin c . 9.41. 3 arctg x 7arccosx
c .
3 2
9.42.
5 x x
arctg 3arcsin c . 9.43. 2arcsin
x 8arctgx
c .
2 2 2
9.44. 3arcsin
x x c . 9.45. 5ln x 1
x x c . 9.46. ln x 3
x
x 1
arcsin c . 9.47. 5e x
1
c
3 . 9.48. e x c . 9.49. e x x c .
2
3
x
2x
x
3x
2250
e 3
9.50. c . 9.51. c .
ln 2250
3 ln 3
x
x
2
9.52.
x
5
x
3 3
25
c . 9.53.
ln 3 ln 5
x
7 ln 7
3
2
x
7
c . 9.54. 15 3
2 2
c . 9.55. c .
x
5 ln 5
2ln 2
x
5 ln 5 ln 2 3x
x
15
a x
9.56. 4 4 1 1
x c . 9.57. x sin x c .
ln a
2 2
9.58. tg x x c .
9.59. ctg x x c . 9.60. 3cosx
4sin x c . 9.61. 3cosx
tgx c .
1 1
9.62. 8tgx
7sin x c . 9.63. tg x 3sin
x x c . 9.64. ctg x tgx c .
4 4
1 1
9.65. ctg x tg x c . 9.66. 1 x 3 2cosx
3e
x .
2 2
3
c 9.67. 3tg
x 4ctg x c .
1
1
9.68. 2ctg
x 3cosx
5x
c . 9.69. ctg x x c . 9.70. tgx c .
2
2
1
9.71. ctgx c . 9.72. x cosx
c . 9.73. tgx 4ctgx
9x
c .
2
1
1
9.74. 3tgx
2ctgx
c . 9.75. ( atgx bctgx)
c . 9.76. ( actgx btgx)
c .
2c
c
9.77. 1 (5 2x)
7 c . 9.78. 1 4
(1 2 )
4
1
x c . 9.79. ln | 3 5x | c .
14
32
5
9.80. 1 ln | 5 3x 2 | c.
9.81. .
6
1
c
2 2
4( x 1)
9.82. 3 1
ln(
2
x
x 9) arctg c
2 3 3
.
2 2x
1
9.83. arctg c .
3 3
x 2 1 x 3
9.84. ln c . 9.85. arctg c .
x 3 4 4
2
232

x 1
9.86. ln c .
x
2
9.87. ln | x 3x
5| c
. 9.88.
3
ln 2x 3x
2 x 2 c .
3
1 x
9.89. arctg c . 9.90. 1 (
2
2
2 2x
arctg x 2) c.
9.91. arctg c.
3 5 5
2
4 5 5
1
2
2
9.92. c.
9.93. 2 7x c.
9.94. (3x
1) 3x
1
c.
2x
1
7
9
9.95. 3 (1 2x)
3 1
2x
.
8
c 9.96. 1 2
( x 1) x
2 1
c.
3
1 3 3 3
9.97. ( x 3) x 3 c.
9.98. 1 x c.
9.99. 2 3x c.
4
9
3 3 2
2
2 3
9.100. (1 x)
c.
9.101. ln x 1
x 2x
2 c.
2
x 1
x 2
1 4x
3
9.102. arcsin c.
9.103. arcsin c.
9.104. arcsin c.
2
2
2 5
2 x
9.105. 5 3 x 3arcsin c.
9.106. 1 2
ln 3x
3x
4 1
c.
3
2 3
2
2
2 x
9.107. x 1 ln x x 1
c.
9.108. 2 x arcsin c.
2
9.109. 2 2 1
9x
4 ln 3x
9x
2 4 c.
9.110. 1 3
ln x x
6 1
c.
9 3
3
1
9.111. .
2
1 x c 2
9.112. (1 x)
1
x
2 (1 x)
2 1
x c.
3
5
9.113. 2 5
( 3) 2 ( 3)
3
2
3
x x c.
9.114. (3x
7) ( x 1)
c
5
15
9.115. 2 3
( x 1)
3 c.
9.116. 1 2 5 1 2
( x 1) ( x 1)
3 c.
9
5
3
3x
5 5
9.117. 2 3x 5 5 ln
c.
9.118.
3x
5 5
2
2 1 2 x 2
2 x ln
c.
9.119. 2 x 2ln(1
x)
c.
9.120.
2
2
2 x 2
1
x 1 .
2 1
x 2ln
c
3
3 2 3
3
9.121. ( x 1)
3 x 1
3ln 1
x 1
c.
9.122. 2arctg
x 1 c.
2
2 2x
9
9.123. arctg c.
3 3
2
2 x
1 x 2
9.124. arctg c.
9.125. ln c.
3 3
2 x 2
233

1
3 1
3
9.126. ( x 1)
( x 1)
c
3 3
2
x 1
1
9.127. arctg x 1 c.
9.128. ln c.
x
2
9.129. 4
4
2 x 4 x 4ln(1
x)
c.
6
9.130. t 7 12 5 4 3 2
t 3t
8t
12t
48t
2
24ln t 2
7 5
96 t
arctg c,
t
6 x 1.
2 2
6
x
1
9.131. 6ln c.
6
x 1
9.132. e 5 x c.
5
x x
9.133. 3
e3 e
3
1 2
c.
9.134. e .
x c
2
x
x
x
1 3
1
9.135. e x c.
3
1 4
9.136. e x c.
4
4 10 25
9.137. 2 c.
9.138. ln( 7 e x ) c.
9.139. 1 2 x x
e 2e
4x
.
ln 4 ln10 ln 25
2
c
2x
1 e 6
9.140. ln c.
2x
4 6 e 6
2x
1 e
9.141. arctg c.
9.142.
1 ln | 2 3e 2x
| c.
2 5 5
6
1 5
sin
9.143. e x x
1
e 1
c.
9.144. x ln(1 e ) c.
9.145. ln c.
5
x
1
e 1
e 2
9.146. 2arctg
c.
2
x
x
9.147. 2e x e2
c.
9.148. 2arcsin c.
4
1 e e
9.149. c ln . 9.150. 4 4 x 7 4
( 1)
4 x
e ( e 1)
3 c.
x
2 e e e
7
3
9.151. ln | ln x | c.
9.152. ln | 3 ln x | c.
9.153. (2ln x 1) c.
8
1
9.154. ln | ln(3x 1) | c.
9.155. .
3
1
ln x c 9.156. 2 (2
3
ln x ) 3 c .
2
9.157. ln ln | ln x | c.
9.158. (2 ln x )
3
4 2 ln x c.
3
x
1 4
9.159.
2 ln x 1
1
2ln x ln x arcsin c.
9.160. ln x
2
x 1
ln
2 ln | ln x 2ln 2| c.
9.161. 2sin
c.
9.162. cos3 x c .
2
3
1
1
1
9.163. c cos( a bx)
. 9.164. sin( a bx)
c.
9.165. tg3x
c.
b
b
3
1
9.166. ctg2x
c.
9.167. 1 sin
2 x c.
9.168. 1 sin( x 3 1) c.
2
2
3
x
234

1 1
1 1
9.169. sin 4x
sin 6x
c.
9.170. c cos5x
cosx.
8 12
10 2
1 1
1
x
9.171. sin 2x
sin12x
c.
9.172. 2sin
3
c.
4 24
3
3
4
1 x 1 1 1 1
9.173. c 1
cos . 9.174. sin 2x
sin 4x
sin 6x
sin8x
c.
2 2 8 16 24 32
1 3
1 4
9.175. sin x c.
9.176. cos x c.
9.177. ln | cosx | c.
3
4
1
1
9.178. ln | sin x | c.
9.179. ln | sin 2x | c.
9.180 ln | cos5x | c.
2
5
2 3 1 5
2 3 1 5
9.181. cosx
cos x cos x c.
9.182. sin x sin x sin x c.
3 5
3 5
5 1
1
9.183. 2cos
x c.
9.184. x sin 2x
3 sin 4x
sin
3 2x
c.
16 4 64 48
5 1 3 1
9.185. x sin 2x
sin 4x
sin
3
2x
c.
16 4 64 48
9.186.
2 1
sin
4
1 1
ln | sin x | sin x x c.
9.187. ctg
4
x ctg
2
x ln | sin x | c.
4
4 2
1 2
9.188. tg x ln | cosx
| c.
9.189. .
2
1
c
2
2sin x 9.190. 1
c
3cos
. 3
x
9.191. 1
sin c.
x 9.192. ln 1
cos2x
c.
9.193. 2 cosx c
sin x
.
1
1
sin x 2
9.194. ln |1
2cos2x | c.
9.195. ln |1
3cosx | c.
9.196. c.
4
3
cosx
9.197. 1 ln(1 3cos
2
1
x)
c.
9.198. ln |1 2sin x | c.
9.199. 2ln | sin x |
3
2
2ctgx c. 9.200. ln | sin 2x | c.
9.201. arctg (cosx
2) c.
9.202. cos x ctgx c . 9.203. 2ctgx
3cosx
c.
9.204. 5tgx
4sin x c.
a 1
cos x
9.205. ctgx cosx
c.
9.206. arcsin c .
2b
2b
7
9.207. 1 1
ln cos cos
2
2
x x c.
9.208. c 3
5сos x.
2
2
5
1 2
9.209. 1
2cosx c.
9.210. arcsin sin x c.
2 3
3 3 2
3 3 2
9.211. c (4 7sin x)
. 9.212. ctg x c.
9.213. tg x c.
14
2
3
2
3
2 3
235

1 2 2 2 2
9.214. 2 sin x cos x c.
9.215. a sin x b cos x c.
2 2
a b
9.216. cos(ln x)
c.
9.217. 1 2 1
c 1
4x
arcsin
2 2x.
9.218. ln | arcsin x | c.
4 4
2
1 3
9.219. ( arctg x)
c.
9.220. arcsin x c.
9.221. 2 ( x 1) c.
3
9.222. ( x 1) c.
9.223. ( x 1)
e c.
e x
x
2
x
x
2
e x
x
9.224. ( x 2) e c.
9.225. 3e
3 ( x 3x
4) c . 9.226. 2e
2 (5x
27x
53) c . 9.227. ( x 4) c.
2 3
9.228. e x ( 3x
1) c.
3
4
1
e x 4 3
2
e x
4
9.229. 4 ( x 1)
3 x 1
6 x 1
6 c.
9.230. 1 3x
1 3 x
1 4
xe e c.
9.231. e x (4x
1)
c.
3 9
16
x
x 7 7
9.233. c.
2
ln 7 (ln 7)
x
e x
9.234.
( ax b)
a .
2
c
9.236. ( x
2 2x
2)
c. 9.237. ( x
2 2x
2) c.
e x
1 5
e x 2
e x
x
2
x
x 2 2
9.232. c.
2
ln 2 (ln 2)
2nx
e
9.235. (2nx
1)
c.
2 3
4n
9.238. (25x
10x
2) c.
9.239. 3e
3 ( x 6x
18)
.
125
c
9.240. 1 2
e x (2
2
1
x 2x
5) c.
9.241. e 2x
1 3
2e x ( x 1)
x c.
4
2
3
x 1 2x
1 3 2
3 2
9.242. 2xe
e x x x c.
9.243. e x
x
3x 6x
6 c.
2 3
1 2
3 2
9.244. e x (4x
6x
6x
3) c.
8
x
3
2
1
x
1 2
e x 2
9.245. ( x 1) c.
2
9.246. e ( x 3x
6x
6) e ( x 3x
6x
6) c.
1 2
4
e x
2
9.247. ( x 2x
2) c.
9.248. 2 ( x 2 x 1
2) c.
2
1 3x
3 2x
3 2x
x 2 1
9.249. e xe e 3e
( x 2x
2)
x 4
c.
3 2 4
4
3
2
1
e x
1
9.250. e x (sin x cosx)
c.
9.251. 2 2 (sin3 x 6cos3 x ) c .
2
37
2
e x
9.252. (2sin 5x
5cos5x)
c.
9.253. e x (2sin x cosx)
c.
29
5
1 1 x 2 x
9.254. e x
sin cos c.
9.255. (cos2x
sin 2x
2) c.
2 5 2 5 2
8
e
x
2
e x
2
x
236

2
e ax
1 bsin 2bx
acos2bx
9.256.
c.
2 2
4 a a b
e x
9.257. (3sin 3x
cos3x)
c.
10
9.258. 1 2 x
x
e (sin x 2cosx)
e (sin x cosx)
sin x .
5
c
x x
9.259. sin
4cos c
17 2 2
2 2 . 9.260. 2x
2x
x
e sin( e ) cos( e ) c .
e x
e ax
c
2 2
9.261. bsin(
bx)
acos(
bx)
.
a
b
1 2
2
1 x
1 x
9.262. xe (sin x cosx)
e cosx
c.
2
2
1
2 x
1 16x
6x
x
9.263. x 25 x 25 arcsin c.
9.264. arctg c.
2 2 2
2
5 256 ( x 4) x 4 2
x 1
9.265. arctgx c.
9.266. 1 2
2
x x 9 9ln x x
2 9
c.
2(1 x ) 2
2
1 2
2
9.267.
x x 7 7ln x x 7
c.
2
1 2 2 2
2 2
9.268. x
x a a ln x x a c.
9.269. xln
x x c.
2
9.270. c x ( x 2)ln | x 2| . 9.271. xln
5x
x c.
1 3
9.272. x ( 9 x)ln(9
x)
c.
9.273. ln( 2
x
x x 1) 2x
ln c.
3 x 3
1
1
9.274.
x ln1
2x x
c.
9.275. 1 2 1
x ln x x
2 c.
ln 2
2
2 4
9.276. 1 2 1
x ln 3x
x
2 c.
9.277. 1 (
2
1
x 1)ln(
x 1)
1 x 2 x .
2 4
2
4 2
c
9.278. 2 3 2
2
1 2
x ln
x c.
9.279. ( x x 2)ln( x 1)
x 2x
c .
3 3
2
9.280. 1 3 1
x ln x x
3 c.
9.281. 1 3 x 1
x ln x
3 c.
9.282. 1 ( x
3 8)ln(2 x)
3 9
3 3 9
3
1 3 1 2 4
x x x c.
9.283. 1 3 2 1 3 1
x x 2xln
x x x
2 2x
c.
9 3 3
3 9 2
9.284. 1 4
1 4 1 3 9 27
( x 81)ln( x 3) x x x
2 x c.
4
16 4 8 4
4
4
x x
9.285. 8x
ln 2x
4
8x
c.
9.286. xln 2 x 2xln
x 2x
c.
16
2
x 2 1
9.287. ln
3x
ln 3x
c.
9.288. 3 3
3 9
ln
2
x x ln x c.
2
2
4 2 8
4
237

3
x 2
2 2 3 2
9.289. x x ln x x x 2xln
x
3
2 3 1
x x
2 2x
c.
9 27 2
3 2
x 3x
1 3 3 2
1
9.290. ln x x x c.
3 2
9.291. (ln x 1)
c
9 4
x
1
1
9.292. (2ln x 1)
c.
9.293. (2ln 2x
1)
c.
9.294.
2 2
4x
4x
x ln 3x
4 x c
9.295. 2 x 1ln( x 1)
4 x 1
c.
9.296. 3 3 2 9
x ln x
3 x
2 c.
2 4
8 9 2
1 2
9.297. ln x 3ln x 2 c.
9.298. (ln x 2ln x 2) c.
3
27 x 4
x
9.299. 3 3 3 3
ln ln
ln .
2 x x x c
2x
2 2 4
9.300. (ln ln x 1)ln x c.
9.301. 2x
cos 2x
sin 2x
c.
9.302. sin x xcosx
c.
238
2 .
1 x
1 x 2
9.303. sin 4x
cos4x
c.
9.304. sin 5x
cos5x
cos5x
c.
16 4
25 5 5
3 x 1
9.305. cos2x
sin 2x
c.
9.306. 2(6
x)
x cos x 6(2 x)sin
x c.
2 4
2
9.307. x cosx
2xsin
x 2cosx
c
2
x 2x
2
9.308. cos7x
sin 7x
cos7x
c.
7 49 343
2
9.309. x cos2x
xsin
2x
2cos2x c.
2
x x 1
9.310. cos2x
sin 2x
(1 2a)cos2x
c .
2 2 4
x
x
2
9.311. 4sin
(2x
1)
2cos (5 x x ) c.
2
2
9.312. 1 cos3 (18 9
2 2
x x x 25)
sin 3x(
x 1) c.
27
9
3
2
9.313. x cosx
3x
sin x 6xcosx
6sin x c.
1 2 2 2
9.314. sin
x x cosx
c.
2
x x
9.315. ln tg c.
sin x 2
1 x
9.316. ctgx c.
2 9.317. ( 1 x)
ctgx ln | sin x | c
.
2 sin x
1
9.318. ln | sin 6x
| 6xctg6x c.
36
x
2
9.319. sin(ln 5x)
cos(ln5x)
c.
.
x x x
9.320. sin
ln cos
ln c.
2 3 3

x x x
9.321. sin
ln cos
ln c.
9.322. 2(
x sin x cos x)
c.
2 9 9
9.323. 2 x(
x 7)sin x 2(3x
7)cos x c.
9.324. xsin
x cosx
c.
x 1
1
9
9.325. sin 3x
cos3x
c.
9.326. (9x 1)sin 2x
cos2x c.
3 9
2
4
x 1
nx
1 nx
2
9.327. sin cos c.
9.328. x sin x 2xcosx
2sin
x c.
2 2
2n
2 n 2
1 2
9.329. (25x
sin 5x
10xcos5x
2sin 5x)
c.
9.330. ( 4x
1)
cosx
125
2
2
ax bx c 2ax
b 2a
(2x
x 3)sin x c.
9.331. sin x
cosx
sin x
c.
2
3
3 2
2
9.332. ( x 3x
3x
1)sin
x 3( x 2x
1)cos
x c.
9.333. xtgx
ln | cosx
| c.
1 2
1 2
9.334. (8x
4xsin 4x
cos4x)
c.
9.335. ( xtg
x tgx x)
c.
32
2
9.336. 1 (2
2 x x
x
e 4e
(sin x cosx)
2x
sin 2x)
c.
9.337. (cosln x sin ln x)
c.
4
2
x x x
x
9.338. cosln
sin ln c.
9.339. (cos(3ln x)
3sin(3ln x))
c.
2 3 3 10
1 2
2
9.340. c xtgx ln | cos x | x . 9.341. xarcsin
x 1
x c.
2
x
2
9.342. xarcsin
4 x c.
9.343. 1 1
x arcsin
x x x
2 c.
2
2 2
9.344. 1
1
x arcsin
2x
2x
4x
2 c.
9.345.
4
4
2
2
x 1 x 2
x 1 x
2
arcsin x 1
x c.
2 4
9.346. arcsin3x
1 9x
c.
4
2 36
12
9.347. 1 2
3 2
x x 11
(2x
6x
6x
3)arcsin x
1
x
2 c.
6
9 4 9
2
2
9.348. c (arcsin x 2) x 2 1
x arcsin x.
9.349. 2 1
x arcsin x 2 x c.
2
x 1
9.350. 3x
1
3x
arcsin 3x c.
9.351. ctg2x
.
3
2sin
2 2x
4
c
x
xarcsin x 1 2
9.352. 4 2 x 2 2 x arcsin c.
9.353. ln(1 x ) c.
2
2
1
x 2
2
1 x 1 2 4 x
2
9.354. arcsin ln c.
9.355. xarccosx
1
x c.
x 2 2 x
x
2
1 2
9.356. xarccos
4 x c.
9.357. xarccos3x
1
9x
c.
2
3
239

x
9.358. x xarccos
arctg x c.
x 1
3
x 1 2
2
9.359. x arccosx
( x 11)
1
x c.
3
9
9.360. 2x
arccos 2x
1
2x
c.
9.361. 2 1
x arccosx
4 1
x c.
9.362. 2 1
x arccos x 2 x c.
9.363. 1
x arccosx
x c.
9.364. 1 ln(1
2
x 5
2
xarctgx
x ) c.
9.365. xarctg
ln(25 x ) c.
2
5 2
1
2
9.366. xarctg
6x
ln(1 36x
) c.
9.367. ( x 1) arctg x x c.
12
1
9.368. ( x 1) arctg 2x
1
2x
1
c.
9.369. 1 1
( x
2 1) arctgx x c.
2
2
2
9.370. 1 1
(81x
2 1) arctg9x
x c.
9.371. 1 2
(
2 x ax
x a ) arctg c.
162
18
2
a 2
9.372. 1 3
5 2 1
( 6 ) ln(1 )
2
x
x x arctgx x x c.
9.373. ( x 4) arcctg 2 x c.
3
6 6
2
2
2
x x x x
x
x
2
9.374. arcctg 2x
2arctg
c.
9.375. arcctg x 1
2 2 3 2
2
2
1 2
x 1
c.
9.376. 1 2
(4 32 1) 2 ln(1 4
2 x
x x arcctg x x ) c.
2
8
4
3
9.377. ln | x 7 | c.
9.378. ln | 3 x | c.
9.379. ln |1
2x | c.
2
5
1 x
1 x 4
9.380. ln | 2x
+ 3|
c.
9.381. arctg c.
9.382. ln c.
2
11 11
16 x 4
1 x 3
1 3x
1 2x
19
9.383. ln c.
9.384. arctg c.
9.385. ln c.
18 x 3
33 11
2 38 2x
19
1 x 3
1 x
1 x
9.386. ln c.
9.387. ln c.
9.388. ln c.
3 x
8 x 4
7 x 7
1
1
1 x 1
2
9.389. c.
9.390. c.
9.391. ln c.
x 2
x 5 2 2 x 1
2
1 x 3
1 3x
4 22
1 x 9
9.392. ln c.
9.393. ln
c.
9.394. ln c.
5 x 2
2 22 3x
4 22
10 x 1
1 x 2 2 3
1 x 1
1 6x
3
9.395. ln
c.
9.396. ln c.
9.397. ln c.
4 3 x 2 2 3
3 x 2
8 6x
1
1 x 1
1 3x
1
1 2x
7
9.398. ln c.
9.399. ln c.
9.400. ln c.
4 x 3
5 3x
6
17 2x
10
2
240

1 3 x
2 5 8x
9.401. arctg c.
9.402. arctg c.
3 3
7 7
2 2x
1
x 2
9.404. arctg c.
9.405. ln c.
3
5 5
( x 1)
2 4x
3
9.403. arctg c.
23 23
9.406. 1 2x
1
5 1
ln ln | x
2 x 1|
c.
2 5 2x
1
5 2
1 2
9.407. ln | 4x 8|
2
x –
1 x 2 2 3
ln
c.
9.408. 1 1
ln |
2
x
1 2
x 6x
| ln c.
9.409. ln | 2x
4 3 x 2 2 3
2
6 x 6
4
5 2x
2 2 7
( x 3)
9.410. ln c.
2
2 14 2x
2 2 7
( x 2)
– 8x
1| ln
c.
3
2
9.411. ln | x |
3
5
3
– ln | x 3| c.
3
( x 2)
1 2
9.412. ln c.
9.413. ln ( x 1) 2x
3 c.
9.414. ln | x
x 1
2
x 4
2x
8| ln
c 9.415. 5 1 1
ln(
2
x
1 2
x 2x
10)
arctg c.
9.416. ln | 2x
x 2 4
2 3
4
– .
9.417. 1 5 1
ln |
2
x
x 2x
5| arctg c.
2
2 2
9 2x
1
+ 2x
3| arctg c.
2 5 5
1 2
9.418. 1 3 2 1
ln |
2
x
x x 6 | arctg c.
9.419. ln( x 4x
7) c.
2
23 23
2
3 2
9.420. 1 5 3 1
ln(3
2
x
x 2x
5) arctg c.
9.421. ln( x 4x
8)
6
3 14 14
2
5
2
x 2
2
– arctg c.
x 3
9.423. 32ln 3ln | x
x 5
2
10x
1
9.422. 8ln( x 0,2x
0,17) 20arctg
c.
4
2
8x
15|
c.
9.424. 1 2 5 1
ln(5
2
x
x 2x
1)
arctg c.
10
5 2
1 2
9.425. 5 5 2 1
ln(2
2
x
x 2x
5) arctg c.
9.426. ln( x 10x
29)
4
6 3
2
11
5
x 5
2
– arctg c.
2
1 ( x 5) 1 2x
5
9.427. ln
arctg c.
2
150 x 5x
25 25 3 5 3
2
1 (4 x)
1 x 2
9.428. ln
arctg c.
2
96 x 4x
16
16 3 2 3
1 | x |
9.429. ln c.
4
2
4 x
241

1
1 2
3
9.430. c.
9.431. ln | x | ln | 2x
3| ln | 3x
1|
c.
2
2( x 2)
3 33 11
9.432. 1 1
1
ln | 1| ln(
2
x
1 | x 1|
x x 3) arctg c.
9.433. ln
4 8 4 3 3
8 2
x 3x
4
5 2x
3 1 x 2 1
– arctg c.
9.434. ln c.
8 7 7
9 x 1
3( x 1)
1 x 2
1
9.435. ln c.
9.436. c.
2
2( x 1)
x 1
4(2x
3)
1 1 x 1
1 1 x
9.437. arctg x ln c.
9.438. arctg
2 4 x 1
2x
2 2 2
1 x 3 1
9.439. ln arctgx c.
8 3 x 3 4
+ c .
1 x 1 1
9.440. ln c.
16 x 2 16x
16( x 2)
1 x 1 x 3
1 1
9.441. arctg ln c.
9.442. ln | x 3| ln | x 1|
5 2 2 10 3 x 3
58 26
4 2
11 x 2
1 x 2x
9.443. arctg
c.
2
754 2
16 2 x 4
+ ln( x 4x
8) arctg c.
377
1 x 3x
1 x 2 1 x 3
9.444. arctg
c.
2 9.445. ln ln c.
54 3 x 9
30 x 1
70 x 4
x 9 1 x 1
9.446.
arctg c.
2
8( x 2x
5) 16 2
1 x 2
9.447. arctg(
x 1)
c.
2
4 x 2x
2
9
x 1
1 x 1
9.448.
arctg c.
2 2
2( x 2x
10)
6( x 2x
10)
18 3
9.449.
1 x 1
x 9
arctg –
c.
2
32 2 16( x 2x
5)
39x
72 13 2x
3
9.450. arctg c.
2
6( x 3x
3) 3 3
9.451.
2
1 1 x x 1
1 2x
1
+ ln arctg c.
2
x 6 ( x 1)
3 3
2
1. 2 1 x
1 x(
x 10)
1 x
9.452 ln c.
9.453. arctg c.
2 2 2
6x
3x
3( x 1)
x 1
96
( x 6) 6 6
242

2
1 x(3x
25) 3 x
9.454. arctg c.
2 2
200
( x 5) 5 5
2
1
( x 3)(3x
18x
32)
9.455. 3arctg(
x 3) c.
2
2
8
( x 6x
10)
3
1
1 ( x 3)
9.456. ln | x 1|
– 2ln | x 2 | ln | x 3| c.
9.457. ln
c.
4
2
2
2 ( x 1)(
x 4)
9.458.
9.460.
9.462.
1 ( x 2)
ln
2
5
x 1
1
ln
6
2
2
x 36
| x |
2
2
3 x 2x
5 x 1
– 9arctgx
c.
9.459. ln
arctg c.
2 | x |
2
x
+ arctg c.
6
1 2
x 49 x
9.461.
ln arctg c.
7 | x | 7
1 x 9 1 x
1 x 3 2
ln – arctg c.
9.463. ln c.
3 | x | 3 3
9 x 3x
1 | x | 3
1 2x
1
9.464. ln
arctg(
x 1)
c . 9.465. arctg c.
2 2
x 2x
2 2
19 19
4 1 13
x 3 21
9.466. ln | x 1| ln | x 2 | ln | x 2 | c . 9.467. 5ln
c.
3 4 12
x 1
x 3
x 2
x 2 2 x
9.468. c.
9.469. arctg c .
2
x 1
4( x 2) 8 2
ln 2
2
x 1
x
9.470. ln
1 c.
2
x x
2
1 x 2 x 2
9.471. ln c.
2
4 x 2x
1 x 2 1 x 1 x
9.473. ln 2
arctg c.
2 arctg
2 x 3 2 2 3 3
1 2x
1
– arctg arctgx c.
3 3
2
1 x 1
x 1
9.477. ln c.
2
4 | x 1|
4( x 1)
1 x 1
9.475. ln c.
2
16 x 5
2
2
2
5
3 x 3
9.472. ln c.
2
2 x 4
1 x x 1
9.474. ln
2
2 x 1
1
9.476. c.
2
2(1 x )
1 x 1
1 x
9.478. ln
2
4 | x 1|
4(1 x)
4( x 1)
1
1 1
x 1
x 1
– arctgx c.
9.479. ln arctgx c.
9.480. ln .
4
8 1
x 4
3
c
x ( x 1)
9.481.
9.483.
2
17 1 7
+ ln | x(
x 1) | c.
9.482. ln | x 3| ln | x | ln | x 2 | c.
x 1
6 12 4
3 20 7
– ln | x 1| ln | x 2 | c.
4( x 1)
9 9
2
2
243

9.484. 5 7 7
ln | 7
x
x 14x
20 | arctg c.
2
27 27
9.485. 1 1
ln | x 1| ln( x
2 4) c.
2 4
9.486. 3
ln(
1 2x
1
x x 1)
ln | x 2 | arctg c .
4
2 2 3 3
( x 2)
9.487. 7ln | x 3| 4ln | x 1|
5ln | x 4| c.
9.488. ln c.
3 5
( x 1)
( x 4)
x 4 2 8
9.489. 4ln
c.
x 2 x 2 x 4
x 4 13 3
9.491. 2ln
c.
2
x 2 2( x 4) x 4
2
2 x 1
9.490. arctg arctgx c.
3 2 3
6x
4x
1
9.492. c.
4
12(1 x)
x 4 x 7 x 1
1 x 1
9.493. 4ln
2arctg
arctg c.
9.494. arctg c.
2
x 2x
5 2 2 2
3 2 2
3x
11
1 2 15
9.495. ln( x 4x
5) arctg(
x 2) c.
2
2( x 4x
5) 2
2
1 2
9.496. ln( x 2)
3 x
3
ln(
2
x
arctg x 4) arctg c.
2
2 2
2 2
1
9.497. 2ln | x 1|
3ln | x 2 | c.
2
2( x 1)
1 3 2
4 x 2
9.498. ln( x 4x
13)
arctg c.
x 2
3 3
x 2 1
9.499. ln | x 1|
1 ln( x
2 1) arctgx c.
2
4( x 1)
4 8
1 1 2 3
9.500. ln( x 1)
arctgx c.
4( x 1)
4 4
1
9.501. ln | x 2 | c.
2
2( x 2)
9.503. 1 x 1
ln ( 1)
2
x x 1
c.
2
2
x 1
2x
1
8 2x
1
9.504. ln | 2x
3| arctg c
2
x x 1
3 3
4
2
244
2
2 4 3 x
9.502. ln ( x 1)( x 4) arctg c.
x 1
2 2
57 57x
103x
32
3 1
9.505. arctgx
c.
9.506. x ln | 2x
3| c.
2 2
16 16x(
x 1)
2 4
2
x
x
9.507. x ln | x 1|
c.
9.508. 3x
10ln | x 3| c.
2
2
2
.
7
3

2
x
x
9.509. x 10ln | x 4| c.
9.510. 5x
18ln | x 5| c.
2
2
2
x
9 1
9.511. x 6ln | x 5| c.
9.512. x ln | x 3| ln | x 1|
c.
2
2 2
9.513. 5 9 2 3
ln(
2
x
x x 3x
4) arctg c.
2
7 7
9.514. 5 5 2 5
ln(
2
x
x x 5x
10)
arctg c.
2
15 15
9.515. 1 3 1
x x
2 x ln | x 1|
c.
3 2
9.516. 2 3 2
x 1 2
x x 2x
3ln | x 1|
c.
9.517. ln | x 1|
c.
3
2 2
1 2 3
9.518. x
2 1 x
3x
ln( x 2) arctg c .
2 2
2 2
9.519. 1 151 3
x 2 7x
ln | x 5| ln | x 1|
.
2 4 4
c
9.520. 1 2 1
x ln( x
2 1)
arctgx c.
2 2
9.521. 1 1 45
x 2 4x
ln | x 1|
ln | x 3| .
2 4 4
c
2
2
x
| x |
x 2x
1
9.522. 4x
ln c.
9.523. 3arctg
c.
8
2 ( x 1)
2
3
2
2
9.524. 3x 2ln | x | – ln x 1 c.
9.525. x 2ln | x | 3ln | x 1|
c.
x
3
x
x
x
9.526. x arctgx c.
9.527. 4x
8arctg
c.
3
3
2
3
x
x
9.528. x 8arctgx
c.
9.529. arctgx ln | x 1| c.
3
2
3 x 3 27 x
9.530. x ln arctg c.
4 x 3 8 3
1
9.531. 2 129
31 127
33
x ln | x 2 | ln | x 2 | c.
2 32 16( x 2) 32 16( x 2)
1 3 1 2 x ( x 2)
9.532. x x 4x
ln c.
3
3 2
( x 2)
2
9.533. 1 x 2 33 31 1
arctg ln( x 4) ln | x 2 | ln | x 2 | x
2 c.
16 2
32 32 2
3
5
2
2
2
245

246
9.534. .
2
4
1
4
1
c
x
tg
arctg
9.535. .
2
2
3
6
1
c
x
tg
arctg
9.536. .
2
7
2
14
1
c
x
tg
arctg
9.537. .
6
5
30
2
1
c
tgx
arctg
9.538. .
5
3
2
2
5
3
2
2
ln
5
1
c
x
tg
x
tg
9.539. .
33
7
2
4
33
7
2
4
ln
33
1
c
x
tg
x
tg
9.540. .
11
5
2
6
11
2
c
x
tg
arctg
9.541. .
4
2
c
x
tg
9.542. .
1
2
ln
c
x
tg
9.543. .
3
2
2
ln
3
1
c
x
tg
9.544. .
3
2
9
2
c
x
tg
9.545. .
53
2
2
7
53
2
2
7
ln
53
1
c
x
tg
x
tg
9.546. .
31
1
2
4
31
1
c
x
tg
arctg
9.547. .
7
4
2
ln
7
1
c
x
tg
9.548. .
14
2
1
2
5
14
2
1
2
5
ln
14
2
1
c
x
tg
x
tg
9.549. .
3
2
7)
(4
2
c
x
tg
9.550. .
51
2
2
5
51
1
c
x
tg
arctg
9.551. .
2
3
2
c
x
tg
9.552. .
10
3
2
10
3
2
ln
10
1
c
x
tg
x
tg
9.553. .
2
4
2
1
c
x
tg
9.554. .
3
2
5
2
3
2
5
2
ln
3
2
1
c
x
tg
x
tg
9.555. .
3
2
3
2
3
3
2
1
c
x
tg
arctg
9.556. .
2
8
1
2
ln
4
1 2
c
x
tg
x
tg
9.557. .
2
1
4
c
x
x
tg

2
3x
1 1
9.558. tg
x c.
9.559. tg2x
x c.
3 4 2
2cos2x
2
9.560. 1 5x
1 3 5x
1 tgx 1
2
ctg ctg c.
9.561. ln
c.
10 2 30 2
2 2 tgx 1
2
1 2tg2x
1 3 4x
9.562. arctg c.
9.563. x sin c.
9.564. arctg ( tgx 2) c.
4 3 3
8 32 3
1 1
1
9.565. x ln | sin 2x
| ln | sin 2x
4cos2x
| c.
17 8 136
1 3
9.566. ctg x c.
9.567. 1 4
sin sin
3 x
x x c.
3
16 3 2
9.568. 2 1
tg5x
tg
3 1
1 1
5x
c.
9.569. ln | tgx | c.
4 2
5 15 5tg5x
4tg
x tg x
1 2 2
9.570. ( tg x ctg x)
2ln | tgx | c.
2
2
x
3
tg
1
x
2 3
2tg
1
2
9.571. ln
arctg 2 c.
3 3
3
2 x x
tg tg 1
2 2
2 5 2
x
1 4tgx
3
9.572. tg x tgx c.
9.573. 16 4 tg c.
9.574. ln c.
5 3 3
4
16 4tgx
1
1
9.575. c.
9.576. sin( x 1)
1 sin
3 ( x 1)
c.
2(1 tg2x)
3
2
9.577. sin x 6arctg(sin
x)
c.
9.578. 1
1
sin(2 3) sin
3
x (2x
3) c.
sin x
2
3
x
9.579. 1 2 1
ln | sin 3 | sin
2
1 x 3
2sin 1
x 3x
c.
9.580. sin ln 2 c.
2
6sin 3x
3
6
2 2 8 x
2sin 1
2
1 1 1
sin 2x
x 2 x 1 4 x
9.581. ln c.
9.582. 2ln sin 2sin sin c.
4sin 2x
8 1
sin 2x
2 2 2 2
1
1 1
sin x
1
9.583. arctg(sin
x)
ln c.
9.584.
1 2sin x sin
3 x c.
2
2 1
sin x
sin x 3
sin x
9.585. ln | sin x | sin x c.
9.586. sin x c.
3
x 4 3 x 2 5x
9.587. 2sin sin sin c.
2 3 2 5 2
3
247

9.588. 1 1 3 3
sin 4x sin 4x
sin
5 4x
4 4 20
1 7
sin
28
248
4x c.
1 sin x 2
3 x
9.589. sin x ln c.
9.590. 3sin c.
2 2 sin x 2
x
sin
3
3
1 2
1
9.591. c.
2cos2x 9.592. 1
12cos 3
c.
4 x 9.593. sin x
2
ln | cos x | c
.
1 1
1 1
9.594. cos2x
c.
9.595. 2
c.
2 cos2x
8 x 6 x
8cos 6cos
2 2
1
9.596. cosx
2
1 2
3
ln
2 2
2 cos x 1
c.
2 cos x 1
cos2x
1
9.597. ln tgx c.
2
4sin 2x
4
1 1
9.598. cos x 3cosx
8ln | cos x 3| c.
9.599. c.
6 8
2
6sin x 8sin x
9.600. tgx ln | tgx | c.
9.601. 1 tg 3 2x
.
6
c 1 tgx 5
9.602. ln c.
5 tgx
x
4
1
2tg
9.603. 2
1
x arctg c.
9.604. ln | tgx | c.
2
3 3
2cos x
x 1
9.605. 2ln
tg c.
9.606. 2ln | tgx |
1 2
( tg x ctg
2 x)
c.
2 2 x
2sin
2
2
1 x
cos2x
3cos2x
3 1
9.607. 3ln
ctg c.
9.608. ln ctg2x
c
x
2
sin
3
8sin 2x
16sin 2x
16 sin 2x
3
cos x 5 cos x 5 cos x 5 1
9.609. ln ctgx c.
6 4
2
6sin x 24 sin x 16 sin x 16 sin x
4
.
x
2sin
1 1
9.610. ln tg2x
c.
9.611. 4 1 x
2ln tg c.
2 cos2x
2 x x
cos cos
4
4 4
9.612. 1 ln
x 1 x
tg ln tg
1 1
c.
9.613. cos9x
cos5x
c.
2 2 2 2 4
18 10

1 7x
1 5x
1 1
9.614. cos cos c.
9.615. cos11x
cos5x
c.
7 2 5 2
22 10
1
1
9.616. cos( 10x
5) cos(2 x 5) c.
20
4
3 x 3 5x
3 7x
3 11x
9.617. cos cos cos cos c.
2 6 10 6 14 6 22 6
1 1
1 1
9.618. sin 6x
sin10x
c.
9.619. sin 4x
sin10x
c.
12 20
8 20
1 3 5x
9.620. sin x sin c.
9.621.
1 sin
6
1
x cos x c.
2 10 3
12 5 2 5
2 1 5
9.622. x sin
8x
c.
4 16 12
1
9.623. sin12x c.
24 10
1 1
9.624. sin
2x
1 2x
x c.
9.625. sin
2x
c.
4 3 4
4 4 4
1 1
10 9x
x
9.626. sin13x sin 7x c.
9.627. sin 10sin c.
26 14
9 20 20
1 1
1 7x
1 5x
1 3x
x
9.628. sin8x
sin 4x
c.
9.629. sin sin sin sin c.
16 8
7 4 5 4 3 4 4
1 1
9.630. sin
2x
3 2x
3 4x
3
cos4x
c.
9.631. sin
sin
c.
4 6 8
4 3 10 8 3 10
1
1
1 5 2x
9.632. sin(4 x 1) sin(8x
3) c.
9.633. x sin c.
8
16
2 4 5
1 1
1 1 2
9.634. x sin16x
c.
9.635. x sin
6x
c.
2 32
2 12 3
1 1
1 1
9.636. x sin
8x
c.
9.637. x sin 4x
c.
2 16 3
8 32
1 1 x
9.638. x sin
1 sin
3 x 3 1 1
c . 9.639. x sin 6x
sin12 x c .
16 8 2 6 4
8 12 96
3 1 1
9.640. x sin 4x
sin8x
c.
8 8 64
x 1 1 1 1
9.641. sin 6x
sin10x
sin 4x
sin16x
c.
4 24 40 32 128
3 1 1
9.642. x sin 4x
sin 8x c.
128 128 1024
9.643. 5 3 1
x sin 4x
sin8x
sin
3 4x
c.
2 16 12
249

35 1
9.644. x sin 2x
7 1 1
sin 4x
sin
3 2x
sin 8x
c.
128 4 128 24 1024
9.645. 1 1 1
x sin 4x
sin
3 2x
c.
9.646. 2 3 x 4 2 7
sin sin
5 x x
sin c.
16 64 48
3 2 5 2 7 2
9.647. 15 5
8 x 15
5
18
sin sin
x
15 5 sin
28 x
c.
1 9.648.
3 1
sin x sin
5 x c .
8 3 9 3 28 3
3 5
5 x 5 7 x
9.649. sin sin c.
9.650. 1 5 2 7 1
sin x sin x sin
9 x c.
5 7 5
5 7 9
9.651. 1 6 1 8 1
sin x sin x sin
10 x c.
9.652.
1 cos
5 x c.
6 4 10
5
9.653. 1 cos
3 x cosx
c.
9.654. 1 5 1
cos 4x
cos
3 4x
c.
3
20 12
3 3 3 2
9.655. cos2x
cos 2x
c.
9.656. 1 3 1
cos6 cos
2
x 6x
1
.
3
2 cos2x
10
2 7
c
9.657. 1 sin
6 x 1 1
c.
9.658. ln | cos x
| c
.
2
3 2
2
cos x
1
9.659. tg2x
x c.
9.660. 1 1
tg
2 2x
ln | cos2x
| c.
2 4
4 2
1
9.661. 1 ctg
2 5x
ln | sin 5x
| c.
9.662. 2 3 x x
x tg 6tg
c.
10 5
6 6
1 5 1 3
9.663. ctg x ctg x ctgx x c.
5 3
1
9.664. tg 6 1 4 1 2
x tg x tg x ln | cosx
| c.
6 4 2
9.665. x
1 7 1 5 1 1
ctg 2x
ctg 2x
ctg
3
3
2x
ctg2x
c .
14 10 6 2 2
1 5 2 7 1 9
9.666. tg x tg x tg x c.
9.667. 2 5 2
tg 2x
tg
7 2x
c.
5 7 9
5 7
1
9.668. 3 3 ctgx c.
9.669. 1 ctg5x
ctg
3 5x
c.
9.670. 1 1
tg
3 7x
tg7x
c.
5 15
21 7
x 4 3 x 2 5 x
9.671. 2tg
tg tg c.
9.672. 1 1 3 1
ctg2x
ctg 2x
ctg
5 2x
c.
2 3 2 5 2
2 3 10
1
6
9.673.
2 ln |1
cosx
| ln cos
2 x 2cosx
2 arctg(1
cosx)
c.
5
5
5
8 3
9.674. 7x
14cos x 3sin 2x
cos x c.
3
14
8 3
9.675. 7x
sin 3x
sin 6x
sin 3x
c.
3
9
250

11 9
x
9.676. x 6sin x sin 2x
c.
9.677. ln tg x c.
2
4
2
1
1
9.678. cosx
tgx c.
9.679. ln | sin 2x
| ctg2x
c.
cosx
2
9.680. 1 2
25sin 9cos
2
1
x x c.
9.681. sin x
8
2
9.682. 4 x 4
ln 1
cos ln cos
2 x
2cos
x 2
5 2 5 2 2
12
5
1
cos
2
9.683. 1) 5 1 5 5 5
cos sin sin
3
x x
x x sin x
c.
16 6 24 16
2) 5 1 5 5 5
sin cos cos
3
x x
x x cosx
c.
16 6 24 16
1 x
x ln tg
c.
2 2 2 8
x
arctg1
cos c.
2
13 2
2
9.684. ln x x 13x
41 c.
9.685. ln x 2 x 4x
8 c.
2
2
1
9.686. ln x 2 x 4x
8 c.
9.687. arcsin(3 x 1) c.
3
x 1
9.688. arcsin c.
3
5 2
11
9.689. 2x 12x 11
13 ln x 3 x
2 6x
c.
2
2
2
2
9.690. 3 1
x 13arcsin
x c.
9.691. 3 x 10x
24 13arcsin(
x 5) c.
1 2 3 2t
1
x 4
9.692. ln | t 1|
ln | t t 1|
arctg c,
t 3 .
2
3 3 x 2
6
x
9.693. 6ln c.
9.694. 1 3
(2x
1)
3 x c.
6
x 1
6
2
9.695. 1 3
3 2 3 3 3
(2x
5) (2x
5) 2x
5 ln
3 2x
5 1
c.
2 4
2 2
6
9.696. ln | 3 x | 3ln 1
3 3 x 6arctg
3 x c .
3 16 6 10 3 4 6 7
6
9.697. t t t t c,
t x 1.
8 5 2 7
4 3 4 3
4
9.698. t ln | t 1|
c,
t x 7.
3 3
6
6
9.699. 2 x 3
3 x 6 x 6ln(1 x)
c .
2
251

3 6
9.700.
6 5
6
4
(2x)
2x
3 2x
3arctg
2x
c.
9.701.
c.
5
3
x 1
3 4
x 2
4
3 x 7 3 x 7
9.702. 3
3
c.
16 x 5 28 x 5
2
( x 3 1)
2 2 x 3 1
9.704. ln
arctg c.
x 2 x 3 3 3
7
3
9.703. c.
3 2
2(1 x)
3
9.705. 3 6
2x
5 3 2x
5
2
3ln
6 3
6
6
2x
5 1
c.
9.706. 7 2x
3 7 2x
3 7 2x
3ln 7 2x
1
.
2
c
2 3 2
4
9.707. 9 2x
2
4 9 2x
2ln 9 2x
1
c . 9.708. ( x 1) (6x
1)
c.
5
1
9.709. ( x 1) 2x
1
c.
9.710. 1 ( x 3)
3 (3x
14)
2 c.
3
5
x 6
9.711. 2 x 6 2arctg
c.
2
3 3 4 2
( x 1)
9.712. 3 4
3 4
x 1
ln( x 1
1)
c.
4 2
1 2
2
2 2
2
9.713. ( x 2x
3) x 2x
3 c.
9.714. (3x
ax 2a
) a x c.
3
15
9.715. 1
5
2 x
x x 5arcsin c.
9.716. 1 2
2 x
x x arcsin c.
2
5
2
2
9.717. 1 3
( 3) 6
2
x
1
2
x x x 7 arcsin c.
9.718. ( x 1)
5 2x
x
2
2
2
x 1
3arcsin
c.
9.719. 1
2
( 2) 3 4
2 x
x x x 7arcsin c.
6
2
7
x 1
1
2
2
x 2
9.720. 2arcsin ( x 1)(1
2x
x ) 3 2x
x c.
9.721. 2arcsin
2 4
2
1 2
2
( x 2)( x 4x
2) 4x
x c.
9.722.
4
2 2
5 1 2
( x 2x
1)
( x 2x
1)
7 c.
5
7
9.723. 2 2
5 1 2
( 4 2) ( 4 2)
7
x 3
x x x x c.
9.724. c.
5
7
2
4 x 6x
13
1 3( x 1)
9.725. arctg
c.
2
6 2(2x
x )
1 3( x 3)
9.726. arctg
c.
6
2
2( x
6x
8)
252

x
9.727. c.
2 3
9 (3 x )
3
x
9.728. c.
2 5
108 (6 x )
3
( x 1)
9.729. c.
2
5
3 ( x 2x
2)
x 1
x 1
x 2
x 2
9.730. arcsin c.
9.731. arcsin
c.
2
1
2x
x 2
2
x 4x
2 2
9.732. x
c.
2 2 2
a x a
9.733. ( x 2x
1)
c
6( 1)
.
3
x
4
1 15x
2 4x
1
c.
9.735. ln
c.
2
x 2 x 2x
4 15
2
15x
2 4x
1
(8 2x
x
9.736. c
5
45( x 1)
2)
5
2
1 4 4x
2x
x 1
2
9.737. ln
ln 1
x 2 2x
x c.
2 2
2
4 4x
2x
x 1
2
1
x 1
2
9.738. ln x x 1
c.
x
2
3
2
9.734. ln x 1
x 2x
1
9.739. arcsin c " " при x 1 и " "
x 1
2 3 x 1 x 2 11 x
при x 1. 9.740. c.
9.741. 2 c.
9.742. c.
3 x
x
11 x
x 1
x
9.743. ln
c.
9.744. ln c.
2
2
x 2 2x
6x
5
1
x 1
2
1 2 4 x
x 2
9.745. c.
9.746. c.
2 2x
x
x
9.747. arcsin c.
3( x 1)
3
2
x 1
9.748. c.
x 3
2
5x
28x
40 x 2
9.749. ln
c.
x 3
9.750. 1 11
ln
2
2
x x 11x
32 3 x 11x
32 c.
2 2
2
2 x 2x
4x
4
9.751. ln x 1
x 2x
2 2 ln
c.
2x
2
x 4
9.752. 5 x 8x
7 13arcsin
c.
3
5 2
2 x 5x
7
9.753. 3ln x x 5x
7 ln
c.
2
2( x 2)
2
2
253

2
2x
8x
10
x 1
9.754. 2 ln
ln x 2
2( x 3)
x
2
4x
5
c.
2
3 3
1 t t 1
1 2t
1
1
x
9.755. ln arctg c,
t .
2
6 t 2t
1
3 3
x
4 3
9.756. 1 1
x 1
2
ln arctg
4 1
x
3 c.
3 4 3
1
x 1
3
1
3
1
( x 2)
9.758. ln
c.
| ( x 2)
4 3 2
3
3
1
|
2
9.759.
9.757.
3
3
3
x
3
ln
x 2
9.760. 1 x 3x
3x
1
2
ln
4 3
arctg x 3x
2 3x
c.
3 4 3 2
x 3x
3x
1
3
2
1
2x
4 3x
9.762. c.
9.763. c.
2
2
x 1
x
9 2 3x
3 3 2
2
( x 6x
12x
6)
9.765. c.
2
4(2 x)
2
ln
3
3
x 1
x 1
1
x 1
x 1
1
3
3
c.
c.
3 3 2
(2 x )
9.761. c.
2
4x
10 7x
9.764. c.
2
49 5 7x
9.766. 1
2 1 2
3ln 1 ( 2) 1
2
x x x x c.
2
3
| t 1|
2t
1
3
9.767. 6t
2ln 2 3arctg
c,
t 1
2 x .
2
t t 1
3
1
2 2
9.768. 4 x 2 1
( x 2 1)
( x 2 1)
1
c.
5
3
9.769.
1
4
4
x 1
9 x 1
1
4
8
2 1
3 3 5
9
c.
(1 4x
)
9.771. c.
5
5x
2 9 24 11 36 13 8 15 6 17
6
9.772. t t t t t c,
t x 1.
3 11 13 5 17
4
1
9.773. 5x 3
3
c.
10
4 4
3
1
4
4
1 x 1 1 x
9.770.
ln c.
2
4
4 x x
1
7
4
3 2
3 2 3
1
8
3
9.774. 1
3 .
1
3
14
4 4
1 1
x x 1 1
x
9.775. ln
arctg c .
4 4 4
1
x x 2 x
x
x
2
c
254

1
10.1. .
2
Глава 10
1 4
10.2. . 10.3. e 1.
10.4. 0 I . 10.5. 3 I 5.
10.6. 0 I 1.
3
27
10.7. 12 I 16.
10.8. 4 4
1
I . 10.9. I . 10.10. .
2 7 2 3 3
5
2
10.12. ( 2) . 10.13. 17,5
6ln 6.
10.14. 18 . 10.15. ,5.
3
1
10.11. .
4
1 4
7
63
4 10.16. 1.
16 19
3
10.17. 60. 10.18. 36. 10.19. 32,5. 10.20. . 10.21. . 10.22. 1 .
3
3
2
1
10.23. 2. 10.24. 2,5
4ln 2.
10.25. 2 ln 5.
10.26. 5,5
7ln 2.
10.27. .
8
4
10.28. ln . 10.29. . 10.30. . 10.31. . 10.32. .
3 12 3 12 6 24 3 12
1 5 1 1
1
10.33. ln . 10.34. . 10.35. ln . 10.36. arctg . 10.37. ln 3.
4 2 20 4 15
7
10.38. .
8
10.43. .
2 2
10.39. 1 1 5
ln
.
3 2
2 5
10.44. ln .
1 5
10.40. .
16
10.45. .
6
2
10.41. .
6
10.42. .
6
1
10.46. 1. 10.47. 1. 10.48. e
3
1.
6
7
4
10.49. . 10.50. . 10.51. 1
5
2 1.
10.52. 9 9
1.
ln 2 3ln 3 2ln 5
3
ln 9
10.53. 2(
e 1
) .
10.54. e e.
10.55. e e
e.
10.56. arctg e . 10.57. 1 ( e 6 1)
4 15
.
4 1
10.58. ln . 10.59. . 10.60. . 10.61. 3 1
2
3 2 1.
10.62. 0. 10.63. .
3
4 3 4
2
2
10.64. .
8
10.65. .
2
2 5 2
10.70. . 10.71. .
3 12
1 1
10.77. . 10.78. .
3 3
8
10.83. ln 3.
10.84. .
21
4
10.89. .
3
10.90. .
15
3 1
10.66. 1. 10.67. .
2
2 3 3
10.72. . 10.73. . 10.74. .
3 8 16
1
10.68. . 10.69. .
3 20
10.75. 0. 10.76. .
10.79. 0. 10.80. 0. 10.81. 3 3 3
5
3 5 1.
10.82. .
8
14
10.85. sin 2.
10.86. 4 2.
10.87. .
32
14 506 10.91. . 10.92. 2 arctg2.
15
3
2
10.88. ln 2.
2 10.93. (1 ln 2) .
255

333
10.94. 4 2ln 2.
10.95. 21 . 10.96. .
1372 3 3
3
10.99. .
4
7
10.100. .
4
10.97. 0,553. 10.98. 2 6
.
3
10.101. . 10.102. 0,733. 10.103. .
8 12
4
116 2
10.104. 8 . 10.105. 0,4772. 10.106. 36 . 10.107. .
15
ln112
2
10.108. . 10.109. Положить 2sin
2
;
1 3 1
x t . 10.110. ln .
25
2
2 2 12
2
2 1
10.111. Положить x 4sin t;
2.
10.112. ln 2 . 10.113. 2 . 10.114. x 2 .
3 6 3
( 2)
10.115. Положить sin 2 a
5 3
1
x a t;
. 10.116. ln 2 . 10.117. arcsin .
4
2 2
3 6
3 2
10.118. .
2
17
10.119. .
6
3
10.123. 3 3 . 10.124. 4 . 10.125. .
3 2
ln 2
1
2
3
10.127.
.
3
10.128. .
72
7 2 7
10.120. 6 2.
10.121. ln . 10.122. 1
.
9
4
10.126. 2 ln 2 1.
1
10.129. 2 1.
10.130. arctg
e .
2 4
e 1
10.131. 4 . 10.132. 4arctg e ln . 10.133. 2
. 10.134. .
2
2 4
4 3
10.135. .
9
2 1
10.138. arctg . 10.139. .
5 5 3 5
10.142. .
3 3
3 4
10.146. ln .
10 5 3
2
1 1 1 1
10.136. arctg arctg .
10.137. .
2 2 6 2
1
10.143. .
9
e 2
e
10.151. . 10.152. 22
3.
4e
10.155.
e 1
4
2 3
10.144. .
2
2
10.140. 0,074. 10.141. ln 4.
3
10.145. 3 7
3 4 12.
16
4
10.147. ln . 10.148. 0. 10.149. 0. 10.150. 0.
3
3 e 1
. 10.156.
.
10
10.153. –2,437. 10.154. 2
/ 2 / 2
e e
1 / 2
10.157. 1
6
5
e . 10.158.
10.159. –8,258. 10.160. 8,389. 10.161. 2ln 2 1.
10.162. 2e
1.
6 4e
13
.
.
256

128
2 56
10.163. ln16 28.
10.164. 1,2585. 10.165. 64ln
. 10.166. 1,123.
3
3 9
/ 2
18
10.167. e 1.
10.168. .
2
25
9
10.169. .
4
10.172. 16 . 10.173. 4 . 10.174. 0,089. 10.175.
2
10.177. .
4 ln 2
3 3
10.180. 3.
4 2
10.178. 6sin .
9
1
10.181. .
2
18
10.170. .
2
3
4
10.179.
3
384
5
10.182. 3 1.
6
.
64
5
2ln tg .
12
10.171. 1
2
10.176. 16 3 96
.
8
10.183.
3
10.184. 1,349. 10.185. 0,916. 10.186. 0,693. 10.187. 2,320. 10.188. 0,882.
10.189. 0,69377. 10.190. 0,56078. 10.191. 0,46442. 10.192. 0,40551.
10.193. 0,36231. 10.194. 0,32906. 10.195. 0,30257. 10.196. 0,28089.
10.197. 0,26280. 10.198. 0,24744. 10.199. 0,78458. 10.200. 0,23176.
10.201. 0,10723. 10.202. 0,06124. 10.203. 0,03948. 10.204. 0,02752.
10.205. 0,02027. 10.206. 0,01554. 10.207. 0,01229. 10.208. 0,00996.
10.209. 0,84259. 10.210. 0,45261. 10.211. 0,31055. 10.212. 0,23661.
10.213. 0,19119. 10.214. 0,16043. 10.215. 0,13821. 10.216. 0,12140.
10.217. 0,10824. 10.218. 0,09766. 10.219. 0,949. 10.220. 0,6938.
10.221. n 37.
10.222. n 12.
10.223. n 48.
10.224. n 24.
10.225. n 18.
10.226. n 25.
10.227. n 13.
10.228. n 13.
10.229. 31;
(6) 1.
1
10.230. 5,265;
(8) 0,068.
10.231. 91;
(6) 1.
10.232. 25 ,5;
( 8) .
6
1
3
10.233. 3,1399;
(10) . 10.234. 0,916;
(8) 0,0088.
10.235. Q 83,25м /с.
600
10.236. 239м
2 1
. 10.237. .
2
10.238. Расход. 10.239. .
2
10.240. .
4
2 2
10.242. . 10.243. Расход. 10.244. Расход. 10.245. . 10.246. ln 2.
31 3
2 1 1
10.247. . 10.248.
1
3 3 1
a
если 1;
расход., если 1.
10.249.
2
3.
10.241. .
если n 1; расход., если n 1. 10.250. . 10.251. Расход. 10.252. 1 ln 2.
4
1
,
n 1
2
10.253. .
3
10.254. .
3
4
10.255. 4 10 . 10.256. Расход. 10.257. Расход.
257

10.258. .
6
2
10.259. .
8
1
10.260. 2. 10.261. ln 2.
10.262. 1. 10.263. .
3
3e
1
1
10.264. 1. 10.265. . 10.266. Расход. 10.267. 1. 10.268. Расход. 10.269. .
2
ln 2
2
ln 2
10.270. 16. 10.271. 0,012. 10.272. .
4 2
2
10.273. .
8
2
10.274. 0,31. 10.275. .
5
10.276. Расход. 10.277. Расход. 10.278. Расход. 10.279. 0,14. 10.280. .
2 1
1
10.281. , если p 0;
p
расход., если p 0.
10.282. Сход. 10.283. Расход.
10.284. Расход. 10.285. Расход. 10.286. Сход. 10.287. Сход. 10.288. Расход.
10.289. Сход. 10.290. Сход. 10.291. Сход. 10.292. Сход. 10.293. Сход.
10.294. Сход. 10.295. Сход. 10.296. Сход. 10.297. Расход. 10.298. Расход.
10.299. Сход. 10.300. Расход. 10.301. Сход. абс. 10.302. Сход. 10.303. Сход.
абс. 10.304. Расход. 10.305. Сход. 10.306. Сход. абс. 10.307. 2. 10.308. 2 ln 3.
10.309. 6 3 16
2.
10.310. 6. 10.311. . 10.312. . 10.313. 1. 10.314. . 10.315. .
2 3
10.316. 2 2 . 10.317. 5 9
5 3 1.
10.318. – 1,768. 10.319. 7,712. 10.320. .
2
4
625 a 8
10.321. . 10.322. 0. 10.323. 4а. 10.324. . 10.325. . 10.326. .
187
2 3 3
3
10.327. . 10.328.
4 256 1
125.
10.329. . 10.330. .
2
15 ln 2
2
1
10.331. –1. 10.332. .
9
2 1
3 1
10.333. . 10.334. . 10.335. . 10.336. . 10.337. . 10.338. ,
e 4 8
8
2 1
если 1; Расход., если 1.
10.339. Расход. 10.340. Расход. 10.341. Расход.
10.342. Расход. 10.343. Расход. 10.344. Расход. 10.345. Расход. 10.346. Расход.
10.347. Расход. 10.348. Расход. 10.349. Расход. 10.350. Сход. 10.351. Сход.
10.352. Расход. 10.353. Сход. 10.354. Расход. 10.355. Расход. 10.356. Расход.
10.357. Расход. 10.358. Расход. 10.359. Сход. 10.360. Сход. 10.361. Сход.
10.362. Сход. 10.363. Сход. 10.364. Расход. 10.365. Расход. 10.366. Расход.
10.367. Расход. 10.368. Сход. абс. 10.369. Сход. 10.370. Расход. 10.371. Сход.
4
10.372. Расход. 10.373. Расход. 10.374. Расход. 10.375. Расход. 10.376. .
3
32 4 10 9 32
10.377. 121,5. 10.378. . 10.379. . 10.380. . 10.381. . 10.382. .
3 3 3 2 3
3 2
258

9 81 1
10.383. . 10.384. . 10.385. .
2 2 6
4 1
10.386. 9. 10.387. 9. 10.388. . 10.389. .
3 3
2 7 8 2 3 8 1
10.390. 4,5. 10.391. . 10.392. . 10.393. . 10.394. . 10.395. .
3 3
6
3 3
5 7 64 4 125 4
10.396. 9. 10.397. . 10.398. . 10.399. . 10.400. . 10.401. . 10.402. .
3 4 3 3 6 3
7 8 8 1 1 8
10.403. . 10.404. . 10.405. . 10.406. . 10.407. . 10.408. 2
.
6 3 9 6 6 3
8
125
16 9
10.409. . 10.410. 13. 10.411. . 10.412. 9. 10.413. . 10.414. .
15
12
3 2
4
8 32 6
10.415. 8. 10.416. 5
10 8.
10.417. 2 .
10.418. .
3
3 3
32
10.419. .
3
32 4 16 4 3
4 16
10.420. . 10.421. . 10.422. . 10.423. 2 . 10.424. .
3 3 3 3
3 3
32 8 125 32 64
10.425. . 10.426. . 10.427. . 10.428. 36. 10.429. . 10.430. .
3 3 6
3 3
125 125 125 125 1 9
10.431. . 10.432. . 10.433. . 10.434. . 10.435. . 10.436. .
6
6
6
6 6 2
1 16 16 32
10.437. . 10.438. . 10.439. . 10.440. 36. 10.441. 36. 10.442. .
2 3
3
3
9 15 16ln 2 6e
5
10.443. . 10.444. 27. 10.445. . 10.446. . 10.447. e
2 1.
2
4
3
1 8 3
10.448. . 10.449. ln 2.
10.450. . 10.451. . 10.452. 12 5ln 5.
10.453. 4 3 ln 3.
3
5 2
10.454. 5 3
6 1
6ln . 10.455. 5ln
. 10.456. 3 9 ln 2.
10.457. 9ln 3 .
2 2
5 2 2
2
5
10.458. 18. 10.459. . 10.460. 29 4ln 2.
3 10.461. ln 2 . 10.462. 1
3
e .
12 2
2
1 1 ln 2
10.463. 2 . 10.464. . 10.465. 3 1 . 10.466. 1. 10.467. e
2 3 .
ln 2 ln 2 2 2ln 2
10.468. 2 e 1
e 1.
10.469. .
e
3 1
10.473. 1.
10.474. 2. 10.475. .
4
4 2
4 9 9 9
10.470. . 10.471. . 10.472. ( 2) .
3 4 2 4
1
10.476. . 10.477. 2.
3
3
10.478. 2 ln 3.
10.479. 16. 10.480. 169 . 10.481. 27 . 10.482. 6 .
2
259

16 128 9
10.483. . 10.484. . 10.485. .
3
3 4
4 4
10.489. . 10.490. .
3 3
12 3 4
10.493. .
3
2e
9
10.491.
6
125
10.494. .
48
9
10.486. .
4
10.487. 4 3ln 3.
10.488. 18.
101 4 2 16
2
. 10.492. .
6
16
125
10.495. .
12
2 2
a b b
10.496. 2ab
arcsin
4abarctg
.
2 2
a b
10.497. 25
40 3ln 2.
a
125 4 5
10.498. 27 . 10.499. . 10.500. 0,3
. 10.501. . 10.502. .
16
35
6
128
10.503. . 10.504. 4 . 10.505. 1394,24. 10.506. 32 . 10.507. 12 .
3125
7 128
10.508. . 10.509. . 10.510. 2 . 10.511. 64 . 10.512. 21,6
. 10.513. .
6 2
7
16 44 9
10.514. . 10.515. . 10.516. . 10.517. .
30 5
7
5
26
10.520. .
5
10.521. .
5
16
(5
8)
10.522. .
5
5
10.518. 5 . 10.519. .
14
875
10.523. .
48
6 5
10.524. 4 .
2 10.525. e 2
1.
10.526. e 2 1.
ln 2 2ln 2 4
4
2
10.528. .
4
3
10.529. 4 2 ( 2)
. 10.530. .
4
a 2 2
10.533. e
4 e .
4
10.531. 6 2 3
. 10.532. .
10
2
10.527. .
4
4 4
10.534. . 10.535.
3 .
3 a
a 10.536. a . 10.537. .
15 3
2
5
2
a
10.538. pa . 10.539.
20 . 7 3
10.540. a . 10.541. 8 a
3 .
4
p g 6
3
b h ( h 3a)
10.542. 20 . 10.543. 70 . 10.544. .
2
3a
4ab
10.546. .
3
2
R
(10 3
)
10.547. .
6
3
2
2
2
2b h(
h 3a
)
10.545. .
2
3a
4 2 8 128
10.548. ab . 10.549. . 10.550. .
3
3 15
512 4 64
10.551. . 10.552. 4,876. 10.553. . 10.554. . 10.555. 8 . 10.556. .
15
5
5
512
10.557. 19,2 . 10.558. 32 . 10.559. . 10.560. 58,5 . 10.561. .
7
2
3
2
260

64 9
10.562. . 10.563. .
3
2
4 32a
10.568. . 10.569. .
15 105
2 8 10.573. .
4
3
8
10.564. 6 . 10.565. . 10.566. 4
2
. 10.567. 8 6
.
15
2
10.570. .
2
10.577. 2 2 4a
k ( b a)
. 10.578. .
3p
261
40
10.571. . 10.572. .
3
4
10.574. 4 3
a
. 10.575. 3 (2ln 31)ln 3.
10.576. . 15
4
3
a
10.579. .
6
2
3
4a
10.580. .
3
2
2
4a 2 b
10.581. .
3
10.582. 6
3 a 3 r 2 h h8
D 4Dd
3d
. 10.583. . 10.584. . 10.585. 2
a.
2
60
1
10.586. 2 ln 2 1.
10.587. 2 17 ln 4
17.
10.588. 6 2 ln3
2 2.
2
2 5 ln 2
5 11
10.589. . 10.590. 12 . 10.591. 2 ln1
2.
10.592. 74.
4
27
232 3 1
10.593. . 10.594. arcsin . 10.595. . 10.596. 14 8
. 10.597. 10 10 1
15
4 4
3 27
.
14
10.598. 2 5 ln2
5.
10.599. .
3
10.602. 2 ln1
2
2 ln 1
2
10.600.
.
2
670
10.601. .
27
2
1
1
x
. Указание: при вычислении интеграла dx приме-
x
t t
e e
нить подстановку
2 14
x
. 10.603. . 10.604. 2 3 ln2
3.
3
670 ln 3
1 4
10.605. . 10.606. 4 3.
10.607. 4 . 10.608. 2 ln .
27
4
2 3
9 4 2
10.609. ln 1
4 2.
10.610. ln 3 . 10.611. ln2
3.
10.612. ln 3.
7
2
10.613. ln2
3.
10.614. ln e 2 7
e 1.
10.615. ln2
3.
10.616. .
6
1
10.617. .
2
a e e
10.623.
.
2
2 R
10.618. .
2
1
2
3a
10.619. 8a . 10.620. . 10.621. 6a . 10.622. 2
a.
8
1
1
10.625. 23 ; 185 3.
10.626. 61;
91 1.
4
3
4
1 4 e 1
1
10.627. e 7 ; ln . 10.628. 40 ,5;
301 3.
4
4
4
15
97 2
10.629. 4;log 215log
4 e.
10.630. 32; .
ln 2
3
0

10.631. 26 1 1
; log 26log .
3 27 e 10.632. 31;
181 1.
10.633. .
3ln 3
6
4
17
3 17
68
10.634. 160. 10.635. ln 5 10.636. ln 4.
10.637. . 10.638. 32.
14
4 13
15
10.639. 16 3 54e
5
e 13.
10.640.
49 .
1 10.641. 299e
50 249
25 25 100
.
10.642. 1 9e 4 5.
4
10.643. а) 30,5; б) 62,7; в) 715.
1 2
4
5641
10.644. а) 10 0,71;
б) 0,21 sin 6;
в) 0,26 2 e 1
2;
г) .
2
12
2 1 5 3
10.645. а) ; б) ; в) 8; г) ; д) ; е) . 10.646. 31,73 м;
3 3 2 32 4
10.647. 250 м; 25 м/с.
Глава 11
11.1. а) 1; б) 2; в) 4; г) 1; д) 2; е) 3. 11.2. а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет;
ж) да; з) да; и) да; к) да. 11.3. а)
262
2x
y e ; б)
x
y e ; в)
2x
2x
2x
11.4. а) y e 2
4x. б) y e 1
x; в) y e 3
2x
б) y x 1 2 ; в) x 1 3
y ; г) y x 2 4 ; д)
x
x
y 3e
2 5e
.
. 11.5. а) y x 3 2;
y 1 y
. 11.6. а) y
1 x
x ;
2
б) y 1
x xy 0; в) y sin x yln
y ; г) x y
x y 0; д) y y 1
y
2 0;
2 2
2
; ж) x y
y x x y 0; з) xy 1
y arcsin y .
2
2
е) y 1 x
xy1
y
y . 11.8. y e
x C
11.7. Cx 21
2
11.10. y arctg C
. 11.11.
x
11.13. x y 1,
2
2
C y 1. 11.14.
5
11.16. 5cos ln
Cy 1
ln . 11.9. y 1
ln C x
2 1
.
x . 11.17. Cx 2 3
1
y . 11.12. y arcsin x C,
x 1.
C sin x
C cosx
y . 11.15.
4
y ; y x 2 3.
y arctgx y
11.18. tg
arctgx
1 x
Ce ; tg e . 11.19. y e
3
C
2
2
3
x
11.20. arctg y ln Cx . 11.21. y ln y 1
C x 3arctg .
3
2
x C
y . 1 Cx
1 3
x 4
y e .
3 3

2
2
2
11.22. x 1
y C,
y 1;
y 1
x , y 1. 11.23. ln xy C x y .
2
11.24. x 4x
arctgy
C,
x 0,
x 4. 11.25. y Ce , x
3 9 .
x
11.26. e e y
C
y
1 . 11.27. 3 y 2ln x C .
5 2 3
11.28. y y
2
5 4 3 2
11.29. 1
2
4
3
3
9x
y y
1 2
y ln y 1
C e
x x
2
3 y
C ln y 1
.
3
2
x , arccosx
y
1
2
11.30. arcsinln
x
11.33. а) y Ce ;
2
t
2
ln x
11.35. x
2 y
2 Cx . 11.36.
1
1
ln
2
2
2
t 12
x
2
e y C
2
.
1
2 x
. 11.31. y Ce
x
. 11.32. K Cx .
y e ; б) y Cln t;
y ln t . 11.34. x
11.39. e x y
y
ln x C . 11.40. x sin C
x
y
2
2
2Cy
C .
4x
y
x
y . 11.37. xsin C . 11.38. ysin C .
ln x C
x
y
ln . 11.41. y xlnC
ln x
xln1
ln x. 11.42. y xln x C; xln x 2
11.44. y
2 2x
2 ln Cx ; y
2 2x
2 ln x . 11.45.
11.46.
Cx
y xe ;
2x
;
y . 11.43. y
3 3x
3 ln Cx .
Cx1
y xe ;
x
y xe
1 .
y xe . 11.47. xyx
y
C . 11.48. 2 y 2xy
x C .
3 2 3
y
11.49. y 3 x y x C . 11.50. arcsin ln Cx ,
x
11.51.
11.53.
x
2
2
2arctgy
y Ce . 11.52.
2
x y
y Ce ;
11.55. 2x
x
yC
ln x
2
11.58. x
x
arctgy
x
x Ce .
y x
.
22 x y
x
y e . 11.54. ln y C .
y
. 11.56. 2x 2 xy Cy 0. 11.57. ye y x C .
2
y Cy
11.61. x xCx
,
3
. 11.59.
2 2
y y
x
C . 11.60. yx
6 Cx
y 6
2
.
y 1 2
1 y
y x . 11.62. ln Cx ctg
ln .
2 x
x
11.63. y 2xarctgCx
; y 2xarctg
. 11.64. 2
5
y x 1 y
x 1 C .
2
2
11.65. y
1 5x
4 y 1 x
4 C
6 .
2 3
5y
x 16
6
x
9
2
11.66. y
5 2y
5x
9
x
9
2
5 C
y x x
.
5 16
6 9
6
2
263

3
y
1
2 2
6 2x
11.67. 3 y
1
4x
C
y
x
. 11.68. y 2x 3 Cy
x 2
3 1
2
1 .
4y
5
x 2
11.69. ln 2x 3 C . 11.70. ln y x 1
C .
2x
3
y x 1
2
11.71. y 2x 3 y 3x
2,5
C .
2 2
y 11
2
x
7
2
11.72. y
11 2x
7
C
y x
.
11
2 7
y 2
2 C
xt
11.73. ln y 2 arctg C . 11.74. pt
xt
ln . 11.75. pt
xte
.
x 3
x
2
11.76. y x
C1 x
. 11.77.
2
11.79. y sin x Ccosx
. 11.80. y x
Cx
3
y
3
11.82. yx 2x
C;
x
11.85. y e x C
2x
1
. 11.83.
x
3
264
2
y arcsin x C 1
x . 11.78.
t
2
x C
y .
cosx
2 2
. 11.81. x
Cx
1
Cx
4 1
4
ln . 11.86. y Ce 0,1 e ;
y .
2x
y . 11.84.
5x
5x
5x
y 0,1
e
.
11.87.
2
2
x x
3
y e
C
. 11.88. yxe x x C;
yxe x x 3 1.
2
x 2
11.89. y 2 e Cx
. 11.90. y e
x 2
2
x
( C x; y e 1
arctgx.
x
x
y e arctgx
2
11.91. y e arctgx
C;
x x
11.93. y e e
C
2
3
. 11.92. yx
1
1 . 11.94. y Csin
x cosx;
y sin x cosx
.
11.95. y 2 Ccosx;
y 2 3cosx
.
11.96. ycos 2 x 2sin
x C;
cos 2 x 2sin x 3
cosx
11.98. y e C
11.100. y
x
x
y
1 2
C ,5arcsin x
11.102. y C tg x sin x
3
x
11.104. y e e
y x C e .
arctg x C .
y . 11.97. y C
2cosxcosx
cosx
cos ; e 3
cosx
. 11.99.
0 . 11.101. y x
C ;
tg x
2
. 11.103. y x
C ;
3
x x
ln C
1 ;
ctg x
2
3
x x
3
x
1
e
y e ln .
2
.
2
y 1
x C 1
x .
π x
y x 1
tg
.
2 2
π x
y x ctg
.
2 2
11.105. y Cln 2 x ln x;
y ln 2
2
x ln x . 11.106. 2yln
x x 10ln
x C .
2
11.107. yx xln
x x C;
2
x 2
11.109. y Ce x
1
yx
2
xln
x x e . 11.108.
. 11.110. y Cx e 6x
2
x
y x 1 Ce .
4 1 x 4 3 2
6x 3x
.
2

x
2
11.111. y Ce x 2x
2. 11.112. x y Cy;
x y
2 y .
11.113.
3
y
x y C y;
11.115. x e Ce ;
y
2
y
3
2
x y y . 11.114. x Cy y ;
y
y
x e e . 11.116. 2xe
ln e
3
C .
11.117. 2xcos
y C cos2y;
2xcos y cos2y
y
1 2 y ln y 1
2
2
y
3
2
y
2
2
3
x y y .
. 11.118. xy
1 2 y ln y C;
x . 11.119. x sin yC
cos y;
x sin ycos
y .
2
11.120. x Cy 2ln y y 1;
x 2ln
y y 1. 11.121. x Ce y 2y
2 .
11.122.
11.124.
y
1
x C ln
. 11.123. 2
x
y 1
Cx x
3 xln
x
. 11.125.
ln cosx
C
11.126. y tg
x
x
11.127. 1 Cx
ln x 1
2
y x
4 ln x C ; y 0.
y
2
; y 0.
x 1
Ce
x
2
x 2
y . 11.128. y 1
Ce
x 1
x
2
11.130. 2
y Ce
x 2
11.132. x 1 yC
ln y
, y 0. 11.131.
x
y .
C
2
.
x
1 1
2
. 11.133. x 1 yC
ln y
4 t
11.135. y 4t
3e
1. 11.136.
11.138.
11.141.
11.144.
x
y C e
3
1 2
C e . 11.139.
4x
1
x
4x
y C e C e . 11.142.
7x
1
2
5x
y C e C e . 11.145.
2
. 11.129.
y
4x
2
2
2
2x
y Ce .
2 t
. 11.134. y 2t
e 1.
15 77 4
t 3
p t Ce . 11.137.
4 16
y C e
4x
1
C e
2
2x
. 11.140.
y C e C e . 11.143.
y
y
t
9
p 30 6e
.
2x
x
C1 e C2e
.
10x
9x
7x
3x
1 2
y C1e
C2e
.
9x
4x
x
C1e
C2e
. 11.146. y e C1 C2x.
4x
11.147. y e
3x
C
C x. 11.148. y e C
4x
C sin 4x
1
11.149. y C1 cos3x
C2
sin 3x
. 11.150.
11.151. y e C1cos4
x
11.153. y C
2
2x
C 4x
2 sin
1cos 2 .
x x
y C1cos C2
sin .
4 4
2x
. 11.152. y e C
3x
C sin3x
1cos 2 .
x
1 C e
4
10x
2 . 11.154. y e
0,25x
C1
C2x. 11.155. y e C1
C2x
3x
0,2x
11.156. y e C
C x. 11.157. y e C
C x.
1
2
7x
11.158. y e C
C x. 11.159. y e
7
C
C x
1
2
1
x
1
.
1
2
2
.
265

2x
11.160. y e C
C x
11.162.
11.165.
. 11.161.
1
3x
2
1
x 3 3
y e
2
C1cos
x C x
2
2 sin .
2
y C1
C2e
. 11.163. y C1 cos2x
C2
sin 2x
. 11.164.
y
2x
C e 2
x
x
1 C e . 11.166. y e C
cos4x
C sin 4x
3x
1.167. y e C
x C x
1cos 2 sin .
x x
x
y 1 2
1 2 .
x x x
11.168. C e C e 0 ,5 x ln e 1
e e ln e 1
e .
11.169. y C1 cos2x
C2
sin 2x
0,5x sin 2x
0,25cos2xln
cos2x
.
2x
11.170. y e C
C x
1
2
1
. 11.171. x
y C C e e
x
1 2 cos .
2x
π
11.172. 1 cos 2 sin
x
y C x C x cosxln
tg
.
2 4
2x
2x
11.173. y e xC
ln cosx
e sin xC
x
1
2
x
5x
1
2x
y C e C e .
cos . 11.174. y e C
C x
5
3
3
1 2 x 1 2x x 1
x
1,2
x . 11.175. y C cosx
C2 sin 2
x
2cosxln
tg
2
1 x
x
x
x
x x
. 11.176. y e C
C x
xe xe ln x 0,25xe
0, 25e
x 1
11.177. y e C
C x
1 2
1 2 . 11.178. y C1e
C2e
4 x
x
Acos3x
Bsin
3x. 11.180. x
Acos4x
Bsin
4x
x
x
. 11.179. x
. 11.181. x
Ax Bx
x
3 2
Cx D . 11.182. x
e Acosx
Bsin
x. 11.183. x
Ax Bx
3 2
3x
2
. 11.185. x e Ax
Bx
11.184. x
Ax Bx Cx
11.186. x
e Ax
x
4x
3
3
2
Bx Cx
2
.
1
3
2
2
.
2
Cx D.
. 11.187. x
Ax
Bcos2x
Cx
Dsin
2x
.
x
11.188. x
e Ax
Bx . 11.189. x Acos2x
Bsin
2x
Ce
x 2
11.190. x
e
Ax Bxcos
x Cx
Dxsin
x
2
.
2 .
2 .
11.191. x
Ax
Bxcos6x
Cx Dxsin
6x
11.192.
x
4x
2x
1 2 5
x Ax B Cxe . 11.193. y C e C e 2x 0, .
2x
2x
x
2
11.194. y C1e
C2e
3x
. 11.195. y C1e
C2e
2x
11.196. y C1
C e
x 2 x 4x
12x
24x
.
11.197. y x
x
11.198.
4
2
e x C
x C cosx
x
3
1sin 2 .
y C1 e C2e
2e
. 11.199.
4x
1
11.200. y C e C e 2xe
x
2
11.202. y e C
C x
2
4x
2x
x
2x
7x
y C1e
2
x x
2x
2 . 11.201. y e
C1
C2x
. 11.203.
1 2 2x
2x
C e xe .
x 3x
1 C2e
3
2e
x .
2x
y C e xe .
3x 3.
266

2x
3x
2x
3 2
11.204. y C e C e e x
x x
x
1 2
.
11.205. y e C
sin x C2 cosx sin x
11.206.
y
1
3x
2x
C1e
C2e
0,2cosx sin x
.
4x
2
1 2 x
11.207. y C e C e
x sin x 4cos
3x
.
2cosx
.
11.208. y e C1sin 4x
C2 cos4x1,4sin
2x
x
11.209. y e C
3x
C cos3x 1,5sin 2x
3x
1 sin 2
11.210. y e C
C x
2sin3x
1
2
0,8cos2 x.
cos2x
.
. 11.211. y C sin x C cosx
x sin x .
11.212. y C sin3x
C cos3x
x sin 3x
.
1 2
2
1 2
x
x
11.213. y e C1 sin 2x
C2
cos2x
e sin 2x 0,5cos2x
x
2
11.214. y e
C xsin
x C
x
cosx
.
1 2
2x
4 x 2 x
2 2
1 2
11.215. y C e C e e x 3x
2.
3x
11.216. y C1 C2e
2e
x
x
x
1
3
.
3x 2 6x.
11.217. y C sin x C2 cosx
e 2xsin
x. 11.218. y C sin x
1 3cos2x
2
.
11.219. y π 2sin
x cosx
x
1 . 11.220.
2
2x
y 3x
e .
2x
x
2
11.221. y 4e
e x 2 x . 11.222. y 2e
4xe
3sin 2x.
7x
11.223. y e sin 2x
x x
3
3 . 11.224. y ,1e
sin
x 2cos x
0, 75e
3x
11.225. y e 4cos4x
3sin 4x
2xsin3x
.
11.226. y e 0,5e
x
2x
x 3x
2
4 e x
3x
3,5
11.227. y e 2cos2x
3sin 2x
2xe x cos2x
.
x
x
x
x
0 2 x
.
0 ,55e .
2
Глава 12
3
3 5 7 9 2 2 2 2 1 2 23
12.1. а) ; б) . 12.2. . 12.3. . 12.4. . 12.5. 3.
4 5 6 7 1! 2! 3! 4! 2 3 90
9 1
12.6. . 12.7. . 12.8. Расход. 12.9. Расход. 12.10. Расход. 12.11. Расход.
8 4
12.12. Расход. 12.13. Расход. 12.14. Расход. 12.15. Расход. 12.16. Расход.
4
267

12.17. Сход. 12.18. Расход. 12.19. Сход. 12.20. Сход. 12.21. Расход.
12.22. Расход. 12.23. Сход. 12.24. Сход. 12.25. Расход. 12.26. Сход. 12.27. Сход.
12.28. Сход. 12.29. Расход. 12.30. Расход. 12.31. Сход. 12.32. Расход.
12.33. Сход. 12.34. Сход. 12.35. Сход. 12.36. Сход. 12.37. Расход.
12.38. Сход. 12.39. Сход. 12.40. Сход. 12.41. Расход. 12.42. Сход.
12.43. Расход. 12.44. Сход. 12.45. Расход. 12.46. Сход. 12.47. Сход. абс.
12.48. Сход. абс. 12.49. Расход. 12.50. Сход. усл. 12.51. Сход. усл. 12.52. Расход.
12.53. Сход. усл. 12.54. Сход. абс. 12.55. Сход. абс. 12.56. Сход. абс.
12.57. Сход. усл. 12.58. Сход. усл. 12.59. Сход. усл. 12.60. Сход. абс.
12.61. 0,78. 12.62. 0,16.12.63. 0,45.12.64. 0,287. 12.65. 0,625. 12.66. 0,318.
Глава 13
13.1. 1,1
. 13.2. 3,
1
. 13.3. ( , )
. 13.4. 6,8. 13.5. 1,1
. 13.6. 5,1
13.7. ( 2e,2e)
. 13.8. ( 4, 2)
. 13.9. ( 4/ e,4/
e)
. 13.10. ( , )
13.12. ( , )
13.17. 3,3
. 13.13. 1,1
. 13.18. ( , )
. 13.14.
1 1 ,
2 2
. 13.15.
. 13.19. 1,1
.
. 13.11. 2,0
1
1
,
3 3
.
e
. 13.16.
, e
.
2 2
. 13.20. ( e,
e)
. 13.32. 1,39;
0, 01.
13.33. 0,3050;
0, 0000001. 13.34. 1,0122;
0, 001. 13.35. 0,3413;
0, 001.
268

ЛИТЕРАТУРА
1. Астровский А.И., Воронкова Е.В., Степанович О.П. Высшая математика. 2-е
изд. В 2 кн. Кн.1: Учебно- методический комплекс. – Мн.: Изд-во МИУ,
2007. – 384с.
2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. – М.: Физматлит,
2004. – 464 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.1. М., Дрофа, 2004. – 284 с.
4. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и
задачах: Учеб. пособие/Под ред. В. Ф. Бутузова. – 2-е изд., испр. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 248 с.
5. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2 ч. Ч. 1.: Для вузов.
– 2-е изд., перераб. – Мн.: Высш. шк., 1988. – 247 с.: ил.
6. Гуринович С.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием: пособие.
– Мн. Новое знание, 2008. – 264с.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Л. Высшая математика в упражнениях
и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч.1. – 4-е изд.,
испр. и доп. – М.: Высш.шк., 1986. – 304с.
8. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика: [Учеб. пособие для втузов]. Ч.
II. – Мн.: Высш. шк., 1985. – 221 с.: ил.
9. Кастрица О.А. Высшая математика: Учебное пособие. – Мн.: Новое знание,
2005. – 491с.
10.Кастрица О.А. Высшая математика: примеры, задачи, упражнения: Учебное
пособие для вузов. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 254с.
11.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер,
2005. – 464 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).
12.Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании
/М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2006.
13.Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. –
СПб.: Питер, 2004.
14.Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришина И.М., Фридман М.Н. Высшая математика
для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть I) /
Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Высшее образование, 2005. – 486 с.
269

15.Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришина И.М., Фридман М.Н. Высшая математика
для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II) /
Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Высшее образование, 2005. – 407 с.
16.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей
математике и математической статистике. Мн., 1976. – 456 с.: ил.
17.Лунгу К.Н., Письменный Д.Г., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по
высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.
18.Малугин В.А. Линейная алгебра. – М., Эксмо, 2006. – 215 с.
19.Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс
лекций. – М.: Эксмо, 2005. – 272 с.
20.В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. – М., 1969. – 352 с.:
ил.
21.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. –
М., Айрис-пресс, 2006. – 608 с.
22.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. пособие
/ А.В.Кузнецов, Д.С.Кузнецова, Е.И.Шилкина и др. – Мн.: Высш. шк.,
1994. – 284 с.: ил.
23.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике.
Учебник. В 2-х частях. – М.: Финансы и статистика, 2000, 224с., 376 с.
24.Справочник по математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И. – М.:
Высш. шк., 1997. – 384 с.
25. Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч.
Ч. 1. – Мн.: Выш. шк., 1993. – 416 с.: ил.
26.Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч.
Ч. 2. – Мн.: Выш. шк., 1993. – 303 с.: ил.
27.Шилкина, Е.И. Высшая математика. /Е.И. Шилкина. – Минск: БГЭУ, 2003. –
Ч.1.
28.Шилкина, Е.И. Высшая математика / Е.И. Шилкина, М.П. Дымков. – Минск:
БГЭУ, 2005. – Ч.2.
270