Vybrané okruhy - Katedra vozidel a motorů - Technická univerzita v ...

FAKULTA STROJNÍ
1.3 DERIVACE A INTEGRÁLY
DERIVACE: Je to směrnice tečny určité křivky INTEGRÁLY:
f(x) f / (x) ∫1dx x +c
konst. 0 ∫x 2 dx
3
x + c
3
x 1
1 ln x + c
∫ dx x
x 2 2x ∫e x dx e x + c
1
2
x = x
1
− 1
∫sin x dx -cos x + c
x
=
2 2 x
e x e x ∫cos x dx sin x + c
5 x 5 x .ln5
1
tg x + c
∫ dx
2
cos x
ln x 1/x
sin x
cos x
cos x
-sin x
tg x
1
2
cos x
Derivace součinu: (f(x).d(x)) / =f / (x).d(x)+f(x).d / (x)
Derivace součtu (rozdílu): (f(x)±d(x)) / =f(x) / ±d(x) /
Derivace podílu:
/
/
/
⎛ f ( x)
⎞ f ( x).
g(
x)
− f ( x).
g ( x)
⎜ ⎟ =
2
⎝ d(
x)
⎠
g ( x)
Použití derivování: Pro určení stacionárního bodu (f / (x)=0) a k určení lokálního maxima (f // (x)0). Dále také např. ve fyzice, kde první derivace dráhy podle času vyjadřuje rychlost a
druhá derivace dráhy podle času, resp. první derivace rychlosti podle času, vyjadřuje zrychlení.
Řešení náročnějších integrálů:
3
3
⎡t
= + x ⎤
a)substituce: ∫ x x dx = ⎢ ⎥ = ∫ x t dt = t dt = t = ( + x ) + c
⎣dt
= x dx
⎦
x
3
2 3
1
2 1
2 2
2
3
3 1
3 .
1 2
2
2
3
3
3 3
b)metoda Per-Partes
∫
/
( . g) f . g − ∫
/
f = f . g
URČITÝ INTEGRÁL: f ( x)
b
∫
a
dx -určitý integrál vyjadřuje plochu pod křivkou f(x) pro určité rozmezí
x (od a do b-obr. 3). Obecně se počítá stejně jako běžný, ale na závěr se dosadí dané meze jako horní
mez mínus dolní mez
Obr. 3 Znázornění podstaty integrálu
- 16 -