You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Počítačové riešenie polí<br />
Vladimír Goga<br />
Katedra mechaniky<br />
1
Namáhanie prostým ťahom<br />
(<strong>tlak</strong>om)<br />
Prednáška 2.<br />
2
Obsah prednášky<br />
1. Ťah – <strong>tlak</strong><br />
2. Príklady na prostý ťah - <strong>tlak</strong><br />
3. Riešenie úlohy pomocou MKP<br />
3
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Vzniká, ak je prizmatická tyč namáhaná dvoma<br />
rovnako veľkými, opačne orientovanými silami<br />
pôsobiacimi v osi tyče.<br />
4
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• O prostom ťahu alebo <strong>tlak</strong>u hovoríme vtedy,<br />
ak v myslenom reze pôsobí len normálová<br />
zložka výslednice vnútorných síl: P N<br />
x<br />
5
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Najjednoduchším prípadom ťahového (<strong>tlak</strong>ového) namáhania<br />
je tenká priama tyč, konštantného prierezu namáhaná osovou<br />
silou F.<br />
• Pretože v myslenom reze pôsobí<br />
výslednica vnútorných síl na normále<br />
k prierezu, pri ťahu (<strong>tlak</strong>u) vzniká<br />
normálové napätie σ:<br />
+σ pre ťah a –σ pre <strong>tlak</strong>.<br />
• Konštrukčné prvky namáhané ťahom<br />
(<strong>tlak</strong>om) nazývame tyče (prúty).<br />
6
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• ak možno určiť výslednicu vnútorných síl (osovú silu) zo<br />
statických podmienok rovnováhy, hovoríme o staticky určitej<br />
úlohe prostého (čistého) ťahu (<strong>tlak</strong>u)<br />
– v opačnom prípade musíme statické podmienky rovnováhy doplniť<br />
ďalšími, tzv. deformačnými podmienkami a hovoríme o staticky<br />
neurčitých úlohách<br />
• medzi prípady namáhania prostým ťahom možno zaradiť:<br />
namáhanie vonkajšou osovou silou, vlastnou tiažou,<br />
odstredivou silou a iné<br />
• prostým ťahom (<strong>tlak</strong>om) sú namáhané prvky prútových sústav,<br />
centricky tlačené stĺpy, laná a pod.<br />
7
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• vnútornú silovú veličinu pri ťahu (osovú silu N)<br />
možno vo zvolenom priereze určiť metódou<br />
mysleného rezu<br />
• os prúta po deformácii zostane priama a dva<br />
susedné, rovnobežné prierezy kolmé k osi ostanú aj<br />
po deformácii rovinné a navzájom rovnobežné<br />
– v dôsledku zachovania priamosti prúta nie je možné<br />
vzájomné priečne posunutie prierezov, t.j. nevznikajú<br />
šmykové napätia τ<br />
8
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• všetky vlákna medzi dvoma rovnobežnými prierezmi (kolmé k<br />
prierezu) rovnakej dĺžky dx, budú mať aj po deformácii<br />
rovnakú dĺžku dx + Δdx<br />
• relatívna pomerná zmena dĺžky (pomerné predĺženie) pre<br />
všetky vlákna bude rovnaká:<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
konst.<br />
9
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• pretože sa všetky vlákna medzi uvažovanými blízkymi<br />
prierezmi deformujú rovnako, budú vnútorné sily N po celom<br />
priereze S rozložené rovnomerne<br />
• normálové napätie ako podiel elementárnej vnútornej<br />
normálovej (osovej) sily N a plôšky S bude konštantné:<br />
dN<br />
konst.<br />
<br />
dS<br />
– normálové napätie pri čistom ťahu (<strong>tlak</strong>u) je konštantné po celom<br />
priereze a je rovné podielu normálovej sily a plochy prierezu<br />
N<br />
S<br />
10
1. Ťah - <strong>tlak</strong><br />
• pre votknutý prút (dĺžky L, prierezu S a modulom pružnosti E)<br />
zaťažený osovou silou F na konci prúta, je výpočet celkového<br />
predĺženia nasledovný:<br />
L<br />
dy<br />
dy . dy y .<br />
dy<br />
dy<br />
0<br />
<br />
E.<br />
<br />
E<br />
F<br />
S.<br />
E<br />
L<br />
F<br />
F.<br />
L<br />
y dy L<br />
<br />
S. E<br />
S.<br />
E<br />
0<br />
11
1.1 Namáhanie ťahom (<strong>tlak</strong>om) vplyvom<br />
• Zmena teploty spôsobuje zmenu tvaru a rozmerov telesa:<br />
– táto zmena nie je doprevádzaná vznikom vnútorných síl,<br />
– vnútorné sily vznikajú iba v konštrukciách staticky neurčitých, keď<br />
prebytočný počet väzieb znemožňuje voľnú zmenu prislúchajúcu<br />
zmene teploty.<br />
• Ak je zmena teploty ΔT kladná, ide o ohrev (materiál sa naťahuje),<br />
pri zápornej zmene ide o ochladenie (materiál sa skracuje).<br />
• Absolútne predĺženie dĺžky Δdx je úmerné pôvodnej dĺžke dx,<br />
súčiniteľu dĺžkovej rozťažnosti (koeficient teplotnej rozťažnosti) α<br />
a prírastku teploty ΔT:<br />
tepelného zaťaženia<br />
dx<br />
. dx.<br />
T<br />
– z čoho pomerné predĺženie je rovné:<br />
<br />
T<br />
dx<br />
.<br />
T<br />
dx<br />
12
1.1 Namáhanie ťahom (<strong>tlak</strong>om) vplyvom<br />
tepelného zaťaženia<br />
• Koeficient teplotnej rozťažnosti α:<br />
– určuje veľkosť pomerného predĺženia ε T pripadajúceho na jednotku teplotnej<br />
zmeny<br />
– jeho rozmer je [1/°C] alebo [1/K]<br />
T<br />
T<br />
• Ak je zmena teploty po celej dĺžke L prúta konštantná, môžeme<br />
celkové predĺženie prúta vypočítať:<br />
L<br />
L<br />
<br />
T<br />
<br />
0 0<br />
L dx . T. dx . T.<br />
L<br />
13
1.1.1 Koeficient teplotnej rozťažnosti<br />
Materiál<br />
<br />
pri 20 °C<br />
[x10 -6 /K]<br />
Hliník 22,5<br />
Mosadz 18,7<br />
Tehla 5,5<br />
Bronz 17,5<br />
Diamant 1,2<br />
Sivá liatina 10,4<br />
Betón 14,5<br />
Meď 16,5<br />
Epoxid 18-20<br />
Sklo 9<br />
Zlato 14,2<br />
Železo - čisté 12<br />
Železo - odlievané 10,4<br />
Železo - kované 11,3<br />
Nikel 13<br />
PVC 52<br />
Guma 77<br />
Striebro 19,5<br />
Oceľ 12<br />
Cín 23,4<br />
Titán 8,6<br />
Wolfrám 4,3<br />
Zinok 35,4<br />
14
2. Príklady na prostý ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Pevnostne skontrolujte oceľový votknutý prút štvorcového<br />
prierezu, ktorý je na voľnom konci zaťažený osovou silou.<br />
• Vypočítajte celkové predĺženie prúta ΔL = ?.<br />
• dané:<br />
– F = 30 000 N<br />
– a = 0,020 m<br />
– L = 2 m<br />
– E = 2,1x10 5 MPa<br />
– g = 9,81 m/s 2<br />
– ρ = 7850 kg/m 3<br />
– σ Kt = 210 MPa<br />
– s K = 1,5<br />
15
2. Príklady na prostý ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Pevnostne skontrolujte oceľový votknutý prút kruhového<br />
prierezu, ktorý je zaťažený podľa obrázku.<br />
• Vlastnú tiaž prúta neuvažujeme.<br />
• Vypočítajte celkové predĺženie prúta ΔL = ?.<br />
• dané:<br />
– F 1 = 40 000 N<br />
– F 2 = 10 000 N<br />
– F 3 = 25 000 N<br />
– d = 0,025 m<br />
– L = 1,5 m<br />
– E = 2,1x10 5 MPa<br />
– σ Kt = 260 MPa<br />
– s K = 1,6 16
2. Príklady na prostý ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Nadimenzujte oceľový prút kruhového prierezu zaťaženého<br />
podľa obrázku: d = ?<br />
• Vlastnú tiaž prúta neuvažujeme.<br />
• Vypočítajte celkové predĺženie prúta ΔL = ?.<br />
• dané:<br />
– F 1 = 40 000 N<br />
– F 2 = 10 000 N<br />
– F 3 = 25 000 N<br />
– L = 2,4 m<br />
– E = 2,1x10 5 MPa<br />
– σ Kt = 180 MPa<br />
– s K = 1,4<br />
17
2. Príklady na prostý ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Nadimenzujte hliníkový prút kruhového prierezu, ktorý je<br />
uložený staticky neurčito: d = ?<br />
• Vypočítajte posunutie bodu, v ktorom pôsobí sila: ΔC = ?.<br />
• dané:<br />
– F = 10 000 N<br />
– L = 1 m<br />
– E = 7x10 4 MPa<br />
– σ Kt = 50 MPa<br />
– s K = 1,4<br />
18
2. Príklady na prostý ťah - <strong>tlak</strong><br />
• Vypočítajte aké veľké normálové napätie vznikne pri ohriati<br />
oceľovej tyče, votknutej na oboch koncoch, z 20°C na 45°C.<br />
Tyč má kruhový prierez s priemerom d = 30 mm.<br />
• dané:<br />
– d = 30 mm<br />
– L = 2 m<br />
– E = 2,1x10 4 MPa<br />
– α = 12x10 -6 1/K (=1/°C)<br />
– ΔT = 25 °C<br />
19