PRP_2_2_tah_tlak

Počítačové riešenie polí
Vladimír Goga
Katedra mechaniky
1

Namáhanie prostým ťahom
(tlakom)
Prednáška 2.
2

Obsah prednášky
1. Ťah – tlak
2. Príklady na prostý ťah - tlak
3. Riešenie úlohy pomocou MKP
3

1. Ťah - tlak
• Vzniká, ak je prizmatická tyč namáhaná dvoma
rovnako veľkými, opačne orientovanými silami
pôsobiacimi v osi tyče.
4

1. Ťah - tlak
• O prostom ťahu alebo tlaku hovoríme vtedy,
ak v myslenom reze pôsobí len normálová
zložka výslednice vnútorných síl: P N
x
5

1. Ťah - tlak
• Najjednoduchším prípadom ťahového (tlakového) namáhania
je tenká priama tyč, konštantného prierezu namáhaná osovou
silou F.
• Pretože v myslenom reze pôsobí
výslednica vnútorných síl na normále
k prierezu, pri ťahu (tlaku) vzniká
normálové napätie σ:
+σ pre ťah a –σ pre tlak.
• Konštrukčné prvky namáhané ťahom
(tlakom) nazývame tyče (prúty).
6

1. Ťah - tlak
• ak možno určiť výslednicu vnútorných síl (osovú silu) zo
statických podmienok rovnováhy, hovoríme o staticky určitej
úlohe prostého (čistého) ťahu (tlaku)
– v opačnom prípade musíme statické podmienky rovnováhy doplniť
ďalšími, tzv. deformačnými podmienkami a hovoríme o staticky
neurčitých úlohách
• medzi prípady namáhania prostým ťahom možno zaradiť:
namáhanie vonkajšou osovou silou, vlastnou tiažou,
odstredivou silou a iné
• prostým ťahom (tlakom) sú namáhané prvky prútových sústav,
centricky tlačené stĺpy, laná a pod.
7

1. Ťah - tlak
• vnútornú silovú veličinu pri ťahu (osovú silu N)
možno vo zvolenom priereze určiť metódou
mysleného rezu
• os prúta po deformácii zostane priama a dva
susedné, rovnobežné prierezy kolmé k osi ostanú aj
po deformácii rovinné a navzájom rovnobežné
– v dôsledku zachovania priamosti prúta nie je možné
vzájomné priečne posunutie prierezov, t.j. nevznikajú
šmykové napätia τ
8

1. Ťah - tlak
• všetky vlákna medzi dvoma rovnobežnými prierezmi (kolmé k
prierezu) rovnakej dĺžky dx, budú mať aj po deformácii
rovnakú dĺžku dx + Δdx
• relatívna pomerná zmena dĺžky (pomerné predĺženie) pre
všetky vlákna bude rovnaká:
dx
dx
konst.
9

1. Ťah - tlak
• pretože sa všetky vlákna medzi uvažovanými blízkymi
prierezmi deformujú rovnako, budú vnútorné sily N po celom
priereze S rozložené rovnomerne
• normálové napätie ako podiel elementárnej vnútornej
normálovej (osovej) sily N a plôšky S bude konštantné:
dN
konst.
dS
– normálové napätie pri čistom ťahu (tlaku) je konštantné po celom
priereze a je rovné podielu normálovej sily a plochy prierezu
N
S
10

1. Ťah - tlak
• pre votknutý prút (dĺžky L, prierezu S a modulom pružnosti E)
zaťažený osovou silou F na konci prúta, je výpočet celkového
predĺženia nasledovný:
L
dy
dy . dy y .
dy
dy
0
E.
E
F
S.
E
L
F
F.
L
y dy L
S. E
S.
E
0
11

1.1 Namáhanie ťahom (tlakom) vplyvom
• Zmena teploty spôsobuje zmenu tvaru a rozmerov telesa:
– táto zmena nie je doprevádzaná vznikom vnútorných síl,
– vnútorné sily vznikajú iba v konštrukciách staticky neurčitých, keď
prebytočný počet väzieb znemožňuje voľnú zmenu prislúchajúcu
zmene teploty.
• Ak je zmena teploty ΔT kladná, ide o ohrev (materiál sa naťahuje),
pri zápornej zmene ide o ochladenie (materiál sa skracuje).
• Absolútne predĺženie dĺžky Δdx je úmerné pôvodnej dĺžke dx,
súčiniteľu dĺžkovej rozťažnosti (koeficient teplotnej rozťažnosti) α
a prírastku teploty ΔT:
tepelného zaťaženia
dx
. dx.
T
– z čoho pomerné predĺženie je rovné:
T
dx
.
T
dx
12

1.1 Namáhanie ťahom (tlakom) vplyvom
tepelného zaťaženia
• Koeficient teplotnej rozťažnosti α:
– určuje veľkosť pomerného predĺženia ε T pripadajúceho na jednotku teplotnej
zmeny
– jeho rozmer je [1/°C] alebo [1/K]
T
T
• Ak je zmena teploty po celej dĺžke L prúta konštantná, môžeme
celkové predĺženie prúta vypočítať:
L
L
T
0 0
L dx . T. dx . T.
L
13

1.1.1 Koeficient teplotnej rozťažnosti
Materiál
pri 20 °C
[x10 -6 /K]
Hliník 22,5
Mosadz 18,7
Tehla 5,5
Bronz 17,5
Diamant 1,2
Sivá liatina 10,4
Betón 14,5
Meď 16,5
Epoxid 18-20
Sklo 9
Zlato 14,2
Železo - čisté 12
Železo - odlievané 10,4
Železo - kované 11,3
Nikel 13
PVC 52
Guma 77
Striebro 19,5
Oceľ 12
Cín 23,4
Titán 8,6
Wolfrám 4,3
Zinok 35,4
14

2. Príklady na prostý ťah - tlak
• Pevnostne skontrolujte oceľový votknutý prút štvorcového
prierezu, ktorý je na voľnom konci zaťažený osovou silou.
• Vypočítajte celkové predĺženie prúta ΔL = ?.
• dané:
– F = 30 000 N
– a = 0,020 m
– L = 2 m
– E = 2,1x10 5 MPa
– g = 9,81 m/s 2
– ρ = 7850 kg/m 3
– σ Kt = 210 MPa
– s K = 1,5
15

2. Príklady na prostý ťah - tlak
• Pevnostne skontrolujte oceľový votknutý prút kruhového
prierezu, ktorý je zaťažený podľa obrázku.
• Vlastnú tiaž prúta neuvažujeme.
• Vypočítajte celkové predĺženie prúta ΔL = ?.
• dané:
– F 1 = 40 000 N
– F 2 = 10 000 N
– F 3 = 25 000 N
– d = 0,025 m
– L = 1,5 m
– E = 2,1x10 5 MPa
– σ Kt = 260 MPa
– s K = 1,6 16

2. Príklady na prostý ťah - tlak
• Nadimenzujte oceľový prút kruhového prierezu zaťaženého
podľa obrázku: d = ?
• Vlastnú tiaž prúta neuvažujeme.
• Vypočítajte celkové predĺženie prúta ΔL = ?.
• dané:
– F 1 = 40 000 N
– F 2 = 10 000 N
– F 3 = 25 000 N
– L = 2,4 m
– E = 2,1x10 5 MPa
– σ Kt = 180 MPa
– s K = 1,4
17

2. Príklady na prostý ťah - tlak
• Nadimenzujte hliníkový prút kruhového prierezu, ktorý je
uložený staticky neurčito: d = ?
• Vypočítajte posunutie bodu, v ktorom pôsobí sila: ΔC = ?.
• dané:
– F = 10 000 N
– L = 1 m
– E = 7x10 4 MPa
– σ Kt = 50 MPa
– s K = 1,4
18

2. Príklady na prostý ťah - tlak
• Vypočítajte aké veľké normálové napätie vznikne pri ohriati
oceľovej tyče, votknutej na oboch koncoch, z 20°C na 45°C.
Tyč má kruhový prierez s priemerom d = 30 mm.
• dané:
– d = 30 mm
– L = 2 m
– E = 2,1x10 4 MPa
– α = 12x10 -6 1/K (=1/°C)
– ΔT = 25 °C
19