6 Zrážky - fyzikazeme.sk

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
A) pružné zrážky
(N 2000/2001, 19; N 2006/2007, 13)
1. Dve guľôčky s hmotnosťami m 1 a m 2 visia vedľa seba na dvoch nitiach rovnakej dĺžky. Prvú z nich vykloníme
tak, že bude 0,2 m nad úrovňou tej druhej a pustíme ju. Guľôčky sa dokonale pružne zrazia a následne vystúpia obe
do tej istej výšky. Aká je jej numerická hodnota?
[5 cm]
(N 1999/2000, 4)
2. Častica s hmotnosťou m 1 narazí na stojacu časticu hmotnosti m 2 (m 1 > m 2 ). Určite, o aký maximálny uhol α max sa
od pôvodného smeru môže odkloniť častica m 1 ? Zrážka je dokonale pružná.
(N 1999/2000, 5)
⎡
⎢sin
α
⎣
3. Častica „1“ sa dokonale pružne zrazí so stojacou časticou „2“. Po zrážke sa obidve častice budú pohybovať
symetricky vzhľadom na pôvodný smer častice „1“. Určite pomer hmotností častíc m 1 /m 2 , ak viete, že uhol medzi
ich pohybmi po zrážke je α.
max
m
=
m
2
1
⎤
⎥
⎦
(N 2002/2003, 23)
4. Biliardová guľa pohybujúca sa rýchlosťou v
0
⎡ m
⎢
⎣m
1
2
⎤
= 1+
2cosα
⎥
⎦
narazí do rovnako ťažkých stojacich gúľ podľa obrázka. Ako
ďaleko budú tieto gule po čase t od zrážky? Zrážka je dokonale pružná.
⎡
⎢
⎣
3 ⎤
= 2 v t⎥
5 ⎦
d
0
(FKS 1993/1994, B-3.1)
5. Teleso padá z fyzikálne nekonečnej výšky. Aké je jeho zrýchlenie tesne po pružnom odraze od podložky, ak
vieme, že padá v atmosfére?
2
[ a = (1 + k ) g , k je pomer rýchlostí po odraze a pred odrazom]
verzia ZS 2012 1/7

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
(N 2004/2005, 23 - modifikované)
6. Dve telesá s hmotnosťou m a 2m spustíme súčasne z vrchu hladkej polguľovej nádoby s polomerom R. Ich
zrážka je dokonale pružná. Nájdite maximálne uhly ich odklonu (od miesta zrážky) počas pohybu.
[ α m
147,26
; α
2
= 38,94 ]
=
m
(N 2004/2005, 25)
7. Na špagáte dĺžky l visí guľôčka s hmotnosťou m, ktorá je vychýlená z rovnovážnej polohy do výšky h. Pri
poklese zhodí z okraja stola takú istú guľôčku s hmotnosťou m (viď obrázok). Do akej vzdialenosti x od stola
dopadne zhodená guľôčka, ak má stôl výšku y?
[ x = 2 hy ]
(N 2004/2005, 37)
8. Na okraji stola výšky h je položená guľôčka s hmotnosťou M. Narazí do nej náboj s hmotnosťou m, ktorý letí
veľkosťou rýchlosti v. Preletí ňou a obe telesá padnú na zem. Do akej vzdialenosti doletí náboj, ak guľôčka padla
od stola vo vzdialenosti s?
⎡
⎢v 2h
⎣ g
−
M
m
⎤
s⎥
⎦
verzia ZS 2012 2/7

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
(FKS 1996/1997, B-2.1 – bez číselných hodnôt)
9. (*) Na hojdačke s hmotnosťou m sedí dieťa s hmotnosťou M. Dĺžka závesu hojdačky je l. Hojdačku je možné
rozhojdať tak, že do nej hádžeme z nejakej vzdialenosti loptičky.
a) Kedy získa hojdačka vyšší prírastok rýchlosti: keď sa loptička od hojdačky odrazí, alebo keď ju dieťa
zachytí? [pri odrazení]
b) Koľko n-krát najmenej treba hodiť loptičku, aby sa hojdačka dostala do výšky h oproti pokojovej
polohe? Hmotnosť jednej loptičky je m L a jej veľkosť rýchlosti v L . Odporové sily zanedbajte.
(FKS 1994/1995, A-2.4)
⎡
⎢n
≥
⎢⎣
1
2
2
gh ⎛ m
⎤
L
+ m + M ⎞
⎜
⎟ ⎥
2
vL
⎝ M
L ⎠ ⎥⎦
10. (*) Máme dva rovnaké drevené hranoly s hmotnosťami m. Na jednom z nich je pripevnená pružina s tuhosťou
k so zanedbateľnou hmotnosťou. Daný hranol je prilepený k podložke. Pri horizontálnej sile veľkosti F sa hranol
odlepí. Druhý hranol sa pohybuje veľkosťou rýchlosti v a narazí do prvého. Určite výsledné veľkosti rýchlostí
hranolov po zrážke, ak sa pohybujú po podložke bez trenia.
[i)
v <
F
F
, 2. teleso sa neodlepí; ii) v = : v
mk
mk
1
− v + v
= , v2
= ;
2 2
iii)
F
v > :
mk
v
1
1
⎛
=
⎜
2 ⎜
⎝
v
2
2
F
− −
mk
2
v + F
mk
2
⎞
⎟
⎟
, v
⎠
2
1
⎛
=
⎜
2 ⎜
⎝
v
2
2
F
− +
mk
2
v + F
mk
(FKS 2000/2001, B-3.4)
11. (*) Na vodorovnej podložke je položená guľa s hmotnosťou m. Na ňu dopadne z výšky h 0 veľkosťou rýchlosti
v druhá guľa s rovnakým polomerom, ale dvojnásobnou hmotnosťou. Do akej výšky vystúpi horná guľa po zrážke?
⎡
⎢h
⎢⎣
(FKS 1999/2000, B-4.3)
⎛ 23 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 27 ⎠
2
2
= h0
12. (*) Guľa s hmotnosťou m nalietava veľkosťou rýchlosti v na nepohybujúcu sa guľu s hmotnosťou M, po
priamke spájajúcej ich stredy. Po zrážke je veľkosť rýchlosti prvej gule dvakrát menšia ako pôvodná. Určite pomer
α súčtu kinetických energií po zrážke a pôvodnej kinetickej energie nalietavajúcej gule.
⎡ 1 ⎞
⎛ ⎞ ⎤
⎢ ⎜
⎛ m
1 m 1
α = 1 + ⎟,
M ≤ m ≤ 3M
; α = ⎜1
+ 9 ⎟,
m ≤ M ⎥
⎣ 4 ⎝ M ⎠
4 ⎝ M ⎠ 3 ⎦
verzia ZS 2012 3/7
⎞
⎟
⎟ ]
⎠
⎤
⎥
⎥⎦

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
(FKS 1999/2000, A-3.1)
13. (*) Na rovine ležia guľôčky rovnakého rozmeru. Jedna (viď obrázok) je vyrobená z ocele (s hmotnosťou m o ),
ostatné sú vyrobené z dreva s hmotnosťami m d . Na guľôčky nalietava veľkosťou rýchlosti v 0 drevená guľa, rovnaká
ako ostatné drevené. Akými veľkosťami rýchlostí sa budú guľôčky pohybovať po náraze?
⎡
⎢v
⎢
⎢
⎢v
⎢
⎣
a
g
m
= −
m
4m
=
o
o
− m
+ m
v ; v
0md
( mo
− md
)
4
( m + m )
o
d
d
0
d
b
= v
2
c
0
= v
v ; v
f
d
= 0;
4m
=
3
2m
( )
⎤
d
mo
− md
vocel
=
v0;
4
( mo
+ md
)
0md
( mo
− md
) 4momd
v =
( ) ( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ 3 0;
ve
v
2 0
mo
+ md
mo
+ md
⎦
(FX, E6)
14. (**) Jano chce poraziť Jura v squashi, a tak poctivo trénuje. Minule si napríklad zohnal loptičku s hmotnosťou
m a škatuľu tvaru kvádra s hmotnosťou M » m. Potom kopol do škatule tak, aby sa šmýkala po zemi veľkosťou
rýchlosti v smerom kolmo na stenu a do jej dráhy položil vo vzdialenosti D od steny nehybnú loptičku.
Vypočítajte, do akej najmenšej vzdialenosti od steny sa krabica po n-tej zrážke s loptičkou dostane. Trenie škatule
aj loptičky o zem považujte za nulové, všetky zrážky za dokonale pružné a predpokladajte, že krabica sa neotáča
(celý pohyb loptičky sa deje na jednej priamke kolmej na stenu). Odpoveď stačí do prvého rádu v M
m .
⎡
⎢ ≈
⎣
D
m
M
⎥
⎦
⎤
(N 2008/2009, 31)
15. (**) Keď položíme drevenú dosku na zem a pustíme na ňu loptičku, táto sa odrazí do β – násobku pôvodnej
výšky. Zoberieme dve takéto dosky a začneme ich ku sebe približovať vzájomnou veľkosťou rýchlosti v. Teraz
medzi ne vhodíme loptičku tak, aby sa odrážala (kolmo) medzi doskami. Aká bude veľkosť rýchlosti loptičky tesne
predtým, než ju dosky pripučia?
⎡ 1
⎢
⎢⎣
1−
⎤
v⎥
β ⎥⎦
verzia ZS 2012 4/7

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
B) nepružné zrážky
(N 2005/2006, 19; N 2005/2006, 19 - podobné)
16. Na závese dĺžky L = 0,5 m visí plastelínová guľôčka s hmotnosťou M = 1 kg. Vo vodorovnom smere do nej
veľkosťou rýchlosti v vletí náboj hmotnosti m = 5 g a uviazne v nej. Pre aké hodnoty veľkosti rýchlosti v sa záves
pretrhne, ak vydrží maximálnu napínaciu silu F = 15 N?
(N 2006/2007, 13)
⎡
⎢v
>
⎢⎣
L
( m + M ).( F − mg − Mg )
m
≈ 321,5m.
s
17. Minimálna veľkosť rýchlosti, ktorou strela s hmotnosťou m prerazí uchytenú dosku, je v 0 . Určite minimálnu
veľkosť rýchlosti v 1 , ktorou tá istá strela prerazí tú istú dosku s hmotnosťou M, ak uchytená nie je. Strela vnikne do
stredu dosky.
(N 2002/2003, 15)
−1
⎤
⎥
⎥⎦
⎡ M + m ⎤
⎢v1
= v0
⎥
⎣ M ⎦
18. Na dvoch rovnako dlhých nitiach upevnených v jednom bode sú zavesené rovnako veľké plastelínové gule.
Jedna visí a druhú sme vychýlili do výšky h. Aká bude maximálna výška kmitov po nepružnej zrážke?
(N 2004/2005, 23)
19. Dve telesá s hmotnosťou m a 2m spustíme súčasne z vrchu hladkej polguľovej nádoby s polomerom R. Ich
zrážka je dokonale nepružná. Nájdite maximálny uhol ich odklonu počas pohybu.
⎡h⎤
⎢
⎣4⎥
⎦
[ α = 27,27 ]
(Hajko, III/116)
20. Do akej výšky h sa vychýli z rovnovážnej polohy balistické kyvadlo s hmotnosťou M = 10 kg, keď v ňom
uviazne strela s veľkosťou rýchlosti v = 200 m.s -1 a hmotnosťou m = 100 g?
2 2
⎡ m v
⎤
⎢h = = 0, 2m
2 ⎥
⎣ 2g
( m + M ) ⎦
verzia ZS 2012 5/7

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
(FKS 1998/1999, B-1.2)
21. (*) Najnižšia výška, z ktorej sa vianočná guľa po pustení nerozbije, je h. Akú minimálnu veľkosť rýchlosti v jej
mám udeliť na zemi vo vodorovnom smere, aby sa po náraze do druhej, stojacej vianočnej gule obe rozbili?
[ v = 2 2gh ]
(FKS 1996/1997, B-3.2)
22. (*) Experimentálny fyzik si zaobstaral sadu áut trabantov a začal s nimi robiť pokusy. Najprv nechal jedno auto
nabúrať do zvislej betónovej steny veľkosťou rýchlosti v 0 (napríklad 100 km/h). Zistil pritom, ako sa auto
zdeformovalo a tento údaj si zapamätal. To mu však nestačilo a experimentoval ďalej. Spravil nasledovné pokusy:
Pokus č. 1: Zobral ďalšie dva trabanty a rozbehol ich proti sebe, pričom obe autá mali rovnakú veľkosť
rýchlosti v 0 .
Pokus č. 2: Zobral ďalšie dva trabanty, jeden z nich naložil ťažkým nákladom a znova ich rozbehol proti
sebe rovnakými veľkosťami rýchlostí v 0 .
Cez energie ukážte, ako sa v jednotlivých prípadoch zdeformovali autá oproti pokusu so stenou. Aké by museli byť
veľkosti rýchlostí áut, aby sa tieto zdeformovali rovnako, ako keby nabúrali do steny veľkosťou rýchlosti v 0 ?
[prázdne auto sa zdeformuje viac ako po náraze na stenu - naopak, ťažšie auto sa zdeformuje menej;
taká rýchlosť neexistuje ☺]
(FX, E8)
23. (**) James Bond sa chystá na ďalšiu akciu, kde sa musí vyšplhať na strechu vysokého domu. Zaobstaral si
kotvu s hmotnosťou M = 2 kg, ktorú dokáže vystreliť veľkosťou rýchlosti v 0 = 25 m/s. Kúpil si tiež horolezecké
lano, ktorého jeden meter váži λ = 100 g. Do akej najväčšej výšky dokáže vystreliť kotvu (samozrejme,
s upevneným lanom)? Odpor vzduchu zanedbajte.
⎡
M ⎛
⎢ ⎜
⎢ λ ⎜
⎣ ⎝
3
2
3λv
⎞ ⎤
0
1+ −1⎟
≈ 15,89m⎥
2Mg
⎟ ⎥
⎠ ⎦
(FKS, 1995/1996, A-1.1)
24. (**) Na jednej priamke sa vo vzdialenosti d jeden od druhého nachádza v pokoji n + 1 identických hmotných
bodov. Prvému z nich udelíme veľkosť rýchlosti v 0 . Akú podmienku musí spĺňať veľkosť d, aby začiatočná
veľkosť rýchlosti systému získaného nepružnými zrážkami všetkých hmotných bodov bola k-krát menšia ako v 0 ?
Koeficient statického trenia je f.
2
2
( k − ( n + 1)
)
( n + 1 ).( 2n
+ 1)
2
⎡ 3v
⎤
1
⎢d
= , f ≠ 0
2
⎥
⎣ k fgn
⎦
verzia ZS 2012 6/7

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika Z R Á Ž K Y
(FKS, 1993/1994, A-3.3)
25. (**) Vlak s veľmi veľkou hmotnosťou sa pohybuje veľkosťou rýchlosti v. Doženie ho strela hmotnosti m,
veľkosti rýchlosti u a zaryje sa do jeho zadnej steny. Určite veľkosť energie, ktorá sa uvoľní vo forme tepla Q.
i) V sústave spojenej so Zemou sa kinetická energia strely zmení z
1 mu
2
2
na
2 2
ii) Vo vzťažnej sústave „vagón“ sa zmení z m( v − u ) 2
na 0, teda Q m( v − u ) 2
Je niektorá z týchto odpovedí správna? Ak nie, aké teplo sa vlastne uvoľní?
1
2
1
= .
2
1 1 mv , ( ) 2
Q = m u − v .
2
[prísne vzaté ani jedna, pre m « M je prvý výsledok približne správny; = m( u − v)
1 2 ⎧ m ⎫
Q ⎨1
− ⎬ ]
2 ⎩ M + m⎭
verzia ZS 2012 7/7