PRP_6_krut
PRP_6_krut
PRP_6_krut
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Počítačové riešenie polí<br />
Vladimír Goga<br />
Katedra mechaniky<br />
1
Prierezové charakteristiky<br />
Krut<br />
Prednáška 6.<br />
2
Obsah prednášky<br />
1. Geometrické charakteristiky prierezových<br />
plôch<br />
2. Krútenie hriadeľov kruhového prierezu<br />
3
• Pevnosť a tuhosť konštrukčných častí pri niektorých druhoch<br />
namáhania závisí nielen od veľkosti, ale aj od tvaru plochy<br />
priečneho prierezu.<br />
• Zohľadnenie tvaru a veľkosti plochy prierezu býva v závislosti od<br />
namáhania rôzne.<br />
• Uvedieme si len základné prierezové charakteristiky dôležité<br />
pre analýzu namáhania <strong>krut</strong>om a ohybom.<br />
• Krut:<br />
– polárny kvadratický moment prierezu,<br />
– prierezový modul v krútení.<br />
• Ohyb:<br />
1. Geometrické charakteristiky<br />
prierezových plôch<br />
– statický a kvadratický (osový) moment prierezu,<br />
– prierezový modul v ohybe. 4
1.1 Statické momenty prierezu<br />
• Statické momenty prierezu plochy S k osiam x, y sú<br />
definované [m 3 ]:<br />
U<br />
U<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
S<br />
<br />
S<br />
zdS<br />
ydS<br />
– ak súradnice ťažiska T prierezu S sú y T , z T , potom statické momenty<br />
prierezu možno vyjadriť:<br />
U z . S , U y . S<br />
y T z T<br />
a sú nulové k ľubovoľnej osi, ktorá prechádza ťažiskom.<br />
– Statický moment prierezu k osi je rovný súčtu statických momentov častí<br />
prierezu k tej istej osi.<br />
5
1.2 Kvadratické (osové) momenty<br />
prierezu<br />
• Uvažujme všeobecný rovinný prierez, ktorého plocha je S:<br />
• Vybratá elementárna plôška dS je vzdialená o hodnotu ρ<br />
od počiatku súradnicového systému.<br />
6
1.2 Kvadratické (osové) momenty<br />
prierezu<br />
• Osové kvadratické momenty prierezu S k osiam x, y sú<br />
definované vzťahmi (sú vždy kladné [m 4 ]):<br />
J<br />
J<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
S<br />
<br />
S<br />
2<br />
z dS<br />
2<br />
y dS<br />
• Polárny kvadratický moment prierezu S k pólu 0 je definovaný :<br />
J<br />
p<br />
2<br />
dS<br />
2 2 2<br />
S<br />
po dosadení za<br />
<br />
y<br />
<br />
z<br />
<br />
<br />
J y z dS y dS z dS J J<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
p z y<br />
S S S<br />
7
1.2 Kvadratické (osové) momenty<br />
• Deviačný moment plochy prierezu S je definovaný:<br />
– z rovnice vyplýva, že deviačný moment môže<br />
byť kladný, záporný alebo nulový [m 4 ],<br />
– deviačný moment plochy S k osiam y, z je<br />
nulový, ak aspoň jedna z daných osí je osou<br />
symetrie prierezu.<br />
D<br />
prierezu<br />
yz<br />
z..<br />
y dS<br />
S<br />
• Pri zložitých plochách sa daná plochá rozdelí na jednoduchšie<br />
časti a celkový kvadratický alebo deviačný moment je rovný<br />
súčtu príslušných momentov týchto častí, prirodzene, k tým<br />
istým osiam. 8
1.2 Kvadratické (osové) momenty<br />
prierezu<br />
• Osi, ku ktorým je deviačný moment prierezu rovný nule,<br />
nazývame hlavné osi kvadratických momentov prierezu.<br />
• Osi, ktoré prechádzajú ťažiskom, nazývame centrálne osi.<br />
• Hlavné osi, ktoré prechádzajú ťažiskom, nazývame hlavné<br />
centrálne osi.<br />
• Dve navzájom kolmé osi, z ktorých aspoň jedna je osou<br />
symetrie prierezu, sú hlavné osi.<br />
9
1.2.1 Steinerova veta<br />
• Slúži na určenie prierezových charakteristík prierezu k<br />
posunutým (rovnobežných) osiam prierezu.<br />
• Kvadratický moment napr. k osi z’ plochy S je definovaný:<br />
2<br />
<br />
J<br />
'<br />
y ' dS y m dS y dS 2. y. m. dS m dS J 0 m S J m S<br />
2 2 2 2 2<br />
z z z<br />
S S S S S<br />
<br />
• výraz: ydS 0 lebo os y prechádza ťažiskom<br />
S<br />
10
1.2.1 Steinerova veta<br />
• Podobne možno určiť kvadratický moment k osi y’ :<br />
2<br />
J<br />
y'<br />
J y<br />
n S<br />
• Deviačný moment k posunutým osiam:<br />
<br />
<br />
Dyz<br />
' '<br />
z ' y ' dS z n y m dS zydS n ydS m zdS mn dS<br />
S S S S S S<br />
<br />
S<br />
<br />
yz<br />
– kde: dS S<br />
potom:<br />
S<br />
<br />
S<br />
zydS D<br />
zdS <br />
<br />
S<br />
ydS 0<br />
D D mnS<br />
y' z'<br />
yz<br />
11
1.2.1 Steinerova veta<br />
• Rovnice:<br />
2<br />
J<br />
z'<br />
J z<br />
m<br />
S<br />
Dy ' z'<br />
Dyz<br />
mnS<br />
2<br />
J<br />
y'<br />
J<br />
y<br />
n S<br />
sú matematickým vyjadrením Steinerovej vety, ktorá<br />
hovorí:<br />
– Momentové charakteristiky prierezu k posunutým osiam sú rovné<br />
súčtu momentovej charakteristiky k osiam, ktoré prechádzajú<br />
ťažiskom prierezu a prírastku, daným súčinom veľkosti plochy<br />
prierezu a štvorca posunutia osí (pri deviačnom momente je to<br />
súčin obidvoch posunutí osí).<br />
12
1.2.2 Obdĺžnikový prierez 1<br />
• Pre obdĺžnikový prierez so stranami b x h určite momenty<br />
zotrvačnosti k osiam x, y (sú to zároveň hlavné centrálne<br />
momenty zotrvačnosti, pretože dané osi prechádzajú ťažiskom<br />
prierezu a sú osami symetrie prierezu)<br />
h/2 3<br />
h/2<br />
3<br />
2 2 by<br />
bh<br />
J<br />
z<br />
y dS y bdy <br />
3<br />
<br />
12<br />
S h/2 h/2<br />
b/2 3<br />
b/2<br />
3<br />
2 2 hz<br />
hb<br />
J<br />
y<br />
z dS z hdz <br />
3<br />
<br />
12<br />
yz<br />
S b/2 b/2<br />
D zydS zydzdy <br />
<br />
S<br />
<br />
S<br />
0<br />
13
1.2.2 Obdĺžnikový prierez 2<br />
• Určite momenty zotrvačnosti obdĺžnikového prierezu k osiam z<br />
a y, ktoré sú vodorovne posunuté od centrálnych osí prierezu o<br />
hodnotu m = -h/2, n = -b/2.<br />
Použitím Steinerovej vety dostaneme:<br />
3 2<br />
3<br />
2 bh h bh<br />
J<br />
z'<br />
J<br />
z<br />
m S bh <br />
<br />
12 2 3<br />
3<br />
2 hb<br />
J<br />
y'<br />
J<br />
y<br />
n S ... <br />
3<br />
h b h b<br />
Dz ' y '<br />
Dzy<br />
mnS 0 bh<br />
<br />
2 2 4<br />
2 2<br />
14
1.2.3 Kruhový a medzikruhový prierez<br />
15
1.2.3 Kruhový a medzikruhový prierez<br />
Pre kruhový prierez platí:<br />
Polárny moment zotrvačnosti medzikruhu bude rovný rozdielu polárneho<br />
momentu prierezu priemeru D a vybratej kruhovej časti prierezu d:<br />
Potom:<br />
J J J 2J 2J J J <br />
p z y z y z y<br />
D/2 4 4 4<br />
D d 2 3 D d D d<br />
J<br />
p<br />
J<br />
p<br />
J<br />
p<br />
dS 2 d<br />
1<br />
<br />
32 32 32 D<br />
S<br />
d/2<br />
<br />
<br />
J<br />
z<br />
D<br />
zy<br />
4<br />
4<br />
D d <br />
Jy<br />
<br />
64<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
D<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
J<br />
p<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
16<br />
4
1.2.3 Kruhový a medzikruhový prierez<br />
• Je zrejmé, že J z a J y sú zároveň hlavnými centrálnymi momentmi<br />
zotrvačnosti prierezu.<br />
• Každá os prechádzajúca ťažiskom medzikruhového prierezu je<br />
hlavnou centrálnou osou zotrvačnosti.<br />
• V prípade plného prierezu (d = 0) bude:<br />
J<br />
J<br />
p<br />
z<br />
D<br />
zy<br />
4<br />
D<br />
<br />
32<br />
D<br />
Jy<br />
<br />
64<br />
0<br />
4<br />
17
1.3 Prierezový modul v ohybe<br />
• Prierezový modul (modul prierezu) v ohybe je definovaný ako<br />
pomer osového kvadratického momentu prierezu k hlavnej<br />
centrálnej osi a vzdialenosti krajného (najviac vzdialeného)bodu<br />
plochy priečneho prierezu od tejto osi [m 3 ]:<br />
J<br />
y<br />
Wy<br />
z<br />
• Pre obdĺžnikový prierez:<br />
max<br />
J<br />
y hb .<br />
Wy<br />
b / 2 6<br />
J<br />
z<br />
bh .<br />
Wz<br />
h / 2 6<br />
2<br />
2<br />
18
1.3 Prierezový modul v ohybe<br />
• Pre kruhový prierez:<br />
3 3<br />
J<br />
y R D<br />
Wy<br />
Wz<br />
0,1D<br />
R 4 32<br />
3<br />
• Pre medzikruhový prierez:<br />
<br />
<br />
4 4 3 3<br />
4 4<br />
J D d R<br />
y<br />
D d <br />
3 d <br />
Wy<br />
Wz<br />
1 0,1D<br />
1<br />
<br />
D / 2 32D 32 D D <br />
19
1.4 Prierezový modul v krútení<br />
• Prierezový modul (modul prierezu) v krútení je polárnym<br />
modulom kruhového a medzikruhového prierezu, ktorým<br />
nazývame pomer polárneho kvadratického momentu prierezu a<br />
vzdialenosti najviac vzdialeného bodu prierezu od pólu (stredu)<br />
[m 3 ]:<br />
J<br />
p<br />
Wp<br />
r<br />
max<br />
• Pre kruhový prierez:<br />
W<br />
p<br />
3 3<br />
J<br />
p R D<br />
<br />
R 2 16<br />
0,2D<br />
3<br />
• Pre medzikruhový prierez:<br />
W<br />
p<br />
3<br />
4 4<br />
2J p D d 3 d<br />
1 0,2D<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
D 16 D D <br />
20
2. Krútenie hriadeľov kruhového<br />
prierezu<br />
• Krútenie je charakterizované jedinou nenulovou vnútornou<br />
silovou veličinou v priereze – krútiacim momentom.<br />
• Teleso kruhového (medzikruhového) prierezu namáhané<br />
krútením nazývame hriadeľom.<br />
• Krútením sú namáhané napr. prvky vrtných súprav, lokomotív,<br />
tvarovacích a obrábacích strojov, súčasti priestorových<br />
konštrukcií a pod.:<br />
– prvky strojov a konštrukcií sú popri krútení namáhané obyčajne aj na<br />
ohyb alebo tlak.<br />
• Charakter deformácie krúteného telesa vo veľkej miere závisí<br />
od tvaru jeho priečneho prierezu:<br />
– zvláštne miesto medzi telesami rozličných tvarov prierezu majú hriadele<br />
kruhového a medzikruhového prierezu, ktoré nachádzajú v praxi<br />
21<br />
najširšie uplatnenie.
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Po skrútení kruhového hriadeľa v oblasti malých deformácií ostáva os<br />
hriadeľa priama, priečne prierezy rovinné (kruhové) a vzdialenosť<br />
medzi priečnymi prierezmi sa prakticky nemení.<br />
• Pri krútení dochádza k pootočeniu jedného prierezu vzhľadom k<br />
druhému prierezu o určitý uhol (uhol skrútenia) – ϕ:<br />
– tento uhol pootočenia prierezov hriadeľa zaťaženého momentom bude<br />
tým väčší, čím väčšia bude vzdialenosť prierezov x a čím väčší bude<br />
krútiaci moment M k .<br />
22
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Krútiaci moment M k v priereze je výsledným účinkom<br />
šmykových napätí τ, ktoré v priereze pôsobia a je<br />
rovný:<br />
– kde r je polomer kruhovej prierezovej<br />
plochy hriadeľa a S je plocha prierezu<br />
• Šmykové napätie je funkciou<br />
polomer hriadeľa:<br />
M<br />
<br />
k<br />
.. r dS<br />
r<br />
<br />
S<br />
23
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Funkciu r<br />
možno určiť z deformačnej podmienky<br />
pre element o dĺžke dx:<br />
– ak rešpektujeme experimentálne zistené skutočnosti:<br />
• vzdialenosť medzi jednotlivými prierezmi skrucovaného hriadeľa sa nemení,<br />
• tvoriace priamky valca sa natočia o rovnaké uhly,<br />
• polomery ostávajú po skrútení priame,<br />
• prierezy vo vzdialenosti dx sa vzájomne pootočia o uhol dϕ,<br />
24
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Funkciu r<br />
možno určiť z deformačnej podmienky<br />
pre element o dĺžke dx:<br />
– potom pre element platia vzťahy ako pri čistom šmyku:<br />
d<br />
• kde je tzv. pomerný uhol skrútenia.<br />
dx<br />
DD<br />
r.<br />
d<br />
tg r<br />
r<br />
r.<br />
<br />
dx dx<br />
25
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Z Hookovho zákona pre čistý šmyk, pre krajné vlákna<br />
hriadeľa dostaneme:<br />
R G R<br />
. .<br />
– vo vláknach vo vzdialenosti r od osi hriadeľa je šmykové<br />
napätie rovné:<br />
r G r <br />
..<br />
26
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Po dosadení do vzťahu pre krútiaci moment M k<br />
dostaneme:<br />
– z čoho:<br />
2<br />
M<br />
k<br />
G. . r . dS G. .<br />
J<br />
p<br />
S<br />
L<br />
M<br />
k<br />
M<br />
k<br />
M<br />
k<br />
, d dx , dx<br />
G. J G. J<br />
<br />
G.<br />
J<br />
p p 0 p<br />
GJ<br />
.<br />
p<br />
– súčin: nazývame tuhosť v krútení (torzná tuhosť)<br />
L<br />
27
2.1 Napätia a deformácie pri krútení<br />
• Pre rozdelenie šmykového napätia po priereze platí:<br />
r<br />
• Šmykové napätia sa mení podľa priamky a je<br />
maximálne v krajných vláknach prierezu:<br />
– kde W p je prierezový modul v krútení.<br />
Mk<br />
M<br />
max<br />
R<br />
R<br />
J W<br />
<br />
• Dovolené šmykové napätie sa vypočíta podľa vzťahu:<br />
<br />
M<br />
J<br />
p<br />
k<br />
p<br />
r<br />
k<br />
p<br />
<br />
max<br />
pričom 0,6. <br />
DOV DOV DOV<br />
28
2.2 Analýza napätosti pri krútení a<br />
hlavné normálové napätia<br />
• Odvodené šmykové napätia vznikajú tiež v pozdĺžnych rezoch –<br />
zákon združených šmykových napätí.<br />
• Normálové napätia v priečnych, i pozdĺžnych rezoch sú rovné<br />
nule.<br />
• V radiálnom smere sú aj šmykové napätia rovné nule, a teda na<br />
element hriadeľa pôsobia len šmykové napätia v jednej rovine.<br />
• Takáto napätosť je charakteristická pre čistý šmyk.<br />
29
2.2 Analýza napätosti pri krútení a<br />
hlavné normálové napätia<br />
• Z vlastností čistého šmyku vyplýva, že na plôškach<br />
sklonených pod uhlom 45° k plochám, v ktorých<br />
pôsobia len šmykové napätia, sú hlavné normálové<br />
napätia rovné príslušným šmykovým napätiam.<br />
• Trajektórie týchto napätí tvoria s<strong>krut</strong>kovice, ktorých<br />
uhol stúpa voči osi hriadeľa o 45°.<br />
30
2.2 Analýza napätosti pri krútení a<br />
hlavné normálové napätia<br />
• Ak povrch hriadeľa rozdelíme takýmito s<strong>krut</strong>kovicami<br />
na pravouhlé elementy, potom v jednom smere sú<br />
elementy namáhané ťahom a v druhom tlakom:<br />
– týmto možno vysvetliť, prečo sa hriadele vyrobené z<br />
krehkého materiálu, ktorý lepšie znáša namáhanie tlakom<br />
ako ťahom (napr. liatina), porušujú po s<strong>krut</strong>kovicovej ploche<br />
kolmej na smer hlavných ťahových napätí,<br />
31
2.2 Analýza napätosti pri krútení a<br />
hlavné normálové napätia<br />
– hriadeľ vyrobený z húževnatej ocele sa porušuje šmykom v<br />
priečnom reze, pretože ťahové napätia pre takýto materiál<br />
sú menej nebezpečné ako šmykové,<br />
– drevený hriadeľ sa poruší v smere pozdĺžnych vlákien, lebo<br />
tu má nižšiu pevnosť.<br />
32
2.3 Energia napätosti pri krútení<br />
hriadeľa kruhového prierezu<br />
• Predpokladajme, že v hriadeli vznikajú napätia menšie<br />
ako je medza úmernosti.<br />
• V takomto prípade práca vonkajších síl W, ktorá sa<br />
vykoná pri skrucovaní hriadeľa, je rovná energii<br />
napätosti A nahromadenej v hriadeli.<br />
• Deformačná práca je rovná ploche diagramu:<br />
– kde M k je krútiaci moment a ϕ je skrútenie<br />
hriadeľa.<br />
1<br />
W A M<br />
k.<br />
<br />
2<br />
33
2.3 Energia napätosti pri krútení<br />
hriadeľa kruhového prierezu<br />
• Energiu napätosti pri krútení možno vyjadriť v tvare:<br />
A <br />
L<br />
1 M<br />
<br />
2 G.<br />
J<br />
0<br />
2<br />
k<br />
p<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
– pre konštantný prierez po celej dĺžke hriadeľa a pre<br />
konštantný krútiaci moment je energia napätosti:<br />
A <br />
1 M<br />
2 k<br />
. L<br />
2 GJ .<br />
p<br />
34
2.4 Krut – príklad 1<br />
• Nadimenzujte oceľový kruhový hriadeľ, zaťažený v<br />
strede krútiacim momentom M k a vypočítajte jeho<br />
skrútenie na voľnom konci.<br />
• Dané:<br />
M k = 100 Nm<br />
L = 60 cm<br />
E = 2,1x10 5 MPa<br />
G = 0,8x10 5 MPa<br />
σ DOV = 140 MPa<br />
35
2.4 Krut – príklad 2<br />
• Nadimenzujte oceľový kruhový hriadeľ, zaťažený v<br />
strede krútiacim momentom M k . Hriadeľ je na oboch<br />
koncoch dokonale votknutý. Vypočítajte skrútenie<br />
hriadeľa v mieste pôsobenia M k .<br />
• Dané:<br />
M k = 100 Nm<br />
L = 60 cm<br />
E = 2,1x10 5 MPa<br />
G = 0,8x10 5 MPa<br />
σ DOV = 140 MPa<br />
36