PRP_6_krut

Počítačové riešenie polí 

Vladimír Goga 

Katedra mechaniky 

1

Prierezové charakteristiky 

Krut 

Prednáška 6. 

2

Obsah prednášky 

1. Geometrické charakteristiky prierezových 

plôch 

2. Krútenie hriadeľov kruhového prierezu 

3

• Pevnosť a tuhosť konštrukčných častí pri niektorých druhoch 

namáhania závisí nielen od veľkosti, ale aj od tvaru plochy 

priečneho prierezu. 

• Zohľadnenie tvaru a veľkosti plochy prierezu býva v závislosti od 

namáhania rôzne. 

• Uvedieme si len základné prierezové charakteristiky dôležité 

pre analýzu namáhania krutom a ohybom. 

• Krut: 

– polárny kvadratický moment prierezu, 

– prierezový modul v krútení. 

• Ohyb: 

1. Geometrické charakteristiky 

prierezových plôch 

– statický a kvadratický (osový) moment prierezu, 

– prierezový modul v ohybe. 4

1.1 Statické momenty prierezu 

• Statické momenty prierezu plochy S k osiam x, y sú 

definované [m 3 ]: 

U 

U 

y 

z 

 

 

 

S 

 

S 

zdS 

ydS 

– ak súradnice ťažiska T prierezu S sú y T , z T , potom statické momenty 

prierezu možno vyjadriť: 

U z . S , U y . S 

y T z T 

a sú nulové k ľubovoľnej osi, ktorá prechádza ťažiskom. 

– Statický moment prierezu k osi je rovný súčtu statických momentov častí 

prierezu k tej istej osi. 

5

1.2 Kvadratické (osové) momenty 

prierezu 

• Uvažujme všeobecný rovinný prierez, ktorého plocha je S: 

• Vybratá elementárna plôška dS je vzdialená o hodnotu ρ 

od počiatku súradnicového systému. 

6


prierezu 

• Osové kvadratické momenty prierezu S k osiam x, y sú 

definované vzťahmi (sú vždy kladné [m 4 ]): 

J 

J 

y 

z 

 

 

 

S 

 

S 

2 

z dS 

2 

y dS 

• Polárny kvadratický moment prierezu S k pólu 0 je definovaný : 

J 

p 

2 

dS 

2 2 2 

S 

po dosadení za 

 

y 

 

z 

 

 

J y z dS y dS z dS J J 

 

2 2 

 

2 

 

2 

p z y 

S S S 

7


• Deviačný moment plochy prierezu S je definovaný: 

– z rovnice vyplýva, že deviačný moment môže 

byť kladný, záporný alebo nulový [m 4 ], 

– deviačný moment plochy S k osiam y, z je 

nulový, ak aspoň jedna z daných osí je osou 

symetrie prierezu. 

D 

prierezu 

yz 

z.. 

y dS 

S 

• Pri zložitých plochách sa daná plochá rozdelí na jednoduchšie 

časti a celkový kvadratický alebo deviačný moment je rovný 

súčtu príslušných momentov týchto častí, prirodzene, k tým 

istým osiam. 8


prierezu 

• Osi, ku ktorým je deviačný moment prierezu rovný nule, 

nazývame hlavné osi kvadratických momentov prierezu. 

• Osi, ktoré prechádzajú ťažiskom, nazývame centrálne osi. 

• Hlavné osi, ktoré prechádzajú ťažiskom, nazývame hlavné 

centrálne osi. 

• Dve navzájom kolmé osi, z ktorých aspoň jedna je osou 

symetrie prierezu, sú hlavné osi. 

9

1.2.1 Steinerova veta 

• Slúži na určenie prierezových charakteristík prierezu k 

posunutým (rovnobežných) osiam prierezu. 

• Kvadratický moment napr. k osi z’ plochy S je definovaný: 

2 

 

J 

' 

y ' dS y m dS y dS 2. y. m. dS m dS J 0 m S J m S 

2 2 2 2 2 

z z z 

S S S S S 

 

• výraz: ydS 0 lebo os y prechádza ťažiskom 

S 

10


• Podobne možno určiť kvadratický moment k osi y’ : 

2 

J 

y' 

J y 

n S 

• Deviačný moment k posunutým osiam: 

 

 

Dyz 

' ' 

z ' y ' dS z n y m dS zydS n ydS m zdS mn dS 

S S S S S S 

 

S 

 

yz 

– kde: dS S 

potom: 

S 

 

S 

zydS D 

zdS 

 

S 

ydS 0 

D D mnS 

y' z' 

yz 

11


• Rovnice: 

2 

J 

z' 

J z 

m 

S 

Dy ' z' 

Dyz 

mnS 

2 

J 

y' 

J 

y 

n S 

sú matematickým vyjadrením Steinerovej vety, ktorá 

hovorí: 

– Momentové charakteristiky prierezu k posunutým osiam sú rovné 

súčtu momentovej charakteristiky k osiam, ktoré prechádzajú 

ťažiskom prierezu a prírastku, daným súčinom veľkosti plochy 

prierezu a štvorca posunutia osí (pri deviačnom momente je to 

súčin obidvoch posunutí osí). 

12

1.2.2 Obdĺžnikový prierez 1 

• Pre obdĺžnikový prierez so stranami b x h určite momenty 

zotrvačnosti k osiam x, y (sú to zároveň hlavné centrálne 

momenty zotrvačnosti, pretože dané osi prechádzajú ťažiskom 

prierezu a sú osami symetrie prierezu) 

h/2 3 

h/2 

3 

2 2 by 

bh 

J 

z 

y dS y bdy 

3 

 

12 

S h/2 h/2 

b/2 3 

b/2 

3 

2 2 hz 

hb 

J 

y 

z dS z hdz 

3 

 

12 

yz 

S b/2 b/2 

D zydS zydzdy 

 

S 

 

S 

0 

13

1.2.2 Obdĺžnikový prierez 2 

• Určite momenty zotrvačnosti obdĺžnikového prierezu k osiam z 

a y, ktoré sú vodorovne posunuté od centrálnych osí prierezu o 

hodnotu m = -h/2, n = -b/2. 

Použitím Steinerovej vety dostaneme: 

3 2 

3 

2 bh h bh 

J 

z' 

J 

z 

m S bh 

 

12 2 3 

3 

2 hb 

J 

y' 

J 

y 

n S ... 

3 

h b h b 

Dz ' y ' 

Dzy 

mnS 0 bh 

 

2 2 4 

2 2 

14

1.2.3 Kruhový a medzikruhový prierez 

15


Pre kruhový prierez platí: 

Polárny moment zotrvačnosti medzikruhu bude rovný rozdielu polárneho 

momentu prierezu priemeru D a vybratej kruhovej časti prierezu d: 

Potom: 

J J J 2J 2J J J 

p z y z y z y 

D/2 4 4 4 

D d 2 3 D d D d 

J 

p 

J 

p 

J 

p 

dS 2 d 

1 

 

32 32 32 D 

S 

d/2 

 

 

J 

z 

D 

zy 

4 

4 

D d 

Jy 

 

64 

 

1 

 

 

D 

 

0 

 

 

J 

p 

2 

 

 

 

16 

4


• Je zrejmé, že J z a J y sú zároveň hlavnými centrálnymi momentmi 

zotrvačnosti prierezu. 

• Každá os prechádzajúca ťažiskom medzikruhového prierezu je 

hlavnou centrálnou osou zotrvačnosti. 

• V prípade plného prierezu (d = 0) bude: 

J 

J 

p 

z 

D 

zy 

4 

D 

 

32 

D 

Jy 

 

64 

0 

4 

17

1.3 Prierezový modul v ohybe 

• Prierezový modul (modul prierezu) v ohybe je definovaný ako 

pomer osového kvadratického momentu prierezu k hlavnej 

centrálnej osi a vzdialenosti krajného (najviac vzdialeného)bodu 

plochy priečneho prierezu od tejto osi [m 3 ]: 

J 

y 

Wy 

z 

• Pre obdĺžnikový prierez: 

max 

J 

y hb . 

Wy 

b / 2 6 

J 

z 

bh . 

Wz 

h / 2 6 

2 

2 

18

1.3 Prierezový modul v ohybe 

• Pre kruhový prierez: 

3 3 

J 

y R D 

Wy 

Wz 

0,1D 

R 4 32 

3 

• Pre medzikruhový prierez: 

 

 

4 4 3 3 

4 4 

J D d R 

y 

D d 

3 d 

Wy 

Wz 

1 0,1D 

1 

 

D / 2 32D 32 D D 

19

1.4 Prierezový modul v krútení 

• Prierezový modul (modul prierezu) v krútení je polárnym 

modulom kruhového a medzikruhového prierezu, ktorým 

nazývame pomer polárneho kvadratického momentu prierezu a 

vzdialenosti najviac vzdialeného bodu prierezu od pólu (stredu) 

[m 3 ]: 

J 

p 

Wp 

r 

max 

• Pre kruhový prierez: 

W 

p 

3 3 

J 

p R D 

 

R 2 16 

0,2D 

3 

• Pre medzikruhový prierez: 

W 

p 

3 

4 4 

2J p D d 3 d 

1 0,2D 

 

1 

 

 

D 16 D D 

20

2. Krútenie hriadeľov kruhového 

prierezu 

• Krútenie je charakterizované jedinou nenulovou vnútornou 

silovou veličinou v priereze – krútiacim momentom. 

• Teleso kruhového (medzikruhového) prierezu namáhané 

krútením nazývame hriadeľom. 

• Krútením sú namáhané napr. prvky vrtných súprav, lokomotív, 

tvarovacích a obrábacích strojov, súčasti priestorových 

konštrukcií a pod.: 

– prvky strojov a konštrukcií sú popri krútení namáhané obyčajne aj na 

ohyb alebo tlak. 

• Charakter deformácie krúteného telesa vo veľkej miere závisí 

od tvaru jeho priečneho prierezu: 

– zvláštne miesto medzi telesami rozličných tvarov prierezu majú hriadele 

kruhového a medzikruhového prierezu, ktoré nachádzajú v praxi 

21 

najširšie uplatnenie.

2.1 Napätia a deformácie pri krútení 

• Po skrútení kruhového hriadeľa v oblasti malých deformácií ostáva os 

hriadeľa priama, priečne prierezy rovinné (kruhové) a vzdialenosť 

medzi priečnymi prierezmi sa prakticky nemení. 

• Pri krútení dochádza k pootočeniu jedného prierezu vzhľadom k 

druhému prierezu o určitý uhol (uhol skrútenia) – ϕ: 

– tento uhol pootočenia prierezov hriadeľa zaťaženého momentom bude 

tým väčší, čím väčšia bude vzdialenosť prierezov x a čím väčší bude 

krútiaci moment M k . 

22


• Krútiaci moment M k v priereze je výsledným účinkom 

šmykových napätí τ, ktoré v priereze pôsobia a je 

rovný: 

– kde r je polomer kruhovej prierezovej 

plochy hriadeľa a S je plocha prierezu 

• Šmykové napätie je funkciou 

polomer hriadeľa: 

M 

 

k 

.. r dS 

r 

 

S 

23


• Funkciu r 

možno určiť z deformačnej podmienky 

pre element o dĺžke dx: 

– ak rešpektujeme experimentálne zistené skutočnosti: 

• vzdialenosť medzi jednotlivými prierezmi skrucovaného hriadeľa sa nemení, 

• tvoriace priamky valca sa natočia o rovnaké uhly, 

• polomery ostávajú po skrútení priame, 

• prierezy vo vzdialenosti dx sa vzájomne pootočia o uhol dϕ, 

24


• Funkciu r 

možno určiť z deformačnej podmienky 

pre element o dĺžke dx: 

– potom pre element platia vzťahy ako pri čistom šmyku: 

d 

• kde je tzv. pomerný uhol skrútenia. 

dx 

DD 

r. 

d 

tg r 

r 

r. 

 

dx dx 

25


• Z Hookovho zákona pre čistý šmyk, pre krajné vlákna 

hriadeľa dostaneme: 

R G R 

. . 

– vo vláknach vo vzdialenosti r od osi hriadeľa je šmykové 

napätie rovné: 

r G r 

.. 

26


• Po dosadení do vzťahu pre krútiaci moment M k 

dostaneme: 

– z čoho: 

2 

M 

k 

G. . r . dS G. . 

J 

p 

S 

L 

M 

k 

M 

k 

M 

k 

, d dx , dx 

G. J G. J 

 

G. 

J 

p p 0 p 

GJ 

. 

p 

– súčin: nazývame tuhosť v krútení (torzná tuhosť) 

L 

27


• Pre rozdelenie šmykového napätia po priereze platí: 

r 

• Šmykové napätia sa mení podľa priamky a je 

maximálne v krajných vláknach prierezu: 

– kde W p je prierezový modul v krútení. 

Mk 

M 

max 

R 

R 

J W 

 

• Dovolené šmykové napätie sa vypočíta podľa vzťahu: 

 

M 

J 

p 

k 

p 

r 

k 

p 

 

max 

pričom 0,6. 

DOV DOV DOV 

28

2.2 Analýza napätosti pri krútení a 

hlavné normálové napätia 

• Odvodené šmykové napätia vznikajú tiež v pozdĺžnych rezoch – 

zákon združených šmykových napätí. 

• Normálové napätia v priečnych, i pozdĺžnych rezoch sú rovné 

nule. 

• V radiálnom smere sú aj šmykové napätia rovné nule, a teda na 

element hriadeľa pôsobia len šmykové napätia v jednej rovine. 

• Takáto napätosť je charakteristická pre čistý šmyk. 

29



• Z vlastností čistého šmyku vyplýva, že na plôškach 

sklonených pod uhlom 45° k plochám, v ktorých 

pôsobia len šmykové napätia, sú hlavné normálové 

napätia rovné príslušným šmykovým napätiam. 

• Trajektórie týchto napätí tvoria skrutkovice, ktorých 

uhol stúpa voči osi hriadeľa o 45°. 

30



• Ak povrch hriadeľa rozdelíme takýmito skrutkovicami 

na pravouhlé elementy, potom v jednom smere sú 

elementy namáhané ťahom a v druhom tlakom: 

– týmto možno vysvetliť, prečo sa hriadele vyrobené z 

krehkého materiálu, ktorý lepšie znáša namáhanie tlakom 

ako ťahom (napr. liatina), porušujú po skrutkovicovej ploche 

kolmej na smer hlavných ťahových napätí, 

31



– hriadeľ vyrobený z húževnatej ocele sa porušuje šmykom v 

priečnom reze, pretože ťahové napätia pre takýto materiál 

sú menej nebezpečné ako šmykové, 

– drevený hriadeľ sa poruší v smere pozdĺžnych vlákien, lebo 

tu má nižšiu pevnosť. 

32

2.3 Energia napätosti pri krútení 

hriadeľa kruhového prierezu 

• Predpokladajme, že v hriadeli vznikajú napätia menšie 

ako je medza úmernosti. 

• V takomto prípade práca vonkajších síl W, ktorá sa 

vykoná pri skrucovaní hriadeľa, je rovná energii 

napätosti A nahromadenej v hriadeli. 

• Deformačná práca je rovná ploche diagramu: 

– kde M k je krútiaci moment a ϕ je skrútenie 

hriadeľa. 

1 

W A M 

k. 

 

2 

33

2.3 Energia napätosti pri krútení 

hriadeľa kruhového prierezu 

• Energiu napätosti pri krútení možno vyjadriť v tvare: 

A 

L 

1 M 

 

2 G. 

J 

0 

2 

k 

p 

x 

x 

dx 

– pre konštantný prierez po celej dĺžke hriadeľa a pre 

konštantný krútiaci moment je energia napätosti: 

A 

1 M 

2 k 

. L 

2 GJ . 

p 

34

2.4 Krut – príklad 1 

• Nadimenzujte oceľový kruhový hriadeľ, zaťažený v 

strede krútiacim momentom M k a vypočítajte jeho 

skrútenie na voľnom konci. 

• Dané: 

M k = 100 Nm 

L = 60 cm 

E = 2,1x10 5 MPa 

G = 0,8x10 5 MPa 

σ DOV = 140 MPa 

35

2.4 Krut – príklad 2 

• Nadimenzujte oceľový kruhový hriadeľ, zaťažený v 

strede krútiacim momentom M k . Hriadeľ je na oboch 

koncoch dokonale votknutý. Vypočítajte skrútenie 

hriadeľa v mieste pôsobenia M k . 

• Dané: 

M k = 100 Nm 

L = 60 cm 

E = 2,1x10 5 MPa 

G = 0,8x10 5 MPa 

σ DOV = 140 MPa 

36

PRP_6_krut

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?