Prednáška Ä. 4 - Dynamika HB a SHB
Prednáška Ä. 4 - Dynamika HB a SHB
Prednáška Ä. 4 - Dynamika HB a SHB
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
CAE mechatronických<br />
systémov a sústav<br />
Vladimír Goga<br />
Katedra mechaniky<br />
1
<strong>Dynamika</strong> hmotného bodu a<br />
sústavy hmotných bodov<br />
Prednáška 4.<br />
2
Obsah prednášky<br />
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
2. Základné pojmy<br />
3. Newtonove zákony<br />
4. Zostavovanie pohybových rovníc<br />
5. Základné vety dynamiky hmotného bodu<br />
6. Sústava hmotných bodov<br />
3
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
• Cieľ dynamiky:<br />
– základný cieľ dynamiky je vyšetrovať<br />
súvislosti medzi pohybom mechanických<br />
modelov a pôsobiacimi silami<br />
– tento vzájomný vzťah je definovaný v<br />
pohybových rovniciach, preto hlavná úloha<br />
dynamiky je zostavenie týchto pohybových<br />
rovníc<br />
4
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
• Základné úlohy, ktoré dynamika rieši sú:<br />
1. určenie takých pôsobiacich síl, aby sa teleso<br />
(hmotný bod - <strong>HB</strong>) pohybovalo predpísaným<br />
pohybom (ide o riešenie algebraických<br />
rovníc)<br />
2. pôsobiace sily sú známe (prípadne ich<br />
závislosti od parametrov pohybu) a hľadáme<br />
pohyb, ku ktorému účinkom týchto síl<br />
dochádza (riešenie diferenciálnych rovníc)<br />
5
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
• V technickej praxi sa často stretávame s<br />
úlohami v podstate prvého typu, v ktorých<br />
pri známom priebehu kinematických<br />
veličín jednotlivých bodov telesa môžeme<br />
určiť vnútorné silové účinky v<br />
pohybujúcom sa telese, a tým aj<br />
namáhanie v ľubovoľnom priereze telesa.<br />
6
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
• Z uvedeného vyplýva zrejmý význam<br />
dynamiky:<br />
– skúmanie pohybu mechanickej sústavy,<br />
– určenie hlavných parametrov hnacích a<br />
pracovných strojov tak, aby vyhovovali<br />
technologickému procesu,<br />
– určenie namáhania jednotlivých strojových<br />
častí a ich dimenzovanie,<br />
– a pod.<br />
7
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
• Klasickú mechaniku možno rozdeliť:<br />
– z hľadiska zostavovania pohybových rovníc na:<br />
• vektorovú mechaniku: vychádza priamo z<br />
Newtonových zákonov<br />
• analytickú (skalárnu) mechaniku: vychádzame z<br />
energetických úvah<br />
– z hľadiska pohybujúceho sa objektu:<br />
• dynamika hmotného bodu (<strong>HB</strong>),<br />
• dynamika sústavy hmotných bodov (S<strong>HB</strong>),<br />
• dynamiku telesa,<br />
• dynamiku sústavy telies,<br />
• dynamiku kontinua.<br />
8
1. Ciele a úlohy dynamiky<br />
• Teoretické a aplikačné odbory dynamiky:<br />
– dynamika strojov,<br />
– náuka o kmitaní,<br />
– štatistická dynamika,<br />
– pohyb telies s premennou hmotnosťou,<br />
– a pod.<br />
9
2. Základné pojmy<br />
1. Hmota:<br />
– je objektívna realita, existujúca nezávisle od nášho<br />
vedomia, ktoré ju odráža, fotografuje a zaznamenáva,<br />
a ktorá existuje v priestore a čase<br />
– látkovou formou hmoty sú hmotné telesá<br />
– mierou odporu hmoty proti zmene jej pohybového<br />
stavu vyvolaného pôsobiacimi silami, t.j. mieru<br />
zotrvačných účinkov hmoty, vyjadruje veličina<br />
nazývaná hmotnosť<br />
– hmotnosť je zároveň mierou množstva hmoty v telese<br />
(je skalárna veličina s reálnou kladnou hodnotou)<br />
– v klasickej mechanike (v technickej praxi) hmotnosť<br />
telesa nezávisí od rýchlosti telesa<br />
10
2. Základné pojmy<br />
2. Priestor: je trojrozmerný euklidovský<br />
– inerciálna sústava:<br />
• jej základnou vlastnosťou je, že je v kľude<br />
• platí v nej zákon zotrvačnosti<br />
• jej realizácia je abstraktná<br />
• najlepšie by takejto SS odpovedala SS, ktorá je<br />
pevne spojená so stálicami, ktoré majú vo vesmíre<br />
nemennú polohu<br />
• každá sústava, ktorá sa vzhľadom na inerciálnu<br />
sústavu nepohybuje, alebo sa pohybuje<br />
rovnomerne priamočiaro, je takisto inerciálna<br />
11
2. Základné pojmy<br />
2. Priestor: je trojrozmerný euklidovský<br />
– inerciálna sústava:<br />
• napriek tomu, že SS pevne spojený so Zemou sa<br />
pohybuje, jej zrýchlenie pri pohybe okolo Slnka je<br />
také malé (0,00593ms -2 – stred Zeme) v porovnaní<br />
s gravitačným zrýchlením alebo v porovnaní s<br />
väčšinou zrýchlení vyskytujúcich sa v technickej<br />
praxi, že SS pevne spojený so Zemou môžeme s<br />
dostatočnou presnosťou považovať za nehybný<br />
SS<br />
12
2. Základné pojmy<br />
• Hmotný bod:<br />
– je teleso, ktorého geometrické rozmery v uvažovanej<br />
sústave môžeme zanedbať<br />
– teleso sa scvrklo do bodu, ktorý má hmotnosť<br />
rovnajúcu sa hmotnosti telesa a jeho poloha je v<br />
strede telesa (ťažisku)<br />
– táto idealizácia je možná v prípadoch, keď uvažujeme<br />
len posuvný pohyb telesa, a keď rozmery telesa majú<br />
zanedbateľný alebo žiadny vplyv na výsledok riešenia<br />
(napr. pohyb zemegule v slnečnej sústave)<br />
– na určenie polohy hmotného bodu nám stačia tri<br />
súradnice<br />
14
2. Základné pojmy<br />
• Sila:<br />
– je vektorová veličina<br />
– na jednoznačné určenie sily je potrebné udať<br />
bod jej pôsobiska, smer a zmysel jej<br />
pôsobenia a jej veľkosť, t.j. intenzitu jej<br />
pôsobenia<br />
– priamka na ktorej leží vektor sily je nositeľkou<br />
sily<br />
– jednotkou sily je 1 newton<br />
<br />
N<br />
kg. m.<br />
s <br />
2<br />
<br />
<br />
15
2. Základné pojmy<br />
• Sila:<br />
– môžeme ju vyjadriť v tvare<br />
F F i F j<br />
F k<br />
x y z<br />
- veľkosť sily (jej absolútna hodnota):<br />
F F F F F<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
16
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
– je vektorová veličina<br />
– vyjadruje sa k určitému bodu<br />
M rF<br />
0<br />
Moment k bodu 0<br />
17
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
– je vektorová veličina<br />
– vyjadruje sa k určitému bodu<br />
M<br />
i j k<br />
<br />
r r r<br />
<br />
F F F<br />
0 x y z<br />
x y z<br />
Moment k bodu 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
18
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
– je vektorová veličina<br />
– vyjadruje sa k určitému bodu<br />
M<br />
<br />
i r F r F <br />
0 y z z y<br />
<br />
j r F r F <br />
<br />
z x x z<br />
k r F r F <br />
<br />
x y y x<br />
iM jM kM<br />
<br />
<br />
x y z<br />
19
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
– moment sily F k bodu 0 sa nemení, ak túto<br />
silu posúvame po jej nositeľke<br />
– preto je veľkosť momentu tiež daná súčinom<br />
veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositeľky<br />
sily od bodu 0<br />
– jednotkou momentu sily je 1 newton meter<br />
<br />
N. m kg. m . s <br />
2 2<br />
<br />
<br />
20
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
nositeľka sily<br />
veľkosť momentu:<br />
M<br />
rF<br />
0 0<br />
smer a orientácia<br />
momentu:<br />
- kolmý na rovinu<br />
definovanú vektormi r<br />
a F<br />
kolmá vzdialenosť<br />
r točí do F<br />
21
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
– pre rovinu:<br />
veľkosť momentu:<br />
M<br />
rF<br />
0 0<br />
smer a orientácia<br />
momentu:<br />
- kolmý na rovinu x-y<br />
22
2. Základné pojmy<br />
• Moment sily:<br />
– pre rovinu:<br />
veľkosť momentu:<br />
M<br />
<br />
r F<br />
r F<br />
0 x y y x<br />
23
2. Základné pojmy<br />
• Mechanická práca:<br />
– je definovaná ako skalárny súčin vektora sily<br />
F pôsobiacej na hmotný bod, ktorého poloha<br />
sa zmenila o dr<br />
dA Fdr F dr F dr F dr<br />
x x y y z z<br />
x2 y2<br />
z2<br />
A Fdr F dx F dy F dz<br />
<br />
x y z<br />
x1 y1 z1<br />
– tiež môžeme povedať, že práca predstavuje<br />
dráhový účinok sily<br />
24
2. Základné pojmy<br />
• Mechanická práca:<br />
– práca momentu sily:<br />
dA Md<br />
– jednotkou mechanickej práce je 1 joule<br />
<br />
J N. m kg. m . s <br />
2 2<br />
<br />
<br />
25
2. Základné pojmy<br />
• Mechanický výkon:<br />
– výkon je definovaný podielom vykonanej<br />
práce za jednotku času<br />
– jednotkou mechanického výkonu je 1 watt<br />
<br />
W J. s N. m. s kg. m . s<br />
1 1 2 3<br />
– ak sa vykoná práca dA za čas dt , je okamžitý<br />
výkon:<br />
dA<br />
P <br />
dt<br />
dA dr<br />
dA d<br />
P F F.<br />
v P M M.<br />
<br />
dt dt<br />
dt dt<br />
<br />
<br />
26
2. Základné pojmy<br />
• Účinnosť:<br />
– účinnosť je definovaná pomerom:<br />
PV<br />
<br />
P<br />
– PV<br />
je výkon odovzdaný sústave, P<br />
je výkon<br />
sústave privedený (tzv. príkon)<br />
– rozdiel P P P 1<br />
0 je stratový výkon<br />
P V P<br />
– výkon je bezrozmerná veličina, ak ju<br />
prenásobíme 100, dostaneme účinnosť v %<br />
27
2. Základné pojmy<br />
• Silové pole:<br />
– pod týmto pojmom rozumieme funkčnú<br />
závislosť vektora sily, ktorý pôsobí na skúmaný<br />
hmotný bod alebo teleso, od súradníc a aj<br />
rýchlosti daného bodu a vo všeobecnosti aj od<br />
času, t.j.<br />
F<br />
F r, r ,t<br />
<br />
– ak sila nie je explicitne funkciou času, potom<br />
hovoríme, že silové pole je stacionárne, v<br />
opačnom prípade nestacionárne<br />
– sily, ktoré môžeme vyjadriť pomocou potenciálu,<br />
nazývame konzervatívne F gradU<br />
<br />
28
2. Základné pojmy<br />
• Potenciálové (konzervatívne) pole:<br />
– pole potenciálových síl je pole potenciálové alebo<br />
tiež konzervatívne<br />
– ide o vektorové silové pole v priestore, kde v<br />
každom mieste priestoru pôsobí na <strong>HB</strong> sila<br />
jednoznačne určená veľkosťou a smerom<br />
• na presunutie <strong>HB</strong> z miesta A do miesta B po dráhe s<br />
je potrebné vykonať určitú prácu W<br />
• pri presune <strong>HB</strong> naspäť z miesta B do A sa bod<br />
pohybuje po inej dráhe s’ , pričom sa vykoná práca<br />
W’<br />
29
2. Základné pojmy<br />
• Potenciálové (konzervatívne) pole:<br />
• <strong>HB</strong> teda vykoná pohyb po uzavretej krivke (dráhe), ktorá<br />
je tvorená dráhami s a s’<br />
• ak platí W = - W’ , potom celková práca po uzavretej dráhe je<br />
nulová: W + W’ = 0<br />
• body A a B boli zvolené ľubovoľne, čo znamená, že v<br />
takomto poli nezávisí práca na dráhe, ktorú musí <strong>HB</strong><br />
prejsť, ale iba na počiatočnej a koncovej polohe<br />
• takéto pole sa nazýva konzervatívne alebo tiež<br />
potenciálové (je to teda pole potenciálových síl)<br />
30
2. Základné pojmy<br />
• Potenciálové (konzervatívne) pole:<br />
– v konzervatívnom poli platí zákon zachovania<br />
mechanickej energie<br />
• celková mechanická energia sústavy ostáva stála<br />
– v konzervatívnom poli pôsobia len konzervatívne sily<br />
• medzi konzervatívne pole patrí napr. pole gravitačné<br />
• konzervatívne polia sú silové polia, ktoré sú homogénne (tzn.<br />
pôsobiace sily majú v každom bode rovnaký smer a veľkosť)<br />
– ak mechanická práca v konzervatívnom silovom poli<br />
nezávisí na dráhe, po ktorej sa bod pohybuje, ale iba na<br />
počiatočnej a koncovej polohe, potom možno miesto<br />
vektorového poľa použiť skalárne pole – túto veličinu<br />
31<br />
potom nazývame potenciál
2. Základné pojmy<br />
• Potenciálové (konzervatívne) pole:<br />
– ak neplatí vzťah W + W’ = 0, teda platí W + W’ ≠ 0,<br />
potom v takomto poli obvykle dochádza počas pohybu<br />
<strong>HB</strong> k strate energie, väčšinou dôsledkom nejakej<br />
odporovej sily<br />
• <strong>HB</strong> sa teda vracia do pôvodnej polohy s inou energiou<br />
• zákon zachovania energie už neplatí, pretože mechanická<br />
energia sa zmenila na iný typ energie (napr. teplo, deformačnú<br />
energiu a pod.)<br />
• takéto pole sa nazýva nekonzervatívne<br />
• ak v nekonzervatívnom poli platí W + W’ < 0, potom hovoríme o<br />
poli disipatívnom<br />
32
2. Základné pojmy<br />
• Potenciálové (konzervatívne) pole:<br />
– práca vykonaná v disipatívnom poli pri pohybe bodu je teda<br />
záporná<br />
– pri pohybe v disipatívnom poli sa teda kinetická energia <strong>HB</strong><br />
znižuje<br />
– napr. pohyb bodu v gravitačnom poli, ak nezanedbáme<br />
odpor vzduchu, dochádza k disipácii (stratám) energie a<br />
pohyb sa spomaľuje (výsledné silové pole už nie je<br />
konzervatívne)<br />
33
3. Newtonove zákony<br />
• Newtonove zákony tvoria základné<br />
princípy dynamiky<br />
– alebo tiež axiómy dynamiky (axióm je<br />
tvrdenie, ktoré sa považuje za platné a teda<br />
sa nedokazuje)<br />
34
3. Newtonove zákony<br />
• Prvý Newtonov zákon:<br />
– vzhľadom na inerciálnu súradnicovú sústavu<br />
sa pohybový stav hmotného bodu (resp.<br />
telesa) nemení, ak hmotný bod nepodlieha<br />
pôsobeniu iných telies<br />
– každý <strong>HB</strong> zotrváva v pokoji alebo v stave<br />
rovnomerného priamočiareho pohybu, pokiaľ<br />
nie je vonkajšími silami prinútený svoj<br />
pohybový stav zmeniť<br />
– takisto sa nazýva zákon zotrvačnosti<br />
35
3. Newtonove zákony<br />
• Druhý Newtonov zákon:<br />
– po kvantitatívnej stránke Newton zavádza ako<br />
mieru množstva pohybu hybnosť :<br />
p<br />
mv<br />
– touto veličinou charakterizujeme pohybový<br />
stav <strong>HB</strong> alebo telesa pri jeho posuvnom<br />
pohybe<br />
36
3. Newtonove zákony<br />
• Druhý Newtonov zákon:<br />
– časová zmena hybnosti určuje silu vyvolávajúcu zmenu<br />
pohybového stavu telesa, pričom sila je úmerná rýchlosti<br />
tejto zmeny<br />
– časová zmena hybnosti je úmerná vonkajšej sile a<br />
prebieha v smere tejto sily<br />
dp<br />
dt <br />
F<br />
F =<br />
<br />
i<br />
F<br />
i<br />
- je výsledný účinok vonkajších síl pôsobiacich<br />
na teleso<br />
37
3. Newtonove zákony<br />
• Druhý Newtonov zákon:<br />
– ak je hmotnosť telesa v priebehu pohybu<br />
konštantná:<br />
dp<br />
dmv<br />
dv<br />
= m = m.<br />
a<br />
dt dt dt<br />
F =<br />
ma<br />
– takisto sa nazýva zákon sily alebo zákon o<br />
zmene hybnosti<br />
38
3. Newtonove zákony<br />
• Druhý Newtonov zákon:<br />
F = 0<br />
– ak (silová sústava pôsobiaca na teleso<br />
je v rovnováhe), platí:<br />
p konšt.<br />
• čo tiež opisuje rovnovážny stav<br />
• zákonu zotrvačnosti (1. Newtonov zákon) potom<br />
hovoríme aj zákon o zachovaní hybnosti<br />
– ak konšt.= 0, hmotný bod zotrváva v pokoji<br />
– ak konšt.≠ 0, hmotný bod sa pohybuje rovnomerne<br />
priamočiaro<br />
39
3. Newtonove zákony<br />
• Druhý Newtonov zákon:<br />
2<br />
– vzťah: dv<br />
d x<br />
m m ma<br />
2<br />
dt dt<br />
F<br />
– je to vektorová rovnica<br />
• jej zložkový tvar:<br />
ma<br />
x<br />
<br />
F<br />
x<br />
2<br />
dv<br />
d x<br />
m m ma<br />
2<br />
dt dt<br />
F<br />
ma<br />
y<br />
<br />
F<br />
y<br />
ma<br />
z<br />
<br />
F<br />
z<br />
40
3. Newtonove zákony<br />
• Tretí Newtonov zákon:<br />
– silové pôsobenie medzi telesami je vždy<br />
vzájomné<br />
– dve telesá pôsobia na seba silami rovnakej<br />
veľkosti, rovnakého smeru, ale opačnej<br />
orientácie<br />
– tiež sa nazýva zákon akcie a reakcie<br />
– matematicky môže byť vyjadrený<br />
F<br />
F<br />
1 2<br />
41
3. Newtonove zákony<br />
• pre oblasť dynamiky je charakteristický<br />
druhý Newtonov zákon, ktorý je<br />
východiskom pri odvádzaní základných<br />
dynamických vzťahov – pohybových rovníc<br />
42
4. Zostavovanie pohybových<br />
rovníc<br />
• pri zostavovaní pohybových rovníc <strong>HB</strong><br />
metódami vektorovej mechaniky môžeme<br />
použiť 2 spôsoby:<br />
1. Newtonov spôsob:<br />
– vychádza zo znenia 2. Newtonovho zákona<br />
2. d’Alembertov spôsob:<br />
– zavádza pojem zotrvačnej sily<br />
43
4.1 Newtonov spôsob<br />
• pri pôsobení síl F i<br />
na hmotný bod s<br />
konštantnou hmotnosťou m platí pre jeho<br />
pohyb v ľubovoľnom inerciálnom<br />
súradnicovom systéme Newtonova<br />
pohybová rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
zrýchlenie hmotného bodu vyvolané výslednicou pôsobiacich síl<br />
44
4.1 Newtonov spôsob<br />
Fi<br />
tu sú zahrnuté všetky pôsobiace sily<br />
bod bez väzieb<br />
bod s väzbami<br />
sú to všetky akčné sily<br />
okrem akčných síl musia<br />
byť zahrnuté aj reakčné sily,<br />
ktoré predstavujú silové<br />
pôsobenie väzieb<br />
45
4.1 Newtonov spôsob<br />
• pre praktické riešenie je nevyhnutné<br />
vektorovú rovnicu prepísať do zložkových<br />
rovníc<br />
• podobne ako pri kinematike, aj tu sa<br />
najčastejšie používa rozpis do jedných z<br />
nasledovných súradníc:<br />
– kartézske<br />
– cylindrické<br />
– sférické<br />
– sprievodný trojhran<br />
46
4.1 Newtonov spôsob<br />
• kartézske súradnice<br />
ma<br />
ma<br />
ma<br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
F<br />
F<br />
F<br />
ix<br />
iy<br />
iz<br />
kde:<br />
a<br />
x<br />
<br />
<br />
x<br />
a<br />
y<br />
<br />
<br />
y<br />
a<br />
z<br />
<br />
<br />
z<br />
47
4.1 Newtonov spôsob<br />
• cylindrické súradnice<br />
ma<br />
ma<br />
ma<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
F<br />
F<br />
F<br />
i<br />
i<br />
iz<br />
kde:<br />
a<br />
<br />
<br />
2<br />
( ) ;<br />
a 2 ;<br />
<br />
a z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
48
4.1 Newtonov spôsob<br />
• sférické súradnice<br />
kde:<br />
ma<br />
ma<br />
ma<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
F<br />
F<br />
F<br />
ir<br />
i<br />
i<br />
a r r r<br />
r<br />
<br />
2<br />
( ) 2 2<br />
( ) sin ;<br />
<br />
2<br />
a<br />
r 2 r<br />
r ( ) sin cos ;<br />
a r sin 2r sin 2r cos<br />
<br />
<br />
<br />
49
4.1 Newtonov spôsob<br />
• sprievodný trojhran<br />
kde:<br />
ma<br />
ma<br />
ma<br />
t<br />
t<br />
n<br />
b<br />
n<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
2<br />
v<br />
<br />
R<br />
0<br />
F<br />
it<br />
F<br />
F<br />
a v s<br />
a<br />
a<br />
<br />
<br />
in<br />
ib<br />
50
4.2 d’Alembertov spôsob<br />
ma<br />
• skutočnosť, že súčin v Newtonovej<br />
pohybovej rovnici má rozmer sily, využil<br />
d'Alembert k zavedeniu zotrvačnej sily:<br />
Dma<br />
• Newtonovu pohybovú rovnicu je možné potom<br />
písať nasledovne:<br />
F i<br />
D 0<br />
• d'Alembertov princíp: všetky sily pôsobiace na<br />
daný hmotný bod sú v rovnováhe so zotrvačnou<br />
silou tohto bodu<br />
51
5. Základné vety dynamiky<br />
hmotného bodu<br />
• pohybové rovnice využívame najčastejšie<br />
k výpočtu kinematických veličín pohybu<br />
bodu a k určeniu reakcií väzieb<br />
• základné vety dynamiky vyjadrujú obecné<br />
závislosti medzi dynamickými veličinami a<br />
veličinami charakterizujúcimi pôsobiace<br />
sily<br />
• vyplývajú z Newtonových pohybových<br />
zákonov<br />
52
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vzťah medzi zrýchlením a rýchlosťou<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
53
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vzťah medzi zrýchlením a rýchlosťou<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
54
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vzťah medzi zrýchlením a rýchlosťou<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
mdv<br />
<br />
Fi<br />
<br />
dt<br />
55
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vzťah medzi zrýchlením a rýchlosťou<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
mdv<br />
<br />
Fi<br />
<br />
dt<br />
po integrovaní<br />
m<br />
v v <br />
0<br />
<br />
Fi<br />
t<br />
0<br />
dt<br />
56
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
m<br />
v v <br />
0<br />
<br />
Fi<br />
t<br />
0<br />
dt<br />
57
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
hybnosť hmotného bodu<br />
mv<br />
p<br />
t<br />
0<br />
impulz sily<br />
F idt <br />
I<br />
i<br />
m<br />
v v <br />
0<br />
<br />
Fi<br />
t<br />
0<br />
dt<br />
58
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
hybnosť hmotného bodu<br />
mv<br />
p<br />
t<br />
0<br />
impulz sily<br />
F idt <br />
I<br />
i<br />
m<br />
v v <br />
0<br />
<br />
Fi<br />
t<br />
0<br />
dt<br />
59
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
hybnosť hmotného bodu<br />
mv<br />
p<br />
t<br />
0<br />
impulz sily<br />
F idt <br />
I<br />
i<br />
m<br />
v v <br />
0<br />
<br />
Fi<br />
t<br />
0<br />
dt<br />
<br />
p p I<br />
0 i<br />
i<br />
60
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
m<br />
hybnosť hmotného bodu<br />
mv<br />
p<br />
v v <br />
0<br />
<br />
Fi<br />
t<br />
0<br />
<br />
p p I<br />
0 i<br />
i<br />
dt<br />
t<br />
F idt <br />
0<br />
impulz sily<br />
zmena hybnosti v určitom<br />
časovom intervale je daná<br />
súčtom impulzov pôsobiacich síl<br />
v danom časovom intervale<br />
dp<br />
i<br />
I<br />
i<br />
dI<br />
i<br />
61
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
rozpis do jednotlivých zložiek<br />
<br />
p p I<br />
0 i<br />
i<br />
p p F dt<br />
x x0<br />
ix<br />
i 0<br />
p p F dt<br />
y y0<br />
iy<br />
i 0<br />
p p F dt<br />
z z0<br />
iz<br />
i 0<br />
t<br />
<br />
t<br />
t<br />
<br />
<br />
62
5.1 Veta o zmene hybnosti<br />
rozpis do jednotlivých zložiek<br />
<br />
p p I<br />
0 i<br />
i<br />
p p F dt<br />
x x0<br />
ix<br />
i 0<br />
p p F dt<br />
y y0<br />
iy<br />
i 0<br />
p p F dt<br />
z z0<br />
iz<br />
i 0<br />
t<br />
<br />
t<br />
t<br />
<br />
<br />
ak je zložka výslednice pôsobiacich síl do niektorého smeru<br />
nulová, potom sa zložka hybnosti v tomto smere nemení<br />
63
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
64
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vektorovo vynásobíme zľava<br />
r<br />
65
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vektorovo vynásobíme zľava<br />
r<br />
rma r F<br />
<br />
i<br />
66
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vektorovo vynásobíme zľava<br />
r<br />
rma r F<br />
<br />
i<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
67
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
vektorovo vynásobíme zľava<br />
r<br />
rma r F<br />
<br />
i<br />
dv<br />
r m rFi<br />
dt<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
68
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
dv<br />
r m rFi<br />
dt<br />
69
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
moment hybnosti<br />
L rmv<br />
dv<br />
r m rFi<br />
dt<br />
70
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
moment hybnosti<br />
L rmv<br />
dv<br />
r m rFi<br />
dt<br />
časová derivácia momentu hybnosti<br />
dL dr dv<br />
mv r<br />
m<br />
dt dt dt<br />
dv<br />
v mv r m dt<br />
dv<br />
r<br />
m dt<br />
71
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
moment hybnosti<br />
L rmv<br />
dv<br />
r m rFi<br />
dt<br />
časová derivácia momentu hybnosti<br />
dL dr dv<br />
mv r<br />
m<br />
dt dt dt<br />
dv<br />
v mv r m dt<br />
dv<br />
r<br />
m dt<br />
moment sily<br />
rF M<br />
i<br />
i<br />
72
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
moment hybnosti<br />
L rmv<br />
dv<br />
r m rFi<br />
dt<br />
časová derivácia momentu hybnosti<br />
dL dr dv<br />
mv r<br />
m<br />
dt dt dt<br />
dv<br />
v mv r m dt<br />
dv<br />
r<br />
m dt<br />
moment sily<br />
rF M<br />
i<br />
i<br />
dL<br />
dt <br />
<br />
M<br />
L L M<br />
0 i<br />
i<br />
73
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
dL<br />
dt <br />
M<br />
i<br />
časová zmena momentu hybnosti k danému<br />
bodu je daná momentom všetkých pôsobiacich<br />
síl k danému bodu<br />
74
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
dL<br />
dt <br />
M<br />
i<br />
časová zmena momentu hybnosti k danému<br />
bodu je daná momentom všetkých pôsobiacich<br />
síl k danému bodu<br />
ak majú sily k nejakému<br />
bodu nulový moment, t..j.<br />
M i<br />
0<br />
potom moment hybnosti k<br />
tomuto bodu sa nemení<br />
75
5.2 Veta o zmene momentu<br />
hybnosti<br />
rozpis do jednotlivých zložiek<br />
dL<br />
dt <br />
M<br />
i<br />
dL<br />
dt<br />
dL<br />
dt<br />
dL<br />
dt<br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
M<br />
M<br />
M<br />
ix<br />
iy<br />
iz<br />
76
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
77
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
skalárne vynásobíme<br />
dr<br />
78
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
skalárne vynásobíme<br />
dr<br />
madr<br />
Fi<br />
dr<br />
79
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
skalárne vynásobíme<br />
dr<br />
madr<br />
Fi<br />
dr<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
80
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
základná rovnica<br />
ma <br />
F<br />
i<br />
skalárne vynásobíme<br />
dr<br />
madr<br />
Fi<br />
dr<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
d<br />
a v<br />
dt<br />
81
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
82
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
d<br />
v r<br />
dt<br />
83
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
mvdv<br />
Fi<br />
dr<br />
d<br />
v r<br />
dt<br />
84
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
mvdv<br />
md v v d mv dE k<br />
<br />
<br />
<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
mvdv<br />
Fi<br />
dr<br />
d<br />
v r<br />
dt<br />
85
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
1 1 <br />
v v v v <br />
FidrdA<br />
i<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
m d md d mv dE k<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
mvdv<br />
Fi<br />
dr<br />
d<br />
v r<br />
dt<br />
86
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
1 1 <br />
v v v v <br />
FidrdA<br />
i<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
m d md d mv dE k<br />
dv m d r F<br />
id<br />
r<br />
dt<br />
mvdv<br />
Fi<br />
dr<br />
d<br />
v r<br />
dt<br />
k<br />
<br />
dE dA dA<br />
i<br />
i<br />
87
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
k<br />
<br />
dE dA dA<br />
i<br />
i<br />
zmena kinetickej energie hmotného bodu<br />
medzi dvoma polohami je daná prácou<br />
všetkých síl medzi týmito polohami<br />
88
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
dE dA dA<br />
k<br />
<br />
i<br />
i<br />
zmena kinetickej energie hmotného bodu<br />
medzi dvoma polohami je daná prácou<br />
všetkých síl medzi týmito polohami<br />
r<br />
E E dA Fdr<br />
<br />
k k 0<br />
i<br />
r r<br />
r<br />
0 0<br />
89
5.3 Veta o zmene kinetickej<br />
energie<br />
• časová zmena kinetickej energie je daná<br />
výkonom pôsobiacich síl:<br />
dE k<br />
dt<br />
<br />
P<br />
90
6. <strong>Dynamika</strong> sústavy hmotných<br />
bodov<br />
• mechanický model, ktorého pohyb je<br />
charakterizovaný pohybom dvoch alebo<br />
viacerých bodov, nazývame sústavou hmotných<br />
bodov (S<strong>HB</strong>)<br />
• jednotlivé hmotné body na seba obecne pôsobia<br />
• toto vzájomné pôsobenie vyjadrujeme<br />
I<br />
vnútornými (internými) silami F ij<br />
, ktoré<br />
charakterizujú účinok z bodu i na bod j<br />
F<br />
I<br />
ij<br />
F<br />
I<br />
ji<br />
I<br />
Fii 0<br />
91
6. <strong>Dynamika</strong> sústavy hmotných<br />
bodov<br />
• sily vyjadrujúce účinok hmotných bodov alebo<br />
telies, ktoré nie sú súčasťou uvažovanej S<strong>HB</strong> na<br />
hmotné body sústavy, nazývame vonkajšie<br />
(externé) sily<br />
E<br />
F i<br />
- je výslednica vonkajších síl pôsobiacich na i – ty bod<br />
92
6. <strong>Dynamika</strong> sústavy hmotných<br />
bodov<br />
sústava viazaných<br />
hmotných bodov<br />
jednotlivé hmotné body sú<br />
viazané geometrickými<br />
väzbami buď navzájom<br />
alebo k vonkajšiemu<br />
systému, tým sa znižuje<br />
počet stupňov systému<br />
sústava hmotných<br />
bodov<br />
sústava voľných<br />
hmotných bodov<br />
na jednotlivé body<br />
nepôsobia žiadne väzby<br />
93
6. <strong>Dynamika</strong> sústavy hmotných<br />
bodov<br />
• zvláštne typy sústav hmotných bodov:<br />
– sústava na ktorú nepôsobia žiadne vonkajšie<br />
sily – tzv. izolovaná sústava<br />
– dokonale tuhé teleso – všetky jeho body sú<br />
vzájomne zviazané takým spôsobom, že<br />
vzájomná poloha všetkých bodov zostáva<br />
trvale nezmenená<br />
94
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
• zostavujú sa pomocou metódy<br />
uvoľňovania<br />
• na ľubovoľný bod S<strong>HB</strong> o hmotnosti<br />
pôsobia (po uvoľnení od väzieb) sily<br />
vonkajšie ako aj sily vnútorné<br />
m i<br />
95
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
vonkajšie (externé) sily<br />
vnútorné (interné) sily<br />
96
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
vonkajšie (externé) sily<br />
vnútorné (interné) sily<br />
výslednica síl, ktoré pôsobia na bod i:<br />
<br />
k<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
ki ji i<br />
j<br />
97
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
vonkajšie (externé) sily<br />
vnútorné (interné) sily<br />
výslednica síl, ktoré pôsobia na bod i:<br />
<br />
k<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
ki ji i<br />
j<br />
potom pre N hmotných bodov platí N<br />
vektorových pohybových rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
98
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
99
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
i ki ji<br />
k<br />
j<br />
100
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
i ki ji<br />
k<br />
j<br />
sčítaním všetkých<br />
N rovníc:<br />
<br />
m<br />
a F F<br />
<br />
E I<br />
i i ki ji<br />
i i k j<br />
<br />
<br />
<br />
101
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
i ki ji<br />
k<br />
j<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
sčítaním všetkých<br />
N rovníc:<br />
<br />
m<br />
a F F<br />
<br />
E I<br />
i i ki ji<br />
i i k j<br />
ale<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
I<br />
ji<br />
0<br />
i j<br />
102
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
i ki ji<br />
k<br />
j<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
sčítaním všetkých<br />
N rovníc:<br />
<br />
m<br />
a F F<br />
<br />
E I<br />
i i ki ji<br />
i i k j<br />
ale<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
I<br />
ji<br />
0<br />
i j<br />
<br />
i<br />
m a<br />
<br />
<br />
F<br />
E<br />
i i i<br />
i<br />
103
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
<br />
<br />
F F F<br />
E I<br />
i ki ji<br />
k<br />
j<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
sčítaním všetkých<br />
N rovníc:<br />
<br />
m<br />
a F F<br />
<br />
E I<br />
i i ki ji<br />
i i k j<br />
ale<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
I<br />
ji<br />
0<br />
i j<br />
nazýva sa Newtonovou<br />
pohybovou rovnicou celej sústavy<br />
a vystupujú v nej len vonkajšie<br />
(externé) sily<br />
<br />
i<br />
m a<br />
<br />
<br />
F<br />
E<br />
i i i<br />
i<br />
F<br />
i<br />
E<br />
i<br />
<br />
F - je výsledný posuvný účinok sústavy vonkajších síl<br />
104
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
105
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
i-ty bod vektorovo vynásobíme zľava:<br />
r i <br />
106
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
i-ty bod vektorovo vynásobíme zľava:<br />
r i <br />
r ma r F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i i i<br />
107
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
N rovníc:<br />
ma F i 1,2, ,<br />
N<br />
i i i<br />
i-ty bod vektorovo vynásobíme zľava:<br />
r i <br />
r ma r F i 1,2, ,<br />
N<br />
<br />
i<br />
i i i i i<br />
sčítaním N rovníc<br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
i i i i i<br />
i<br />
108
i<br />
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
i i i i i<br />
i<br />
109
i<br />
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
i i i i i<br />
i<br />
r F <br />
<br />
r F F<br />
<br />
<br />
E I<br />
i i i ki ji<br />
i i k j<br />
<br />
<br />
r F r F<br />
<br />
<br />
<br />
E<br />
I<br />
i ki i ji<br />
i k i j<br />
110
i<br />
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
i i i i i<br />
i<br />
r F <br />
<br />
r F F<br />
<br />
<br />
E I<br />
i i i ki ji<br />
i i k j<br />
<br />
<br />
r F r F<br />
E<br />
I<br />
i ki i ji<br />
i k i j<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
<br />
<br />
<br />
majú rovnako veľký otáčavý účinok<br />
(moment), ale opačne orientovaný,<br />
takže platí:<br />
r F r F 0<br />
I<br />
I<br />
i ji j ij<br />
111
i<br />
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
r m<br />
a r F<br />
i i i i i<br />
i<br />
r F <br />
<br />
r F F<br />
<br />
<br />
E I<br />
i i i ki ji<br />
i i k j<br />
potom:<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
r F r F<br />
E<br />
I<br />
i ki i ji<br />
i k i j<br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
E<br />
i i i i i<br />
i<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
<br />
<br />
<br />
majú rovnako veľký otáčavý účinok<br />
(moment) ale opačne orientovaný,<br />
takže pahltí:<br />
r F r F 0<br />
I<br />
I<br />
i ji j ij<br />
112
i<br />
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
i i i i i<br />
i<br />
r F <br />
<br />
r F F<br />
<br />
<br />
E I<br />
i i i ki ji<br />
i i k j<br />
potom:<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
r F r F<br />
E<br />
I<br />
i ki i ji<br />
i k i j<br />
<br />
r m<br />
a r F<br />
E<br />
i i i i i<br />
i<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
<br />
<br />
<br />
majú rovnako veľký otáčavý účinok<br />
(moment) ale opačne orientovaný,<br />
takže pahltí:<br />
r F r F 0<br />
I<br />
I<br />
i ji j ij<br />
<br />
i<br />
<br />
r m<br />
a M<br />
E<br />
i i i i0<br />
i<br />
113
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
<br />
i<br />
<br />
r m<br />
a M<br />
E<br />
i i i i0<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
r F M<br />
E<br />
i i i0<br />
i<br />
- rovnica predstavuje výsledný otáčavý<br />
účinok sústavy vonkajších síl k bodu 0<br />
114
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
• ak riešime len jeden <strong>HB</strong> sústavy, majú na<br />
jeho pohyb vplyv vonkajšie aj vnútorné sily<br />
• pri riešení sústavy hmotných bodov ako<br />
celku je jej pohyb ovplyvňovaný len<br />
vonkajšími silami<br />
115
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
• pohybové rovnice (silové aj momentové)<br />
pre jednotlivé hmotné body, ale aj pre celú<br />
sústavu môžeme rozpísať do jednotlivých<br />
skalárnych zložiek<br />
116
6.1 Newtonove pohybové rovnice<br />
pre S<strong>HB</strong><br />
pre celý systém S<strong>HB</strong>:<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
m a<br />
<br />
<br />
E<br />
i i i<br />
i<br />
<br />
F<br />
r m<br />
a M<br />
E<br />
i i i i0<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
i<br />
m a<br />
F<br />
E<br />
i ix ix<br />
i<br />
m a<br />
F<br />
E<br />
i iy iy<br />
i<br />
m a<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
E<br />
i iz iz<br />
i<br />
y m a z m a M<br />
E<br />
i i iz i i iy ix<br />
i<br />
z m a x m a M<br />
E<br />
i i ix i i iz iy<br />
i<br />
x m a y m a M<br />
E<br />
i i iy i i ix iz<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
117
6.2 d'Alembertov spôsob<br />
• pre každý hmotný bod sa zavádza<br />
zotrvačná sila<br />
D<br />
m a<br />
i i i<br />
• potom pohybové rovnice môžeme písať<br />
Fi Di 0 i1,2, ,<br />
N<br />
• sčítaním rovníc dostávame<br />
<br />
F D 0<br />
E<br />
i<br />
<br />
i<br />
118
6.2 d'Alembertov spôsob<br />
• momentové rovnice každého bodu<br />
ri Fi ri Di 0 i1,2, ,<br />
N<br />
• sčítaním rovníc dostávame<br />
<br />
<br />
M M 0<br />
E<br />
D<br />
i0 i0<br />
moment externých síl k bodu 0 moment zotrvačných síl k bodu 0<br />
119
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
• vektor r s , ktorý definuje stred hmotnosti<br />
S<strong>HB</strong>, je definovaný rovnosťou statických<br />
momentov hmotnosti všetkých hmotných<br />
bodov a statického momentu celkovej<br />
hmotnosti sústredenej práve v tomto<br />
strede<br />
120
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
m r<br />
i i<br />
statický moment hmotnosti i-<br />
teho hmotného bodu napr. k<br />
bodu 0<br />
121
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
m r<br />
i i<br />
statický moment hmotnosti i-<br />
teho hmotného bodu napr. k<br />
bodu 0<br />
<br />
mr<br />
i i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r<br />
r<br />
s<br />
s<br />
m<br />
mr<br />
<br />
i s<br />
m<br />
i<br />
statický moment hmotnosti<br />
S<strong>HB</strong><br />
statický moment hmotnosti,<br />
keď je celá hmotnosť m<br />
sústredená v strede hmotnosti<br />
122
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
miri<br />
<br />
r<br />
s<br />
m<br />
123
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
miri<br />
r<br />
s<br />
m<br />
r<br />
s<br />
m<br />
r<br />
m<br />
i i<br />
124
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
miri<br />
r<br />
s<br />
m<br />
r<br />
s<br />
m<br />
r<br />
m<br />
i i<br />
<br />
<br />
mirix<br />
mr <br />
i iy<br />
m r<br />
rsx ; rsy ; rsz<br />
m m m<br />
zložky polohy stredu hmotnosti<br />
i iz<br />
125
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
• stred hmotnosti sa tiež nazýva napr. hmotný<br />
stred, stredisko hmotnosti, stred zotrvačnosti, ...<br />
• často tiež dochádza k zámene stredu hmotnosti<br />
(s) s ťažiskom (T), lebo pre obvyklý prípad, keď<br />
všetky body sústavy sú vystavené účinkom<br />
rovnako veľkého tiažového zrýchlenia, oba body<br />
splynú<br />
r<br />
T<br />
<br />
<br />
<br />
mgr<br />
i<br />
mg<br />
i<br />
i<br />
r<br />
s<br />
126
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
127
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
derivácia podľa času:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
v<br />
m<br />
mv<br />
s i i<br />
128
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
derivácia podľa času:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
v<br />
m mv<br />
s i i<br />
mivi<br />
p<br />
hybnosť celej S<strong>HB</strong><br />
129
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
derivácia podľa času:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
v<br />
m mv<br />
s i i<br />
p<br />
v<br />
s m<br />
hybnosť S<strong>HB</strong> je daná hybnosťou<br />
hmotného bodu o hmotnosti m m i<br />
umiestneného v strede hmotnosti<br />
mivi<br />
p<br />
hybnosť celej S<strong>HB</strong><br />
130
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
131
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
druhá derivácia podľa času:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
a<br />
m<br />
ma<br />
s i i<br />
132
6.3 Stred hmotnosti S<strong>HB</strong><br />
poloha stredu hmotnosti:<br />
druhá derivácia podľa času:<br />
r<br />
s<br />
m<br />
miri<br />
a<br />
m<br />
ma<br />
s i i<br />
ma<br />
s<br />
F<br />
E<br />
i<br />
stred hmotnosti sústavy hmotných bodov<br />
sa pohybuje ako hmotný bod, v ktorom je<br />
sústredená hmota celej sústavy a na<br />
ktorú pôsobia všetky vonkajšie sily (je to<br />
veta o pohybe stredu hmotnosti)<br />
i<br />
<br />
i<br />
m a<br />
<br />
<br />
F<br />
E<br />
i i i<br />
i<br />
133
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene hybnosti pre<br />
uvoľnený i-ty hmotný bod S<strong>HB</strong> dostávame<br />
pi p0 i<br />
Ii<br />
pre i=1,2, N<br />
134
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene hybnosti pre<br />
uvoľnený i-ty hmotný bod S<strong>HB</strong> dostávame<br />
pi p0 i<br />
Ii<br />
pre i=1,2, N<br />
p<br />
m v<br />
i i i<br />
135
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene hybnosti pre<br />
uvoľnený i-ty hmotný bod S<strong>HB</strong> dostávame<br />
pi p0 i<br />
Ii<br />
pre i=1,2, N<br />
p<br />
m<br />
v<br />
i i i<br />
I<br />
i<br />
t<br />
<br />
0<br />
F dt i<br />
impulz všetkých síl – vonkajších<br />
(externé E) aj vnútorných (interné I),<br />
ktoré pôsobia na daný uvoľnený bod<br />
136
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• ale pre impulz vnútorných síl platí<br />
t<br />
<br />
t<br />
I<br />
I<br />
F dt F dt 0<br />
ij<br />
<br />
0 0<br />
ji<br />
137
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• ale pre impulz vnútorných síl platí<br />
t<br />
<br />
t<br />
I<br />
I<br />
F dt F dt 0<br />
ij<br />
<br />
0 0<br />
ji<br />
I<br />
Ii<br />
0<br />
i<br />
F<br />
I<br />
ij<br />
F<br />
I<br />
ji<br />
silové pôsobenie hmotného bodu i<br />
na hmotný bod j je rovnako veľké<br />
ako silové pôsobenie hmotného<br />
bodu j na hmotný bod i , ale opačne<br />
orientované (zákon akcie a reakcie)<br />
138
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním jednotlivých rovníc<br />
pi p0 i<br />
Ii<br />
pre i=1,2, N<br />
<br />
p E<br />
0<br />
+<br />
I<br />
i<br />
p<br />
i<br />
Ii Ii<br />
i i i i<br />
139
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním jednotlivých rovníc<br />
pi p0 i<br />
Ii<br />
pre i=1,2, N<br />
<br />
p E<br />
0<br />
+<br />
I<br />
i<br />
p<br />
i<br />
Ii Ii<br />
i i i i<br />
t<br />
<br />
t<br />
I<br />
I<br />
F dt F dt 0<br />
ij<br />
<br />
0 0<br />
ji<br />
140
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním jednotlivých rovníc<br />
pi p0 i<br />
Ii<br />
pre i=1,2, N<br />
<br />
p E<br />
0<br />
+<br />
I<br />
i<br />
p<br />
i<br />
Ii Ii<br />
i i i i<br />
p p I<br />
E<br />
i 0i i<br />
i i i<br />
t<br />
<br />
t<br />
I<br />
I<br />
F dt F dt 0<br />
ij<br />
<br />
0 0<br />
ji<br />
141
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• nové označenie<br />
p<br />
p p I<br />
E<br />
i 0i i<br />
i i i<br />
0<br />
<br />
p p I<br />
i<br />
E<br />
i<br />
vyjadruje vetu o zmene hybnosti S<strong>HB</strong>:<br />
Zmena hybnosti S<strong>HB</strong> v určitom časovom intervale je daná impulzom<br />
všetkých vonkajších síl v danom časovom intervale.<br />
142
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• jednotlivé zložky<br />
p p I<br />
0<br />
<br />
i<br />
E<br />
i<br />
<br />
p p I<br />
E<br />
x 0x ix<br />
i<br />
<br />
p p I<br />
E<br />
y 0 y iy<br />
i<br />
<br />
p p I<br />
E<br />
z 0z iz<br />
i<br />
ak na sústavu nepôsobí v určitom smere žiadna<br />
vonkajšia sila, zostáva zložka hybnosti v tomto smere<br />
nezmenená<br />
143
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• pre izolované sústavy<br />
E<br />
Fi<br />
0<br />
i<br />
144
6.4 Hybnosť S<strong>HB</strong><br />
• pre izolované sústavy<br />
E<br />
Fi<br />
0<br />
i<br />
p p 0<br />
0<br />
p konšt.<br />
platí veta o zachovaní hybnosti<br />
145
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene momentu<br />
hybnosti k bodu 0 pre uvoľnený i-ty<br />
hmotný bod S<strong>HB</strong> dostávame<br />
dL<br />
dt<br />
i0<br />
M M pre i1,2, ,<br />
N<br />
E I<br />
i0 i0 146
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene momentu<br />
hybnosti k bodu 0 pre uvoľnený i-ty<br />
hmotný bod S<strong>HB</strong> dostávame<br />
dL<br />
dt<br />
i0<br />
L r m v<br />
i0<br />
i i i<br />
M M pre i1,2, ,<br />
N<br />
E I<br />
i0 i0 <br />
M r F<br />
E<br />
E<br />
i0<br />
i ki<br />
k<br />
<br />
M r F<br />
I<br />
I<br />
i0<br />
i ji<br />
j<br />
147
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dLi0<br />
E I<br />
Mi0 Mi0 pre i1,2, ,<br />
dt<br />
N<br />
148
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dLi0<br />
E I<br />
Mi0 Mi0 pre i1,2, ,<br />
dt<br />
N<br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
<br />
<br />
i<br />
M<br />
<br />
<br />
M<br />
E<br />
I<br />
i0 i0<br />
i<br />
149
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dLi0<br />
E I<br />
Mi0 Mi0 pre i1,2, ,<br />
dt<br />
N<br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
<br />
<br />
i<br />
M<br />
<br />
<br />
M<br />
E<br />
I<br />
i0 i0<br />
i<br />
r F r F 0<br />
I<br />
I<br />
i ji i ij<br />
150
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dLi0<br />
E I<br />
Mi0 Mi0 pre i1,2, ,<br />
dt<br />
N<br />
L<br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
<br />
L<br />
<br />
0 i0<br />
i<br />
i<br />
M<br />
<br />
<br />
M<br />
E<br />
I<br />
i0 i0<br />
i<br />
r F r F 0<br />
I<br />
I<br />
i ji i ij<br />
151
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dLi0<br />
E I<br />
Mi0 Mi0 pre i1,2, ,<br />
dt<br />
N<br />
L<br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
<br />
L<br />
<br />
0 i0<br />
i<br />
i<br />
M<br />
<br />
<br />
M<br />
E<br />
I<br />
i0 i0<br />
i<br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
M<br />
i<br />
E<br />
i0<br />
r F r F 0<br />
I<br />
I<br />
i ji i ij<br />
152
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
M<br />
i<br />
E<br />
i0<br />
153
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
M<br />
i<br />
E<br />
i0<br />
predstavuje vetu o zmene momentu hybnosti pre<br />
S<strong>HB</strong>:<br />
Časová zmena momentu hybnosti S<strong>HB</strong> k<br />
ľubovoľnému pevnému bodu je daná súčtom<br />
momentov všetkých vonkajších síl k danému bodu.<br />
154
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
M<br />
i<br />
E<br />
i0<br />
predstavuje vetu o zmene momentu hybnosti pre<br />
S<strong>HB</strong>:<br />
Časová zmena momentu hybnosti S<strong>HB</strong> k<br />
ľubovoľnému pevnému bodu je daná súčtom<br />
momentov všetkých vonkajších síl k danému bodu.<br />
ak existuje bod, pre<br />
ktorý platí<br />
M E<br />
i0<br />
0<br />
i<br />
155
6.5 Moment hybnosti S<strong>HB</strong><br />
dL<br />
dt<br />
0<br />
M<br />
i<br />
E<br />
i0<br />
predstavuje vetu o zmene momentu hybnosti pre<br />
S<strong>HB</strong>:<br />
Časová zmena momentu hybnosti S<strong>HB</strong> k<br />
ľubovoľnému pevnému bodu je daná súčtom<br />
momentov všetkých vonkajších síl k danému bodu.<br />
ak existuje bod, pre<br />
ktorý platí<br />
M E<br />
i0<br />
0<br />
i<br />
L0 konšt.<br />
a platí veta o zachovaní momentu hybnosti:<br />
Moment hybnosti S<strong>HB</strong> k určitému bodu sa<br />
nemení, ak výsledný moment vonkajších síl k<br />
tomuto bodu je nulový.<br />
156
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene kinetickej<br />
energie pre uvoľnený i-ty hmotný bod,<br />
dostávame<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
157
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• aplikovaním vety o zmene kinetickej<br />
energie pre uvoľnený i-ty hmotný bod,<br />
dostávame<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
1<br />
2 <br />
dEki d mivi<br />
<br />
2<br />
<br />
dA<br />
F<br />
dr<br />
i ki i<br />
k<br />
F ki<br />
- sily, ktoré pôsobia<br />
na uvoľnený i-ty hmotný<br />
bod (vnútorné aj<br />
vonkajšie)<br />
158
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
159
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
dEk<br />
<br />
dA<br />
160
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
dEk<br />
<br />
dA<br />
E<br />
<br />
1<br />
2<br />
m v<br />
2<br />
k i i<br />
i<br />
A Ai<br />
i<br />
161
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
E<br />
<br />
1<br />
2<br />
dEk<br />
m v<br />
<br />
2<br />
k i i<br />
i<br />
dA<br />
A<br />
<br />
i<br />
A<br />
i<br />
obecne práca vnútorných<br />
síl nie je rovná nule<br />
F dr F dr F dr dr<br />
I I I<br />
ij j ji i ij j i<br />
<br />
<br />
162
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
• sčítaním rovníc<br />
dE dA pre i 1,2, ,<br />
N<br />
ki<br />
i<br />
E<br />
<br />
1<br />
2<br />
dEk<br />
m v<br />
<br />
2<br />
k i i<br />
i<br />
dA<br />
A<br />
<br />
i<br />
A<br />
i<br />
obecne práca vnútorných<br />
síl nie je rovná nule<br />
F dr F dr F dr dr<br />
I I I<br />
ij j ji i ij j i<br />
<br />
<br />
j<br />
i<br />
<br />
<br />
dr dr 0<br />
tak je tomu napr. pri poddajných<br />
telesách – deformáciou sa mení<br />
vzájomná poloha bodov<br />
163
6.6 Kinetická energia S<strong>HB</strong><br />
dEk<br />
<br />
dA<br />
predstavuje vetu o zmene kinetickej energie pre<br />
S<strong>HB</strong>:<br />
Elementárna zmena kinetickej energie S<strong>HB</strong> je<br />
daná elementárnou prácou všetkých (vnútorných aj<br />
vonkajších) síl.<br />
164