D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

za maksimalno vrednost U =max i V i ,oziroma
f W (w) =f Z (g −1 (w))
dg −1 (w)
∣ dw ∣ ,
za minimalno vrednost W =min i V i , kjer sta f Y (y) in f Z (z) gostoti verjetnosti minimuma in
maksimuma slučajnih spremenljivk X i , i =1,...,n.
Dokaz: Dokaz sledi neposredno iz izraza za gostoto verjetnosti ekstremnih vrednosti. Dokažimo
le prvi del, saj je drugi povsem analogen.
f U (u) =nF n−1
V
(u)f V (u)
= nF X (g −1 (u))f X (g −1 (u))
∣
= f Y (g −1 (u))
dg −1 (u)
∣ du ∣ .
2.2 Vpliv razpršenosti na ekstremne vrednosti
dg −1 (u)
du
Radi bi ugotovili, kako velikost variance vpliva na ekstremne vrednosti. V ta namen, podobno
kot pri centralnem limitnem izreku, ne obravnavamo slučajnih spremenljivk X i , temvečzapišemo
standardizirane slučajne spremenljivke
X ′ i = X i − E [X i ]
√
var [Xi ] .
∣
□
Definiramo ekstremno slučajno spremenljivko
Y ′ =maxX ′ X i − E [X i ]
i =max √
i
i var [Xi ] .
Matematično upanje Y lahko sedaj izrazimo z upanjem Y ′
E [ [
Y ′] = E max
i
=
=
1
√
var [X]
E
] [
]
X i − E [X i ] max
√ i X i − E [X]
= E √
var [Xi ]
var [X]
[
]
max X i −
i
1
√ E [Y ] − √ E [X]
var [X] var [X]
E [X] √
var [X]
E [Y ]=E [X]+ √ var [X] E [ Y ′] .
8