D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
za maksimalno vrednost U =max i V i ,oziroma<br />
f W (w) =f Z (g −1 (w))<br />
dg −1 (w)<br />
∣ dw ∣ ,<br />
za minimalno vrednost W =min i V i , kjer sta f Y (y) in f Z (z) gostoti verjetnosti minimuma in<br />
maksimuma slučajnih spremenljivk X i , i =1,...,n.<br />
Dokaz: Dokaz sledi neposredno iz izraza za gostoto verjetnosti <strong>ekstremnih</strong> <strong>vrednosti</strong>. Dokažimo<br />
le prvi del, saj je drugi povsem analogen.<br />
f U (u) =nF n−1<br />
V<br />
(u)f V (u)<br />
= nF X (g −1 (u))f X (g −1 (u))<br />
∣<br />
= f Y (g −1 (u))<br />
dg −1 (u)<br />
∣ du ∣ .<br />
2.2 Vpliv razpršenosti na ekstremne <strong>vrednosti</strong><br />
dg −1 (u)<br />
du<br />
Radi bi ugotovili, kako velikost variance vpliva na ekstremne <strong>vrednosti</strong>. V ta namen, podobno<br />
kot pri centralnem limitnem izreku, ne obravnavamo slučajnih spremenljivk X i , temvečzapišemo<br />
standardizirane slučajne spremenljivke<br />
X ′ i = X i − E [X i ]<br />
√<br />
var [Xi ] .<br />
∣<br />
□<br />
Definiramo ekstremno slučajno spremenljivko<br />
Y ′ =maxX ′ X i − E [X i ]<br />
i =max √<br />
i<br />
i var [Xi ] .<br />
Matematično upanje Y lahko sedaj izrazimo z upanjem Y ′<br />
E [ [<br />
Y ′] = E max<br />
i<br />
=<br />
=<br />
1<br />
√<br />
var [X]<br />
E<br />
] [<br />
]<br />
X i − E [X i ] max<br />
√ i X i − E [X]<br />
= E √<br />
var [Xi ]<br />
var [X]<br />
[<br />
]<br />
max X i −<br />
i<br />
1<br />
√ E [Y ] − √ E [X]<br />
var [X] var [X]<br />
E [X] √<br />
var [X]<br />
E [Y ]=E [X]+ √ var [X] E [ Y ′] .<br />
8