D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Zaključimo lahko: Gostota verjetnosti slučajne spremenljivke je simetrična natanko tedaj, ko za<br />
porazdelitev velja<br />
F X (−x) =1− F X (x) . (1)<br />
V eno smer smo zaključek že dokazali, druga pa je zelo preprosta, saj sledi direktno iz odvoda<br />
po x na levi in desni strani enačbe (1).<br />
Dokaz: Sedaj dokažimo trditev. Dovolj je preveriti zvezo med F Y (−y) inF Y (y):<br />
Ker za n ≠1velja<br />
porazdelitev F Y (y) ni simetrična.<br />
F Y (−y) =FX(−y)<br />
n<br />
=(1− F X (y)) n .<br />
(1 − F X (y)) n ≠1− F n X(y),<br />
Simetrijo torej pokvarimo, vendar pa obstaja preprosta zveza med gostoto verjetnosti maksimalne<br />
in minimalne ekstremne <strong>vrednosti</strong>.<br />
Trditev 4 Če je gostota X i simetrična glede na x =0, sta gostoti verjetnosti slučajnih spremenljivk<br />
Y in Z medsebojno simetrični glede na os y =0:<br />
f Y (y) =f Z (−y) .<br />
Dokaz: Gostota verjetnosti slučajne spremenljivke f Y (y) je<br />
medtem ko za f Z (z) velja<br />
Ker so gostote X i simetrične, lahko zapišemo<br />
f Y (y) =nF n−1<br />
X (y)f X (y) ,<br />
f Z (z) =n (1 − F X (z)) n−1 f X (z)<br />
f Z (z) =n (F X (−z)) n−1 f X (z)<br />
= nF n−1<br />
X (−z) f X (−z) =f Y (−z) .<br />
□<br />
Če naredimo še substitucijo z = −y, je dokaz končan.<br />
□<br />
Posledica 2 Naj bodo X i zvezne, enako porazdeljene neodvisne slučajne spremenljivke, ne nujno<br />
simetrične. Če je f Z (z) gostota verjetnosti minimuma slučajnih spremenljivk X i , potem je<br />
f Z (−y) gostota verjetnosti maksimuma slučajnih spremenljivk −X i .<br />
6