D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

More documents

Recommendations

Info

1 Osnovne definicije in značilnosti Definicija 1 Naj bodo X i , i = 1,...,n enako porazdeljene, neodvisne slučajne spremenljivke. Porazdelitveni funkciji slučajnih spremenljivk Y in Z, definirani kot Y =maxX i , i Z =minX i , i imenujemo porazdelitvi ekstremnih vrednosti. Trditev 1 Naj bo F X (x) porazdelitvena funkcija neodvisnih slučajnih spremenljivk X i , i = 1,... ,n. Potem za porazdelitveno funkcijo F Y (y) slučajne spremenljivke Y velja F Y (y) =F n X(x). Dokaz: Po definiciji porazdelitvene funkcije je [ ] F Y (y) =P [Y < y]=P max X i
Posledica 1 Če so slučajne spremenljivke X i zvezne, je gostota verjetnosti slučajne spremenljivke Y enaka f Y (y) =nF n−1 X (y)f X (y) . Dokaz: Porazdelitvena funkcija je z gostoto verjetnosti povezana prek enačbe F Y (y) = ∫ y −∞ f Y (ỹ)dỹ oziroma f Y (y) = dF Y (y) . dy Torej dobimo gostoto z odvajanjem porazdelitvene funkcije. Preostanek sledi iz lastnosti odvoda posredne fukcije. □ Opomba 1 Ektremna vrednost je poseben primer vrstilnih statistik, ki jih določimo takole: Naj bodo X i , i =1,... ,n enako porazdeljene, neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo slučajna spremenljivka Y k k-ta izmed slučajnih spremenljivk X i , ki jih uredimo po velikosti. Y 1 ,... ,Y n imenujemo vrstilne statistike; prva izmed njih je ravno slučajna spremenljivka Z, zadnja pa Y . 2 Ekstremi končnega števila slučajnih spremenljivk 2.1 Lastnosti ekstremnih vrednosti Simetrija gostote verjetnosti slučajnih spre- Nesimetrija gostote verjetnosti porazdelitve menljivk X i se pri Y in Z ne podeduje: Trditev 3 Če je gostota verjetnosti slučajnih spremenljivk X i simetrična glede na x =0 f X (x) =f X (−x) , gostoti f Y (y) in f Z (z) nista simetrični za n>1. Najprej si oglejmo, kakšna je porazdelitev slučajne spremenljivke s simetrično gostoto F X (x) = ∫ x −∞ f X (˜x) d˜x = ∫ 0 −∞ f X (˜x) d˜x + ∫ x 0 f X (˜x) d˜x F X (−x) = ∫ −x −∞ f X (˜x) d˜x = ∫ 0 −∞ Vsota obeh funkcij je zaradi simetrije f X (x) ∫ 0 F X (x)+F X (−x) =2 f X (˜x) d˜x + =2 −∞ ∫ 0 −∞ f X (˜x) d˜x + ∫ x f X (˜x) d˜x =2 1 2 =1. 0 ∫ −x 0 f X (˜x) d˜x + f X (˜x) d˜x ∫ −x 0 f X (˜x) d˜x 5
Page 1 and 2: Porazdelitve ekstremnih vrednosti D
Page 3: Kazalo 1 Osnovne definicije in zna
Page 7 and 8: Dokaz: Ker gostota verjetnosti X i
Page 9 and 10: Matematično upanje E [Y ]rastesšt
Page 11 and 12: Iščemo ekstrem E [Y ] ob dveh vez
Page 13 and 14: Varianco X izračunamo po definicij
Page 15 and 16: oziroma maksimuma, tudi če ne pozn
Page 17 and 18: poznana kot harmonična vrsta. Harm
Page 19 and 20: Značilno vrednost u Y je najlaže
Page 21 and 22: 3.4 Prva asimptotična porazdelitev
Page 23 and 24: Tip II Omejimo se na slučajne spre
Page 25 and 26: Podobno po lastnostih matematičneg
Page 27 and 28: Iz zveze med gostotama sledi zveza
Page 29 and 30: Koeficient k je rešitev enačbe Γ
Page 31: Komentirajmo šez*označene paramet

D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?