D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

V izrazu za f Z (z) nastopa (z − ε), zato računamo matematično upanje transformirane slučajne
spremenljivke Z − ε
E [(Z − ε) p ]=
Vpeljemo novo spremenljivko
k
v − ε
∫ ∞
ε
( )
(z − ε) p z − ε k−1
z−ε
e
−(
v−ε) k dz.
v − ε
( ) z − ε k
= w −→
v − ε
k
v − ε
( ) z − ε k−1
dy = dw
v − ε
in jo vstavimo v integral
E [(Z − ε) p ]=(v − ε) p ∫ ∞
0
(
w p k e −w dw =(v − ε) p Γ 1+ p )
.
k
Sedaj ni več težko izraziti matematičnega upanja in variance. Matematično upanje je
(
E [Z] =E [Z − ε]+ε =(v − ε)Γ 1+ 1 )
+ ε
k
Ko izrazimo še drugi moment
E [ Z 2] [
= E (Z − ε) 2] +2εE [Z] − ε 2
(
=(v − ε) 2 Γ 1+ 2 k
izračunamo varianco
)
+2ε (v − ε)Γ
(
1+ 1 )
+ ε 2 ,
k
var [Z] =E [ Z 2] − E [Z] 2
(
=(v − ε) 2 Γ 1+ 2 )
(
+2ε (v − ε)Γ 1+ 1 )
+ ε 2
k
k
[ (
− (v − ε)Γ 1+ 1 ) ] 2
+ ε
k
(
=(v − ε)
[Γ
2 1+ 2 ) (
− Γ 2 1+ 1 )]
.
k
k
Parametra k in v asimptotične porazdelitve dobimo iz znanega matematičnega upanja in variance
zreševanjem sistema
(
m Z − ε =(v − ε)Γ 1+ 1 )
k
(
σZ 2 =(v − ε)
[Γ
2 1+ 2 ) (
− Γ 2 1+ 1 )]
.
k
k
28