D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

Tip III Tu pa vzamemo slučajne spremenljivke X i , ki so navdol neomejene, navzgor pa omejene
s parametrom ω. Njihova porazdelitvena funkcija ima v bližini ω naslednjo obliko
F X (x) =1− c (ω − x) k , k > 0, x ≤ ω.
Ta tip se bistveno razlikuje od prejšnjih dveh, saj je navzgor, torej na repu, ki nas zanima,
omejen. Porazdelitev maksimuma n slučajnih spremenljivk je
(
F Y (y) = 1 − c (ω − x) k) n
,
za značilno vrednost u Y
pa velja
c (ω − u Y ) k = 1 n
−→ 1=nc (ω − u Y ) k .
Zznačilno vrednostjo prevedemo porazdelitev F Y (y) v obliko
(
) n
c (ω − x)k
F Y (y) = 1 −
nc (ω − u Y ) k .
Potem, ko postavimo u Y = u, znamo izračunati limito
(
) n ( (
c (ω − x)k
ω − x
lim 1 −
n→∞ nc (ω − u) k = lim 1 −
n→∞ ω − u
) ) k n [
1
= exp −
n
Definicija 8 Porazdelitveno funkcijo
[ ( ) ]
ω − y
k
F Y (y) = exp −
, y < ω
ω − u
imenujemo tretja asimptotična porazdelitev. Določajo jo parametri ω, k in u.
( ) ]
ω − x
k
.
ω − u
Običajno se ta tip uporablja pri problemih, kjer nas zanimajo minimumi. Seveda v tem
primeru ne govorimo o navzgor omejenih, temveč o navzdol omejenih slučajnih spremenljivkah.
Pri iskanju asimptotične porazdelitve se opremo na rezultate posledice 2 in nam porazdelitve
minimuma ni potrebno posebej določati.
Iščemo torej minimum navzdol omejenih slučajnih spremenljivk s porazdelitvijo
Po posledici 2 je
kjer sta Y in Z
F −X (x) =1− F X (−x) =c (x + ω) k , k > 0, x ≥ ω.
f Z (z) =f Y (−z) ,
Y =maxX i ,
i
Z =min
i
(−X i ) .
26