D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Matematično upanje je vrednost prvega odvoda momentne rodovne funkcije v točki t = 0.<br />
Izračunajmo odvod ln M Y (t)<br />
M<br />
Y ′ (t) n∑<br />
(<br />
M Y (t) = − 1<br />
1 − t − 1 )<br />
λk<br />
λk<br />
in vstavimo t =0<br />
Ker je M Y (0) = 1, je<br />
k=1<br />
M ′ Y (0)<br />
M Y (0) =<br />
E [Y ]= 1 λ<br />
n∑<br />
k=1<br />
n∑<br />
k=1<br />
1<br />
λk .<br />
Matematično upanje je za velike <strong>vrednosti</strong> n približno enako (enačba (15))<br />
1<br />
k .<br />
E [Y ] ≈ 1 λ (γ +lnn) =S 1<br />
λ = u Y + γ λ . (19)<br />
Matematično upanje raste kot 1 λ<br />
ln n in torej ni navzgor omejeno.<br />
drugačno. Za izračun najprej izrazimo drugi moment:<br />
Drugi odvod ln M Y (t) jeenak<br />
E [ Y 2] = M ′′<br />
Y (0) .<br />
M ′′<br />
Y (t) − M ′ Y (t) M ′ Y (t)<br />
M 2 Y (t) =<br />
n∑<br />
k=1<br />
( ) 1 2<br />
1<br />
( )<br />
λk 1 −<br />
t 2<br />
λk<br />
Obnašanje variance pa je<br />
Torej je<br />
kar pa nam že podaja tudi varianco<br />
M Y ′′ (0) = ( M Y ′ (0) ) n∑<br />
( )<br />
2 1 2<br />
+ .<br />
λk<br />
E [ Y 2] = E [Y ] 2 + 1 λ 2<br />
k=1<br />
n∑<br />
k=1<br />
var [Y ]=E [ Y 2] − E [Y ] 2 = 1 λ 2<br />
Ker je vrsta ∑ n<br />
k=1 1<br />
k 2 konvergentna, je varianca omejena in konvergira proti<br />
1<br />
λ 2 S 2<br />
1<br />
k 2 ,<br />
n∑<br />
k=1<br />
lim var [Y ]= 1<br />
n→∞ λ 2 S 2 = 1 π 2<br />
λ 2 6<br />
1<br />
k 2 .<br />
(20)<br />
20