D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

Matematično upanje je vrednost prvega odvoda momentne rodovne funkcije v točki t = 0.
Izračunajmo odvod ln M Y (t)
M
Y ′ (t) n∑
(
M Y (t) = − 1
1 − t − 1 )
λk
λk
in vstavimo t =0
Ker je M Y (0) = 1, je
k=1
M ′ Y (0)
M Y (0) =
E [Y ]= 1 λ
n∑
k=1
n∑
k=1
1
λk .
Matematično upanje je za velike vrednosti n približno enako (enačba (15))
1
k .
E [Y ] ≈ 1 λ (γ +lnn) =S 1
λ = u Y + γ λ . (19)
Matematično upanje raste kot 1 λ
ln n in torej ni navzgor omejeno.
drugačno. Za izračun najprej izrazimo drugi moment:
Drugi odvod ln M Y (t) jeenak
E [ Y 2] = M ′′
Y (0) .
M ′′
Y (t) − M ′ Y (t) M ′ Y (t)
M 2 Y (t) =
n∑
k=1
( ) 1 2
1
( )
λk 1 −
t 2
λk
Obnašanje variance pa je
Torej je
kar pa nam že podaja tudi varianco
M Y ′′ (0) = ( M Y ′ (0) ) n∑
( )
2 1 2
+ .
λk
E [ Y 2] = E [Y ] 2 + 1 λ 2
k=1
n∑
k=1
var [Y ]=E [ Y 2] − E [Y ] 2 = 1 λ 2
Ker je vrsta ∑ n
k=1 1
k 2 konvergentna, je varianca omejena in konvergira proti
1
λ 2 S 2
1
k 2 ,
n∑
k=1
lim var [Y ]= 1
n→∞ λ 2 S 2 = 1 π 2
λ 2 6
1
k 2 .
(20)
20