D. Zupan, G. Turk, Porazdelitve ekstremnih vrednosti - FGG-KM

Po ponovnem logaritmiranju sledi
( ( ))
ln − ln 1 − e −λy M
=lnln2− ln n.
Izraz na levi lahko ocenimo za velike vrednosti y M . Ker je ∣ ∣e −λy M ∣ < 1za vse vrednosti y M ,
lahko ln ( 1 − e −λy )
M razvijemo v Taylorjevo vrsto po obrazcu
ln (1 − w) =−
[w + w2
2 + w3 wk
+ ···+
3 k + .
Če je w dovolj majhen, je
ln (1 − w) ≈−w.
V gornji enačbi to pomeni, da za dovolj velike vrednosti y M velja
( )
ln e −λy M
≈ ln ln 2 − ln n
oziroma
Modus µ Y
−λy M ≈ ln ln 2 − ln n
y M ≈ ln n
λ
−
ln ln 2
λ .
je lokalni maksimum gostote verjetnosti. Dobimo ga kot rešitev enačbe
Odvod gostote je
f ′ Y (y) =λ 2 n (n − 1)
f ′ Y (µ Y )=0
(
1 − e −λy) n−2 (
e −2λy − λ 2 n 1 − e −λy) n−1
e −λy ,
kopavtaizrazvstavimoy = µ Y ,morabitienaknič
( ) n−2 ( ) n−1
λ 2 n (n − 1) 1 − e −λµ Y e
−2λµ Y
− λ 2 n 1 − e −λµ Y e
−λµ Y
=0
( )
(n − 1) e −λµ Y
− 1 − e −λµ Y
=0
Po logaritmiranju dobimo
ne −λµ Y
=1
e −λµ Y
= 1 n .
−λµ Y =ln 1 n
µ Y = ln n
λ .
18