Elementy obwodów prądu stałego

Elektrotechnika podstawowa 41 

ROZDZIAŁ 3 

Elementy obwodów prądu stałego 

Na początku objaśniono konwencje strzałkowania prądu i napięcia w elementach obwodu oraz 

przypomniano prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych. 

Podstawowymi elementami obwodów prądu stałego są idealne źródła napięciowe i prądowe oraz 

rezystory liniowe i rożnego rodzaju rezystory nieliniowe. Cechy elementów są wyrażane analitycznie 

– wzorami, albo graficznie – poprzez charakterystyki statyczne prądowo-napięciowe lub napięciowo-prądowe. 

Dla rezystorów nieliniowych definiuje się pojęcia rezystancji statycznej i dynamicznej. 

Gałęzie obwodu pełnią role generatorów („wydajników”) bądź odbiorników mocy elektrycznej, 

zależnie od zwrotów prądu i napięcia względem zacisków. Trzeba to mieć na uwadze przy sporządzaniu 

bilansu mocy obwodu. 

Istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utworzonych z idealnych elementów, a 

mianowicie: rzeczywistego źródła napięciowego i rzeczywistego źródła prądowego (charakterystyki, 

sprawność, dopasowanie), źródeł powstałych z połączenia kilku źródeł (parametry źródeł zastępczych), 

linii zasilającej odbiornik (spadek napięcia, strata mocy), dzielnika napięcia i dzielnika prądu 

(reguły podziału). 

Możliwe są zamiany rzeczywistych źródeł – napięciowego na prądowe albo prądowego na napięciowe, 

przy czym jest to zabiegi czysto obliczeniowe, dotyczące równoważności wielkości zaciskowych 

(napięć oraz prądów na zaciskach).

42 

Elektrotechnika podstawowa 

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 3 

C 

e 

E 

G 

G w 

i 

i gen 

i odb 

I 

I gen 

I odb 

I z 

I źr 

∆I 

l 

L 

p 

p gen 

p odb 

P 

P gen 

P odb 

∆P 

∆p % 

R 

R dyn 

R L 

R s 

R w 

S 

t 

u 

u gen 

u odb 

U 

U gen 

U odb 

U 0 

∆U 

∆u % 

x 

γ 

η 

pojemność elektryczna 

napięcie źródłowe 

stałe napięcie źródłowe 

konduktancja (przewodność elektryczna) 

konduktancja wewnętrzna źródła prądowego 

prąd 

prąd „generatorowy” 

prąd „odbiornikowy” 

prąd stały 

stały prąd „generatorowy” 

stały prąd „odbiornikowy” 

prąd zwarcia gałęzi aktywnej (źródła) 

prąd źródłowy 

zmiana (przyrost) prądu 

długość przewodu 

indukcyjność 

moc 

moc „generatorowa” 

moc „odbiornikowa” 

stała moc 

stała moc „generatorowa” 

stała moc „odbiornikowa” 

strata mocy w źródle lub linii prądu stałego 

procentowa strata mocy w linii prądu stałego 

rezystancja (opór elektryczny) 

rezystancja dynamiczna (różniczkowa) 

rezystancja linii 

rezystancja statyczna 

rezystancja wewnętrzna źródła napięciowego 

pole przekroju przewodu linii 

czas 

napięcie 

napięcie „generatorowe” 

napięcie „odbiornikowe” 

napięcie stałe 

stałe napięcie „generatorowe” 

stałe napięcie „odbiornikowe” 

napięcie stanu jałowego 

zmiana (przyrost) napięcia; spadek napięcia w linii prądu stałego 

procentowy spadek napięcia w linii prądu stałego 

odległość (od początku linii) 

przewodność właściwa (konduktywność) przewodu 

sprawność 

Literatura do rozdziału 3 

[1], [2], [4], [6]

3. Elementy obwodów prądu stałego 43 

Wykład V. ELEMENTY UKŁADÓW I OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH 

Podstawowe elementy funkcjonalne i schemat obwodu elektrycznego 

Obwód elektryczny jest zbiorem elementów, połączonych ze sobą przewodami w taki sposób, że 

możliwy jest przepływ prądu elektrycznego. Obwody elektryczne można przedstawiać na dwa sposoby 

– w tzw. ujęciach: zaciskowym i sieciowym. 

Elementami obwodu w ujęciu zaciskowym są struktury o określonej liczbie zacisków: dwójniki, 

trójniki, czwórniki, wielobiegunniki, wielowrotniki. Właściwości elementów obwodu są opisywane 

przez zależności między ich wielkościami zaciskowymi, tj. prądami i napięciami wybranych par zacisków. 

Struktury wewnętrzne elementów obwodu mają znaczenie drugorzędne, mówiąc poglądowo: 

stanowią „czarne skrzynki”. 

Elementami obwodu w ujęciu sieciowym są struktury tworzone w określony sposób z elementów 

podstawowych, którymi są: idealne źródła napięciowe, idealne źródła prądowe, rezystancje, pojemności 

i indukcyjności. Źródła to główny czynnik motoryczny w obwodzie (wymuszający ruch ładunków 

elektrycznych). Rezystancje to elementy rozpraszające energię. Pojemności i indukcyjności to 

elementy magazynujące energię (w polu elektrycznym kondensatorów oraz w polu magnetycznym 

cewek indukcyjnych). Terminy: dwójniki i trójniki, występują również w ujęciu sieciowym jako nazwy 

układów o 2 i 3 zaciskach. Wymienione elementy podstawowe to najprostsze dwójniki. 

Równania wiążące napięcie i prąd elementów podstawowych: rezystancji R, pojemności C i indukcyjności 

L (definicja indukcyjności będzie podana później), są następujące: 

i R 

R 

u R 

u 

= R ⋅ 

R i R 

i 

C 

du 

= C ⋅ 

dt 

C 

diL 

= L ⋅ 

dt 

Stałe wartości parametrów R, C i L znamionują elementy liniowe. Obiekty zbudowane z elementów 

skupionych, liniowych i stacjonarnych tworzą klasę układów SLS, których badaniu poświęcona jest 

zasadnicza część teorii obwodów. 

Odwzorowaniem struktury połączeń elementów występujących 

w obwodzie elektrycznym jest schemat elektryczny (rys. obok). 

Elementy przedstawia się używając ustalonych normami symboli 

graficznych i literowych . Linie między elementami traktuje 

się jako połączenia bezoporowe – o ile nie symbolizują 

umownie jakichś elementów, opisanych symbolami literowymi 

lub danymi liczbowymi (uproszczenie wyższego stopnia). 

i C 

C 

u C 

Obwód z połączonymi szeregowo: 

źródłem napięciowym e(t) 

i elementami pasywnymi R, L, C 

Elementy aktywne i pasywne. Strzałkowanie generatorowe i odbiornikowe 

Elementy obwodu dzielą się na aktywne i pasywne. Ogólnie, przez aktywność bądź pasywność elementu 

rozumie się jego zdolność bądź niezdolność do wydania energii elektrycznej większej od 

pobranej w przeszłości. Chodzi o bilans energii elementu względem reszty obwodu w długim przedziale 

czasu. Podział elementów obwodu elektrycznego na aktywne i pasywne nie przesądza więc o 

tym, czy – w pewnej chwili – dany element wydaje energię elektryczną do obwodu, czy też ją z niego 

pobiera. W określonej sytuacji, element aktywny może z obwodu energię pobierać, a element 

pasywny (nie każdy, co prawda, i tylko w ograniczonym czasie) może zwracać do obwodu energię 

wcześniej z niego pobraną. Elementy magazynujące nie mogą jednak dostarczyć do obwodu energii 

większej od tej, jaką wcześniej z niego przejęły, więc zalicza się je do elementów pasywnych. 

Źródła wytwarzają energię elektryczną poprzez zamianę na nią różnego rodzaju nieelektrycznych 

nośników energii ewentualnie energii elektrycznej o innych parametrach. Źródła czerpią energię z 

otoczenia i oddają do obwodu, ale w określonych konfiguracjach mogą też energię z obwodu elektrycznego 

pobierać a oddawać do otoczenia (procesy przemian energii przebiegają wtedy w prze- 

i L 

L 

u L 

u 

L 

R L C 

e(t)

44 

Wykład V 

ciwnym kierunku, ale nie muszą być zwierciadlanym odbiciem cyklu wytwarzania energii elektrycznej). 

Jeśli ta „odwrotna” sytuacja jest normalnym stanem pracy elementu aktywnego, to wtedy 

nazywa się go odbiornikiem aktywnym. 

Przejmowanie energii ruchu ładunków zachodzi w rezystancjach, gdzie jest ona w całości rozpraszana 

po zamianie na ciepło (wyłączając z rozważań procesy elektrochemiczne, w których zasadnicza 

część pobranej energii powiększa energię chemiczną elementu), oraz w pojemnościach, gdzie 

pobrana energia gromadzi się w polu elektrycznym, i w indukcyjnościach, gdzie gromadzi się w 

polu magnetycznym. Energia zmagazynowana w pojemności lub indukcyjności uczestniczy czynnie 

w dalszych przemianach, stosownie do zmian zachodzących w obwodzie. 

Rola generatora („wydajnika”) bądź odbiornika mocy 

elektrycznej, przypisana elementowi lub układowi, 

znajduje wyraz w odpowiednim strzałkowaniu 

prądu i napięcia na zaciskach. Jeśli poprzez zaciski 

moc jest wydawana do obwodu, to stosuje się strzałkowanie 

generatorowe (rys. a), jeśli natomiast moc 

jest poprzez zaciski pobierana, to stosuje się strzałkowanie 

odbiornikowe (rys. b). 

Formalnie, każdy element obwodu może być odbiornikiem lub generatorem energii (mocy) elektrycznej. 

Zależy to jedynie od konwencji strzałkowania prądu i napięcia: generatorowego – o zgodnych 

zwrotach tych wielkości, albo odbiornikowego – o zwrotach przeciwnych. Jeśli zastosowane 

strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to iloczyn wielkości zaciskowych ma ujemną 

wartość, a więc moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna. 

Elementy struktury obwodów elektrycznych. Prawa Kirchhoffa 

Strukturę geometryczną obwodów elektrycznych opisuje się (w ujęciu sieciowym) za pomocą takich 

terminów, jak: gałąź, węzeł, rodzaj połączenia, oczko. Ponieważ są to pojęcia znane z fizyki, wystarczy 

krótkie przypomnienie. 

Gałąź jest elementem dwukońcówkowym (dwuzaciskowym). W „środku” jej może się znajdować 

dowolna liczba różnych elementów podstawowych. Gałąź jest dwójnikiem. Najprostszymi gałęziami 

są rezystancje, pojemności i indukcyjności oraz idealne źródło napięciowe. Idealne źródło prądowe nie 

tworzy samo gałęzi (bo przy prądzie źródłowym równym zero stanowi przerwę w obwodzie). 

Węzeł jest elektrycznym połączeniem końcówek więcej niż dwóch gałęzi. Prądy tych gałęzi spełniają 

I (prądowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna prądów zbiegających się w dowolnym 

węźle obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych: 

i 2 

i 3 

i 1 

i 5 

i 4 

a) b) 

n 

∑ 

k 

k= 

1 

Generator 

mocy 

i = 0 , (3.1) 

gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a odpływające 

ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się 

w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n). 

Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysunku, 

wyraża się następująco: i 1 −i2 

+ i3 

− i4 

+ i5 

= 0 . 

Szeregowe połączenie gałęzi cechuje się tym, że w każdej z gałęzi płynie ten sam prąd, a napięcia 

występujące na poszczególnych gałęziach dodają się. 

Równoległe połączenie gałęzi cechuje się tym, że każda z gałęzi jest pod tym samym napięciem, a 

prądy płynące w poszczególnych gałęziach dodają się. 

Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych określa się jako mieszane połączenia gałęzi. 

Oczko jest utworzoną przez gałęzie, zamkniętą drogą dla prądu, przy czym usunięcie którejkolwiek 

z gałęzi powoduje przerwanie tej drogi. Napięcia występujące na elementach gałęzi tworzących 

i gen 

p gen 

u gen 

i odb 

Odbiornik 

mocy 

p odb 

u odb


oczko spełniają II (napięciowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna napięć źródłowych 

i odbiornikowych w dowolnym oczku obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem 

dla wartości chwilowych: 

i 2 

R 2 

L 2 

e 2 

i 1 

i 3 

R 1 

u 2 

u 1 

R 3 

u 3 

i 5 

n 

∑ 

k= 

1 

n 

e k + ∑uk 

= 0 , (3.2) 

k= 

1 

gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, 

a elementów pasywnych – odbiornikowo (względem 

założonych zwrotów prądów); sumowanie napięć 

jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn. 

napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu 

oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie 

do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”; 

indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k – nr 

gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n). 

Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawionym 

obok na rysunku, wyraża się następująco: 

− e + e + u + u + u − u − u 0 . 

2 4 1 2 3 4 5 = 

Obwód elektryczny musi zawierać co najmniej jedno oczko. Obwód zawierający jedno oczko nazywa 

się obwodem nierozgałęzionym, a zawierający więcej niż jedno oczko – obwodem rozgałęzionym 

lub siecią elektryczną. 

Bilans mocy obwodu elektrycznego (zasada Tellegena) 

Ze spełnienia w obwodzie obu praw Kirchhoffa wynika zasada Tellegena. Mówi ona, że moce oddawane 

i moce pobierane przez wszystkie elementy obwodu muszą się bilansować. Można to wyrazić 

wzorem ogólnym dla wartości chwilowych: 

L 3 

u 5 

L 5 

u 4 

C 3 

C 5 

i 4 

R 4 

e 4 

n 

∑ 

k = 1 

n 

∑ 

uk. gen ⋅ik. 

gen = uk. 

odb ⋅ik. 

odb , (3.3a) 

gdzie elementy, stosownie do ich charakteru, strzałkuje się generatorowo bądź odbiornikowo, a 

wielkości ich dotyczące umieszcza, odpowiednio, po lewej lub prawej stronie równania (konwencja 

mieszana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu 

(k = 1, ... , n). 

Dla ujednolicenia procedury sporządzania bilansu mocy przyjmuje się często tę samą konwencję 

strzałkowania prądu i napięcia każdego elementu, co powoduje, że moce elementów o różnym charakterze 

mają różne znaki, ale bilans mocy wyraża się prościej. Jeśli wszystkie elementy obwodu są 

traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa), to bilans mocy zapisuje się następująco: 

n 

∑ 

k= 

1 

k= 

1 

u ⋅i 

0 . (3.3b) 

k. odb k. 

odb = 

Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako aktywne (konwencja generatorowa), to bilans 

mocy przyjmuje postać: 

n 

∑ 

k = 1 

u ⋅i 

0 . (3.3c) 

k. gen k. 

gen = 

Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi. 

Pojęcie obwodu prądu stałego 

Obwód elektryczny, w którym wartości prądu wszystkich elementów i wartości napięcia na wszystkich 

elementach są niezmienne w czasie, a przy tym nie są wszystkie równe zeru, nazywa się obwodem 

prądu stałego. Jest to ścisła definicja tego pojęcia i w tym rozumieniu będzie ono tu używane.

46 

Wykład V 

Warto zaznaczyć, że nieformalnie używa się pojęcia obwodu prądu stałego także w szerszym znaczeniu, 

obejmującym dodatkowo, oprócz stanów ustalonych, stany przejściowe układów zawierających 

pojemności i indukcyjności, przy wymuszeniach stałoprądowych. Określenie „stan przejściowy 

obwodu prądu stałego” zawiera jednak sprzeczność terminologiczną, ponieważ obwód prądu 

stałego znajduje się zawsze w stanie ustalonym (poprawnie sformułowanym określeniem jest w tym 

wypadku „stan przejściowy obwodu ze źródłami stałoprądowymi”). 

Prądy i napięcia elementów obwodu prądu stałego są zatem stałe, tj. niezmienne w czasie, co zaznacza 

się pisząc symbole wielkimi literami: U, I. Wszystkie elementy obwodu prądu stałego znajdują 

się w stanie stacjonarnym. 

Pojemności i indukcyjności, odwzorowujące określone właściwości struktury przestrzennej badanego 

obiektu, nie mają wpływu na stan pracy obwodu prądu stałego. Energia zakumulowana w elementach 

układu jest wynikiem procesów przejściowych, poprzedzających osiągnięcie stanu ustalonego 

– przedmiotu aktualnych rozważań. 

W stanie ustalonym nie płyną prądy ładowania pojemności 

(rys. a) i nie występują napięcia na indukcyjno- 

a) i C = 0 C 

≡ (rozwarcie) 

ściach (rys. b). Nie ma więc potrzeby umieszczania tych 

elementów na schematach obwodów prądu stałego (pojemność 

stanowi tu przerwę, a indukcyjność – zwarcie 

≡ (zwarcie) 

b) L 

końców). Jedynymi elementami pasywnymi, występującymi 

na schematach tych obwodów, są 

u L = 0 

rezystancje. 

Podstawowe elementy gałęzi obwodów prądu stałego 

Omawiane obwody prądu stałego będą się składać z gałęzi, zbudowanych z rezystancji (konduktancji) 

oraz idealnych źródeł prądu stałego – napięciowych (o stałej wartości napięcia) i prądowych (o 

stałej wartości prądu). Znane będą przy tym relacje, jakie zachodzą między wartościami napięcia U i 

prądu I tych elementów. 

Zależność U od I nazywa się charakterystyką statyczną prądowo-napięciową U(I) elementu, a zależność 

I od U – jego charakterystyką statyczną napięciowo-prądową I(U). Przydomek „statyczna” 

oznacza, że chodzi o wielkości stałe w czasie. Analogiczne zależności dla wielkości zmiennych w 

czasie (u, i – pisane małymi literami): u(i) lub i(u), dotyczące tych samych obiektów fizycznych, 

mogą się znacznie różnić od charakterystyk statycznych. 

Obok przedstawiono symbole oraz charakterystyki 

statyczne prądowo-napię- 

a) b) 

U 

I 

ciowe idealnych źródeł: napięciowego I 

I 

(rys. a) i prądowego (rys. b), oraz rezystorów: 

liniowego (rys. c) i nieliniowego 

I źr 

U E 

U 

E 

I I źr 

(rys. d). Napięcie i prąd są tu strzałkowane 

0 

0 

U 

w normalny sposób: przy źródłach c) d) 

– zgodnie (generatorowo), przy rezystorach 

– przeciwnie (odbiornikowo). Źró- 

I 

I 

U 

U 

dła: napięciowe przy I < 0 i prądowe 

U 

I 

U 

R 

przy U < 0, stają się odbiornikami aktywnymi. 

0 

0 

I 

Charakterystyka U(I) rezystora liniowego jest funkcją liniową U = R ⋅ I , gdzie R – rezystancja. 

Pokazana wyżej charakterystyka rezystora nieliniowego 

(jednoznaczna niesymetryczna) jest 

U 

U 

U 

funkcją nieliniową. Charakterystyki elementów 

nieliniowych nie zawsze są funkcjami 0 

I 

I 

I 

0 

0 

(przykładowe wykresy – na rysunku obok).


Rezystancja statyczna i dynamiczna. Obwód nieliniowy prądu stałego 

U 

0 

Poszczególnym punktom (I, U) nieliniowych, nie zawierających 

pętli histerezy, charakterystyk statycznych rezystorów (rys. 

obok) można przyporządkować wartości rezystancji statycznej 

R s i rezystancji dynamicznej (różniczkowej) R dyn : 

U 

R s = , 

I 

dU 

R dyn = . (3.4a, b) 

dI 

W przypadku rezystorów liniowych – rezystancja statyczna i rezystancja 

dynamiczna, określone jw., znaczą to samo i mają tę 

samą wartość R (rezystancji) w każdym punkcie charakterystyki. 

Rezystancja statyczna rezystorów (fizycznych, rzeczywistych) ma wartości dodatnie, natomiast rezystancja 

dynamiczna może przyjmować również wartości ujemne. Mówi się w związku z tym o 

dodatnim – dla R dyn > 0, i ujemnym – dla R dyn < 0, nachyleniu charakterystyki w określonych przedziałach 

wartości prądu i napięcia. 

U 

(R dyn2 0) 

∆U 

I 5 

I 4 

∆I 

II (napięciowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorami: 

n 

∑ 

k = 1 

(R s1 ) 

I 

I 

n 

∑ 

k = 1 

I = 0 , (3.6) 

k 

gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a odpływające 

ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się 

w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n). 

Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysunku, 

wyraża się następująco: I −I 

+ I − I + I 0 . 

n 

E k + ∑U 

k = 0 lub ∑ Rk 

⋅ I k = ∑ E 

k= 

1 

n 

k = 1 

1 2 3 4 5 = 

n 

k = 1 

k 

(3.7a, b) 

gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, a na rezystorach – odbiornikowo (względem 

zwrotu prądów gałęzi); sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.:

48 

Wykład V 

a) napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu 

oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie 

do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”; 

b) wyrażenia R k I k są pisane po przeciwnej niż E k 

stronie równania ze znakiem „+”, gdy prądy w obieganych 

gałęziach są zwrócone zgodnie ze zwrotem 

obiegu, a ze znakiem „–”, gdy są zwrócone przeciwnie; 

indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k – 

nr gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n). 

Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawionym 

obok na rysunku, wyraża się następująco: 

− E + E + U + U + U −U 

−U 

0 lub 

2 4 1 2 3 4 5 = 

− R + . 

1 ⋅ I1 

− R2 

⋅ I 2 − R3 

⋅ I3 

+ R4 

⋅ I 4 + R5 

⋅ I5 

= −E2 

E4 

Moce wydawane i pobierane przez gałęzie w obwodzie prądu stałego 

Od konwencji strzałkowania prądu i napięcia elementów bądź gałęzi zależy tylko formalnie, czy są 

one odbiornikami, czy generatorami mocy elektrycznej. Jeśli przyjęte strzałkowanie nie odpowiada 

rzeczywistej sytuacji, to moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna, co wskazuje na 

przeciwny kierunek jej przepływu. Zostanie to pokazane na przykładzie gałęzi aktywnych dwuelementowych 

E, R oraz I źr , G : 

a’) zgodne zwroty E i I 

a”) przeciwne zwroty E i I 

(-I) 

I R E 

(-I) E 

0 

I R E 

(-I z ) 

U R 

U odb 

U gen 

U gen 

U odb 

U R 

U odb 

U gen 

E 

I z 

U odb 

0 

U gen 

I 

I 

P 

P 

gen 

odb 

= U ⋅ I = ( E −U 

) ⋅ I = ( E − R ⋅ I ) ⋅ I = E ⋅ I − R ⋅ I ; 

= U 

gen 

odb 

⋅ I = ( U 

R 

R 

− E) 

⋅ I = ( R ⋅ I − E) 

⋅ I = R ⋅ I 

2 

2 

− E ⋅ I 

E 

– gałąź jest generatorem, gdy E − R ⋅ I > 0 czyli I < = I z , 

R 

E 

a odbiornikiem, gdy R ⋅ I − E > 0 czyli I > = I z , 

R 

gdzie I z – prąd zwarcia gałęzi. 

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A. 

Prąd zwarcia gałęzi ma wartość I z = E / R = 1,5 A ⇒ I > I z ; gałąź jest 

odbiornikiem; U odb = R I – E = 2 V, P odb = U odb I = 4 W albo 

2 

P odb = R ⋅ I − E ⋅ I = 16 −12 

= 4 W. 

P 

P 

( ) ( ) 

2 odb = U odb ⋅ I = E + U R ⋅ I = E + R ⋅ I ⋅ I = E ⋅ I + R ⋅ I > 0 ; 

gen 

= U ⋅ I = ( −E 

−U 

) ⋅ I = −( 

E + R ⋅ I) 

⋅ I = −E 

⋅ I − R ⋅ I 

gen 

R 

– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie I nie jest 

− E 

możliwe spełnienie warunku E + R ⋅ I < 0 czyli I < = −I 

z , gdzie 

R 

I z – prąd zwarcia gałęzi). 

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A. 

Gałąź jest odbiornikiem; U odb = E + R I = 14 V, P odb = U odb I = 28 W 

albo P odb = E ⋅ I + R ⋅ I = 12 + 16 = 28 W. 

2 

I 2 

R 2 

E 2 

I 1 

U 2 

R 1 

I 3 

U 1 

I 5 

U 3 

R 3 

U 5 

R 5 

U 4 

2 < 

0 

I 4 

R 4 

E 4


b’) zgodne zwroty I źr i U 

(-U) I źr 

0 

G 

U 

I źr I gen 

I gen 

U 0 

I odb 

I 

I odb 

G 

U 

P 

P 

gen 

odb 

= U ⋅ I = U ⋅ ( I − I ) = U ⋅ ( I − G ⋅U 

) = U ⋅ I − G ⋅U 

; 

= U ⋅ I 

gen 

odb 

= U ⋅ ( I 

źr 

G 

− I 

G 

źr 

źr 

) = U ⋅ ( G ⋅U 

− I 

źr 

źr 

) = G ⋅U 

2 

−U 

⋅ I 

I źr 

– gałąź jest generatorem, gdy I źr − G ⋅U 

> 0 czyli U < = U 0 , 

G 

I 

a odbiornikiem, gdy G ⋅U 

− I źr > 0 czyli U > źr = U 0 , 

G 

gdzie U 0 – napięcie stanu jałowego gałęzi. 

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, I źr = 3 A, U = 2 V. 

Napięcie stanu jałowego gałęzi ma wartość U 0 = I źr / G = 3 V ⇒ 

U 

2 

gen źr 

W. 

P gen = U I gen = 2 W albo P = U ⋅ I − G ⋅U 

= 6 − 4 = 2 

2 

źr 

b”) przeciwne zwroty I źr i U 

(-U) 

G 

U 

(-U 0 ) 

I źr 

I źr 

0 

I G 

I odb 

I gen 

I gen 

I odb 

U 

P 

P 

( ) ( ) 

2 odb = U I odb = U I źr + IG 

= U I źr + G U = U I źr + G U > 0 ; 

gen 

= U I = U ( −I 

− I ) = −U 

( I + G U ) = −U I − GU 

gen 

źr 

G 

– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie U nie jest 

− I źr 

możliwe spełnienie warunku I źr + G U < 0 czyli U < = −U 

0 , 

G 

gdzie U 0 – napięcie stanu jałowego gałęzi). 

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, I źr = 3 A, U = 2 V. 

Gałąź jest odbiornikiem; I odb = I źr + G U = 5 A, P odb = U I odb = 10 W 

2 

odb źr 

W. 

albo P = U ⋅ I + G ⋅U 

= 6 + 4 = 10 

źr 

źr 

2 < 

0 

Bilans mocy obwodu prądu stałego 

Zasada Tellegena (bilansowania się mocy w obwodzie elektrycznym), podana wcześniej dla wartości 

chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym, obowiązuje w obwodzie prądu stałego 

dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły. 

Bilans mocy obwodu prądu stałego wyraża się następująco: 

n 

∑ 

k = 1 

n 

∑ 

U k. gen ⋅ I k. 

gen = Rk 

⋅ I k , (3.8a) 

gdzie źródła strzałkuje się generatorowo i wielkości ich dotyczące umieszcza po lewej stronie równania, 

a wielkości dotyczące rezystancji gałęziowych umieszcza po prawej stronie (konwencja mieszana); 

indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , 

n). 

Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa) albo aktywne 

(konwencja generatorowa), to bilans mocy przyjmuje postaci: 

n 

∑ 

k = 1 

U 

k= 

1 

2 

⋅ I = 0 lub ∑U ⋅ I = 0 , (3.8b, c) 

k . odb k . odb 

n 

k = 1 

k . gen k . gen 

gdzie wszystkie elementy obwodu strzałkuje się tak samo – odbiornikowo bądź generatorowo; indeksy: 

n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , n). 

Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.

50 

Wykład V 

Przykład. Na schemacie obwodu prądu stałego podano wartości parametrów i prądów gałęziowych 

(wartości prądów są wynikiem rozwiązania obwodu, uzyskanego jedną z metod objaśnionych dalej). 

Po wyznaczeniu wartości napięć na elementach, zostanie sporządzony – na dwa sposoby – bilans 

mocy obwodu. 

1. Bilans mocy obwodu przy mieszanej konwencji strzałkowania 

prądów i napięć elementów 

Uwzględniając zwroty prądów zaznaczone na danym 

schemacie (rys. a), dorysowano napięcia: na źródłach – w 

konwencji generatorowej, oraz na rezystorach – w konwencji 

odbiornikowej (rys. b). Wartość napięcia na źródle 

prądowym jest sumą napięć (o właściwym zwrocie) na 

gałęziach tworzących dowolną drogę między węzłami, do 

których jest przyłączone to źródło, np. na dwóch górnych 

gałęziach (1 + 6 = 7 V) albo na dwóch środkowych 

(3 + 4 = 7 V). 

Wartości sum po lewej i prawej stronie równania (3.8a) 

wynoszą: 

∑ 

k 

∑ 

k 

n 

=∑ 

P U ⋅ I = 6 ⋅1+ 

( −3) 

⋅ 2 + 7 ⋅3 

21 W, 

k. gen k. 

gen k. 

gen 

= 

k = 1 

n 

2 2 2 2 

k. odb =∑ Rk 

⋅ I k = 1⋅1 

+ 1⋅ 

2 + 1⋅ 

4 = 21 

k = 1 

P W, 

tzn. moce się bilansują 

∑ k gen = 

k 

∑ 

P . Pk 

. odb . 

k 

2. Bilans mocy obwodu przy odbiornikowej konwencji 

strzałkowania prądów i napięć każdego z elementów 

Zwroty napięć wszystkich elementów obwodu przyjęto 

przeciwne do zwrotów prądu (rys. c). 

Wartość sumy w równaniu (3.8b) wynosi: 

∑ 

k 

n 

=∑ 

P k. 

odb U k. 

odb ⋅ I k. 

k = 1 

odb 

= 

= 1 ⋅1+ 

( −6) 

⋅1+ 

2 ⋅ 2 + 3⋅ 

2 + 4 ⋅ 4 + ( −7) 

⋅ 3 = 0 W, 

∑ 

k 

tzn. moce się bilansują P 0 . 

k. odb = 

a) 

b) 

c) 

1 Ω 

1 A 1 A 

6 V 

3 V 1 Ω 

2 A 4 A 

3 A 

2 A 

1 Ω 

1 Ω 

1 A 1 A 

6 V 

1 V 

2 A 

6 V 

2 V 

1 Ω 

3 V 1 Ω 

2 A 4 A 

–3 V 3 A 4 V 

7 V 

1 Ω 

1 A 1 A 

6 V 

2 A 

1 V –6 V 

2 V 

1 Ω 

3 V 1 Ω 

2 A 4 A 

3 V 3 A 4 V 

–7 V

Elementy obwodów prądu stałego

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?