do pobrania

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego 123
Wykład XV. WYKRESY WSKAZOWE PRĄDU I NAPIĘCIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWIĄZYWANIA OBWODÓW
Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu
Przebieg sinusoidalny może być reprezentowany przez:
a) wirujący wektor i nieruchomą oś przebiegu czasowego, krócej: nieruchomą „oś czasu” (rys. a),
b) nieruchomy wektor i wirującą oś przebiegu czasowego, krócej: wirującą „oś czasu” (rys. b),
przy czym rzut tego wektora na tę oś wyraża wartość chwilową przebiegu.
a) nieruchoma
b)
„oś czasu”
u(t)
u(0)
ω t
U mt
ψ u
U m
u(0)
wirująca „oś czasu”
w położeniu początkowym
0 oś zerowej fazy
0
oś zerowej fazy
początkowej
początkowej
(ψ u = 0)
(ψ u = 0)
u(t)
ω t
ψ u
wirująca „oś czasu”
w chwili t > 0
U m
Wektory reprezentujące przebiegi czasowe prądu i(t) i napięcia u(t) nazywa się wskazami i oznacza
podkreślonymi wielkimi literami: wskazy wirujące – jako I mt , U mt ; wskazy nieruchome – I m , U m .
Wskaz nieruchomy danej wielkości, tożsamy – jak widać – ze wskazem ruchomym tej wielkości w
chwili początkowej, nazywa się wskazem początkowym tejże wielkości.
Wartość chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest określona jednoznacznie przez czas oraz długość i
położenie reprezentującego go wskazu początkowego. Algebraicznemu dodawaniu wartości chwilowych
prądów lub napięć sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie
ich wskazów początkowych.
Wykres przedstawiający wskazy początkowe prądów i napięć obwodu prądu sinusoidalnego o określonej
pulsacji nosi nazwę wykresu wskazowego tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym
nie rysuje się osi układu współrzędnych (nie zaznacza się też osi zerowej fazy początkowej).
W praktyce są używane wartości skuteczne prądów i napięć, a nie ich wartości maksymalne. Wskazy
początkowe I m i U m – o długościach I m i U m , równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych
i(t) i u(t) – zastępuje się dlatego wskazami I i U , o długościach 2 razy krótszych od I m i U m , czyli
równych wartościom skutecznym I i U przebiegów i(t) i u(t). „Zredukowane” w taki sposób wskazy
początkowe prądów i napięć przedstawia się na wykresach wskazowych, nazywając je po prostu
wskazami (bez dodatkowych określeń).
Przydatność wykresów wskazowych wynika z poglądowego przedstawienia związków czasowych
jako zależności geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwiązanie obwodu.
Wykresy wskazowe i wykresy trójkątowe dwójników pasywnych
Kąt przesunięcia fazowego (przesunięcie
fazowe) dwójnika jest różnicą faz początkowych
jego napięcia i prądu: ϕ = ψ u −ψ
.
Gdy ϕ > 0 (X > 0; B < 0), to wskaz I opóźnia
się o kąt ϕ względem wskazu U (rys. a);
gdy natomiast ϕ < 0 (X < 0; B > 0), to
wskaz U opóźnia się o kąt ⎟ϕ⎟ względem
wskazu I (rys. b).
i
a) ϕ > 0 b) ϕ < 0
I G
U
ψ u
ϕ
U X
ψ i
U R
I B
I
I
U R
(oś zerowej fazy
początkowej)
I B
ϕ
U X
I G
ψ i
U
ψ u

124
Wykład XV
Na przedstawionych wyżej wykresach wskazowych
dwójnika – o charakterze: a) induk-
I G G
c) d)
I R X >0
cyjnym, b) pojemnościowym – zaznaczono
I
składowe U R i U X wskazu napięcia U (dla
U
zastępczego dwójnika szeregowego R, X ), oraz
R U
I B B 0 .
Wskazy napięcia oraz prądu tworzą wraz ze swymi składowymi trójkąty napięcia i trójkąty prądu,
co lepiej widać, gdy te wykresy są narysowane oddzielnie, z założeniem zerowej wartości początkowej,
odpowiednio: kąta fazowego ψ i prądu I w układzie R, X (trójkąt napięcia); kąta fazowego ψ u
napięcia U w układzie G, B (trójkąt prądu). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyjnym
(ϕ > 0) – jak na rys. a, pokazano niżej na rysunkach a’ i a”.
Kątowi ϕ i wartościom skutecznym
I, I G i I B oraz U, U R i U X odpowiadają
składowe czynne i bierne:
- prądu I = I = I ⋅ cosϕ
cz
G
a’)
ψ i = 0
i I b = − I ⋅ sinϕ
, I b = I B ;
ϕ
I
ϕ
I B
- napięcia U cz = U R = U ⋅ cosϕ
U R
I
i U b = U ⋅ sinϕ
, U b = U X .
Dzieląc oraz mnożąc długości boków
trójkątów napięcia i prądu,
G
odpowiednio, przez wartości skuteczne
prądu i napięcia, otrzymuje
X > 0
Z
ϕ
S
B < 0
ϕ
się trójkąty: impedancji, admitancji
Y
ϕ
Q > 0
oraz mocy – pokazane obok na rysunku
dla dwójnika o charakterze
indukcyjnym (ϕ > 0).
R
P
Przeliczenie długości boków z trójkątów impedancji lub admitancji, na trójkąt mocy, wyraża się
2
następująco: P = R ⋅ I
2
= G ⋅U
;
2
Q = X ⋅ I
2
= −B
⋅U
;
2
S = Z ⋅ I
2
= Y ⋅U
.
U
U X
a”)
I G
ψ u = 0
U
Przykład. Wykres wskazowy prądów i napięć dwójnika
R, L, C o strukturze szeregowo-równoległej,
wykonany przy założeniu i3 ( t)
= I3
2 sinωt
,
tj. ψ i3 = 0 .
I = I 1
C
U 1
I 3
U R3 R 3
U L L
U L
ϕ 3
U 2 = U 3
U R3
I = I 1
I 2
I 3
ϕ
U
U 1

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego 125
Wykonany wykres odpowiada danym: X L = X C = R 3 = 100 Ω, R 2 = 200 Ω. Jak widać, układ o tych
danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemnościowym (ϕ < 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie
wartości reaktancji X C byłby to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (ϕ > 0).
Uwaga. Wykres wskazowy wykonuje się w skali, tzn. przyjmuje się skale długości wskazów prądu
i wskazów napięcia (skale prądu i napięcia). Długości i fazy wskazów napięcia oraz prądu, dotyczących
poszczególnych elementów idealnych lub gałęzi z nich złożonych, są ze sobą związane wartościami
impedancji i kąta przesunięcia fazowego.
Szkicując wykres wskazowy nie określa się dokładnie skal prądu i napięcia, trzeba jednak zachować
przybliżone proporcje odpowiadające danym bądź spodziewanym wartościom parametrów
obwodu.
Procedura obliczenia wartości impedancji Z i kąta fazowego ϕ dwójnika (dla podanych wyżej parametrów
układu):
a) impedancja, konduktancja i susceptancja gałęzi trzeciej -
2 2
R3
X
Z 3 = R3
+ X L = 100 2 Ω; G 3 = = 0, 005 S; 0, 005
Z
2
3 L
B = − = − S;
2
3
Z3
b) konduktancja gałęzi drugiej -
1
G 2 = = 0,005 S;
R
2
c) konduktancja, susceptancja i admitancja gałęzi drugiej z trzecią -
G = G + G 0,01 S; B = B = 0, 005 S; Y = G + B 0,01 1, 25 S;
23 2 3 =
23 3 −
d) rezystancja i reaktancja gałęzi drugiej z trzecią -
G23
B23
R = 80 Ω; X = − 40 Ω;
Y Y
23 =
2
23
23 =
2
23
e) rezystancja, reaktancja, impedancja i kąt fazowy dwójnika -
2 2
23 23 23 =
R = R 23 = 80 Ω; X = −X
C + X = 60 Ω; Z = R + X = 100 Ω;
23 −
2
2
X o
ϕ = arc tg ≅ −37 .
R
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych przy założonym przebiegu
i3 ( t)
= 2 2 sinωt
, [i 3 ] = A, [ω] = s -1 , [t] = s, tzn. wartościach I 3 = 2 A i ψ i3 = 0 (na wykresie – poziome
położenie wskazu I 3 ):
a) impedancja i wartość skuteczna napięcia w gałęzi trzeciej -
2 2
3 = 3 L =
Z R + X 100 2 Ω; U = Z ⋅ I = 200 2 283 V;
3 3 3 ≅
b) przesunięcie fazowe i faza początkowa napięcia w gałęzi trzeciej -
X o
3 L
= tg =
o
ϕ arc 45 ; ψ u 3 = ψ i3
+ ϕ3
= 45 ;
R3
c) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia w gałęzi drugiej -
o
U 2 = U 3 ≅ 283 V; ψ u 2 = ψ u 3 = 45 ;
d) impedancja, przesunięcie fazowe, wartość skuteczna i faza początkowa prądu w gałęzi drugiej -
Z = R 200 Ω; ϕ 0 ; U 2
= 1, 41
o
I A; ψ = ψ −ϕ
45
Z
2 2 =
2 =
2 ≅
2
e) wartość skuteczna i faza początkowa prądu dwójnika (i = i 1 ) -
I1 x = I1
⋅ cosψ i1
= I 2 ⋅ cosψ
i2
+ I3
⋅ cosψ
i3
= 3 A;
I1 y = I1
⋅sinψ i1
= I 2 ⋅sinψ
i2
+ I3
⋅sinψ
i3
= 1 A;
I
2 2
1y
o
I 1 = I1x
+ I1y
= 10 ≅ 3,16 A; ψ i1 = arc tg ≅ 18,4 ;
I
1x
i 2 u2
2 = ;

126
Wykład XV
I = I 1 ≅ 3,16 o
ψ 1 = ψ i 1 ≅ 18,4 ;
f) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia na pojemności -
o
U1 = X
C
⋅ I1
= 100 10 ≅ 316 V; ψ u 1 = ψ i1
+ ϕ1
≅ −71,6
;
g) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia dwójnika -
U x = U ⋅ cosψ u = U1 ⋅ cosψ
u1
+ U 2 ⋅ cosψ
u2
= 300 V;
U y = U ⋅sinψ u = U1 ⋅sinψ
u1
+ U 2 ⋅sinψ
u2
= −100
V;
U =
U
2 2
y
o
U x + U y = 100 10 ≅ 316 V; ψ u = arc tg ≅ −18,4 ;
U x
h) impedancja i przesunięcie fazowe dwójnika -
U
o
Z = = 100 Ω; ϕ ψ u −ψ
≅ −37 .
I
= i
Wartości symboliczne prądu i napięcia sinusoidalnego
Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyźnie
zespolonej, stają się liczbami zespolonymi (rys. obok – wskaz U
jψu
jako liczba zespolona U = U ⋅ e ). Noszą one nazwy wartości
skutecznych zespolonych lub wartości symbolicznych prądu i
napięcia. Używając symbolu liczby urojonej j = −1
, zapisuje
się wartości symboliczne w postaci wykładniczej, trygonometrycznej
lub algebraicznej (kartezjańskiej):
I I e
j ψ
= ⋅
i = I ⋅ (cos ψ + j sinψ
) = Re I + j Im I , (6.48a)
i
U U e
j ψ
= ⋅
u = U ⋅ (cos ψ u+
j sinψ
u ) = ReU
+ j Im U , (6.48b)
gdzie:
I = ⎟ I⎟ , U = ⎟ U⎟ – moduły (długości wskazów) I i U ;
ψ i , ψ u – argumenty I i U ;
Re I , Re U – części rzeczywiste I i U ;
Im I , Im U – części urojone I i U .
Przebiegi czasowe prądu i napięcia odpowiadają częściom urojonym wskazów zespolonych wirujących
I mt i U mt (prądu i napięcia):
jωt
i t)
= Im I = Im( I 2 ⋅ e ) = I 2 sin( ωt
+ ψ ) , (6.49a)
( mt
i
jωt
(
mt
u
i
u t)
= ImU
= Im( U 2 ⋅ e ) = U 2 sin( ωt
+ ψ ) . (6.49b)
Własności metody symbolicznej rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego
1. Dodawaniu wartości chwilowych prądów (w węzłach) oraz napięć (na elementach obwodu)
odpowiada dodawanie ich wartości symbolicznych:
i ( t)
= ∑i k ( t)
↔ I = ∑ I k ; u ( t)
= ∑u k ( t)
↔ U = ∑U k
.
k
k
k
k
2. Między wartościami symbolicznymi prądu i napięcia elementów idealnych zachodzą następujące
zależności (wykresy ze wskazami „zespolonymi” są takie same jak ze „zwykłymi”):
a) rezystancja -
I R
R, G
U R
I R = G ⋅ U R
U R = R ⋅ I R
U
I
R
j Im U
0
= R ⋅ I , (6.50a)
R
= G ⋅ , (6.50b)
R U R
(oś urojona)
U
ψ
Re U
(oś rzeczywista)

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego 127
b) pojemność -
I C
X C , B C
U C
I C = jB C ⋅ U C
U C = -jX C ⋅ I C
U
I
C
C
= − jX ⋅ I , (6.51a)
C
C
C
C
= jB ⋅U
, (6.51b)
c) indukcyjność (własna) -
I L
X L , B L
U L
U L = jX L ⋅ I L
I L = -jB L ⋅ U L
U
I
L
L
= jX ⋅ I , (6.52a)
L
L
L
= − jB ⋅U
, (6.52b)
L
d) indukcyjność wzajemna -
I 1
X 21 = X M
U 2M
U 2M = jX M ⋅ I 1
I 1
U
= jX ⋅ , (6.53a)
2M
M I 1
analogicznie
U = jX ⋅ . (6.53b)
1M
M I 2
3. Układowi szeregowemu R, X przypisuje się impedancję zespoloną
Z = R + jX = Z ⋅ e
(6.54a)
i postać zespoloną odmiany impedancyjnej prawa Ohma
jϕ
U = Z ⋅ I . (6.54b)
4. Układowi równoległemu G, B przypisuje się admitancję zespoloną
Y = G + jB = Y ⋅ e
(6.55a)
i postać zespoloną odmiany admitancyjnej prawa Ohma
− jϕ
I = Y ⋅U
. (6.55b)
5. Dla określonego dwójnika zachodzi związek
1
Y = , (6.56)
Z
z czego wynikają następujące zależności między elementami układów zastępczych R, X i G, B :
G
B R X
R = , X = − , G = , B = − . (6.56a, b, c, d)
2
2
2
2
Y
Y Z
Z
6. Przy połączeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie rezystancje i reaktancje
albo impedancje zespolone (nie wolno sumować modułów impedancji zespolonych!):
R , X = ∑ X k ; Z = ∑ Z k . (6.57a, b, c)
= ∑ R k
k
k
7. Przy połączeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie konduktancje i susceptancje
albo admitancje zespolone (nie wolno sumować modułów admitancji zespolonych!):
G , B = ∑ B k , Y = ∑Y k . (6.58a, b, c)
= ∑G k
k
k
8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwiązywania obwodów, dotyczące teorii obwodów prądu
stałego (wielkości rzeczywiste stałe: U, I, E, I źr , R, G), zachowują ważność w analizie stanów
ustalonych obwodów prądu sinusoidalnego przy użyciu liczb zespolonych (wielkości zespolone:
U, I, E, I źr , Z, Y).
k
k

128
Wykład XV
Przykład. Zostanie przeprowadzony rachunek
symboliczny, odpowiadający procedurom
przedstawionym w poprzednim przykładzie,
dotyczący tego samego dwójnika (rys. obok).
Dane są, jak poprzednio:
X L = X C = R 3 = 100 Ω, R 2 = 200 Ω,
i3 ( t)
= 2 2 sinωt
, [i 3 ] = A, [ω] = s -1 , [t] = s .
Procedura obliczenia impedancji Z i kąta fazowego ϕ dwójnika:
Z 1 = − j100 Ω; Z 2 = 200 Ω; Z 3 = (100 + j 100)
Ω;
Z
o
2 ⋅ Z 3
− j37
Z = Z 1 + = 80 − j60
≅ 100 ⋅ e Ω; Z = 100 Ω; ϕ ≅37°.
Z + Z
2
3
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych:
I
3 2 = 2
o
j0
= ⋅ e A;
Z
3 100 + j100
= 100 2
o
j45
= ⋅ e Ω;
o
j45
U
3
= Z 3 ⋅ I 3 = 200 2 ⋅ e = (200 + j200)
o
j0
Z 2 = 200 = 200 ⋅ e Ω;
o
j45
I 2 = Y 2 ⋅U
= 2 ⋅ e = (1 + j1)
I
2
1 I 2 + I 3 = 3 + j1
≅ 10
V; U
2
= U
3
; U 2 = U 3 ≅ 283 V;
o
j0
Y 2 = 0,005 = 0, 005 ⋅ e S;
o
j18,4
A; I 2 ≅ 1, 41 A;
= ⋅ e A; I 1 ≅ 3, 16 A;
o
− j90
Z 1 = − j100
= 100 ⋅ e Ω;
o
− j71,6
U
1
= Z 1 ⋅ I 1 ≅ 100 10 ⋅ e ≅ (100 − j300)
1
+ U
2
= 300 − j100
≅ 100 10
o
− j18,4
V; U 1 ≅ 316 V;
U = U
⋅ e V; U ≅ 316 V;
U
o
− j37
I = I 1 ; Z = = 80 − j60
≅ 100 ⋅ e Ω; Z = 100 Ω; ϕ ≅37°.
I
Wniosek (wynikający z porównania procedur obliczeniowych przedstawionych w tym i w poprzednim
przykładzie): korzyści obliczeniowe stosowania rachunku symbolicznego są oczywiste.
Moc zespolona
Trójkąt mocy umieszczony na płaszczyźnie zespolonej przedstawia
trójkąt mocy zespolonej (rys. obok), którego bokami są:
moc czynna P, moc bierna Q pomnożona przez j, oraz moc zespolona
S :
jϕ
S = S ⋅ e = S ⋅ (cosϕ
+ j sinϕ)
= P + jQ
Skoro
ϕ = ψ u −ψ
, to
i
2
2
P
; (6.59)
P = Re S , Q = Im S , S = P + Q = U ⋅ I . (6.60a, b, c)
jψ
− jψi
− jψi
u
u
S = U ⋅ I ⋅ e ⋅ e = ( U ⋅ e ) ⋅ ( I ⋅ e ) = U ⋅ I
stąd moc zespolona układu szeregowego R, X oraz układu równoległego G, B wynosi:
2
S = Z ⋅ I = R ⋅ I + jX ⋅ I ,
2
2
jψ
2
∗
2
, (6.61)
S = Y
∗ ⋅U
= G ⋅U
− jB ⋅U
. (6.62a, b)
Sporządzając bilans mocy obwodu, sumuje się oddzielnie moce czynne i bierne albo moce zespolone
(nie wolno sumować modułów mocy zespolonych, tj. mocy pozornych!):
P = ∑ P k , Q = ∑Q k , S = ∑ S k
. (6.63a, b, c)
k
k
k
I = I 1
C
U 1
I 2 I 3
U R3 R 3
U L L
S
ϕ
2
jQ

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego 129
Posługiwanie się rachunkiem symbolicznym w rozwiązywaniu obwodów
Przykład. Z użyciem rachunku symbolicznego, poprzez
stosowanie różnych metod, zostaną wyznaczone wartości
A 1
prądów i napięć, określone wskazania przyrządów pomiarowych
(amperomierzy i woltomierza) oraz sporządzony
U
bilans mocy w układzie pokazanym na rysunku. Przyrządy
A 2
są idealne i mierzą wartości skuteczne.
I źr
Z L
I źr
R
C
=
I źr
L
V
L
u = 40 2 sinωt
, i źr = 2 2 cosωt
,
I 1 Z R
I 2 = I 1 + I źr lub I 1 = I 2 – I źr ;
U
U R
U V = U C + U L = Z C I 2 +Z L I źr .
I 2
I źr
U V U L
Z L
I 1 Z R
I 1a Z R
I 1b Z R
U
U
I 2 Z C
≡
I 2a Z C
+
I 2b Z C
Dane: R X C = X = 10 Ω;
[u] = V, [i źr ] = A, [ω] = s, [t] = s.
Danym przebiegom odpowiadają wartości symboliczne napięcia i prądu: U = 40 V; I źr = j2 A.
Impedancje zespolone elementów wynoszą: Z R = 10 Ω; Z C = – j10 Ω; Z L = j10 Ω.
Ze schematu wynika, że wystarcza obliczenie I 1 lub I 2 , bowiem:
Oblicza się najpierw – na różne sposoby – prąd I 1 , a następnie
I 2 , U R , U C , U L i U V , określa wskazania przyrządów i sporządza
bilans mocy obwodu.
1. Zasada superpozycji
Z C
U C
Z L
Z L
I
I
U
− I źr ⋅ Z C
= = (2 2) A; I 1b
= = ( −1−
j1)
A;
Z + Z
Z + Z
1 a + j
R C
= I + I = (1 1) A.
1 1a 1b
+ j
R
2. Zamiana źródła prądowego na napięciowe i obliczenie prądu w oczku (z równania oczkowego
dla jednego oczka)
C
I 1
Z R
I 1
Z R
U
I źr
I 2
Z C
≡
U
I źr
I 2
Z C
≡
U
I 1
I o
Z C I źr
Z R
Z C
Z L
I
U − Z C ⋅ I źr
= I o =
= (1 + 1) A.
Z + Z
1 j
R C

130
Wykład XV
3. Zamiana źródła napięciowego na prądowe i obliczenie potencjału w węźle (z równania węzłowego
dla jednego węzła niezależnego)
U
I 1 Z R
I 2 Z C
V o =0 V 1
I źr
Z L
≡
Y R U
Y R
I 1
I 2 Y C
V o =0 V 1
I źr
1 1
Y R = 0,1 S; Y C = = j0,
1 S;
Z
Z
=
R
C
I źr + Y R ⋅U
( Y R + Y C ) ⋅V
1
= I źr + Y R ⋅U
; V
1
= = (30 − j10)
V;
Y + Y
I = Y R ⋅ ( U −V
1 ) = (1 + 1) A.
1 j
4. Twierdzenie Thevenina (gałąź U, R jako zewnętrzna)
R
C
Z R
U 0
Z C
U C 0
I 1
Z w
U 0 I źr
I źr
Z L
U
U + U
0
U
0
= −U
C0
= −Z
C ⋅ I źr = −20
V; Z w = Z C ; I 1 = = (1 + j1)
A.
Z + Z
5. Wartości symboliczne I 2 , U R , U C , U L i U V , oraz wskazania przyrządów
I 2 = I 1 + I źr = (1 + j3) A;
U R = Z R I 1 = (10 + j10) V; U C = Z C I 2 = (30 – j10) V; U L = Z L I źr = (– 20) V;
U V = U C +U L = (10 – j10) V;
I A = I = 2 1,41 A; I A = I = 10 3, 16 A; U V U = 10 2 ≅ 14, 1 V.
1 1 ≅
6. Bilans mocy obwodu
S
gen
2 2 ≅
*
*
1 V źr
j
R
w
=
V
= U ⋅ I + U ⋅ I = 40 ⋅ (1 − j1)
+ (10 − j10)
⋅ ( − j2)
= (20 − 60) VA;
2
2 2
1 =
2
2
odb = C 2 L źr
P odb = R ⋅ I = 10 ⋅ (1 + 1 ) 20 W;
Q −X
⋅ I + X ⋅ I = −10
⋅ (1 + 3 ) + 10 ⋅ 2 = − 60 var;
S
odb
= Podb
+ j Qodb
,
odb gen
2
S = S .
2
2