czonych, sprÂ¦Â»ysto plastycznych deformacji - IPPT PAN

Paweª Dªu»ewski 

Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN 

ul. ‘wi¦tokrzyska 21, 00-049 Warszawa 

3 

Kontynualna teoria dyslokacji 

jako teoria konstytutywnego modelowania 

sko«czonych, spr¦»ystoplastycznych deformacji 

Streszczenie 

Niniejsza praca dotyczy modelowania konstytutywnego sko«czonych, spr¦»ystoplastycznych 

deformacji. Jako prawo plastycznego pªyni¦cia wykorzystano tu równanie zaczerpni¦te 

z kontynualnej teorii defektów. W pracy zaªo»ono, »e g¦sto±¢ energii swobodnej zale»y 

od sko«czonej, tensorowej miary g¦sto±ci dyslokacji. Wykorzystuj¡c to podstawowe 

zaªo»enie i stosuj¡c metody termodynamiki okre±lono termodynamiczne siªy nap¦dowe 

rz¡dz¡ce ruchem pola dyslokacji. Otrzymane rozwi¡zanie analityczne mo»e by¢ wykorzystane 

do modelowania ruchu takich defektów jak dyslokacje, defekty punktowe, niskok¡- 

towe granice ziarn itp. Praca zawiera równie» wyniki oblicze« numerycznych uzyskane 

przy zastosowaniu metody elementów sko«czonych. Sformuªowany algorytm numeryczny 

odpowiada modelowaniu spr¦»ystoplastycznych deformacji przy wykorzystaniu kontynualnej 

teorii dyslokacji. 

Konieczno±¢ wprowadzenia denicji zorientowanego kontinuum spowodowaªa przyj¦cie 

nieco odmiennych zaªo»e« matematycznych ni» te, które si¦ zwykle stosuje w klasycznej 

mechanice kontinuum. St¡d te» caªy drugi rozdziaª zostaª po±wi¦cony omówieniu podstawowych 

zaªo»e« matematycznych dotycz¡cych m. in. denicji przestrzeni wektorowej, 

iloczynu wektorowego i innych niezb¦dnych poj¦¢ z zakresu algebry wektorów i tensorów. 

Zostaªy równie» omówione wªasno±ci geometryczne przestrzeni orientacji w tym jej 

struktura riemannowska, teleparalelizm, symbole koneksji odpowiadaj¡ce k¡tom Eulera i 

skªadowe tensorów zakrzywienia i skrzywienia przestrzeni orientacji. 

W rozdziale po±wi¦conym geometrii i kinematyce zorientowanego kontinuum zostaªy 

zdeniowane miary zakrzywienia kontinuum. Przedstawiono szczegóªow¡ dyskusj¦ tensorowychzwi¡zkówzachodz¡cychpomi¦dzymiaramizakrzywieniastosowanymiwró»nych

4 

szczególnych teoriach zorientowanego kontinuum, takich jak o±rodek Cosserat i kontynualna 

teoria dyslokacji. Mi¦dzy innymi omówiono relacje tensorowe zachodz¡ce pomi¦dzy 

tensorami zakrzywienia i wykrzywienia zorientowanego kontinuum oraz miarami spr¦»ystego 

i plastycznego zakrzywienia kontinuum. 

Rozdziaª 4 jest po±wi¦cony zwi¡zkom kontynualnej teorii dyslokacji z mechanik¡ zorientowanych 

o±rodków ci¡gªych. W rozdziale tym wychodz¡c z denicji tensora g¦sto±ci 

dyslokacji pokazano, »e tensor ten jest niczym wi¦cej jak tylko jedn¡ z wielu ró»nych miar 

plastycznego zakrzywienia zorientowanego kontinuum. Omówiono równie» podstawowe 

równania wyró»niaj¡ce kontynualn¡ teori¦ dyslokacji spo±ród innych teorii zorientowanego 

kontinuum. 

Termodynamicznympodstawomkontynualnejteoriidyslokacjijestpo±wi¦conyrozdziaª 

5. Przedstawiono w nim nowe rozwi¡znie analityczne dla termodynamicznych siª nap¦dowych 

na polu defektów struktury. Rozwi¡zanie to uwzgl¦dnia zale»no±¢ energii swobodnej 

od tensora g¦sto±ci dyslokacji. 

Wkolejnymrozdzialepo±wi¦conymzastosowaniumetodyelementówsko«czonychzostaª 

przedstawiony algorytm numeryczny oraz wyniki oblicze« komputerowych. Algorytm ten 

ª¡czy w sobie wzajemne sprz¦»enia pomi¦dzy zagadnieniem modelowania przepªywu dyslokacji 

i zagadnieniem modelowania deformacji spr¦»ystoplastycznych. 

Zewzgl¦dunazawiªo±cirachunkowezwi¡zanezkonieczno±ci¡dowodzeniawielunowych 

zale»no±ci, oraz w celu uzyskania zwi¦zªej i przejrzystej formy pracy, autor zdecydowaª 

si¦ na umieszczenie w dodatku A cz¦±ci bardziej istotnych i mniej oczywistych dowodów. 

Dodatek B zawiera spis publikacji autora. 

Podzi¦kowanie 

NiniejszapracazostaªawykonanawramachprojektubadawczegoKBNnr7T07A01009 

pt. Wykorzystanie tensorowych miar defektów struktury do opisu mechanicznych wªasno±ci 

materiaªów. Wyrazy podzi¦kowania autor skªada kolegom z Samodzielnej Pracowni 

Teorii Materiaªów Niespr¦»ystych za wiele wspólnych dyskusji na temat zastosowania 

kontynualnej teorii dyslokacji jako teorii niespr¦»ystej deformacji materiaªów. 

Wtymmiejscuautorchciaªbyrównie»wyrazi¢swójszacunekiwdzi¦czno±¢tymwszystkim, 

którzy przyczynili si¦ do tego, »e IPPT jest tak bogatym ¹ródªem wiedzy na temat 

kontynualnej teorii dyslokacji i innych pokrewnych teorii konstytutywnego modelowania. 

Przebywanie na co dzie« w tym o±rodku byªo fundamentem, na którym mogªa powsta¢ 

obecna praca. 

Warszawa 9 wrze±nia 19961 

Paweª Dªu»ewski 

1In order to make avalible this thesis in Internet it was recompiled in pdfLATEX, 29 March 2006.

Spis tre±ci 

1 Wst¦p 7 

1.1 Cel i zakres pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2 Podstawowe poj¦cia i denicje 11 

2.1 Przestrze« wektorowa (V) . . . . . . . . . . 11 

2.2 Przestrze« wektorowa styczna do rozmaito±ci 14 

2.2.1 Ró»niczkowanie kowariantne 15 

2.3 Przestrze« orientacji (O ) . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.1 Przestrze« orientacji 3 jako przestrze« Riemanna 16 

2.3.2 Baza wektorowa styczna 17 

2.3.3 Niesymetryczne koneksje . . . . . . . . . . . 19 

2.3.4 Pochodne kowariantne po zmianie orientacji 21 

2.4 Przestrze« poªo»e« (E ) . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.4.1 Pochodna kowariantna 3 po zmianie poªo»enia 23 

2.4.2 Ró»niczkowanie zmian poªo»enia 24 

2.5 Operatory pola tensorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3 Kinematyka zorientowanego kontinuum 29 

3.1 Ruch zorientowanego kontinuum 29 

3.2 Gradienty deformacji . . . . . . . . . 33 

3.2.1 Klasyczny gradient deformacji 33 

3.2.2 Gradienty pól orientacji 34 

3.2.3 Obroty i dystorsje . . . . . . . . . 34 

3.2.4 Warunek zgodno±ci przemieszcze« 35 

3.2.5 Warunek zgodno±ci obrotów 39 

3.3 Spr¦»yste i plastyczne dystorsje . . . . . 41 

3.3.1 Warunek zgodno±ci przemieszcze« 43 

3.3.2 Warunek zgodno±ci obrotów 48 

3.4 Miary pr¦dko±ci deformacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4 Kontynualna teoria defektów 51 

4.1 Zakrzywienie plastyczne, a tensor g¦sto±ci 

dyslokacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.1.1 Zakrzywienie plastyczne, a granice ziarn . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.2 Podstawowe równania kontynualnej teorii 

dyslokacji . . . . 59 

4.3 Defekty punktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

5

SPIS TRE‘CI 6 

4.3.1 Miary g¦sto±ci defektów punktowych 61 

4.3.2 Prawo bilansu defektów punktowych 62 

4.4 Ruch defektów punktowych i dyslokacji 63 

4.5 Dysklinacje i defekty wy»szych rz¦dów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

5 Termodynamiczne podstawy kontynualnej teorii dyslokacji 66 

5.1 Prawa bilansu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

5.2 Równanie konstytutywne dla energii swobodnej 68 

5.3 Siªy nap¦dowe na polu dyslokacji . . . . . . 70 

5.4 Równania konstytutywne dla ruchu defektów . 71 

5.5 Jednoczesny ruch wielu, ró»nych pól defektów . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

6 Zastosowanie metody elementów sko«czonych 73 

6.1 Liniowa kontynualna teorii dyslokacji . . . . 74 

6.1.1 Ukªady równa« i liczba niewiadomych 76 

6.2 Algorytm numeryczny 78 

6.3 Program komputerowy . . . . 79 

6.4 Opis rozwi¡zanego przykªadu . . . . . . . . . 80 

6.5 Dyskusja uzyskanych wyników numerycznych 85 

6.5.1 Inne próby komputerowej symulacji 86 

6.5.2 Wnioski z komputerowej symulacji . . . . . . . . . 87 

6.5.3 Dalsze mo»liwo±ci rozwoju algorytmu numerycznego . . . . . . . . . 88 

7 Podsumowanie 89 

A Wyprowadzenia równa« i komentarze 97 

B Wykaz publikacji autora 112

Rozdziaª 1 

Wst¦p 

Rozwój in»ynierii materiaªowej oraz technologii wytwarzania materiaªów staª si¦ przyczyn¡ 

wzrostu zainteresowania zagadnieniami wpªywu mikrostruktury na wªasno±ci zyczne 

materiaªów. Zainteresowanie to jest równie» zwi¡zane z post¦pem w zakresie metod 

obserwacji struktury materiaªów. Obecnie metody te pozwalaj¡ na obserwacj¦ pojedynczychdefektówstruktury, 

anawetobserwacj¦uªo»eniaatomówwokóªdefektów. Wyniki 

bada« eksperymentalnych dostarczaj¡ wi¦c caª¡ gam¦ bardzo szczegóªowych danych dotycz¡cychgeometriistrukturymateriaªów. 

Niemniej, praktycznewykorzystanietychdanych 

napotyka na barier¦ zwi¡zan¡ z brakiem matematycznych metod, które pozwalaªyby 

na efektywne modelowanie obserwowanych procesów ewolucji mikrostruktury. St¡d te», 

pomimo tak olbrzymich mo»liwo±ci obserwacji struktury materiaªów nadal jednym z 

podstawowych narz¦dzi sªu»¡cych do praktycznego modelowania spr¦»ysto- 

plastycznych deformacji pozostaje mechanika kontinuum. Z drugiej jednak 

strony klasyczne teorie plastyczno±ci nie daj¡ mo»liwo±ci opisu wielu, nawet bardzo podstawowych 

procesów spr¦»ystoplastycznej deformacji. Mi¦dzy innymi dotyczy to zagadnie« 

zwi¡zanych z reorientacj¡ mikrostruktury, np. procesów formowania si¦ granic 

ziarn w krysztaªach, czy zagadnienia koincydencji granic. Opis tego typu zagadnie« 

wymaga wprowadzenia do mechaniki kontinuum odpowiednich miar pozwalaj¡cych na 

matematyczny opis wpªywu reorientacji mikrostruktury na energi¦ wewn¦trzn¡ materiaªu. 

Staªo si¦ to powodem podj¦cia przez autora bada« nad teori¡ zorientowanego kontinuum. 

Tego typu teoria daje mo»liwo±¢ opisu wspomnianych zjawisk. Wymaga ona jednak 

wprowadzenia dodatkowych miar deformacji materiaªu pozwalaj¡cych uj¡¢ w kategoriach 

matematycznych, te podstawowe wªasno±ci stanu materiaªu, które decyduj¡ o procesie 

reorientacji b¡d¹ reorganizacji mikrostruktury. 

W pracy zdecydowano si¦ na opis procesu deformacji w zakresie tzw. sko«czonych 

(du»ych) deformacji. Takie podej±cie wi¡»e si¦ z konieczno±ci¡ stosowania zªo»onych 

wzorów matematycznych, niemniej daje ono dodatkowe mo»liwo±ci, np: 

• uwzgl¦dnia zmiany konguracji ciaªa, 

• pozwala zbilansowa¢ energi¦ na zamkni¦tych cyklach deformacji. 

To wªa±nie bilansowanie energii jest »elazn¡ werykacj¡ odpowiadaj¡c¡ na pytanie: na 

ile dana, niekiedy na pierwszy rzut oka bardzo atrakcyjna, miara deformacji rzeczywi±cie 

nadaje si¦ do modelowania konstytutywnego. Czy te» wspomniana miara prowadzi jedynie 

do modeli konstytutywnych typu perpetum mobile nie bilansuj¡cych energii na 

zamkni¦tych cyklach deformacji. 

7

ROZDZIAŠ 1. WST†P 8 

1.1 Cel i zakres pracy 

Motywacj¡ do podj¦cia niniejszych bada« byªy zainteresowania autora miarami zakrzywienia 

kontinuum oraz szerokie mo»liwo±ci wykorzystania tych miar. Mo»liwo±ci te tkwi¡ 

m. in. w modelowaniu procesów spr¦»ystoplastycznej deformacji materiaªów takich, jak 

procesy formowania si¦ niskoenergetycznych struktur krysztaªów ze wzgl¦du na rozkªad 

orientacji sieci. 

Z drugiej za± strony ju» na podstawie wcze±niejszych bada«, m. in. Nye'a (1953), 

Kafadara i Eringena (1971), oraz wªasnych Dªu»ewski (1991a,b, 1993, 1996) autor 

zdawaª sobie spraw¦ z tego, »e istnieje wiele ró»nych miar zakrzywienia kontinuum. Miary 

te s¡ wykorzystywane m. in. w teorii o±rodków polarnych oraz w kontynualnej teorii dyslokacji. 

St¡d te» pojawiª si¦ pierwszy cel pracy jakim byªa odpowied¹ na pytanie: jakie 

relacje tensorowe zachodz¡ pomi¦dzy ró»nymi miarami zakrzywienia materiaªu? Wi¡zaªo 

si¦ to z konieczno±ci¡ przedstawienia pewnego jednolitego podej±cia matematycznego, na 

podstawie którego mo»na by, w stosunkowo naturalny sposób, sklasykowa¢ miary zakrzywienia 

stosowane w zakresie sko«czonych deformacji. Tak¡ matematyczn¡ prób¡ sklasy- 

kowania tych miar jest rozwijana tu koncepcja zorientowanego spr¦»ystoplastycznego 

kontinuum. Tak wi¦c celem pracy byªo m. in. sklasykowanie podstawowych miar zakrzywienia 

i odpowied¹ na pytanie: jakie tensorowe zwi¡zki zachodz¡ mi¦dzy ró»nymi 

miarami zakrzywienia w zakresie sko«czonych deformacji? 

Powa»nymproblememmatematycznymnajakinapotykasi¦przypodejmowaniupróby 

sklasykowaniamiarzakrzywieniastrukturymateriaªujestró»norodno±¢sposobówmatematycznego 

opisu rozkªadów orientacji kontinuum. Jedni autorzy wykorzystuj¡ tu tensory 

trzeciego rz¦du, np. deniuj¡ zakrzywienie kontinuum w oparciu o gradient tensora 

obrotów, np. Toupin (1964). Inni stosuj¡ tensory drugiego rz¦du otrzymywane 

poprzez odpowiednie zw¦»enia wspomnianych tensorów trzeciego rz¦du, b¡d¹ te» deniuj¡ 

tensory zakrzywienia w zupeªnie inny sposób, np. próbuj¡c wykorzystywa¢ ró»nego 

rodzaju wspóªrz¦dne k¡towe np. Kafadar i Eringen (1971). Jeszcze inni poszukuj¡ 

mo»liwo±ci wykorzystania innych parametryzacji przestrzeni orientacji, np. za pomoc¡ 

kwaterionów, wektorów obrotu, parametrów Rodriguesa itp., porównaj Argyris (1982), 

Pietraszkiewicz i Badur (1983), Morawiec (1990), Blinowski (1994), Kumar i 

Dawson (1996). 

Autor zdecydowaª si¦ na wykorzystanie k¡tów Eulera traktuj¡c je tylko jako jeden 

z przykªadów krzywoliniowego ukªadu wspóªrz¦dnych na przestrzeni orientacji. W literaturze 

po±wi¦conej sko«czonym deformacjom o±rodków zorientowanych istnieje wiele 

przykªadów, gdzie brak znajomo±ci rachunku tensorowego w zakresie stosowania k¡tów 

jako wspóªrz¦dnych krzywoliniowych (posta¢ tensora metrycznego, ró»nego typu koneksje, 

teleparalelizm, posta¢ tensora skr¦cenia przestrzeni) byªy powodem tego, »e próby deniowania 

tensorów zakrzywienia w oparciu o wspóªrz¦dne k¡towe ko«czyªy si¦ niepowodzeniem. 

Posªugiwanie si¦ w niniejszej pracy k¡tami Eulera jako wspóªrz¦dnymi krzywoliniowymi 

na przestrzeni orientacji poci¡gn¦ªo za sob¡ konieczno±¢ przedstawienia istotnych 

tu wªasno±ci przestrzeni orientacji. Bez opanowania tych podstaw nie byªoby mo»liwe 

udowodnienie wielu wa»nych zwi¡zków dotycz¡cych ró»niczkowania k¡tów Eulera, np. 

udowodnienie zwi¡zku (3.71) (str. 98). 

Wykorzystuj¡c przestrze« orientacji do okre±lania tensorów zakrzywienia kontinuum 

nie sposób pomin¡¢ zagadnienia tensorów zakrzywienia samej przestrzeni orientacji, tym 

bardziej, »e wielu autorów zajmuj¡cych si¦ kontynualn¡ teori¡ dyslokacji identykuje ten-


sory zakrzywienia ciaªa z tensorami zakrzywienia przestrzeni, porównaj Kondo (1952), 

Bilby (1960), »órawski (1963) Gairola (1972), Trz¦sowski (1994a,b). Przy takim 

podej±ciutonieciaªodeformuj¡csi¦zmieniaswojepoªo»enieiksztaªtwpewnymustalonym 

ukªadzie wspóªrz¦dnych w przestrzeni zycznej, ale to ukªad wspóªrz¦dnych wraz z przestrzeni¡ 

(!) deformuje si¦, a w zwi¡zku z tym przestrze« zyczna przechodzi w pewn¡ 

trójwymiarow¡, zakrzywion¡ przestrze«. Tego typu (abstrakcyjne) teorie dyslokacji nie 

s¡ przedmiotem niniejszej pracy. Tym bardziej, »e na ogóª nie ma w nich ani sªowa o 

siªach dziaªaj¡cych na pole dyslokacji nie mówi¡c ju» o termodynamice, modelowaniu 

konstytutywnym, czy o rozwi¡zywaniu konkretnych problemów brzegowych. Z reguªy 

tego typu teoriach po±wi¦conych geometrii poj¦cie plastycznej deformacji materiaªu 

w ogóle nie wyst¦puje (!), a tensor g¦sto±ci dyslokacji jest tam traktowany jedynie jako 

pewna miara niekompatybilno±ci pozwalaj¡ca na przeniesienie rozwa»a« ze zbyt ubogiej 

przestrzeni euklidesowej do znacznie bogatszej, abstrakcyjnej, trójwymiarowej, zakrzywionej 

przestrzeni zwanej przestrzeni¡ materialn¡. Tak wi¦c warto tu jeszcze raz mocno 

podkre±li¢, »e poza wspólnie wykorzystywan¡ nazw¡ Nieliniowej kontynualnej teorii dyslokacji 

obecna praca niewiele ma wspólnego z tego typu geometrycznymi teoriami opisu 

trójwymiarowych, zakrzywionych, przestrzeni materialnych. 

Czytelnikmo»ejednakpostawi¢uzasadnionepytanie: Je±li tak to na jakich podstawach 

teoretycznych oparta jest niniejsza praca wykorzystuj¡ca przecie» poj¦cie nieliniowej kontynualnej 

teorii dyslokacji? Korzenie tej pracy si¦gaj¡ do prac: Nye'a (1953), Teodosiu 

(1970), Mandela (1972), cz¦±ciowo do wczesnych prac Krönera (1955, 1958) i Mury 

(1968). 

Przegl¡daj¡c prace z zakresu tak rozumianej kontynualnej teorii dyslokacji mo»na zauwa»y¢, 

»e na ogóª, unika si¦ w nich zaªo»enia, i» g¦sto±¢ energii materiaªu zale»y od 

tensora g¦sto±ci dyslokacji, porównaj np. Kröner (1981), Kosevich (1979), Mura 

(1969), Ignaczak i Rao (1993). W tym wypadku wyj¡tek stanowi¡ o±rodki polarne, 

gdzie zale»no±¢ g¦sto±ci energii swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji prowadzi do 

ró»nego rodzaju napr¦»e« momentowych, porównaj np. Naghdi i Srinivasa (1994). 

W innych przypadkach, aby zbilansowa¢ dodatkowe czªony pojawiaj¡ce si¦ w prawie zachowania 

energii postuluje si¦ dodatkowe prawa bilansu, np. prawa bilansu mikrop¦du i 

mikromomentu p¦du, porównaj np. Ericksen (1983), Rymarz (1989, 1990) oraz Le & 

Stumpf (1996a). 

W pokrewnej teorii, jak¡ jest kontynualna teoria defektów, aby uzyska¢ rozwi¡zanie 

uwzgl¦dniaj¡ce zale»no±¢ energii od g¦sto±ci defektów, wprowadza si¦ dodatkowe zaªo»enia, 

np. postuluje si¦ prawo bilansu defektów, porównaj Dªu»ewski (1996), b¡d¹ postuluje 

si¦ prawo bilansu dla siª konguracyjnych wykonuj¡cych prac¦ na przemieszczeniach 

defektów, porównaj np. Gurtin (1995). 

Wy»ej wymienione prace dotycz¡ gªównie ostatnich lat. Pomimo, »e prace te znacznie 

ró»ni¡ si¦ mi¦dzy sob¡, to ª¡czy je jednak wspólne przekonanie o tym, »e zbilansowanie 

energii zale»nej od miar g¦sto±ci defektów wymaga wprowadzenia dodatkowego prawa 

bilansu, b¡d¹ zaªo»enia niesymetrycznej postaci tensora napr¦»e«. O ile wiadomo autorowi 

rozprawy, w kontynualnej teorii dyslokacji formuªowanej na gruncie klasycznych 

praw bilansu i symetrycznej spr¦»ysto±ci nie prezentowano dotychczas rozwi¡za« dotycz¡- 

cych okre±lenia siª nap¦dowych generowanych zale»no±ci¡ energii swobodnej od tensora 

g¦sto±ci dyslokacji. Ten niedostatek wytyczyª cel obecnej pracy w zakresie termodynamiki. 

Celem tym byªo zbilansowanie termodynamicznych siª nap¦dowych na polu 

dyslokacji przy jednoczesnym zachowaniu trzech podstawowych zaªo»e«:


1. g¦sto±¢ energii swobodnej zale»y od tensora g¦sto±ci dyslokacji, 

2. tensor napr¦»e« jest symetryczny, 

3. analiza jest prowadzona przy uwzgl¦dnieniu tylko (!) klasycznych praw bilansu, tzn. 

bilansu masy, p¦du, momentu p¦du, energii i nierówno±ci entropii. 

Pod poj¦ciem zbilansowania termodynamicznych siª nap¦dowych na polu dyslokacji 

jest tu rozumiane nie tylko okre±lenie wszystkich skªadowych tych siª, ale pokazanie 

równie», »eistniej¡równaniakonstytutywnedlaruchudyslokacji, którezapewniaj¡speªnienie 

pierwszego i drugiego prawa termodynamiki. 

Z punktu widzenia praktycznego wykorzystania kontynualnej teorii dyslokacji autor 

postawiª sobie za cel zastosowanie wspomnianej teorii do rozwi¡zania problemu 

pocz¡tkowobrzegowego. Ze wzgl¦du na rozwój metod komputerowych zastosowano 

metod¦ elementów sko«czonych.

Rozdziaª 2 

Podstawowe poj¦cia i denicje 

W niniejszej pracy kontynualna teoria dyslokacji jest traktowana jako pewien przypadek 

szczególny zorientowanego kontinuum. Bie»¡cy rozdziaª jest po±wi¦cony omówieniu podstawowychpoj¦¢zzakresualgebrytensorowej, 

analizyigeometrii. Wnast¦pnymrozdziale 

na gruncie zdeniowanych tu poj¦¢ zostanie podana matematyczna denicja ruchu zorientowanego 

kontinuum. Z punktu widzenia mechaniki koncepcja zorientowanego kontinuum 

jest blisko zwi¡zana z teori¡ o±rodków Cosserat, niemniej, o ile za podstaw¦ 

o±rodków Cosserat uznaje si¦ tzw. napr¦»enia momentowe, o tyle za podstaw¦ o±rodka 

zorientowanego przyjmuje si¦ zaªo»enie dotycz¡ce istnienia dodatkowego stopnia swobody 

ruchu dopuszczaj¡cego mo»liwo±¢ obrotu cz¡stek kontinuum (niezale»nego od pola 

przemieszcze«). St¡d te» w kategoriach tak rozumianego zorientowanego kontinuum 

mieszcz¡ si¦ nie tylko teorie napr¦»e« momentowych, ale caªa grupa innych modeli konstytutywnych, 

a w tym kontynualna teoria dyslokacji oraz teorie modeluj¡ce tzw. spin 

plastyczny. 

Niniejszy rozdziaª podzielony jest na cztery zasadnicze cz¦±ci, z których pierwsza dotyczy 

przestrzeni wektorowej, druga zwi¡zków tak zdeniowanej przestrzeni wektorowej z 

rozmaito±ci¡ ró»niczkow¡, trzecia geometrii orientacji, a czwarta dotyczy opisu poªo»e« 

cz¡stekzorientowanegokontinuum. Pewnymuzupeªnieniemjesttupodrozdziaª2.5prezentuj¡cy 

przyj¦t¡ w pracy notacj¦ dla operatorów pól tensorowych. 

2.1 Przestrze« wektorowa (V) 

W zakresie rachunku tensorowego spotyka si¦ na ogóª dwa sposoby deniowanie wektorów. 

Pierwszy z nich (zdaniem autora bardziej elegancki) wprowadza poj¦cie wektora 

i przestrzeni wektorowej na gruncie algebry, porównaj np. Bowen i Weng (1976a), 

Skalmierski (1977), Komorowski (1978). W tego typu denicjach nie u»ywa si¦ poj¦cia 

krzywoliniowego ukªadu wspóªrz¦dnych, czy te» poj¦cia rozmaito±ci ró»niczkowej. 

Drugi sposób deniowania wektorów, niezwykle popularny w mechanice i zyce kontinnum, 

ª¡czy (miesza) poj¦cia z zakresu algebry i geometrii deniuj¡c wektory na podstawie 

praw transformacji dla ukªadów wspóªrz¦dnych, porównaj Eisenhart (1949), 

Schouten (1951), Synge i Schild (1964), Ericksen (1960), Eringen (1971), Marsden 

i Hughes (1983). W niniejszej pracy, aby podkre±li¢ ró»nic¦ mi¦dzy algebr¡ tensorow¡, 

analiz¡ tensorow¡ i geometri¡, zdeniowano przestrze« wektorow¡ na gruncie 

algebry, a dopiero w dalszej kolejno±ci omówiono ewentualny zwi¡zek tak zdeniowanej 

przestrzeni wektorowej z rozmaito±ci¡ ró»niczkow¡. 

11

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWOWE POJ†CIA I DEFINICJE 12 

Denicja przestrzeni wektorowej Przestrze« wektorow¡ na ogóª uto»samia si¦ z 

przestrzeni¡ liniow¡ zdeniowan¡ b¡d¹ to na ciele liczb rzeczywistych b¡d¹ to na ciele 

liczb zespolonych. Nie oznacza to jednak, »e nie mo»na przyj¡¢ innej denicji. Z punktu 

widzenia rachunku tensorowego mo»na go budowa¢ równie» na innych, mniej lub bardziej 

ogólnych strukturach algebraicznych, takich jak moduª czy wektorowa przestrze« euklidesowa, 

porównaj np. Bourbaki (1956), Rychlewski (1996). Ze wzgl¦du na zyczn¡ 

stron¦ zagadnienia nasze zastosowanie algebry tensorowej b¦dzie si¦ ogranicza¢ jedynie 

do takiej struktury algebraicznej, w której istnieje jednoznacznie zdeniowany iloczyn 

skalarny i iloczyn wektorowy. St¡d te» przyjmiemy nast¦puj¡c¡ denicj¦ przestrzeni wektorowej: 

Denicja 2.1 Przestrzeni¡ wektorow¡ nazywa¢ b¦dziemy przestrze« unitarn¡ zorientowan¡ 

okre±lon¡ na ciele liczb rzeczywistych. 

Pod poj¦ciem przestrzeni unitarnej zorientowanej rozumiana jest struktura algebraiczna 

zªo»ona z przestrzeni liniowej, na której zostaªy dodatkowo okre±lone: iloczyn skalarny 

i iloczyn wektorowy. Bardziej dokªadna denicja przestrzeni unitarnej zorientowanej 

poci¡ga za sob¡ konieczno±¢ zdeniowania innych struktur algebraicznych takich jak 

grupa, pier±cie«, ciaªo itd., dlatego te» przyjmujemy tu klasyczne denicje powy»szych 

struktur za ogólnie dost¦pn¡ monogra¡ Komorowskiego (1978). 

Iloczyn skalarny Wª¡czenie iloczynu skalarnego do denicji przestrzeni wektorowej 

powoduje, »e nie b¦dziemy tu mówi¢ o wektorze kontrawariantym, np. v , nale»¡cym do 

przestrzeni liniowej L i o wektorze do niego dualnym k v k nale»¡cym do innej przestrzeni 

liniowej L , ale b¦dziemy mówi¢ o ko- i o kontra-wariantnej reprezentacji wektora ∗ v 

nale»¡cego do przestrzeni wektorowej V. Reprezentacje te b¦d¡ zdeniowane jako 

v k df 

= v · e 

k 

(2.1) 

df 

v k = v · ek (2.2) 

gdzie · oznacza iloczyn skalarny podczas gdy wektory e 1 , ..., e n i odpowiednio e 1 , ..., e 

tworz¡ wzajemnie przeciwne bazy wektorowe n 

{e k } i {e k } w V, tzn. 

e k · e l = δ kl (2.3) 

gdzie δ kl jest Delt¡ Kroneckera. Oznacza to, »e 

v, e 1 , ..., e n , e 1 , ..., e n ∈ V (2.4) 

Wykorzystuj¡c iloczyn skalarny oraz w/w bazy wektorowe wprowadzimy poj¦cie tensora 

podstawowego przestrzeni wektorowej (fundamental tensor). 

Denicja 2.2 Tensorem podstawowym przestrzeni wektorowej V nazywa¢ b¦dziemy nast¦puj¡cy 

tensor 

g = df (e k · e l ) e k ⊗ e l (2.5) 

gdzie ⊗ oznacza iloczyn tensorowy.


Iloczyn tensorowy wektorów jest tu rozumiany w sensie klasycznym, porównaj np. Komorowski 

(1978) str. 81. Przestrze« unitarna na ciele liczb rzeczywistych jest niekiedy 

nazywana wektorow¡ przestrzeni¡ euklidesow¡. Nale»y tu jednak podkre±li¢ zasadnicz¡ 

ró»nic¦ mi¦dzy wektorow¡ przestrzeni¡ euklidesow¡, która jest struktur¡ algebraiczn¡, a 

punktow¡ przestrzeni¡ euklidesow¡, która jest struktur¡ geometryczn¡. Niekiedy mo»na 

spotka¢ si¦ z opini¡, »e ró»nica ta dotyczy jedynie nazewnictwa i ma raczej znaczenie 

czysto formalne. Ró»nica ta ma w mechanice swoje powa»ne konsekwencje rachunkowe w 

postaci dwóch ró»nych sposobów ró»niczkowania, np. przy obliczaniu gradientów deformacji, 

porównaj np. (2.76) i (2.77) (str. 24). 

Iloczyn wektorowy W klasycznym podej±ciu do opisu ruchu kontinuum wykorzystuje 

si¦ przestrze« euklidesow¡. Tak zdeniowana przestrze« nie jest przestrzeni¡ zorientowan¡, 

co oznacza, »e nie mo»na poprawnie zdeniowa¢ w niej iloczynu wektorowego. 

Niemo»liwo±¢ ta wynika z faktu nierozró»niania prawo- i lewoskr¦tnych baz wektorowych. 

Zpunktuwidzeniaalgebrywprowadzeniepoj¦ciaorientacjiprzestrzeniwektorowejprowadzi 

do zdeniowania innej struktury algebraicznej jak¡ jest zorientowana przestrze« euklidesowa, 

porównaj np. Komorowski (1978). W podr¦cznikach z zakresu mechaniki kontinuum 

fakt ten jest cz¦sto lekcewa»ony. 

Wwypadkuklasycznegokontinuumzastosowanieiloczynuwektorowegomo»naograniczy¢ 

do matematycznego wyra»enia globalnej postaci prawa zachowania momentu p¦du, 

które i tak prowadzi tam jedynie do symetrii tensora napr¦»e« Cauchy'ego. Innymi sªowy, 

w klasycznym sformuªowaniu mo»emy pomin¡¢ prawo bilansu momentu p¦du zakªadaj¡c 

jedocze±nie a'priori symetri¦ tensora napr¦»e«. Co wiecej, je±li nawet zachowamy posta¢ 

globaln¡ tego prawa to orientacja przestrzeni wektorowej nie ma i tak »adnego znaczenia 

(poza poprawno±ci¡ denicji iloczynu wektorowego), gdy» w klasycznej mechanice kontinuum 

prawo bilansu momentu p¦du sprowadza si¦ jedynie do »¡dania, aby odpowiedni 

iloczyn wektorowy byª równy zeru. W wypadku zorientowanego kontinuum, nie mamy 

ju» takiego komfortu, gdy» wielokrotnie zmuszeni jeste±my u»ywa¢ iloczynu wektorowego, 

a w ten sposób otrzymywane wielko±ci wektorowe i tensorowe nie s¡ równe zeru! St¡d te» 

ich orientacja ma dla nas fundamentalne znaczenie. Na zako«czenie rozwa»a« na temat 

iloczynu wektorowego zdeniujmy tensor alternacji. 

Niech ⊗m V oznacza m-t¡ pot¦g¦ tensorow¡ n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. 

n 

Denicja 2.3 Tensorem alternacji przestrzeni wektorowej V nazywa¢ b¦dziemy taki tensor 

n e ∈ ⊗n V , którego reprezentacja w dowolnej bazie wektorowej n {e k } w V speªnia 

zale»no±¢ 

n e k 1...k n 

df ɛ k1 ...k = ± 

n 

√g (2.6) 

gdzie ± jest znakiem zgodnym z orientacj¡ bazy wektorowej, ɛ k1 ...k n 

jest symbolem permutacji, 

za± g jest wyznacznikiem z kowariantnej reprezentacji tensora podstawowego. 

Orientacja przestrzeni wektorowej pozwala nam na okre±lenie tylko jednego (!) tensora alternacji 

o ±ci±le okre±lonej walencji i nie determinuje tensorów alternacji w podprzestrzeniach. 

Wprowadza to dodatkow¡ ró»nic¦ mi¦dzy symbolami permutacji a tensorem alternacji 

nawet przy zastosowaniu jedynie ortonormalnych baz wektorowych. Oczywi±cie, 

zgodnie z przyj¦t¡ przez nas denicj¡ przestrzeni wektorowej nast¦puj¡cy obiekt 

√ 

e k1 ...k n 

= ±ɛ k1 ...k n g (2.7)


jest dla nas tylko inn¡ reprezentacj¡ tensora e reprezentacj¡ w tzw. kobazie. 

Omówiona wy»ej przestrze« wektorowa b¦dzie nam sªu»y¢ do opisu lokalnych wªasno±ci 

cz¡stek kontinuum, natomiast do opisu zmian geometrii caªego kontinuum b¦dziemy 

u»ywa¢ rozmaito±ci ró»niczkowych. 

2.2 Przestrze« wektorowa styczna do rozmaito±ci 

W tradycyjnej analizie tensorowej budowanej na rozmaito±ciach ró»niczkowych rezygnuje 

si¦ zazwyczaj z wektorów bazowych zadawanych w sposób jawny (zadawanych w postaci 

skªadowych w pewnym ortonormalnym ukªadzie wspóªrz¦dnych) zast¦puj¡c je operatorami 

ró»niczkowymi typu . Takie podej±cie jest w pewnym sensie prób¡ uogólnienie 

∂ 

∂ϕ 

geometrii Riemanna, której pi¦kno α i elegancja polega m. in. na tym, »e caªa analiza tensorowa 

mo»e by¢ w niej prowadzona na reprezentacjach tensorów z pomini¦ciem terminu 

wektory bazowe, porównaj np. Eisenhart (1949). W naszym wypadku natomiast, nie 

tylko reprezentacje tensorów i symbole koneksji, ale równie» wektory bazowe b¦dziemy 

okre±la¢ w sposób jawny nawet dla zakrzywionych przestrzeni, porównaj np. ukªad 

(2.26) deniuj¡cy wektory styczne do przestrzeni orientacji. Tego typu podej±cie jest 

niekiedy nazywane metod¡ reperu ruchomego, porównaj np. Cartan (1936), Skwarczy«ski 

(1993). 

Denicja 2.4 B¦dziemy mówi¢, »e na n-wymiarowej rozmaito±ci ró»niczkowej M jest 

okre±lony reper ruchomy n {e k (x)} je±li dla dowolnych dwóch ukªadów wspóªrz¦dnych {x k } 

i {x k′ } na M b¦d¡ okre±lone ró»niczkowalne funkcje 

n 

e k (x) : M n ∋ x −→ e k ∈ V (2.8) 

e k ′(x) : M n ∋ x −→ e k ′ ∈ V (2.9) 

i funkcje te b¦d¡ speªnia¢ nast¦puj¡ce prawo transformacji 

e k ′ = ∂xk e k (2.10) 

∂x 

gdzie k′ k = 1, ..., n, k ′ = 1, ..., n, natomiast V oznacza przestrze« wektorow¡. 

Zauwa»my, »e w w/w denicji nie sprecyzowali±my wymiaru przestrzeni V. Niemniej z 

warunku (2.10) wynika, »e dim V ≥ dim M . 

Typowym przykªadem kiedy n dim V > dim M jest teoria powªok, gdzie reper mo»e 

skªada¢ si¦ z dwóch trójwymiarowych wektorów ruchomych n stycznych do wspóªrz¦dnych 

krzywoliniowychnapowªoce. Dlaustalonego x ◦ wektoryterozpinaj¡(generuj¡)dwuwymiarow¡ 

przestrze« wektorow¡ styczn¡ do powªoki. Inny przykªad reperu skªadaj¡cego si¦ 

z trzech dziewi¦ciowymiarowych wektorów G i zostaª wspomniany w przypisach na str. 

18. W wypadku gdy dim V = dim M reper ruchomy mo»e okre±la¢ jednoznacznie przesuni¦cie 

równolegªe wektorów na n M , tzw. teleparalelizm (distantparalelizm) porównaj 

np. n Eringen (1971), str. 137. 

Reper ruchomy jest bardzo silnym narz¦dziem pozwalaj¡cym np. na zdeniowanie 

metryki, symboli przesuni¦cia, koneksji, tensora alternacji i wielu wielu innych obiektów 

na rozmaito±ci ró»niczkowej, porównaj np. (2.28, 2.29, 2.33, 2.34, 2.35) i (2.36). Prawa 

transformacji dla tego typu obiektów staªy si¦ inspiracj¡ dla matematyków do sformuªowania 

caªych oddzielnych teorii geometrycznych opartych np. na tensorze metrycznym, na 

symbolach koneksji itd.


Denicja 2.5 B¦dziemy mówi¢, »e na rozmaito±ci M n zostaªa okre±lona funkcja wektorowa 

v(x) : M n ∋ x −→ v ∈ V (2.11) 

je±li: 

1. b¦dzie dany reper ruchomy {e k (x)} na M n taki, »e e k ∈ V , 

2. dla dowolnego ukªadu wspóªrz¦dnych {x k } na M n b¦dzie danych n funkcji 

v k (x) : M n ∋ x −→ v k ∈ V (2.12) 

takich, »e 

v = v k e k (2.13) 

gdzie V jest ciaªem (liczb) na którym zostaªa okre±lona przestrze« wektorowa V. 

W naszych zastosowaniach ograniczymy si¦ do ciaªa liczb rzeczywistych. 

2.2.1 Ró»niczkowanie kowariantne 

W wielu pracach, aby zapewni¢ matematyczn¡ ±cisªo±¢ u»ywanej notacji, do oznaczania 

pochodnych wykorzystuje si¦ kropki, przecinki, ±redniki, dwukropki itp. W naszym 

wypadku, aby notacja byªa jak najprostsza, a jednocze±nie ±cisªa matematycznie umawiamy 

si¦, »e sens u»ycia przecinka zale»e¢ b¦dzie od obiektu w stosunku do którego zostaª 

on u»yty, i tak: 

• w wypadku mapy oznaczaª on b¦dzie pochodn¡ cz¡stkow¡, tzn. je±li x i y b¦d¡ 

punktami o wspóªrz¦dnych x i k y na odpowiednich rozmaito±ciach, za± l x(y) b¦dzie 

ró»niczkowalnym odwzorowaniem (map¡) to 

x k ,l 

df 

= ∂xk 

(2.14) 

∂y l 

• w wypadku za± gdy x b¦dzie wektorem stycznym do rozmaito±ci ró»niczkowej w 

punkcie y to przecinek oznaczaª b¦dzie pochodn¡ kowariantn¡ typu 

gdzie 

x k ,l 

df 

= ∂xk + x m k 

Γ 

∂y l ml (2.15) 

k 

Γ df ml = ∂e m 

· e (2.16) 

k 

∂y l 

Tak zdeniowane symbole koneksji mog¡ by¢ niesymetryczne. Jest to ¹ródªem wielu 

nieporozumie«, gdy» koncepcja niesymetrycznych symboli koneksji nie mie±ci si¦ w kategoriach 

klasycznej geometrii Riemanna.


2.3 Przestrze« orientacji (O 3 ) 

2.3.1 Przestrze« orientacji jako przestrze« Riemanna 

W porównaniu z klasyczn¡ mechanik¡ kontinuum opis ruchu zorientowanego kontinuum 

wymaga wprowadzenia dodatkowych poj¦¢ z zakresu opisu zmian orientacji. Niezmiernie 

cenna jest tu dla nas teoria ruchu bryªy sztywnej. Nie oznacza to jednak, »e zorientowane 

kontinuum to zespóª poª¡czonych bryª sztywnych. Cech¡ wspóln¡ jest tu tylko to, »e 

jednym z parametrów opisuj¡cych konguracj¦ zorientowanego kontinuum jest funkcja 

opisuj¡ca orientacj¦ jego cz¡stek. 

W wypadku bryªy sztywnej mo»na wykaza¢, »e wszystkie orientacje bryªy tworz¡ 

przestrze« Riemanna o staªej, jednostkowej krzywi¹nie, zostaªo to np. pokazane w pracy 

autora (Dªu»ewski, 1991a). W takim wypadku, je±li zaªo»y¢, »e ukªad k¡tów Eulera 

ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ tworzy krzywoliniowy ukªad wspóªrz¦dnych na przestrzeni orientacji, wtedy 

tensor metryczny 3 

opisuj¡cy odlegªo±¢ w przestrzeni orientacji przyjmuje posta¢ 

⎡ 

g αβ = ⎣ 

1 0 cosϕ 2 

0 1 0 

cosϕ 2 0 1 

⎤ 

⎦ (2.17) 

Zgodnie z geometri¡ Riemanna tensor ten generuje koneksj¦ riemannowsk¡ opisan¡ symbolami 

Christoela 

{ γ αβ } = df 1 ( 

∂gαδ 

2 gγδ ∂ϕ + ∂g βδ 

β ∂ϕ − ∂g ) 

αβ 

(2.18) 

α ∂ϕ 

W przypadku bryªy sztywnej mo»na równie» pokaza¢, »e δ ka»dy jej obrót wokóª nieruchomej 

osi zakre±la w przestrzeni orientacji lini¦ geodezyjn¡, a dªugo±¢ tej linii, w sensie 

Riemanna, to nic innego jak wªa±nie k¡t (w radianach) o który obracana jest bryªa. Innymi 

sªowy, mówi¡c j¦zykiem geometrii ró»niczkowej ka»dy obrót wokóª nieruchomej osi, 

opisany równaniem ϕ i = ϕ (t), speªnia równanie linii geodezyjnej 

i 

d 2 ϕ α 

+ { 

dt 

βγ} α dϕβ dϕ γ 

= 0 (2.19) 

2 dt dt 

K¡t α o który zostaje obrócona bryªa jest okre±lony jako 

α = 

∫ √ 

l1 

∂ϕ 

g β 

βγ 

l ◦ 

∂l 

∂ϕ γ 

dl (2.20) 

∂l 

gdzie 

l = l(ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) (2.21) 

W przypadku przestrzeni Riemanna, tensor krzywizny RiemannaChristoela jest 

zdeniowany jako 

K αβγ 

δ df = ∂{ δ αβ } 

∂ϕ γ 

− ∂{ δ αγ} 

∂ϕ β + { ε αβ}{ δ εγ} − { ε αγ}{ δ εγ} (2.22) 

W przypadku przestrzeni o staªej krzywi¹nie speªnia on dodatkow¡ zale»no±¢ 

K αβγδ = b (g αγ g βδ − g αδ g βγ ) (2.23)


Rysunek 2.1: Baza wektorowa e α styczna do ukªadu k¡tów Eulera {ϕ α } 

gdzie K αβγδ = g δε K αβγ 

ε, patrz np. Eisenhart (1949). Ró»niczkuj¡c tensor metryczny 

(2.17)isymbolekoneksji(2.18), anast¦pniepodstawiaj¡cotrzymanewyra»eniaodpowiednio 

do (2.22) i (2.23) ªatwo mo»na pokaza¢, »e b = +1. St¡d wynika, »e przestrze« orientacji 

z tensorem metrycznym (2.17) tworzy przestrze« Riemanna o staªej, jednostkowej 

krzywi¹nie równej +1. 

2.3.2 Baza wektorowa styczna 

Mo»na zauwa»y¢ za Skalmierskim (1977), »e wektor pr¦dko±ci k¡towej, opisuj¡cy ruch 

bryªy sztywnej, mo»e by¢ rozªo»ony w bazie wektorowej stycznej do k¡tów Eulera, tzn. 

je±li ruch obrotowy bryªy sztywnej jest opisany zale»no±ci¡ ϕ α = ϕ α (t) wtedy wektor 

pr¦dko±ci k¡towej mo»na rozªo»y¢ na 

ω = ω 1 e 1 + ω 2 e 2 + ω 3 e 3 (2.24) 

gdzie1 

ω α = dϕα 

(2.25) 

dt 

natomiast 

⎧ 

⎨ e 1 = i 3 

e α = e 2 = cosϕ 1 i 1 + sinϕ 1 i 2 

(2.26) 

⎩ 

e 3 = sinϕ 1 sinϕ 2 i 1 − cosϕ 1 sinϕ 2 i 2 + cosϕ 2 i 3 

patrz rys.2.1. Zwi¡zek (2.24) mo»emy zapisa¢ równie» w postaci nast¦puj¡cej formy 

1Porównaj Schouten (1951), wzór (1α) str. 211.


ró»niczkowej 

dφ = dϕ 1 e 1 + dϕ 2 e 2 + dϕ 3 e 3 (2.27) 

gdzie innitezymalny wektor chwilowego obrotu dφ = ω dt jest niezmienniczy wzgl¦dem 

wyboru ukªadu wspóªrz¦dnych na O . O niezmienniczo±ci tej decyduje wektor pr¦dko±ci 

k¡towej 3 ω = ω (t). 

Powy»sze relacje oznaczaj¡, »e wektory e α okre±laj¡ baz¦ wektorow¡ styczn¡ do krzywoliniowego 

ukªadu wspóªrz¦dnych {ϕ }, a wi¦c rozpinaj¡ (generuj¡) one przestrze« wektorow¡ 

styczn¡ α V . Nie jest to oczywi±cie jedyny sposób okre±lenia przestrzeni wektorowej 

stycznej do 3 rozmaito±ci ró»niczkowej k¡tów Eulera. Inny sposób zdeniowania 

takiej przestrzeni zaproponowaª np. Blinowski2 (1994a,b). Zagadnienie deniowania 

bazy stycznej przypomina nieco problem wprowadzania ró»nego rodzaju metryk na rozmaito±ci 

ró»niczkowej k¡tów Eulera. Niemniej pomimo du»ych mo»liwo±ci jakie daje nam 

w tym zakresie geometria ró»niczkowa oddzielnym zagadnieniem pozostaje to na ile dany 

sposób zdeniowania przestrzeni wektorowej stycznej do k¡tów Eulera jest u»yteczny z 

punktu widzenia zastosowa«, np. w mechanice czy zyce materiaªów. 

Wykorzystuj¡c wektory bazy stycznej (2.26) mo»na pokaza¢, »e k¡towy tensor metryczny 

(2.17) oraz tensor alternacji (2.7) speªniaj¡ zale»no±ci 

g αβ = e α · e β (2.28) 

e αβγ = e α · (e β × e γ ) (2.29) 

W takim wypadku tensor caªkowitego obrotu jest okre±lony jako 

Q = Q ϕ3 Q ϕ2 Q (2.30) 

ϕ1 

gdzie ka»dy z obrotów wokóª kolejnego z k¡tów Eulera jest opisany nast¦puj¡cym tensorem 

obrotu 

Q ϕα = e α ⊗ e α + cos ϕ α (g − e α ⊗ e α ) − sin ϕ α e e α (2.31) 

ªatwo sprawdzi¢, »e wektory bazy przeciwnej do (2.26) s¡ okre±lone w nast¦puj¡cy sposób 

⎧ 

⎪⎨ 

e α = 

⎪⎩ 

e 1 = − sin ϕ1 cos ϕ 2 

i 

sin ϕ 2 1 + cos ϕ1 cos ϕ 2 

i 

sin ϕ 2 2 + i 3 

e 2 = cos ϕ 1 i 1 + sin ϕ 1 i 2 

(2.32) 

e 3 sin ϕ1 cos ϕ1 

= i 

sin ϕ 2 1 − i 

sin ϕ 2 2 

st¡dte»reprezentacjemieszaneorazkontrawariantnareprezentacjatensorapodstawowego 

s¡ okre±lone jako 

β 

g α = e α · e (2.33) 

β 

g αβ = e α · e (2.34) 

2 β Blinowski zdeniowaª przestrze« wektorow¡ styczn¡ za pomoc¡ nast¦puj¡cej formy ró»niczkowej 

gdzie 

dQ = dϕ 1 G 1 + dϕ 2 G 2 + dϕ 3 G 3 

G α 

df 

= 

∂Q 

∂ϕ α 

Wtejdenicjitensoryobrotus¡traktowanejakoelementyprzestrzeniliniowej(dziewi¦ciowymiarowewektory). 

Ze sposobu zdeniowania wektorów bazowych G α wynika automatycznie, »e wektory te generuj¡ 

symetryczn¡, riemannowsk¡ koneksj¦ na rozmaito±ci k¡tów Eulera, porównaj (2.16). Warto tu zauwa»y¢, 

»e nie istnieje analogiczna denicja wektorów (2.26), np. e α = dφ α, dϕ 

gdzie φ byªoby trójwymiarowym 

wektorem obrotu okre±lonym w podobny sposób jak e α w (2.26), czy Q w (2.30) i (2.31).


2.3.3 Niesymetryczne koneksje 

Niezale»nie od zorientowanej przestrzeni Riemanna jak¡ mo»emy zbudowa¢ na rozmaito±ci 

ró»niczkowej k¡tów Eulera mo»emy równie» zdeniowa¢ na tej rozmaito±ci dodatkow¡, 

niesymetryczn¡ koneksj¦ zapewniaj¡c¡ tzw. teleparalelizm. W tym celu, wykorzystuj¡c 

przestrze« wektorow¡ styczn¡ V , mo»emy zdeniowa¢ nast¦puj¡ce symbole koneksji 

3 

α df ∂e β 

Γ βγ = 

∂ϕ · (2.35) 

γ eα 

df ∂e β 

Γ βγα = 

∂ϕ · e γ α (2.36) 

gdzie wektory e i α e β speªniaj¡ (2.3), porównaj np. Eisenhart (1927), Eringen (1971), 

Dªu»ewski (1993). Z praktycznego punktu widzenia w/w symbole koneksji mo»emy 

traktowa¢ jako reprezentacje wektorów Γ αβ ∈ V . W przypadku k¡tów Eulera otrzymujemy 

nast¦puj¡cy ukªad wektorów koneksji 

3 

⎡ 

Γ αβ = ⎣ 

0 0 0 

− sin ϕ 1 i 1 + cos ϕ 1 i 2 0 0 

cos ϕ 1 sin ϕ 2 i 1 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 i 2 sin ϕ 1 cos ϕ 2 i 1 − cos ϕ 1 cos ϕ 2 i 2 − sin ϕ 2 i 3 0 

(2.37) 

Z punktu widzenia przestrzeni V powy»sze wektory koneksji speªniaj¡ liniowe prawa 

transformacji, tzn. wprowadzaj¡c 3 zamiast ukªadu wektorów bazowych {i k } ukªad {i k ′} 

otrzymujemy dla skªadowych 

Γ αβk ′ = A k k ′ Γ αβk (2.38) 

gdzie 

i k ′ = A k k ′ i k (2.39) 

Γ αβk = Γ αβ · e k (2.40) 

Γ αβk ′ = Γ αβ · e k ′ (2.41) 

Obserwuj¡c jednak transformacj¦ wektorów Γ αβ wywoªan¡ zmian¡ ukªadu wspóªrz¦dnych 

k¡towych {ϕ α } mo»na zauwa»y¢, »e w przeciwie«stwie do transformacji wektorów bazy 

stycznej 

e α ′ = A α α ′ e α (2.42) 

otrzymujemy 

Γ α ′ β ′ ≠ A α ′α A β β ′ Γ αβ (2.43) 

gdzie 

A α α ′ = ∂ϕα 

(2.44) 

∂ϕ 

Oznacza to, »e z punktu widzenia analizy tensorowej α′ prowadzonej wyª¡cznie na roz- 

γ 

maito±ci ró»niczkowej (tzn. na reprezentacjach tensorów) reprezentacje Γ αβγ i Γ αβ nie 

mog¡ by¢ traktowane jako tensory, ale jedynie jako pewne symbole zwane symbolami 

koneksji. Dlak¡tówEuleraniezerowesymbolekoneksjis¡okre±lonewnast¦puj¡cysposób: 

1 

Γ 21 

3 

Γ 21 

2 

Γ 31 

1 

Γ 32 

3 

Γ 32 

= ctg ϕ 2 

= − 1 Γ 

sin ϕ 2 213 = − sin ϕ 2 

= sin ϕ 2 Γ 312 = sin ϕ 2 

= − 1 Γ 

sin ϕ 2 321 = − sin ϕ 2 

= ctg ϕ 2 (2.45) 

⎤ 

⎦


pozostaªe symbole koneksji s¡ równe zeru, porównaj np. Bunge (1982), Morawiec 

(1990). Podobniejakireprezentacjetensorów, symbolekoneksjipodlegaj¡±ci±leokre±lonym 

prawom transformacji. Šatwo pokaza¢, »e symbole wprowadzone wzorami (2.45) speªniaj¡ 

te ogólnie znane prawa transformacji dla symboli koneksji. Warto zauwa»y¢, »e powy»sze 

symbole s¡ niesymetryczne, tzn. »e Γ αβγ ≠ Γ βα 

γ. Mo»na równie» pokaza¢, »e u»ywaj¡c 

tych symboli otrzymujemy zerowy tensor krzywizny RiemannaChristoela, którego 

reprezentacja speªnia zale»no±¢ analogiczn¡ do (2.22), tzn. 

δ 

R df αβγ = 

∂ 

∂ϕ Γ γ αβ δ − ∂ 

∂ϕ Γ β αγ δ + Γ ε αβ Γ δ εγ − Γ ε δ 

αγ Γ εγ (2.46) 

Zwi¡zki pomi¦dzy tensorami Riemanna-Christoela K i R s¡ ogólnie znane, patrz np. 

(4.4.11) w Eringen (1971). Warto tu zaznaczy¢, »e zerowanie si¦ tensora R nie oznacza 

bynajmniej, »e przestrze« orientacji jest pªaska (taki wniosek byªby natomiast 

prawdziwy w przypadku K = 0). Oznacza natomiast, »e stosuj¡c symbole Γ okre±lamy 

jednoznacznie przesuni¦cie równolegªe wektorów swobodnych na O , tzw. teleparalelizm. 

Ko«cz¡c dyskusj¦ istotnych dla nas wªasno±ci przestrzeni 3 O warto jeszcze wspomnie¢ o 

tensorze skr¦cenia przestrzeni 3 O (torsion tensor), 

3 

γ 

Ω df αβ = 1 2 (Γ αβ γ − Γ γ βα ) (2.47) 

porównaj np. Eisenhart (1927), Eringen (1971). Dla ukªadu k¡tów Eulera otrzymujemy 

nast¦puj¡ce, niezerowe skªadowe 

1 

ctg ϕ2 

= −Ω 21 = − 

2 

3 

= −Ω 21 = − 1 

2 sin ϕ 2 

2 

= −Ω 31 = − sin ϕ 2 

1 

= −Ω 32 = − 1 

2 sin ϕ 2 

3 

= −Ω 32 = −ctg ϕ 2 

sin ϕ2 

Ω 123 = −Ω 213 = 

2 

sin ϕ2 

Ω 312 = −Ω 132 = 

2 

Ω 231 = −Ω 321 = 

1 

Ω 12 

3 

Ω 12 

2 

Ω 13 

1 

Ω 23 

3 

Ω 23 

sin ϕ2 

2 

Zauwa»my, »e w reprezentacji kowariantnej skªadowe Ω przyjmuj¡ warto±ci: 

• dla wska¹ników tworz¡cych permutacj¦ dodatni¡: 

sin ϕ 2 

2 

= √ g αβ 

2 

, 

(2.48) 

− 

• dla ujemnej permutacji wska¹ników: √ g αβ 

, 

2 

• a dla pozostaªych równ¡ zeru. 

Ze wzgl¦du na ujemn¡ (!) orientacj¦ bazy wektorowej stycznej do ukªadu k¡tów Eulera 

oznacza to, »e tensor skr¦cenia przestrzeni O jest równy 

3 

Ω = − 1 2 e (2.49) 

porównaj (1δ) str. 211 Schouten (1951). W zasadzie wynik ten nie powinien by¢ dla 

nas szczególnym zaskoczeniem, gdy» przestrze« O jest przestrzeni¡ o staªej krzywi¹nie, a 

wi¦c mo»na byªo si¦ spodziewa¢, »e tensor trzeciego 3 rz¦du Ω jest tensorem izotropowym. 

Fakt ten potwierdzili±my jedynie na piechot¦ wykonuj¡c rachunki dla jego odpowiednich 

skªadowych. W dalszej cz¦±ci pracy tensor ten zostanie wykorzystany do udowodnienia 

zwi¡zków (3.71) - (3.75) (str. 98).


2.3.4 Pochodne kowariantne po zmianie orientacji 

W mechanice kontinuum pochodne kowariantne po zmianie orientacji maj¡ gªównie zastosowanie 

do opisu ewolucji tekstur, porównaj np. Morawiec (1990), Dªu»ewski 

(1991), Gambin (1991). W takim wypadku zakªada si¦, »e w danym punkcie kontinuum 

x ∈ E znajduje si¦ caªy rozkªad orientacji cz¡stek kontinuum, porównaj równie» 

3 

Ziabicki (1990). W niniejszej pracy uwaga jest skupiona na prostszym przypadku, w 

którym uwzgl¦dnia si¦ tylko jedn¡ orientacj¦ w punkcie x. Przypadek ten dotyczy: o±rodków 

Cosserat, teorii dyslokacji, o±rodków mikromorcznych itp., jakkolwiek mo»e on by¢ 

równie» traktowany jako punkt wyj±cia do poprawnego sformuªowania matematycznych 

podstaw opisu procesu ewolucji tekstur. St¡d te» rozwa»ania na temat pochodnych po 

zmianie orientacji mogliby±my pomin¡¢, jednak ze wzgl¦du na wa»no±¢ tego typu obiektów 

dla zrozumienia wªasno±ci geometrycznych przestrzeni orientacji rozwa»ania na ten 

temat zostaªy tu uwzgl¦dnione. 

Poprzednio pokazali±my, »e na przestrzeni orientacji mo»emy zdeniowa¢ symbole 

koneksji w ró»ny sposób. St¡d te» mo»na ró»nie zdeniowa¢ pochodn¡ kowariantn¡. 

Šatwo np. pokaza¢, »e z punktu widzenia analizy tensorowej oba, nast¦puj¡ce obiekty 

o wzajemnie ró»nych skªadowych 

ω α df 

;β = ∂ωα 

∂ϕ + β ωγ { γβ} (2.50) 

α 

ω α df 

,β = ∂ωα 

∂ϕ + β ωγ α 

Γ γβ (2.51) 

transformuj¡ si¦ kowariantnie ze wzgl¦du na wska¹nik β. Z zycznego punktu widzenia 

sens pochodnej kowariantnej ma dla nas tylko pochodna ω ,β. Aby to pokaza¢ przedyskutujmy 

sens zyczny pochodnej kowariantnej wektora pr¦dko±ci α k¡towej. Dla ustalenia 

uwagizaªó»mynp., »eewolucjateksturywjednofazowympolikrysztalejestopisanarozkªadem 

pr¦dko±ci k¡towej 

ω = ω (ϕ, t) (2.52) 

gdzie ϕ ∈ O . Pochodn¡ kowariantn¡ tego wektora zdeniujmy jako 

3 

df ∂ω 

ω ,β = (2.53) 

∂ϕ β 

Równie» i w tym wypadku ªatwo dowie±¢, »e powy»szy obiekt transformuje si¦ kowariantnie 

ze wzgl¦du na zmian¦ wspóªrz¦dnej ϕ . Wektor β ω nale»y do przestrzeni wektorowej 

stycznej do przestrzeni orientacji dlatego te», aby go poprawnie zró»niczkowa¢ musimy 

zró»niczkowa¢ nie tylko jego reprezentacj¦, ale równie» baz¦, w której ta reprezentacja 

zostaªa zapisana. W takim wypadku otrzymujemy 

ω ,β = ∂(ωγ e γ ) 

∂ϕ β 

natomiast rozkªadaj¡c ω w kobazie e γ otrzymujemy 

ω ,β = ∂(ω γe γ ) 

∂ϕ β 

= ∂ωγ 

∂ϕ β e γ + ω γ ∂e γ 

∂ϕ β (2.54) 

= ∂ω γ 

∂ϕ β eγ + ω γ 

∂e γ 

∂ϕ β (2.55)


Traktuj¡c ω ,β jako wektor z przestrzeni wektorowej stycznej policzmy jego skªadowe 

ω α df 

,β = ω ,β · e (2.56) 

α 

df 

ω α,β = ω ,β · e α (2.57) 

Podstawiaj¡c zwi¡zki (2.54) i (2.55) otrzymujemy 

ω α ,β = ∂ωγ 

∂ϕ β gα γ + ω γ ∂e γ 

∂ϕ · (2.58) 

β eα 

ω α,β = ∂ω γ ∂e γ 

∂ϕ β gγ α + ω γ 

∂ϕ · e β α (2.59) 

Ostatni iloczyn skalarny w (2.58) to nic innego jak symbol niesymetrycznej koneksji Γ γβ 

α. 

Ró»niczkuj¡c z kolei iloczyn skalarny e γ · e α α 

= δ γ po dϕ ªatwo równie» dowie±¢, »e 

ostatni iloczyn skalarny w (2.59) to nic innego jak β −Γ αβ 

γ. St¡d te» równania (2.58) i 

(2.59) mog¡ by¢ zapisane w nast¦puj¡cej, dobrze znanej formie 

ω α ,β = ∂ωα 

∂ϕ + β ωγ α 

Γ γβ (2.60) 

ω α,β = ∂ω α 

∂ϕ − ω γ 

γΓ β αβ (2.61) 

Poniewa» celem naszym nie jest stosowanie jakiej± abstrakcyjnej geometrii, ale poprawne 

ró»niczkowanie wektorów i tensorów (uwzgl¦dniaj¡ce ró»niczkowanie zmiennych baz wektorowych), 

tote» w niniejszej pracy zamiast symboli Christoela u»ywa¢ b¦dziemy symboli 

koneksji Γ zapewniaj¡cych taki wªa±nie sposób kowariantnego ró»niczkowania, porównaj 

denicje (2.16) i (2.18). 

Druga pochodna kowariantna po zmianie orientacji Zgodnie z przyj¦t¡ przez nas 

metod¡ okre±lania pochodnej kowariantnej, pod poj¦ciem drugiej pochodnej kowariantnej 

wektora ω rozumie¢ b¦dziemy nast¦puj¡cy obiekt 

ω ,αβ 

df 

= 

∂ 2 ω 

∂ϕ α ∂ϕ = ∂2 (ω γ e γ ) 

(2.62) 

β ∂ϕ α ∂ϕ β 

st¡d, ze wzgl¦du na mo»liwo±¢ swobodnego przesuwania wektorów na O (teleparalelizm), 

otrzymujemy natychmiast 

3 ω γ ,αβ = ω γ ,βα (2.63) 

gdzie reprezentacje kontrawariantne drugiej pochodnej wektora ω mog¡ by¢ okre±lone w 

analogiczny sposób jak reprezentacje pierwszej pochodnej, porównaj (2.53)-(2.60). 

Warto tu mo»e wspomnie¢ o innej pochodnej kowariantnej generowanej za pomoc¡ 

symboli Christoela (2.18). Stosowanie ró»niczkowania kowariantnego opartego na symbolach 

koneksji riemannowskiej prowadzi natomiast do nast¦puj¡cej zale»no±ci 

ω γ ;αβ = ω γ ;βα + K γ αβδ ω (2.64) 

δ 

porównaj (2.22). Niekiedy, wykorzystuj¡c ten zwi¡zek, bª¦dnie si¦ sugeruje, »e w wypadku 

stosowania zakrzywionych przestrzeni Riemanna, warunki zgodno±ci dla zorientowanego 

kontinuum nie mog¡ by¢ speªnione, porównaj np. compatibility condition w Marsden i 

Hughes (1983) oraz nasz warunek zgodno±ci obrotów zapisany w dwóch równowa»nych 

formach (3.70) i (3.71), str. 40.


2.4 Przestrze« poªo»e« (E 3 ) 

W niniejszej pracy do opisu poªo»enia i ruchu zorientowanego kontinuum b¦dziemy wykorzystywa¢przestrze«poªo»e«okre±lon¡jakotrójwymiarowazorientowanapunktowaprzestrze« 

euklidesowa. 

2.4.1 Pochodna kowariantna po zmianie poªo»enia 

Poprzednio dyskutowany byª przypadek pochodnej kowariantnej wektora po zmianie orientacji, 

porównaj (2.24), (2.52). Tego typu pochodne wyst¦puj¡ cz¦sto przy analizie 

tekstur. 

W przypadku zorientowanego kontinuum mamy jednak nieco inn¡ sytuacj¦. Wtedy 

na ogóª orientacja cz¡stki nie zale»y od jej poªo»enia w przestrzeni orientacji, ale zale»y 

od jej poªo»enia w przestrzeni E . W takim wypadku, zamiast (2.52), wektor pr¦dko±ci 

k¡towej jest opisany zale»no±ci¡ 

3 ω = ω (x, t) (2.65) 

gdzie x ∈ E . Zupeªnie analogicznie do wyprowadzenia (2.53)-(2.61) otrzymujemy 

3 

ω ,k = ∂(ωα e α ) 

= ω α ,ke 

∂x k α = ω α,k e (2.66) 

α 

gdzie 

ω α ,k = ∂ωα 

∂x + k ωβ α 

Γ βk (2.67) 

ω α,k = ∂ωα 

∂x − ω β 

βΓ k αk (2.68) 

natomiast odpowiednie symbole koneksji s¡ okre±lone jako 

α df ∂e β ∂ϕ γ 

Γ βk = 

∂ϕ γ ∂x · (2.69) 

k eα 

df ∂e β ∂ϕ γ 

Γ βkα = 

∂ϕ γ ∂x · e k α (2.70) 

Z punktu widzenia klasycznej terminologii, porównaj np. Truesdell i Toupin (1960), 

mogliby±my powiedzie¢, »e powy»sze symbole koneksji s¡ symbolami dwupunktowymi. 

Dla porz¡dku warto tu mo»e wspomnie¢ o tym, »e je±li wektor pr¦dko±ci k¡towej ω 

rozªo»ymy w sposób klasyczny w bazie e k stycznej do {x k } wtedy otrzymamy klasyczne, 

dobrze znane zale»no±ci 

ω l df 

,k = ∂ωl 

∂x + k ωm l 

Γ mk (2.71) 

df ∂ω l 

ω l,k = 

∂x − ω m 

mΓ k lk (2.72) 

gdzie 

df ∂r 

e l = (2.73) 

∂x 

co prowadzi natychmiast do 

k Γ m kl = Γ m lk = { kl m } (2.74) 

porównaj x i r na rys.2.2.


Rysunek 2.2: Rozkªad wektora r w bazie stycznej do ukªad wsp. {x k } w punkcie 

x(x 1 , ..., x n ) 

2.4.2 Ró»niczkowanie zmian poªo»enia 

Wracaj¡c do kwestii ró»niczkowania zmian poªo»enia cz¡stek warto podkre±li¢, »e w 

klasycznym podej±ciu x oznacza poªo»enie cz¡stki (punktu), natomiast x nie oznacza 

k-tej skªadowej wektora x, ale wspóªrz¦dne k x w krzywoliniowym ukªadzie wspóªrz¦dnych 

w przestrzeni poªo»e«. Jakkolwiek, mo»emy równie» okre±li¢ poªo»enie punktu x, 

za pomoc¡ wektora r ª¡cz¡cego punkt x z wybranym pocz¡tkiem ortonormalnego ukªadu 

wspóªrz¦dnych {z k }. Z teoretycznego punktu widzenia wektor r mo»emy przedstawi¢ w 

bazie wektorowej stycznej do E w punkcie x. W takim wypadku je±li mapa 3 x = x(X, t) 

lub równowa»nie funkcja wektorowa r = r(X, t) opisuje ruch zwykªego kontinuum to 

odpowiadaj¡cy temu ruchowi gradient deformacji 

F = F k K e k ⊗ E (2.75) 

K 

mo»e by¢ zdeniowany dwojako; np. poprzez zdeniowanie jego reprezentacji jako 

lub równowa»nie jako, patrz rys.2.2, 

F k K 

df 

= ∂xk 

(2.76) 

∂X K 

F k df 

K = ∂rk 

∂X + K rm k 

Γ mK (2.77) 

k 

gdzie Γ mK s¡ dwupunktowymi symbolami koneksji speªniaj¡cymi zwi¡zek 

k 

Γ df mK = 

∂xl 

∂X Γ K ml (2.78) 

k 

k 

gdzie z kolei Γ lm s¡ klasycznymi symbolami Christoela dla ukªadu wspóªrz¦dnych {x }, 

porównaj (2.73), (2.16) i wyprowadzenie (2.60) (str. 22). 

k


Innymi sªowy zgodnie z przyj¦t¡ konwencj¡ mo»emy napisa¢ 

F k K = x k ,K = r k ,K (2.79) 

pomimo, »e 

x k ≠ r k (2.80) 

porównaj rys.(2.2). Ostatnie równanie ma równie» swój odpowiednik w zapisie absolutnym, 

tzn. 

x ,K = r ,K (2.81) 

gdzie 

x ,K 

df 

= x 

k 

,K e k (2.82) 

r ,K 

df 

= r 

k 

,K e k (2.83) 

Tak wi¦c x ,K , r ,K ∈ V 3 , podczas gdy x k , r k ∈ V 3 (V 3 - ciaªo liczb). St¡d te», o ile mo»emy 

napisa¢ ogólnie (2.80) o tyle nast¦puj¡cy zapis 

x ≠ r (2.84) 

nie ma sensu bo x ∈ E , a 3 r ∈ V . Warto tu jednak doda¢, »e interpretacja gradientu 

deformacji jako pochodnej kowariantnej 3 wektora nie jest ogólnie poprawna, a cz¦sto 

spotykane deniowanie wektorów bazy stycznej za pomoc¡ zale»no±ci typu 

lub analogicznie 

e l 

df? 

= ∂x 

∂x k (2.85) 

df? 

e α = ∂ϕ 

(2.86) 

∂ϕ 

mo»e prowadzi¢ do nonsensownych rezultatów, np. α podstawiaj¡c (2.86) do (2.35) mo»na 

by doj±¢ do bª¦dnego wniosku, »e Γ γ αβ = Γ βα 

γ. Nonsensowno±¢ ta wynika np. z faktu, »e 

ϕ i x nie s¡ wektorami, ale punktami na rozmaito±ciach o wspóªrz¦dnych krzywoliniowych 

ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ i 3 x 1 , x 2 , x ; porównaj zale»no±¢ (2.77) i rys.2.2. 

3 

2.5 Operatory pola tensorowego 

W ostatnim podrozdziale zdeniowali±my pochodne kowariantne wektorów z przestrzeni 

wektorowej stycznej do zorientowanych rozmaito±ci riemannowskiej, porównaj np. (2.66). 

Zupeªnie analogicznie mo»na okre±li¢ pochodne kowariantne pola tensorowego 

t = t(x, t) (2.87) 

St¡d te» w wypadku tensora drugiego rz¦du mo»emy napisa¢ nast¦puj¡c¡ relacj¦ 

t ,k = ∂(tij e i ⊗ e j ) 

(2.88) 

∂x k 

= ∂tij 

∂x e k i ⊗ e j + t ij ∂e i 

∂x ⊗ e k j + t ij e i ⊗ ∂e j 

(2.89) 

[( ) ] 

∂x k [( ) ] 

= ∂tij 

∂x e k i ⊗ e j + t ij ∂ei 

∂x · k em e m ⊗ e j + t ij ∂ej 

e i ⊗ 

∂x · k em · e m (2.90) 

= t ij ,ke i ⊗ e j (2.91)


gdzie jak ªatwo zauwa»y¢ reprezentacja t ij ,k tensora t ,k jest okre±lona nast¦puj¡cym równaniem 

t ij ,k = ∂tij 

∂x + k tlj Γ i lk + t im j 

Γ mk (2.92) 

porównaj (2.58), (2.60) i (2.35). 

Tak okre±lon¡ pochodn¡ kowariantn¡ wykorzystywa¢ b¦dziemy do deniowania operatorów 

pola takich jak dywergencja, wirowo±¢ i gradient. W naszym wypadku je±li t 

b¦dzie tensorem z przestrzeni b¦d¡cej n-t¡ pot¦g¡ tensorow¡ trójwymiarowej przestrzeni 

wektorowej V , 3 x b¦dzie punktem na trójwymiarowej zorientowanej rozmaito±ci riemannowskiej, 

a t liczb¡ rzeczywist¡ zwan¡ czasem, to pod poj¦ciem gradientu, wirowo±ci i 

dywergencji pola tensorowego (2.87) b¦dziemy rozumie¢ odpowiednio 

df 

grad t = t ,k ⊗ e (2.93) 

k 

df 

curl t = t ,k × e (2.94) 

k 

df 

div t = t ,k · e (2.95) 

k 

co oznacza, »e 

div t 

⊗n−1 

∈ V 

3 

(2.96) 

t, t ,k , curl t 

n⊗ 

∈ V 

3 

(2.97) 

grad t 

⊗n+1 

∈ V 

3 

(2.98) 

St¡d te», w odró»nieniu od klasycznych denicji w naszym wypadku: 

1. operator curl jest zdeniowany dla funkcji tensorowej o dowolnej walencji i wyra»enie 

curl t jest traktowane jako tensor o tej samej walencji co t, porównaj denicje 

operatorów rot i curl w Eringen (1971); 

2. pochodna kowariantna tensora t jest traktowana jako tensor o tej samej walencji co 

t, a nie jako tensor o walencji n + 1. 

Ostatnia uwaga ma znaczenie nie tylko formalne, gdy» to czy pochodna kowariantna 

wektora jest wektorem czy tensorem drugiego rz¦du decyduje praktycznie o sposobie dalszego 

kowariantnego ró»niczkowania. Na ogóª zagadnieniu temu nie po±wi¦ca si¦ wiele 

uwagi myl¡c niekiedy pochodn¡ kowariantn¡ z gradientem wektora. Rachunkowe ró»nice 

w sposobie kowariantnego ró»niczkowania pochodnej kowariantnej wektora i gradientu 

wektora zostaªy pokazana w tablicy 2.1 (str. 28). 

W wielu pracach mo»na spotka¢ si¦ z nieco inn¡ terminologi¡ traktuj¡c¡ pochodn¡ z 

gradientu jako tzw. pochodn¡ kowariantn¡ caªkowit¡, a pochodn¡ kowariantn¡ z pochodnej 

kowariantnej jako np. cz¡stkow¡ pochodn¡ kowariantn¡ z gradientu, porównaj np. 

Ericksen (1960). W naszym wypadku umówili±my si¦, »e rezultat ró»niczkowania zale»y 

od tego, w stosunku do jakiego obiektu ró»niczkowanie kowariantne zostaªo zastosowane. 

Tak wi¦c zgodnie z przyj¦t¡ konwencj¡ ω α ,βγ oznacza kontrawariantn¡ reprezentacj¦ 

drugiej pochodnej kowariantnej wektora, podczas gdy ω α ,β,γ oznacza reprezentacj¦


mieszan¡pochodnejkowariantnejzgradientuoreprezentacji ω ,β, porównajwzorywykonawcze 

na liczenie obu pochodnych tablica 2.1. Oczywi±cie, α ze wzgl¦du na cz¦sto spotykane 

zerowe skrzywienie (torsion) rozmaito±ci ró»niczkowych czªony, o których tu mowa 

s¡ na ogóª równe zeru. Niemniej zdarzaj¡ si¦ wyj¡tki, porównaj np. dowód (3.71) (str. 

98), a wtedy te subtelne ró»nice staj¡ si¦ bardzo istotne i praktycznie decyduj¡ o tym 

czy jeste±my wtedy w stanie posªu»y¢ si¦ krzywoliniowym ukªadem wspóªrz¦dnych na 

skr¦conej przestrzeni. 

W dalszej cz¦±ci pracy ruch ciaªa b¦dziemy opisywa¢ z wykorzystaniem konguracji 

porównawczej. Wtedy ruch ten b¦dzie opisany za pomoc¡ odwzorowania 

x = x(X, t) (2.99) 

porównaj rys.2.2. St¡d te» b¦dziemy równie» wykorzystywa¢ ró»niczkowanie pola tensorowego 

t = t(x(X, t), t) (2.100) 

Dla odró»nienia operatorów pola po zmianie poªo»enia dx i dX, b¦dziemy stosowa¢ 

nast¦puj¡ce oznaczenia 

df 

grad t = t ,K ⊗ E (2.101) 

K 

df 

curl t = t ,K × E (2.102) 

K 

df 

div t = t ,K · E (2.103) 

K 

gdzie pochodna kowariantna po dX jest traktowana jako pochodna cz¡stkowa z funkcji 

zªo»onej (2.100), tzn. 

∂t(x(X, t), t) 

t ,K = (2.104) 

∂X 

wektory K {E K } stanowi¡ natomiast baz¦ dualn¡ w stosunku do bazy wektorowej {E K } 

stycznej do ukªadu wspóªrz¦dnych w punkcie X. W analizie matematycznej funkcje (2.87) 

i (2.100) oznaczane s¡ zwykle innymi symbolami. W takim wypadku nie ma specjalnej 

potrzeby wprowadzania dwóch ró»nych oznacze« operatorów, tzn. pisanych maªymi i 

du»ymi literami. W niniejszej pracy przyjmujemy natomiast inn¡ konwencj¦ polegaj¡c¡ 

na oznaczaniu tych funkcji tym samym symbolem, kosztem wprowadzenia dwóch ró»nych 

oznacze« dla operatorów pola tensorowego. 

Na zako«czenie naszych rozwa»a« na temat operatorów pola tensorowego zauwa»my, 

»e w/w operatory s¡ zwi¡zane ze sob¡ nast¦puj¡cymi przeksztaªceniami to»samo±ciowymi 

grad t = grad t F (2.105) 

curl t = curl (tF −1 )F −T det F (2.106) 

div t = div (tF T det F −1 ) det F (2.107) 

gdzie F = 

∂X. W mechanice kontinuum zwi¡zek (2.107) jest cz¦sto nazywany to»samo±ci¡ 

Piola. 

∂x


Pochodna kowariantna a 

z pochodnej kowariant- z gradientu wektora: z gradientu mapy : 

tnej wektora: 

b 

v,l = v k ,lek grad v = v k ,lek ⊗ e l F = x k ,l ′e k ⊗ e l′ 

Koneksja 

v(x) : M ∋ x → v ∈ V F(x) : M ′ ∋ x ′ → x ∈ M 

stosowana v k ,lm = v k ,lm v k ,l,m = v k ,l,m − 2v k ,nΩlm n x k ,l ′ ,m ′ = xk ,m ′ ,l ′ − 2xi ,l ′xj ,n ′Ω ij n − 2x k ,n ′Ω′ n ′ 

l ′ m 

w pracy 

′ 

Koneksja 

riemannowska 

′ 

v k ,lm = v k ,lm + v n Rnlm k v k ,l,m = v k ,l,m + v n Rnlm k x k ,l ′ ,m ′ = xk ,m ′ ,l 

Koneksja 

euklidesowa 

′ 

v k ,lm = v k ,lm v k ,l,m = v k ,l,m x k ,l ′ ,m ′ = xk ,m ′ ,l 

Koneksja 

aniczna v k ,lm = v k ,lm + v n Rnlm k v k ,l,m = v k ,l,m + v n Rnlm k − 2v k ,nΩlm n x k ,l ′ ,m ′ = xk ,m ′ ,l ′ − 2xi ,l ′xj ,n ′Ω ij n − 2x k ,n ′Ω′ n ′ 

l ′ m ′ 

a 

M, M rozmaito±ci ró»niczkowe, 

′ 

V przestrze« wektorowa styczna do M i M , 

′ 

Ω tensor skrzywienia rozmaito±ci M, porównaj (2.47), 

Ω tensor skrzywienia rozmaito±ci ′ M , 

′ 

R - tensor zakrzywienia rozmaito±ci M, porównaj (2.22). 

bPorównaj np. wyprowadzenie zale»no±ci (3.71), str. 98. 

Tablica 2.1: Porównanie symetrii drugich pochodnych kowariantnych dla ró»nych typów koneksji.

Rozdziaª 3 

Kinematyka zorientowanego kontinuum 

Wteoriirówna«konstytutywnychmatematycznyopiskinematykiruchukontinuumodgrywa 

podstawow¡ rol¦, gdy» to jakie zostan¡ przyj¦te stopnie swobody ruchu kontinuum, 

decyduje pó¹niej o rozkªadzie siª wykonuj¡cych prac¦ na zaªo»onych stopniach swobody. 

W konsekwencji prowadzi to do konieczno±ci postawienia takiej ilo±ci równa« konstytutywnych, 

która pozwoli na jednoznaczne modelowanie procesów o zadanej kinematyce 

ruchu. W mechanice kontinuum nie zawsze po±wi¦ca si¦ temu zagadnieniu dostatecznie 

du»o uwagi. Mo»na poda¢ wiele przykªadów, gdzie w ramach klasycznych zaªo»e« dotycz¡cych 

kinematyki ruchu i praw bilansu próbuje si¦ doda¢ ad hoc ró»ne zwi¡zki konstytutywne 

dotycz¡ce np. spinu plastycznego, zale»no±ci energii od gradientów odksztaªce« 

itp. W niniejszej pracy przyj¦to zaªo»enie, »e sam opis zmian konguracji ciaªa obejmuje 

nie tylko okre±lenie pola przemieszcze«, ale wymaga okre±lenia dodatkowego pola 

pola obrotu cz¡stek kontinuum. Ma to swoje konsekwencje m. in. w konieczno±ci 

uwzgl¦dnienia dodatkowych miar deformacji i skoniugowanych z nimi miar siª termodynamicznych. 

Wbrew powszechnej opinii wcale nie musi to prowadzi¢ do teorii o±rodków 

Cosserat (tzn. teorii napr¦»e« momentowych). Termodynamiczne szczegóªy tego zagadnienia 

b¦d¡ omawiane w rozdziale 5, natomiast obecny rozdziaª jest po±wi¦cony ogólnym, 

matematycznym podstawom opisu kinematyki o±rodka, w którym dopuszcza si¦ istnienie 

obrotu cz¡stek kontinuum. Oczywi±cie to na ile w danej teorii obrót ten jest niezale»ny 

od pola przemieszcze« pozostawiamy tu spraw¡ otwart¡. O tym decyduj¡ podstawowe 

równania konkretnej teorii zorientowanego kontinuum, porównaj np. równanie (4.45) w 

kontynualnej teorii dyslokacji (str. 59). 

3.1 Ruch zorientowanego kontinuum 

W klasycznym podej±ciu do opisu ruchu kontinuum wykorzystuje si¦ przestrze« euklidesow¡. 

Brakwyró»nienialewoiprawoskr¦tnychbazwektorowychwprzestrzenieuklidesowej 

powoduje, »e na tego typu strukturze algebraicznej nie mo»na zdeniowa¢ iloczynu wektorowego 

jako dziaªania wewn¦trznego, w wyniku którego otrzymujemy wektor. Problem 

ten wynika z konieczno±ci u»ycia orientacji bazy wektorowej do poprawnego zdeniowania 

iloczynu wektorowego. Podobne problemy powstaj¡ z deniowaniem tensora alternacji, 

zwanego równie» tensorem permutacji, porównaj np. Eringen (1971). Niektórzy autorzy 

pisz¡ wr¦cz jedynie o symbolach permutacji lub o uogólnionych deltach Kroneckera, 

co ma niejako podkre±la¢ nietensorowy charakter iloczynu wektorowego, porównaj np. 

29

ROZDZIAŠ 3. KINEMATYKA ZORIENTOWANEGO KONTINUUM 30 

Bowen i Wang (1976). Wi¡»e si¦ to ze zmian¡ znaku reprezentacji tensora alternacji 

wraz ze zmian¡ orientacji bazy wektorowej. Aby omin¡¢ ten problem, a jednocze±nie 

podkre±li¢zwi¡zektensorapermutacjizrachunkiemtensorowym, niektórzyautorzyutrzymuj¡, 

»e tensor permutacji nale»y jedynie do specycznej klasy tensorów, zwanych tensorami 

kartezja«skimi, które transformuj¡ si¦ zgodnie z prawami transformacji jedynie w 

przypadku obrotu ukªadu wspóªrz¦dnych, porównaj np. Synge i Schild (1949). 

Z punktu widzenia klasycznej mechaniki kontinuum to zamieszanie w algebrze tensorów 

nie ma wi¦kszego znaczenia. Nie pozwala ono na wprowadzenie operacji iloczynu 

wektorowegojakodziaªaniawewn¦trznego, wwynikuktóregootrzymujemywektor. Warto 

jednak zauwa»y¢, »e w wypadku klasycznego (symetrycznego) kontinuum iloczyn wektorowy 

jest niezb¦dny jedynie do sformuªowania globalnej postaci prawa zachowania 

momentu p¦du. St¡d te» w podr¦cznikach mechaniki kontinuum problem sformuªowania 

globalnej formy prawa bilansu momentu p¦du wi¡»e si¦ z konieczno±ci¡ dodatkowej 

dyskusji iloczynu wektorowego jako operacji, w wyniku której otrzymujemy obiekt wektorowy 

zwany momentem p¦du. Gwoli usprawiedliwienia warto tu jednak doda¢, »e w 

klasycznej mechanice kontinuum niekonsekwencja ta nie ma istotnego znaczenia (poza 

poprawno±ci¡ denicji iloczynu wektorowego), gdy» lokalna posta¢ prawa zachowania momentu 

p¦du prowadzi tam jedynie do warunku zerowania si¦ iloczynu wektorowego a 

wi¦c orientacja wektora o zerowej dªugo±ci nie ma »adnego znaczenia. 

W wypadku zorientowanego kontinuum musimy wielokrotnie wykorzystywa¢ iloczyn 

wektorowy na poziomie lokalnych równa« opisuj¡cych ruch i dynamik¦ zorientowanego 

kontinuum. W ten sposób otrzymywane wielko±ci wektorowe nie s¡ równe zeru! St¡d 

te» ich orientacja ma dla nas podstawowe znaczenie. W naszym wypadku, do opisu 

ruchu zorientowanego kontinuum b¦dziemy u»ywa¢ znacznie bardziej zªo»onej struktury 

geometrycznej ni» ma to miejsce w wypadku symetrycznego kontinuum. Nasza struktura 

geometryczna b¦dzie si¦ skªada¢ z: 

1. Trójwymiarowej zorientowanej punktowej przestrzeni euklidesowej nazywanej tu 

przestrzeni¡ poªo»e«. Opis istotnych dla nas wªasno±ci tej przestrzeni zostaª przedstawiony 

w podrozdziale 2.4. Oznacza¢ j¡ b¦dziemy przez E . 

3 

2. Trójwymiarowej zorientowanej przestrzeni Riemanna o krzywi¹nie równej jeden. 

Przestrze« ta wyposa»ona jest dodatkowo w niesymetryczne koneksje zapewniaj¡ce 

teleparalelizm, patrz podrozdziaª 2.3. Przestrze« t¡ nazywamy tu przestrzeni¡ 

orientacji cz¡stek zorientowanego kontinuum i oznaczamy jako O . 

3 

3. Trójwymiarowejzorientowanejprzestrzeniwektorowejstycznejdo E i 3 O . Przestrze« 

t¡oznacza¢b¦dziemyjako 3 V . Szczegóªow¡dyskusj¦takokre±lonejprzestrzeniwektorowej 

przedstawiono w podrozdziale 3 2.1. 

Wartopodkre±li¢, »ewnaszymwypadkuterminy przestrze« wektorowa iprzestrze« liniowa 

nie s¡ wzajemnie równowa»ne. Ró»nice te s¡ istotne m. in. dla poprawnego zdeniowaniatensoraalternacji, 

bazywektorowejdualnejorazko-ikontrawariantnychreprezentacji 

wektorów i tensorów. Problemy te zostaªy cz¦±ciowo omówione w podrozdziale 2.1. 

Ze wzgl¦du na styczno±¢ V do 3 E i do 3 O tensor podstawowy 3 g ∈ V 3 ⊗ V mo»e by¢ 

rozªo»ony wzgl¦dem dowolnej bazy wektorowej stycznej do ukªadu wspóªrz¦dnych 3 na E 

lub 3 

O , np. tensor ten mo»e by¢ rozªo»ony na 

3 

g = g kl e k ⊗ e l = g αβ e α ⊗ e β = g KL e K ⊗ e L = g ΘΛ e Θ ⊗ e (3.1) 

Λ


Rysunek 3.1: Ukªady wspóªrz¦dnych na E 3 i O 3 (rysunek pogl¡dowy) 

gdzie e k , e α , e K , e Θ ∈ V tzn. bazy te nale»¡ do tej samej przestrzeni wektorowej, a 

reprezentacje 3 g kl , g αβ , g KL , g ΘΛ peªni¡rol¦tensorówmetrycznychodpowiedniowukªadach 

wspóªrz¦dnych {x }, k {X K } na E i 3 {ϕ }, α {Φ Θ } na O , patrz rys.3.1. Šatwo zauwa»y¢, »e 

styczno±¢ ta nie jest ograniczona do ±ci±le okre±lonych 3 punktów np. x ◦ na E i 3 ϕ ◦ na O , 

ale ma charakter globalny i zale»no±¢ (3.1) mo»e by¢ speªniona dla dowolnie wybranych 

3 

punktów na E i 3 O . Innymi sªowy zale»no±¢ ta oznacza, »e nie tylko teleparalelizm 

(distant parallelism) 3 jest okre±lony w E i 3 O , ale dodatkowy paralelizm (interspace 

parallelism) pomi¦dzy 3 E i 3 O jest równie» okre±lony jednoznacznie. 

3 

Obecne rozwa»ania zako«czymy kilkoma denicjami. Pierwsza z nich dotyczy¢ b¦dzie 

kontinuum. 

Denicja 3.1 Pod poj¦ciem kontinuum (ciaªa prostego) rozumie¢ b¦dziemy otwarty zbiór 

B w przestrzeni poªo»e« E (porównaj podrozdziaª 2.4). 

3 

Oczywi±cie nie jest to jedyny sposób deniowania kontinuum. W/w denicja zostaªa 

zaczerpni¦ta z monograi Marsden Hughes (1983), str. 25. 

Denicja 3.2 Pod poj¦ciem zorientowanego kontinuum rozumie¢ b¦dziemy takie kontinuum 

B, na którym zostaªa okre±lona nast¦puj¡ca ró»niczkowalna funkcja 

ϕ = ϕ B (x) (3.2) 

gdzie x ∈ B i ϕ ∈ O . Wielko±¢ 3 ϕ nazywa¢ b¦dziemy orientacj¡ cz¡stki zorientowanego 

kontinuum, lub krótko orientacj¡ cz¡stki.


Do zdeniowania deformacji zorientowanego kontinuum wykorzystamy klasyczne podej±cie 

oparte na koncepcji konguracji porównawczej. Jednak»e na to, aby dany zbiór 

otwarty B ◦ ⊂ E byª konguracj¡ porównawcz¡ zorientowanego kontinuum 3 B musimy 

okre±li¢ rozkªad orientacji na B ◦ . St¡d te» b¦dziemy zakªada¢, »e funkcja 

Φ = Φ(X) (3.3) 

gdzie Φ ∈ O , 3 X ∈ B ◦ , opisuje rozkªad orientacji cz¡stek w konguracji porównawczej 

B ◦ . 

Denicja 3.3 Pod poj¦ciem ruchu zorientowanego kontinuum B (wzgl¦dem nieruchomej 

konguracji porównawczej B ◦ ) rozumie¢ b¦dziemy dwa odwzorowania (mapy): 

x = x(X, t) (3.4) 

ϕ = ϕ(x, t) (3.5) 

gdzie x ∈ B, X ∈ B ◦ , ϕ ∈ O , 3 t ∈ R. Zakªadamy, »e oba powy»sze odwzorowania s¡ 

ró»niczkowalne, a (3.4) jest dodatkowo odwracalne ze wzgl¦du na x i X. 

Kinematyka pseudokontinuów Cosserat W teorii równa« konstytutywnych wyró»- 

nia si¦ klasy materiaªów zwane materiaªami pierwszego, drugiego i wy»szych stopni. Ta 

terminologia jest szczególnie stosowana w zakresie opisu tzw. hiperspr¦»ystych o±rodków, 

porównaj np. Truesdell i Noll (1965). Dotyczy ona stopni (rz¦dów) gradientów 

deformacji, które s¡ wykorzystywane do deniowania miar odksztaªce« materiaªu. 

Wi¦kszo±¢ modeli konstytutywnych wykorzystuje jedynie pierwszy gradient deformacji 

rozumiany jako pochodna pierwszego rz¦du z funkcji x(X, t) po zmianie poªo»enia X. 

Niekiedy, w literaturze mo»na znale¹¢ mylne sugestie, »e o±rodki zorientowane to materiaªy 

drugiego stopnia (second grade materials), porównaj np. Truesdell i Toupin 

(1960), gdzie jako przykªad pokazany jest model autorstwa Toupina. W modelu tym do 

okre±lenia pola obrotów wykorzystywane jest tradycyjne pole przemieszcze«! Oczywi±cie 

tegotypumodele, zwaneniekiedypseudokontinuamiCosseratlubmateriaªamiCosseratze 

zwi¡zanymi obrotami, niewiele maj¡ wspólnego z kinematyk¡ o±rodków zorientowanych 

i rzeczywi±cie s¡ one niczym wi¦cej jak tylko o±rodkami typu przemieszczeniowego, w 

których wykorzystano wy»sze gradienty pola przemieszcze«. Dla tego typu materiaªów 

bardziej odpowiednia wydaje si¦ nazwa materiaªy z napr¦»eniami momentowymi, porównaj 

np. Sokoªowski (1972). 

Podstawow¡ ide¡ o±rodków zorientowanych jest dodatkowe pole obrotów cz¡stek kontinuum 

niezale»ne od pola przemieszcze«. Takie zaªo»enie odno±nie kinematyki ruchu 

kontinuum wi¡»e si¦ z powa»nymi konsekwencjami z punktu widzenia geometrii, kinematyki 

i termodynamiki ruchu tego typu o±rodka. Wymaga ono bowiem uwzgl¦dnienia 

dodatkowych miar deformacji (np. miar zakrzywienia), skoniugowanych z nimi miar siª 

termodynamicznych i postawienia dodatkowych równa« (!) konstytutywnych tak, aby 

zapewni¢ jednoznaczno±¢ opisu konstytutywnego dla kontinuum o zadanej kinematyce 

ruchu. 

W niniejszej pracy ograniczymy nasze rozwa»ania do materiaªów zorientowanych pierwszego 

stopnia, a wi¦c do takich, w których zakªada si¦, »e do opisu stanu deformacji 

materiaªu wystarcz¡ pierwsze gradienty pól przemieszcze« i obrotów.


3.2 Gradienty deformacji 

3.2.1 Klasyczny gradient deformacji 

Wteoriio±rodkówzorientowanychmo»emyzdeniowa¢gradientdeformacjiprzemieszczeniowej 

w klasyczny sposób, a wi¦c wykorzystuj¡c map¦ x(X, t) tensor gradientu deformacji jest 

zdeniowany w nast¦puj¡cy sposób 

F df = ∂xk 

∂X K 

e k ⊗ e K = ∂x 

∂X 

(3.6) 

gdzie x, X ∈ E i 3 e k , e K ∈ V . 

W geometrii ró»niczkowej 3 poj¦cie pochodnej kowariantnej jest ±ci±le zdeniowane 

i dotyczy specycznego sposobu ró»niczkowania wektorów stycznych do rozmaito±ci. 

Specyczno±¢ ta polega na uwzgl¦dnianiu czªonów wynikaj¡cych ze zmiany bazy stycznej 

do rozmaito±ci, patrz symbole koneksji. Ze wzgl¦du na to, »e przestrze« poªo»e« (euklidesowa 

punktowa) jest przestrzeni¡ pªask¡ mo»emy poªo»enie x okre±li¢ jednoznacznie 

za pomoc¡ wektora swobodnego r, porównaj rys.2.2, który mo»emy nast¦pnie rozªo»y¢ 

w bazie wektorowej stycznej do rozwa»anej rozmaito±ci. Ta mo»e nieco sztuczna konstrukcja 

pokazuje jednak zasadnicz¡ ró»nic¦ pomi¦dzy reprezentacj¡ gradientu deformacji 

jako pochodnej cz¡stkowej krzywoliniowych wspóªrz¦dnych, a jego reprezentacj¡ w formie 

pochodnejkowariantnejpewnegowektora, porównaj(2.76)i(2.77). Wartotumo»edoda¢, 

»e to czy dany wektor lub tensor jest kontra- czy kowariantny dotyczy algebry tensorów 

i z formalnego punktu widzenia jako cz¦±¢ algebry mo»e by¢ rozwa»ane niezale»nie od 

jakichkolwiek rozmaito±ci ró»niczkowych, porównaj np. Komorowski (1978). 

W klasycznej mechanice kontinuum opartej na (nie zorientowanej) przestrzeni euklidesowej 

wyznacznik z tensora jest uto»samiany z wyznacznikiem z jego reprezentacji i 

tak np. zmian¦ obj¦to±ci materiaªu okre±la si¦ jako 

√ 

dv g 

dV = √ det F 

G 

(3.7) 

gdzie g i G oznaczaj¡ wyznaczniki z reprezentacji tensora podstawowego w ukªadach 

wspóªrz¦dnych {x k } i {X K } odpowiednio w punktach x i X, natomiast det F jest wyznacznikiem 

z reprezentacji (macierzy) F K. 

W naszym wypadku, ze wzgl¦du na uwzgl¦dnianie k orientacji przestrzeni euklidesowej 

wykorzystamy tensor alternacji do zdeniowana wyznacznika z tensora F i przyjmiemy, 

»e 

det F = df 1 6 e klme KLM F k KF l LF m M (3.8) 

gdzie e klm i e s¡ odpowiednimi reprezentacjami tensora alternacji, porównaj (3.1). 

Tak zdeniowany KLM wyznacznik jest niezale»ny od u»ytej bazy wektorowej, a st¡d zmiana 

obj¦to±ci materiaªu jest u nas okre±lona po prostu jako 

porównaj (3.7). 

dv 

dV 

= det F (3.9)


3.2.2 Gradienty pól orientacji 

Zgodnie z przyj¦t¡ przez nas denicj¡ ruchu zorientowanego kontinuum ruch ten jest 

opisany przez dwa niezale»ne odwzorowania (3.4) i (3.5). Wª¡czenie pola orientacji do 

opisu ruchu kontinuum powoduje, »e mo»emy zdeniowa¢ odpowiednie gradienty tego 

pola, i tak: przestrzenny gradient pola orientacji jest zdeniowany w nast¦puj¡cy sposób 

κ = df ∂ϕα 

∂x e k α ⊗ e k = ∂ϕ 

(3.10) 

∂x 

gdzie ϕ s¡ krzywoliniowymi wspóªrz¦dnymi k¡towymi i okre±laj¡ one orientacj¦ cz¡stek 

kontinuum α w konguracji aktualnej, zgodnie z (3.5). W zastosowaniach dotycz¡cych deformacji 

krysztaªów tensor ten jest nazywany tensorem Nye'a. Nye w (1953) roku wykorzystaª 

taki wªa±nie tensor do okre±lenia zwi¡zków tensora g¦sto±ci dyslokacji z tensorem 

zakrzywienia orientacji sieci krysztaªu, porównaj zale»no±¢ (4.22). 

Z matematycznego punktu widzenia interpretacja gradientu orientacji κ jako pochodnej 

kowariantnej pewnego wektora φ nie jest mo»liwa. Ze wzgl¦du na zakrzywienie 

przestrzeni O nie mo»emy okre±li¢ wektora stycznego φ, porównaj 3 r na rys.2.2, a tym 

bardziej nie mo»emy zdeniowa¢ funkcji wektorowej, której pochodn¡ kowariantn¡ byªoby 

κ. Oczywi±cie pochodne cz¡stkowe ze wspóªrz¦dnych poªo»enia na rozmaito±ci speªniaj¡ 

odpowiednie prawa transformacji, ale nie oznacza to bynajmniej, »e s¡ one pochodnymi 

kowariantnymi jakiego± wektora, np. o skªadowych φ . Krzywoliniowe wspóªrz¦dne α ϕ 

nie s¡ reprezentacj¡ wektora i nie transformuj¡ si¦ zgodnie z prawami transformacji dla 

α 

skªadowych wektorów. Z drugiej za± strony, w geometrii termin pochodnej kowariantnej 

jest jednoznacznie zdeniowany i dotyczy on specycznego ró»niczkowania wektorów i tensorówokre±lonychnaprzestrzeniwektorowejstycznej. 

Wklasycznejmechanicekontinuum 

opartej na przestrzeniach z riemannowsk¡ koneksj¡ (zanurzalnych w pªaskich przestrzeniach) 

ró»nice te s¡ trudne do zauwa»enia. Staj¡ si¦ one jednak widoczne w wypadku 

przestrzeni z nieriemannowsk¡ koneksj¡, kiedy to same prawa transformacji nie oznaczaj¡, 

»e istnieje odpowiedni wektor φ. 

Wró¢my jednak do problemu gradientów pola orientacji. Dotychczas zdeniowali±my 

gradient rozkªadu pola orientacji w konguracji aktualnej, porównaj (3.5) i (3.10). Zupeªnie 

analogicznie mo»emy zdeniowa¢ gradient rozkªadu pola orientacji w konguracji 

porównawczej. Wykorzystuj¡c (3.3) otrzymujemy1 

3.2.3 Obroty i dystorsje 

κ ◦ 

df 

= 

∂Φ Θ 

∂X K 

e Θ ⊗ e K = ∂Φ 

∂X 

(3.11) 

Wprzypadkuzorientowanegokontinuumopróczmapy x(X, t)opisuj¡cejpoleprzemieszcze« 

mamy do dyspozycji dodatkowe informacje o orientacji cz¡stek w konguracji porównawczej 

i aktualnej. St¡d te» zamiast dokonywa¢ czysto matematycznej operacji: tzw. 

rozkªadu polarnego 

F = RU (3.12) 

1Oznaczenie κ ◦ zarezerwowali±my w tym wypadku dla miary wyra»aj¡cej to samo zakrzywienie, ale 

w konguracji aktualnej, porównaj (3.48)


na ortogonalny tensor obrotu R i symetryczny tensor rozci¡gni¦¢ U mo»emy rozªo»y¢ 

gradient deformacji F na obrót cz¡stki kontinuum Q i jej deformacj¦ F C 

F = QF C (3.13) 

gdzie tensor F C jest nazywany tensorem deformacji Cosserat, tensorem dystorsji lub po 

prostu wspóªobrotowym tensorem deformacji, porównaj np. Eringen i Kafadar (1976). 

Ortogonalny tensor obrotu Q jest tu opisany czysto geometryczn¡ zale»no±ci¡ 

Q = ˆQ(ϕ, Φ) (3.14) 

Innymi sªowy, zakªadamy, »e tensor obrotu jest jednoznacznie okre±lony na podstawie 

zale»no±ci geometrycznych, np. na podstawie k¡tów Eulera Φ 1 , Φ 2 , Φ i 3 ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ opisuj¡- 

cych odpowiednio orientacj¦ tej samej cz¡stki w konguracji pocz¡tkowej i w konguracji 

3 

aktualnej. W wypadku klasycznego kontinuum niekiedy rozkªada si¦ gradient deformacji 

na lewy tensor deformacji Cauchy-Greena i obrót. Analogicznie, w wypadku zorientowanego 

kontinuum mo»emy rozªo»y¢ F na lewy tensor Cosserat F Cl i obrót, tzn. 

F = F Cl Q (3.15) 

Wnaszychrozwa»aniachdotycz¡cychmodelowaniakonstytutywnegoruchuzorientowanego 

kontinuumskupia¢b¦dziemyuwag¦namiarachdeformacjiniezale»nychodobrotucz¡stki, 

st¡d te» b¦dziemy wykorzystywa¢ prawy tensor deformacji Cosserat. 

3.2.4 Warunek zgodno±ci przemieszcze« 

Wykorzystuj¡c rozkªad (3.13) gradientu deformacji przemieszczeniowej na obrót cz¡stki 

kontinuum i jej deformacj¦ mo»emy warunek zgodno±ci 

F k K,L = F k L,K (3.16) 

wyrazi¢ w nast¦puj¡cej postaci 

(Q k M 

MF C K ) ,L = (Q k N 

NF C L ) ,K (3.17) 

ró»niczkuj¡c wyra»enia w nawiasach otrzymujemy 

Q k M 

M,LF C K + Q k M 

MF C K,L = Q k N 

N,KF C L + Q k N 

NF C L,K (3.18) 

W tym wypadku mo»emy wykorzysta¢ zale»no±¢ wyprowadzon¡ przez Dªu»ewskiego 

(1991b), na pochodn¡ kowariantn¡ Q(ϕ, Φ) ze wzgl¦du na dX, porównaj równania ruch 

(3.4), (3.5) i (3.3), 

Q k M,L = −ϕ α k 

,L e α l Q l M − Φ Θ ,L e N ΘM Q k N (3.19) 

k N 

w omawianej zale»no±ci e α l i e ΘM oznaczaj¡ odpowiednie reprezentacje tensora alternacji. 

Podstawiaj¡c ostatni¡ zale»no±¢ do (3.18) otrzymujemy 

(−ϕ α ,L e α k l − Φ Θ ,L e ΘM N Q k NQ M l )F l K + Q k M 

MF C K,L = 

= (−ϕ β ,K e β k m − Φ Λ ,K e ΛA H Q k HQ A m )F m L + Q k M 

MF C L,K 

(3.20)


Warto tu zaznaczy¢, »e tensor alternacji jest tensorem izotropowym. Oznacza to, »e jest 

on obiektywny ze wzgl¦du na sztywny obrót. Wykorzystuj¡c 

e ΘM N Q α Θ Q l M Q k N = e αl 

k 

(3.21) 

a nast¦pnie mno»¡c (3.20) przez −1 

F K p i przez −1 

F L r otrzymujemy 

(−ϕ α ,r + Φ Θ −1 

,L Qα Θ F L k 

r)e α p + Q k −1 

M 

MF C K,r F K p = 

= (−ϕ β ,p + Φ Λ −1 

,K Qβ Λ F K k 

p)e β r + Q k −1 

N 

NF C L,p F L r 

Mno»¡c ostatnie równanie przez e spr ªatwo pokaza¢, »e 

(3.22) 

−ϕ α k 

,me α l e nml + Φ Θ ,M 

−1 

F M mQ α k 

Θe α l e nml = Q k −1 

L 

LF C N,i F C N OQ O j e nji (3.23) 

Wnaszychdalszychrozwa»aniachbardzowa»n¡rol¦odegraj¡zwi¡zkitensorowepomi¦dzy 

dwoma ró»nymi miarami zakrzywienia α i κ. Wykorzystuj¡c za Nye'em zwi¡zek 

k 

e α l e nml = g n α g km − g m α g kn (3.24) 

mo»na pokaza¢, »e 

α = −κ T + tr κ T 1 (3.25) 

κ = −α T + 1 2 tr α T 1 (3.26) 

Oznacza to, »e tak zdeniowana miara α jest niczym wi¦cej jak tylko jedn¡ z mo»liwych 

miar zakrzywienia kontinuum. Wykorzystuj¡c powy»sze zwi¡zki zaªó»my, »e lewa 

strona (3.23) deniuje nast¦puj¡ce, tensorowe miary k¡towe pocz¡tkowego i ko«cowego 

(zakrzywienia) kontinuum: 

α kn df 

= −ϕ 

α k 

,m e α l e nml (3.27) 

α◦ 

kn df 

= −Φ Θ −1 

,M F M mQ α k 

Θe α l e nml (3.28) 

podczasgdyprawastronawspomnianegorównaniadeniujemiar¦zakrzywieniawywoªanego 

wspóªobrotow¡ deformacj¡ cz¡stek kontinuum 

df · 

α C = −QgradFC × (QF C ) −1 (3.29) 

gdzie × . oznacza podwójny iloczyn: skalarny po pierwszych indeksach i wektorowy po 

drugich, porównaj (3.23). Tak wi¦c warunek zgodno±ci przemieszcze« (3.23) mo»e by¢ 

zapisany w nast¦puj¡cej formie 

α = α ◦ + α C (3.30) 

Sposób, w jaki zostaªa zdeniowana powy»ej miara α C ró»ni si¦ zasadniczo od metody 

stosowanej dotychczas. Dotychczas, w zakresie sko«czonych deformacji nie deniowano 

na ogóª tensora zakrzywienia z wykorzystaniem miar k¡towych, ale bezpo±rednio na podstawie 

tensora obrotów. Wynikaªo to z przekonania, »e miary k¡towe, jak np. k¡ty Eulera, 

nie tworz¡ rozmaito±ci riemannowskiej, na której mogliby±my deniowa¢ tensory, st¡d te»


wszelkie tensory zakrzywienia, zwane cz¦sto wryness tensors, byªy deniowane w oparciu 

o tensor obrotu lub bardziej ogólnie w oparciu o dodatkowy gradient opisuj¡cy nie 

tylko obrót cz¡stki, ale równie» jej mikrodeformacj¦, np. deformacj¦ ukªadu directorów. 

Najprostsze podej±cie polegaªo na uto»samianiu tensora wykrzywienia (wryness tensor) 

z pochodn¡ kowariantn¡ tensora gradientu mikrodeformacji. Prowadziªo to do opisu zakrzywienia 

kontinuum przy pomocy tensorów trzeciego (!) rz¦du, porównaj np. denicj¦ 

tensora wykrzywienia stosowan¡ przez Truesdell i Toupin (1960) i Krönera (1960). 

W takim wypadku tensor wykrzywienia miaª 3 3 = 27 skªadowych, musiaª wi¦c posiada¢ 

pewne dodatkowe ograniczenia, np. wykazywaª antysymetri¦ po dwóch wska¹nikach. W 

1971 roku Kafadar i Eringen2 zastosowali nowoczesne jak na owe czasy podej±cie, w 

którym zastosowali dwuwska¹nikowy tensor wykrzywienia 

Γ = df − 1 2 Q × . grad Q (3.34) 

Zobaczmy wi¦c jak¡ denicj¦ naszego tensora α C mogliby±my uzyska¢ stosuj¡c metod¦ 

Kafadara i Eringena. Tak wi¦c pomijaj¡c zale»no±¢ (3.19) mo»emy bezpo±rednio 

pomno»y¢ (3.18) przez F −1 

p, K F −1 L r i przez e otrzymuj¡c w efekcie równanie 

spr 

Q k −1 

M 

M,nF C K F K me pmn + Q k −1 

M 

MF C K,n F K me pmn = 0 (3.35) 

co po wykorzystaniu zale»no±ci 

F −1 = F −1 

C 

(3.36) 

daje nam zwi¡zek 

QT Q k M,nQ M m e pmn + Q k −1 

M 

MF C K,n F K me pmn = 0 (3.37) 

na jego podstawie zdeniowaliby±my tensor zakrzywienia α C jako 

α C = grad Q × . Q (3.38) 

T 

natomiast warunek zgodno±ci przemieszcze« zapisaliby±my w postaci 

. 

α C + Q grad F C × (QF C ) −1 = 0 (3.39) 

Dla porównania Kafadar i Eringen (1971) otrzymali warunek zgodno±ci przemieszcze« 

odpowiadaj¡cy równaniu 

Γ × × F C − curl F C = 0 (3.40) 

2 Kafadar i Eringen podj¦li równie» prób¦ wprowadzenia do opisu zorientowanego kontinuum miar 

k¡towych. Warto tu zwróci¢ uwag¦ na fakt, »e przestrze« orientacji jest zakrzywion¡ przestrzeni¡ Riemanna 

o staªej jednostkowej krzywi¹nie. Kafadar i Eringen (1976) ignoruj¡c nie±wiadomie ten fakt 

próbowali wprowadzi¢ prostoliniowy ukªad wspóªrz¦dnych k¡towych proponuj¡c nast¦puj¡ce zale»no±ci, 

porównaj ich równania (1.2.19) i (1.2.20), 

Q k K = [cos θg k l + (1 − cos θ)n k n l − sin θe k lmn m ]g l K (3.31) 

?! 

θ = √ φ k φ (3.32) 

k 

n k = (3.33) 

φk 

θ 

Prawdopodobnie jednak zdaj¡c sobie spraw¦ z tego, »e taki opis nie jest do ko«ca zbadany autorzy ci, 

pomimo rozwa»ania wspóªrz¦dnych k¡towych, zdecydowali si¦ na zdeniowanie tensora wykrzywienia 

(wryness tensor) nie w oparciu o wspóªrz¦dne k¡towe, ale w oparciu o tensor obrotu, tzn. w oparciu o 

(3.34) zamiast (3.54).


gdzie × × oznacza podwójny iloczyn wektorowy: odpowiednio po pierwszych i po drugich 

wska¹nikach, porównaj (1.3.21a) w Eringen i Kafadar (1976), gdzie tensor deformacji 

Cosserat jest równowa»ny 

C ≡ F T C (3.41) 

Dla nas jednak tensor α C jest zdeniowany nie zale»no±ci¡ (3.38), ale (3.29). Powy»sze 

rozwa»ania pokazuj¡, »e ze wzgl¦du na równanie zgodno±ci przemieszcze« ten sam tensor 

zakrzywienia mo»emy zdeniowa¢ przy pomocy dwóch zupeªnie ró»nych relacji tensorowych, 

co wi¦cej, mo»na znale¹¢ jeszcze dwa inne zwi¡zki deniuj¡ce tensor α C , mianowicie 

wykorzystuj¡c to»samo±ciowe przeksztaªcenia 

grad Q Q T = −Q grad Q (3.42) 

T 

grad F C F −1 

−1 

C 

= −F C grad F C (3.43) 

otrzymujemy w rezultacie a» cztery ró»ne zwi¡zki deniuj¡ce tensor α C : 

. 

α C = −Q grad F C × (QF C ) (3.44) 

−1 

= QF C grad F −1 . 

C 

× Q (3.45) 

T 

= grad Q × . Q (3.46) 

T 

= Q curl Q (3.47) 

T 

Powró¢my jednak do zwi¡zków mi¦dzy odpowienimi miarami zakrzywienia z grupy 

tensorów α i κ. Dzi¦ki relacjom zauwa»onym przez Nye'a (3.25) i (3.26) mo»emy zdeniowa¢ 

nast¦puj¡ce tensory zakrzywienia 

df 

κ C = −α T C + 1 2 tr α T C 1 (3.48) 

df 

κ ◦ = −α T ◦ + 1 2 tr α T ◦ 1 (3.49) 

Zauwa»my, »e w ten sposób zdeniowali±my w konguracji aktualnej miar¦ κ ◦ wyra»aj¡c¡ 

to samo zakrzywienie kontinuum co miara κ ◦ w konguracji pocz¡tkowej. Porównuj¡c 

wzory (3.49), (3.28) i (3.11) otrzymujemy nast¦puj¡ce prawo transformacji 

κ ◦ = Q T κ ◦ F (3.50) 

Przez analogi¦ prawo to pozwala nam równie» zdeniowa¢ nast¦puj¡ce tensory 

df 

κ = Q T κ F (3.51) 

df 

κ C = Q T κ C F (3.52) 

Ze wzgl¦du na denicj¦ κ i κ ◦ mo»na pokaza¢ (str. 97), »e 

κ Θ K = Q Θ α ϕ α ,K (3.53) 

Θ 

κ C K = Q Θ α ϕ α ,K − Φ Θ K (3.54) 

a miara Γ wykorzystywana w teorii o±rodków polarnych przez Eringena i Kafadara 

(1976) to nic innego jak wªa±nie κ, co mo»emy zapisa¢ w postaci 

Γ ≡ κ (3.55)


zostaªo to pokazana przez Dªu»ewskiego w (1993). We wspomnianej pracy autor zast¡piª 

miar¦ Γ dwoma miarami D i F ◦ , które zgodnie z przyj¦t¡ tu metod¡ oznaczania 

tensorów krzywizny s¡ równowa»ne odpowiednio 

D ≡ κ C (3.56) 

F ◦ ≡ κ ◦ (3.57) 

mo»na równie» pokaza¢, »e wykorzystuj¡c miary κ C i κ C zale»no±¢ (3.19) mo»emy zapisa¢ 

w nast¦puj¡cych postaciach (str. 97) 

grad Q T = −Q T × κ C (3.58) 

grad Q = +Q × κ C (3.59) 

Jakju»wspomnieli±mywcze±niejjedenztensorówzgrupy α ... masenszycznytensora 

g¦sto±ci dyslokacji. Tensor ten podlega ±ci±le okre±lonym prawom transformacji, porównaj 

podrozdziaª 4.1. St¡d te», uprzedzaj¡c nieco wspomniane rozwa»ania na temat tensora 

g¦sto±ci dyslokacji, na obecnym etapie rozwa»a« zaªo»ymy ad hoc nast¦puj¡ce prawo 

transformacji dla tensorów z grupy α 

df 

α ... = F −1 α ... F −T det F (3.60) 

Warto zauwa»y¢, »e zaªo»one tu prawo transformacji to sk¡din¡d dobrze nam znane 

prawo transformacji ª¡cz¡ce np. tensor napr¦»e« Cauchego σ z drugim tensorem Piola- 

Kirchoa σ ! 

Reasumuj¡c dotychczasowe rozwa»ania na temat ogólnych praw transformacji zauwa»my, 

»e dowolne miary zakrzywienia typu α ... i κ ... oraz α ... i κ ... s¡ ze sob¡ zwi¡zane 

za pomoc¡ nast¦puj¡cych praw transformacji 

α ... = −κ Ṭ .. + tr κ Ṭ .. 1 (3.61) 

κ ... = −α Ṭ .. + 1 2 tr α Ṭ .. 1 (3.62) 

α ... = F −1 α ... F −T det F (3.63) 

κ ... = Q T κ ... F (3.64) 

gdzie na podstawie dotychczasowych rozwa»a« trzy kropki . . . mo»emy zast¡pi¢: spacj¡, 

◦ lub C. 

W dalszych rozwa»aniach zostan¡ wprowadzone kolejne miary zakrzywienia z grup α ... 

i κ ... , b¦d¡ one równie» podlega¢ powy»szym prawom transformacji. Warto doda¢, »e z 

powy»szych praw transformacji wynika niestety, »e 

3.2.5 Warunek zgodno±ci obrotów 

α ... ≠ −κ Ṭ .. + tr κ Ṭ .. 1 (3.65) 

κ ... ≠ −α Ṭ .. + 1 2 tr α Ṭ .. 1 (3.66) 

Problem kowariantnego sformuªowania warunku zgodno±ci obrotów w zapisie absolutnym, 

tzn. nie indeksowym, stwarza znacznie wi¦ksze trudno±ci ni» warunek zgodno±ci 

przemieszcze«. Powodemjesttuzakrzywienieprzestrzeniorientacjiwyra»aj¡cesi¦brakiem


symetrii drugich pochodnych kowariantnych. Dla przykªadu, ªatwo pokaza¢ u»ywaj¡c np. 

ortonormalnego ukªadu wspóªrz¦dnych, »e dyskutowany poprzednio warunek zgodno±ci 

przemieszcze« (3.16) przyjmuje w zapisie absolutnym nast¦puj¡c¡ posta¢ 

curl F = 0 (3.67) 

St¡d te», na pierwszy rzut oka mogªoby si¦ wydawa¢, »e warunki zgodno±ci dla gradientów 

κ i κ ◦ powinny mie¢ posta¢3 

? 

curl κ = 0 (3.68) 

curl κ ? ◦ = 0 (3.69) 

niemniej mo»na pokaza¢, »e ze wzgl¦du na zakrzywienie przestrzeni orientacji mamy co 

prawda warunek 

∂ 2 ϕ α 

∂x k ∂x l − ∂2 ϕ α 

∂x l ∂x k = 0 (3.70) 

alewarunektenzapisanyprzyu»yciupochodnejkowariantnejprzyjmujeposta¢(porównaj 

str. 98) 

ϕ α ,k,l − ϕ α ,l,k = 2ϕ β ,kϕ γ ,lΩ βγ 

α 

(3.71) 

α 

gdzie Ω βγ jest reprezentacj¡ tensora skr¦cenia przestrzeni O , porównaj (2.47). Tak wi¦c 

ªatwo zauwa»y¢, »e zgodnie z przyj¦t¡ denicj¡ operatora curl 3 (2.94) oraz ze wzgl¦du na 

zale»no±¢ (2.49) warunki zgodno±ci dla κ i κ ◦ przyjmuj¡ odpowiednio posta¢ (str. 98) 

curl κ = − 1 2 κ × × κ (3.72) 

curl κ ◦ = − 1 2 κ × 

◦ × κ ◦ (3.73) 

W teoriach o±rodków zorientowanych opartych na bezpo±rednim zastosowaniu tensora 

obrotów(bezwykorzystywaniawspóªrz¦dnychk¡towych), nieznajdziemyoczywi±ciewarunków 

postaci (3.72) i (3.73), natomiast znajdziemy jeden warunek zgodno±ci stawiany 

bezpo±rednio dla tensora obrotów Q lub dla tensorów wykrzywienia (wryness tensors Γ). 

Wnaszymwypadkute»otrzymamytakiwarunek, alewarunektennieb¦dziebezpo±rednio 

postulowanym warunkiem zgodno±ci, ale jedynie pochodn¡ warunków (3.72) i (3.73). W 

naszym wypadku, na podstawie dwóch niezale»nych warunków zgodno±ci (3.72) i (3.73), 

otrzymujemy dla tensora zmiany zakrzywienia κ C nast¦puj¡cy warunek (str. 99) 

curl κ C = − 1 2 κ × 

C × κ C (3.74) 

ªatwo pokaza¢, »e warunek ten zapisany dla miary κ C przyjmuje posta¢ (str. 98) 

curl κ C = + 1 2 κ × 

C × κ C (3.75) 

Ostatni warunek byª ju» wyprowadzony przez Kafadara i Eringena (1971), oczywi±cie 

na innej drodze, tzn. z wykorzystaniem zale»no±ci 

Q ,KL = Q ,LK (3.76) 

3Znak = u»yto w celu podkre±lenia niepoprawnej postaci warunku. 

?


porównaj np. warunek (3.78a) w Eringen i Kafadar (1976) z naszym warunkiem 

(3.75). 

Mo»na zada¢ sobie jeszcze pytanie, czy nie istnieje jaka± prostsza, np. ªatwiejsza 

do zapami¦tania, forma zapisu warunku zgodno±ci obrotów (3.74). Okazuje si¦, »e je±li 

zdeniujemy nast¦puj¡ce miary zakrzywienia (w lokalnej, izoklinicznej, nieodci¡»onej kon- 

guracji) 

df 

˜κ C = Q T κ C Q (3.77) 

df 

˜α C = Q T α C Q det Q (3.78) 

gdzie det Q = 1 to wtedy wspomniany warunek zgodno±ci obrotów mo»e by¢ wyra»ony 

przy pomocy jednej z dwóch zale»no±ci (str. 101) 

˜curl ˜κ C = − 1 2 ˜κ 

× 

C × ˜κ C − ˜κ C ˜κ T C + ˜κ C tr ˜κ C (3.79) 

˜div ˜α C = 0 (3.80) 

gdzie ˜curl i ˜div oznaczaj¡ odpowiednie pseudooperatory pola tensorowego z lokalnej 

izoklinicznej nieodci¡»onej konguracji, tzn. s¡ one tak zdeniowane, »e w wypadku gdy 

konguracja lokalna stanie si¦ globaln¡ to wtedy wyra»enia te b¦d¡ miaªy rzeczywi±cie 

sens odpowiednich operatorów pola tensorowego. Šatwo sprawdzi¢, »e aby tak byªo 

wspomniane pseudooperatory pola tensorowego s¡ okre±lone w nast¦puj¡cy sposób 

df 

˜grad t = t ,k Q k K ⊗ E (3.81) 

K 

df 

˜curl t = t ,k Q k K × E (3.82) 

K 

df 

˜div t = div (tQ T ) (3.83) 

gdzie t jest dowolnym polem tensorowym, porównaj (2.105-2.107). 

3.3 Spr¦»yste i plastyczne dystorsje 

Podobnie jak w klasycznej mechanice kontinuum tak i w wypadku spr¦»ystoplastycznej 

deformacji zorientowanego kontinuum b¦dziemy zakªada¢, »e caªkowity gradient deformacji 

F mo»na rozªo»y¢ multiplikatywnie. W tym jednak wypadku wyró»nimy tensor obrotu 

oraz tensory deformacji spr¦»ystej F e i plastycznej F p 

F = QF e F p (3.84) 

Rozkªad ten deniuje dwie dodatkowe, najcz¦±ciej lokalne konguracje po±rednie, patrz 

rys. 3.2. Konguracja nazwana na rysunku konguracj¡ odci¡»on¡ jest nazywana równie» 

lokaln¡ izokliniczn¡ konguracj¡ odci¡»on¡ porównaj Teodosiu (1970, 1992), jak 

równie» po prostu konguracj¡ po±redni¡ porównaj Rice (1971). W naszym wypadku, 

ze wzgl¦du na wyró»nienie dwóch konguracji po±rednich konguracja, o której mowa, jest 

nazywana w skrócie konguracj¡ odci¡»on¡. Wprowadzenie tego formalnego rozkªadu 

multiplikatywnego ma swoje konsekwencje matematyczne m. in. w postaci: 

1. jednoznaczno±ci rozkªadu tensora krzywizny α C na spr¦»yst¡ i plastyczn¡ cz¦±¢,


Rysunek 3.2: Schemat rozwa»anych konguracji 

2. dodatkowych warunków, które musz¡ speªnia¢ te nowe tensory zakrzywienia, aby 

pola tensorowe F e (x, t) i F p (x, t) mogªy istnie¢. 

Z punktu widzenia notacji stosowanej w o±rodkach polarnych tensor obrotu oraz tensory 

plastycznych i spr¦»ystych deformacji powinni±my oznaczy¢ odpowiednio jako ortogonalny 

tensor mikroruchów (mikromotion tensor) χ oraz spr¦»ysty i plastyczny tensor 

Cosserat: C e i C p . W takim wypadku rozkªad multiplikatywny (3.84) przyjmuje 

równowa»n¡ posta¢ 

F = χC e C p (3.85) 

gdzie 

χ ≡ Q (3.86) 

C e ≡ F e (3.87) 

C p ≡ F p (3.88) 

W mechanice o±rodków polarnych lokalne rozci¡gni¦cie sieci krysztaªu nie jest identy- 

kowane z tensorem spr¦»ystej deformacji Cosserat ani te» z jego symetryczn¡ cz¦±ci¡, ale 

jest ono opisywane tensorem mikrorozci¡gni¦¢. Rozci¡gni¦cia te uto»samiano zazwyczaj 

z rozci¡gni¦ciem tzw. directorów. St¡d te» w wielu modelach wykorzystuj¡cych directory 

zakªadano, niejako w sposób naturalny, »e directory mog¡ zmienia¢ swoj¡ dªugo±¢. 

Prowadziªo to do uwzgl¦dniania dodatkowych sze±ciu (!) stopni swobody ruchu kontinuum, 

porównaj np. Eringen i Kafadar (1976).


W przypadku stosowania wspóªrz¦dnych k¡towych opis pola obrotu cz¡stek kontinuum 

nie wymaga u»ywania directorów. W modelu zaproponowanym przez autora obecnej 

pracy ewentualne mikrodeformacje struktury nie s¡ modelowane poprzez zadawanie 

dodatkowych stopni swobody, ale poprzez wprowadzenie wi¦zów kinematycznych uzale»niaj¡cych 

mikrodeformacje (np. rozci¡gni¦cie sieci krysztaªu) od miar zewn¦trznej 

deformacji cz¡stki zorientowanego kontinuum (tzn. miar jej dystorsji i zakrzywienia), 

porównaj Dªu»ewski (1993). Cz¡stka kontinuum mo»e by¢ wtedy identykowana np. 

z reprezentatywnym obszarem zdefektowanej sieci krysztaªu. Na deformacj¦ takiego obszaru 

skªada si¦ nie tylko deformacja sieci, ale równie» np. spr¦»yste przemieszczenia i 

odksztaªcenia defektów sieci. 

3.3.1 Warunek zgodno±ci przemieszcze« 

Ze wzgl¦du na zaªo»ony rozkªad multiplikatywny (3.84) mo»emy wyrazi¢ warunek (3.16) 

przy u»yciu odpowiednich pochodnych kowariantnych tensorów obrotu i dystorsji. Podstawiaj¡c 

(3.84) do (3.16) otrzymujemy 

Q k M N 

M,LF e N F p K + Q k O P 

OF e P,L F p K + Q k R S 

RF e S F p K,L = 

= Q k A B 

A,KF e B F p L + Q k C D 

CF e D,K F p L + Q k E F 

EF e F F p L,K 

(3.89) 

W tym wypadku mo»emy wykorzysta¢ zale»no±¢ (3.19). Podstawiaj¡c wspomnian¡ zale»no±¢ 

do (3.89) otrzymujemy 

(−ϕ α ,L e α k l − Φ Θ ,L e ΘM N Q k NQ M l )F l K + Q k O P 

OF e P,L F p K + Q k R S 

RF e S F p K,L = 

= (−ϕ β ,K e β k m − Φ Λ ,K e Λ H A 

Q k HQ A m )F m L + Q k C D 

CF e D,K F p L + Q k E F 

EF e F F p L,K 

(3.90) 

Tensor alternacji jest tensorem izotropowym. Oznacza to, »e jest on obiektywny ze 

wzgl¦du na sztywny obrót. Wykorzystuj¡c 

e N ΘM Q Θ α Q M l Q k k 

N = e αl (3.91) 

a nast¦pnie mno»¡c (3.90) przez F −1 K p i przez F −1 L r otrzymujemy 

(−ϕ α ,r + Φ Θ −1 

,L Qα Θ F L k 

r)e α p + Q k −1 

O P 

OF e P,r F p K F K p + Q k −1 

R S 

RF e S F p K,r F K p = 

= (−ϕ β ,p + Φ Λ −1 

,K Qβ Λ F K k 

p)e β r + Q k −1 

C D 

CF e D,p F p L F L r + Q k −1 

E F 

EF e F F p L,p F L r 

(−ϕ α ,m + Φ Θ ,M 

(3.92) 

Mno»¡c ostatnie równanie przez e ªatwo pokaza¢, »e 

spr 

−1 

F M mQ α k 

Θ)e α l e nml = Q k −1 

L 

LF e N,i F e N OQ O j e nji + Q k −1 

P R 

P F e R F p K,p F K re (3.93) 

nrp 

Prawastronawspomnianegorównaniadeniujeodpowiedniomiaryzakrzywieniaspr¦»ystego 

i plastycznego4 

df · 

α e = −QgradFe × (QF e ) (3.94) 

−1 

df · 

α p = −QFe gradF p × (QF e F p ) (3.95) 

4Mo»na −1 pokaza¢, »e w przypadku liniowej teorii wprowadzone tu miary odpowiadaj¡ odpowiednio 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

α 

df 

= −curl ϖ 

df 

α ◦ = −curl ϖ◦ 

ϖ ◦ 

df 

α e = curl ε e 

gdzie 

df 

α p = curl ε p 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ϖ ≈ Q − 1 

ϖ ◦ ≈ Q ◦ − 1 

ε e ≈ F e − 1 

ε p ≈ F p − 1 

oraz ϖ − ϖ ◦ + ε e + ε p = ∇ u ≈ F − 1.


porównaj (3.29). Tak wi¦c warunek zgodno±ci przemieszcze« (3.16) mo»e by¢ zapisany w 

nast¦puj¡cej formie 

α = α ◦ + α e + α p (3.96) 

Wykorzystuj¡c zwi¡zki (3.25) i (3.26) mo»emy zdeniowa¢ miary zakrzywienia κ e i κ p 

jako 

df 

κ e = −α T e + 1 2 tr α T e 1 (3.97) 

df 

κ p = −α T p + 1 2 tr α T p 1 (3.98) 

co prowadzi do zale»no±ci 

κ = κ ◦ + κ e + κ p (3.99) 

gdzie κ ◦ zostaªo zdeniowane ju» wcze±niej za pomoc¡ (3.11). 

Na obecnym etapie nasze rozwa»ania nie dotycz¡ bezpo±rednio liniowej teorii dyslokacji, 

ale ogólnej, nieliniowej teorii spr¦»ystoplastycznych deformacji zorientowanego 

kontinuum. Niemniej, z formalnego punktu widzenia, mo»emy tu wykorzysta¢ równie» 

wyniki J.M. Burgersa (1939a,b) i przez analogi¦ do wektora Burgersa mo»emy dla 

powierzchni s ograniczonej zamkni¦tym konturem Burgersa zdeniowa¢ nast¦puj¡ce 

wektory 

∫ 

b = 

df αds (3.100) 

∫s 

df 

b ◦ = α ◦ ds (3.101) 

∫s 

df 

b e = α e ds (3.102) 

∫s 

df 

b p = α p ds (3.103) 

Ze wzgl¦du na (3.96) otrzymujemy 

b = b ◦ + b e + b p (3.104) 

Na obecnym etapie rozwa»a« mo»emy mówi¢ jedynie o pewnym podobie«stwie formalnym 

otrzymanych tu zale»no±ci z teori¡ dyslokacji, niemniej wyprzedzaj¡c nieco tok dalszych 

rozwa»a«, warto ju» teraz zaznaczy¢, »e miara zakrzywienia plastycznego α p oraz wektor 

b p towªa±nienicinnegojakdobrzenamznanetensorg¦sto±cidyslokacjiiwektorBurgersa. 

Dowód tego stwierdzenia b¦dzie omówiony w podrozdziale (4.1), porównaj np. (4.8) ÷ 

(4.15). 

Wpodrozdzialedotycz¡cymtensorówzakrzywieniawo±rodkachCosseratzauwa»yli±my, 

»e tensor zakrzywienia α C mo»e by¢ zdeniowany na podstawie czterech ró»nych zwi¡zków 

tensorowych, (3.44)-(3.47). Zdrugiejza±stronyªatwozauwa»y¢, »ewprzypadkuspr¦»ysto- 

plastycznej deformacji wspomniany tensor speªnia zale»no±¢ 

α C = α e + α p (3.105) 

s


Powstaje wi¦c pytanie: czy ka»dy z tensorów spr¦»ystego i plastycznego zakrzywienia α e 

i α p mo»e by¢ równie» okre±lony za pomoc¡ analogicznych czterech zwi¡zków? Tak. 

Zauwa»my np., »e 

QF e grad(QF e ) −1 = −grad (QF e )(QF e ) (3.106) 

−1 

Korzystaj¡c z powy»szej zale»no±ci ªatwo pokaza¢, »e 

QF e curl (QF e ) −1 = grad (QF e ) × · 

(QF e ) (3.107) 

−1 

= grad Q × · 

Q T · 

+ Qgrad F e × (QF e ) (3.108) 

−1 

= α − α ◦ − α e (3.109) 

Zatem, podobnie jak to byªo w wypadku tensora α C , porównaj (3.44)-(3.47), wykorzystuj¡c 

dodatkowo równanie zgodno±ci przemieszcze« (3.96) otrzymujemy w sumie cztery 

ró»ne zwi¡zki tensorowe okre±laj¡ce jednoznacznie jeden i ten sam tensor zakrzywienia 

plastycznego 

. 

α p = −QF e grad F p × (QF e F p ) (3.110) 

−1 

= QF e F p grad F −1 . 

p × (QF e ) (3.111) 

−1 

= grad (QF e ) × . (QF e ) (3.112) 

−1 

= QF e curl (QF e ) (3.113) 

−1 

Przeprowadzaj¡canalogicznerozumowaniedlatensorazakrzywieniaspr¦»ystegootrzymujemy 

(str. 102) 

. 

α e = −Q grad F e × (QF e ) (3.114) 

−1 

= QF e grad F −1 . 

e × Q (3.115) 

T 

= grad Q × . Q T + grad (QF e ) × . (QF e ) (3.116) 

−1 

= Q curl Q T − QF e curl (QF e 

) (3.117) 

−1 

Miary zakrzywienia w konguracji odci¡»onej 

W spr¦»ystoplastyczno±ci o±rodków zorientowanych bardzo wa»n¡ rol¦ odgrywa konguracja 

odci¡»ona, rys. 3.2. Dlatego te» bardzo istotne dla naszych dalszych rozwa»a« 

wydaje si¦ okre±lenie miar zakrzywienia wzgl¦dem tej wªa±nie konguracji. Miary te 

zdeniujemy jednoznacznie poprzez wykorzystanie praw transformacji (3.61) i (3.62) oraz 

wprowadzenie nowych praw 

̂α ... = (QF e ) −1 α ... (QF e ) −T det(QF e ) (3.118) 

̂κ ... = Q T κ ... QF e (3.119) 

gdzie miary w konguracji odci¡»onej zostaªy oznaczone daszkiem u góry. Wykorzystuj¡c 

powy»sze prawa transformacji oraz (3.110)-(3.113) otrzymujemy nast¦puj¡ce zale»no±ci


(str. 103) 

̂α p = − ĝrad F . 

p × F −1 

p (3.120) 

= −F p ĉurl F −1 

p (3.121) 

= curl F p F T p det F −1 

p (3.122) 

= −(QF e ) −1 ĉurl (QF e 

) (3.123) 

= − ĝrad (QF e) −1 . 

× (QF e ) (3.124) 

= curl (QF e ) −1 (QF e ) −T det (QF e ) (3.125) 

natomiast na podstawie (3.114) i (3.115) otrzymujemy m. in. (str. 103) 

̂α e = 

ĝrad F−1 e 

. 

× F e (3.126) 

= F −1 

e ĉurl F e (3.127) 

gdzie ĝrad i ĉurl oznaczaj¡ odpowiednie pseudooperatory pola tensorowego w kon- 

guracji odci¡»onej, tzn. s¡ one tak zdeniowane, »e w przypadku gdy konguracja 

lokalna stanie si¦ konguracj¡ globaln¡ wtedy wyra»enia te b¦d¡ miaªy rzeczywi±cie sens 

odpowiednich operatorów pola w tej konguracji. Šatwo sprawdzi¢, »e aby tak byªo to 

pseudoperatory pola w konguracji odci¡»onej musz¡ by¢ okre±lone w nast¦puj¡cy sposób 

df 

ĝrad t = t ,k Q k K 

KF e L ⊗ E (3.128) 

L 

df 

ĉurl t = t ,k Q k K 

KF e L × E (3.129) 

L 

df 

̂div t = div [ t(QF e ) T det (QF e ) −1] det (QF e ) (3.130) 

gdzie t jest dowolnym polem tensorowym, porównaj (2.101)-(2.103). 

Wdotychczasowychrozwa»aniachmiaryspr¦»ystegoiplastycznegozakrzywieniazostaªy 

okre±lone na podstawie rozkªadu gradientu przemieszczenia w aktualnej konguracji, 

porównaj (3.89)-(3.95), oraz na podstawie wprowadzonych praw transformacji (3.63) i 

(3.64). Mo»na natomiast postawi¢ pytanie: dlaczego, aby zdeniowa¢ miary zakrzywienia 

w konguracji odci¡»onej dokonali±my rozkªadu gradientu deformacji w aktualnej konguracji, 

skoro mogli±my równie dobrze dokona¢ takiego rozkªadu w konguracji odci¡»onej, 

i tam dokona¢ denicji odpowiednich miar spr¦»ystego i plastycznego zakrzywienia kontinuum. 

Prze±led¹my wi¦c rachunki wynikaj¡ce z powy»szego rozumowania. W tym celu 

nasze wyj±ciowe równanie (3.89) przetransformujmy do konguracji odci¡»onej, mno»¡c je 

kolejno przez F −1 

p G, K F −1 

p J, L F −1 

e A XQ k 

X, a dopiero potem dokonajmy jego kontrakcji mno»¡c 

je przez e , ªatwo zauwa»y¢, »e w efekcie takich przeksztaªce« wspomniane równanie 

przyjmuje BGJ posta¢, porównaj (3.93), 

−ϕ α −1 

,L F p L k 

Je α l Q l Z X 

ZF e G Q −1 

k F e A Xe BGJ − Φ Θ L N 

,LF p J e −1 

ΛM F e A M 

NF e G e BGJ = 

= F −1 

e A −1 

O 

OF e G,L F p L Je BGJ −1 

(3.131) 

A 

+ F p K,L F p L K 

JF p G e BGJ 

W ten sposób po prawej stronie ostatniej równo±ci otrzymali±my wyra»enia deniuj¡ce 

miary spr¦»ystego i plastycznego zakrzywienia w konguracji odci¡»onej. Zauwa»my, 

AB AB 

»e otrzymane wyra»enia to nic innego jak wªa±nie ̂α e i ̂α p zdeniowane poprzednio 

na podstawie rozkªadu w aktualnej konguracji, porównaj (3.126) i (3.120). Ostatnie 

spostrze»enie upowa»nia nas do nast¦puj¡cego wniosku.


Wniosek Zaproponowany ukªad praw transformacji (3.118)-(3.119) zapewnia 

obiektywno±¢ rozkªadu tensorów zakrzywienia ze wzgl¦du na wybór konguracji, 

tzn. rezultat dokonanego rozkªadu, np. na spr¦»yst¡ i plastyczn¡ cz¦±¢, 

nie zale»y od tego, w której konguracji go dokonamy w aktualnej czy w 

odci¡»onej konguracji. 

Miary zakrzywienia w konguracji pocz¡tkowej 

W naszych rozwa»aniach na temat spr¦»ystoplastycznej deformacji zorientowanego kontinuum 

podstawow¡ rol¦ b¦d¡ odgrywa¢ miary okre±lone w konguracji odci¡»onej. St¡d 

te»naszerozwa»anianatematmiarzakrzywieniazdeniowanychdlakonguracjipocz¡tkowej 

ograniczymy jedynie do zdeniowania odpowiednich miar. Zauwa»my np., »e stosuj¡c 

prawa transformacji (3.61)-(3.64) mo»emy na podstawie (3.97), (3.98) i (3.110)- (3.113) 

jednoznacznie okre±li¢ miary α e α p , κ e i κ p w konguracji pocz¡tkowej. W ten sposób 

otrzymujemy m. in. nast¦puj¡ce zale»no±ci (str. 104) 

α p = F −1 

p curl F p (3.132) 

= grad F −1 . 

p × F p (3.133) 

α e = −F −1 

p F −1 

e grad F −1 . 

e × F p (3.134) 

= F −1 

p grad F −1 . 

e × (F e F p ) (3.135) 

Pocz¡tkowe pole rozci¡gni¦¢ spr¦»ystych 

W wielu problemach zycznych wygodnie jest zaªo»y¢ pewne pole orientacji i odpowiadaj¡ce 

temu polu pewne pole napr¦»e« rezidualnych w konguracji pocz¡tkowej. Z zycznego 

punktu widzenia takie postawienie problemu wi¡»e si¦ z zaªo»eniem pewnego pola 

rozci¡gni¦¢ rezidualnych w konguracji pocz¡tkowej. Do opisu tego typu problemów Teodosiu 

(1970) zaªo»yª nast¦puj¡cy rozkªad gradientu deformacji 

F = APA −1 

◦ (3.136) 

zgodnie z nasz¡ notacj¡ oznaczenia u»yte przez Teodosiu odpowiadaj¡ zwi¡zkom (4.6) i 

(4.7) uzupeªnionym zale»no±ci¡ 

A ◦ = Q ◦ F e◦ (3.137) 

gdzie F e◦ oznacza tensor dystorsji rezidualnych, a Q ◦ jest ortogonalnym tensorem obrotu 

opisuj¡cym orientacj¦ cz¡stki w konguracji odniesienia (wzgl¦dem pewnej, wyró»nionej 

orientacji, dla której zaªo»ono Q ◦ = 1). Wykorzystuj¡c (3.19) ªatwo zauwa»y¢, »e ze 

wzgl¦du na przyj¦t¡ interpretacj¦ zyczn¡ tensora Q ◦ funkcja Q ◦ (X) musi, z zaªo»enia, 

speªnia¢ nast¦puj¡cy zwi¡zek 

K 

Q ◦ M,L = −Φ Θ K L 

,L e Θ L Q ◦ M (3.138) 

U»ywaj¡c naszej notacji rozkªad (3.136) wyra»a si¦ nast¦puj¡c¡ zale»no±ci¡ 

F = QF e F p (Q ◦ F e◦ ) (3.139) 

−1 

W takim wypadku warunek zgodno±ci (3.16) przyjmuje posta¢ 

α = (α e − α e◦ ) + α p (3.140)


gdzie α, α e i α p wyra»aj¡ si¦ poprzez (3.27), (3.94) i (3.95), a 

α e◦ 

3.3.2 Warunek zgodno±ci obrotów 

df 

= −QFe F p gradF −1 

e ◦ 

· 

× Q ◦ F −1 (3.141) 

W przypadku zast¡pienia tensora deformacji Cosserat F C iloczynem tensorów spr¦»ystej 

i plastycznej deformacji powstaje pytanie: jakie ograniczenia dla tych nowych miar 

wynikaj¡ z warunku zgodno±ci obrotów, porównaj zwi¡zek (3.80) oraz jego równowa»n¡ 

posta¢(3.79). Šatwopokaza¢, »ewspomnianewarunkisprowadzaªysi¦ogólniedowarunku 

FCL,MN k = FCL,NM (3.142) 

k 

W naszym wypadku, kiedy F C zostaªo zast¡pione iloczynem dwóch tensorów, F e i F p , 

musimy postawi¢ ograniczenia dla tensorów zakrzywienia w taki sposób, aby zapewniaªy 

onesymetri¦drugichgradientówodpowiedniodla F e i F p . Mo»napokaza¢, »eposzukiwane 

warunki maj¡ posta¢ (str. 104) 

˜div (˜α e 

+ ˜α p ) = 0 (3.143) 

̂div ̂α p = 0 (3.144) 

gdzie tensory α z tyld¡ i daszkiem na górze okre±laj¡ odpowiednio miary zakrzywienia w 

konguracjach po±rednich, porównaj np. (3.77), (3.78), (3.118) i (3.119). 

3.4 Miary pr¦dko±ci deformacji 

Wykorzystuj¡c zaproponowany w równaniu (3.84) rozkªad gradientu deformacji mo»emy 

zapisa¢ gradient pola pr¦dko±ci przemieszcze« w nast¦puj¡cej postaci 

ḞF −1 = ˙QQ T + QḞeF −1 

e Q T + QF e Ḟ p F (3.145) 

−1 

co mo»emy równie» zapisa¢ w postaci 

gradv = w + d e + d p (3.146) 

gdzie w jest antysymetrycznym tensorem pr¦dko±ci obracania si¦ cz¡stek kontinuum, 

natomiast d e i d p oznaczaj¡ odpowiednio tensory pr¦dko±ci spr¦»ystych i plastycznych 

dystorsji. Porównuj¡c (3.145) i (3.146) otrzymujemy nast¦puj¡ce zale»no±ci 

w = df ˙QQ (3.147) 

T 

df 

d e = Q Ḟ e (QF e ) (3.148) 

−1 

df 

d p = QFe Ḟ p (QF e F p ) (3.149) 

−1 

Mo»na równie» pokaza¢, »e pochodne materialne z wyznaczników det F e i det F p speªniaj¡ 

nast¦puj¡ce zale»no±ci 

d 

dt det F e = tr d e det F e (3.150) 

d 

dt det F p = tr d p det F p (3.151)


natomiast pochodne materialne gradientów miar deformacji przemieszczeniowej speªniaj¡ 

nast¦puj¡ce zale»no±ci (str. 105) 

d 

grad F = grad Ḟ − grad F grad v (3.152) 

dt 

d 

dt grad F e = grad Ḟe − grad F e grad v (3.153) 

d 

dt grad F p = grad Ḟp − grad F p grad v (3.154) 

W przypadku miar deformacji k¡towej otrzymujemy znacznie bardziej skomplikowane 

wzory na pochodne materialne, i tak np. o ile 

d 

dt xk ,K = v k ,l X l ,K (3.155) 

o tyle dla wspóªrz¦dnych k¡towych, je±li przyjmiemy, »e ϕ = ϕ(x, t), gdzie x = x(X, t), 

to ró»niczkuj¡c ϕ jako funkcj¦ zªo»on¡ ϕ (x (X, t) , t) otrzymujemy zale»no±¢ (str. 105), 

d 

dt ϕα ,K = ω α ,K + ω β e α βγ ϕ γ ,K (3.156) 

T¡ bardzo wa»n¡ dla nas zale»no±¢ mo»emy zapisa¢ równie» w postaci 

d 

dt ϕα ,K = ω α ,K + w α γϕ γ ,K (3.157) 

gdzie 

w α γ = −ω β α 

e β γ (3.158) 

ω α = −0.5 w kl e α kl (3.159) 

Korzystaj¡c z wyprowadzonych ju» zale»no±ci ªatwo dowie±¢, »e pochodne materialne 

tensorów zakrzywienia speªniaj¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci (str. 105) 

˙κ = grad ω + wκ − κ grad v (3.160) 

˙κ ◦ = wκ ◦ − κ ◦ grad v (3.161) 

˙κ C = grad ω + wκ C − κ C grad v (3.162) 

ªatwo równie» pokaza¢, »e pochodna materialna tensora wykrzywienia (wryness tensor) 

κ C wykorzystywanego w opisie konstytutywnym spr¦»ystych o±rodków polarnych speªnia 

zale»no±¢ 

˙κ C = Q T grad ω F (3.163) 

Niemniej, z punktu widzenia teorii dyslokacji interesuj¡ tu nas raczej pochodne materialne 

miar zakrzywienia α p i ̂α p . Mo»na dowie±¢ (str. 106), »e 

˙α p = curl d p + (w + d e )α p + α p (w + d e ) T − α p tr(w + d e ) (3.164) 

˙̂α p = ĉurl ̂d p + ̂d p ̂α p + ̂α p̂dT p − ̂α p tr ̂d p (3.165) 

= (QF e ) −1 curl d p (QF e ) −T det (QF e ) (3.166)


gdzie 

df 

̂d p = Ḟ p F −1 

p = (QF e ) −1 d p QF e (3.167) 

Na podstawie zale»no±ci (3.164) i (3.165) wprowad¹my denicje nast¦puj¡cych pochodnych 

obiektywnych dla tensorów z konguracji aktualnej i z konguracji odci¡»onej 

◦ df 

α p = ˙α p − (w + d e )α p − α p (w + d e ) T + α p tr(w + d e ) (3.168) 

◦ 

df 

̂α p = ˙̂α p − ̂d p ̂α p − ̂α p̂dT p + ̂α p tr ̂d p (3.169) 

Napodstawiewprowadzonychdenicjioraznapodstawiezwi¡zków(3.164)i(3.165)otrzymujemy 

nast¦puj¡ce zale»no±ci 

◦ 

α p = curl d p (3.170) 

◦ 

̂α p = ĉurl ̂d p (3.171) 

Warto tu podkre±li¢, »e dla pochodnych obiektywnych (3.168) i (3.169) przyj¦li±my to 

samooznaczenie. Ograniczatozakresichzastosowaniatylkodotensorówze±ci±leokre±lonej 

konguracji. Zrobili±my to celowo, gdy» upraszcza to nam zapis, a co wi¦cej sugeruje, 

»e wspomniane denicje mog¡ by¢ reprezentantami jakiego± bardziej ogólnego prawa 

rz¡dz¡cego transformacj¡ pochodnych obiektywnych z jednej konguracji do drugiej.

Rozdziaª 4 

Kontynualna teoria defektów 

W poprzednim rozdziale, w oparciu o postulowany rozkªad gradientu deformacji, zostaªy 

wprowadzone miary spr¦»ystego, plastycznego i caªkowitego zakrzywienia zorientowanego 

kontinuum. Z zycznego punktu widzenia miary te odpowiadaj¡ najcz¦±ciej miarom zakrzywienia 

mikrostruktury materiaªów, z drugiej za± strony ogólnie wiadomo, »e o zakrzywieniu 

regularnej struktury decyduj¡ gªównie jej defekty. St¡d te» teoria zorientowanego 

kontinuum nierozerwalnie wi¡»e si¦ z mikrostrukturalnymi teoriami opisu materiaªu. W 

teoriach tych pomimo zaªo»enia ci¡gªo±ci materiaªu wprowadza si¦ dodatkowe pola tensorowe 

maj¡ce za zadanie opisa¢ cechy mikrostruktury materiaªu. Mo»na tu np. wymieni¢ 

teorie mikromorczne, w których wprowadza si¦ dodatkowo tensorowe pole mikrorozci¡gni¦¢, 

porównaj np. Wo¹niak (1967), Eringen i Kafadar (1976). Warto doda¢, »e o 

ile teorie mikromorczne dotycz¡ zazwyczaj modelowania spr¦»ystego zachowania si¦ materiaªu, 

o tyle do modelowania plastycznych deformacji zorientowanego kontinuum wykorzystuje 

si¦ m. in. kontynualn¡ teori¦ defektów. Oczywi±cie, ze wzgl¦du na konieczno±¢ 

speªnienia równa« zgodno±ci nie mo»emy, w wielu wypadkach, dokona¢ jednoznacznego 

podziaªu na modele czysto plastyczne i czysto spr¦»yste. Typowym przykªadem jest tu 

wªa±nie teoria dyslokacji, która dla osób zajmuj¡cych si¦ modelowaniem stanu napr¦»e« 

wokóª dyslokacji jest cz¦±ci¡ teorii spr¦»ysto±ci, podczas gdy, dla osób zajmuj¡cych si¦ 

ruchem dyslokacji teoria ta jest teori¡ plastyczno±ci lub spr¦»ystoplastyczno±ci. 

W tym miejscu warto nawi¡za¢ do klasycznego rozkªadu gradientu deformacji (nie 

wyró»niaj¡cego obrotu cz¡stek kontinuum) porównaj np. Rice (1971), Asaro(1983), 

Perzyna (1988), Nemat-Nasser (1990) 

F = F ∗ eF p (4.1) 

gwiazdka ( ∗ ) zostaªa tu u»yta jedynie w celu unikni¦cia niejednoznaczno±ci zwi¡zanej z 

oznaczeniami u»ytymi w (3.84). W przypadku spr¦»ystej deformacji krysztaªu nie zawieraj¡cego 

defektów nie obserwujemy (poza polem przemieszcze«) dodatkowych stopni 

swobody ruchu sieci krysztaªu. Wtedy tensor dystorsji spr¦»ystej F e z równania (3.84) 

odpowiada tensorowi spr¦»ystych rozci¡gni¦¢. W takim wypadku 

Q ≡ R e (4.2) 

F e ≡ U e (4.3) 

gdzie R e i U e oznaczaj¡ odpowiednio: tensor ortogonalny i tensor symetryczny otrzymane 

na podstawie rozkªadu polarnego 

F ∗ e = R e U e (4.4) 

51

ROZDZIAŠ 4. KONTYNUALNA TEORIA DEFEKTÓW 52 

Je±li natomiast wyst¦puj¡ w krysztale spr¦»yste deformacje i przemieszczenia defektów, 

np. wwynikuwyginaniesi¦p¦tlidyslokacjilubnaskutekinnegospr¦»y±cieodwracalnego 

ruchu, wtedy ªatwo pokaza¢, patrz np. rys.2 w Dªu»ewski (1991b), »e w procesie 

spr¦»ystejdeformacjiobrótsiecikrysztaªunieodpowiadatensorowiobrotów R e . Prowadzi 

to do rozbie»no±ci pomi¦dzy obserwowanym lokalnym obrotem sieci krysztaªu, a obrotem 

wynikaj¡cym z polarnego rozkªadu F ∗ e na R e i U e . Tak wi¦c, zgodnie z obserwowanym 

wtedy obrotem sieci krysztaªu, mo»emy dokona¢ rozkªadu F ∗ e na obrót sieci krysztaªu 

Q i jej niesymetryczn¡ deformacj¦ F e , tzn. na tensor deformacji spr¦»ystej Cosserat. 

W literaturze po±wi¦conej spr¦»ystoplastycznemu rozkªadowi gradientu deformacji jest 

stosowanych wiele ró»nych notacji. Wyra»a si¦ to m. in. w tym, »e prawie ka»da teoria 

dopuszczaj¡ca obrót cz¡stki kontinuum u»ywa innych oznacze«. 

W niniejszej pracy kinematyka ruchu dyslokacji jest rozpatrywana w ramach pewnego 

ogólnego zorientowanego kontinuum, podczas gdy w kontynualnej teorii dyslokacji u»ywa 

si¦ na ogóª innego rozkªadu gradientu deformacji, tj. 

F = AP (4.5) 

gdzie zgodnie z wcze±niej omówionymi notacjami otrzymujemy, porównaj (3.84), (4.1), 

(3.85), 

A ≡ F ∗ e = QF e = χC e (4.6) 

P ≡ F p ≡ C p (4.7) 

Oznaczenia typu (4.5) byªy stosowane m. in. przez Teodosiu (1970) i Mandela (1972). 

4.1 Zakrzywienie plastyczne, a tensor g¦sto±ci 

dyslokacji 

Dotychczasjedyniesugerowali±my, »etensorg¦sto±cidyslokacjijest±ci±lezwi¡zanyzmiar¡ 

plastycznego zakrzywienia struktury wywoªanego obecno±ci¡ dyslokacji. Mo»na jednak 

postawi¢ zarzut: no dobrze, ale poza sugesti¡ Nye (1953), co ma tak naprawd¦ wspólnego 

miara plastycznego zakrzywienia krysztaªu z tensorem g¦sto±ci dyslokacji wprowadzanym 

w teorii dyslokacji jako np. miara pewnej niekompatybilno±ci spr¦»ystej w zdefektowanej 

sieci krysztaªu. St¡d te», aby obroni¢ si¦ przed tego typu zarzutem i pozosta¢ równie» w 

zgodzie z klasyczn¡, kontynualn¡ teori¡ dyslokacji nale»aªoby jeszcze pokaza¢, »e tensor 

α p jest rzeczywi±cie miar¡ g¦sto±ci dyslokacji w sensie Burgersa, a wi¦c np. pokaza¢, »e 

caªka z niego odpowiada wªa±nie wektorowi Burgersa. Warto jeszcze raz zaznaczy¢, »e 

do tej pory wprowadzili±my grup¦ tensorów α ... 

... jako miary zakrzywienia zorientowanego 

kontinuum. 

Okazuje si¦, »e podobnie jak w wypadku klasycznej, kontynualnej teorii dyslokacji, 

mo»emy pokaza¢, »e caªka z tensora zakrzywienia α p odpowiada wektorowi Burgersa w 

sensie klasycznym. 

Zapomnijmy na chwil¦ o miarach plastycznego zakrzywienia i skupmy nasz¡ uwag¦ na 

teorii dyslokacji. Zgodnie z ogólnie znan¡ denicj¡ tzw. prawdziwy wektor Burgersa ̂b d 

jestokre±lanyjakocaªkapoobwodzieBurgersa cwokóªdyslokacji, porównajnp. Gairola 

(1979), 

∮ 

̂b d = (QF e ) −1 dr (4.8) 

c


Korzystaj¡c z tw. Stokes'a otrzymujemy 

∫ 

̂b d = 

s 

curl (QF e ) −1 ds (4.9) 

gdzie s jest polem obszaru zakre±lonego konturem Burgersa. W przypadku kontynualnej 

teorii dyslokacji zakªada si¦, »e w formie ró»niczkowej ostatniego równania 

d̂b d = curl (QF e ) −1 ds (4.10) 

ró»niczka d̂b d jestzwi¡zanazró»niczk¡wektoraBurgersawkonguracjiaktualnejnast¦puj¡cym 

równaniem 

db d = QF e d̂b d (4.11) 

Podstawiaj¡c (4.11) do (4.10) otrzymuje si¦ ogólnie znan¡ zale»no±¢ 

db d = QF e curl(QF e ) −1 ds (4.12) 

Warto tu podkre±li¢, »e w klasycznej, nieliniowej, kontynualnej teorii dyslokacji wyra»enie 

stoj¡ce przed ró»niczk¡ ds jest uto»samiane z tensorem g¦sto±ci dyslokacji, tzn. zakªada 

si¦, »e 

db d = α d ds (4.13) 

gdzie 

df 

α d = QFe curl(QF e ) (4.14) 

−1 

Z równania tego nie wynika jednak bezpo±rednio, »e α d jest akurat tensorem zakrzywienia 

plastycznego α p lub chocia»by tensorem α. Niemniej podstawiaj¡c wyprowadzony 

poprzednio zwi¡zek (3.113) do (4.14) otrzymujemy w konsekwencji 

α d ≡ α p (4.15) 

co poci¡ga za sob¡ 

b d ≡ b p (4.16) 

Nale»y tu podkre±li¢, »e dotychczas w nieliniowej, kontynualnej teorii dyslokacji rozwa»ania 

natemat sensu zycznegotensora g¦sto±cidyslokacji ko«czonozazwyczajna wyprowadzeniu 

zale»no±ci (4.14). Na podstawie tej zale»no±ci deniowano tensor g¦sto±ci dyslokacji. 

Oczywi±cie, zwyra»eniastoj¡cegopoprawejstronie(4.14)niewynika, »ereprezentuje 

ono tensor plastycznego zakrzywienia struktury. Wyra»enie to mo»e na pierwszy rzut 

oka sugerowa¢, »e miara α d nie ma nic wspólnego z plastycznym zakrzywieniem, a je±li 

ju» to, »e miara ta ma zwi¡zek ze spr¦»ystym zakrzywienie mikrostruktury. Niemniej 

ªatwo pokaza¢, np. analizuj¡c spr¦»yste wyginanie krysztaªu, »e iloczyn QF e curl(QF e ) 

nie zale»y od spr¦»ystego zakrzywienia krysztaªu. Ogólnie uznano wi¦c, »e reprezentuje 

on jak¡± miar¦ niekompatybilno±ci przemieszcze« w materiale. Tak wi¦c pomimo 

−1 

sugestii Nye'a (1953) przyj¦to, »e kontynualna teoria dyslokacji i teoria zorientowanych 

o±rodków ci¡gªych to dwie teorie oparte na zupeªnie innych podstawach geometrycznych 

i kinematycznych. Jednak problem wzajemnych relacji pomi¦dzy tymi teoriami nurtowaª 

wielu, ±wiatowej sªawy naukowców. Byªo to szczególnie wyra¹ne w latach 1950-1968. 

W tym czasie organizowano wiele znakomitych konferencji naukowych na ten temat.


Warto tu wspomnie¢ o Sympozjum IUTAM pt. Mechanics of Generalized Continua zorganizowanym 

przez E. Krönera w Stuttgarcie w 1967r. Sympozjum byªo po±wi¦cone 

pami¦ci braci Eugène i François Cosserat oraz pami¦ci Élie Cartan. Wzi¦li w 

nim udziaª m. in. A.C. Eringen, A.E. Green, C.-C. Wang, W. Noll, R.S. Rivlin, 

R.A. Toupin, P.M. Naghdi, E. Reissner, R. de Witt, C. Teodosiu, H. Zorski i 

Z. Wesoªowski, K.-H. Anthony, K. Kondo oraz B.A. Bilby. 

Przytoczmy tu bardzo charakterystyczny fragment wypowiedzi Krönera (1968) podsumowuj¡cej 

wyniki tej konferencji: 

... 

The fact that the quantities τ respond to a curvature and have the dimension 

of a moment stress has lead mkl Günter [4] to his conception of a dislocated 

continuum as a Cosserat continuum. The idea is very tempting. Nevertheless, 

a complete correspondence has never been estabilished and I am more and 

more convinced that the dierence between Cosserat and dislocation theory 

is fundamental. 

The Cosserat continuum, as I would dene it, is built up from particles 

which possess an inherent orientation. (...) 

In contrast to this picture, dislocations occour in crystals in which atoms need 

not possess an inherent orientation. Orientation enters only when the arrangement 

of the neighbouring atoms is regarded. Hence, although one can speek of 

an orientation at a point both in the normal crystal and in the Cosserat continuum, 

the physical situation is bassically dierent. In fact moving dislocations 

are not spin waves. Insteed, dislocations possess the fundamental ability to 

produce slip. 

As a consequence of these obvious dierences the geometry (and kinematics) 

used in the two cases should be dierent. ... 

Zdaniem autora pracy takie stwierdzenia, a na dodatek w tak elitarnym i opiniotwórczym 

gronie, doprowadziªy do tego, »e od ko«ca lat 60-tych pogl¡d o odmiennych podstawachgeometrycznychkontynualnejteoriidyslokacjiizorientowanycho±rodkówci¡gªych 

na dªugie lata zapanowaª niepodzielnie w literaturze, a stwierdzenia o wspólnych geometrycznych 

podstawach tych teorii traktowano jako granicz¡ce z herezj¡. Nie sprzyjaªo 

to dalszemu rozwojowi mechaniki zorientowanych o±rodków ci¡gªych zwªaszcza w 

kierunku opracowania wspólnych podstaw z teori¡ dyslokacji. Stosunkowo trudny aparat 

matematyczny dawaª pole dla ró»nego typu spekulacji, czy nadinterpretacji matematycznych, 

np. deniowano symbole koneksji w oparciu o tensory lokalnej deformacji ciaªa, 

porównaj np. Kondo (1952), Bilby (1960), Gairola (1972), Maugin (1993)) Le i 

Stumpf (1996a,b) ª¡czono wi¦c symbole koneksji nie z zakrzywieniem przestrzeni, 

w której jest zanurzone ciaªo, ale z deformacj¡ i zakrzywieniem samego ciaªa. Rozwój 

tego typu teorii jeszcze bardziej pogarszaª opini¦ na temat mechaniki zorientowanych 

o±rodków ci¡gªych. Warto mo»e jeszcze podkre±li¢, »e w wi¦kszo±ci prac po±wi¦conych 

nieliniowej kontynualnej teorii dyslokacji nie stawiano jasno problemu speªnienia równa« 

zgodno±ci. Na przykªad dyskutowano szeroko rol¦ tensora dystorsji spr¦»ystych 

rozumianego jako A = QF e , jednocze±nie pomijaj¡c milczeniem to, jak¡ rol¦ peªni tu 

tensor dystorsji plastycznej P; co wi¦cej, przemilczano zazwyczaj fakt, »e caªkowity gradient 

deformacji F = AP zawsze (!), a wi¦c i w kontynualnej teorii dyslokacji, musi


speªnia¢ równanie zgodno±ci przemieszcze«. Warto podkre±li¢, »e w wielu opracowaniach 

na temat kontynualnej teorii dyslokacji tensor plastycznej deformacji w ogóle si¦ nie 

pojawia (!), porównaj np. Bilby (1960), Gairola (1979). Jak wa»n¡ rol¦ speªnia w 

teorii dyslokacji warunek zgodno±ci przemieszcze« pokazano w ostatnim wyprowadzeniu 

(4.15). Bez tego warunku nie byliby±my w ogóle w stanie dowie±¢, »e tensor g¦sto±ci 

dyslokacji, jest niczym wi¦cej jak tylko jedn¡ z miar plastycznego zakrzywienia zorientowanego 

kontinuum. Dlatego sugestie o ró»nych podstawach, zwªaszcza geometrycznych, 

kontynualnej teorii dyslokacji i mechaniki zorientowanych o±rodków ci¡gªych mo»emy uzna¢ 

za nonsens. Z punktu widzenia mechaniki zorientowanych o±rodków ci¡gªych, nie ma 

»adnego znaczenia czy rozpatrywana jest pojedyncza dyslokacja w atomowej strukturze 

krysztaªu, czy np. pot¦»ny rozmiarami uskok tektoniczny gruntu. Oczywi±cie podstaw¡ 

zastosowania mechaniki zorientowanych o±rodków ci¡gªych jest dla nas mo»liwo±¢ okre±lenia 

pola orientacji cz¡stek kontinuum niezale»nie od tego czy pole orientacji identykowa¢ 

b¦dziemy z orientacj¡ sieci krysztaªu, z orientacj¡ molekuª, czy te» np. z orientacj¡ ukªadu 

tektonicznego gruntu. 

Pomijaj¡cnaraziedalszerozwa»aniaheurystycznepodsumujmydotychczasowewyniki 

matematyczne: dotychczas pokazali±my, »e zdeniowany przez nas wektor b p jako caªka 

z tensora zakrzywienia α p ma rzeczywi±cie sens zyczny caªki po polu ograniczonym konturem 

Burgersa. Udaªo nam si¦ równie» dowie±¢, w sposób ±cisªy, »e w zakresie du»ych 

deformacji zachodzi superpozycja spr¦»ystego i plastycznego zakrzywienia zorientowanego 

kontinuum, porównaj (3.96). Wynik ten skªoniª autora pracy do przyj¦cia dodatkowego 

zaªo»enia o superpozycji zakrzywie« mikrostruktury materiaªu pochodz¡cych od obecno±ci 

ró»nego rodzaju defektów. Zgodnie z powy»szym, zakªada¢ b¦dziemy, »e caªkowite 

zakrzywienie plastyczne zorientowanego kontinuum skªada si¦ z (jest przeliczaln¡ superpozycj¡ 

zakrzywie« wywoªanych przez pola ró»nych defektów struktury) 

n∑ 

α p = α i (4.17) 

i=1 

gdzie njestliczb¡rodzajówdefektów, a α i jesttensorow¡miar¡zakrzywieniaplastycznego 

wywoªanego i-tym rodzajem defektów. Je±li wi¦c zaªo»ymy, »e plastyczne zakrzywienie 

sieci krysztaªów jest wywoªane odpowiednio dwoma polami: dyslokacji i wakansów, to, z 

zaªo»enia, plastyczne zakrzywienie krysztaªu b¦dziemy opisywa¢ równaniem 

α p = α d + α v (4.18) 

gdzie α d i α v s¡ tensorowymi miarami zakrzywienia wywoªanego polem dyslokacji i polem 

wakansów, odpowiednio. Zgodnie z zaªo»onym rozkªadem (4.18) mo»emy zdeniowa¢ tensor 

krzywizny κ d wywoªanej polem dyslokacji. W takim wypadku podstawiaj¡c (4.18) 

do (3.25) ªatwo pokaza¢, »e analogicznie do superpozycji tensorów α otrzymujemy superpozycj¦ 

tensorów krzywizny, tzn. 

κ = κ e + κ p (4.19) 

κ p = κ d + κ v (4.20) 

gdzie np. 

α d = −κ T d + tr κ T d 1 (4.21) 

κ d = −α T d + 1 2 tr α T d 1 (4.22)


Rysunek 4.1: Linia dyslokacyjna: w punkcie A jako dyslokacja kraw¦dziowa, a w B jako 

±rubowa. 

ªatwo równie» pokaza¢, »e nasze zaªo»enie o superpozycji zakrzywie« mikrostruktury 

wywoªanych polami defektów, patrz (4.17) prowadzi do superpozycji wektorów Burgersa 

odpowiadaj¡cych wspomnianym polom defektów, tzn. na podstawie (4.17) oraz (3.103) 

otrzymujemy natychmiast 

b i (4.23) 

gdzie 

b p = ∑ i 

∫ 

b i = 

α i ds (4.24) 

s b 

Z teoretycznego punktu widzenia mog¡ to by¢ g¦sto±ci dowolnych defektów wywoªuj¡cych 

deformacj¦ plastyczn¡, a wi¦c nie tylko dyslokacje, ale np. wakanse, czy nawet obszary 

zarodkowania nowej fazy. 

Wró¢my jednak do gªównego tematu rozprawy, a wi¦c do miar g¦sto±ci dyslokacji. W 

wypadku dyslokacji równanie (4.24) przyjmuje posta¢ 

∫ 

b d = 

α d ds (4.25) 

s b 

Je±li zaªo»ymy, »e w pewnym obszarze kontinuum ∆v tensorowe pole g¦sto±ci dyslokacji 

jest nast¦puj¡c¡ diad¡ α d = ρ d n b ⊗ n l odpowiadaj¡c¡ dyslokacjom o staªych wektorach


Burgersa to mo»na pokaza¢, »e tensor g¦sto±ci dyslokacji speªnia nast¦puj¡ce równanie1 

gdzie 

∫ 

b d ⊗ l = 

∫ 

∆v 

α d dv (4.26) 

b d = ρ d n b ds (4.27) 

s 

∫ l 

l d = n l dl (4.28) 

l 

W wypadku dyskretnej dyslokacji pokazanej na rys.4.1 ostatnia zale»no±¢ oznacza, »e 

wektor l d jest wektorem ª¡cz¡cym punkt wej±cia dyslokacji do obszaru ∆v z punktem jej 

wyj±cia, tzn. 

l d = AB (4.29) 

W celu okre±lenia miar g¦sto±ci dyslokacji i odpowiednich dla nich praw transformacji 

rozpatrzmy na pocz¡tku proces deformacji spr¦»ystej. Zaªó»my przy tym, »e prawa 

transformacji dla tensora g¦sto±ci dyslokacji powinny by¢ tak dobrane, aby relacje (4.25) i 

(4.26) byªy niezmiennicze wzgl¦dem wspomnianego procesu. Šatwo pokaza¢, »e dla dowolnej 

jednorodnej deformacji spr¦»ystej obszaru ∆v wektor Burgersa b d i wektor dªugo±ci 

lini dyslokacyjnej l d podlegaj¡ nast¦puj¡cym prawom transformacji 

{ 

b d = Q e F êbd 

l d = Q e F êld 

(4.30) 

gdzie ̂b d i ̂l d oznaczaj¡ wektor Burgersa i wektor dªugo±ci linii dyslokacyjnej przed procesem 

deformacji spr¦»ystej. Je±li wspomniane poprzednio relacje (4.25) i (4.26) maj¡ 

pozosta¢ niezmiennicze wzgl¦dem deformacji spr¦»ystej to miary ̂b d i ̂l d musz¡ speªnia¢ 

nast¦puj¡ce równania 

̂b d 

∫ 

= ̂α d dŝ (4.31) 

̂b d ⊗̂l d 

∫∆bs 

= ̂α d d̂v (4.32) 

∆bv 

Wykorzystuj¡c (4.30) ªatwo dowie±¢ »e tensory α d i ̂α d speªniaj¡ nast¦puj¡ce prawo transformacji 

[ 

̂α d = det F e (QF e ) −1 α d (QFe ) −1] T 

(4.33) 

Warto zauwa»y¢, »e takie samo prawo transformacji przyj¦li±my wcze±niej dla tensora 

zakrzywienia plastycznego α p . 

Skalarne i wektorowe miary Do jednych z cz¦±ciej wykorzystywanych w in»ynierii 

materiaªowejparametrówopisuwªasno±cimechanicznychmateriaªówmo»nazaliczy¢skalarny 

parametr ρ d nazywany g¦sto±ci¡ dyslokacji. Parametr ten jest najcz¦±ciej rozumiany 

jako caªkowita dªugo±¢ wszystkich linii dyslokacji zawartych w danej obj¦to±ci materiaªu. 

Z punktu widzenia rachunku tensorowego oraz mechaniki o±rodków ci¡gªych 

1 ∫ [∫ ρ d (n b ⊗ n l ) · ds ] dl = ∫ ∫ ρ d n b (n l · n s )ds ⊗ n l dl = ∫ ∫ ρ d n b ⊗ n l (n l · n s )ds dl gdzie n b (l) = const.


parametr ten mo»emy traktowa¢ jedynie jako pewn¡ miar¦ in»yniersk¡ daj¡c¡ jedynie 

tylko pewne ogólne poj¦cie o stopniu zdefektowania mikrostruktury materiaªu. Niemniej 

w pewnych szczególnych wypadkach miara ta ma swój bezpo±redni odpowiednik wynikaj¡cy 

z rachunku tensorowego. 

W wypadku kiedy nie tylko wektory Burgersa ale równie» kierunki dyslokacji s¡ do 

siebie równolegªe mo»emy deniowa¢ skalarne g¦sto±ci dyslokacji ρ d i ̂ρ d takie, »e 

α d = ρ d α d◦ (4.34) 

̂α d = ̂ρ d ̂α d◦ (4.35) 

gdzie α d◦ opisuje geometri¦ ukªadu odpowiadaj¡cego jednostkowej g¦sto±ci dyslokacji, a 

skalarne g¦sto±ci s¡ zwi¡zane nast¦puj¡cym prawem transformacji 

ρ d = det F −1 

e ̂ρ d (4.36) 

W wypadku ukªadu dyslokacji o tym samych wektorach Burgersa, ale o ró»nych orientacjach 

linii dyslokacji mo»emy zdeniowa¢ wektorowe miary g¦sto±ci dyslokacji ρ d , ̂ρ d 

takie, »e 

b ⊗ ρ d = α d (4.37) 

̂b ⊗ ̂ρ d = ̂α d (4.38) 

Ze wzgl¦du na (4.33) prawo transformacji dla wspomnianych g¦sto±ci speªnia zale»no±¢ 

ρ d = det F −1 

e QF êρ d (4.39) 

4.1.1 Zakrzywienie plastyczne, a granice ziarn 

Z punktu widzenia mechaniki zorientowanych o±rodków ci¡gªych granice ziarn mo»emy 

traktowa¢ jako powierzchnie nieci¡gªo±ci pola orientacji. W poprzednich podrozdziaªach 

zdeniowali±my tensor zakrzywienia mikrostruktury jako κ = dϕ . Wykorzystuj¡c delt¦ 

dx 

Diracka mo»emy wi¦c okre±li¢ tensor krzywizny odpowiadaj¡cy zakrzywieniu mikrostruktury 

na granicy ziarn jako 

κ gb = δ(x 3 − x 3 gb) √ g 33 ∆ϕ gb ⊗ n gb (4.40) 

gdzie ∆ϕ gb jest wektorem reorientacji, x jest krzywoliniow¡ wspóªrz¦dn¡ prostopadª¡ do 

powierzchni nieci¡gªo±ci, 3 x 3 gb jest jej warto±ci¡ w punkcie przeci¦cia powierzchni, a g 33 jest 

skªadow¡ tensora metrycznego, natomiast n gb jest jednostkowym wektorem normalnym 

do rozpatrywanej powierzchni. Wykorzystuj¡c zale»no±¢ (4.22) mo»emy okre±li¢ jakiemu 

tensorowi g¦sto±ci dyslokacji odpowiada wspomniane zakrzywienie, np. w ortonormalnej 

bazie wektorowej {n k } tensor g¦sto±ci dyslokacji przyjmuje posta¢ 

gdzie 

⎡ 

[α gb ] = ρ gb 

⎣ 

−b 3 0 0 

0 −b 3 0 

b 1 b 2 0 

⎤ 

⎦ (4.41) 

n 3 = n gb (4.42) 

b i = −a (∆ϕ gb · n i ) (4.43) 

ρ gb = δ(x3 − x 3 gb )√ g 33 

(4.44) 

a


W ostatnim ukªadzie równa« a jest parametrem skali mikrostruktury, np. wymiarem 

podstawowym sieci krysztaªu. Na podstawie (4.41) ªatwo zauwa»y¢, »e z geometrycznego 

punktu widzenia model dyslokacyjny dowolnej granicy ziarn mo»e by¢ zredukowany do 

ukªadu dwóch rodzin wzajemnie do siebie prostopadªych linii dyslokacyjnych posiadaj¡- 

cych t¡ sam¡ skªadow¡ ±rubow¡ wektora Burgersa. 

4.2 Podstawowe równania kontynualnej teorii 

dyslokacji 

W przypadku zorientowanego kontinuum mo»emy modelowa¢ dowolne procesy ewolucji 

pola orientacji. St¡d mo»na powiedzie¢, »e obroty poszczególnych cz¡stek kontinuum s¡ 

od siebie niezale»ne. Z drugiej za± strony ogólnie wiadomo, »e jednoimienne dyslokacje 

nie mog¡ powstawa¢ w krysztale samoistnie. Proces taki nie speªnia warunku ci¡gªo±ci 

dyskretnej struktury sieci krysztaªu dlatego te» je±li w krysztale, w danym procesie, powstaje 

jaki± odcinek dyslokacji to jednocze±nie powstaje inny odcinek lub grupa odcinków w 

takisposób, »eichcaªkowitywektorBurgersajestrównyzeru. Mówi¡cj¦zykiemmechaniki 

zorientowanych o±rodków ci¡gªych w kontynualnej teorii dyslokacji cz¡stki kontinuum nie 

mog¡ zakrzywia¢ si¦ plastycznie w sposób niezale»ny od deformacji ich s¡siadów. Oznacza 

to, »e w stosunku do zorientowanego kontinuum teoria dyslokacji posiada pewne 

dodatkowe wi¦zy kinematyczne wyró»niaj¡ce j¡ spo±ród innych spr¦»ystoplastycznych 

modeli zorientowanego kontinuum. 

Ograniczenie na d p Wkontynualnejteoriidyslokacjipodstawowymograniczeniemruchu 

jest warunek uzale»niaj¡cy plastyczn¡ deformacj¦ przemieszczeniow¡ od pola plastycznego 

zakrzywienia kontinuum. W innych teoriach zorientowanego kontinuum nie 

mamy tak silnego ograniczenia, warunkuj¡cego mo»liwo±¢ wyst¡pienia deformacji 

przemieszczeniowejwcze±niejszymistnieniemplastycznegozakrzywieniamikrostruktury. 

W teorii o±rodków polarnych stawiamy zazwyczaj dwa równania konstytutywne: 

jedno na deformacj¦ przemieszczeniow¡ cz¡stek kontinuum i drugie na ich 

deformacj¦ k¡tow¡. W kontynualnej teorii dyslokacji ograniczenie, o którym mowa, 

wyra»a si¦ nast¦puj¡cym wzorem 

d p = α d × v d (4.45) 

gdzie, ze wzgl¦du na denicj¦ (4.14) tensor g¦sto±ci dyslokacji α d jest uto»samiany, 

cz¦sto nie±wiadomie, z tensorem plastycznego zakrzywienia α p , natomiast v d jest 

wektorem lokalnej pr¦dko±ci przemieszczania si¦ tego pola. W ostatnim równaniu 

v d oznacza lokaln¡ pr¦dko±¢ dyslokacji wzgl¦dem pr¦dko±ci materiaªu (masy), tzn. 

je±li materiaª porusza si¦ z pr¦dko±ci¡ v to caªkowita pr¦dko±¢ ruchu dyslokacji 

wynosi v d + v. O tym, »e równanie (4.45) peªni rol¦ wi¦zów kinematycznych ±wiadczy 

równie» fakt, »e równanie to determinuje jednoznacznie ewolucj¦ α p w czasie, 

zgodnie z (3.170). St¡d te» wprowadzaj¡c równanie (4.45) nie mo»emy ju» postawi¢ 

drugiego, niezale»nego równania na plastyczn¡ deformacj¦ k¡tow¡. 

Równanie wi¦zów kinematycznych (4.45) jest obiektywne ze wzgl¦du na wybór kon- 

guracji, tzn. mo»na dowie±¢, »e to równanie wi¦zów przetransponowane do konguracji 

odci¡»onej przyjmuje analogiczn¡ posta¢, tzn (str. 109) 

̂d p = ̂α d × ̂v d (4.46)


gdzie ̂α d jest zwi¡zane z α d zale»no±ci¡ (4.33), natomiast 

df 

̂v d = (QFe ) −1 v d (4.47) 

Ograniczenie na v d Drugi z warunków dotyczy ograniczenia na kierunek pr¦dko±ci dyslokacji. 

W kontynualnej teorii dyslokacji zakªada si¦, »e kierunek ruchu dyslokacji 

jest prostopadªy do jej linii. Z matematycznego punktu widzenia odpowiada to 

warunkowi 

α d · v d = 0 (4.48) 

ªatwozauwa»y¢, »ewarunektenprzetransponowanydokonguracjiodci¡»onejprzyjmuje 

posta¢ 

̂α d · ̂v d = 0 (4.49) 

Ograniczenie na α d Trzeci warunek odpowiada stwierdzeniu, »e linie dyslokacji nie 

mog¡ si¦ ko«czy¢ wewn¡trz krysztaªu. W nieliniowej, kontynualnej teorii dyslokacji 

ograniczenie to odpowiada warunkowi (3.144), który, ze wzgl¦du na uto»samianie 

tensora g¦sto±ci dyslokacji z miar¡ plastycznego zakrzywienia, przyjmuje tu posta¢ 

̂div ̂α d = 0 (4.50) 

Z punktu widzenia teorii zorientowanych o±rodków ci¡gªych, powy»sze ograniczenie 

jest trywialne i nie reprezentuje »adnego ograniczenia na pole orientacji cz¡stek. 

St¡d te» trudno jest np. za Krönerem (1958) i Teodosiu (1970) nazwa¢ (4.50) 

podstawowym równaniem kontynualnej teorii dyslokacji! Zdaniem autora podstawowym 

równaniem kontynualnej teorii dyslokacji jest (4.45), natomiast równanie 

(3.144) musi by¢ speªnione nie tylko w kontynualnej teorii dyslokacji, ale równie» 

w ka»dej innej teorii zorientowanego spr¦»ystoplastycznego kontinuum. ¹ródªem 

nieporozumienia jest to, »e o±rodki polarne i kontynualna teoria dyslokacji u»ywaj¡ 

zazwyczaj ró»nych miar zakrzywienia co prowadzi do zupeªnie ró»nych postaci tych 

samych warunków zgodno±ci, porównaj np. (3.75) i (3.80) (str. 41). Z równa« 

mechaniki zorientowanych o±rodków ci¡gªych wynika natomiast, »e je±li dopu±cimy 

istnienie innych defektów sieci, np. wakansów, to z teoretycznego punktu widzenia 

dyslokacje mog¡ (!) ko«czy¢ si¦ wewn¡trz krysztaªu, gdy» wtedy warunek konieczny 

ma posta¢ (3.144), a ze wzgl¦du na (4.18) mamy ̂α p ≠ ̂α d co prowadzi ogólnie do 

̂div ̂α d ≠ 0 (4.51) 

pomimo, »e nadal speªniony jest warunek (4.50). 

df 

W kontynualnej teorii dyslokacji opartej na (4.45) gdzie α d ≡ α p otrzymujemy nast¦puj¡ce 

równanie pola opisuj¡ce ewolucj¦ tensora g¦sto±ci dyslokacji, porównaj (3.168) (str. 

50), 

◦ 

α d = curl (α d × v d ) (4.52) 

Równanie to zapisane dla miar z konguracji odci¡»onej ma posta¢ 

◦ 

̂α d = ĉurl (̂α d × ̂v d ) (4.53)


Inna posta¢ równania ewolucji dla α d W kontynualnej teorii dyslokacji wykorzystywano 

na ogóª inne równania ewolucji dla tensora g¦sto±ci dyslokacji, np. równanie 

prezentowane przez Teodosiu (1970) miaªo posta¢ 

˙ᾰα d − ᾰα d (grad v) T + ᾰα d div v = −curl I (4.54) 

gdzie ᾰα d 

df 

= −curl (QFe ) −1 natomiast 

I = df ḞpF (4.55) 

−1 

Tensor Inazywanybyªtensoremstrumieniadyslokacji(dislocationuxtensor)lubpr¡dem 

dyslokacji (dislocation current), porównaj np. Ignaczak i Rao (1993). Zauwa»my, 

»e w (4.54) wektor pr¦dko±ci dyslokacji w ogóle nie wyst¦puje, natomiast pojawia si¦ 

wektor pr¦dko±ci ruchu materiaªu v. W przeciwie«stwie do wspomnianej terminologii w 

niniejszej pracy pod poj¦ciem tensora strumienia dyslokacji rozumie¢ b¦dziemy nie tensor 

I zdeniowany zale»no±ci¡ (4.55), ale iloczyn tensorowy α d ⊗ v d . Tak wi¦c pod poj¦ciem 

strumienia dyslokacji rozumiemy tu zupeªnie inny tensor ni» to co rozumieli pod tym 

poj¦ciem m. in. Kröner i Teodosiu. 

4.3 Defekty punktowe 

Procesy rz¡dz¡ce zachowaniem si¦ defektów punktowych w rzeczywistych krysztaªach s¡ 

bardzo zªo»one i dotycz¡ m. in. zjawisk chemicznych, elektromagnetycznych, termodynamicznych, 

a wreszcie zjawisk o charakterze czysto mechanicznym, takich jak np. 

zjawiska zwi¡zane z mechanicznym niedopasowaniem wymiarów defektów do wymiarów 

sieci. St¡d te» teoria defektów punktowych jest niekiedy ró»nie rozumiana i z powodzeniem 

mogªaby by¢ przedmiotem oddzielnej rozprawy. W naszym wypadku uwaga jest 

skupiona gªównie na defektach k¡towych, takich jak dyslokacje oraz granice ziarn, niemniej, 

ze wzgl¦du na ró»nego rodzaju ruch niezachowawczy dyslokacji nie sposób pomin¡¢ 

tu deformacji zwi¡zanej z ruchem i powstawaniem defektów punktowych. 

4.3.1 Miary g¦sto±ci defektów punktowych 

Niech udziaª obj¦to±ciowy defektów punktowych opisany b¦dzie skalarn¡ funkcj¡ c v (x, t), 

której sens zyczny mo»emy wyrazi¢ zale»no±ci¡ 

v 1 

c v = lim 

v→v◦ 

(4.56) 

v 

gdzie v 1 jest obj¦to±ci¡ zajmowan¡ przez te defekty w obszarze krysztaªu v, natomiast 

v ◦ jest obj¦to±ci¡ minimalnego (umownego) obszaru krysztaªu, który mo»emy uzna¢ za 

reprezentatywny z punkt widzenia rozkªadu defektów. W wielu wypadkach stosuje si¦ 

równie» miary liczbowej koncentracje defektów zdeniowane jako 

ρ n = lim 

v→v◦ 

n 

ρ v = lim 

v→v◦ 

n 

(4.57) 

N − n 

v 

(4.58)


gdzie N jest liczb¡ w¦zªów tworz¡cych sie¢ krysztaªu w danym obszarze v, natomiast n 

jest liczb¡ defektów, porównaj np. Kelly i Grove (1970). Šatwo sprawdzi¢, »e w/w 

miary s¡ ze sob¡ zwi¡zane nast¦puj¡c¡ zale»no±ci¡ 

ρ n v v 

c v = 

= v v ρ v 

v atom + ρ n v v 

(4.59) 

gdzie v v jest obj¦to±ci¡ pojedynczego defektu, natomiast v atom jest obj¦to±ci¡ zajmowan¡ 

przez pojedynczy atom sieci. 

Deformacje sieci wywoªane obecno±ci¡ defektów punktowych pozostaj¡ po usuni¦ciu 

siª zewn¦trznych. Oznacza to, »e z punktu widzenia modelowania spr¦»ystoplastycznych 

deformacji mo»emy w pewnych wypadkach traktowa¢ miary obj¦to±ciowej niespr¦»ystej 

deformacji krysztaªu jako miary g¦sto±ci defektów punktowych. Takimi miarami mog¡ 

by¢ 

c p 

df 

= (1 − det F 

−1 

p ) (4.60) 

ĉ p 

df 

= det Fp − 1 (4.61) 

w niektórych przypadkach wygodnie jest stosowa¢ ich tensorowe odpowiedniki 

c p 

df 

= cp 1 (4.62) 

ĉ p 

df 

= ĉp 1 (4.63) 

4.3.2 Prawo bilansu defektów punktowych 

Z matematycznego punktu widzenia mo»emy przyj¡¢, »e zmiana liczby dowolnego typu 

defektów punktowych w dowolnym obszarze v jest spowodowana ich przepªywem przez 

brzeg oraz ich produkcj¡ wewn¡trz tego obszaru; a poniewa» liczba defektów wyra»a si¦ 

zale»no±ci¡ 

∫ 

n = ρ v dv (4.64) 

v 

zatem dla ṅ otrzymujemy 

∫ ∫ 

∫ 

d 

ρ v dv = − ρ v v v · ds + p v dv (4.65) 

dt v 

∂v 

v 

gdzie jak ªatwo pokaza¢ wyra»enie ∫ ρ ∂v vv v · ds reprezentuje zmian¦ liczby defektów 

spowodowan¡ ich przepªywem przez brzeg ∂v, natomiast ∫ p v vdv reprezentuje zmian¦ 

liczby defektów spowodowan¡ ich produkcj¡ lub anihilacj¡ wewn¡trz rozpatrywanego obszaru, 

v v jest pr¦dko±ci¡ przemieszczania si¦ pola defektów wzgl¦dem obszaru v, a p v 

jest pr¦dko±ci¡ produkcji lub anihilacji w/w defektów zale»nie od znaku. Niekiedy mo»na 

spotka¢ si¦ z pytaniem, czy mo»emy postulowa¢ prawo bilansu defektów punktowych i 

jakie to poci¡ga za sob¡ ograniczenia. Z powy»szej analizy wynika, »e prawo to wyra»a 

jedynie fakt mo»liwo±ci liczenia ilo±ci dyskretnych obiektów w pewnym obszarze v, takimi 

obiektami mogªyby by¢ równie dobrze barany na ª¡ce, dla których mogliby±my zastosowa¢ 

analogiczny wzór. 

Šatwo dowie±¢, »e powy»sze równanie caªkowe (4.65) prowadzi do nast¦puj¡cego równania 

ró»niczkowego 

˙ρ v + ρ div v v = − div (ρ v v v ) + p v (4.66)


W tym momencie warto zada¢ pytanie: czy powy»sze prawo bilanu jest obiektywne ze 

wzgl¦du na wybór konguracji? Odpowied¹ jest pozytywna, tzn. mo»na np. pokaza¢, »e 

równanie (4.66) mo»na przeksztaªci¢ do postaci 

˙̂ρ v = − ̂div (̂ρ v̂v v ) + ̂p v (4.67) 

˙ρ v = − div (ρ v v v ) + p v (4.68) 

gdzie ̂ρ v , ̂p v i ̂v v speªniaj¡ nast¦puj¡ce prawa transformacji 

ρ v = det (QF e ) −1̂ρ v = det F −1 ρ v (4.69) 

p v = det (QF e ) −1̂p v = det F −1 p v (4.70) 

v v = QF êv v = Fv v (4.71) 

4.4 Ruch defektów punktowych i dyslokacji 

W podrozdziale 4.2 zostaªo omówione podstawowe równanie kontynualnej teorii dyslokacji, 

tzn. (4.45). Równanie to uzale»nia pr¦dko±¢ pªyni¦cia plastycznego materiaªu 

od pr¦dko±ci ruchu dyslokacji. Nie uwzgl¦dnia ono natomiast wpªywu ruchu innych defektów 

na deformacj¦ plastyczn¡ traktuj¡c caªe zakrzywienie plastyczne jako zakrzywienie 

pochodz¡ce jedynie od dyslokacji. Z punktu widzenia ogólnej, kontynualnej teorii defektów 

nasuwa si¦ pytanie jak¡ form¦ powinien mie¢ zwi¡zek uwzgl¦dniaj¡cy wpªyw ruchu nie 

tylko dyslokacji, ale i innych defektów struktury? Co wi¦cej, mo»emy postawi¢ generalne 

pytanie: Czy w ogóle mo»na sformuªowa¢ takie podstawowe równanie, które uwzgl¦dniaªoby 

wpªyw ruchu wszystkich lokalnych defektów struktury na deformacj¦ plastyczn¡ materiaªu? 

Na obecnym etapie rozwa»a« rozpatrzmy zale»no±ci kinematyczne wynikaj¡ce z jednoczesnego 

ruchu defektów punktowych i k¡towych. W takim wypadku musimy zast¡pi¢ 

wi¦zy kinematyczne znane z kontynualnej teorii dyslokacji wi¦zami uwzgl¦dniaj¡cymi nie 

tylko ruch dyslokacji, ale równie» uwzgl¦dniaj¡cymi dodatkowo ruch pola defektów punktowych. 

St¡d te», aby uwzgl¦dni¢ deformacj¦ wywoªan¡ ruchem dyslokacji i wakansów 

mo»emy (4.45) zast¡pi¢ nast¦puj¡cym równaniem 

d p = α d × v d + α w × v w − div (c w ⊗ v w ) (4.72) 

gdzie c w jesttensoremobj¦to±ciowychdeformacjiniespr¦»ystychspowodowanychobecno±ci¡ 

wakansów, tzn. je±li wakanse w obszarze o obj¦to±ci v wywoªuj¡ niespr¦»yst¡ zmian¦ 

obj¦to±ci krysztaªu ∆v to 

∆v 

c w = lim 

v→v◦ v 1 (4.73) 

gdzie v ◦ jest obj¦to±ci¡ minimalnego obszaru krysztaªu, który mo»emy uzna¢ za reprezentatywny 

z punktu widzenia jednorodno±ci rozkªadu. Zauwa»my jednak, »e skoro np. 

wakanse, traktowane zwykle jako defekty punktowe, wywoªuj¡ nie tylko deformacj¦ przemieszczeniow¡, 

ale i k¡tow¡, to czy przypadkiem nie powinni±my równie» traktowa¢ dyslokacji, 

jako defekty nie tylko k¡towe, ale i obj¦to±ciowe. Warto tu przypomnie¢, »e od dawna 

wieluspecjalistówzzakresumechanikiizykimateriaªówuwa»aªo, »edyslokacjewywoªuj¡ 

±ci±le okre±lon¡ deformacj¦ obj¦to±ciow¡ krysztaªów. Ba! opracowano nawet i stosowano 

wielokrotnie metod¦ pomiaru g¦sto±ci dyslokacji za pomoc¡ mierzenia zmian obj¦to±ci


krysztaªów, porównaj np. Horodon i Averbach (1961). Uwzgl¦dniaj¡c ten fakt za- 

ªó»my ogólnie, »e rozpatrywane w tej pracy defekty sieci mog¡ wywoªywa¢ deformacj¦ 

obj¦to±ciow¡ i k¡tow¡, co w wypadku zaªo»enia n ró»nych typów defektów odpowiada 

równaniu 

n∑ 

d p = [α i × v i − div (c i ⊗ v i )] (4.74) 

w którym tensory α i i c i speªniaj¡ dodatkowe ograniczenia 

i=1 

α p = 

c p = 

n∑ 

i 

n∑ 

i 

α i (4.75) 

c i (4.76) 

miary plastycznej deformacji α p i c p zostaªy zdeniowane zale»no±ciami (3.95) i (4.62). 

Oczywi±cie przy opisie deformacji wywoªanej ruchem dyslokacji podstawow¡ rol¦ odgrywa 

czªon α i × v i , podczas gdy dla ruchu takich defektów jak np. wakanse podstawow¡ rol¦ 

odgrywa czªon div (c i ⊗ v i ). Do zwi¡zków kinematycznych pomi¦dzy miarami deformacji 

typu α i i c i , a miarami liczbowej g¦sto±ci defektów ρ i powrócimy na str. 72. 

4.5 Dysklinacje i defekty wy»szych rz¦dów 

Dotychczas rozpatrywali±my ruch dyslokacji oraz ruch defektów punktowych. W teorii 

defektów struktury znane s¡ równie» inne rodzaje defektów, w tym np. dysklinacje oraz 

defekty wy»szych rz¦dów w stosunku do dysklinacji (zale»ne od wy»szych gradientów 

α i ). W zwi¡zku z tym nasuwa si¦ pytanie: czy zaproponowany ukªad równa« (4.74) 

(4.75) nadaje si¦ do analizy ruchu dysklinacji? Zanim odpowiemy na to pytanie warto 

wspomnie¢, »e pr¦dko±¢ ruchu dysklinacji nie ma bezpo±redniego wpªywu na pr¦dko±¢ 

deformacji plastycznej d p , ale wpªywa jedynie na ewolucj¦ zakrzywienia plastycznego, 

tzn. na ˙α p . St¡d te» wynika, »e ruch dysklinacji oraz ruch defektów wy»szych 

rz¦dów mo»e by¢ analizowany z zachowaniem ukªadu równa« (4.74) − (4.76) , 

ale tylko pod warunkiem, »e ukªad ten zostanie uzupeªniony ±ci±le okre±lonymi dla danego 

rodzaju defektów równaniami na ˙α i . 

Dla ustalenia uwagi zaªó»my, »e rozpatrujemy proces deformacji wywoªany ruchem 

trzech rodzajów defektów: wakansów (i = ◦), dyslokacji (i = d) i dysklinacji (i = θ). W 

takim wypadku równanie (4.75) przyjmie posta¢ 

α p = α ◦ + α d + α θ (4.77) 

a tradycyjny tensor g¦sto±ci dysklinacji b¦dzie zdeniowany jako, porównaj Kossecka i 

de Witt (1977), Ignaczak i Rao (1993), 

θ = df curl κ θ (4.78) 

tensory zakrzywienia α θ i κ θ s¡ ze sob¡ zwi¡zane zale»no±ciami Nye'a. Z zale»no±ci tych 

oraz z denicji (4.78) wynika jednoznacznie, »e 

div α θ = e : θ (4.79)


gdzie e jest tensorem alternacji. W tego typu teorii mo»emy podstawi¢ (4.77) do (3.118) 

i (3.144) otrzymuj¡c w rezultacie warunek 

̂div ̂α ◦ + ̂div ̂α d + ̂div ̂α θ = 0 (4.80) 

W przypadku tzw. liniowej teorii czªon ̂div ̂α θ zast¦puje si¦ zwi¡zkiem (4.79) otrzymuj¡c 

(przybli»on¡) zale»no±¢ 

div α ◦ + div α d + e : θ = 0 (4.81) 

Z punktu widzenia ruchu dysklinacji powy»sze zwi¡zki powinni±my uzupeªni¢ równaniem 

ewolucji na ˙θ. Sensowne przyj¦cie równania konstytutywnego dla pr¦dko±ci ruchu dysklinacji 

wykracza poza zakres kinematyki, gdy» wymaga przeprowadzenia bilansu termodynamicznego 

siª nap¦dowych wyst¦puj¡cych na dysklinacjach. Z drugiej strony, pr¦dko±¢ 

ruchu dysklinacji nie wpªywa bezpo±rednio na pr¦dko±¢ deformacji plastycznej d p , ale 

jedynie na ˙α p . St¡d te», z punktu widzenia modelowania pr¦dko±ci deformacji spr¦»ysto 

plastycznych d e i d p ruch dysklinacji mo»emy traktowa¢ jako modelowanie konstytutywne 

efektów wy»szego rz¦du, porównaj (4.74). Zagadnienie modelowania konstytutywnego 

ruchu dysklinacji nie jest przedmiotem niniejszej rozprawy. Zamieszczone tu rozwa»ania 

na temat dysklinacji i defektów wy»szego rz¦du autor potraktowaª jako pewnego rodzaju 

dygresj¦ w kierunku podstaw pewnej ogólnej kontynualnej teorii defektów struktury.

Rozdziaª 5 

Termodynamiczne podstawy 

kontynualnej teorii dyslokacji 

W stosunkowo nielicznych pracach z zakresu kontynualnej teorii dyslokacji problem zale»no±ci 

energii swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji jest podejmowany. Na ogóª, autorzy 

b¡d¹ ograniczaj¡ swoje zainteresowania jedynie do geometrii i kinematyki procesu 

deformacji, porównaj np. Bilby (1960), Gairola (1979), b¡d¹ te» zakªadaj¡ klasyczne 

zale»no±ci pomijaj¡c wpªyw g¦sto±ci dyslokacji na energi¦ swobodn¡, Kröner (1955, 

1958, 1960, 1981), Mura (1968, 1969). 

W ostatnich latach coraz cz¦±ciej dyskutuje si¦ wpªyw gradientu deformacji plastycznej 

na energi¦ wewn¦trzn¡ materiaªu, np. Le i Stumpf (1996a,b), Naghdi i Srinivasa 

(1994), Aifantis (1987). Jak wiadomo drugi gradient deformacji plastycznej jest 

bezpo±rednio zwi¡zany z tensorem g¦sto±ci dyslokacji, m. in. zale»no±ciami (3.110) i 

(3.111), niemniej, prac po±wi¦conych termodynamicznym podstawom nieliniowej, kontynualnej 

teorii dyslokacji jest bardzo niewiele i w zasadzie, »adna ze znanych autorowi 

obecnej rozprawy prac nie zawiera rozwi¡zania, w którym wychodz¡c z klasycznych praw 

bilanu i z równania konstytutywnego dla energii swobodnej zale»nej od tensora g¦sto±ci 

dyslokacji, dochodzono by do siª termodynamicznych na polu g¦sto±ci dyslokacji. Mo»na 

sobie zada¢ pytanie: Dlaczego? przy stosunkowo bogatej literaturze dotycz¡cej kontynualnej 

teorii dyslokacji tak podstawowe zagadnienie nie jest rozwi¡zywane? 

Zdaniem autora przyczyn takiego stanu rzeczy jest kilka: 

1. Aby analizowa¢ w zakresie sko«czonych deformacji zale»no±¢ energii od konkretnej 

miary g¦sto±ci dyslokacji tak¡ miar¦ trzeba najpierw zdeniowa¢. W odniesieniu 

do miar g¦sto±ci dyslokacji problem zdeniowania odpowiedniej miary g¦sto±ci dyslokacji 

nie jest wcale spraw¡ trywialn¡. ªatwo np. zauwa»y¢, »e stosuj¡c miary 

dobrane w niewªa±ciwy sposób ju» sam opis kinematyki deformacji staje si¦ nieprzejrzysty 

i matematycznie zawiªy, porównaj np. zwi¡zki na pochodne po czasie dla 

̂α p , (4.53), z równaniem (4.54) wykorzystywanym przez Teodosiu (1970) dla miary 

g¦sto±ci dyslokacji zaproponowanej przez Krönera (1958). 

2. Wprzypadkutylkonielicznychmiardyslokacjimo»nazbilansowa¢energi¦swobodn¡ 

w taki sposób, »e wszystkie czªony wynikaj¡ce z ró»niczkowania po czasie energii 

dadz¡ si¦ zidentykowa¢ jako odpowiedniki analogicznych czªonów wyst¦puj¡cych 

w prawie bilansu energii. Pod tym wzgl¦dem powy»szy problem przypomina nieco 

zagadnienie bilansowania energii dla ró»nych miar odksztaªce« spr¦»ystych. Warto 

66

ROZDZIAŠ 5. TERMODYNAMICZNE PODSTAWY KONTYNUALNEJ TEORII DYSLOKACJI67 

tu jednak podkre±li¢, »e na obecnym etapie rozwoju dysponujemy znacznie szersz¡ 

wiedz¡ na temat zakresu ró»nych miar odksztaªce« spr¦»ystych ni» na temat miar 

zakrzywienia plastycznego. 

3. Niemniej gªównym powodem jest fakt, »e w ramach klasycznej formy praw 

bilansu: masy, p¦du, momentu p¦du, energii nie mo»na zbilansowa¢ energii 

przy zaªo»eniu, »e g¦sto±¢ energii zale»y od tensora g¦sto±ci dyslokacji. 

Wyja±nia to fakt: dlaczego, je±li nawet w jakiej± pracy, nieopatrznie, taka 

zale»no±¢ jest postulowana to nie prezentowane s¡ w niej rozwi¡zania dla siª nap¦dowych 

na polu dyslokacji, porównaj np. Teodosiu (1970). Z drugiej strony na 

podstawie analizy obecnie ukazuj¡cych si¦ prac mo»na zauwa»y¢, »e panuje ogólne 

przekonanie, i» uzale»nienie energii swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji wi¡»e 

si¦ z konieczno±ci¡ postulowania dodatkowego prawa bilansu. Jedni wi¦c postuluj¡ 

prawa bilansu mikroruchów, np. Le i Stumpf (1996a), inni jak np. Gurtin (1995) 

wprowadzaj¡ prawo bilansu dla siª konguracyjnych, a jeszcze inni np. Dªu»ewski 

(1996) proponuj¡ prawa bilansu dla defektów struktury. 

Uprzedzaj¡c nieco wyniki uzyskane w tym rozdziale mo»na doda¢, »e okazuje si¦ i» 

postulat zale»no±ci energii swobodnej od g¦sto±ci dyslokacji nie wymaga (!) wprowadzania 

dodatkowych praw bilansu, ale wymaga jedynie rozszerzenia klasycznego 

prawa bilansu energii o dodatkowy czªon. Czªon ten ma jasn¡ i prost¡ interpretacje 

zyczn¡. 

Poni»ej zostanie przedstawione rozwi¡zanie analityczne z zakresu termodynamicznej, 

nieliniowej, kontynualnej teorii dyslokacji odpowiadaj¡ce postulatowi zale»no±ci g¦sto±ci 

energii swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji. 

5.1 Prawa bilansu 

Poprzednio zostaªo ju» wspomniane, »e prezentowane tu rozwi¡zanie ma uwzgl¦dnia¢ 

zale»no±¢ energii swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji. Najwygodniej byªoby dokona¢ 

bilansu energii swobodnej przy zaªo»eniu klasycznej postaci praw bilansu dla kontinuum. 

Niestety, po wst¦pnych próbach okazaªo si¦ to niemo»liwe. 

Zauwa»my np., »e skoro energia swobodna ma zale»e¢ od g¦sto±ci dyslokacji a jest 

to stosunkowo naturalne zaªo»enie, to wraz z przepªywem dyslokacji z jednego obszaru 

do drugiego równie» energia swobodna odpowiadaj¡ca lokalnemu zaburzeniu struktury 

musi przepªywa¢ zgodnie z kierunkiem ruchu dyslokacji. Warto tu zauwa»y¢, »e w klasycznej 

formie prawa zachowania energii nie dysponujemy czªonem, który pozwoliªby na 

opis tego typu efektu. St¡d te» formuªuj¡c równania caªkowe odpowiadaj¡ce klasycznym 

rozwa»aniom na temat termodynamiki spr¦»ystoplastycznego kontinuum dokonamy jednej 

jedynej zmiany dodaj¡c w równaniu energii czªon odpowiadaj¡cy przepªywowi energii 

swobodnej zwi¡zanej z przepªywem defektów struktury. W takim wypadku prawa bilansu 

masy, p¦du, momentu p¦du, energii oraz nierówno±¢ entropii zaªo»ymy w nast¦puj¡cej


postaci: 

∫ 

d 

ρdv = 0 (5.1) 

dt v 

∫ 

∫ ∫ 

d 

ρvdv = σ ds + ρf b dv (5.2) 

dt v 

s 

v 

∫ 

∫ 

∫ 

d 

x × ρvdv = x × σ ds + x × ρf b dv (5.3) 

dt v 

s 

v 

∫ 

d 

ρu + 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

dt v 2 ρvvdv = vσ ds + ρf b vdv − q T ds − qds + ρhdv (5.4) 

s 

v 

s 

s v 

∫ 

∫ 

d 

q T 

ρηdv ≥ − 

dt 

T 

∫v 

ds + ρh 

dv (5.5) 

T 

v 

s 

gdzie q jest tym wªa±nie dodatkowym strumieniem energii zwi¡zanym z zakªadan¡ dalej 

zale»no±ci¡ energii swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji; w powy»szych równaniach 

wielko±ci ρ, σ, j, x, u, q T , h, η, T oznaczaj¡ odpowiednio g¦sto±¢ masy, tensor napr¦»e« 

Cauchy'ego, g¦sto±¢ siª masowych, wektor poªo»enia, g¦sto±¢ energii wewn¦trznej, wektor 

strumienia ciepªa, g¦sto±¢ produkcji ciepªa, g¦sto±¢ energii i temperatur¦. 

ªatwopokaza¢, »ew/wrównaniacaªkoweprowadz¡donast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowych 

˙ρ + ρ div v = 0 (5.6) 

divσ + ρf b − ρ ˙v = 0 (5.7) 

σ − σ T = 0 (5.8) 

−ρ ˙u + σ : d e + σ : d p − divq − divq T + ρh = 0 (5.9) 

−ρ ˙ψ − ρη ˙ T + σ : d e + σ : d p − div q − q T 

T 

gdzie g¦sto±¢ energii swobodnej jest okre±lona jako 

grad T ≥ 0 (5.10) 

ψ = u − ηT (5.11) 

5.2 Równanie konstytutywne dla energii swobodnej 

W poprzednich rozdziaªach pokazano, »e tensor g¦sto±ci dyslokacji α d to nic innego jak 

jedna z miar plastycznego zakrzywienia materiaªu. O ile tensor ten mo»e by¢ równie» 

u»yty do opisu wªasno±ci geometrycznych granic ziarn, o tyle nie nadaje si¦ on do opisu 

g¦sto±ci defektów punktowych. Ponadto wielu autorów uwa»a, »e nie tylko defekty punktowe, 

ale równie» dyslokacje powoduj¡ tego typu zmiany. St¡d te» w niniejszej pracy nie 

ograniczymy si¦ do klasycznego prawa pªyni¦cia (4.45), ale zaªo»ymy ogólnie, i» rozwa»ane 

defekty powoduj¡ nie tylko zakrzywienie struktury, ale równie» jej trwaª¡ zmian¦ obj¦to±ci. 

Wykorzystuj¡c tensor zakrzywienia plastycznego ̂α p jako miar¦ defektów k¡towych 

(dyslokacji, granic ziarn) i miar¦ plastycznej zmiany obj¦to±ci ĉ p jako miar¦ defektów 

punktowych zaªó»my, »e g¦sto±¢ energii swobodnej kontinuum opisana jest nast¦puj¡cym 

równaniem konstytutywnym 

ψ = ψ(̂ε e , ̂α p , ĉ p , T ) (5.12)


gdzie miara ̂α p zostaªa zdeniowana zale»no±ciami (3.95) i (3.118), miara ĉ p zale»no±ci¡ 

(4.61), natomiast miara odksztaªce« spr¦»ystych jest zdeniowana w tradycyjny sposób, 

tzn. 

df 1 

̂ε e = 

2 (FT e F e − 1) (5.13) 

Podstawiaj¡c za pochodn¡ materialn¡ ψ zale»no±ci wynikaj¡ce z przyj¦tego równania 

konstytutywnego (5.12) nierówno±¢ entropii (5.10) mo»emy zapisa¢ w nast¦puj¡cej postaci 

(str. 109) 

gdzie 

(σ − σ p ) : d p − div (q − q p ) − q T 

T 

σ = QF e ̂ρ ∂ψ (QF 

∂̂ε e ) T det F −1 

e 

σ p = − curl 

q p = − 

grad T ≥ 0 (5.14) 

e (5.15) 

1 

∂ĉ p 

(5.16) 

[ 

(QF e ) −T ̂ρ ∂ψ 

∂ ̂α p 

(QF e ) −1 ] 

+ ρ (ĉ p + 1) ∂ψ 

[ 

(QF e ) −T ̂ρ ∂ψ 

∂ ̂α α 

(QF e ) −1 ] 

. 

× d p (5.17) 

η = − ∂ψ 

∂T 

(5.18) 

q p jest strumieniem przepªywu energii swobodnej zwi¡zanym ze zmian¡ pola tensorowego 

α p . W tym wypadku napr¦»enia wewn¦trzne pochodz¡ce od miar plastycznej deformacji 

ĉ p i ̂α p mo»emy podzieli¢ na 

σ p = σ α + σ c (5.19) 

gdzie 

[ 

σ α = − curl (QF e ) −T ̂ρ ∂ψ ] 

(QF 

∂ ̂α e ) −1 

p 

(5.20) 

σ c = ρ (ĉ p + 1) ∂ψ 1 

∂ĉ p 

(5.21) 

Zauwa»my, »e uzyskane tu rozwi¡zanie nie jest peªne, gdy» jak dot¡d nie okre±lili±my 

do ko«ca strumienia przepªywu energii q. Niemniej, do uzyskania wyniku w postaci 

równa« (5.14)-(5.21) nie wprowadzili±my »adnych (!) ogranicze« co do sposobu deformacji 

plastycznej materiaªu. 

Tak wi¦c, dyskutowany tu wynik w postaci zwi¡zków (5.14)-(5.21) jest wa»ny dla 

ró»nych mechanizmów pªyni¦cia, o ile oczywi±cie zostanie zaªo»one równanie konstytutywne 

dla energii swobodnej w postaci (5.12). Wynik ten jest wa»ny przy zaªo»eniu zupeªnie 

fenomenologicznego prawa pªyni¦cia, np. stowarzyszonego prawa pªyni¦cia postaci 

d p = λ ∂f p(σ − σ p , α p , T ) 

∂σ 

(5.22) 

gdzie f p jest powierzchni¡ plastyczno±ci. Jednak, w wypadku postulowania fenomenologicznych 

praw pªyni¦cia musieliby±my okre±li¢ przepªyw energii wewn¦trznej jako 

q ≡ q p (5.23)


porównaj (5.28). Taki warunek zostaª np. przyj¦ty w pracy Dªu»ewski i Perzyna 

(1996). 

Wynik w postaci zwi¡zków (5.14)-(5.21) jest równie» wa»ny w wypadku przyj¦cia 

prawa pªyni¦cia wynikaj¡cego bezpo±rednio z geometrycznego opisu mechanizmów deformacji 

towarzysz¡cych ruchowi defektów, porównaj (4.74). 

5.3 Siªy nap¦dowe na polu dyslokacji 

W kontynualnej teorii defektów podstawowym dla nas prawem pªyni¦cia plastycznego jest 

zwi¡zek (4.74). W wypadku ograniczenia rozwa»a« do tylko jednego pola defektów, np. 

dyslokacji, prawo to przyjmuje posta¢ 

d p = α p × v p − div (c p ⊗ v p ) (5.24) 

Zauwa»my, »e podstawiaj¡c (5.24) do (5.14) otrzymujemy 

(f − f p )v p − q T 

T 

grad T ≥ 0 (5.25) 

gdzie zewn¦trzne i wewn¦trzne (konguracyjne) siªy nap¦dowe na polu defektów s¡ 

okre±lone jako 

f = σ × . α p + c p : grad σ (5.26) 

. 

f p = σ p × α p + c p : grad σ p (5.27) 

natomiast strumie« przepªywu energii jest równy 

q = q p + (σ − σ p ) : c p v p (5.28) 

Siªa nap¦dowa f p mo»e by¢ interpretowana w ró»ny sposób. Z punktu widzenia teorii 

plastyczno±ci mogliby±my j¡ nazwa¢ siª¡ Bauschingera, gdy» jest ona zwi¡zana z zale»no±ci¡ 

energii wewn¦trznej od miar plastycznej deformacji, poza tym siªa ta odpowiada 

za efekt Bauschingera i za umocnienie zwi¡zane z przesuni¦ciem powierzchni plastyczno±ci. 

Zpunktuwidzeniateorii Gurtina (1995)siª¦tegotypupowinni±mynazwa¢ siªa 

konguracyjn¡. Zpunktuwidzeniatermodynamikiprocesówdyfuzjisiªatamo»eby¢interpretowana 

jako siªa osmotyczna rz¡dz¡ca st¦»eniem defektów np. jako siªa d¡»¡ca 

doosi¡gni¦ciarównowagowegost¦»eniadefektów, porównaj Gjostein (1973), Nowacki i 

Olesiak(1991). Wwypadkurozpatrywanianp. skokust¦»enianapowierzchninieci¡gªo±ci 

ró»nica napr¦»e« σ − σ p jest odpowiedzialna za (generuje) siª¦ decyduj¡c¡ o kierunku osmozy 

(np. o odwróconej osmozie). W poprzedniej pracy autora Dªu»ewski (1996) 

zostaªo przedstawione ogólne rozwi¡zanie obejmuj¡ce zarówno proces migracji defektów 

poprzez powierzchni¦ nieci¡gªo±ci, jak równie» jednoczesny proces niekoherentnej migracji 

samej powierzchni. St¡d te» wspomnian¡ siª¦ mo»na równie» rozpatrywa¢ w kategoriach 

termodynamicznej siªy rz¡dz¡cej migracji granic ziarn. Konstytutywne modelowanie 

ruchu powierzchni nieci¡gªo±ci, na której wyst¦puje skok gradientu pola przemieszcze« 

jest zagadnieniem samym w sobie. Z punktu widzenia sko«czonych deformacji powa»nym 

problemem jest równie» wybór konguracji, wzgl¦dem której mo»na postawi¢ odpowiednie 

równania konstytutywne, porównaj np. Abeyaratne i Knowles (1990), Raniecki


i Tanaka (1992). Podobne problemy dotycz¡ konstytutywnego modelowania procesów 

zachodzenia przemian fazowych, a wi¦c wspomnian¡ siª¦ mo»na równie» rozpatrywa¢ w 

kategoriach termodynamicznych siª rz¡dz¡cych przemian¡ fazow¡. 

Nierówno±¢ (5.25) mo»emy równie» zapisa¢ dla miar z konguracji odci¡»onej, wtedy 

w/w nierówno±¢ przyjmuje posta¢ 

(̂f − ̂f p )̂v p − ̂q T 

T 

ĝrad T ≥ 0 (5.29) 

gdzie ĝrad oznacza pseudooperator zdeniowany zale»no±ci¡ (3.128). 

Ze wzgl¦du na poprzednio zaªo»one prawo transformacji (4.47) ªatwo zauwa»y¢, »e ̂f, 

̂fp i ̂q T musz¡ speªnia¢ nast¦puj¡ce prawa transformacji 

̂f = (QFe ) T f det (QF e ) (5.30) 

̂fp = (QF e ) T f p det (QF e ) (5.31) 

̂q T = (QF e ) T q T det (QF e ) (5.32) 

5.4 Równania konstytutywne dla ruchu defektów 

Z punktu widzenia modelowania konstytutywnego ruchu pola defektów i przepªywu ciepªa 

podstawowym dla nas ograniczeniem termodynamicznym jest nierówno±¢ (5.35). Z przyczyn 

zycznych zaªo»ymy, »e ruch pola dyslokacji i przepªyw ciepªa s¡ rz¡dzone dwoma 

wzajemnie niezale»nymi równaniami konstytutywnymi, np. 

̂v p = ̂v p 

((̂f − ̂f 

) 

p ), ̂ε e , ̂α p , ĉ p , T 

(5.33) 

( ) 

̂q T = ̂q T ĝrad T, ̂ε e , ̂α p , ĉ p , T 

(5.34) 

równania te, z zaªo»enia, musz¡ speªnia¢ nierówno±ci 

(̂f − ̂f p )̂v p ≥ 0 (5.35) 

−̂q T 

T 

ĝrad T ≥ 0 (5.36) 

a st¡d na mocy (5.25) zaproponowane równania konstytutywne (5.33) i (5.34) speªniaj¡ 

nierówno±¢ entropii w zakresie sko«czonych deformacji. 

5.5 Jednoczesny ruch wielu, ró»nych pól defektów 

Dotychczas rozpatrywali±my ogólny przypadek plastycznego zakrzywienia struktury nie 

zastanawiaj¡c si¦ bli»ej jaki typ defektów je wywoªuje. W tym podrozdziale przedyskutujemy 

krótko przypadek ruchu wielu ró»nych pól defektów, ale aby poodró»nia¢ mi¦dzy 

sob¡ te pola, jeste±my zmuszeni przyj¡¢ bardzo silne ograniczenie mówi¡ce, »e ka»dy 

rozpatrywany rodzaj defektów wi¡»e si¦ ze ±ci±le okre±lonym rodzajem deformacji sieci. 

Sprowadza si¦ to do tego, »e w miejsce do tej pory dowolnych co do warto±ci tensorów


̂α p i ĉ p przyjmiemy, »e wielko±ci te s¡ ±ci±le okre±lone za pomoc¡ skalarnych g¦sto±ci 

liczbowych ̂ρ i , tzn. 

̂α p = 

ĉ p = 

n∑ 

i=1 

n∑ 

i=1 

̂ρ i ̂α ◦i (5.37) 

̂ρ i ĉ ◦i (5.38) 

gdzie ̂α ◦i i ĉ ◦i peªni¡ rol¦ staªych materiaªowych. W takim wypadku mno»¡c równanie 

(4.67) odpowiednio przez α ◦i i c ◦i otrzymujemy nast¦puj¡ce prawa bilansu 

˙̂α i = − div (̂α i ⊗ v i ) + p αi (5.39) 

˙ĉ i = − div (ĉ i v i ) + p ci (5.40) 

Z kolei wykorzystuj¡c równania (5.37) i (5.38) równanie konstytutywne dla energii swobodnej 

(5.12) mo»emy zast¡pi¢ zale»no±ci¡ 

ψ = ψ(̂ε e , ̂ρ 1 , ...̂ρ n , T ) (5.41) 

Zakªadaj¡c jednocze±nie, »e pr¦dko±¢ deformacji nie jest rz¡dzona równaniem (5.24), ale 

zale»no±ci¡ (4.74) ze strony 64, otrzymujemy nierówno±¢ entropii w postaci 

gdzie 

n∑ 

i=1 

f i v i − q T 

T 

f i = f ie + 

grad T ≥ 0 (5.42) 

n∑ 

j=1 

f ij (5.43) 

w takim wypadku f ie jest skªadow¡ siªy nap¦dowej wywoªanej spr¦»yst¡ deformacj¡ sieci, 

natomiast f ij s¡siªamiwzajemnegooddziaªywaniajednychpóldefektównadrugie. Szczegó- 

ªow¡ dyskusj¦ takiego podej±cia przedstawiª autor w pracy Dªu»ewski (1996). We 

wspomnianej pracy omówiono równie» bilans siª termodynamicznych na poruszaj¡cej 

si¦ w kontinuum niekoherentnej powierzchni nieci¡gªo±ci. Z zycznego punktu widzenia 

odpowiadaªo to analizie siª termodynamicznych na granicach ziarn i pewnej propozycji 

modelowania konstytutywnego procesów migracji granic.

Rozdziaª 6 

Zastosowanie metody elementów 

sko«czonych 

W mechanice kontinuum mo»na wyró»ni¢ dwa podej±cia do modelowania dyslokacji. Pierwsze 

traktuj¡ce dyslokacj¦ jako dyskretn¡ lini¦ w spr¦»ystym kontinuum i drugie 

traktuj¡ce j¡ jako trójwymiarowy obszar, którego szeroko±¢ jest zdeterminowana za- 

ªo»onymi rozmiarami rdzenia dyslokacji. 

Wad¡ pierwszego podej±cia jest dyskretno±¢ dyslokacji, jest ona w pewnym sensie 

w sprzeczno±ci z kontynualnym podej±ciem do opisu rozkªadu stanu deformacji w krysztaªach. 

To powoduje np., »e w rozwi¡zaniach analitycznych dla dyskretnej dyslokacji 

pole napr¦»e« wzrasta do niesko«czono±ci na linii dyslokacyjnej. Drug¡, bardzo powa»n¡ 

jego wad¡ jest to, »e model dyskretny nie nadaje si¦ do wykorzystania w metodach 

obliczeniowych opartych na mechanice kontinuum, np. w metodzie elementów sko«czonych 

(MES). Mimo tego, aktualnie s¡ intensywnie podejmowane próby modelowania 

dyslokacji w ramach metody elementów sko«czonych. Przykªadem mo»e tu by¢ praca 

Stigha (1993), w której, aby zamodelowa¢ dyslokacj¦ wstawiany jest element z innego 

materiaªu technik¡ cut-o and welding. Takie podej±cie nie daje praktycznie mo»liwo±ci 

modelowania ruchu dyslokacji. St¡d te», aby opisa¢ ruch dyslokacji Canova i wsp. (1993) 

zastosowali model, w którym dyskretne dyslokacje poruszaj¡ si¦ po granicach elementów 

sko«czonych przeskakuj¡c od w¦zªa do w¦zªa. Istotn¡ wad¡ takiego podej±cia jest to, »e 

kierunek ruch dyslokacji jest zdeterminowany geometri¡ elementu sko«czonego. 

Z uwagi na charakter metody elementów sko«czonych (kontynualny charakter funkcji 

ksztaªtu) szans¦ na przeprowadzenie komputerowej symulacji ruchu dyslokacji poprzez 

kolejne elementy sko«czone daje w zasadzie jedynie kontynualne podej±cie. W niniejszej 

pracy zostaªa wykorzystana metoda opracowana przez Dªu»ewskiego i Antúneza 

(1995). Z teoretycznego punktu widzenia podstaw¡ tej metody jest prawo bilansu dyslokacji, 

porównaj Dªu»ewski (1994, 1996). Wspomniana metoda dotyczy liniowej, kontynualnej 

teorii dyslokacji, z drugiej za± strony w poprzednich rozdziaªach zostaªa przedstawiona 

nieliniowa teoria uwzgl¦dniaj¡ca zmiany konguracji ciaªa. Z tego te» wzgl¦du 

krótko przedstawimy poni»ej podstawowe równia liniowej kontynualnej teorii dyslokacji. 

73

ROZDZIAŠ 6. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKO‹CZONYCH 74 

6.1 Liniowa kontynualna teorii dyslokacji 

W liniowej kontynualnej teorii dyslokacji gradient pola przemieszcze« mo»emy rozªo»y¢ 

w nast¦puj¡cy sposób 

grad u = ϖ + ε e + ε p (6.1) 

gdzie ϖ jest antysymetrycznym tensorem obrotu struktury, np. obrotu sieci krysztaªu, 

ε e jest tensorem spr¦»ystej deformacji, natomiast ε p jest (ogólnie niesymetrycznym) tensorem 

plastycznej deformacji. 

W kontynualnej teorii dyslokacji s¡ stosowane jednak ró»ne oznaczenia. Nasz zapis 

wywodzi si¦ z teorii zorientowanych o±rodków ci¡gªych i mo»e by¢ równie» u»ywany w zakresie 

np. spr¦»ystoplastycznych o±rodków polarnych z t¡ jedynie ró»nic¡, »e wtedy 

tensor odksztaªce« spr¦»ystych staje si¦ tensorem niesymetrycznym. Na ogóª jednak w 

teorii o±rodków zorientowanych nie stosuje si¦ zapisu pozwalaj¡cego np. na sformuªowanie 

kontynualnej teorii dyslokacji w kategoriach jednolitego zapisu z innymi teoriami zorientowanego 

kontinuum. Dla porównania przytoczmy tu inny, bardzo popularny rozkªad, 

wykorzystywany m. in. w bardzo szeroko cytowanych pracach E. Krönera (1958, 1960, 

1968, 1981), gdzie zakªada si¦, »e 

grad u = β T e + β T p (6.2) 

tensory β e i β p s¡ ogólnie niesymetryczne i s¡ one nazywane tensorami spr¦»ystej i plastycznejdystorsji. 

Wtakimwypadkusztywnyobrótmateriaªujesttraktowanyjakodystorsja 

spr¦»ysta! Porównuj¡c oba rozkªady (6.1) i (6.2) otrzymujemy relacje równowa»no±ci 

pomi¦dzy 

β e ≡ ϖ T + ε T e (6.3) 

β p ≡ ε T p (6.4) 

W liniowej kontynualnej teorii dyslokacji tensor g¦sto±ci dyslokacji jest zdeniowany jako 

df 

α d = curl ε p (6.5) 

W zapisie indeksowym oznacza to, »e 

α d ij = ε p im,n e jmn (6.6) 

gdzie e jmn jest reprezentacj¡ tensora alternacji. W liniowej teorii zakªada si¦ równie», »e 

pr¦dko±¢ zmian plastycznej deformacji speªnia nast¦puj¡ce równanie wi¦zów kinematycznych 

˙ε p = α d × v d (6.7) 

gdzie v d jest wektorem lokalnej pr¦dko±ci dyslokacji wzgl¦dem materiaªu. Caªkowita 

pr¦dko±¢ dyslokacji jest wtedy okre±lona jako v + v d gdzie v jest wektorem pr¦dko±ci 

ruchu kontinuum (masy). 

Zwykle w liniowej, kontynualnej teorii dyslokacji zakªada si¦ prawa zachowania masy, 

p¦du, momentu p¦du i energii w klasycznej formie. Prowadzi to do nast¦puj¡cych równa«


ró»niczkowych 

˙ρ + ρ div v = 0 (6.8) 

divσ + ρj − ρ ˙v = 0 (6.9) 

σ − σ T = 0 (6.10) 

−ρ ˙u + σ : ˙ε e + σ : ˙ε p − divq T + ρh = 0 (6.11) 

( 

qT 

) 

ρ ˙η + div − ρh ≥ 0 (6.12) 

T T 

gdzie wielko±ci ρ, σ, j, v, x, u, q T , h, η, T maj¡ takie same znaczenie jak w równaniach 

(5.1-5.5)(str. 68). Wykorzystuj¡c(6.7)i(6.11)nierówno±¢entropii(6.12)mo»emyzapisa¢ 

w nast¦puj¡cej postaci 

gdzie 

−ρ ˙ψ − ρηT ˙ + σ : ˙ε e + f d · v d − q T 

grad T ≥ 0 (6.13) 

T 

ψ = u − ηT (6.14) 

f d = σ × . α d (6.15) 

co oznacza, »e w zapisie indeksowym otrzymujemy 

f di = σ jk α d jl e ikl (6.16) 

ªatwo zauwa»y¢, »e f d jest siª¡ PeachaKoehler'a zapisan¡ w kategoriach kontynualnej 

teorii, porównaj (4.26). 

Na ogóª w liniowej, kontynualnej teorii dyslokacji nie stawia si¦ równania na energi¦ 

swobodn¡, ale bezpo±rednio postuluje si¦ równania konstytutywne dla spr¦»ysto±ci i ewentualnie 

dla przepªywu ciepªa. Takie podej±cie odpowiada klasycznej zale»no±ci na g¦sto±¢ 

energii swobodnej 

ψ = 1 2 ε e : D : ε T e + 1 c v 

T 2 

2 T ◦ 

(6.17) 

gdzie D jest tensorem moduªów spr¦»ysto±ci, c v jest wspóªczynnikiem pojemno±ci cieplej, 

natomiast T ◦ jest temperatur¡ odniesienia, tzn. temperatur¡ materiaªu wzgl¦dem której 

okre±lamy konguracj¦ odci¡»on¡. Zale»no±¢ (6.17) prowadzi do nast¦puj¡cych równa« 

konstytutywnych dla termospr¦»ysto±ci 

σ = D : ε e (6.18) 

η = c v 

T 

T ◦ 

(6.19) 

W klasycznej teorii dyslokacji powy»sze zwi¡zki uzupeªnia si¦ liniowymi równaniami 

przepªywu dyslokacji i ciepªa 

v d = λ d f d (6.20) 

q = λ T grad T (6.21) 

gdzie λ d i λ T s¡ tensorowymi staªymi materiaªowymi okre±laj¡cymi wªasno±ci przewodnictwa 

materiaªu z punktu widzenia przepªywu dyslokacji i ciepªa.


6.1.1 Ukªady równa« i liczba niewiadomych 

W przypadku rozpatrywania quasi-statycznych izotermicznych problemów spr¦»ystoplastycznej 

deformacji wywoªanej ruchem ci¡gªego pola dyslokacji otrzymujemy nast¦puj¡cy 

ukªad równa« 

div σ = 0 (6.22) 

α p = curl ε p (6.23) 

˙ε p = α p × v p (6.24) 

gdzie napr¦»enie i pr¦dko±¢ dyslokacji v d speªniaj¡ nast¦puj¡ce, linowe równania konstytutywne 

σ = D(∇u − ε p ) (6.25) 

σ × . α p 

v d = λ d 

ρ d 

(6.26) 

D i λ s¡ tensorami staªych materiaªowych odpowiednio czwartego i drugiego rz¦du. Tak 

wi¦c po podstawieniu równa« konstytutywnych (6.25) i (6.26) do ukªadu (6.22)-(6.24) 

mamy nast¦puj¡c¡ liczb¦ równa« i niewiadomych: 

• trzy równania (6.22) i odpowiadaj¡ce im trzy niewiadome: u x , u y i u z , 

• dziewi¦¢ równa« (6.23) i odpowiadaj¡ce im dziewi¦¢ niewiadomych: α xx , α xy , α xz , 

α yx , ..., α zz , 

• dziewi¦¢ równa« (6.24) i odpowiadaj¡ce im dziewi¦¢ niewiadomych: ε pxx , ε pxy , ε pxz , 

ε pyx , ..., ε pzz . 

Wceludalszegoograniczenialiczbyzmiennychrozpatrzmyprzypadekdwuwymiarowego 

ruchu rodziny prostoliniowych dyslokacji posiadaj¡cych ten sam kierunek linii i wektor 

Burgersa. W takim przypadku tensor g¦sto±ci dyslokacji jest okre±lony nast¦puj¡cym 

równaniem 

α p = ρ α ◦ (6.27) 

gdzie α ◦ jest tensorem odpowiadaj¡cym jednostkowej g¦sto±ci dyslokacji i mo»e by¢ traktowany 

jako tensorowa staªa odpowiadaj¡ca diadzie α ◦ = b d ⊗ l. Mo»na dowie±¢, »e w 

omawianym przypadku równanie ró»niczkowe (6.23) redukuje si¦ do prawa bilansu (6.30), 

porównaj np. Dªu»ewski i Antúnez (1995). W tym miejscu jednak przedstawmy nieco 

inn¡ metod¦ uzasadnienia prawa bilansu dla dyslokacji. 

Zauwa»my np., »e w wypadku rodziny jednakowych dyslokacji ich liczba w danym 

obszarze v wyra»a si¦ zale»no±ci¡ ∫ 

n d = ρ d dv (6.28) 

v 

gdzie ρ d jest skalarn¡ g¦sto±ci¡ dyslokacji. Warto tu podkre±li¢, »e z przyczyn czysto 

zycznych niemo»liwa jest produkcja jedynie jednoimiennych dyslokacji wewn¡trz materiaªów. 

St¡d te» zmiana w czasie liczby dyslokacji opisana jest nast¦puj¡cym równaniem 

d 

dt 

∫ 

∫ 

ρ d dv = − 

v d 

∂v d 

ρ d v d ds (6.29)


Powy»sze równanie caªkowe prowadzi do nast¦puj¡cego równania ró»niczkowego 

˙ρ d = − div (ρ d v d ) (6.30) 

równanie to staªo si¦ podstaw¡ wykorzystywanego tu algorytmu numerycznego. 

W celu dalszego zredukowania ilo±ci niewiadomych zaªo»ono dodatkowo, »e problem 

dotyczy zachowawczego ruchu wspomnianych dyslokacji kraw¦dziowych. To zaªo»enie jest 

tym bardziej uzasadnione, »e od samego pocz¡tku formuªowania problemu numerycznego 

zaªo»yli±my, »e spo±ród ró»nego typu defektów struktury przedmiotem zainteresowania s¡ 

jedynie dyslokacje. Opis procesu wspinania dyslokacji musiaªby uwzgl¦dnia¢ produkcj¦ i 

ruch defektów punktowych, np. wakansów. Takie postawienie problemu spowodowaªoby 

nie ograniczenie, ale wzrost liczby niewiadomych. St¡d te» ograniczaj¡c ruch dyslokacji 

do po±lizgu tensor plastycznej deformacji jest okre±lony jako 

ε p = γ p ε ◦ (6.31) 

gdzie dla naszego zagadnienia tensor ε ◦ jest staªy i wyra»a si¦ zale»no±ci¡ 

ε ◦ = b d 

|b d | ⊗ (l × b d 

|b d | ) (6.32) 

Uwzgl¦dniaj¡cpowy»szezwi¡zkiukªadrówna«(6.22)-(6.24)redukujesi¦donast¦puj¡cego 

ukªadu 

div σ = 0 (6.33) 

˙ρ d = − div (ρ d v d ) (6.34) 

˙γ p = v d ρ d b d (6.35) 

gdzie b d = |b d |, v d = |v d |, podczas gdy napr¦»enie i pr¦dko±¢ dyslokacji speªniaj¡ nast¦puj¡ce 

równania konstytutywne 

σ = D(∇u − γ p ε ◦ ) (6.36) 

v d = λ d b d σ : ε ◦ (6.37) 

λ d jest niezerow¡ skªadow¡ tensora λ d tak¡, »e 

b d 

λ d = λ d 

|b d | ⊗ (l × b d 

|b d | ) (6.38) 

Tak wi¦c z praktycznego punktu widzenia niewiadomymi s¡ 

• przemieszczenia u x , u y , 

• skalarna g¦sto±¢ dyslokacji ρ d , 

• odksztaªcenie plastyczne γ p .


6.2 Algorytm numeryczny 

Z punktu widzenia modelowania deformacji spr¦»ystoplastycznych najbardziej popularnym 

jest sformuªowanie oparte na tzw. spr¦»ystoplastycznych moduªach stycznych. 

W takim wypadku modeluje si¦ caªkowity przyrost deformacji bez wyszczególniania plastycznej 

i spr¦»ystej cz¦±ci. Modele tego typu s¡ modelami bardzo przybli»onymi i na ogóª 

nie zapewniaj¡ dobrych wyników w zakresie odci¡»ania materiaªu. St¡d te» w obecnie 

omawianym algorytmie zdecydowano si¦ na bardziej dokªadne, ale znacznie trudniejsze 

podej±cie. Oparte jest ono na oddzielnym modelowaniu spr¦»ystych i plastycznych deformacji. 

Do sformuªowania algorytmu numerycznego wykorzystano ukªad równa« (6.33)- 

(6.35). W celu okre±lenia niewiadomych u x , u y , ρ d i γ p wewn¡trz elementów sko«czonych 

nie mo»na jednocze±nie zaªo»y¢ funkcji wagowych dla wszystkich niewiadomych. Šatwo 

pokaza¢, »e w ten sposób otrzymaliby±my ukªad sprzeczny. Dotyczy to szczególnie ostatniego 

równania. Z punktu widzenie MESu, do rozwi¡zywania tego typu zagadnie« 

wprowadza si¦ tzw. zmienne pozaw¦zªowe. W naszym wypadku za tego typu zmienn¡ 

uznano γ p . Ze wzgl¦du na gotowe procedury caªkowania równa« ró»niczkowych po czasie, 

metod¡ niejawn¡ typu back Euler method, zdecydowano si¦ równie» na sformuªowanie 

pr¦dko±ciowe dla bilansu siª. Po zastosowaniu funkcji wagowych dla zmiennych u x , u y i 

ρ d nasz ukªad równa« przyj¡ª nast¦puj¡c¡ posta¢ 

[ ] [ ] [ ] [ ] 

Cu 0 ȧu Pu ḟu 

+ = 

0 C ρ ȧ ρ P ρ f ρ 

(6.39) 

gdzie a u , a ρ , f u i f ρ s¡ odpowiednio wektorem przemieszcze«, g¦sto±ci¡ dyslokacji, wektorem 

siª i strumieniem przepªywu dyslokacji w w¦zªach, natomiast a γ jest wektorem 

odksztaªce« plastycznych nie w w¦zªach ale w tzw. punktach Gaussa, podczas gdy 

∫ 

C u = ∇ T W u D∇Ndv (6.40) 

∫v 

C ρ = W ρ ⊗ Ndv (6.41) 

v∫ 

P u = − ∇ T W u Dε ◦ b d ρ d v d dv (6.42) 

v 

∫ 

b 

P ρ = − ∇ T d 

W ρ 

v |b d | v dρ d dv (6.43) 

gdzie W u i W ρ s¡ funkcjami wagowymi dla napr¦»e« i g¦sto±ci dyslokacji, N jest funkcj¡ 

ksztaªtu, natomiast ρ di i v di s¡ odpowiednio g¦sto±ci¡ dyslokacji i pr¦dko±ci¡ ruchu dyslokacji. 

Pr¦dko±¢ ta jest okre±lona w punktach Gaussa jako 

v d = λ d b d ε ◦ D(∇N ⊗ a u − γ p ε ◦ ) (6.44) 

Równanie macierzowe (6.39) mo»e by¢ rozpatrywane jako ukªad równa« ró»niczkowych 

zwyczajnych nieliniowych ze wzgl¦du na wektor a 

Cȧ + P(a) = f (6.45) 

Wykorzystuj¡c niejawn¡ metod¦ caªkowania po czasie, typu the backward Euler method, 

równanie (6.45) zostaªo zast¡pione zwi¡zkiem 

1 

∆t C (a n+1 − a n ) + P(a n+1 ) = f (6.46)


z którego mo»emy okre±li¢ rozwi¡zanie a n+1 dla t n+1 . W takim wypadku (6.46) mo»e by¢ 

rozwi¡zane metod¡ NewtonaRaphsona. Macierz styczna skªada si¦ wtedy z 

gdzie 

K (i) 

T 

= K L T 

+ K NL 

T 

(6.47) 

K L T 

= C (6.48) 

∆t 

(6.49) 

K NL 

T 

= ∂P 

∂a (i) 

n+1 

porównaj Zienkiewicz i Taylor (1991). W celu okre±lenia macierzy KT zauwa»my, »e 

wektor P, który musimy zró»niczkowa¢, zale»y od pr¦dko±ci ruchu dyslokacji, NL 

porównaj 

(6.42) i (6.43). W omawianym przypadku macierz K NL 

T 

przyjmuje posta¢ (str. 110) 

K NL 

T 

[ ∫ 

v 

≈ − el 

∇ T W u Dε ◦ b d ρ d λ d b d ε ◦ D∇Ndv 

∫ 

v el 

(∇ T b 

W d ρ )ρ |b d | dλ d ε ◦ D∇Ndv 

∫ ] 

v el 

∇ T W u Dε ◦ b d v d Ndv 

∫ 

v el 

(∇ T b 

W d ρ )v |b d | dNdv 

(6.50) 

gdzie v el oznacza pole elementu sko«czonego, v dg jest wektorem pr¦dko±ci w punktach 

Gaussa. W opisanym poni»ej programie zostaªa wykorzystana metoda Galerkina, tzn. 

przyj¦to, »e W ρ = W u = N. 

6.3 Program komputerowy 

Do wykonania oblicze« zostaª wybrany program metody elementów sko«czonych o nazwie 

FEAPautorstwaR.I.Taylora. Programtenrozszerzonoododatkoweproceduryodpowiadaj¡ce 

opracowaniu elementu sko«czonego uwzgl¦dniaj¡cego przepªyw dyslokacji zgodnie z 

algorytmemopisanymwpoprzednimpodrozdziale, patrzrównie» Dªu»ewski i Antúnez 

(1995). Istotnym elementem opracowanych procedur jest to, »e przyrost napr¦»e« nie 

jest liczony przy pomocy u±rednionych, spr¦»ystoplastycznych moduªów, ale na ka»dym 

kroku caªkowania jest liczony oddzielnie przyrost deformacji spr¦»ystej i plastycznej. 

Takie sformuªowanie pozwala na dokªadne analizowanie nie tylko procesów obci¡»ania, 

ale równie» w zakresie odci¡»ania. 

Na uwag¦ zasªuguje tu kilka istotnych cech wyró»niaj¡cych omawiany element w stosunku 

do klasycznych sformuªowa«: 

1. Omawiany element wykorzystuje zmienne pozaw¦zªowe do zapami¦tywania tensora 

odksztaªce« plastycznych w punktach Gaussa, 

2. Sprz¦»enie zjawisk deformacji plastycznej z przepªywem dyslokacji prowadzi w ogólnym 

wypadku do niesymetrycznej macierzy sztywno±ci, wi¡»e si¦ to z trudno±ciami 

w odwracaniu tego typu macierzy, 

3. Jednoczesne obliczanie maªych co do wielko±ci deformacji spr¦»ystych i du»ych deformacji 

plastycznych prowadzi do zªego uwarunkowania macierzy sztywno±ci, a w 

konsekwencji zmusza do stosowania maªych kroków caªkowania po czasie tak, aby 

przyrost deformacji plastycznej byª tego samego rz¦du co deformacja spr¦»ysta.


Rysunek 6.1: a)Siatka elementów z zaznaczonym obci¡»eniem i warunkami brzegowymi 

na tle pola napr¦»e« σ xy , b) powi¦kszenie obszaru zag¦szczenia elementów 

6.4 Opis rozwi¡zanego przykªadu 

Analizowany poprzednio ukªad równa« ró»niczkowych mo»emy zapisa¢ w nast¦puj¡cej 

postaci 

⎡ 

⎣ 

0 0 0 

0 1 0 

0 0 1 

⎤ ⎡ 

⎦ ⎣ 

⎤ 

˙u 

˙ρ d 

˙γ p 

⎡ 

⎦+ ⎣ 

div (D∇u − Dε ◦ γ p ) 

div [ρ d λ d b d ε ◦ D(∇u − ε ◦ γ p )] 

ρ d b d λ d b d ε ◦ D∇u 

⎤ 

⎡ 

⎦+ ⎣ 

⎤ ⎡ 

0 

0 ⎦ = ⎣ 

ρ d b d λ d b d ε ◦ Dε ◦ γ p 

(6.51) 

Mo»emy dla tego ukªadu postawi¢ problem brzegowy odpowiadaj¡cy propagacji pola dyslokacji 

pod wpªywem przyªo»onego z zewn¡trz obci¡»enia. Rozpatrzmy warunki brzegowe 

dla trzech równa« (6.51) odpowiadaj¡cych kolejnym zmiennym u, ρ d i γ p . Warunek brzegowy 

dla pierwszego z nich odpowiada¢ mo»e podaniu na brzegu przemieszcze« b¡d¹ 

napr¦»e«. Warunki brzegowe dotycz¡ce za± drugiego z równa« mog¡ odpowiada¢ zadaniu 

na brzegu obszaru pola ρ d lub strumienia dyslokacji q = n · v d ρ d . Zauwa»my jeszcze, »e 

trzecie z równa« (6.51) nie wymaga warunków brzegowych. W omawianym przykªadzie 

zaªo»ono, »eanalizowanyobszarkontinuumjestprostok¡temowymiarach 108nm×108nm. 

Obszar ten podzielono na 402 elementy sko«czone pokazane na rys.6.1a, w taki sposób, 

»e w miejscu przewidywanej koncentracji dyslokacji poszczególne elementy sko«czone miaªy 

wymiary 1nm × 1nm, patrz rys.6.1b. Caªy obszar zostaª zamocowany na staªe w 

lewym dolnym w¦¹le, natomiast w pozostaªych w¦zªach najni»szego rz¦du przesuwnie, 

patrz rys.6.1a. Z lewej stony obszaru przyªo»ono obci¡»enie zewn¦trzne, patrz strzaªki 

na rys.6.1, w taki sposób, aby w przewidywanym obszarze koncentracji pola dyslokacji 

wywoªa¢ silne napr¦»enia ±cinaj¡ce σ xy , porównaj rys.6.2. Przyj¦te w zadaniu staªe materiaªowe 

przedstawia tablica 6.1 (str. 85). 

Opracowany algorytm numeryczny nie daje mo»liwo±ci bezpo±redniego zadania pocz¡- 

tkowego pola g¦sto±ci dyslokacji i automatycznego wygenerowania odpowiadaj¡cego temu 

polu pola napr¦»e« rezidualnych, porównaj równanie (6.36). St¡d te», zaªo»ono, »e w 

0 

0 

0 

⎤ 

⎦


Rysunek 6.2: Stan napr¦»e« w [MPa], w chwili t = 0, z prawej strony powi¦kszenia dla 

obszaru koncentracji napr¦»e«


Rysunek 6.3: Kolejne fazy propagacji pola g¦sto±ci dyslokacji, cd. na nastepnym rysunku


Rysunek 6.4: Kolejne fazy propagacji pola g¦sto±ci dyslokacji


Rysunek 6.5: Ko«cowy stan napr¦»e« (uzyskany dla t = 1.2s)


Wielko±¢ zyczna Warto±¢ 

Moduª Krichhoa G 0.3 × 10 MPa 

Moduª Younga E 5 0.7 × 10 MPa 

Wektor Burgersa b 0.3 nm 

5 

Wspóªczynnik lepk. λ d 1 × 10 −6 m 

s·MPa 

Tablica 6.1: Zaªo»one staªe materiaªowe 

chwili t = 0 analizowany obszar nie zawiera dyslokacji, tzn. γ p (x, t)| t=0 ≡ 0, jednocze±nie 

zaªo»ono, »e w s¡siedztwie w¦zªów nr 85 i 105 wpªywa strumie« dyslokacji q = 1 × 

10 −11 m −1 s . Zaªo»ono przy tym, »e s¡ to dyslokacje kraw¦dziowe o wektorze Burgersa o 

skªadowych 

−1 b x = cos 20 ◦ · 0.3nm (6.52) 

b y = sin 20 ◦ · 0.3nm (6.53) 

W pozostaªych w¦zªach na brzegu obszaru przyj¦to ρ d = 0. 

Pod wpªywem przyªo»onego obci¡»enia zewn¦trznego nast¦powaªa stopniowa propagacja 

pola dyslokacji przez kolejne elementy sko«czone, porównaj 6.3 i 6.4. Jednocze±nie w 

wyniku lokalnej deformacji plastycznej nast¦powaªo stopniowe odci¡»anie obszaru przez 

który przepªyn¦ªy ju» dyslokacje. Rys.6.5 przedstawia rozkªad napr¦»e« uzyskany na 

ko«cu procesu symulacji procesu. 

6.5 Dyskusja uzyskanych wyników numerycznych 

Porównuj¡c podstawy teoretyczne algorytmu numerycznego zastosowanego w pracy Dªu- 

»ewskiego i Antúneza (1995) z obecnie prezentowanym algorytmem mo»na zauwa»y¢, 

»e algorytmy te ró»ni¡ si¦ gªównie metod¡ okre±lania staªych. Natomiast z punktu 

widzeniauzyskanychwynikównumerycznychobecnyalgorytmnieprowadziju»dorozpªywania 

si¦ pola dyslokacji w materiale, ale pozwala na symulacj¦ ruchu pola dyslokacji 

poprzez kilkadziesi¡t kolejnych elementów sko«czonych, porównaj np. rozkªad pola dyslokacjiuzyskanynarys. 

6.6dlat=1.2szrozkªademprezentowanymwpracy Dªu»ewskiego 

i Antúneza (1995) Fig. 3d . Ró»nice te wynikaj¡ z usuni¦cia bª¦dów numerycznych, 

które wkradªy si¦ w trakcie opracowywania procedur fortranowskich. 

Drug¡ przyczyn¡ poprawy wyników jest inna (bardziej dokªadna) dyskretyzacja obszaru. 

Ta bardziej dokªadna dyskretyzacji zostaªa uzyskana m. in. dzi¦ki lokalnemu 

zag¦szczeniu siatki. Z uwagi na stosowanie czworok¡tnych elementów zag¦szczenie siatki 

wi¡zaªo si¦ z konieczno±ci¡ u»ycia elementów o nieregularnych ksztaªtach. To z kolei 

spowodowaªo pojawienie si¦ bª¦dów numerycznych w postaci lokalnej, silnej koncentracji 

napr¦»e« w niektórych w¦zªach nieregularnych elementów, porównaj np. rozkªad napr¦»e« 

σ yy na rys. 6.5 (prawy dolny rysunek). 

Wartoturównie»zwróci¢uwag¦nalokalneodci¡»enieobszaru, przezktóryprzepªyn¦ªy 

dyslokacje, porównaj pawie oczko dla pocz¡tkowej koncentracji napr¦»e« ±cinaj¡cych 

σ xy , rys. 6.2, z obci¦tym pawim oczkiem na rys. 6.5. Wynik ten jest rezultatem wzajemnego 

sprz¦»enia procesu przepªywu dyslokacji, z procesem spr¦»ystoplastycznej deformacji 

siatki. Ko«cowy ksztaªt fragmentu zdeformowanej plastycznie siatki zostaª pokazany


Rysunek 6.6: Fragment zdeformowanej konguracja ko«cowej (t=1.2s) przy 25-cio krotnym 

powi¦kszeniu przemieszcze« 

na rys. 6.6. Na tym rysunku pole przemieszcze« zostaªo powi¦kszone 25-cio krotnie. 

Oznacza to, »e rzeczywista deformacja plastyczna byªa stosunkowo niewielka. Powodem 

tak maªej deformacji plastycznej byªy du»e warto±ci staªych spr¦»ystych (aluminium). 

Wi¡zaªo si¦ to z gwaªtownym spadkiem napr¦»e« ju» dla bardzo niewielkich lokalnych 

odksztaªce« plastycznych. W konsekwencji wywoªywaªo to spadek siªy Peacha-Koehlera 

i w praktyce oznaczaªo, »e symulacj¦ ruchu dyslokacji mo»na byªo wykona¢ jedynie przy 

zastosowaniu lokalnej koncentracji dyslokacji nie wi¦kszej ni» rz¦du ρ = 10 15 m . Przy 

przemieszczaniu si¦ dyslokacji w zakresie analizowanego obszaru −2 (108nm × 108nm) dyslokacje 

te wywoªywaªy niestety bardzo niewielkie, lokalne deformacje plastyczne. St¡d te», 

aby ujawni¢ na rys. 6.2 efekt deformacji plastycznej, przemieszczenia kontinuum zostaªy 

powi¦kszone 25-cio krotnie. 

6.5.1 Inne próby komputerowej symulacji 

Zastosowane tu sformuªowanie numeryczne jest jedn¡ z pierwszych prób jednoczesnego 

wykorzystania kontynualnej teorii dyslokacji i metody elementów sko«czonych. 

Ze wzgl¦du na bardzo intensywny rozwój metod komputerowych, a w tym metody elementów 

sko«czonych, obecnie coraz cz¦±ciej podejmowane s¡ ró»ne próby wykorzystania 

tych metod do symulacji sprz¦»e« pomi¦dzy ruchem dyslokacji a deformacj¡ spr¦»ysto- 

plastyczn¡, np. Stigh (1993), Canova i wsp. (1994). Mo»na równie» zetkn¡¢ si¦ 

z próbami zastosowania metod nie wywodz¡cych si¦ z mechaniki kontinuum, jak np. 

automaty komórkowe, Rappaz i Gandin (1993). Jednak wi¦kszo±¢ dotychczasowych


rozwi¡za« dla dyslokacji wywodzi si¦ z kontynualnej teorii. Praca Stigh'a jest prób¡ 

modelowania za pomoc¡ MES pola odksztaªce« spr¦»ystych wokóª nieruchomego rdzenia 

dyslokacji. Praca Canovy i wspóªpracowników (1994) jest natomiast ju» prób¡ modelowania 

ruchu dyslokacji. W ostatnio wspomnianej pracy zastosowano algorytm symulacji 

ruchu dyslokacji odpowiadaj¡cy przeskakiwaniu dyslokacji od w¦zªa do w¦zªa siatki 

elementów sko«czonych. W takim wypadku kierunek ruchu dyslokacji jest silnie ograniczony 

geometri¡ poszczególnych elementów sko«czonych. Takie sformuªowanie nie jest w 

peªni sformuªowaniem z zakresu mechaniki kontinuum, ale jedynie pewn¡ dyskretn¡ prób¡ 

opisu ruchu dyslokacji. Nie daje ono np. mo»liwo±ci swobodnego symulowania ruchu dyslokacji 

w dowolnych kierunkach. Jednym z pierwszych sformuªowa« z zakresu kontynualnej 

teorii byªo sformuªowanie opracowane przez Dªu»ewskiego i Antúneza (1995). 

Sformuªowanie to daje mo»liwo±¢ komputerowej symulacji ruchu dyslokacji poprzez kolejne 

elementy sko«czone. 

6.5.2 Wnioski z komputerowej symulacji 

Analizuj¡cjako±ciowycharakteruzyskanychwpracywynikównumerycznychnale»ystwierdzi¢, 

»e wyniki te przypominaj¡ raczej proces rozchodzenia si¦ ciepªa w materiale ni» 

obserwowane w rzeczywisto±ci procesy ruchu dyslokacji. Mo»na sobie zada¢ pytanie: 

Co jest gªówn¡ przyczyn¡ jako±ciowych ró»nic mi¦dzy rzeczywistymi procesami przepªywu 

dyslokacji a wynikami komputerowej symulacji? Zdaniem autora to nie zaªo»enia kinematyczne 

samej kontynualnej teorii dyslokacji (prawo pªyni¦cia) s¡ tego przyczyn¡, gdy» 

przebieg procesu propagacji pola dyslokacji nie zale»y jedynie od zaªo»e« kinematycznych 

modelu, ale zale»y przede wszystkim od siª termodynamicznych rz¡dz¡cych procesem. 

Jak istotn¡ rol¦ odgrywaj¡ te siªy w jako±ciowym charakterze przebiegu deformacji 

plastycznych wystarczy porówna¢ zdj¦cia mikrostruktury zdeformowanych materiaªów 

uzyskiwane dla materiaªów o niskiej i o wysokiej energii bª¦dów uªo»enia. 

St¡d te» powstaje fundamentalne pytanie: jakie siªy powinny zosta¢ uwzgl¦dnione 

w kontynualnej teorii dyslokacji, aby teori¦ t¡ zbli»y¢ do rzeczywisto±ci? Pewnym istotnym 

argumentem jest tu fakt, »e rzeczywiste struktury materiaªów odpowiadaj¡ce 

quasi-jednorodnym rozkªadom jednoimiennych dyslokacji z reguªy nie wyst¦puj¡ w materiaªach. 

Co wi¦cej! pomimo, »e mechanizm dyslokacyjny jest ogólnie uznawany za podstawowy 

mechanizm plastycznej deformacji krysztaªów, to obserwowane w rzeczywisto±ci 

zakrzywienia sieci monokrysztaªów s¡ mierzone cz¦sto nie w stopniach, ale w minutach. 

±wiadczy to jednoznacznie o tym, »e struktury odpowiadaj¡ce du»ym warto±ciom tensora 

g¦sto±ci dyslokacji (tzn. du»ym krzywiznom sieci) s¡ strukturami wysokoenergetycznymi. 

Dlatego, zakªadaj¡c w kontynualnej teorii dyslokacji pole α d (x, t) nie powinno si¦ jednocze±nie 

zakªada¢, »e energia swobodna nie zale»y od α d . Niestety, jak dot¡d, jest to 

klasyczne zaªo»enie kontynualnej teorii dyslokacji. 

Uwzgl¦dnienie w modelowaniu konstytutywnym siª termodynamicznych kontroluj¡cych 

zale»no±¢ energii krysztaªu od tensora g¦sto±ci dyslokacji mo»e 

przeciwdziaªa¢ otrzymywaniu jednorodnej propagacji pola dyslokacji a tym 

samym, mo»e okaza¢ si¦ siª¡ termodynamiczn¡ pozwalaj¡c¡ na komputerow¡ 

symulacj¦ procesów formowania si¦ niskoenergetycznych struktur. 

Wniosek powy»szy wymaga dalszych bada«, szczególnie z punktu widzenia modelowania 

konstytutywnego i analizy uzyskiwanych rozwi¡za«. Pewnym istotnym krokiem w


kierunku uwzgl¦dnienia siªy termodynamicznej skoniugowanej z tensorem g¦sto±ci dyslokacjibyªoopracowanienowegotermodynamicznegobilansusiªnapoludyslokacji, 

porównaj 

rozdziaª 5. 

6.5.3 Dalsze mo»liwo±ci rozwoju algorytmu numerycznego 

Istotnymkierunkiemdalszegorozwojuomawianegoalgorytmujestopracowaniesformuªowania 

odpowiadaj¡cego zaªo»eniu, i» energia materiaªu zale»y od g¦sto±ci defektów. Z praktycznego 

punktu widzenia sprowadza si¦ to do uwzgl¦dnienia na polu dyslokacji nie tylko 

siªy Peacha -Koehlera, ale równie» innych siª. Tego typu sformuªowanie daªoby mo»liwo±¢ 

testowania ró»nych modów deformacji plastycznej zwi¡zanych z zale»no±ci¡ energii materiaªu 

od g¦sto±ci defektów. 

Jedn¡ z gªównych wad wykorzystanego tu sformuªowania numerycznego jest brak 

mo»liwo±ci zadania dowolnego pola g¦sto±ci dyslokacji i automatycznego znalezienia pola 

napr¦»e« rezidualnych. St¡d w praktycznym zastosowaniu modelu nie zakªadano pola g¦sto±ci 

dyslokacji wewn¡trz rozpatrywanego obszaru, ale zakªadano i» obszar ten w chwili 

t = 0 nie zawiera dyslokacji. Na brzegu wspomnianego obszaru zakªadano natomiast 

strumie« dyslokacji. Pod wpªywem przyªo»onego obci¡»enia dyslokacje poruszaªy si¦ do 

wewn¡trz obszaru powoduj¡c deformacj¦ spr¦»ystoplastyczn¡ i tym samym generuj¡c 

pole napr¦»e« rezidualnych. Jednym z priorytetowych zada« jest opracowanie takiego 

algorytmu numerycznego, który dawaªby mo»liwo±¢ wygenerowania pocz¡tkowego pola 

napr¦»e« rezidualnych. Najprostsz¡ metod¡ osi¡gni¦cia takiego celu jest przyj¦cie odksztaªcenia 

plastycznego ε p za zmienn¡ w¦zªow¡. ªatwo zauwa»y¢, »e w takim wypadku 

g¦sto±¢ dyslokacji mo»e by¢ policzona na podstawie gradientu ε p , podczas gdy policzenie 

gradientu pola g¦sto±ci dyslokacji wymaga ju» okre±lenia drugiej pochodnej ε p . Tego 

typu wymagania wykraczaj¡ poza mo»liwo±ci standardowo dost¦pnych procedur metody 

elementów sko«czonych. Wymagaj¡ bowiem okre±lenia drugich pochodnych funkcji ksztaªtu. 

Wydaje si¦ wi¦c, »e dalszym istotnym krokiem w rozwoju komputerowej symulacji 

ruchu dyslokacji b¦dzie opracowanie podprogramów numerycznych pozwalaj¡cych na implementacj¦ 

algorytmu opartego na liczeniu drugich pochodnych funkcji ksztaªtu. Przy 

pomocy takiego algorytmu b¦dzie mo»na policzy¢ pole napr¦»e« odpowiadaj¡ce dowolnie 

zadanemu polu g¦sto±ci dyslokacji.

Rozdziaª 7 

Podsumowanie 

Zdaniem autora rozprawa zawiera nast¦puj¡ce, oryginalne wyniki: 

1. W zakresie sko«czonych deformacji wyprowadzono równania zgodno±ci pomi¦dzy 

miarami deformacji przemieszczeniowej, a miarami zakrzywienia typu α, porównaj 

(3.93)÷(3.96). Warto podkre±li¢, »e zwi¡zki te nie dotycz¡ tylko kontynualnej 

teorii dyslokacji, ale dotycz¡ wielu kontynualnych teorii, w których pole obrotu 

mikrostruktury jest uwzgl¦dniane. 

(a) Zwi¡zki odpowiadaj¡ce równaniu Nye'a (4.22) zostaªy wyprowadzone w zakresie 

sko«czonych deformacji, porównaj przej±cie (3.19) - (3.27). Pokazano 

przy tym, »e zaproponowany tu ukªad praw transformacji dla tensorów α ... 

i κ ... zapewnia obiektywno±¢ dokonywania rozkªadu tensorów zakrzywienia. 

Obiektywno±¢ ta polega mi¦dzy innymi na tym, »e rezultat dokonania rozkªadu 

tensora zakrzywienia, np. na spr¦»yst¡ i plastyczn¡ cz¦±¢, nie zale»y od tego 

czy dokonamy go w aktualnej konguracji i przetransformujemy otrzymane 

tensory do konguracji odci¡»onej, czy te» bezpo±rednio dokonamy rozkªadu 

w konguracji odci¡»onej. 

(b) Pokazanorównie», »erównanie ̂div ̂α = 0uznawaneniekiedyzafundamentalne 

równanie teorii dyslokacji, porównaj Kröner (1958), Teodosiu (1970), nie 

jest »adnym fundamentalnym (szczególnym, specycznym, wyró»niaj¡cym j¡ 

spo±ród innych) równaniem teorii dyslokacji, ale jest ogólnym warunkiem zgodno±ci 

obrotów, który podobnie jak warunek zgodno±ci przemieszcze«, musi by¢ 

speªniony nie tylko w kontynualnej teorii dyslokacji, ale równie» w ka»dej innej 

teorii, w której pole obrotu mikrostruktury jest uwzgl¦dniane, np. w teorii 

o±rodków Cosserat. 

2. Zaproponowano tu ogólny ukªad równa« konstytutywnych dla ruchu pola dyslokacji. 

Ukªad ten wyró»nia si¦ zale»no±ci¡ g¦sto±ci energii swobodnej od tensora g¦sto±ci 

dyslokacji. Speªnia on ograniczenia termodynamiczne w zakresie sko«czonych deformacji, 

porównaj (5.12), (5.33) i (5.34). Wydaje si¦, »e speªnienie tego typu 

warunków, wramachnieliniowejkontynualnejteoriidyslokacji, zostaªo otrzymane po 

raz pierwszy zwªaszcza, je±li chodzi o zaªo»enia, o których byªa mowa na str. 10. 

Cen¡, któr¡ trzeba byªo tu zapªaci¢ za uzyskanie takiego wyniku byªo uwzgl¦dnienie 

dodatkowego strumienia przepªywu energii swobodnej w prawie bilansu energii. 

89

ROZDZIAŠ 7. PODSUMOWANIE 90 

Bez tego dodatkowego strumienia nie mo»na speªni¢ wspomnianych zaªo»e«. Strumie« 

ten ma jednak swoje gª¦bokie uzasadnienie zyczne, gdy» jest on zwi¡zany 

z transportem energii wewn¦trznej zmagazynowanej lokalnie wokóª pojedynczych 

dyslokacji w krysztaªach. 

3. Zastosowane tu sformuªowanie numeryczne jest jedn¡ z pierwszych prób wykorzystania 

kontynualnej teorii dyslokacji i metody elementów sko«czonych do komputerowej 

symulacji procesów spr¦»ystoplastycznej deformacji materiaªów. Uzyskane 

wyniki numeryczne pokazuj¡, »e kontynualna teoria dyslokacji to nie tylko pewna, 

abstrakcyjna teoria opisu geometrii i kinematyki, ale jest to teoria modelowania konstytutywnego 

o dotychczas nie wykorzystanych potencjalnych mo»liwo±ciach komputerowej 

symulacji procesów deformacji. W rozprawie zwrócono uwag¦ na rol¦, 

jak¡ w przyszªych zastosowaniach mo»e odegra¢ pomijana zwykle zale»no±¢ energii 

swobodnej od tensora g¦sto±ci dyslokacji. Z drugiej jednak strony zaprezentowane 

tu wyniki numeryczne pokazuj¡, »e na obecnym etapie rozwoju kontynualna teoria 

dyslokacji nie daje jeszcze wyników jako±ciowo zgodnych z obserwowanymi eksperymentalnie 

rozkªadami mikrodeformacji.

Bibliograa 

Abeyaratne R. i Knowles J.K. (1990) On the driving traction acting on a surface 

of strain discontinuity in a continuum. J. Mech. Phys. Solids. 38, 345-360. 

Aifantis E.C. (1987) The physics of plastic deformation. Int. J. Plasticity 3, 211-247. 

Argyris J. (1982) An excursion into large rotations. Comput. Meths. Appl. Mech. 

Engng. 32, str. 85-155. 

Asaro R.J. (1983) Micromechanics of crystals and polycrystals. Adv. Appl. Mech. 23, 

1-115. 

Bilby B.A. (1960)Continuousdistributionofdislocations. Progress in Solid Mechanics 

(ed. I.N. Sneddon i R. Hill) 1, 331-398. North-Holland Publ., Amsterdam. 

Bilby B.A. (1966) Teoria Dyslokacji cz.III, Geometrical aspects of continuous distributions 

of dislocations, WPAN, WrocªawW-waKraków. 

Blinowski A. (1994a) On the kinematics of the set of oriented elements. Arch. Mech. 

46, 6. 

Blinowski A. (1994b) Obroty ciaª odksztaªcalnych, cz.I: Geometria i kinematyka, 

Prace IPPT 7/94. 

Bourbaki N. (1956) Éléments de Mathématique: Les structures fondamentales de 

l'analyse, XXI Livre VI. Paris. 

Bowen R.M. i Wang C.-C. (1976) Introduction to Vectors and Tensors, Vol. 1-2. 

Plenum Press, New York and London. 

Bunge (1982) Texture Analysis of Material Science. Butterworths, London. 

Burgers J.M. (1939a) Some considerations of the eld of stress connected with dislocations 

in a regular crystal lattice, Part 1. Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetensch. 42, 

293325. 

Burgers J.M. (1939b) Some considerations of the eld of stress connected with dislocations 

in a regular crystal lattice, Part 2. Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetensch. 42, 

378399. 

Canova G.R., Bréchet Y., Kubin L.P., Devincre B., Pontikis V. i Condat 

M. (1993) 3D simulation of dislocation motion on a lattice. Proc. Int. Coll. DISLOCA- 

TIONS 93 -Microstructures and Physical Properties (ed. L.P.Kubin i wsp.) Aussois 31 

March-9 April, France. 

91

BIBLIOGRAFIA 92 

Cartan E. (1936) Leçons sur Méthode de la Répère Mobile. Gauthier-Villars, Paris. 

Clement A. (1982) Prediction of deformation texture using a physical principle of 

conservation. Mater. Sci. Eng. 55, 203-210. 

Cosserat E. i F. (1909) Theorie des Corps Deformable. Hermann, Paris. 

de Witt R. (1970) Linear theory of static disclinations. Fundamental Aspects of Dislocations 

(ed. J.A.Simmonds, R.de Witt, R.Bullough). Nat. Bur. Stand. Spec. Publ. 

317, vol 1, 651-673. 

Dªu»ewski P. (1996) On geometry and continuum thermodynamics of structural defect 

movement. Mech. Mater. 22, 23-41. 

Dªu»ewski P. (1994) Continuum theory of dislocations in angular coordinates. Solid 

State Phenomena. 35-36, 539-544. 

Dªu»ewski P.H. (1993) Finite deformations of polar elastic media. Int. J. Solids 

Structures 30, 2277-2285. 

Dªu»ewski P.H. (1991a) Crystal orientation spaces and remarks on the modelling of 

polycrystal anisotropy. J. Mech. Phys. Solids 39, 651-661. 

Dªu»ewski P.H. (1991b) Finite deformations of polar media in angular coordinates. 

Arch. Mech. 43, 783-793. 

Dªu»ewski P. i Antúnez H. (1995) Finite element simulation of dislocation eld 

movement. CAMES 2, 141-148. 

Dªu»ewski P. i Perzyna P. (1996) Dyssypatywny spin plastyczny. Opis termodynamiczny 

(w przygotowaniu). 

Eisenhart L.P. (1949) Riemannian Geometry. Princeton University Press, Princeton. 

Eisenhart L.P. (1927) Non-Riemannian Geometry. Am. Math. Soc., Providence, 

Rhode Island. 

Ericksen J.L. (1960) Tensor elds, w Truesdell i Toupin (1960). 

Ericksen J.L. (1983) Thermoelastic considerations for continously dislocated crystals. 

Proc. Int. Symp. of Mechanics of Dislocations, 95100, Michgan, American Soc. for 

Metals. 

Eringen A.C. (1971) Tensor analysis. Continuum Physics (ed. A.C. Eringen), vol. I, 

2-153. Academic Press, New York. 

Eringen A.C. i Kafadar C.B. (1976) Polar eld theories. Continuum Physics (ed. 

A.C. Eringen), vol. IV, 1-73. Academic Press, New York. 

Gairola B.K.D. (1979) Nonlinear elastic problems. Dislocations in Solids (ed. F.R.N. 

Nabarro) vol.1, 223-342. North-Holland, Amsterdam.


Gambin W.(1991)Phenomenologicalmodelofdeformationtexturedevelopment, Proc. 

MECAMAT'91, Fontainbleau, August 1991. 

Gjostein N.A. (1973) Short circuit diusion, in Diusion ASM Metals Park, Ohio. 

Goª¡b S. (1966) Rachunek Tensorowy. PWN, Warszawa. 

Grabski M. (1969) Struktura Granic Ziarn w Metalach. BFM ±l¡sk, Katowice. 

Gurtin M.E. (1995) The nature of congurational forces. Arch. Rational Mech. Anal. 

131 166. 

Günther H. (1967) Zur nichtlinearen Kontinuumstheorie bewegter Versetzungen. Disertation, 

Academic-Verlag, Berlin. 

Horodon M.J. i Averbach B.L. (1961), Acta Metall. 9, 247. 

Ignaczak J. i Rao C.R.A. (1995) Stress characterization of elastodynamics with continously 

distributes defects. J. Elasticity 30, 219-250. 

Kafadar C.B. i Eringen A.C (1971) Micropolar media -I, the classical theory. Int. 

J. Engng. Sci. 9, 271-305. 

Kelly A. i Groves G.W. (1970) Crystallography and Crystal Defects. Longman 

Group Limited, London. 

Kiryk R. i Dªu»ewski P.H. (1987) Inuence of microstresses on subsequent yield 

surfaces of polycrystalline materials. Int. J. Engng. Sci. 27, 1589-1592. 

Komorowski J. (1978) Od Liczb Zespolonych do Tensorów, Algebr Liego i Kwadryk. 

PWN, Warszawa. 

Kondo K. (1952) On geometrical and physical foundations of the theory of yielding. 

Proc. 2nd Japan Nat. Congr. Appl. Mech. vol 2, 41-47. 

Kosevich A.M. (1979) Crystal dislocations and the theory of elasticity. Dislocations 

in Solids (ed. F.R.N. Nabarro) vol.1, p.33. North-Holland, Amsterdam. 

Kossecka E. i de Witt (1977) Disclination kinematics. Arch. Mech. 29, 633-651. 

Kröner E. (1955) Der Fundamentale Zusammenhang Zwischen Versetzungs-dichte 

und pannungsfunktionen. Z. Phys. 142, 463-475. 

Kröner E. (1958) Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen. 

Springer-Verlag, Berlin. 

Kröner E. (1960) Allgemeine Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen. 

Arch. Rat. Mech. Anal. 4, 273. 

Kröner E. (1968) Interrelations between various branches of continuum mechanics. 

Mechanics of Generalized Continua (ed. E. Kröner), 330340. 

Kröner E. (1981) Continuum theory of defects. Physics of defects, (ed. R. Balian, M. 

Kleman, J.-P. Poiries) Nord Holland, Amstredam, 215315.


Kumar A. i Dawson P.R. (1996) Polycrystal plasticity modeling of bulk forming with 

nite elements over orientation space. Comp. Mech. 17, 10-25. 

Lardner R.W. (1974) Mathematical Theory of Dislocations and Fracture. University 

of Toronto Press, Toronto. 

Le K.C. i Stumpf H. (1996a) Nonlinear continuum theory of dislocations. Int. J. Eng. 

Sci. 34, 339-358. 

Le K.C.iStumpf H.(1996b)Onthedeterminationofthecrystalreferenceinnonlinear 

theory of dislocations. Proc. R. Soc. Lond. A 452, 359-371. 

Marsden J.E. i Hughes T.J.R. (1983) Mathematical Foundations of Elasticity. 

Prentice-Hall, Englewood Clis, N.J. 

Mandel J. (1972) Plasticite classique et viscoplasticite. Lecture Notes Int. Centre of 

Mech. Sci., Udine, Springer-Verlag, Berlin. 

Maugin G. (1993) Material Inhomogenities in Elasticity. Applied Mechanics and 

Methematical Computation 3, Chapman & Hall, London. 

Minagawa S. (1979) A non-Riemannian geometrical theory of imperfections in a 

Cosserat continuum. Arch. Mech. 31, 783-792. 

Morawiec A. (1990) The rotation rate eld and geometry of orientation spaces. J. 

Appl. Cryst. 23, 374-377. 

Morawiec A., Wierzbanowski K., Jura J. i Baczmanski A. (1991) Prediction of 

deformation of texture in polycrystal. Phill. Mag. 64, 1251-1263. 

Mura T. (1968) Continuum theory of dislocations and plasticity. Mechanics of Generalized 

Continua (ed. E. Kröner), 269-278. Springer-Verlag, Berlin. 

Mura T. (1969) Method of continuously distributed dislocations. Mathematical Theory 

of Dislocations (ed. T. Mura), 25-48. The American Soc. Mech. Engineers, New York. 

Naghdi P.M. i Srinivasa A.R. (1994) Characterization of dislocations and their in- 

uence on deformations in single crystals. Int. J. Engng. Sci. 32, 1157-1182. 

Noll W. (1967) Materially uniform simple bodies with inhomogenities. Arch. Rat. 

Mech. Anal. 27, 132. 

Nowacki W.(1971) Teoria Niesymetrycznej Sprezystosci. PWN, Warszawa. 

Nowacki W.iOlesiakZ.S.(1991) Termodyfuzja w Ciaªach Staªych.PWN,Warszawa. 

Nye J.F. (1953) Some geometrical relations for dislocated crystals. Acta metall. 1, 

153-162. 

Peach M.O. i Koehler J.S. (1950) The forces exerted on dislocations and the stress 

elds produced by them. Phys. Rev. 80, 436.


Perzyna P. (1988) Temperature and rate dependent theory of plasticity of crystalline 

solids. Revue Phys. Appl. 23, 445-459. 

Pietraszkiewicz W. i Badur J. (1983) Finite rotations in the description of continuum 

deformation. Int. J. Engng. Sci. 21, 1097-1115. 

Raniecki B. i Tanaka K (1992) On the thermodynamic driving force for martensitic 

phase transitions. Residual Stresses III, Science and Technology (ed. H. Fujiwara, T. 

Abe and K. Tanaka), Vol.1 Elsevier Appl. Sci. London, N-Y, 196-201. 

Rappaz M. i Gandin Ch.-A. (1993) Probabilistic modelling of microstructure formation 

in solidication process. Acta metall. mater. 2, 345-360. 

Raszewski P.K. (1958) Geometria Riemanna i Analiza Tensorowa. PWN, Warszawa. 

Rice J.R. (1971) Inelastic constitutive relations for solids: an internal variable theory 

and its application to metal plasticity. J. Mech. Phys. Solids 19, 433-455. 

Rogula D. (1977) Forces in material space. Arch. Mech. 29, 705-713. 

Rychlewski J. (1996) Tensory. manuskrypt ksi¡»ki. 

Rymarz Cz. (1989) The director nonlocality of nematic liquid crystals. J. Techn. Phys. 

30, 209-225. 

Rymarz Cz. (1990) More about the relations between the Ericksen LeslieParodi and 

EringenLee theories of nematic liquid crystals. Int. J. Engng. Sci. 28, 11-21. 

Schouten J.A. (1951) Tensor Analysis for Physicists, Clarendon Press, Oxford. 

Skalmierski B. (1977) Mechanika. PWN, Warszawa. 

Skwarczy«ski M. (1993) Geometria Rozmaito±ci Riemanna. PWN, Warszawa. 

Sokoªowski M. (1972) O Teorii Napr¦»e« Momentowych w O±rodkach ze Zwi¡zanymi 

Obrotami. PWN, Warszawa. 

Stigh U. (1993) A nite element study of treading dislocations. Mech. Mater. 14, 179 

187. 

Spencer A.J.M. (1971) Theory of Invariants. Continuum Physics (ed. A.C.Eringen, 

vol. 1, Academic Press, New York. 

Synge J.L. i Schild A. (1949) Tensor Calculus. Toronto 1949, Univ.Press. 

Teodosiu C. (1970) A dynamic theory of dislocations and its applications to the 

theory of the elastic plastic continuum. Fundamental Aspects of Dislocation Theory 

(ed. A. Simmonds et. al.), Nat. Bur. Stand. Spec. Publ. 317 II, 837-876. 

Teodosiu C. (1992) Material science input to engineering models. Modelling of Plastic 

Deformation and its Engineering Applications (ed. S.I.Andersen i wsp.) Proc. 13th Riso 

Int. Symp. on Material Sci. 125-146, Roskilde, Denmark.


Tezduyar T.E. i Ganjoo D.K. (1986) Petrov-Galerkin formulations with weighting 

functions dependent upon spatial and temporal discretizations: Applications to transient 

convection-diusion problems. Comput. Meths. Appl. Mech. Engnr. 59, 49-71. 

ToupinR.A.(1964)Theoryofelasticitywithcouplestress. Arch. ration. Mech. Analysis 

17, 85. 

Truesdell C. i Toupin R.A. (1960) The classical eld theories. Handbuch der Physik 

(ed. S. Fluge) Vol.III/1 p.22, Springer, Berlin. 

Truesdell C. i Noll W. (1965) The non-linear eld theories of mechanics. Handbuch 

der Physik (ed. S. Fluge) Vol.III/3. 

Trz¦sowski A. (1994a) Dislocations and internal length measurement in continuized 

crystals; I Riemannian material space. Int. J. Theoretical Phys. 33, 931950. 

Trz¦sowski A. (1994b) Dislocations and internal length measurement in continuized 

crystals; II Closed teleparalelizm. Int. J. Theoretical Phys. 33, 951966. 

Weertman J. (1967) Stress and displacement elds of an edge dislocation that climbs 

with the uniform velocity. J. Appl. Phys. 38, 2612-2614. 

Weertman J. i Weertman J.R. (1980) Moving dislocations. Dislocations in Solids 

(ed. F.R.N. Nabarro) vol.3, North-Holland, Amsterdam. 

Wo¹niak Cz. (1967) Thermoelasticity of bodies with microstructure. Arch. Mech. 19, 

335-365. 

Wo¹niak Cz. (1973) Constrained continous media I. General theory. Bull. de l'Acad. 

Polon. des Sci., Sér. des Sci. Techn. 21, 109-116. 

Ziabicki A. (1990) Congurational space for clusters in the theory of nucleation. Arch. 

Mech. 42, str. 703-715. 

Zienkiewicz O.C. i Taylor R.J. (1989) The Finite Element Method, 4th edition; 

Vol.1, McGraw-Hill, London. 

Zienkiewicz O.C. i Taylor R.J. (1991) The Finite Element Method 4th edition; 

Vol.2, McGraw-Hill, London. 

Zorski H. (1965) Teoria Dyslokacji, cz II: Theory od discrete defects, WPAN, 

WrocªawW-waKraków. 

Zorski H. (1966) Theory of discrete defects. Arch. Mech. 18, 301-372. 

Zorski H. (1980) Force on a defect in nonlinear elastic medium. Int. J. Engng. Sci. 

19, 1573. 

»órawski (1963) General theory of imperfections of crystal lattices. Arch. Mech 15, 

267-274.

Dodatek A 

Wyprowadzenia równa« i komentarze 

Równania (3.53) i (3.54) Zacznijmy od udowodnienia (3.54). 

Θ 

κ C L = Q Θ α ϕ α ,L − Φ Θ ,L = − 1 2 e Λ NM e Θ MN(Q Λ α ϕ α ,L − Φ Λ ,L) (A.1) 

= − 1 2 e Λ NM e Θ MNQ Λ α ϕ α ,L + 1 2 e Λ NM e Θ MNΦ Λ ,L (A.2) 

Wykorzystuj¡c izotropowo±¢ tensora alternacji, porównaj np. Spencer (1971), Rychlewski 

(1996), 

e NM Λ Q Λ k 

α = e α l Q N k Q (A.3) 

lM 

otrzymujemy dalej 

Θ 

κ C L = − 1 [ 

2 eΘ k 

MN e α l Q N k Q lM ϕ α ,L − 1 ] 

2 e Λ NM e Θ MNΦ Λ ,L (A.4) 

= − 1 2 e Θ MN Q 

[e lM k 

α l Q N k ϕ α ,L − 1 2 e Λ NR Q lR Φ Λ ,L (A.5) 

Wykorzystuj¡c za± (3.19) otrzymujemy 

Θ 

κ C L = − 1 2 eΘ MNQ lM N 

Q l ,L = D Θ L 

(A.6) 

Zast¦puj¡c Q tensorem χ = QQ ◦ mo»emy w analogiczny sposób dowie±¢ (3.53). 

Równania (3.58) i (3.59) W pierwszej kolejno±ci wyka»my sªuszno±¢ (3.59). Na 

podstawie (3.19) otrzymujemy 

Q k M,L = −Q Λ β ϕ β ,L(Q α k 

Λe α l Q l M) − Φ Θ ,Le N ΘM Q k N (A.7) 

= −κ Λ LQ k K Θ 

Ke Λ M − κ ◦ L e N ΘM Q k N (A.8) 

= Q k Ke K ΛM(κ Λ Λ 

L − κ ◦ L ) = Q k Ke K Λ 

ΛMκ C L (A.9) 

∂X 

Wykorzystuj¡c zale»no±¢ Q ,l = Q L 

,L ∂x l 

mo»emy równie» pokaza¢, »e 

Q k M,l = Q k Ke K −1 

Λ 

ΛMκ C L F L l 

(A.10) 

= Q k Ke K ΛMQ Λ α 

α κ C r F r −1 

L F L l 

(A.11) 

= Q n Me k α 

αnκ C r F r −1 

L F L l = −Q n Me k α 

nακ C l (A.12) 

97 

]

DODATEK A. WYPROWADZENIA RÓWNA‹ I KOMENTARZE 98 

Równanie (3.71) 

(3.71) Zauwa»my, »e 

κ ,l = (ϕ β ,me β ⊗ e m ) ,l = 

st¡d dla reprezentacji otrzymujemy 

a st¡d 

∂2 ϕ β 

∂x m ∂x e l β ⊗ e m + ∂ϕβ ∂e β 

⊗ e m + ∂ϕβ 

∂x m ∂x l ∂x e m β ⊗ ∂em 

∂x l 

(A.13) 

ϕ α ,k,l = e α · κ ,l · e k (A.14) 

( ) 

= ∂2 ϕ β 

∂x m ∂x g l β α g m k + ∂ϕβ ∂eβ ∂ϕ γ 

∂x m eα · 

g m 

∂ϕ γ ∂x l k + ∂ϕβ 

∂x g m β α ∂em · e 

∂x l k (A.15) 

= ∂2 ϕ α 

∂x k ∂x l + ∂ϕβ 

∂x k ∂ϕ γ 

∂x l Γ βγ α + ∂ϕα 

∂x m ( ∂e 

m 

∂x l · e k 

) 

= ∂2 ϕ α 

∂x k ∂x l + ∂ϕβ 

∂x k ∂ϕ γ 

∂x l Γ βγ α + ∂ϕα 

∂x m (−Γ kl m ) 

(A.16) 

(A.17) 

ϕ α ,k,l − ϕ α ,l,k = ∂2 ϕ α 

∂x k ∂x − ∂2 ϕ α 

(A.18) 

l ∂x l ∂x k 

+ ∂ϕβ ∂ϕ γ 

∂x k ∂x Γ l βγ α − ∂ϕβ ∂ϕ γ 

∂x l ∂x Γ k βγ (A.19) 

α 

+ ∂ϕα 

∂x (−Γ m kl m ) − ∂ϕα 

∂x (−Γ m lk m ) (A.20) 

Wykorzystuj¡csymetri¦symbolikoneksjina E , tzn. 3 Γ m kl = Γ lk 

m, orazsymetri¦mieszanych 

∂ 

pochodnych cz¡stkowych, 2 ϕ α 

= ∂2 ϕ 

, ªatwo zauwa»y¢, »e 

α 

∂x k ∂x l ∂x l ∂x k 

ϕ α ,k,l − ϕ α ,l,k = ϕ β ,k ϕ γ ,l(Γ α βγ − Γ α γβ ) = 2ϕ β ,k ϕ γ 1 

,l 

2 (Γ βγ α − Γ α γβ ) (A.21) 

podstawiaj¡c nast¦pnie (2.47) otrzymujemy (3.71). 

Równania (3.72) i (3.73) Zgodnie z denicj¡ operatora curl, str. 26 mo»emy napisa¢ 

curl κ = κ ,l × e l = ∂ ( ∂ϕ α 

∂x k e α ⊗ e k) 

= ∂2 ϕ α 

∂x k ∂x e l α ⊗ (e k × e l ) + ∂ϕα 

( ) 

+ ∂ϕα ∂e 

k 

∂x e k α ⊗ × e l 

∂x l 

× e (A.22) 

l 

∂x l ∂e α 

⊗ (e k × e l ) (A.23) 

∂x k ∂x l (A.24) 

∂ 

Zauwa»my, »e ze wzgl¦du na symetri¦ drugiej pochodnej cz¡stkowej 2 ϕ 

i antysymetri¦ 

α 

∂x k x 

iloczynu wektorowego pierwszy skªadnik sumy po prawej stronie ostatniego l 

równania jest 

równy zeru. Mo»na równie» pokaza¢, »e ostatni skªadnik wspomnianej sumy jest równie» 

równy zeru. W tym celu zauwa»my, »e ró»niczkuj¡c po x zale»no±¢ l e k · e n = δ k n otrzymujemy 

∂e k 

· e 

∂x l n = −e k · ∂e n 

= −Γ k 

∂x l nl e (A.25) 

n


co oznacza, »e 

∂e k 

∂x l = −Γ nl k e n 

Ze wzgl¦du na symetri¦ Γ nl k = Γ ln 

k 

otrzymujemy 

(A.26) 

∂e k 

× e l = −Γ K 

∂x l nl e n × e l = 0 

(A.27) 

tak wi¦c, z uwagi na antysymetri¦ iloczynu wektorowego ostatni skªadniki: (A.23) i ostatni 

skªadnik po prawej stronie (A.24) s¡ równe zeru. 

Dotychczas pokazali±my, »e pierwszy i ostatni skªadnik po prawej stronie (A.24) s¡ 

równe zeru. St¡d te», pomijaj¡c te skªadniki mo»emy napisa¢ dalej 

( ) 

curl κ = ∂ϕα ∂eα ∂ϕ β 

⊗ (e k × e l ) = ∂ϕα ∂ϕ β 

∂x k ∂ϕ β ∂x l ∂x k 

) 

∂e α 

∂x l ∂ϕ ⊗ β eklm e m 

(A.28) 

( 

= κ α kκ β le klm ∂eα 

∂ϕ ⊗ e β m = κ α kκ β le klm Γ γ αβ e γ ⊗ e m (A.29) 

= κ α kκ β le klm Γ γ (αβ) e γ ⊗ e m + κ α kκ β le klm Γ γ e γ ⊗ e m (A.30) 

= 0 + κ α kκ β le klm Ω γ αβ e γ ⊗ e m (A.31) 

Na mocy (2.49) otrzymujemy (3.72). W analogiczny sposób dowodzimy (3.73). Warto doda¢, 

»e dowód omawianych relacji mo»na równie» otrzyma¢ bez korzystania ze wspóªrz¦dnychk¡towych, 

np. poprzezzast¡pienieichodpowiednimitensoramiobrotu Q . Przykªad 

dowodu opartego na tego typu zale»no±ciach czytelnik mo»e znale¹¢ w pracy ϕα Kafadara 

i Eringena (1971), porównaj równie» wyprowadzenie 2 równania (3.74). 

Równania (3.74) i (3.75) W pierwszej kolejno±ci udowodnimy (3.75). W tym celu zauwa»my, 

»e wykorzystuj¡c (2.106) mo»emy zale»no±¢ (3.72) zapisa¢ w nast¦puj¡cej postaci 

curl (Qκ)F T det F = − 1 2 (QκF−1 ) × × (QκF −1 ) (A.32) 

co w zapisie indeksowym oznacza 

(Q γ Θκ Θ K) ,L e KLM F n M det F = − 1 2 Qα Θκ Θ R 

Korzystaj¡c z to»samo±ciowego przeksztaªce«: 

otrzymujemy 

−1 

F R −1 

k 

−1 

F R kQ β Λκ Λ S 

−1 

F S le kln e αβ 

γ 

(A.33) 

F S le kln = F n Me MRS det F (A.34) 

= Q γ Ψe Ψ ΘΛ (A.35) 

Q α ΘQ β Λe αβ 

γ 

(Q γ Θκ Θ K) ,L e KLM F n M det F = − 1 2 Qγ Ψe Ψ ΘΛκ Θ Rκ Λ SF n P e P RS det F (A.36) 

a po wykorzystaniu (3.19) nasze równanie przyjmuje posta¢ 

Q γ Ψe Ψ ΛΘ(κ Λ Λ 

L − κ ◦ L )κ Θ Ke KLM + Q γ Ψκ Ψ K,Le KLM = − 1 2 Qγ Ψe Ψ ΘΛκ Θ Rκ Λ Se (A.37) 

MRS


przenosz¡c pierwsze skªadnik sumy z lewej strony na praw¡ ªatwo zauwa»y¢, »e 

co w zapisie absolutnym oznacza 

κ Ψ K,Le MKL = − 1 2 eΨ ΛΘκ Θ R(κ Λ S − 2κ ◦ 

Λ 

S )e MRS 

curl κ = 1 2 κ × × (κ − 2κ ◦ ) 

Wykorzystuj¡c zwi¡zek κ = κ ◦ + κ C otrzymujemy kolejno 

(A.38) 

(A.39) 

curl (κ ◦ + κ C ) = 1 2 (κ ◦ + κ C ) × × (κ C − κ ◦ ) (A.40) 

curl κ ◦ + curl κ C = − 1 2 κ × 

◦ × κ ◦ + 1 2 κ × 

C × κ C (A.41) 

a po podstawieniu za curl κ ◦ zale»no±ci (3.73) otrzymujemy (3.75). 

Pozostaªonamjeszczedowie±¢(3.74). Przedstawimytudwieró»newersjetegodowodu. 

Wyprowadzenie 1: Korzystaj¡c z (2.106) mo»emy ostatnio udowodnion¡ zale»no±¢ 

(3.75) zapisa¢ w postaci 

curl (Qκ C )F −T det F = 1 2 (QT κ C F) × × (Q T κ C F) (A.42) 

co w zapisie indeksowym prowadzi do zale»no±ci 

(Q Θ −1 

α klm 

α κ C k ) ,l e F M m det F = Q Λ β 

β κ C m F m KQ Ψ γ 

γ κ C n F n Le Θ ΛΨ e (A.43) 

KLM 

= 1 2 Q α Θ e α β γ 

βγκ C m κ C n F m KF n Le (A.44) 

KLM 

= 1 2 Q α Θ e α −1 

β γ 

βγκ C m κ C n F M re rmn det F (A.45) 

a st¡d 

Q δ Θ α 

ΘQ α ,l κ C k e klm δ 

+ κ C k,l e klm = 1 2 κ C β γ 

rκ C n e mrn e δ βγ (A.46) 

Θ 

Podstawiaj¡c za Q α ,l zale»no±¢ (3.58) otrzymujemy 

−Q δ ΘQ Θ π e πω α 

ακ C ωl κ C k e klm δ 

+ κ C k,l e klm = 1 2 κ C β γ 

rκ C n e mrn e δ βγ (A.47) 

ªatwo ju» zauwa»y¢, »e po przeniesieniu pierwszego wyra»enia na lew¡ strone otrzymujemy 

(3.74). 

Wyprowadzenie 2: Zauwa»my, »e na podstawie zwi¡zków (3.58) i (3.59) mo»emy zdeniowa¢ 

tensory skrzywienia (ciaªa) κ C i κ C . Mo»na tego dokona¢ przenosz¡c wspomniane 

tensory na lew¡ stron¦, w ten sposób mo»emy otrzyma¢ alternatywne formy deniuj¡ce 

tensory κ C i κ C 

df 

κ ′ 

C 

κ C 

df ′ 

= − 1 2 Q ×· grad Q (A.48) 

= − 1 2 Q . × grad Q (A.49)


Metod¦ tak¡ zastosowali Kafadar i Eringen (1971),porównaj (1.3.1b) w Eringen i 

Kafadar (1976), gdzie χ ≡ Q i Γ ≡ κ C . Warunek zgodno±ci obrotów mo»emy sformuªowa¢ 

bezpo±rednio jako1 Q,KL = Q ,LK lub Q ,kl = Q ,lk . St¡d te» z powy»szych 

warunków powinni±my równie» dosta¢ warunki caªkowalno±ci (3.74) i (3.73). Sprawd¹my 

to dla warunku (3.74). Zauwa»my wi¦c, »e 

Q k M,lne lno = − ( ) 

α 

κ C l e lno k 

e α m Q m M 

(A.50) 

,n 

α 

= −κ C l,n e lno k 

e α m Q m α k 

M − κ C l e α m Q m M,ne (A.51) 

lno 

= ( curl κ C ) αo k 

e α m Q m α k β m 

M − κ C l e α m κ C n e β r Q r Me (A.52) 

lno 

= 0 (A.53) 

Mno»¡c (A.52) kolejno przez Q i iM e γ ki otrzymujemy dalej 

2( curl κ C ) γo α β k 

= κ C l κ C n e α m e mi β e lno e γ ki (A.54) 

α β 

= κ C l κ C n (−g αβ g ki + g i α g k β)e lno e γ ki (A.55) 

i k 

= κ C l κ C n e lno e γ ki (A.56) 

Równania (3.79) i (3.80) Zauwa»my, »e równanie (3.74) mo»emy zapisa¢ w postaci 

curl (Q˜κ C Q T ) = − 1 2 (Q˜κ C Q T ) × × (Q˜κ C Q T ) (A.57) 


(Q α Θ 

Θ˜κ C K Q K k ) ,l e kli = − 1 2 (Qβ Λ 

Λ˜κ C M Q M m )(Q γ Ψ 

Ψ˜κ C N Q N n )e α βγ e (A.58) 

mni 

wykonuj¡c ró»niczkowanie po l otrzymujemy 

Q α Θ 

Θ,l˜κ C K Q K k e kli + Q α Θ 

Θ˜κ C K,l Q K k e kli + Q α Θ K 

Θ˜κ C K Q k ,l e (A.59) 

kli 

= − 1 2 Qβ ΛQ γ Λ Ψ 

Ψe βγα˜κ C M˜κ C N Q M m Q N n e (A.60) 

mni 

ze wzgl¦du na (3.58) nasze równanie mo»emy zapisa¢ w postaci 

(−κ C 

β 

l e βγ α Q γ Θ)˜κ C 

Θ 

K Q k K e kli + Q α Θ˜κ C 

Θ 

K,l Q k K e kli 

+Q α Θ˜κ C 

Θ 

K (−κ C 

γ 

l e γδk Q δK )e kli = − 1 2 Qα ∆e ΛΨ∆˜κ C 

Λ 

M˜κ C 

Ψ 

N Q iP e P 

MN 

(A.61) 

Mno»¡c ostatnie równanie obustronnie przez Q α 

Γ 

i Q i 

R 

otrzymujemy 

Q α Γ Q γ Θe βγ α κ C 

β 

l˜κ C 

Θ 

K Q k K Q i R e kli 

+˜κ C 

Γ 

K,l Q k K Q i R e kli − ˜κ C 

Γ 

K κ C 

γ 

l e γδk Q δK e kli Q i R = − 1 2 eΓ ΛΨ˜κ C 

Λ 

M˜κ C 

Ψ 

N e RMN (A.62) 

co mo»emy zapisa¢ w postaci 

Q β ∆e ∆ Θ Γ κ C 

β 

l˜κ C 

Θ 

K Q k K Q l P e KP R + ˜κ C 

Γ 

K,l Q l P e KP R 

Γ ∆ 

−˜κ C K˜κ C L Q L l Q γ ∆Q δK Q R i e kli e γδk = 1 2 eΓ Λ Ψ 

ΛΨ˜κ C M˜κ C N e (A.63) 

RMN 

1Wartotupodkre±li¢,»ezgodniezprzyj¦t¡przeznasdenicj¡pochodnejkowariantnejdrugapochodna 

kowariantna wektorów i tensorów jest zawsze symetryczna, natomiast druga pochodna kowariantna ze 

wspóªrz¦dnych krzywoliniowych na ogóª nie, porównaj (A.21) oraz tabel¦ 2.1.


wykonuj¡c dalsze przeksztaªcenia otrzymujemy 

−e ∆ ΘΓ˜κ C∆P ˜κ C 

Θ 

K e KP R + ˜κ C 

Γ 

K,l Q l P e KP R 

Γ ∆ 

−˜κ C K˜κ C L e P LR K 

e ∆ P = 1 2 eΓ Λ Ψ 

ΛΨ˜κ C M˜κ C N e (A.64) 

RMN 

a st¡d 

Γ 

˜κ C K,l Q P l e KP R = − 1 2 eΓ Λ Ψ 

ΛΨ˜κ C M˜κ C N e RMN Γ ∆ 

+ ˜κ C K˜κ C L (g L ∆g RK − g LK g R ∆) (A.65) 

co ju» bezpo±rednio prowadzi do zapisu indeksowego (3.79). 

Pozostaªo nam jeszcze dowie±¢ (3.80) . Zauwa»my, »e wykorzystuj¡c (3.83) mo»emy 

napisa¢ 

˜div ˜α C = ˜div (Q T Q curl Q T Q det Q) = ˜div ( curl Q T Q) (A.66) 

Korzystaj¡c z (3.83) otrzymujemy dalej 

div ( curl Q T QQ T det Q −1 ) = div curl Q T = 0 (A.67) 

Równania (3.114) − (3.117) Zale»no±¢(3.114)zostaªaprzepisanabezpo±rednioza(3.94). 

Korzystaj¡c z ogólnej zale»no±ci 

−1 

K 

F e L,m F e L −1 

K 

M = −F e L F e L M,m 

(A.68) 

mo»emy (3.114) przeksztaªci¢ w nast¦puj¡cy sposób 

α kl e = −Q k −1 

K 

KF e L,m F e L MQ M n e lmn = Q k −1 

K 

KF e L F e L M,mQ M n e (A.69) 

lmn 

ostatnie wyra»enie jest reprezentacj¡ (3.115). Na podstawie to»samo±ciowego przeksztaªcenia 

lewej strony (3.107) na (3.109) otrzymujemy zale»no±¢ 

α e = grad Q × . Q T − grad (QF e ) × . (QF e ) (A.70) 

−1 

w ten sposób otrzymali±my (3.116). Nast¦pnie korzystaj¡c z ogólnej zale»no±ci 

Q k K,mQ K l = −Q k K 

KQ l ,m 

(A.71) 

i analogicznej formy dla grad (QF e ) × . (QF e ) otrzymujemy 

−1 

kl 

α e = Q k K,mQ K n e lmn + (Q k N 

NF e M ) ,m ( F −1 

e M OQ O n )e (A.72) 

lmn 

= −Q k K 

KQ n ,m e lmn − (Q k N 

NF e M )( F −1 

e M OQ O n ) ,m e (A.73) 

lmn 

= Q k K 

KQ n ,m e lnm + (Q k N 

NF e M )( F −1 

e M OQ O n ) ,m e (A.74) 

lnm 

pierwszaiostatniaprawastronaw/wzale»no±citoreprezentacje(3.116)i(3.117), odpowiednio.


Równania (3.120) − (3.125) 

(3.120) − (3.125) Podstawiaj¡c (3.110) do (3.118) otrzymujemy 

̂α p = −(QF e ) −1 . 

QF e grad F p × (QF e F p ) −1 (QF e ) −T det (QF e ) (A.75) 

. 

= − grad F p × (F −1 

p A −1 )A −T det A (A.76) 

−1 

K 

= −F p L,k F p L −1 

M A M −1 

nkm 

me A N n det A E K ⊗ E N (A.77) 

Wykorzystuj¡c ogólnie znan¡ z rachunku macierzowego zale»no±¢ 

A k P e P MN −1 

kmn 

= e A M −1 

m A N n det A otrzymujemy 

̂α KN −1 

K 

p = −F p L,k F p L MA k P e P MN K 

= −F p L,k A k −1 

P F p L Me (A.78) 

NP M 

ostatnie wyra»enie jest reprezentacj¡ indeksow¡ (3.120). Wykorzystuj¡c ogóln¡ zale»no±¢ 

−1 

K 

F p L,k F p L −1 

K 

M = −F p L F p L M,k otrzymujemy z kolei reprezentacj¦ (3.121) 

̂α KN −1 

K 

p = F p L F p L M,kA k P (−e NMP ) (A.79) 

natomiast podstawiaj¡c ogólny zwi¡zek F −1 

p L Me NP M N P 

= F p R F p S e LRS det F −1 

p do (A.78) 

otrzymujemy dalej 

̂α p KN = −F p 

K 

L,k A k P F p 

N 

R F p 

P 

S e LRS det F −1 

p = 

K 

= −F p L,S e LRS N 

F p R det F −1 K N 

p = F p L,S F p R e LSR det F −1 

p (A.80) 

ostatnie wyra»enie jest reprezentacj¡ (3.122). 

W podobny sposób mo»emy dowie±¢ (3.123), (3.124) i (3.125), np. wykorzystuj¡c 

(3.112) mo»emy równanie (3.118) przeksztaªci¢ do postaci 

̂α KN p = −1 

A K kA k −1 

L,n A L −1 

lnm 

me A N l det A = − −1 

A K k,nA k −1 

L A L −1 

lnm 

me A N l det A 

= − −1 

A K −1 

lnk 

k,ne A N l det A = −1 

A K −1 

lkn 

k,ne A N l det A (A.81) 

ostatnie wyra»enie jest zapisem indeksowym (3.123). Wykonuj¡c podobne przeksztaªcenie 

jak dla (A.77)→(A.78) otrzymujemy 

̂α KN p = −1 

A K k,nA k LA n Me NLM = − −1 

A K kA k L,nA n Me (A.82) 

NLM 

co stanowi odpowiednio indeksow¡ reprezentacj¦ (3.124) i (3.125). 

Równania (3.126) i (3.127) Podstawiaj¡c (3.115) do (3.118) otrzymujemy 

( 

̂α e = −F −1 

. 

e grad Fe × (QF e ) −1) (QF e ) −T det (QF e ) (A.83) 

−1 

powy»sz¡ zale»no±¢ mo»emy jeszcze przeksztaªci¢ w nast¦puj¡cy sposób 

̂α KN e = − F −1 

e K −1 

L 

LF e M,m A M −1 

lmn 

ne A N l det A (A.84) 

= − F −1 

e K L 

LF e M,m (−e P MN A m P ) 

(A.85) 

= F −1 

e K L 

LF e M,m A m P e (A.86) 

NMP 

ostatnia prawa strona to reprezentacja (3.127). Korzystaj¡c z zale»no±ci 

K L 

F e L,n F e M = − F −1 

e K L 

LF e M,n i z zale»no±ci e NMP = −e otrzymujemy 

NP M 

co stanowi reprezentacj¦ (3.126). 

̂α e KN = −1 

F e K L,mA m P F e 

L 

M e NP M 

(A.87)


Równanie (3.132) − (3.135) 

(3.132) − (3.135) Podstawiaj¡c (3.111) do (3.63) otrzymujemy 

α p = F −1 F grad F −1 

= grad F −1 

p 

p 

. 

× (FF −1 

p 


Korzystaj¡c z ogólnej zale»no±ci −1 

F N n 

. 

× (QF e ) −1 F −T det F = grad F −1 . 

× (QF e ) −1 F −T det F 

) −1 det F = grad F −1 

α KL p = F −1 

p K −1 

M 

M,mF p N F N −1 

kmn 

ne F L k det F 

p 

p 

. 

× (F p F −1 )F −T det F (A.88) 

−1 

F L ke kmn det F = F m P e otrzymujemy 

LP N 

(A.89) 

α KL p = F −1 

p K M 

M,mF p N F m P e (A.90) 

LP N 

= F −1 

p K M 

M,P F p N e (A.91) 

LP N 

= − F −1 

p K M 

MF p N,P e (A.92) 

LP N 

ªatwo zauwa»y¢, »e (A.91) jest reprezentacj¡ równania (3.133) a (A.92) reprezentacj¡ 

(3.132). 

Podstawiaj¡c natomiast (3.115) do (3.63) otrzymujemy 

α e = −F −1 . 

Q grad F e × (QF e ) −1 F −T det F (A.93) 

= −(F e F p ) −1 . 

grad F e × (FF −1 

p ) −1 F −T det F (A.94) 

= −(F e F p ) −1 . 

grad F e × (F p F −1 )F −T det F (A.95) 

Korzystaj¡c z tego samego przeksztaªcenia jak przy przej±ciu od (A.89) do (A.91) otrzymujemy 

α KL e = − F −1 

p K −1 

R F e R S M 

SF e M,m F p N F m P e (A.96) 

LP N 

= − F −1 

p K −1 

R F e R S M 

SF e M,P F p N e (A.97) 

LP N 

= F −1 

p K −1 

R F e R S M 

S,P F e M F p N e (A.98) 

LP N 

równania (A.97) i (A.98) s¡ odpowiednio reprezentacjami (3.134) i (3.135). 

Równanie (3.143) i (3.144) ªatwo zauwa»y¢, »e na podstawie (3.77), (3.78) i (3.105) 

otrzymujemy nast¦puj¡ce zale»no±ci 

˜α C = ˜α e + ˜α p (A.99) 

˜κ C = ˜κ e + ˜κ p (A.100) 

Tak wi¦c warunek (3.143) otrzymujemy bezpo±rednio z (3.80). 

Aby dowie±¢ (3.144) skorzystajmy z to»samo±ci Piola przeksztaªcaj¡c lew¡ stron¦ 

wspomnianego równania do postaci 

̂div ̂α p = ̂div [̂α p A T det A −1] det A = div(A −1 α p ) det A (A.101) 

= div (A −1 α p A −T det A A T det A −1 ) det A (A.102)


gdzie A = QF e , porównaj wyprowadzenie (3.80). Podstawiaj¡c natomiast (3.122) otrzymujemy 

w notacji indeksowej 

( 

−1 

A K kA k M 

( div ̂α p ) K = 

det A = −1 

A K i,jne nij det A = 0 (A.103) 

,n 

co oznacza, »e warunek (3.144) jest warunkiem koniecznym na istnienie pola tensorowego 

A(x, t). 

Równania (3.152) − (3.154) 

) 

−1 

A M i,je nij 

(3.152) − (3.154) Zauwa»my, »e 

d 

dt F k K,l = d dt (F k K,L 

−1 

F L m) = ẋ k ,KL 

w podobny sposób mo»emy dowie±¢ (3.153) i (3.154). 


d 

dt 

( ∂ϕ 

α 

∂X K e α ⊗ e K ) 

= 

( d 

dt 

−1 

F L l − x k K,L 

) 

∂ϕ α 

e 

∂X K α ⊗ e K + ∂ϕα d 

∂X K dt 

= ∂ωα 

∂X K e α ⊗ e K + ∂ϕα 

∂X K ėα ⊗ e K 

−1 

F L mẋ m ,l 

= ∂ωα 

∂X K e α ⊗ e K + ∂ϕα 

∂X K ∂e α 

∂ϕ β ˙ϕβ ⊗ e K 

( ) 

= ∂ωα 

∂X e K α ⊗ e K + ∂ϕα ∂eα 

∂X K ωβ ∂ϕ · β eγ 

( ) 

∂ω 

α 

= 

∂X + ∂ϕα 

K ∂X K ωβ α 

Γ γβ e α ⊗ e K 

(A.104) 

( 

eα ⊗ e K) (A.105) 

(A.106) 

(A.107) 

e γ ⊗ e (A.108) 

K 

(A.109) 

Zgodnie z przyj¦tym przez nas oznaczeniem dla pochodnych kowariantnych otrzymujemy 

dla pochodnej wspóªrz¦dnych ∂ϕα = ϕ 

∂X ,K, ale dla pochodnej kowariantnej wektora stycznego 

do rozmaito±ci otrzymujemy α K 

∂ωα = ω α ∂X K ,K − ω β Γ α βK ϕ ,K, porównaj np. (2.76) 

i (2.77), str. 24. Podstawiaj¡c zale»no±ci dla pochodnych kowariantnych γ otrzymujemy 

dalej 

( ) 

d ∂ϕ 

α 

dt ∂X e K α ⊗ e K = ( ω α ,K − ω β Γ α βK + ϕ α ,Kω β Γ ) α 

γβ e α ⊗ e (A.110) 

K 

= ( ω α ,K − ω β Γ α βγ ϕ γ ,K + ϕ α ,Kω β Γ ) α 

γβ e α ⊗ e (A.111) 

K 

= [ ω α ,K − ω β (Γ α βγ − Γ α γβ ) ϕ ,K] α eα ⊗ e (A.112) 

K 

a korzystaj¡c z zale»no±ci (2.47) i (2.49) otrzymujemy 

d 

dt 

( ∂ϕ 

α 

∂X K e α ⊗ e K ) 

= [ ω α ,K − ω β (−e βγ α ) ϕ α ,K] 

eα ⊗ e K (A.113) 

Równanie (3.160) Korzystaj¡c z (3.156) mo»emy napisa¢ 

d 

dt ϕα ,k = d ( 

ϕ 

α 

dt ,L X ,k) L d ( ) 

= ϕ 

α 

dt ,L X 

L 

,k + ϕ α d ( ) 

,L X 

L 

,k (A.114) 

dt 

= ( ( ) 

ω α ,L + ω β e α βγ ϕ ,L) γ X 

L 

,k + ϕ α L −X 

L 

,l v l ,k (A.115) 

= ω α ,k + ω β e α βγ ϕ γ ,k − ϕ α lv l ,k (A.116)




d 

dt κ ◦ α k = d dt 

(3.164) Zauwa»my, »e 

( 

Q α ΘΦ Θ ,K 

= d dt (Qα Θ)Φ Θ ,K 

= w α βQ β ΘΦ Θ ,K 

) 

−1 

F K k 

−1 

F K k + Q α ΘΦ Θ d 

,K 

dt 

−1 

F K k − Q α ΘΦ Θ ,K 

−1 

F K k 

−1 

F K lv l ,k 

Ȧ n K,L = [(w n m + d e 

n 

m )A m K] ,L 

= (w n m + d e 

n 

m ) ,l A l LA m K + (w n m + d e 

n 

m )A m K,L 

Z drugiej za± strony 

d 

dt (An K,lA l L) = ˙ A n K,lA l L + A n K,l(w lm + d e lm )A mL 

Porównuj¡c prawe strony obu równa« mo»na ªatwo dowie±¢, »e 

A˙ 

n K,l = (w n n 

m + d e m )A m −1 

K,L A L l − A n K,s(w s s 

l + d e l ) + (w n n 

m,l + d e m,l )A m K 

Zauwa»my z kolei, »e 

d 

dt 

[ 

] 

(A n −1 

K A K m) ,l 

= d dt 

= A ˙ n −1 

K,l 

[ 

] 

A n −1 

K,l A K m + A n −1 

K A K m,l 

˙ −1 

A K m + A n K,l A K m + ˙ 

= (w n s + d e 

n 

s )A s K,l 

+(w n s,l + d e 

n 

s,l )A s K 

A n −1 

K 

A K m,l + A n K 

˙ −1 

−1 

A K m − A n K,s(w s l + d e 

s 

l ) −1 

A K m 

−1 

A K m − A n −1 

K,l A K s(w s s 

m + d e m ) 

(A.117) 

(A.118) 

(A.119) 

(A.120) 

(A.121) 

(A.122) 

(A.123) 

A K m,l(A.124) 

+(w n n 

s + d e s )A s −1 

K A K m,l + A n −1 ˙ 

K A K m,l (A.125) 

= 0 (A.126) 

Na podstawie powy»szej relacji otrzymujemy 

A n K 

˙ −1 

A K m,l = A n K,l(w r m + d e 

r 

m ) −1 

A K r + A n K,s(w s l + d e 

s 

l ) −1 

A K m − (w n m,l + d e 

n 

m,l ) (A.127)


Wykorzystuj¡c otrzyman¡ zale»no±¢ mamy 

˙α p 

nk 

= A ˙ n −1 

K A K m,le kml + A n K 

= (w n r + d e 

n 

r )A r K 

+A n −1 

K,l 

˙ −1 

A K m,le kml 

−1 

A K m,le kml + A n K,r(w r r 

l + d e l ) −1 

A K me kml 

A K s(w s m + d e 

s 

m )e kml − (w n m,l + d e 

n 

m,l )e kml 

= (w n n 

r + d e r )α rk p − A n K(w r r 

l + d e l ) 

( 

−1 

−A n K A K (s,l)+ −1 

A K 

( 

−1 

A K (m,r)+ −1 

A K 

) 

e kml 

(A.128) 

(A.129) 

) 

(w s m + d e 

s 

m )e kml − (w n m,l + d e 

n 

m,l )e kml (A.130) 

= (w n n 

r + d e r )α rk p − 1 2 α p n ue u mre kml (w r r 

l + d e l ) 

− 1 2 α p n we w mre kml (w r r 

l + d e l ) − (w n n 

m,l + d e m,l )e kml 

= (w n n 

r + d e r )α rk n 

p − α p u (g uk g l r − g ul g k r )(w r r 

l + d e l ) 

−(w n n 

m,l + d e m,l )e kml 

= (w n n 

r + d e r )α rk p − α nk p (w r r 

r + d e r ) + α nl p (w k k 

l + d e l ) 

−(w n m,l + d e 

n 

m,l )e kml 

Korzystaj¡c z to»samo±ci −curl (w + d e ) = curl d p otrzymujemy (3.164). 

(A.131) 

(A.132) 

(A.133) 


Wyprowadzenie 1: Na podstawie (3.121) otrzymujemy 

˙̂α p = d ( ) 

. 

ĝrad Fp × F −1 

p = d ( 

( grad Fp F −1 

p ) . ) 

× F −1 

p (A.134) 

dt dt 

Wykorzystuj¡c zale»no±ci Ḟ p = ̂d d 

p F p i 

dt F−1 p = −F −1̂d 

p p , gdzie ̂d p zostaªo zdeniowane 

zale»no±ci¡ (3.167), otrzymujemy 

˙̂α p AB = ( ̂d p AC F pCK ) ,L 

−1 

F p L J 

−F P ) 

A 

K,L 

−1 

F p L J 

−1 

F p K Ge BGJ −1 

A 

− F p K,L F p L ̂d 

−1 

O 

O p J F p K Ge BGJ 

−1 

F p K X ̂d p 

X 

G e BGJ 

= ̂d 

−1 

AG 

p ,L F p L Je BGJ − ̂d AC −1 

p F pCK,L F p L −1 

J F p K Ge BGJ 

−1 

A 

−F p K,L F p L −1 

( 

J F p K J 

G ̂dp R e BGR + ̂d 

) 

G 

p P e BP J 

= ( ĉurl ̂d p ) AB + ̂d AC p ̂α B pC − 

[ 

−1 

A 

F p K,L F p L 

(A.135) 

(A.136) 

(A.137) 

−1 

A 

ªatwozauwa»y¢, »eiloczyn F p K,L F p L −1 

(J F p K G) wykazujesymetri¦zewzgl¦dunawska¹niki 

J i G podczas gdy wyra»enie ( J ̂dp R e BGR − ̂d 

) 

G p P e jest antysymetryczne ze wzgl¦du 

na te same wska¹niki. St¡d te» ich iloczyn jest równy BJP zeru. Eliminuj¡c go oraz wykorzystuj¡c 

ªatwy do udowodnienia zwi¡zek F p K,L F p L −1 

−1 

A 

= − 1 ̂α 2 p AX e XJG mo»emy


analizowane równanie przeksztaªci¢ do postaci 

˙̂α p 

AB 

= ( ĉurl ̂d p ) AB + ̂d p 

AC ̂α pC B − 1 2 ̂α p AX ( 

e XJG e BGR ̂dp 

J 

R 

−e XJG e BJP ̂dp 

G 

P 

) 

(A.138) 

= ( ĉurl ̂d p ) AB + ̂d p 

AC ̂α pC B − 1 2 ̂α p AX [(−g X B g J R + g X R g J B ) ̂d p 

J 

R 

−(g X B g G P − g X P g G B ) ̂d p 

G 

P 

] 

(A.139) 

= ( ĉurl ̂d p ) AB + ̂d p 

AC ̂α pC B − 1 2 ̂α p AX [(− ̂d p 

R 

R g X B + ̂d p 

B 

X 

− ̂d p 

G 

G g X B + ̂d p 

B 

X 

] 

(A.140) 

= ( ĉurl ̂d p ) AB + ̂d AC p ̂α B AX B AB R 

pC + ̂α p 

̂dp X − ̂α p 

̂dp R (A.141) 

Wyprowadzenie 2: Ju» po opracowaniu wy»ej przedstawionego wyprowadzenia autor 

pracy zauwa»yª, »e omawian¡ zale»no±¢ mo»na udowodni¢ w du»o prostszy sposób 

ró»niczkuj¡c(3.122). Zewzgl¦dunarol¦jak¡peªniomawianazale»no±¢(3.165)wniniejszej 

pracy przytoczmy to drugie wyprowadzenie 

˙̂α p = d dt ( curl F pF T p det F −1 

p ) (A.142) 

)(A.143) 

Po podstawieniu 

= curl ḞpF T p det F −1 

p 

= curl (̂d p F p )F T p det F −1 

p 

− curl F p F T p tr ̂d p det F −1 

p 

= curl (̂d p F p )F T p det F −1 

+ curl F p Ḟ T p det F −1 

p 

+ curl F p F T p 

+ curl F p F T p ̂d T p det F −1 

p 

d 

dt 

(det F−1 p 

(A.144) 

p + ̂α p̂dT p − ̂α p tr ̂d p (A.145) 

curl ( ̂d p F p ) KO = ( ̂d KL p F M NO 

pL ) ,N e M (A.146) 

= ̂d KL 

p ,N e NO M F M p L + ̂d KL p e NO M 

M F p L ,N (A.147) 

= ̂d 

−1 

KL 

p ,N F p N −1 

R F p O Se RS L det F p + ̂d KL p e NO M 

M F p L ,N (A.148) 

do (A.145) otrzymujemy równie» (3.165). 


˙̂α p = d dt 

[ 

(QFe ) −1 α p (QF e ) −T det (QF e ) ] (A.149) 

= d dt (QF e) −1 α p (QF e ) −T det (QF e ) 

+(QF e ) −1 ˙α p (QF e ) −T det (QF e ) 

+(QF e ) −1 α p (QF e ) −T d dt det (QF e) 

(A.150)


Korzystaj¡c z ju» udowodnionej zale»no±ci (3.164) oraz ze zwi¡zków 

d 

dt (QF e) −1 = −(QF e ) −1 (w + d e ) (A.151) 

d 

dt det (QF e) = tr (w + d e ) det (QF e ) (A.152) 

ªatwo ju» dowie±¢ (3.166). 

Równanie (4.46) Podstawiaj¡c (4.45) do (3.167b) otrzymujemy 

̂d p = A −1 (α d × v d )A 

(A.153) 


̂d KM p = −1 

A K kα kl d v s d e m M 

ls A m (A.154) 

= −1 

A K kr 

kα −1 

d A R rA l Rv s d e m M 

ls A m (A.155) 

(A.156) 

= ̂α d KR 

det A Al RA m M e ls m v d 

s 

Korzystaj¡c z ogólnej zale»no±ci A l RA M m e m ls det A −1 = −1 

A N M 

se RN otrzymujemy dalej 

̂d KM KR 

p = ̂α −1 

d A N sv s d e M RN = ̂α d 

KR̂v N M 

d e RN (A.157) 

Równanie (5.14) W celu wyprowadzenia (udowodnienia) zale»no±ci (5.14) zauwa»my, 

»e zgodnie z (5.12) otrzymujemy 

gdzie 

˙ψ = ∂ψ : ˙̂ε e + ∂ψ : 

∂̂ε e ∂ ̂α ˙̂α p + ∂ψ ˙ĉp + ∂ψ T 

p ∂ĉ p ∂T ˙ 

(A.158) 

˙̂ε̂ε̂ε̂ε̂ε̂ε̂ε̂ε e = (QF e ) T d e QF e (A.159) 

˙̂α p = (QF e ) −1 curl d p (QF e ) −T det (QF e ) (A.160) 

˙ĉ p = tr d p det F p = tr d p (ĉ p + 1) (A.161) 

Podstawiaj¡c (A.159) i (A.160) do (A.158) mo»emy napisa¢ 

ρ ˙ψ = 

[ 

QF e ρ ∂ψ 

∂̂ε e 

(QF e ) T ] 

: d e (A.162) 

(A.163) 

T 

(A.164) 

+ρ ∂ψ : [ (QF 

∂ ̂α e ) −1 curl d p (QF e ) ] −T det (QF) 

p 

+ρ ∂ψ (ĉ p + 1) tr d p + ρ ∂ψ 

∂ĉ p ∂T ˙


Rozpatrzmy oddzielnie skªadnik (A.163). 

ρ 

∂ψ 

∂̂α p 

KL 

= 

[ 

ρ 

−1 

F e K MQ k M d p 

k 

m,n e mn l 

∂ψ 

∂̂α p 

KL 

−1 

F e K MQ k M d p 

k 

m e mn l 

−1 

F e L NQ lN det (QF e ) = 

−1 

F e L NQ lN det (QF e ) 

[ 

− ρ 

∂ψ 

] 

−1 

∂̂α 

KL 

F e K M 

MQ −1 

k F e L NQ lN det (QF e ) e mn k 

ld p m 

p ,n 

( 

= div [(QF e ) −T ρ ∂ψ 

) 

(QF 

∂ ̂α e ) −1 ] × . d p det (QF e ) 

p 

[ 

+ curl (QF e ) −T ρ ∂ψ 

] 

(QF 

∂ ̂α e ) −1 det (QF e ) 

p 

] 

,n 

(A.165) 

(A.166) 

(A.167) 

(A.168) 

: d p (A.169) 

= − div q p − σ α : d p (A.170) 

gdzie q p i σ α s¡ zdeniowane zale»no±ciami (5.17) i (5.16). Podstawiaj¡c ostatnie wyra»enie 

do (A.163), a nast¦pnie (A.162)-(A.164) do (5.10) ªatwo ju» dowie±¢ (5.14). 

Równanie (6.50) W celu dokªadniejszego wyznaczenia macierzy stycznej KT 

jako 

pochodnej przedyskutujmy zwi¡zki wynikaj¡ce z ró»niczkowania zale»no±ci konstytutywnej 

dla v d , porównaj (6.44), str. 78. W przypadku zastosowania niejawnej metody 

NL 

∂P 

∂a 

caªkowania (backward Euler method) pr¦dko±¢ dyslokacji w chwili n + 1 opisana jest 

nast¦puj¡c¡ zale»no±ci¡ 

v dn+1 = λ d b d ε ◦ D(∇N ⊗ a un+1 − γ pn ε ◦ − ∆γ pn+1 ε ◦ ) (A.171) 

gdzie z kolei zmiana zmiennej pozaw¦zªowej jest okre±lona jako 

∆γ n+1 = ρ dn+1 b d v dn+1 ∆t 

(A.172) 

Ró»niczkuj¡c (A.171) po 

[ ] 

un+1 

a n+1 ≡ 

ρ n+1 

(A.173) 

otrzymujemy 

∂v dn+1 

= [1 − λ d b d ε ◦ Dε ◦ ρ dn+1 b d ∆t + (λ d b d ε ◦ Dε ◦ ρ dn+1 b d ∆t) 2 

∂u n+1 

(A.174) 

− · · · ]λ d b d ε ◦ D∇N 

(A.175) 

≈ w sp λ d b d ε ◦ D∇N 

(A.176) 

∂v dn+1 

= −λ d b d ε ◦ Dε ◦ ρ dn+1 b d ∆tv dn+1 = −(1 − w sp )v dn+1 

∂ρ dn+1 

(A.177) 

gdzie 

w sp = 1 − λ d b d ε ◦ Dε ◦ ρ dn+1 b d ∆t (A.178) 

Mo»na pokaza¢, »e w omawianym przypadku macierz K NL 

T 

przyjmuje posta¢ 

K NL 

T 

[ ∫ 

v 

= − el 

∇ T W u Dε ◦ b d ρ d w sp λ d b d ε ◦ D∇Ndv 

∫ 

v el 

(∇ T b 

W d ρ )ρ |b d | dw sp λ d ε ◦ D∇Ndv 

∫ ] 

v el 

∇ T W u Dε ◦ b d w sp v d Ndv 

∫ 

v el 

(∇ T b 

W d ρ )w |b d | spv d Ndv 

(A.179)


gdzie v el oznacza pole elementu sko«czonego, a v d jest wektorem pr¦dko±ci ruch dyslokacji. 

Warto tu doda¢, »e w wyniku praktycznego stosowania macierzy (A.179) otrzymywane 

byªy te same wyniki jak przy u»yciu zwi¡zku (6.50), gdy» w praktyce okazaªo si¦, »e 

wspóªczynnik w sp wahaª si¦ w granicach od 0.999 do 1.001. St¡d te», w/w wspóªczynnik 

pomini¦to w dalszych obliczeniach numerycznych.

Dodatek B 

Wykaz publikacji autora 

Czasopisma: 

1. P.H. Dªu»ewski. Crystal orientation spaces and remarks on the modelling of polycrystal 

anisotropy. J. Mech. Phys. Solids 39 (1991), str. 651-661. 

2. P.H. Dªu»ewski. On geometry and continuum thermodynamics of structural defects 

movement. Mechanics of Materials 22 (1996), str. 23-41. 

3. P.H.Dªu»ewski. Finitedeformationsofpolarelasticmedia. Int. J. Solids Structures 

30 (1993), str. 2277-2285. 

4. P.H. Dªu»ewski. The eect of slips on the anisotropic behaviour of polycrystalline 

aluminium at elevated temperature. Textures and Microstructures 19 (1992), str. 

81-99. 

5. R. Kiryk i P.H. Dªu»ewski. Inuence of microstresses on subsequent yield surfaces 

of polycrystalline materials. Int. J. Engng. Sci. 27 (1987), str. 1589-1592. 

6. P.H. Dªu»ewski. Finite deformations of polar media in angular coordinates. Arch. 

Mech. 43 (1991), str. 783-793. 

7. P.H.Dªu»ewski. Sliptheoryandinelasticdeformations; relationsbetweenthetheory 

and the experimental results. Arch. Mech. 36 (1984), str. 173-183. 

8. P.H. Dªu»ewski. Some remarks on the integration domain of the slip orientations. 

Arch. Mech. 39 (1987), Brief Notes str. 419-422. 

9. P. Dªu»ewski i H. Antúnez. Finite element simulation of dislocation eld movement. 

CAMES 2 (1995), str. 141-145. 

Pozostaªe publikacje recenzowane: 

10. P. Dªu»ewski. Continuum theory of dislocations in angular coordinates. Solid State 

Phenomena, 35-36 (1994), str. 539-544. 

1Kolejno±¢ wg. pozycji na li±cie rankingowej czasopism, wg. notowa« Science Citation Index, impact 

factor za 1995r. 

112

DODATEK B. WYKAZ PUBLIKACJI AUTORA 113 

11. P. Dªu»ewski. Zastosowanie teorii po±lizgów do opisu deformacji niespr¦»ystych. 

(Praca doktorska) Prace IPPT 37/1985. 

12. P.H. Dªu»ewski. Application of slip theory to prediction of hardening process induced 

by inelastic deformations in polycrystals. Yielding Damage and Failure of 

Anisotropic Solids (ed. J.P.Boehler), Mechanical Engineering Publications Limited, 

(London, 1990), str. 221-233. 

Publikacje nierecenzowane: 

13. P. Dªu»ewski. On the nonsense of incompatibility conditions in continuum theory of 

dislocations. Continuum Models of Discrete Systems Proc. 8 Int. Symp., June 11- 

16, 1995, Varna, Bulgaria, ed. K.Z. Markov, World Scientic th Publishing Company 

(Singapore, 1996), str. 499-506. 

14. P.H. Dªu»ewski. Plasticity based on the movement of dislocations in hyperelastic 

crystals. Macro/Micro/Meso Mechanical Properties of Materials Proc. Int. Sem. 

Microstructures and Mechanical Properties of New Engineering Materials, August 

3-5, 1993, Tsu, Japan, ed. M. Tokuda i wsp., Mie Academic Press (Tsu, 1993), str. 

199-206, . 

15. P. H. Dªu»ewski. Finite elastic-plastic deformations of oriented media. Proc. Int. 

Symp. Multiaxial Plasticity, MECAMAT'92 (ed. A.Benellal i wsp., Labolatoire de 

Mecanique et Technologie (Cachan, 1992), str. 668-688. 

16. P. Dªu»ewski. Conservation laws for the crystal orientation distribution. Modelling 

of Plastic Deformation and Its Engineering Applications (ed. S.I.Andersen i wsp.), 

Proc. 13th Risø Int. Symp. Material Science, Risø National Laboratory (Roskilde, 

1992) str. 247-252. 

17. P.H. Dªu»ewski. Application of slip theory to prediction of subsequent yield surfaces 

at elevated temperature. Proc. of MECAMAT -International Seminar Inelastic 

Behaviour of Solids: Models and Utilization (Besancon, 1988), str. IV/281-286.

czonych, sprÂ¦Â»ysto plastycznych deformacji - IPPT PAN

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?