Nyquistov dijagram

NYQUIST-ovi DIJAGRAMI
AUDITORNE VJEŽBE

ZADATAK 1.
PRIKAZ OSNOVNIH ČLANOVA U NYQUIST-ovom DIJAGRAMU
s jω
P 0 član
Im
G(s) =
G( jω ) =
K P
K P
G = K P
ϕ = ϕ B
− ϕ N
= Im Im
arctg( )
B
− arctg( ) = 0
N
Re Re
P 1 član
K P
Re
K
P
G(s) =
Ts + 1
KP
G( jω ) =
1+ Tjω
G =
K
P
1 + (T ω)
2
G( jω ) =
G =
KP
1+ Tjω
1−
Tjω
1−
Tjω
KP
=
2 2
1 + T
+ −ωTKP
ω 1 + T ω
2 2
⎛ KP
⎞ ⎛ −K PωT
⎞
⎜ +
2 2 2 2
1+ T ω
⎟ ⎜
1+ T ω
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
j

Im
ϕ = ϕB
− ϕN
= −ϕ
N
= −arctg( )
Re
Tω
ϕ = − arctg( ) = −arctg(T ω)
1
N
⎛ −KPωT
⎞
⎜ 2 2
arctg 1 T ⎟
ϕ = + ω
⎜
K
⎟
⎜
P
⎟
2 2
⎝ 1+ T ω ⎠
= arctg( −T ω)
= −arctg(T ω)
ω
G
ϕ
0
K P
0
1
T
K
P
2
π
-
4
∞
0
π
-
2
Im
ω = ∞
- 45°
ω=0
K
P
Re
K P
2
ω =
1
T
1
ω = = ωL
LOMNA FREKVENCIJA
T
- član 1. reda ne može imati kašnjenje veće od
π
-
2

P 2 član
G(s) =
G( jω ) =
G =
ϕ = ϕ − ϕ
ω
G
ϕ
B
K
P
2 2
T2 s + T1s + 1
KP
KP
=
2 2
2 2
T
2
( jω ) + T
1( jω ) + 1 1 − T2 ω + T1
ωj
K
N
P
(1− T ω ) + (T ω)
0
K P
0
2 2 2 2
2 1
Im
Re
= −ϕN
= −arctg( )
N
1
T 2
T ω
= −arctg( )
1−
T
1
2 2
2
ω
2
KP
0 T
1
ω = ∞
ω=0
π
K P
Re
-
T
2
∞
-π
Im
- član 2. reda može imati maksimalno kašnjenje :
ϕ max = -π
ϕ
max
π
= −n
2
K
P
T
T
2
1

D 0 član
G(s) = Tds
G(j ω ) = T d
jω
G = Tdω
ϕ = ϕ − ϕ
B
T
arctg( d
ω
ϕ = ) =
0
Im
Re
N
= ϕB
= arctg( )
B
π
2
ω
G
0
1
T D
∞
0 1 ∞
Im
1
ω =
T
D
ω = ∞
1
ϕ
π
2
π
2
π
2
ω=0 Re

I 0 član
G(s) =
1
Ts
i
G( jω ) =
1
Ti
jω
1
G =
Tω
i
ϕ = ϕB
− ϕN
= −ϕN
= −arctg( Im
)
N
Re
T
arctg( i
ω
ϕ = − ) = −
π
0 2
Im
ω
G
ϕ
0
∞
π
-
2
1
T i
∞
1 0
π π
- -
2 2
ω =
1
T
i
ω = ∞
1
ω=0
Re

ZADATAK 2.
Za regulacijsku stazu prema slici potrebno je izračunati frekvencijske karakteristike i dati prikaz
amplitudno – frekvencijske karakteristike (AFK) i fazno-frekvencijske karakteristike (FFK) u
Nyquistovom dijagramu.
x u
K
1
1
T1 s + 1 T2 s + 1
x i
K = 3
T = T = 1
1 2
G(s) =
G( jω ) =
K =
3
2
(s + 1)(s + 1) s + 2s + 1
3
2
( jω ) + 2( jω ) + 1
⎡
2 2
G Re + Im ⎤
= =
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎣ ⎦
B
G G 2 2
N Re + Im
=
B
N
3
− ω + jω
2
(1 ) 2
G =
3
(1 − ω ) + 4ω
2 2 2
=
3
=
3 ... AFK
ω
4
+
2
2
2 ω + 1 ω + 1

ϕ = ϕ − ϕ
B
N
arctg(
2ω
)
1− ω
= −ϕN
= −
2
... FFK
ω
0
1
2
∞
Im
G
3
1,5
0,6
0
ϕ
0
-
π
2
-126,87°
-π
ω = ∞
ω=2
0,6
ω=1
1,5
ω=0
3
Re
G( jω ) =
3
− ω + jω
2
(1 ) 2
⋅
(1
2
) 2
(1
2
) 2
− ω − jω
− ω − jω
=
2
3(1 − ω )
(1 − ω ) + (2 ω)
2 2 2
+
−6ω
(1 ) (2 )
2 2 2
− ω + ω j

ZADATAK 3.
Regulacijska staza se sastoji od integralnog i proporcionalnog člana, a zadana je slijedećom
prijenosnom funkcijom K
G(s) =
s(s + 3)
Odrediti pojačanje K staze, tako da za frekvenciju ω=1 rad/s pojačanje amplitude izlaznog signala
iznosi 10 . Izračunati AFK i FFK i dati prikaz u Nyquistovom dijagramu.
G(s)
=
G( ω ) =
K
s(s + 3)
=
K
s
K
jω( jω + 3)
1
s + 3
j
2
G =
ϕ = ϕ − ϕ
B
K
( ) (3 )
K
= −ω + 3 jω
K
= ... AFK
ω + 9 ω
2 2 2 4 2
−ω + ω
N
= −ϕN
3ω
= −arctg( )
2
−ω
... FFK
K = ? za ω = 1 rad/ s G( jω ) = 10
10
K
= , uz ω = 1, K = 10
ω
4 +
2
9 ω

- za lakše crtanje:
G( )
10
jω = −ω
2 + 3 j ω
⋅
2
−ω −
2
−ω −
3
3
jω
jω
2
−10ω − 30 ω
j
= ω
4 −
2 2
9 j ω
G( jω ) =
2
−10ω
ω + 9ω
4 2
−30ω
+ ω + 9 ω
j
4 2 2
−10
30
= ω +
3
9
+ −
j ω + 9 ω
ω
Re
Im
G
ϕ
0 1 3 ∞
10
−
9
−1 −0,556 0
−3 −0,556 0
−∞
∞
-
π
2
10
0,785
−108,43 −135°
0
−π
10
−
9
ω=1
Im
ω = ∞
ω=3 Re
ω=0

ZADATAK 4.
Za sustav prikazan blok-dijagramom odrediti AFK i FFK i dati prikaz u Nyquistovom dijagramu.
x u
1
K
1
2s + 1 3s + 2 s + 1
x i
K=10
G(s) =
10
(2s + 1)(3s + 2)(s + 1)
=
10
3 2
6s + 13s + 9s + 2
G( jω ) =
10
3 2
6( jω ) + 13( jω ) + 9 jω + 2
10
= − ω + + ω − ω
2 3
( 13 2) j (9 6 )
G =
10
( −13ω + 2) + (9ω − 6 ω )
2 2 3 2
=
10
6 4 2
36ω + 61ω + 29ω + 4
... AFK
ϕ = ϕ − ϕ
B
N
= −ϕ N
3
9ω − 6ω
= −arctg( )
2
−13ω + 2
... FFK

10
G( jω ) = − ω + + ω − ω
2 3
( 13 2) j(9 6 )
⋅
2 3
( −13ω + 2) − j(9ω − 6 ω )
2 3
( −13ω + 2) − j(9ω − 6 ω )
G( jω ) =
2
−130ω + 20
6 4 2
36ω + 61ω + 29ω + 4
+
−90ω + 60ω
6 4 2
36ω + 61ω + 29ω + 4
3
j
ω
Re
0 ∞ 1,22
0,39
5
0
−0,58
0
Im
Im
G
ϕ
0
5
0
−3,17
3,17
π
-
2
0
0,58
−π
−
0
0
3π
2
ω=1,22
-0,58
ω = ∞
ω=0
5 Re
ω=0,39
-3,17