1. Funkcije kompleksne varijable f : C Ã¢Â†Â’ C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y ...

More documents

Recommendations

Info

6 4.1. Primjeri analitičkih funkcija. 1. P (z) = P ′ (z) = n∑ a n z n ∈ A(C), a i ∈ C, i = 0, . . . , n i=0 n∑ na n z n−1 , i=1 2. f(z) = e z ∈ A(C), f ′ (z) = e z , 3. ln(z) = ln |z| + i argz ∈ A(C\{(x, 0), x ≤ 0}), ln ′ (z) = 1 z , 4. φ 1 ,k(z) = n√ arg z + 2kπ arg z + 2kπ |z|(cos +i sin ). . . ”k-ta grana n n n n-tog korijena iz z”, φ 1 ,k ∈ A(C\{(x, 0), x ≤ 0}) n ( ) ′ 1 φ 1 (z) = n ,k nz φ 1 ,k(z), n 5. sin ′ (z) = cos(z), cos ′ (z) = sin(z), 6. sh ′ (z) = ch(z), ch ′ (z) = sh(z). 4.2. Geometrijska interpretacija modula i argumenta derivacije. Neka je f(z) analitička u točki z 0 i f ′ (z 0 ) ≠ 0. Tada je λ = |f ′ (z 0 )| modul ekspanzije (rastezanja) u točki z 0 pri preslikavanju u w-ravninu. Ako je λ < 1 radi se o stezanju, a za λ > 1 o rastezanju. Argument arg f ′ (z 0 ) je kut zakreta za koji rotira tangenta na neku krivulju u z-ravnini u točki z 0 do tangente na sliku te krivulje u točki f(z 0 ). Ako je argf ′ (z 0 ) > 0 rotacija je u pozitivnom smjeru, a za argf ′ (z 0 ) < 0 rotacija je u negativnom smjeru.
5. Konformna preslikavanja Definicija 8 (Konformno preslikavanje (1.vrste)). Preslikavanje w = f(z) je konformno u točki z 0 ako je f analitička u nekoj okolini točke z 0 i ako vrijedi f ′ (z 0 ) ≠ 0. Konformna preslikavanja dakle imaju svojstvo čuvanja kutova i svojstvo stalnosti rastezanja. Preslikavanje koje ima svojstvo stalnosti rastezanja, a kutove čuva po apsolutnoj vrijednosti, ali ne i po orijentaciji, je konformno preslikavanje 2. vrste. Ako je w = f(z) konformno preslikavanje, tada je w = f(z) konformno preslikavanje 2. vrste. Ako je funkcija f(z) analitička na D i preslikava D na D ∗ bijektivno te krivulju L iz D preslikava na L ∗ u D ∗ , tada je duljina krivulje L ∗ u w-ravnini: ∫ l(L ∗ ) = |f ′ (z)||dz|. Površina područja D ∗ u w-ravnini je: ∫∫ S(D ∗ ) = |f ′ (z)| 2 dxdy L D gdje je |f ′ (z)| 2 modul (koeficijent) distorzije područja D transformacijom f(z). Teorem 6. Neka je G područje omedeno konturom γ i f konformna funkcija na G ∪ γ. Neka je γ ∗ = f(γ) slika konture γ. Tada je γ ∗ kontura i f preslikava jednoznačno G na G ∗ koje je omedeno konturom γ ∗ . 7
Page 1 and 2: 1. Funkcije kompleksne varijable f
Page 3 and 4: 3 2. Limes niza i funkcije kompleks
Page 5: 5 4. Deriviranje funkcije kompleksn

1. Funkcije kompleksne varijable f : C Ã¢Â†Â’ C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?