1. Funkcije kompleksne varijable f : C → C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y ...

5
4. Deriviranje funkcije kompleksnog argumenta
Definicija 5. Kažemo da je w = f(z) diferencijabilna u točki z 0 ∈ C
f(z) − f(z 0 )
ako postoji konačan limes lim
= f ′ (z 0 ).
z→z0 z − z 0
Teorem 5. Funkcija w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) je diferencijabilna
u točki z ∈ C ako i samo ako vrijede Cauchy-Riemannovi uvjeti
∂u
∂x = ∂v ∂u
i
∂y ∂y = −∂v ∂x .
Tada je f ′ (z) = ∂u
∂x + i∂v ∂x = ∂v
∂y − i∂u ∂y .
Definicija 6. Ako je funkcija f(z) diferecijabilna na nekom skupu Ω ⊆
D f , gdje je Ω otvoren skup, kažemo da je funkcija analitička na Ω i
pišemo f ∈ A(Ω).
Svaka analitička funkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) odreduje dvije
porodice ortogonalnih krivulja u(x, y) = konst. i v(x, y) = konst..
Definicija 7. Za funkciju φ(x, y) kažemo da je harmonička u području
D ako na D ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda i zadovoljava
Laplaceovu jednadžbu (jednadžbu potencijala) ∆φ = 0 (∆φ =
∂ 2 φ
∂x 2
+ ∂2 φ
∂y 2 ).
Realni i imaginarni dio analitičke funkcije zadovoljavaju Laplaceovu
jednadžbu (∆u = 0, ∆v = 0). Za realni i imaginarni dio analitičke
funkcije kažemo da čine par konjugirano harmoničkih funkcija.
Uvjeti ∆u = 0 i ∆v = 0 medutim nisu dovoljni za analitičnost
funkcije f = u + iv, jer svaki par rješenja Laplaceove jednadžbe ne
mora zadovoljavati Cauchy-Riemannove jednadžbe.