1. Funkcije kompleksne varijable f : C → C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y ...

3
2. Limes niza i funkcije kompleksne varijable.
Neprekidnost funkcije kompleksne varijable
Definicija 1. Za niz kompleksnih brojeva (z n ) kažemo da konvergira
kompleksnom broju a ako
(∀ɛ > 0)(∃n z ∈ N) n > n z ⇒ |z n − a| < ɛ
Tada a zovemo limes niza (z n ) i pišemo a = lim
n→∞
z n .
Teorem 1. Niz kompleksnih brojeva (z n ), z n = x n + iy n , konvergira
kompleksnom broju a = α + iβ ako i samo ako niz (x n ) konvergira ka
α i niz (y n ) konvergira ka β;
z n = x n + iy n , a = α + iβ : z n → a ⇔ x n → α i y n → β.
Ako je z n zadan u polarnom obliku, z n = ρ n e iφn ,
lim ρ }
n = ρ 0
n→∞
lim φ ⇔ lim z
n = φ n = ρ 0 e iφ 0
0 n→∞
n→∞
Definicija 2.
A = lim
z→z0
f(z) ⇔ (∀ɛ > 0)(∃δ > 0) |z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − f(z 0 )| < ɛ.
Teorem 2.
f(z) = u(x, y)+iv(x, y), z 0 = x 0 +iy 0
Teorem 3.
lim f(z) = A i lim g(z) = B ⇒
z→z 0 z→z0
⇒ lim f(z) = lim
z→z0 x→x0
u(x, y)+i
x→x0
lim v(x, y).
y→y 0 y→y 0
lim
z→z 0
(f(z) ± g(z)) = A ± B,
lim
z→z 0
(f(z) · g(z)) = A · B,
f(z)
lim
z→z 0 g(z) = A , g(z) ≠ 0, B ≠ 0.
B
Definicija 3. Za funkciju f(z) kažemo da je neprekidna u točki z 0 ako
(∀ɛ > 0)(∃δ > 0) |z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − f(z 0 )| < ɛ, ∀z ∈ D f .
Funkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) je neprekidna u točki z 0 = x 0 + iy 0
ako i samo ako su u(x, y) i v(x, y) neprekidne u (x 0 , y 0 ).
Funkcija f(z) je neprekidna u z 0 ako je lim
z→z0
f(z) = f(z 0 ).