Torzija dodatek - FGG-KM

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
V tem razdelku obravnavamo torzijski del zunanje obtežbe, ki smo
ga v dosedanji analizi mehanskega stanja linijskega nosilca izključili.
Vendar se tokrat odpovemo povsem splošnemu načinu torzijske obtežbe
in obravnavamo posebni primer, pri katerem je nosilec obtežen le v
krajiščih s po velikosti enakima, po smeri pa nasprotnima točkovnima
dvojicama M T (slika 5.9). To pomeni, da je notranji torzijski moment
M x po celotni dožini nosilca enakomeren (M x = M T ). Od tod tudi ime
primera – enakomerna torzija. Kot sledi iz enačb (5.26), obravnavana
obtežba ustreza primeru, ko je plašč nosilca neobtežen (p nx = p ny =
p nz = 0), prav tako pa ni specifične prostorninske obtežbe (v x = v y =
v z = 0). Razen tega vzamemo, da v nobenem prečnem prerezu ni
preprečena izbočitev. Obravnavani primer je v literaturi znan tudi pod
imeni: čista, neovirana, Saint-Venantova torzija.
Slika 5.9
Kot osnovno predpostavko o deformiranju nosilca pri torzijski obtežbi
spet vzamemo, da se velikost in oblika prečnega prereza v ravnini (y, z)
med delovanjem obtežbe ne spreminjata.
Ker ni vzdolžne obtežbe in s tem tudi ne osne sile, lahko v skladu z
1

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
enačbo (5.71) zanemarimo tudi specifično spremembo dolžine v smeri
vzdolžne osi.
ε yy ≈ ε zz ≈ ε yz ≈ 0 in ε xx ≈ 0 . (5.128)
Gre torej za primer deformacijskega stanja, pri katerem prevladujejo
spremembe pravih kotov ε xy in ε xz v ravninah (x, y) in(x, z). Koordinatni
vektorji deformacij so tedaj
ε x = ε xy e y +ε xz e z ε y = ε xy e x ε z = ε xz e x . (5.129)
Konstitucijske enačbe
Ob upoštevanju predpostavk (5.128) sledijo iz konstitucijskih enačb
(4.9) naslednje enostavne zveze
Ravnotežne enačbe
σ xy =2Gε xy
σ xz =2Gε xz
(5.130)
σ xx ≈ σ yy ≈ σ zz ≈ σ yz ≈ 0 . (5.131)
Ravnotežne enačbe (4.1) se ob upoštevanju enačb (5.131) in predpostavke,daniprostorninskeobtežbe,
glasijo
∂σ xy
∂y
+ ∂σ xz
∂z
=0 (5.132)
V :
∂σ xy
∂x
=0 (5.133)
∂σ xz
=0. (5.134)
∂x
Enačbi (5.133) in (5.134) povesta, da sta napetosti σ xy in σ xz neodvisni
od vzdolžne koordinate x, kar je pri konstantnem torzijskem momentu
tudi razumljivo
2
σ xy = σ xy (y, z) in σ xz = σ xz (y, z) . (5.135)

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Iz enačb (5.130) sledi, da sta tudi deformaciji ε xy in ε xz le funkciji
prereznih koordinat y in z
ε xy = ε xy (y, z) in ε xz = ε xz (y, z) . (5.136)
Zapišimo še ravnotežne pogoje (4.3) za plašč S pl .Kerjeplašč nosilca
neobtežen, dobimo
S pl : σ yx e ny + σ zx e nz =0. (5.137)
Upoštevali smo, da je nosilec valjaste ali prizmatične oblike, zato zunanja
normala plašča e n nima komponente v smeri osi x (e nx =0).
Prav lahko je ugotoviti, da sta pri tem preostali dve ravnotežni enačbi
na plašču S pl identično izpolnjeni.
Dodajmo še četrto od enačb (5.29). Ta enačba pove, kako je notranji
torzijski moment M x ,kismogadoločili iz ravnotežnega pogoja (5.33),
izražen z napetostmi
∫
M x = (yσ xz − zσ xy ) dA x . (5.138)
A x
Kinematične enačbe
Najbolj značilna kinematična količina pri torzijskem nosilcu je nedvomno
torzijski zasuk ω x , to je zasuk prečnega prereza okrog vzdolžne
osi nosilca. Ob predpostavki, da se prerez v svoji ravnini obnaša kot
toga šipa, je zasuk ω x enak v vseh točkah prereza, torej se spreminja le v
odvisnosti od koordinate x, glede na koordinati y in z pa je konstanten.
Ker je torzijski notranji moment enakomeren po celotni dolžini nosilca,
lahko sklepamo, da se tudi torzijski zasuk ω x enakomerno spreminja
vzdolž nosilca. To pomeni, da lahko torzijski zasuk ω x zapišemo kot
linearno funkcijo koordinate x
ω x (x) =ω 0 x + θ (x − x 0 ) .
(T.13)
3

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Konstanto
θ = dω x
(T.14)
dx
imenujemo specifični torzijski zasuk, saj pove, za koliko se nosilec na
enoto dolžine zasuče okrog svoje vzdolžne osi.
Kakor sledi iz enačbe (T.13), smo z ωx 0 označili torzijski zasuk referenčnega
prereza pri x = x 0 . Za referenčni prerez je smiselno izbrati prerez,
za katerega vnaprej poznamo torzijski zasuk. Na sliki T-1, na primer,
je prerez pri x = x 0 torzijsko nevrtljivo podprt, torej je ωx 0 =0.
Ob upoštevanju predpostavke, da se prečni prerez v svoji ravnini obnaša
kot toga šipa, se tudi pri določanju pomikov u y in u z izognemo reševanju
kinematičnih enačb (2.184) v splošni obliki. V ta namen razstavimo
vektor pomika u poljubne točke prečnega prereza v vektor u ∗ ,kileži v
ravnini prečnega prereza, in v vektor u x e x ,kipredstavljaizbočitev
u = u x e x + u ∗
u ∗ = u y e y + u z e z .
(5.144)
Na enak način razstavimo pomik u ∼
težišča T ∼
prečnega prereza
∼
u = u e ∗
x + ∼
u
∼
u
∗ = v e y + w e z .
V ravnini prečnega prereza je
(5.145)
ω ∗ = ω x e x , (5.146)
in pomik u ∗ poljubne točke T (x, y, z), ki je glede na težišče T ∼
določena
s krajevnim vektorjem ϱ = y e y + z e z , izrazimo v skladu z enačbo
(1.394)
u ∗ = u ∼ ∗ + ω ∗ × ϱ =(v − zω x ) e y +(w + yω x ) e z . (5.147)
Pri določitvi torzijskega zasuka ω x smo potihem domnevali, da se prerez
zavrti okrog vzdolžne osi x, torej okrog težišča prereza T ∼
. Vendar podrobnejša
proučitev gibanja prereza kot toge šipe pokaže, da je takšna
4

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
domneva upravičena le pri dvojno simetričnih prerezih. Pri vseh drugih
pa lahko v ravnini prečnega prereza najdemo posebno točko S(y S ,z S ),
ki ne sovpada s težiščem T ∼
, in ki se pri torzijski obtežbi nosilca translatorno
nič ne premakne. To pomeni, da se prečni prerez A x kot toga
šipa zavrti za kot ω x okoli točke S, ki jo imenujemo torzijsko središče
prereza in jo opredelimo z zahtevo, da je njen pomik u ∗ enak nič
u ∗ (S) =(v − z S ω x ) e y +(w + y S ω x ) e z = 0. (5.148)
Enačba (5.148) je izpolnjena, če velja
v = z S ω x in w = −y S ω x . (5.149)
Pomik u ∗ poljubne točke prereza je tako
u ∗ = −ω x (z − z S ) e y + ω x (y − y S ) e z . (5.150)
Primerjava z enačbo (5.144) pokaže, da sta pomika u y in u z vprečnem
prerezu A x linearni funkciji koordinat z oziroma y
u y = −ω x (z − z S )
u z = ω x (y − y S ) .
(5.151)
Vzdolžni pomik u x nastopa v prvi, četrti in šesti od kinematičnih enačb
(4.5). Iz prve sledi, da je izbočitev, ki jo opisuje ta pomik, neodvisna od
vzdolžne koordinate x, toreju x = u x (y, z). Ob upoštevanju zvez (5.128)
in (5.151) sledi enaka ugotovitev tudi iz preostalih dveh kinematičnih
enačb
2ε xy = ∂u y
∂x + ∂u x
∂y
2ε xz = ∂u z
∂x + ∂u x
∂z
→
∂u x
∂y =2ε xy + θ (z − z S )
∂u x
∂z =2ε xz − θ (y − y S ) .
(5.152)
Kakor lahko hitro preštejemo, določa mehansko stanje nosilca z enakomernim
torzijskim momentom M x devet količin: napetosti σ xy in σ xz ,
5

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
deformaciji ε xy in ε xz , specifični torzijski zasuk θ, torzijski zasuk ω x
ter pomiki u x , u y in u z . Dobimo jih kot rešitve naslednjega sistema
devetih enačb
∫
A x : M x = (yσ xz − zσ xy ) dA x (5.153)
A x
V :
∂σ xy
∂y
+ ∂σ zx
∂z
=0 (5.154)
σ xy =2Gε xy (5.155)
σ xz =2Gε xz (5.156)
∂u x
∂y =2ε xy + θ (z − z S ) (5.157)
∂u x
∂z =2ε xz − θ (y − y S ) (5.158)
ω x = ω 0 x + θ (x − x 0) (5.159)
u y = −ω x (z − z S ) (5.160)
u z = ω x (y − y S ) . (5.161)
Pri reševanju sistema moramo upoštevati statični robni pogoj
S pl : σ yx e ny + σ zx e nz =0 (5.162)
ter kinematične robne pogoje, ki so odvisni od načina podpiranja
nosilca.
Če si sistem osnovnih enačb čiste torzije ogledamo nekoliko natančneje,
vidimo, da ga lahko rešujemo v dveh delih: najprej iz prvih šestih enačb
določimo napetosti, deformacije, pomik u x in specifični torzijski zasuk
θ, nato pa iz zadnjih treh brez težav izračunamo še torzijski zasuk ω x
in prečna pomika u y in u z . V nadaljevanju sta prikazana postopka
reševanja osnovnih enačb čiste torzije z metodo pomikov in z metodo
napetosti.
6

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Metoda pomikov
V skladu z osnovno idejo metode pomikov skušamo ravnotežno enačbo
(5.154) izraziti s pomiki. V ta namen najprej uporabimo konstitucijski
enačbi (5.155) in (5.156) in zapišemo enačbo (5.154) z deformacijami
∂ε xy
∂y
+ ∂ε xz
∂z
=0. (5.163)
Zenačbama (5.152) izrazimo deformaciji ε xy in ε xz spomiki
(
∂ ∂uy
∂y ∂x + ∂u )
x
+ ∂ ( ∂uz
∂y ∂z ∂x + ∂u )
x
=0 (5.164)
∂z
in ob upoštevanju enačb (5.151) sledi
∂ 2 u x
∂y + ∂2 u x
2 ∂z = 2 ∇2 yz u x =0. (5.165)
Dobili smo Laméjevo enačbo za primer enakomerne torzije ravnega
nosilca, ki pove, da je pomik u x harmonična funkcija nad prečnim
prerezom A x . Na prvi pogled ponuja metoda pomikov zelo ugodno
rešitev, saj enačbi (5.165) zadošča vsaka harmonična funkcija. Vendar
se reševanje zaplete pri robnem pogoju (5.162), ki ga s pomikom u x
izrazimo takole
[ ]
∂ux
S pl :
∂y − θ(z − z S)
[ ]
∂ux
e ny +
∂z + θ(y − y S) e nz =0. (5.166)
V robnem pogoju nastopata parcialna odvoda pomika u x , razen tega
pa tudi specifični torzijski zasuk θ, ki ga moramo določiti iz pogoja, da
je “ravnotežni” torzijski moment prereza A x enak “konstitucijskemu”
∫
M x = (yσ xz − zσ xy ) dA x . (5.167)
A x
Po krajši izpeljavi lahko enačbo (5.167) zapišemo v naslednji obliki
∫ (
M x =2G y ∂u x
∂z − z ∂u )
x
dA x +2Gθ (I y + I z ) . (5.168)
∂y
A x
7

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Laméjevo enačbo (5.165) moramo torej reševati ob hkratnem upoštevanju
robnega pogoja (5.166) in enačbe (5.168), kar je analitično mogoče
narediti le pri krožnem prerezu, pri bolj splošnih oblikah prečnega prereza
pa naletimo na hude računske težave. Zato se reševanju problema
enakomerne torzije z metodo pomikov odpovemo in se v nadaljevanju
posvetimo rešitvi z metodo napetosti, ki je, kakor bomo pokazali, veliko
lažja.
Metoda napetosti pri enakomerni torziji
Kakor smo ugotovili v 4. poglavju, je treba pri reševanju osnovnih
enačb mehanskega stanja trdnega telesa z metodo napetosti vpeljati
dodatne, kompatibilnostne pogoje, ki zagotavljajo enolično integrabilnost
pomikov in zasukov iz kinematičnih enačb. V našem primeru so
torzijski zasuk ω x in prečna pomika u y in u z vnaprej enolično določeni
zenačbami (5.159) do (5.161). Za določitev vzdolžnega pomika u x pa
imamo dve enačbi, (5.157) in (5.158). Zato moramo enoličnost pomika
u x zagotoviti posebej. Ker je u x = u x (y, z), je dovolj, če zahtevamo,
da je integral popolnega diferenciala pomika u x po poljubni sklenjeni
krivulji C znotraj prečnega prereza A x enak nič
∮
du x =0 (C ∈ A x ) . (5.169)
C
Parcialna odvoda pomika u x po y in z izrazimo z enačbama (5.157) in
(5.158) in dobimo
∮ ∮ ( ∂ux
du x =
∂y dy + ∂u )
x
∂z dz =
C C
∮ { [2εxy
+ θ (z − z S ) ] dy + [ 2ε xz − θ (y − y S ) ] dz}
=0.
C
(5.170)
Krivuljni integral na desni strani prevedemo z Greenovim izrekom v
ploskovni integral po ploskvi A n ,kijovprečnem prerezu A x ograjuje
8

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
krivulja C .
obliko
Kompatibilnostni pogoj (5.169) preide tako v naslednjo
∫
A n
(
∂εxz
∂y
− ∂ε xy
∂z − θ )
dA x =0. (5.171)
Pri enkrat sovisnih prečnih prerezih lahko poljubno krivuljo C skrčimo
na točko znotraj integracijskega območja A x . V tem primeru je potreben
in zadosten pogoj za enoličnost pomika u x kar
∂ε xz
∂y
− ∂ε xy
∂z
− θ =0. (5.172)
Pri večkrat sovisnih prerezih z notranjimi odprtinami (slika 5.10)
moramo za krivulje, ki obkrožajo notranje odprtine in jih torej ne
moremo skrčiti na točko znotraj območja A x , izpolniti dodatne kompatibilnostne
pogoje.
Slika 5.10
Dodatne kompatibilnostne pogoje praviloma zapišemo kar za mejne
krivulje notranjih odprtin C ni . Za (m +1)krat sovisen prečni prerez
z m odprtinami dobimo
∮ ∮ { [2εxy
du x = + θ (z − z S ) ] dy + [ 2ε xz − θ (y − y S ) ] }
dz =0
C ni C ni
(i =1, 2,...,m) . (5.173)
9

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Dobljeno enačbo preuredimo
∮
∮
2 (ε xy dy + ε xz dz)+θ
C ni
C ni
[
(z − zS ) dy − (y − y S ) dz ] =0 (5.174)
in drugi člen z Greenovim izrekom (5.93) prevedemo na ploskovni integral
po območju notranje odprtine A ni , ki jo ograjuje krivulja C ni .
Ploščino notranje odprtine A ni označimo z A ni in dobimo
∮
C ni
(ε xy dy + ε xz dz) − θA ni =0 (i =1, 2,...,m) . (5.175)
V skladu z osnovno idejo metode napetosti izrazimo tudi kompatibilnostne
enačbe z napetostmi. Ob upoštevanju konstitucijskih zvez
(5.130) iz enačb (5.172) in (5.175) sledi
∮
∂σ xz
∂y
− ∂σ xy
∂z
− 2θG =0 (5.176)
C ni
(σ xy dy + σ xz dz) − 2θGA ni =0 (i =1, 2,...,m) . (5.177)
Navidez smo s tem nalogo še bolj zapletli, saj smo dobili dodatne enačbe.
V resnici pa se nadaljnje reševanje problema znatno poenostavi,
če vpeljemo napetostno funkcijo ϕ(y, z), s katero izrazimo napetosti na
naslednji način
σ xy =
θG ∂ϕ
∂z
σ xz = −θG ∂ϕ
∂y . (5.178)
Z vstavitvijo tako definiranih napetosti v ravnotežni pogoj (5.154)
se hitro izkaže, da je ta pogoj identično izpolnjen in ga v nadaljevanju
ni več treba upoštevati. Kompatibilnostni pogoj (5.176) pa ob
upoštevanju substitucije (5.178) preide v naslednjo obliko
10
∂ 2 ϕ
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 +2=0 ali ∇2 yzϕ +2=0. (5.179)

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
To je tako imenovana Poissonova diferencialna enačba enakomerne
torzije, ki hkrati predstavlja ravnotežni in kompatibilnostni pogoj in
jo rešujemo ob robnem pogoju (5.162). Tudi ta pogoj izrazimo z
napetostno funkcijo ϕ in za plašč S pl dobimo
( ∂ϕ
σ yx e ny + σ zx e nz = θG
∂z e ny − ∂ϕ )
∂y e nz =0. (5.180)
Robni pogoj (5.180) je ugodno izraziti v naravnih koordinatah s in
n, kisenanašajo na medsebojno pravokotna bazna vektorja e s vzdolž
tangente in e n vzdolž normale na mejno krivuljo C x (slika 5.7). Smerna
kosinusa normale e ny in e nz izrazimo z enačbama (5.101), vstavimo v
enačbo (5.180) in ob upoštevanju pravila za posredno odvajanje dobimo
∂ϕ dy
∂y ds + ∂ϕ dz
∂z ds =0 → ∂ϕ
∂s
=0. (5.181)
S tem smo robni pogoj (5.162) prevedli v zelo prikladno obliko, ki pove,
da mora biti napetostna funkcija ϕ vzdolž mejne krivulje prečnega prereza
konstantna. Pogoj velja tako za zunanjo mejno krivuljo kot tudi
za mejne krivulje morebitnih notranjih odprtin. Pri tem so lahko konstantne
vrednosti napetostne funkcije vzdolž posameznih mejnih krivulj
različne. Za napetostno funkcijo na zunanji mejni krivulji C x praviloma
privzamemo kar vrednost ϕ z =0. Kotkažeta enačbi (5.178),
sta napetosti σ xy in σ xz izraženi z odvodi napetostne funkcije, zato
poljubna izbira konstantne vrednosti napetostne funkcije na eni izmed
mejnih krivulj nič nevplivanakončne rezultate.
Pri enkrat sovisnih prečnih prerezih izraža Poissonova diferencialna
enačba (5.179) potrebni in zadostni pogoj za enoličnost pomika u x .
Pri večkrat sovisnih prerezih pa moramo izpolniti še dodatne kompatibilnostne
pogoje (5.177) za vsako od notranjih odprtin. Z napetostno
funkcijo ϕ jih zapišemo takole
∮ ( )
∂ϕ ∂ϕ
dy −
∂z ∂y dz − 2A ni =0. (5.182)
C ni
11

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Izraz v okroglem oklepaju pod integralom lahko ob upoštevanju enačb
(5.101) še nadalje preoblikujemo
(
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
dy −
∂z ∂y dz = − ∂y e ny + ∂ϕ )
∂z e nz ds . (5.183)
Parcialna odvoda, ki nastopata v gornji enačbi, sta komponenti gradienta
f skalarnega polja ϕ(y, z)
f = f y e y + f z e z =gradϕ = ∂ϕ
∂y e y + ∂ϕ
∂z e z . (5.184)
Enačboskalarnopomnožimo z e n in po analogiji z enačbami (1.63)
dobimo
f · e n = f y e ny + f z e nz = f n = ∂ϕ
∂n . (5.185)
Dodatne kompatibilnostne pogoje (5.182) za večkrat sovisne prereze
lahko sedaj zapišemo kot sledi
∮
C ni
∂ϕ
∂n ds +2A ni =0 (i =1, 2,...,m) . (5.186)
Pri enkrat sovisnih prerezih dobimo napetostno funkcijo ϕ kot rešitev
kompatibilnostne enačbe (5.179) ob robnem pogoju (5.181). Pri večkrat
sovisnih prerezih upoštevamo še dodatne kompatibilnostne enačbe
(5.186) in z njimi določimo vrednosti napetostne funkcije na robovih
notranjih odprtin. V obeh primerih je očitno, da je funkcijska oblika
napetostne funkcije ϕ nad prečnim prerezom odvisna le od njegove velikosti
in oblike, nič paodobtežbe, načina podpiranja in materialnih
lastnosti nosilca. Napetostna funkcija ϕ je torej geometrijska karakteristika
prečnega prereza, tako kot njegova ploščina, obseg, upogibni
vztrajnostni momenti, lega težišča in podobno.
Preostane nam še določitev specifičnega torzijskega zasuka θ. V ta
namen zapišimo enačbo (5.153), ki predstavlja povezavo z zunanjo
obtežbo, z napetostno funkcijo ϕ
∫ (
M x = −θG y ∂ϕ
∂y + z ∂ϕ )
dA x . (5.187)
∂z
A x
12

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Če vpeljemo okrajšavo
∫ (
I x = − y ∂ϕ
∂y + z ∂ϕ )
∂z
A x
dA x , (5.188)
dobimo zvezo med torzijskim momentom prereza M x
torzijskim zasukom θ v preprosti obliki
in specifičnim
M x = θGI x . (5.189)
Z uporabo zveze (5.143) lahko sedaj zapišemo osnovno deformacijsko
enačbo enakomerne torzije v naslednji obliki
θ = dω x
dx = M x
GI x
. (5.190)
Glede na podobnost dobljene enačbe z enačbama (5.77) in (5.78) imenujemo
količino I x torzijski vztrajnostni moment prečnega prereza A x .
Oznaka je upravičena, saj iz enačbe (5.188) sledi, da je I x odvisen le od
velikosti in oblike prereza A x .Pripraktičnem delu bi bilo vrednotenje
torzijskega vztrajnostnega momenta I x iz enačbe (5.188) zamudno, še
posebej pri večkrat sovisnih prerezih. Pomagamo si na naslednji način:
venačbi (5.188) upoštevamo pravilo za odvajanje produkta in enačbo
zapišemo takole
I x = −
∫ [ ∂
∂y (yϕ)+ ∂ ]
∂z (zϕ)
A x
∫
dA x +2
A x
ϕdA x . (5.191)
Prvega od integralov na desni strani prevedemo z Greenovim izrekom
(5.93) na integral po sklenjeni krivulji C x , ki ograjuje prečni prerez A x ,
in dobimo
∮
∫
[ ]
I x = ϕ (zdy− ydz) +2 ϕdA x . (5.192)
A x
C x
Pri (m +1)−krat sovisnem prerezu sestavimo sklenjeno mejno krivuljo
C x iz več delov, tako da z njo zajamemo celotno območje prečnega
13

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
prereza A x (slika 5.11). Integrali vzdolž ravnih odsekov integracijske
poti, s katerimi pridemo z zunanje mejne krivulje na notranjo in nazaj,
se odštejejo, saj integriramo isto funkcijo enkrat v eni, drugič pavdrugi
smeri. Preostane nam torej integriranje po zunanji mejni krivulji C z ,
kjer ima napetostna funkcija konstantno vrednost ϕ z ,terponotranjih
mejnih krivuljah C ni (i =1, 2,...,m), kjer ima napetostna funkcija
konstantne vrednosti ϕ ni
Slika 5.11
I x = ϕ z
∮
C z
m∑
∮
(zdy− ydz)+ ϕ ni
i=1
C ni
∫
(zdy− ydz)+2 ϕdA x .
A x
(5.193)
Kakor smo že omenili, privzamemo za napetostno funkcijo na zunanji
mejni krivulji vrednost ϕ z =0,integralevzdolž notranjih mejnih krivulj
pa z Greenovim izrekom prevedemo na ploskovne integrale po notranjih
odprtinah. Pri tem moramo v Greenovem izreku spremeniti predznak
ploskovnega integrala, ker integriramo v sourni, torej “negativni” smeri.
Tako dobimo končno formulo za računanje torzijskega vztrajnostnega
momenta
∫
m∑
I x =2 ϕdA x +2 ϕ ni A ni . (5.194)
A
i=1
x
14

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Kot vidimo, je torzijski vztrajnostni moment I x enak dvojni prostornini
območja, ki ga določa napetostna funkcija ϕ nad prečnim prerezom A x .
Zaporedje računskih postopkov pri reševanju problema enakomerne
torzije po metodi napetosti je sedaj jasno pred nami: najprej ob
upoštevanju robnih pogojev (5.181) iz Poissonove enačbe (5.179)
določimo napetostno funkcijo ϕ(y, z); pri večkrat sovisnih prerezih
moramo uporabiti še dodatne kompatibilnostne pogoje (5.186), ki nas
pripeljejo do konstantnih vrednosti napetostne funkcije nad m notranjimi
odprtinami ϕ ni (i =1, 2,...,m). Sedaj lahko z enačbo (5.194)
izračunamo torzijski vztrajnostni moment I x ,zenačbo (5.190) pa tudi
specifični torzijski zasuk θ. Izračunamo še parcialne odvode napetostne
funkcije ϕ po koordinatah y in z ter po vstavitvi v enačbi (5.178)
dobimo strižni napetosti σ xy in σ xz . Kotni deformaciji ε xy in ε xz
določimo iz konstitucijskih enačb (5.130). Česeomejimonadvojno
simetrične prereze, pri katerih se torzijsko središče S ujema s težiščem
∼
T (y S = z S =0),lahkozenačbama (5.157) in (5.158) določimo parcialna
odvoda pomika u x ter njegov popolni diferencial
du x = ∂u x
∂y dy + ∂u x
dz . (5.195)
∂z
Pomik u x poljubne točke T prečnega prereza A x lahko sedaj izračunamo
v odvisnosti od pomika u x referenčne točke T 0
u x (T )=u x (T 0 )+
∫ T
T 0
du x . (5.196)
Integral v gornji enačbi je nedvomno neodvisen od izbire integracijske
poti med točkama T 0 in T , saj smo z izpolnitvijo enačb (5.179) in (5.186)
zagotovili enoličnost pomika u x .
Ker poznamo specifični torzijski zasuk θ, lahko iz enačb (5.159) do
(5.161) brez težav določimo tudi torzijski zasuk ω x ter prečna pomika
u y in u z .
15

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Enakomerna torzija nosilca z votlim eliptičnim prerezom
Nosilec z eliptičnim ali krožnim prečnim prerezom je primer, pri
katerem je mogoče poiskati analitično rešitev Poissonove diferencialne
enačbe enakomerne torzije.
Slika Z-5.10 a
Vzemimo, da je zunanja mejna krivulja prereza elipsa C z s polosema a
in b (a >b), notranja mejna krivulja pa podobna elipsa C n s polosema
ka in kb (0 ≤ k

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
prereza vzamemo v naslednji obliki
[ ( y
) 2 ( z
) ] 2
ϕ(y, z) =C + − 1 , (c)
a b
kjer je C zaenkrat neznana konstanta. Z vstavitvijo drugih parcialnih
odvodov funkcije ϕ venačbo (b )dobimo
2C
a 2
+ 2C
b 2 +2=0 → C = − a2 b 2
a 2 + b 2
(č)
in rešitev enačbe (b )je
ϕ = − a2 b 2 [ (y 2 ( z
) ] 2
+ − 1 . (d)
a 2 + b a) 2 b
Hitro se lahko prepričamo, da dobljena rešitev zadošča tudi robnim
pogojem. Iz enačbe (5.181) sledi, da mora biti funkcija ϕ konstantna
tako vzdolž zunanje mejne krivulje C z kakor tudi vzdolž notranje mejne
krivulje C n . Vrednost napetostne funkcije na zunanjem robu dobimo z
zapisom enačbe (d ) v poljubni točki T z (y z ,z z )
ϕ z = − a2 b 2 [ (yz
a 2 + b 2 a
in zaradi prve od enačb (a )sledi
) 2 ( zz
) ] 2
+ − 1 , (e)
b
ϕ z =0, (f )
kar smo že omenili kot najpreprostejšo možnost izbire vrednosti napetostne
funkcije na zunanjem robu. Vrednost napetostne funkcije na
notranjem robu prereza dobimo tako, da v rešitev (d )vstavimokoordinate
točke T n (y n ,z n )
ϕ n = − a2 b 2 [ (yn ) 2 ( zn
+
a 2 + b 2 a b
) ] 2
− 1 . (g)
17

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Ob upoštevanju druge od enačb (a )pokrajši izpeljavi dobimo
ϕ n = a2 b 2
a 2 + b (1 − 2 k2 ) .
(h)
Napetostna funkcija v obliki (d ) je torej prava rešitev problema
enakomerne torzije pri nosilcu z votlim eliptičnim prerezom. Primerjava
enačbe (d) zenačbama (a) tudi pove, da so izohipse napetostne
funkcije nad eliptičnim prerezom prav tako elipse.
Torzijski vztrajnostni moment prereza A x izračunamo z enačbo (5.194)
⎡
⎤
I x = −2 a2 b 2
⎣ 1 ∫
y 2 dA
a 2 + b 2 a 2 x + 1 ∫ ∫
z 2 dA
b 2 x − dA x
⎦ +
A x A x A x
2 a2 b 2 ( ) 1 − k
2
a 2 + b 2 A n .
(i)
Geometrijske karakteristike votlega eliptičnega prereza so
∫
A x = dA x = πab ( 1 − k 2)
A x
∫
A n = dA x = πabk 2
A n
∫
I yy = z 2 dA x = 1 ( 4 πab3 1 − k 4)
(j )
A x
∫
I zz = y 2 dA x = 1 4 πa3 b ( 1 − k 4)
A x
in
I x = πa3 b 3 (
1 − k
4 ) .
a 2 + b 2
Specifični torzijski zasuk θ določimo z enačbo (5.190)
(k)
θ = M x
a 2 + b 2
Gπa 3 b 3 (1 − k 4 ) ,
(l)
18

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
strižni napetosti σ xy in σ xz pa z enačbama (5.178)
2M x
σ xy = −
πab 3 (1 − k 4 ) z
σ xz =
2M x
πa 3 b(1 − k 4 ) y.
(m)
Enačbi povesta, da je strižna napetost σ xy linearna glede na koordinato
z, napetost σ xz pa linearna glede na y.
Slika Z-5.10 b
Slika Z-5.10 b prikazuje potek strižnih napetosti vzdolž koordinatnih
osi. Napetosti sta največji na robu, proti središču prereza pa se linearno
zmanjšujeta. Če je prerez poln (brez notranje odprtine), je material
v sredini bistveno manj izkoriščen kot na robu. Zato so pri torzijski
obtežbi najbolj ekonomični nosilci z votlim prečnim prerezom in čim
tanjšimi stenami (enocelični ali večcelični tankostenski nosilci). Če so
stene tanke v primerjavi s siceršnjimi izmerami prereza, lahko zanemarimo
spreminjanje strižne napetosti po debelini stene in računamo
kar z enakomernim torzijskim strižnim tokom vzdolž srednje črte stene
prereza. S preučevanjem opisanih nosilcev se ukvarja posebna veja konstrukcijske
mehanike – teorija tankostenskih nosilcev.
19

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Iz konstitucijskih enačb (5.130) določimo še kotni deformaciji ε xy in ε xz
M x
ε xy = −
Gπab 3 (1 − k 4 ) z
ε xz =
M x
Gπa 3 b(1 − k 4 ) y.
(n)
Določimo še izbočitev prečnega prereza, ki je izražena z vzdolžnim
pomikom u x .Obupoštevanju enačb (5.195) in (5.196) dobimo
u x (x, y, z) =u x (T ∼
)+
∫ y
0
∫ z
0
[
2εxy + θ(z − z S ) ] z=0 dy +
[
2εxz − θ(y − y S ) ] dz . (o)
Za referenčno točko smo izbrali kar težišče prečnega prereza T ∼
(x, 0, 0).
Glede na dvojno simetrijo prereza A x vzamemo, da se točka T ∼
nič ne
pomakne v vzdolžni smeri, kar pomeni, da je u x (T ∼
) = 0. Razen tega
se točka T ∼
ujema s torzijskim središčem prereza S, zatojey S =0in
z S = 0 in po vstavitvi zvez (l )in(n )sledi
u x (x, y, z) = M x
G
(b 2 − a 2 )
πa 3 b 3 (1 − k 4 ) yz .
(p)
Izbočitvena ploskev, ki jo opisuje enačba (p), je v diferencialni geometriji
znana kot hiperbolični hiperboloid.
Končno si kot poseben primer oglejmo votli krožni prerez.
a = b = r in iz enačb (d )do(n )sledi
Tedaj je
ϕ = 1 2
(
r 2 − y 2 − z 2) (r)
ϕ n = r2
2
(
1 − k
2 ) (s)
I x = πr4
2
(
1 − k
4 ) (š)
20

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
θ =
M x
Gπr 4 (1 − k 4 )
2M x
σ xy = −
πr 4 (1 − k 4 ) z
(t)
(u)
σ xz =
2M x
πr 4 (1 − k 4 ) y
(v)
M x
ε xy = −
Gπr 4 (1 − k 4 ) z
(z)
ε xz =
M x
Gπr 4 (1 − k 4 ) y.
(ž)
Iz enačbe (p ) pa sledi nekolikanj presenetljiva ugotovitev, da pri
enakomerni torziji krožnega prereza ne pride do izbočitve (u x =0).
Enakomerna torzija nosilca z ozkim pravokotnim prečnim prerezom
Vprejšnjem zgledu smo ugotovili, da so izohipse napetostne funkcije
nad eliptičnim prečnim prerezom tudi elipse. Predstavljajmo si, da
eliptični prečni prerez postopoma preoblikujemo v pravokotnega, tega
pa še naprej, tako da postane višina prereza h veliko večja od njegove
širine oziroma debeline δ (slika Z-5.11 a). V tem primeru so izohipse
praktično povsod razen v neposredni bližini krajših robov vzporedne z
daljšo stranico prereza. To pomeni, da se napetostna funkcija v smeri
višine prereza ne spreminja in v našem primeru lahko za pretežni del
prereza vpeljemo poenostavitev
∂ϕ
∂z =0.
(a)
Prva od enačb (5.178) pove, da na omenjenem območju ni strižne
napetosti σ xy
σ xy = θG ∂ϕ
∂z =0.
(b)
21

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Poissonova diferencialna enačba (5.179) postane ob poenostavitvi (a )
navadna diferencialna enačba drugega reda
ssplošno rešitvijo
∂ 2 ϕ
∂y 2 = −2
ϕ = −y 2 + C 1 y + C 2 .
(c)
(č)
Slika Z-5.11 a
22

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Integracijski konstanti C 1 in C 2 določimo iz pogoja, da mora biti
vrednost napetostne funkcije na robovih y = ±δ/2 enaka nič
(
ϕ y = − δ ) (
= ϕ y = δ )
=0 →
2
2
C 1 =0
C 2 = δ2
4 . (d)
Rešitev Poissonove diferencialne enačbe na pretežnem delu ozkega pravokotnega
prereza je torej
ϕ = −y 2 + δ2
4 . (e)
Torzijski vztrajnostni moment I x določimo z enačbo (5.194), kjer vzamemo
dA x = hdy in dobimo
∫
I x =2
A x
ϕdA x =2h
∫ δ/2
−δ/2
Specifični torzijski zasuk θ je po enačbi (5.190)
)
(−y 2 + δ2
dy → I x = 1 4
3 hδ3 .
(f)
θ = 3M x
Ghδ 3 ,
(g)
strižna napetost σ xz pa po drugi od enačb (5.178)
σ xz = 6M x
y. (h)
hδ3 Napetost σ xz je torej linearno razporejena po debelini prereza δ. Največje
vrednosti doseže na robovih (y = ±δ/2) (slika Z-5.11 b)
σ xz (y = ±δ/2) = ± 3M x
hδ 2 . (i)
Za kontrolo vstavimo dobljeno napetost σ xz venačbo (5.153). Ob predpostavki
(b )dobimo
23

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
∫
M x =
A x
(yσ xz − zσ xy ) dA x = 6M x
δ
∫ 2
hδ h y 2 dy = M x
3 2 . (j)
− δ 2
Slika Z-5.11 b
Rezultat je očitno protisloven,
odgovor pa je skrit ravno v vplivu
napetosti σ xy ,kismojihv
dosedanjih izpeljavah zanemarili.
Teh napetosti ob privzeti
poenostavitvi ne znamo določiti,
vendar je jasno, da sta
ob krajših robovih ozkega pravokotnega
prereza prvi odvod
napetostne funkcije po z in s
tem tudi strižna napetost σ xy
različna od nič (slika Z-5.11 b).
Kakor smo ugotovili že pri eliptičnem
prerezu, so strižne napetosti
na robovih, ki sta bolj
oddaljena od težišča, manjše od
tistih na “daljših” robovih in
torej navadno niso merodajne za
dimenzioniranje. Zaradi večje
ročice glede na težišče prereza
pa očitno ravno napetosti σ xy
na krajših robovih prispevajo
manjkajočo polovico torzijskega
momenta v prečnem prerezu.
24

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Enakomerna torzija nosilca s splošnim pravokotnim prečnim
prerezom
Pri nosilcu s splošnim pravokotnim prečnim prerezom, ki ne ustreza
predpostavki o ozkem pravokotnem prerezu, analitične rešitve problema
enakomerne torzije niso znane. V literaturi pa najdemo različne
numerične rešitve, izpeljane na primer s Fourierovimi vrstami,
zmetodokončnih diferenc ali z metodo končnih elementov. Na osnovi
primerno natančnih numeričnih rezultatov so za praktično rabo
pripravljene tabele koeficientov za razmeroma preprosto in hitro izvrednotenje
najpomembnejših torzijskih količin v poljubnem pravokotnem
prečnem prerezu.
Preglednica T-1
h/b η β γ
1 0.423 1.603 1.000
1.5 0.588 1.443 0.859
2 0.687 1.355 0.795
2.5 0.747 1.292 0.766
3 0.789 1.248 0.753
I x = η hb3
3
τ max = σ xz (A) =β 3 M x
hb 2
τ ∗ = σ xy (B) =γτ max
4 0.843 1.182 0.745
6 0.897 1.115 0.743
8 0.921 1.086 0.742
10 0.939 1.065 0.742
∞ 1.000 1.000 0.742
V Preglednici T-1 so podani koeficienti, s katerimi glede na dejansko
razmerje stranic pravokotnega prereza določimo torzijski vztrajnostni
25

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
moment I x ,največjo strižno napetost τ max , ki nastopa na sredini daljše
starnice pravokotnika, in pripadajočo strižno napetost τ ∗ na sredini
krajše stranice. Pri tem sta koeficienta η in β korekcijska faktorja
za določitev torzijskega vztrajnostnega momenta in največje strižne
napetosti glede na vrednosti, ki bi ju dobili z uporabo formul za ozek
pravokotni prerez.
Odprt prečni prerez, sestavljen iz pravokotnih podprerezov
Pri praktičnem delu v konstrukcijski mehaniki imamo pogosto opraviti s
prečnimi prerezi, sestavljenimi iz pravokotnih podprerezov. Kot primer
vzemimo prečni prerez, sestavljen iz treh pravokotnih podprerezov, od
katerih nobenega ne moremo obravnavati kot izrazito ozek pravokotnik
(Slika T-9)
Slika T-9
Pri tem se postavi vprašanje, kako se celotni notranji torzijski moment
M x porazdeli med posamezne podprereze. Odgovor poiščemo
ob upoštevanju osnovne predpostavke, da se prerez pri torzijski obremenitvi
v svoji ravnini vrti okrog vzdolžne osi nosica kot toga šipa. To
26

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
pomeni,dasospecifični torzijski zasuki vsakega podprereza enaki torzijskemu
zasuku prereza kot celote, torej so tudi enaki med seboj. Deleže
celotnega torzijskega momenta, ki jih prevzamejo posamezni podprerezi,
označimo z M x (1) , M x (2) in M x
(3) , tako da je
M x = M (1)
x + M (2)
x + M (3)
x . (T.91)
Če vzamemo, da so vsi podprerezi iz enakega materiala s strižnim modulom
G, inzahtevamo,dasospecifični torzijski zasuki θ (1) ,θ (2) ,θ (3)
enaki med seboj, sledi
θ (1) = M x
(1)
GI x
(1)
θ (2) = M x
(2)
GI x
(2)
θ (1) = M x
(3)
GI x
(3)
= θ → M x (1) = θGI x
(1)
= θ → M x (2) = θGI x
(2)
= θ → M (3)
x = θGI (3)
Pri tem je θ specifični torzijski zasuk prereza kot celote
x . (T.92)
θ = M x
GI x
,
(T.93)
z I x (1) , I x (2) in I x
(3) pa smo označili torzijske vztrajnostne momente
posameznih pravokotnih podprerezov. S tem iz enačbe (T.91) sledi
M x = θG
(
)
I x (1) + I x (2) + I x
(3) . (T.94)
Primerjava z enačbo (T.93) pove, da je torzijski vztrajnostni moment
sestavljenega prereza enak vsoti torzijskih vztrajnostnih momentov
posameznih podprerezov
I x = I (1)
x + I (2)
x + I (3)
x . (T.95)
27

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Enačbe (T.92) lahko sedaj zapišemo takole
I x
(1)
x = M x
M (1)
I x
I x
(2)
x = M x
M (2)
I x
(T.96)
I x
(3)
x = M x .
I x
M (3)
Dobljene enačbe kažejo, da se torzijski moment porazdeli po posameznih
podprerezih v razmerju njihovih torzijskih vztrajnostnih momentov.
V primeru, da bi bili podprerezi iz različnih materialov s strižnimi
moduli G (1) ,G (2) ,G (3) , bi s podobnim razmislekom kot zgoraj dobili
M x = θ
(
)
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x
(3)
(T.97)
in porazdelitev torzijskega momenta M x
njihovih torzijskih togosti
po podprerezih v razmerju
G (1) I x
(1)
x = M x
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x
(3)
M (1)
G (2) I x
(2)
x = M x
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x
(3)
M (2)
(T.98)
G (3) I x
(3)
x = M x .
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x
(3)
M (3)
Praktični postopek pri določitvi torzijskih količin homogenega prereza,
prikazanega na sliki T-9, bi torej začeli z določitvijo razmerij med daljšo
in krajšo stranico za vsakega od podprerezov in odčitkom ustreznih
koeficientov iz preglednice T-1
28

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
podprerez 1 :
h 1
b 1
→ η 1 ,β 1 ,γ 1
podprerez 2 :
podprerez 3 :
h 2
→ η 2 ,β 2 ,γ 2 (T.99)
b 2
h 3
→ η 3 ,β 3 ,γ 3
b 3
Za razmerja, ki ne sovpadejo s podatki v preglednici, lahko z zadostno
natančnostjo uporabimo linearno interpolacijo med podanimi vrednostmi.
V nadaljevanju izračunamo torzijske vztrajnostne momente posameznih
podprerezov in torzijski vztrajnostni moment prereza kot celote
I (1)
x = η 1
h 1 b 3 1
3
I (2)
x = η 2
h 2 b 3 2
3
→ I x = I (1)
x + I (2)
x + I (3)
x . (T.100)
I (3)
x = η 3
h 3 b 3 3
3
S tem lahko iz enačbe (T.93) ali (T.97) izračunamo specifični torzijski
zasuk θ, izenačb (T.96) ali (T.98) pa tudi deleže torzijskega momenta,
ki jih prevzamejo posamezni podprerezi. V naslednjem koraku
pa izračunamo še največje strižne napetosti na sredini daljše stranice
ter ustrezne strižne napetosti na sredini krajše stranice vsakega od podprerezov
τ (1)
max = β 1
τ (2)
max = β 2
τ (3)
max = β 3
3M (1)
x
h 1 b 3 1
3M (2)
x
h 2 b 3 2
3M (3)
x
h 3 b 3 3
→ τ ∗(1) = γ 1 τ (1)
max
→ τ ∗(2) = γ 2 τ (2)
max
→ τ ∗(3) = γ 3 τ (3)
max .
(T.101)
29

5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca
Čistatorzijaravneganosilcazzaprtimenoceličnim tankostenskim
prečnim prerezom
Razporeditev strižnih napetosti pri čisti torziji votlega eliptičnega prereza
kaže, da največje napetosti nastopajo na zunanjem robu prereza,
material v notranjosti prereza pa je napetostno slabo izkoriščen. Zato je
za prenašanje torzijske obtežbe ugodno izbirati zaprte tankostenske prereze,
pri katerih je material nameščen čim bolj ob zunanjem robu prereza.
O tankostenskem zaprtem prečnem prerezu govorimo v primeru,
da je stena zaprtega prereza zelo tanka v primerjavi z drugimi dimenzijami
prereza, na primer z njegovo višino ali širino. Na (sliki T-1) je
prikazan tankostenski prerez A x ,kigadoločata zunanja in notranja
mejna krivulja C z in C n . Votli del prereza je označen z A n .
Slika T-1
Pri poljubno oblikovanem zaprtem profilu z neenakomerno debelino
stene δ je ugodno namesto kartezijskih prereznih koordinat (y, z) vpeljati
“naravni” koordinati (η, ζ). Pri tem je ζ ločna dolžina tako ime-
30

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
novane srednje črte prereza C s , ki poteka po sredini debeline stene in
ograjuje srednjo ploskev A s .Koordinatiζ sta v vsaki točki srednje črte
prirejena medsebojno pravokotna enotska bazna vektorja e η in e ζ ,prvi
v smeri normale in drugi v smeri tangente na srednjo črto. Po analogiji
z ozkim pravokotnim prerezom lahko tedaj vzamemo, da se napetostna
funkcija ϕ vzdolž srednje krivulje C s , torej v odvisnosti od koordinate
ζ, nespreminja
∂ϕ
∂ζ =0.
(T.1)
Pripadajoči strižni napetosti σ xη in σ xζ izrazimo z napetostno funkcijo
ϕ po analogiji z enačbama (5.178)
σ xη = θG ∂ϕ in σ xζ = −θG ∂ϕ
∂ζ
∂η . (T.2)
Poissonova enačba čiste torzije se v koordinatah (η, ζ) glasi
∂ 2 ϕ
A x :
∂η 2 + ∂2 ϕ
∂ζ 2 +2=0.
(T.3)
Ob upoštevanju poenostavitve (T.1) iz prve od enačb (T.2) sledi, da je
σ xη = 0 povsod na tankostenskem prerezu, Poissonova enačba pa preide
v navadno diferencialno enačbo drugega reda glede na koordinato η
Splošna rešitev te enačbe je
∂ 2 ϕ
∂η 2 = −2 .
(T.4)
ϕ = −η 2 + C 1 η + C 2 .
(T.5)
Integracijski konstanti C 1 in C 2 določimo iz pogoja, da mora biti vrednost
napetostne funkcije na zunanjem robu prereza enaka nič, na notranjem
robu pa enaka neki konstantni vrednosti ϕ n
(
ϕ η = − δ )
⎧
= ϕ n
2
⎪⎨ C 1 = − ϕ n
δ
(
ϕ η = δ ) →
⎪⎩
=0
C 2 =
ϕ n
2
2 + δ2
4
(T.6)
31

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Rešitev Poissonove diferencialne enačbejetorej
ϕ = −η 2 − ϕ δ η + ϕ n
2 + δ2
4 . (T.7)
Torzijski vztrajnostni moment I x določimo z enačbo (5.194), kjer
upoštevamo, da imamo samo eno notranjo odprtino s ploščino A n ,kiji
pripada konstantna vrednost napetostne funkcije ϕ n
∫
I x =2 ϕdA x +2ϕ n A n .
(T.8)
A x
Vprvemčlenu vzamemo dA x = dη dζ ter integriramo po ζ vzdolž sklenjene
srednje črte C s in po η vmejahod−δ/2 do+δ/2
∮
I x =2
δ
∫ 2
C s − δ 2
(
−η 2 − ϕ δ η + ϕ )
n
2 + δ2
dη dζ +2ϕ n A n .
4
(T.9)
δdζ, (T.11)
Po izvrednotenju integrala po debelini stene sledi
I x = 1 ∮
3
∮
δ 3 dζ + ϕ n δdζ+2ϕ n A n . (T.10)
C s
C s
Integral v drugem členu predstavlja ploščino materialnega dela prereza
A x ∮
A x =
C s
zato lahko pišemo
I x = 1 ∮
(
δ 3 dζ +2ϕ n A n + A )
x
.
3
2
(T.12)
C s
Pri tankostenskem prerezu je izraz v oklepaju praktično enak ploščini
A s srednje ploskve A s , vrednost integrala v prvem členu pa je odvisna
od tretje potence majhne debeline stene δ in je zato zanemarljivo majhna
v primerjavi z vrednostjo drugega člena
32

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
A s = A n + A x
2
...
∮
1
3
δ 3 dζ ≪ 2 ϕ n A s . (T.13)
C s
Torzijski vztrajnostni moment zaprtega enoceličnega tenkostenskega
prereza lahko torej dovolj natančno izračunamo s preprosto formulo
I x =2ϕ n A s .
(T.14)
Seveda pa moramo najprej določiti vrednost napetostne funkcije ϕ n na
notranji konturi C n . V ta namen uporabimo dodatni kompatibilnostni
pogoj (5.186) za prerez z eno notranjo odprtino, ki pa ga tokrat ob
upoštevanju tankostenske narave nosilca zapišemo za srednjo krivuljo
C s in glede na koordinatno bazo (e η , e ζ )
∮
∂ϕ
∂η ∣ dζ = −2 A s .
(T.15)
η=0
C s
Poudarili smo, da je pri integriranju po krivulji C s vseskozi η =0. Z
odvajanjem enačbe (T.7) dobimo
∂ϕ
∂η = −2η − ϕ n
δ
→
∂ϕ
∂η ∣ = − ϕ n
η=0
δ .
(T.16)
Ker je ϕ n konstanta, iz enačbe (T.15) sledi
ϕ n
∮
C s
dζ
δ =2A s → ϕ n = 2 A s
∮
dζ
C s
δ
. (T.17)
Zvstavitvijovenačbo (T.14) dobimo tako imenovano 2. Bredtovo formulo
za določitev torzijskega vztrajnostnega momenta zaprtega enoceličnega
tenkostenskega prereza
I x = 4 A2 s
∮
C s
dζ
δ
. (T.18)
33

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Stemlahkoobupoštevanju enačbe (5.190) določimo specifični torzijski
zasuk θ
θ =
M ∮
x dζ
4GA 2 s δ .
(T.19)
Glavni cilj naloge pa je seveda določitev napetosti. Iz druge od enačb
(T.2) in prve od enačb (T.16) sledi
σ xζ = M (
x
2η + ϕ )
n
. (T.20)
I x δ
Kakor vidimo, je strižna napetost σ xζ linearna funkcija koordinate η,
ki se na območju stene prereza spreminja v mejah od −δ/2 do+δ/2.
Največjo vrednost doseže na zunanjem, najmanjšo pa na notranjem
robu prereza
C s
(
σxζ max = σ xζ η = δ )
= M x
2
I x
( ϕn
δ + δ )
(
σxζ min = σ xζ η = − δ )
= M (
x ϕn
)
2 I x δ − δ .
(T.21)
Pri tankostenskem prerezu je jasno, da se robni vrednosti napetosti
le malo razlikujeta med seboj. Zato pri praktičnih nalogah dosledno
računamo kar z enakomerno povprečno vrednostjo strižne napetosti ¯σ xζ ,
za katero običajno vpeljemo tudi preprostejšo oznako τ s (slika T-1)
τ s =¯σ xζ = σ xζ (η =0) → τ s = M x ϕ n
δI x
. (T.22)
Za torzijski vztrajnostni moment I x vstavimo izraz (T.14) in dobimo
1. Bredtovo formulo za strižno napetost v tanki steni zaprtega enoceličnega
prereza
τ s =
M x
. (T.23)
2 δA s
Dobljena formula pove, da je strižna napetost v steni zaprtega prereza
največja tam, kjer je debelina stene najmanjša. Če enačbo (T.23)
34

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
pomnožimo z δ, dobimo tako imenovani strižni tok q s ,kijeenakomeren
vzdolž celotne srednje krivulje prereza C s
q s = δτ s = M x
2 A s
= konst. (T.24)
Opazimo lahko analogijo s tokom idealne tekočine po cevi spremenljivega
prereza, pri čemer vlogo ploščine prereza prevzame debelina
stene δ, vlogo hitrosti pa torzijska strižna napetost τ s .
Čista torzija ravnega nosilca z zaprtim večceličnim tankostenskim
prečnim prerezom
Podobno kot pri nosilcu z enoceličnim prečnim prerezom ravnamo
tudi pri določitvi mehanskega stanja nosilca z večceličnim zaprtim
tankostenskim prerezom pri čisti torzijski obtežbi. Oglejmo si primer
prečnega prereza s tremi notranjimi odprtinami (slika T-2.a).
Sredinske črte obodne in notranjih sten tvorijo srednje krivulje C s1 , C s2
in C s3 , ki obkrožajo srednje ploskve nad posameznimi odprtinami
A s1 , A s2 in A s3 s ploščinami A s1 ,A s2 ,A s3 . Konstantne vrednosti
napetostne funkcije nad konturami notranjih odprtin označimo s
ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 .
Poissonovo diferencialno enačbo čiste torzije torej rešujemo ob enakih
predpostavkah kot v prejšnjem primeru in dobimo tudi enako splošno
rešitev
ϕ = −η 2 + C 1 η + C 2 .
(T.25)
Pri določanju integracijskih konstant C 1 in C 2 moramo tokrat upoštevati,
da sta pri notranjih stenah obe robni vrednosti napetostne funkcije
različni od nič (slika T-2.b)
(
ϕ η = − δ )
= ϕ B
2
(
ϕ η = δ ) →
= ϕ A
2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
C 1 = ϕ A − ϕ B
δ
C 2 = ϕ A + ϕ B
2
+ δ2
4
(T.26)
35

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Slika T-2
Rešitev Poissonove diferencialne enačbejetorej
ϕ = −η 2 + ϕ A − ϕ B
δ
η + ϕ A + ϕ B
2
+ δ2
4
(T.27)
sprvimodvodompoη
∂ϕ
∂η = −2η + ϕ A − ϕ B
δ
→
∂ϕ
∂η
∣ = ϕ A − ϕ B
η=0
δ
. (T.28)
Vrednosti napetostne funkcije nad notranjimi odprtinami ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3
izračunamo iz dodatnih kompatibilnostnih enačb, ki jih zapišemo vzdolž
36

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
sklenjenih srednjih črt C s1 , C s2 , C s3 okrog notranjih odprtin
∮
C s1
∮
C s2
∮
C s3
∂ϕ
∂η
∂ϕ
∂η
∂ϕ
∂η
∣ dζ = −2 A s1
η=0
∣ dζ = −2 A s2
η=0
∣ dζ = −2 A s3 .
η=0
(T.29)
Nastopajoči prvi odvodi napetostne funkcije očitno niso gladke funkcije
vzdolž srednjih krivulj. Zato srednje krivulje razdelimo na odseke,
vzdolž katerih so integrandi gladke funkcije in krivuljne integrale po
sklenjenih krivuljah izračunamo kot vsote integralov po posameznih
odsekih. Začnimo s prvo od enačb (29). Na odseku od točke 1 do točke
3jeϕ A = ϕ z =0inϕ B = ϕ 1 ,naodseku32 je ϕ A = ϕ 3 in ϕ B = ϕ 1 ,
na odseku 21 pa je ϕ A = ϕ 2 in ϕ B = ϕ 1 . Ob upoštevanju enačb (28)
se prva od enačb (29) glasi
∫ 3
1
0 − ϕ 1
δ
dζ +
∫ 2
3
ϕ 3 − ϕ 1
δ
dζ +
∫ 1
2
ϕ 2 − ϕ 1
δ
dζ = −2 A s1 . (30)
Podobno zapišemo tudi preostali dve dodatni kompatibilnostni enačbi
in dobimo
∫ 1
4
∫ 4
3
0 − ϕ 2
δ
0 − ϕ 3
δ
dζ +
dζ +
∫ 2
1
∫ 2
4
ϕ 1 − ϕ 2
δ
ϕ 2 − ϕ 3
δ
dζ +
dζ +
∫ 4
2
∫ 3
2
ϕ 3 − ϕ 2
δ
ϕ 1 − ϕ 3
δ
dζ = −2 A s2
dζ = −2 A s3 .
(31)
Ker so ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 konstantne vrednosti, po ureditvi in množenju z −1
37

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
sledi
ϕ 1
∮
C s1
−ϕ 1
∫ 2
1
−ϕ 1
∫ 3
Zvpeljavookrajšav
a 11 =
∮
C s1
2
dζ
δ
∫ 2
dζ
a 21 = −
1 δ
∫ 3
dζ
a 31 = −
2 δ
dζ
δ − ϕ 2
dζ
δ + ϕ 2
dζ
δ − ϕ 2
∫ 1
2
∮
C s2
∫ 2
4
dζ
δ − ϕ 3
dζ
δ − ϕ 3
dζ
δ + ϕ 3
∫ 1
dζ
a 12 = −
2 δ
a 22 =
∮
C s2
dζ
δ
∫ 2
dζ
a 32 = −
4 δ
∫ 2
3
∫ 4
2
∮
C s3
dζ
δ =2A s1
dζ
δ =2A s2
dζ
δ =2A s3 .
∫ 2
dζ
a 13 = −
3 δ
∫ 1
dζ
a 24 = −
2 δ
a 33 =
∮
C s3
dζ
δ
(32)
(33)
ter
b 1 =2A s1 b 2 =2A s2 b 3 =2A s3 (34)
lahko sistem (32) zapišemo v pregledni obliki
a 11 ϕ 1 + a 12 ϕ 2 + a 13 ϕ 3 = b 1
a 21 ϕ 1 + a 22 ϕ 2 + a 23 ϕ 3 = b 2
a 31 ϕ 1 + a 32 ϕ 2 + a 33 ϕ 3 = b 3 .
Tako smo dobili sistem linearnih algebrajskih enačb, iz katerega brez
težav določimo konstantne vrednosti napetostne funkcije ϕ 1 ,ϕ 2 in ϕ 3 .
Dobljene ugotovitve lahko posplošimo za primer tankostenskega prereza
z N notranjimi odprtinami. Tedaj lahko sistem kompatibilnostnih
38

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
enačb na kratko zapišemo z enačbo
N∑
a ij ϕ j = b i (i =1, 2, ..., N) (35)
j=1
ali v matrični obliki
[a ij ] {ϕ j } = {b i } (i, j =1, 2, ..., N) . (36)
Koeficienti a ij in desne strani b i so podani z izrazi
∮
dζ
a ii =
δ
C si
∫
dζ
(i ≠ j) ... a ij = −
δ = a ji (i, j =1, 2, ... ,N)
l ij
b i =2A si .
(37)
Pri tem smo z l ij označili skupni odsek srednjih krivulj C si in C sj ,torej
dolžino skupne stene med celicama i in j.
Zvstavitvijorešitve za napetostno funkcijo (27) in izračunanih vrednosti
napetostne funkcije nad notranjimi odprtinami ϕ i v splošno
enačbo za torzijski vztrajnostni moment (5.194) bi na podoben način
kakor pri enoceličnem prerezu dobili
I x = 1 3
⎛
⎜
⎝
∮
C sz
δ 3 dζ + ∑ ∫
l ij
⎞
δ 3 ⎟
dζ⎠ +2
N∑
ϕ i A si .
i=1
(T.38)
Prvi integral v okroglem oklepaju izvrednotimo vzdolž sklenjene srednje
krivulje C sz obodne stene. S tem prvi člen v enačbi (38) predstavlja
prispevek obodne in notranjih sten kot odprtih ozkih profilov k torzijskemu
vztrajnostnemu momentu prereza. Vendar lahko z enakim
razmislekom kakor sicer pri tankostenskih zaprtih prerezih prvi člen v
39

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
izrazu za I x zanemarimo v primerjavi z drugim in v praktičnih nalogah
računamo s poenostavljeno formulo
I x =2
N∑
ϕ i A si .
i=1
(T.39)
Končno določimo še strižne napetosti. Iz druge od enačb (T.2) in prve
od enačb (T.28) sledi
σ xζ = M (
x
2η − ϕ )
A − ϕ B
. (T.40)
I x δ
Vpraktičnih nalogah je pri tankostenskih zaprtih prerezih umestno
računati kar s povprečno vrednostjo strižne napetosti τ s
τ s =¯σ xζ = σ xζ (η =0) → τ s = M x
δI x
(ϕ B − ϕ A ) .
(T.41)
Za dimenzioniranje oziroma kontrolo torzijske nosilnosti prereza je praviloma
merodajna največja vrednost strižne napetosti τ s . Da bi ugotovili,
kolikšna je ta napetost in kje nastopa, moramo vzdolž vsehsrednjih
krivulj izvrednotiti razmerje med razliko napetostnih funkcij na
robovih ϕ B − ϕ A in debelino stene δ.
Prispevek torzijskega momenta k dopolnilnemu virtualnemu
delu notranjih sil
Vrazdelku5.4 smo po metodi napetosti obravnavali primer čiste torzije
ravnega nosilca. Gre torej za primer, ko je notranji torzijski moment
M x enakomeren po celotni dolžini nosilca, edina kinematična količina
linijskega računskega modela, s katero imamo opraviti, pa je torzijski
zasuk ω x . V praktičnih konstrukterskih nalogah gre v tem primeru
praviloma za določanje razlik torzijskih zasukov na obeh konceh linijskega
nosilca. Za boljše razumevanje si oglejmo linijski nosilec, ki je v
40

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
krajiščih obtežen z momentom M T vsmerivzdolžne osi (slika ???).
Slika ???
V takem nosilcu nastopa le enakomeren notranji torzijski moment M x =
M T . Vzemimo, da je torzijski zasuk v krajišču i enak ωx, i torzijski
zasuk v krajišču j pa ωx. j Nosilec v krajiščih obtežimo z uravnoteženim
virtualnim torzijskim momentom δM T in zapišimo izrek o dopolnilnem
virtualnem delu
δW ∗ = −ω i x δM T + ω j x δM T = δ ¯D ∗ (δM x ) , ()
od koder sledi
( )
ω
j
x − ωx
i δMT = δ ¯D ∗ (δM x ) . ()
Pri tem je δM x notranji torzijski moment, ki pripada virtualni obtežbi
δM T . Za razliko torzijskih zasukov vpeljemo oznako Δω x = ω j x − ω i x in
dobimo
Δω x δM T = δ ¯D ∗ (δM x ) . ()
V obravnavanem primeru določata napetostno stanje poljubnega delca
vprečnem prerezu strižni napetosti σ xy in σ xz , zato je pripadajoči delež
dopolnilnega virtualnega dela notranjih sil določen s formalno enakim
izrazom kot prispevek prečnih sil pri upogibu
∫
δ ¯D ∗ (δM x )= (2ε xy δσ xy +2ε xz δσ xz ) dV . ()
V
41

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Napetosti σ xy in σ xz smo izrazili z napetostno funkcijo čiste torzije
ϕ(y, z)
σ xy =
M x ∂ϕ
I x ∂z
σ xz = − M x
I x
pripadajoči kotni deformaciji pa sta
()
∂ϕ
∂y ,
2ε xy = σ xy
G = M x ∂ϕ
GI x ∂z
2ε xz = σ xz
G = − M ()
x ∂ϕ
GI x ∂y .
Virtualni napetosti δσ xy in δσ xz določimo analogno z enačbama ()
δσ xy =
δM x
I x
δσ xz = − δM x
I x
∂ϕ
∂z
()
∂ϕ
∂y .
Izraze () in () vstavimo v enačbo () in po ureditvi dobimo
∫
δ ¯D ∗ (δM x )=
0
l
∫ [ (∂ϕ ) 2
M x δM x
+
GIx
2 ∂y
A x
( ) ] 2 ∂ϕ
dA x dx . ()
∂z
V Zgledu ??? pokažemo, da je integral po prečnem prerezu A x , ki
nastopa v gornji enačbi, kar enak torzijskemu vztrajnostnemu momentu
I x , kakor smo ga izpeljali v razdelku 5.4???. Prispevek torzijskega
momenta k dopolnilnemu virtualnemu delu notranjih sil torej določimo
zenačbo
∫ l
δ ¯D ∗ M x δM x
(δM x )=
dx . ()
GI x
42
0

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Ker sta tako notranji torzijski moment M x kakor tudi δM x konstantna
vzdolž nosilca, sledi
δ ¯D ∗ (δM x )= M xδM x
GI x
∫
0
l
dx =
l
GI x
M x δM x . ()
Vnašem primeru je M x = M T in δM x = δM T in prispevek enakomernega
torzijskega momenta k dopolnilnemu virtualnemu delu nosilca
lahko zapišemo z enačbo
δ ¯D ∗ (δM x )=
l
GI x
M T δM T . ()
Zoznako
k T = GI x
()
l
vpeljemo tako imenovano torzijsko togost nosilca. Enačba () se s tem
glasi
δ ¯D ∗ (δM x )= M T δM T
. ()
k T
Če za virtualno obtežbo izberemo enotski torzijski moment δM T =1,
iz enačbe () sledi
Δω x = M T
. ()
k T
Pri reševanju praktičnih nalog v mehaniki nosilcev je pogosto tako, da
poznamo torzijski zasuk v enem od krajišč nosilca. Če, na primer,
poznamo zasuk ωx i ,izračunamo zasuk v krajišču j zenačbo
ω j x = ωi x + Δω x = ω i x + M T
k T
. ()
V primeru, da poznamo zasuk ω j x ,pavelja
ω i x = ωj x − Δω x = ω j x − M T
k T
. ()
43

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Prispevki linearno elastičnih vzmeti
Vpraktičnih konstrukterskih nalogah imamo večkrat opraviti s podajnimi
podporami oziroma s podajnimi vezmi med posameznimi deli konstrukcije.
Podajne podpore in vezi v računskem modelu konstrukcije
običajno predstavimo z vzmetmi. Računski modeli vzmeti so lahko linearno
ali nelinearno elastični, v posebnih primerih pa lahko vključujejo
tudi plastične in viskozne lastnosti podpor in vezi. V našem primeru
se omejimo na tri najbolj preproste, a tudi najpogosteje uporabljane
vrste linearno elastičnih vzmeti. To so: torzijska, osna ali linearna in
spiralna ali polžasta vzmet, zavsepajeznačilno, da so vplivi, s katerimi
vzmeti delujejo na elemente konstrukcije, proporcionalni značilnim
deformacijam vzmeti.
Torzijska vzmet (V T ) :
Gre za primer, da se vpliv podpore ali sosednih delov konstrukcije
prenaša na krajišče linijskega nosilca kot torzijski moment (slika DVD-
T). Tedaj lahko torzijsko vzmet enakovredno nadomestimo z linijskim
elementom, ki ima enako torzijsko togost kakor vzmet. Za ta primer
smo dopolnilno virtualno delo, ki ga virtualna obtežba opravi pri deformiranju
vzmeti, že določili v prejšnjem razdelku z enačbo ()
δ ¯D ∗ (V T )= M T δM T
k T
. ()
Pri tem je k T konstanta torzijske vzmeti, kijodoločimo z enačbo ()
kot torzijsko togost veznega elementa, kakor smo pokazali v prejšnjem
razdelku. Druga možnost je, da konstanto k T umerimo s poskusi ob
upoštevanju enačbe ()
44
Δω x = M T
k T
. ()

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Slika ???
Osna ali linearna vzmet (V L ) :
Osna vzmet je vsakdanjemu razumevanju pojma vzmeti najbližji model
podajne podpore ali vezi, pri katerem je sila, ki deluje v smeri osi
vzmeti, proporcionalna njenemu raztezku ali skrčku. Podobno kakor
torzijsko lahko tudi osno vzmet nadomestimo z linijskim elementom z
enakovredno osno togostjo (slika DVD-O). V takem nosilcu nastopa le
enakomerna osna sila N x = P . Gre torej za čisto osno obtežbo nosilca,
ki je povezana zgolj z vzdolžnima pomikoma krajišč u i in u j . Nosilec
vkrajiščih obtežimo z virtualnima vzdolžnima silama δP in zapišemo
izrek o dopolnilnem virtualnem delu
δW ∗ = −u i δP + u j δP = δ ¯D ∗ (V L ) , ()
od koder sledi
(u j − u i ) δP = δ ¯D ∗ (V L ) . ()
Za razliko vzdolžnih pomikov vpeljemo oznako Δu = u j − u i in dobimo
ΔuδP = δ ¯D ∗ (V L ) . ()
45

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Slika ???
V obravnavanem primeru vlada v nadomestnem nosilcu homogeno
napetostno in deformacijsko stanje
σ xx = N x
A x
, ε xx = N x
EA x
in δσ xx = δN x
A x
, ()
pripadajoči delež dopolnilnega virtualnega dela notranjih sil pa je
∫
∫ l ∫ ∫ l
δ ¯D ∗ N x δN x
N x δN x
(V L )= ε xx δσ xx dV =
EA 2 dA x dx = dx .
x
EA x
V
0
A x 0
()
Pri tem je δN x osna sila, ki pripada virtualni obtežbi δP. Ker sta
dejanska in virtualna osna sila N x in δN x konstantni vzdolž nosilca,
sledi
δ ¯D ∗ (V L )= N ∫ l
xδN x
dx =
l N x δN x . ()
EA x EA x
46
0

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Izraz
k L = EA x
()
l
imenujemo konstanta osne ali linearne vzmeti. V našem primeru je
N x = P in δN x = δP in prispevek osne vzmeti k dopolnilnemu virtualnemu
delu konstrukcije lahko zapišemo z enačbo
δ ¯D ∗ (V L )= PδP
k L
. ()
Če za virtualno obtežbo izberemo enotsko virtualno silo δP =1,iz
enačbe () sledi, da je skrček oziroma raztezek osne vzmeti proporcionalen
delujoči sili P
Δu = P k T
, ()
kar je v skladu s splošnim razumevanjem vloge vzmeti v konstrukciji.
Spiralna ali polžasta vzmet (V S ) :
Vpraktičnih nalogah s področja mehanike konstrukcij pogosto naletimo
na problem, da konstrukcijska izvedba stika med posameznimi elementi
konstrukcije sicer zagotavlja enakost pomikov, v pogledu medsebojnih
upogibnih zasukov pa stik ni povsem tog (primer: vijačeni
stiki jeklenih nosilcev, žebljani ali mozničeni stiki v lesenih konstrukcijah
in podobno). V takih primerih lahko podajnost stika modeliramo
zuvedbospiralne ali polžaste vzmeti. Pri linearno elastičnih stikih je
lastnost vzmeti podana s konstanto k S , ki povezuje spremembo upogibnega
zasuka z nastopajočimupogibnimmomentomvstiku. Da
bi določili delež dopolnilnega virtualnega dela, ki ga prispeva linearno
elastična spiralna vzmet, si oglejmo prostoležeč nosilec, sestavljen iz
dveh absolutno togih elementov, ki sta med seboj povezana s spiralno
vzmetjo (slika ???). Če se nosilec iz kakršnega koli razloga (na primer
zaradi delovanja navpične sile P ) premakne, deluje vzmet na oba ele-
47

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
menta nosilca s statičnim momentom M S .
Slika ???
Za oba absolutno toga dela nosilca velja, da so pripadajoče deformacije
ε xx enake nič, zato je celotno dopolnilno virtualno delo notranjih sil
prikazane konstrukcije zajeto zgolj v deležu spiralne vzmeti. Vzmet kot
vezni element je v skladu z zakonom akcije in reakcije obtežena z enako
velikima a nasprotno usmerjenima momentoma M S . Vzmet obtežimo
z virtualnima momentoma δM S in zapišemo izrek o dopolnilnem virtualnem
delu
δW ∗ = −ω L y δM S + ω D y δM S = δ ¯D ∗ (V S ) , ()
od koder sledi
(
ω
D
y − ωy
L )
δMS = δ ¯D ∗ (V S ) . ()
48

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Za razliko zasukov vpeljemo oznako Δω y = ω D y − ω L y in dobimo
Δω y δM S = δ ¯D ∗ (V S ) . ()
Spiralno vzmet si lahko predstavljamo kot torzijsko vzmet z zelo majhno
dolžino in s torzijsko togostjo k S , ki jo opazujemo v smeri njene vzdolžne
osi. Kakor smo ugotovili v razdelku o torzijski osi, je tedaj razlika
zasukov sorazmerna statičnemu momentu, ki v krajiščih deluje v smeri
osi vzmeti. V našem primeru je to moment M S ,takodaje
in enačba () preide v naslednjo obliko
Δω y = M S
k S
()
δ ¯D ∗ (V S )= M S δM S
k S
. ()
Za vse tri obravnavane modele vzmeti smo torej ugotovili podobne zakonitosti:
(i) sprememba značilne kinematične količine je sorazmerna
ustrezni nastopajoči sili oziroma momentu, (ii) prispevek vzmeti k
dopolnilnemu virtualnemu delu notranjih sil je določen s produktom dejanske
in virtualne sile oziroma dejanskega in virtualnega nastopajočega
momenta, (iii) materialne in geometrijske lastnosti vzmeti so zajete v
togostnih koeficientih k T , k L in k S , ki so pri linearno elastičnem materialu
konstante.
Prispevek linearne spremembe temperature
Vrazdelku??? smo izpeljali enačbe, s katerimi upoštevamo vpliv spremembe
temperature na pomike in notranje sile linijskega nosilca. Vzeli
smo, da se temperatura v poljubnem prečnem prerezu A x (x) spreminja
linearno v odvisnosti od prereznih koordinat y in z
ΔT (x, y, z) =ΔT x (x)+y ΔT y (x)+z ΔT z (x) . ()
49

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Iz enačb (b) in (d) sledi, da lahko vzdolžno deformacijo ε xx zapišemo
takole
( ) ( ) ( )
Nx
Mz
My
ε xx = + α T ΔT x − y + α T ΔT y + z + α T ΔT z .
EA x EI z EI y
Vzdolžna normalna napetost δσ xx , ki pripada izbrani virtualni obtežbi,
je določena z enačbo (1.117)
()
δσ xx = δN x
A x
− y δM z
I z
+ z δM y
I y
. ()
Neumann-Duhamelove enačbe () povedo, da sprememba temperature
vpliva le na normalne deformacije, v obravnavanem primeru torej le
na deformacijo ε xx . Dopolnilno virtualno delo notranjih sil tedaj
izračunamo z enačbo ( )
∫
δ ¯D ∗ (ΔT )= ε xx δσ xx dV . ()
Vtoenačbo vstavimo izraza ( ) in ( )
∫
δ ¯D ∗ (ΔT )=
V
V
[( ) ( )
Nx
Mz
+ α T ΔT x − y + α T ΔT y
EA x EI z
( )] (
My
δNx
z + α T ΔT z
EI y A x
− y δM z
I z
+
+ z δM y
I y
)
dV ,
diferencial prostornine izrazimo s produktom diferenciala ploščine
prečnega prereza in diferenciala dolžine (dV = dA x dx) in najprej
opravimo integriranje po prečnem prerezu A x . Upoštevamo, da sta
osi y in z težiščni in glavni vztrajnostni osi prereza A x ,zatosodeviacijski
in oba statična momenta prereza enaki nič. Po nekoliko daljši,
vendar preprosti izpeljavi dobimo
50
()

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
∫
δ ¯D ∗ (ΔT )=
0
∫
0
l
l
(
Nx δN x
EA x
+ M yδM y
EI y
+ M )
zδM z
dx +
EI z
(α T ΔT x δN x − α T ΔT y δM z + α T ΔT z δM y ) dx . (55)
Kakor vidimo, je vpliv spremembe temperature zajet v drugem členu
izraza za dopolnilno virtualno delo notranjih sil, medtem ko smo prvi
integral spoznali že v razdelku xxx. Opazimo lahko, da igrajo členi,
ki vsebujejo parametre ΔT x , ΔT y , ΔT z , podobno vlogo kakor notranje
sile N x ,M y ,M z , ki zajemajo vpliv dejanske mehanske zunanje obtežbe
nosilca. To je razumljivo, saj temperaturne spremembe predstavljajo
zgolj eno od možnih oblik zunanje obtežbe nosilca.
Linijska konstrukcija, sestavljena iz n linijskih elementov
V primeru, da je obravnavana linijska konstrukcija sestavljena iz več
elementov, določimo celotno dopolnilno virtualno delo notranjih sil kot
vsoto prispevkov posameznih elementov.
δ ¯D ∗ =
n∑
e=1
n∑
e=1
n∑
e=1
m∑
i=1
∫ l e
0
∫ l e
0
∫ l e
0
(
Nx δN x
(
EA x
κ y
N y δN y
GA x
+ M yδM y
EI y
+ M )
zδM z
dx+
EI z
)
N z δN z
+ κ z dx +
GA x
n∑
e=1
∫ l e
0
M x δM x
dx+
GI x
(α T ΔT x δN x − α T ΔT y δM z + α T ΔT z δM y ) dx+
P i δP i
k Li
+
p∑
j=1
M Sj δM Sj
k Sj
+
r∑
k=1
M Tk δM Tk
k Tk
. ()
Pri tem smo upoštevali, da je v konstrukciji m linearnih, p spiralnih in
r torzijskih vzmeti.
51

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
Zgled 5.6
Dokaži, da integral
∫ [ (∂ϕ ) 2
J =
+
∂y
A x
( ) ] 2 ∂ϕ
dA x ()
∂z
predstavlja torzijski vztrajnostni moment I x , kakor smo ga izpeljali v
razdelku 5.4???.
Ob upoštevanju pravila za odvajanje produkta lahko integral J zapišemo
kot razliko dveh integralov
∫
J =
(
ϕ ∂ϕ )
+ ∂ (
ϕ ∂ϕ )] ∫ ( ∂ 2 )
ϕ
dA x − ϕ
∂y ∂z ∂z
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 dA x .
A x
[ ∂
∂y
A x
()
Člen v oklepaju v drugem integralu je zaradi enačbe (5.179) enak −2,
prvi integral pa z Greenovim izrekom () prevedemo na krivuljni integral
po mejni črti C x prečnega prereza. Tako dobimo
oziroma
∮ [(
J = −ϕ ∂ϕ ) (
dy + ϕ ∂ϕ ) ] ∫
dz dx +2 ϕdA x ()
∂z ∂y
C x A x
∫ ∮
J =2 ϕdA x +
A x
C x
(
ϕ − ∂ϕ )
∂ϕ
dy +
∂z ∂y dz . ()
Pri (m +1)−krat sovisnem prerezu postopamo enako, kakor smo to
naredili v razdelku 5.4???. Sklenjeno mejno krivuljo C x sestavimo iz
več delov, tako da z njo zajamemo celotno območje prečnega prereza
A x (slika 5.11). Integrali vzdolž ravnih odsekov integracijske poti, s
katerimi pridemo z zunanje mejne krivulje na notranjo in nazaj, se
odštejejo, saj integriramo isto funkcijo enkrat v eni, drugič pa v drugi
smeri. Preostane nam torej integriranje po zunanji mejni krivulji C z ,
52

Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom
kjer ima napetostna funkcija konstantno vrednost ϕ z ,terponotranjih
mejnih krivuljah C ni (i =1, 2,...,m), kjer ima napetostna funkcija
konstantne vrednosti ϕ ni
∫ ∮ (
J =2 ϕdA x + ϕ z
A x C x
m∑
∮
ϕ ni
i=1
− ∂ϕ
∂z
C ni
dy +
∂ϕ
∂y dz )
+
( )
∂ϕ ∂ϕ
dy −
∂z ∂y dz . (4.666)
Pri tem smo integralom, ki nastopajo v vsoti v tretjem členu, spremenili
predznak, ker gre za integriranje v sourni, torej “negativni” smeri. Za
napetostno funkcijo ϕ z na zunanji mejni krivulji C z praviloma privzamemo
vrednost ϕ z = 0, krivuljni integral v tretjem členu pa je zaradi
enačbe (5.182??) enak 2A ni . Tako dobimo
∫
J =2
A x
ϕdA x +2
m∑
ϕ ni A ni , ()
to pa je izraz, ki smo ga v razdelku ??? izpeljali kot torzijski vztrajnostni
moment I x prečnega prereza nosilca. S tem smo dokazali enakost
∫ [ (∂ϕ ) 2
+
∂y
A x
kar je zahtevala naša naloga.
i=1
( ) ] 2 ∂ϕ
dA x = I x , ()
∂z
53