Torzija dodatek - FGG-KM
Torzija dodatek - FGG-KM
Torzija dodatek - FGG-KM
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
V tem razdelku obravnavamo torzijski del zunanje obtežbe, ki smo<br />
ga v dosedanji analizi mehanskega stanja linijskega nosilca izključili.<br />
Vendar se tokrat odpovemo povsem splošnemu načinu torzijske obtežbe<br />
in obravnavamo posebni primer, pri katerem je nosilec obtežen le v<br />
krajiščih s po velikosti enakima, po smeri pa nasprotnima točkovnima<br />
dvojicama M T (slika 5.9). To pomeni, da je notranji torzijski moment<br />
M x po celotni dožini nosilca enakomeren (M x = M T ). Od tod tudi ime<br />
primera – enakomerna torzija. Kot sledi iz enačb (5.26), obravnavana<br />
obtežba ustreza primeru, ko je plašč nosilca neobtežen (p nx = p ny =<br />
p nz = 0), prav tako pa ni specifične prostorninske obtežbe (v x = v y =<br />
v z = 0). Razen tega vzamemo, da v nobenem prečnem prerezu ni<br />
preprečena izbočitev. Obravnavani primer je v literaturi znan tudi pod<br />
imeni: čista, neovirana, Saint-Venantova torzija.<br />
Slika 5.9<br />
Kot osnovno predpostavko o deformiranju nosilca pri torzijski obtežbi<br />
spet vzamemo, da se velikost in oblika prečnega prereza v ravnini (y, z)<br />
med delovanjem obtežbe ne spreminjata.<br />
Ker ni vzdolžne obtežbe in s tem tudi ne osne sile, lahko v skladu z<br />
1
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
enačbo (5.71) zanemarimo tudi specifično spremembo dolžine v smeri<br />
vzdolžne osi.<br />
ε yy ≈ ε zz ≈ ε yz ≈ 0 in ε xx ≈ 0 . (5.128)<br />
Gre torej za primer deformacijskega stanja, pri katerem prevladujejo<br />
spremembe pravih kotov ε xy in ε xz v ravninah (x, y) in(x, z). Koordinatni<br />
vektorji deformacij so tedaj<br />
ε x = ε xy e y +ε xz e z ε y = ε xy e x ε z = ε xz e x . (5.129)<br />
Konstitucijske enačbe<br />
Ob upoštevanju predpostavk (5.128) sledijo iz konstitucijskih enačb<br />
(4.9) naslednje enostavne zveze<br />
Ravnotežne enačbe<br />
σ xy =2Gε xy<br />
σ xz =2Gε xz<br />
(5.130)<br />
σ xx ≈ σ yy ≈ σ zz ≈ σ yz ≈ 0 . (5.131)<br />
Ravnotežne enačbe (4.1) se ob upoštevanju enačb (5.131) in predpostavke,daniprostorninskeobtežbe,<br />
glasijo<br />
∂σ xy<br />
∂y<br />
+ ∂σ xz<br />
∂z<br />
=0 (5.132)<br />
V :<br />
∂σ xy<br />
∂x<br />
=0 (5.133)<br />
∂σ xz<br />
=0. (5.134)<br />
∂x<br />
Enačbi (5.133) in (5.134) povesta, da sta napetosti σ xy in σ xz neodvisni<br />
od vzdolžne koordinate x, kar je pri konstantnem torzijskem momentu<br />
tudi razumljivo<br />
2<br />
σ xy = σ xy (y, z) in σ xz = σ xz (y, z) . (5.135)
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Iz enačb (5.130) sledi, da sta tudi deformaciji ε xy in ε xz le funkciji<br />
prereznih koordinat y in z<br />
ε xy = ε xy (y, z) in ε xz = ε xz (y, z) . (5.136)<br />
Zapišimo še ravnotežne pogoje (4.3) za plašč S pl .Kerjeplašč nosilca<br />
neobtežen, dobimo<br />
S pl : σ yx e ny + σ zx e nz =0. (5.137)<br />
Upoštevali smo, da je nosilec valjaste ali prizmatične oblike, zato zunanja<br />
normala plašča e n nima komponente v smeri osi x (e nx =0).<br />
Prav lahko je ugotoviti, da sta pri tem preostali dve ravnotežni enačbi<br />
na plašču S pl identično izpolnjeni.<br />
Dodajmo še četrto od enačb (5.29). Ta enačba pove, kako je notranji<br />
torzijski moment M x ,kismogadoločili iz ravnotežnega pogoja (5.33),<br />
izražen z napetostmi<br />
∫<br />
M x = (yσ xz − zσ xy ) dA x . (5.138)<br />
A x<br />
Kinematične enačbe<br />
Najbolj značilna kinematična količina pri torzijskem nosilcu je nedvomno<br />
torzijski zasuk ω x , to je zasuk prečnega prereza okrog vzdolžne<br />
osi nosilca. Ob predpostavki, da se prerez v svoji ravnini obnaša kot<br />
toga šipa, je zasuk ω x enak v vseh točkah prereza, torej se spreminja le v<br />
odvisnosti od koordinate x, glede na koordinati y in z pa je konstanten.<br />
Ker je torzijski notranji moment enakomeren po celotni dolžini nosilca,<br />
lahko sklepamo, da se tudi torzijski zasuk ω x enakomerno spreminja<br />
vzdolž nosilca. To pomeni, da lahko torzijski zasuk ω x zapišemo kot<br />
linearno funkcijo koordinate x<br />
ω x (x) =ω 0 x + θ (x − x 0 ) .<br />
(T.13)<br />
3
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Konstanto<br />
θ = dω x<br />
(T.14)<br />
dx<br />
imenujemo specifični torzijski zasuk, saj pove, za koliko se nosilec na<br />
enoto dolžine zasuče okrog svoje vzdolžne osi.<br />
Kakor sledi iz enačbe (T.13), smo z ωx 0 označili torzijski zasuk referenčnega<br />
prereza pri x = x 0 . Za referenčni prerez je smiselno izbrati prerez,<br />
za katerega vnaprej poznamo torzijski zasuk. Na sliki T-1, na primer,<br />
je prerez pri x = x 0 torzijsko nevrtljivo podprt, torej je ωx 0 =0.<br />
Ob upoštevanju predpostavke, da se prečni prerez v svoji ravnini obnaša<br />
kot toga šipa, se tudi pri določanju pomikov u y in u z izognemo reševanju<br />
kinematičnih enačb (2.184) v splošni obliki. V ta namen razstavimo<br />
vektor pomika u poljubne točke prečnega prereza v vektor u ∗ ,kileži v<br />
ravnini prečnega prereza, in v vektor u x e x ,kipredstavljaizbočitev<br />
u = u x e x + u ∗<br />
u ∗ = u y e y + u z e z .<br />
(5.144)<br />
Na enak način razstavimo pomik u ∼<br />
težišča T ∼<br />
prečnega prereza<br />
∼<br />
u = u e ∗<br />
x + ∼<br />
u<br />
∼<br />
u<br />
∗ = v e y + w e z .<br />
V ravnini prečnega prereza je<br />
(5.145)<br />
ω ∗ = ω x e x , (5.146)<br />
in pomik u ∗ poljubne točke T (x, y, z), ki je glede na težišče T ∼<br />
določena<br />
s krajevnim vektorjem ϱ = y e y + z e z , izrazimo v skladu z enačbo<br />
(1.394)<br />
u ∗ = u ∼ ∗ + ω ∗ × ϱ =(v − zω x ) e y +(w + yω x ) e z . (5.147)<br />
Pri določitvi torzijskega zasuka ω x smo potihem domnevali, da se prerez<br />
zavrti okrog vzdolžne osi x, torej okrog težišča prereza T ∼<br />
. Vendar podrobnejša<br />
proučitev gibanja prereza kot toge šipe pokaže, da je takšna<br />
4
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
domneva upravičena le pri dvojno simetričnih prerezih. Pri vseh drugih<br />
pa lahko v ravnini prečnega prereza najdemo posebno točko S(y S ,z S ),<br />
ki ne sovpada s težiščem T ∼<br />
, in ki se pri torzijski obtežbi nosilca translatorno<br />
nič ne premakne. To pomeni, da se prečni prerez A x kot toga<br />
šipa zavrti za kot ω x okoli točke S, ki jo imenujemo torzijsko središče<br />
prereza in jo opredelimo z zahtevo, da je njen pomik u ∗ enak nič<br />
u ∗ (S) =(v − z S ω x ) e y +(w + y S ω x ) e z = 0. (5.148)<br />
Enačba (5.148) je izpolnjena, če velja<br />
v = z S ω x in w = −y S ω x . (5.149)<br />
Pomik u ∗ poljubne točke prereza je tako<br />
u ∗ = −ω x (z − z S ) e y + ω x (y − y S ) e z . (5.150)<br />
Primerjava z enačbo (5.144) pokaže, da sta pomika u y in u z vprečnem<br />
prerezu A x linearni funkciji koordinat z oziroma y<br />
u y = −ω x (z − z S )<br />
u z = ω x (y − y S ) .<br />
(5.151)<br />
Vzdolžni pomik u x nastopa v prvi, četrti in šesti od kinematičnih enačb<br />
(4.5). Iz prve sledi, da je izbočitev, ki jo opisuje ta pomik, neodvisna od<br />
vzdolžne koordinate x, toreju x = u x (y, z). Ob upoštevanju zvez (5.128)<br />
in (5.151) sledi enaka ugotovitev tudi iz preostalih dveh kinematičnih<br />
enačb<br />
2ε xy = ∂u y<br />
∂x + ∂u x<br />
∂y<br />
2ε xz = ∂u z<br />
∂x + ∂u x<br />
∂z<br />
→<br />
∂u x<br />
∂y =2ε xy + θ (z − z S )<br />
∂u x<br />
∂z =2ε xz − θ (y − y S ) .<br />
(5.152)<br />
Kakor lahko hitro preštejemo, določa mehansko stanje nosilca z enakomernim<br />
torzijskim momentom M x devet količin: napetosti σ xy in σ xz ,<br />
5
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
deformaciji ε xy in ε xz , specifični torzijski zasuk θ, torzijski zasuk ω x<br />
ter pomiki u x , u y in u z . Dobimo jih kot rešitve naslednjega sistema<br />
devetih enačb<br />
∫<br />
A x : M x = (yσ xz − zσ xy ) dA x (5.153)<br />
A x<br />
V :<br />
∂σ xy<br />
∂y<br />
+ ∂σ zx<br />
∂z<br />
=0 (5.154)<br />
σ xy =2Gε xy (5.155)<br />
σ xz =2Gε xz (5.156)<br />
∂u x<br />
∂y =2ε xy + θ (z − z S ) (5.157)<br />
∂u x<br />
∂z =2ε xz − θ (y − y S ) (5.158)<br />
ω x = ω 0 x + θ (x − x 0) (5.159)<br />
u y = −ω x (z − z S ) (5.160)<br />
u z = ω x (y − y S ) . (5.161)<br />
Pri reševanju sistema moramo upoštevati statični robni pogoj<br />
S pl : σ yx e ny + σ zx e nz =0 (5.162)<br />
ter kinematične robne pogoje, ki so odvisni od načina podpiranja<br />
nosilca.<br />
Če si sistem osnovnih enačb čiste torzije ogledamo nekoliko natančneje,<br />
vidimo, da ga lahko rešujemo v dveh delih: najprej iz prvih šestih enačb<br />
določimo napetosti, deformacije, pomik u x in specifični torzijski zasuk<br />
θ, nato pa iz zadnjih treh brez težav izračunamo še torzijski zasuk ω x<br />
in prečna pomika u y in u z . V nadaljevanju sta prikazana postopka<br />
reševanja osnovnih enačb čiste torzije z metodo pomikov in z metodo<br />
napetosti.<br />
6
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Metoda pomikov<br />
V skladu z osnovno idejo metode pomikov skušamo ravnotežno enačbo<br />
(5.154) izraziti s pomiki. V ta namen najprej uporabimo konstitucijski<br />
enačbi (5.155) in (5.156) in zapišemo enačbo (5.154) z deformacijami<br />
∂ε xy<br />
∂y<br />
+ ∂ε xz<br />
∂z<br />
=0. (5.163)<br />
Zenačbama (5.152) izrazimo deformaciji ε xy in ε xz spomiki<br />
(<br />
∂ ∂uy<br />
∂y ∂x + ∂u )<br />
x<br />
+ ∂ ( ∂uz<br />
∂y ∂z ∂x + ∂u )<br />
x<br />
=0 (5.164)<br />
∂z<br />
in ob upoštevanju enačb (5.151) sledi<br />
∂ 2 u x<br />
∂y + ∂2 u x<br />
2 ∂z = 2 ∇2 yz u x =0. (5.165)<br />
Dobili smo Laméjevo enačbo za primer enakomerne torzije ravnega<br />
nosilca, ki pove, da je pomik u x harmonična funkcija nad prečnim<br />
prerezom A x . Na prvi pogled ponuja metoda pomikov zelo ugodno<br />
rešitev, saj enačbi (5.165) zadošča vsaka harmonična funkcija. Vendar<br />
se reševanje zaplete pri robnem pogoju (5.162), ki ga s pomikom u x<br />
izrazimo takole<br />
[ ]<br />
∂ux<br />
S pl :<br />
∂y − θ(z − z S)<br />
[ ]<br />
∂ux<br />
e ny +<br />
∂z + θ(y − y S) e nz =0. (5.166)<br />
V robnem pogoju nastopata parcialna odvoda pomika u x , razen tega<br />
pa tudi specifični torzijski zasuk θ, ki ga moramo določiti iz pogoja, da<br />
je “ravnotežni” torzijski moment prereza A x enak “konstitucijskemu”<br />
∫<br />
M x = (yσ xz − zσ xy ) dA x . (5.167)<br />
A x<br />
Po krajši izpeljavi lahko enačbo (5.167) zapišemo v naslednji obliki<br />
∫ (<br />
M x =2G y ∂u x<br />
∂z − z ∂u )<br />
x<br />
dA x +2Gθ (I y + I z ) . (5.168)<br />
∂y<br />
A x<br />
7
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Laméjevo enačbo (5.165) moramo torej reševati ob hkratnem upoštevanju<br />
robnega pogoja (5.166) in enačbe (5.168), kar je analitično mogoče<br />
narediti le pri krožnem prerezu, pri bolj splošnih oblikah prečnega prereza<br />
pa naletimo na hude računske težave. Zato se reševanju problema<br />
enakomerne torzije z metodo pomikov odpovemo in se v nadaljevanju<br />
posvetimo rešitvi z metodo napetosti, ki je, kakor bomo pokazali, veliko<br />
lažja.<br />
Metoda napetosti pri enakomerni torziji<br />
Kakor smo ugotovili v 4. poglavju, je treba pri reševanju osnovnih<br />
enačb mehanskega stanja trdnega telesa z metodo napetosti vpeljati<br />
dodatne, kompatibilnostne pogoje, ki zagotavljajo enolično integrabilnost<br />
pomikov in zasukov iz kinematičnih enačb. V našem primeru so<br />
torzijski zasuk ω x in prečna pomika u y in u z vnaprej enolično določeni<br />
zenačbami (5.159) do (5.161). Za določitev vzdolžnega pomika u x pa<br />
imamo dve enačbi, (5.157) in (5.158). Zato moramo enoličnost pomika<br />
u x zagotoviti posebej. Ker je u x = u x (y, z), je dovolj, če zahtevamo,<br />
da je integral popolnega diferenciala pomika u x po poljubni sklenjeni<br />
krivulji C znotraj prečnega prereza A x enak nič<br />
∮<br />
du x =0 (C ∈ A x ) . (5.169)<br />
C<br />
Parcialna odvoda pomika u x po y in z izrazimo z enačbama (5.157) in<br />
(5.158) in dobimo<br />
∮ ∮ ( ∂ux<br />
du x =<br />
∂y dy + ∂u )<br />
x<br />
∂z dz =<br />
C C<br />
∮ { [2εxy<br />
+ θ (z − z S ) ] dy + [ 2ε xz − θ (y − y S ) ] dz}<br />
=0.<br />
C<br />
(5.170)<br />
Krivuljni integral na desni strani prevedemo z Greenovim izrekom v<br />
ploskovni integral po ploskvi A n ,kijovprečnem prerezu A x ograjuje<br />
8
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
krivulja C .<br />
obliko<br />
Kompatibilnostni pogoj (5.169) preide tako v naslednjo<br />
∫<br />
A n<br />
(<br />
∂εxz<br />
∂y<br />
− ∂ε xy<br />
∂z − θ )<br />
dA x =0. (5.171)<br />
Pri enkrat sovisnih prečnih prerezih lahko poljubno krivuljo C skrčimo<br />
na točko znotraj integracijskega območja A x . V tem primeru je potreben<br />
in zadosten pogoj za enoličnost pomika u x kar<br />
∂ε xz<br />
∂y<br />
− ∂ε xy<br />
∂z<br />
− θ =0. (5.172)<br />
Pri večkrat sovisnih prerezih z notranjimi odprtinami (slika 5.10)<br />
moramo za krivulje, ki obkrožajo notranje odprtine in jih torej ne<br />
moremo skrčiti na točko znotraj območja A x , izpolniti dodatne kompatibilnostne<br />
pogoje.<br />
Slika 5.10<br />
Dodatne kompatibilnostne pogoje praviloma zapišemo kar za mejne<br />
krivulje notranjih odprtin C ni . Za (m +1)krat sovisen prečni prerez<br />
z m odprtinami dobimo<br />
∮ ∮ { [2εxy<br />
du x = + θ (z − z S ) ] dy + [ 2ε xz − θ (y − y S ) ] }<br />
dz =0<br />
C ni C ni<br />
(i =1, 2,...,m) . (5.173)<br />
9
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Dobljeno enačbo preuredimo<br />
∮<br />
∮<br />
2 (ε xy dy + ε xz dz)+θ<br />
C ni<br />
C ni<br />
[<br />
(z − zS ) dy − (y − y S ) dz ] =0 (5.174)<br />
in drugi člen z Greenovim izrekom (5.93) prevedemo na ploskovni integral<br />
po območju notranje odprtine A ni , ki jo ograjuje krivulja C ni .<br />
Ploščino notranje odprtine A ni označimo z A ni in dobimo<br />
∮<br />
C ni<br />
(ε xy dy + ε xz dz) − θA ni =0 (i =1, 2,...,m) . (5.175)<br />
V skladu z osnovno idejo metode napetosti izrazimo tudi kompatibilnostne<br />
enačbe z napetostmi. Ob upoštevanju konstitucijskih zvez<br />
(5.130) iz enačb (5.172) in (5.175) sledi<br />
∮<br />
∂σ xz<br />
∂y<br />
− ∂σ xy<br />
∂z<br />
− 2θG =0 (5.176)<br />
C ni<br />
(σ xy dy + σ xz dz) − 2θGA ni =0 (i =1, 2,...,m) . (5.177)<br />
Navidez smo s tem nalogo še bolj zapletli, saj smo dobili dodatne enačbe.<br />
V resnici pa se nadaljnje reševanje problema znatno poenostavi,<br />
če vpeljemo napetostno funkcijo ϕ(y, z), s katero izrazimo napetosti na<br />
naslednji način<br />
σ xy =<br />
θG ∂ϕ<br />
∂z<br />
σ xz = −θG ∂ϕ<br />
∂y . (5.178)<br />
Z vstavitvijo tako definiranih napetosti v ravnotežni pogoj (5.154)<br />
se hitro izkaže, da je ta pogoj identično izpolnjen in ga v nadaljevanju<br />
ni več treba upoštevati. Kompatibilnostni pogoj (5.176) pa ob<br />
upoštevanju substitucije (5.178) preide v naslednjo obliko<br />
10<br />
∂ 2 ϕ<br />
∂y 2 + ∂2 ϕ<br />
∂z 2 +2=0 ali ∇2 yzϕ +2=0. (5.179)
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
To je tako imenovana Poissonova diferencialna enačba enakomerne<br />
torzije, ki hkrati predstavlja ravnotežni in kompatibilnostni pogoj in<br />
jo rešujemo ob robnem pogoju (5.162). Tudi ta pogoj izrazimo z<br />
napetostno funkcijo ϕ in za plašč S pl dobimo<br />
( ∂ϕ<br />
σ yx e ny + σ zx e nz = θG<br />
∂z e ny − ∂ϕ )<br />
∂y e nz =0. (5.180)<br />
Robni pogoj (5.180) je ugodno izraziti v naravnih koordinatah s in<br />
n, kisenanašajo na medsebojno pravokotna bazna vektorja e s vzdolž<br />
tangente in e n vzdolž normale na mejno krivuljo C x (slika 5.7). Smerna<br />
kosinusa normale e ny in e nz izrazimo z enačbama (5.101), vstavimo v<br />
enačbo (5.180) in ob upoštevanju pravila za posredno odvajanje dobimo<br />
∂ϕ dy<br />
∂y ds + ∂ϕ dz<br />
∂z ds =0 → ∂ϕ<br />
∂s<br />
=0. (5.181)<br />
S tem smo robni pogoj (5.162) prevedli v zelo prikladno obliko, ki pove,<br />
da mora biti napetostna funkcija ϕ vzdolž mejne krivulje prečnega prereza<br />
konstantna. Pogoj velja tako za zunanjo mejno krivuljo kot tudi<br />
za mejne krivulje morebitnih notranjih odprtin. Pri tem so lahko konstantne<br />
vrednosti napetostne funkcije vzdolž posameznih mejnih krivulj<br />
različne. Za napetostno funkcijo na zunanji mejni krivulji C x praviloma<br />
privzamemo kar vrednost ϕ z =0. Kotkažeta enačbi (5.178),<br />
sta napetosti σ xy in σ xz izraženi z odvodi napetostne funkcije, zato<br />
poljubna izbira konstantne vrednosti napetostne funkcije na eni izmed<br />
mejnih krivulj nič nevplivanakončne rezultate.<br />
Pri enkrat sovisnih prečnih prerezih izraža Poissonova diferencialna<br />
enačba (5.179) potrebni in zadostni pogoj za enoličnost pomika u x .<br />
Pri večkrat sovisnih prerezih pa moramo izpolniti še dodatne kompatibilnostne<br />
pogoje (5.177) za vsako od notranjih odprtin. Z napetostno<br />
funkcijo ϕ jih zapišemo takole<br />
∮ ( )<br />
∂ϕ ∂ϕ<br />
dy −<br />
∂z ∂y dz − 2A ni =0. (5.182)<br />
C ni<br />
11
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Izraz v okroglem oklepaju pod integralom lahko ob upoštevanju enačb<br />
(5.101) še nadalje preoblikujemo<br />
(<br />
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ<br />
dy −<br />
∂z ∂y dz = − ∂y e ny + ∂ϕ )<br />
∂z e nz ds . (5.183)<br />
Parcialna odvoda, ki nastopata v gornji enačbi, sta komponenti gradienta<br />
f skalarnega polja ϕ(y, z)<br />
f = f y e y + f z e z =gradϕ = ∂ϕ<br />
∂y e y + ∂ϕ<br />
∂z e z . (5.184)<br />
Enačboskalarnopomnožimo z e n in po analogiji z enačbami (1.63)<br />
dobimo<br />
f · e n = f y e ny + f z e nz = f n = ∂ϕ<br />
∂n . (5.185)<br />
Dodatne kompatibilnostne pogoje (5.182) za večkrat sovisne prereze<br />
lahko sedaj zapišemo kot sledi<br />
∮<br />
C ni<br />
∂ϕ<br />
∂n ds +2A ni =0 (i =1, 2,...,m) . (5.186)<br />
Pri enkrat sovisnih prerezih dobimo napetostno funkcijo ϕ kot rešitev<br />
kompatibilnostne enačbe (5.179) ob robnem pogoju (5.181). Pri večkrat<br />
sovisnih prerezih upoštevamo še dodatne kompatibilnostne enačbe<br />
(5.186) in z njimi določimo vrednosti napetostne funkcije na robovih<br />
notranjih odprtin. V obeh primerih je očitno, da je funkcijska oblika<br />
napetostne funkcije ϕ nad prečnim prerezom odvisna le od njegove velikosti<br />
in oblike, nič paodobtežbe, načina podpiranja in materialnih<br />
lastnosti nosilca. Napetostna funkcija ϕ je torej geometrijska karakteristika<br />
prečnega prereza, tako kot njegova ploščina, obseg, upogibni<br />
vztrajnostni momenti, lega težišča in podobno.<br />
Preostane nam še določitev specifičnega torzijskega zasuka θ. V ta<br />
namen zapišimo enačbo (5.153), ki predstavlja povezavo z zunanjo<br />
obtežbo, z napetostno funkcijo ϕ<br />
∫ (<br />
M x = −θG y ∂ϕ<br />
∂y + z ∂ϕ )<br />
dA x . (5.187)<br />
∂z<br />
A x<br />
12
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Če vpeljemo okrajšavo<br />
∫ (<br />
I x = − y ∂ϕ<br />
∂y + z ∂ϕ )<br />
∂z<br />
A x<br />
dA x , (5.188)<br />
dobimo zvezo med torzijskim momentom prereza M x<br />
torzijskim zasukom θ v preprosti obliki<br />
in specifičnim<br />
M x = θGI x . (5.189)<br />
Z uporabo zveze (5.143) lahko sedaj zapišemo osnovno deformacijsko<br />
enačbo enakomerne torzije v naslednji obliki<br />
θ = dω x<br />
dx = M x<br />
GI x<br />
. (5.190)<br />
Glede na podobnost dobljene enačbe z enačbama (5.77) in (5.78) imenujemo<br />
količino I x torzijski vztrajnostni moment prečnega prereza A x .<br />
Oznaka je upravičena, saj iz enačbe (5.188) sledi, da je I x odvisen le od<br />
velikosti in oblike prereza A x .Pripraktičnem delu bi bilo vrednotenje<br />
torzijskega vztrajnostnega momenta I x iz enačbe (5.188) zamudno, še<br />
posebej pri večkrat sovisnih prerezih. Pomagamo si na naslednji način:<br />
venačbi (5.188) upoštevamo pravilo za odvajanje produkta in enačbo<br />
zapišemo takole<br />
I x = −<br />
∫ [ ∂<br />
∂y (yϕ)+ ∂ ]<br />
∂z (zϕ)<br />
A x<br />
∫<br />
dA x +2<br />
A x<br />
ϕdA x . (5.191)<br />
Prvega od integralov na desni strani prevedemo z Greenovim izrekom<br />
(5.93) na integral po sklenjeni krivulji C x , ki ograjuje prečni prerez A x ,<br />
in dobimo<br />
∮<br />
∫<br />
[ ]<br />
I x = ϕ (zdy− ydz) +2 ϕdA x . (5.192)<br />
A x<br />
C x<br />
Pri (m +1)−krat sovisnem prerezu sestavimo sklenjeno mejno krivuljo<br />
C x iz več delov, tako da z njo zajamemo celotno območje prečnega<br />
13
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
prereza A x (slika 5.11). Integrali vzdolž ravnih odsekov integracijske<br />
poti, s katerimi pridemo z zunanje mejne krivulje na notranjo in nazaj,<br />
se odštejejo, saj integriramo isto funkcijo enkrat v eni, drugič pavdrugi<br />
smeri. Preostane nam torej integriranje po zunanji mejni krivulji C z ,<br />
kjer ima napetostna funkcija konstantno vrednost ϕ z ,terponotranjih<br />
mejnih krivuljah C ni (i =1, 2,...,m), kjer ima napetostna funkcija<br />
konstantne vrednosti ϕ ni<br />
Slika 5.11<br />
I x = ϕ z<br />
∮<br />
C z<br />
m∑<br />
∮<br />
(zdy− ydz)+ ϕ ni<br />
i=1<br />
C ni<br />
∫<br />
(zdy− ydz)+2 ϕdA x .<br />
A x<br />
(5.193)<br />
Kakor smo že omenili, privzamemo za napetostno funkcijo na zunanji<br />
mejni krivulji vrednost ϕ z =0,integralevzdolž notranjih mejnih krivulj<br />
pa z Greenovim izrekom prevedemo na ploskovne integrale po notranjih<br />
odprtinah. Pri tem moramo v Greenovem izreku spremeniti predznak<br />
ploskovnega integrala, ker integriramo v sourni, torej “negativni” smeri.<br />
Tako dobimo končno formulo za računanje torzijskega vztrajnostnega<br />
momenta<br />
∫<br />
m∑<br />
I x =2 ϕdA x +2 ϕ ni A ni . (5.194)<br />
A<br />
i=1<br />
x<br />
14
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Kot vidimo, je torzijski vztrajnostni moment I x enak dvojni prostornini<br />
območja, ki ga določa napetostna funkcija ϕ nad prečnim prerezom A x .<br />
Zaporedje računskih postopkov pri reševanju problema enakomerne<br />
torzije po metodi napetosti je sedaj jasno pred nami: najprej ob<br />
upoštevanju robnih pogojev (5.181) iz Poissonove enačbe (5.179)<br />
določimo napetostno funkcijo ϕ(y, z); pri večkrat sovisnih prerezih<br />
moramo uporabiti še dodatne kompatibilnostne pogoje (5.186), ki nas<br />
pripeljejo do konstantnih vrednosti napetostne funkcije nad m notranjimi<br />
odprtinami ϕ ni (i =1, 2,...,m). Sedaj lahko z enačbo (5.194)<br />
izračunamo torzijski vztrajnostni moment I x ,zenačbo (5.190) pa tudi<br />
specifični torzijski zasuk θ. Izračunamo še parcialne odvode napetostne<br />
funkcije ϕ po koordinatah y in z ter po vstavitvi v enačbi (5.178)<br />
dobimo strižni napetosti σ xy in σ xz . Kotni deformaciji ε xy in ε xz<br />
določimo iz konstitucijskih enačb (5.130). Česeomejimonadvojno<br />
simetrične prereze, pri katerih se torzijsko središče S ujema s težiščem<br />
∼<br />
T (y S = z S =0),lahkozenačbama (5.157) in (5.158) določimo parcialna<br />
odvoda pomika u x ter njegov popolni diferencial<br />
du x = ∂u x<br />
∂y dy + ∂u x<br />
dz . (5.195)<br />
∂z<br />
Pomik u x poljubne točke T prečnega prereza A x lahko sedaj izračunamo<br />
v odvisnosti od pomika u x referenčne točke T 0<br />
u x (T )=u x (T 0 )+<br />
∫ T<br />
T 0<br />
du x . (5.196)<br />
Integral v gornji enačbi je nedvomno neodvisen od izbire integracijske<br />
poti med točkama T 0 in T , saj smo z izpolnitvijo enačb (5.179) in (5.186)<br />
zagotovili enoličnost pomika u x .<br />
Ker poznamo specifični torzijski zasuk θ, lahko iz enačb (5.159) do<br />
(5.161) brez težav določimo tudi torzijski zasuk ω x ter prečna pomika<br />
u y in u z .<br />
15
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Enakomerna torzija nosilca z votlim eliptičnim prerezom<br />
Nosilec z eliptičnim ali krožnim prečnim prerezom je primer, pri<br />
katerem je mogoče poiskati analitično rešitev Poissonove diferencialne<br />
enačbe enakomerne torzije.<br />
Slika Z-5.10 a<br />
Vzemimo, da je zunanja mejna krivulja prereza elipsa C z s polosema a<br />
in b (a >b), notranja mejna krivulja pa podobna elipsa C n s polosema<br />
ka in kb (0 ≤ k
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
prereza vzamemo v naslednji obliki<br />
[ ( y<br />
) 2 ( z<br />
) ] 2<br />
ϕ(y, z) =C + − 1 , (c)<br />
a b<br />
kjer je C zaenkrat neznana konstanta. Z vstavitvijo drugih parcialnih<br />
odvodov funkcije ϕ venačbo (b )dobimo<br />
2C<br />
a 2<br />
+ 2C<br />
b 2 +2=0 → C = − a2 b 2<br />
a 2 + b 2<br />
(č)<br />
in rešitev enačbe (b )je<br />
ϕ = − a2 b 2 [ (y 2 ( z<br />
) ] 2<br />
+ − 1 . (d)<br />
a 2 + b a) 2 b<br />
Hitro se lahko prepričamo, da dobljena rešitev zadošča tudi robnim<br />
pogojem. Iz enačbe (5.181) sledi, da mora biti funkcija ϕ konstantna<br />
tako vzdolž zunanje mejne krivulje C z kakor tudi vzdolž notranje mejne<br />
krivulje C n . Vrednost napetostne funkcije na zunanjem robu dobimo z<br />
zapisom enačbe (d ) v poljubni točki T z (y z ,z z )<br />
ϕ z = − a2 b 2 [ (yz<br />
a 2 + b 2 a<br />
in zaradi prve od enačb (a )sledi<br />
) 2 ( zz<br />
) ] 2<br />
+ − 1 , (e)<br />
b<br />
ϕ z =0, (f )<br />
kar smo že omenili kot najpreprostejšo možnost izbire vrednosti napetostne<br />
funkcije na zunanjem robu. Vrednost napetostne funkcije na<br />
notranjem robu prereza dobimo tako, da v rešitev (d )vstavimokoordinate<br />
točke T n (y n ,z n )<br />
ϕ n = − a2 b 2 [ (yn ) 2 ( zn<br />
+<br />
a 2 + b 2 a b<br />
) ] 2<br />
− 1 . (g)<br />
17
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Ob upoštevanju druge od enačb (a )pokrajši izpeljavi dobimo<br />
ϕ n = a2 b 2<br />
a 2 + b (1 − 2 k2 ) .<br />
(h)<br />
Napetostna funkcija v obliki (d ) je torej prava rešitev problema<br />
enakomerne torzije pri nosilcu z votlim eliptičnim prerezom. Primerjava<br />
enačbe (d) zenačbama (a) tudi pove, da so izohipse napetostne<br />
funkcije nad eliptičnim prerezom prav tako elipse.<br />
Torzijski vztrajnostni moment prereza A x izračunamo z enačbo (5.194)<br />
⎡<br />
⎤<br />
I x = −2 a2 b 2<br />
⎣ 1 ∫<br />
y 2 dA<br />
a 2 + b 2 a 2 x + 1 ∫ ∫<br />
z 2 dA<br />
b 2 x − dA x<br />
⎦ +<br />
A x A x A x<br />
2 a2 b 2 ( ) 1 − k<br />
2<br />
a 2 + b 2 A n .<br />
(i)<br />
Geometrijske karakteristike votlega eliptičnega prereza so<br />
∫<br />
A x = dA x = πab ( 1 − k 2)<br />
A x<br />
∫<br />
A n = dA x = πabk 2<br />
A n<br />
∫<br />
I yy = z 2 dA x = 1 ( 4 πab3 1 − k 4)<br />
(j )<br />
A x<br />
∫<br />
I zz = y 2 dA x = 1 4 πa3 b ( 1 − k 4)<br />
A x<br />
in<br />
I x = πa3 b 3 (<br />
1 − k<br />
4 ) .<br />
a 2 + b 2<br />
Specifični torzijski zasuk θ določimo z enačbo (5.190)<br />
(k)<br />
θ = M x<br />
a 2 + b 2<br />
Gπa 3 b 3 (1 − k 4 ) ,<br />
(l)<br />
18
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
strižni napetosti σ xy in σ xz pa z enačbama (5.178)<br />
2M x<br />
σ xy = −<br />
πab 3 (1 − k 4 ) z<br />
σ xz =<br />
2M x<br />
πa 3 b(1 − k 4 ) y.<br />
(m)<br />
Enačbi povesta, da je strižna napetost σ xy linearna glede na koordinato<br />
z, napetost σ xz pa linearna glede na y.<br />
Slika Z-5.10 b<br />
Slika Z-5.10 b prikazuje potek strižnih napetosti vzdolž koordinatnih<br />
osi. Napetosti sta največji na robu, proti središču prereza pa se linearno<br />
zmanjšujeta. Če je prerez poln (brez notranje odprtine), je material<br />
v sredini bistveno manj izkoriščen kot na robu. Zato so pri torzijski<br />
obtežbi najbolj ekonomični nosilci z votlim prečnim prerezom in čim<br />
tanjšimi stenami (enocelični ali večcelični tankostenski nosilci). Če so<br />
stene tanke v primerjavi s siceršnjimi izmerami prereza, lahko zanemarimo<br />
spreminjanje strižne napetosti po debelini stene in računamo<br />
kar z enakomernim torzijskim strižnim tokom vzdolž srednje črte stene<br />
prereza. S preučevanjem opisanih nosilcev se ukvarja posebna veja konstrukcijske<br />
mehanike – teorija tankostenskih nosilcev.<br />
19
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Iz konstitucijskih enačb (5.130) določimo še kotni deformaciji ε xy in ε xz<br />
M x<br />
ε xy = −<br />
Gπab 3 (1 − k 4 ) z<br />
ε xz =<br />
M x<br />
Gπa 3 b(1 − k 4 ) y.<br />
(n)<br />
Določimo še izbočitev prečnega prereza, ki je izražena z vzdolžnim<br />
pomikom u x .Obupoštevanju enačb (5.195) in (5.196) dobimo<br />
u x (x, y, z) =u x (T ∼<br />
)+<br />
∫ y<br />
0<br />
∫ z<br />
0<br />
[<br />
2εxy + θ(z − z S ) ] z=0 dy +<br />
[<br />
2εxz − θ(y − y S ) ] dz . (o)<br />
Za referenčno točko smo izbrali kar težišče prečnega prereza T ∼<br />
(x, 0, 0).<br />
Glede na dvojno simetrijo prereza A x vzamemo, da se točka T ∼<br />
nič ne<br />
pomakne v vzdolžni smeri, kar pomeni, da je u x (T ∼<br />
) = 0. Razen tega<br />
se točka T ∼<br />
ujema s torzijskim središčem prereza S, zatojey S =0in<br />
z S = 0 in po vstavitvi zvez (l )in(n )sledi<br />
u x (x, y, z) = M x<br />
G<br />
(b 2 − a 2 )<br />
πa 3 b 3 (1 − k 4 ) yz .<br />
(p)<br />
Izbočitvena ploskev, ki jo opisuje enačba (p), je v diferencialni geometriji<br />
znana kot hiperbolični hiperboloid.<br />
Končno si kot poseben primer oglejmo votli krožni prerez.<br />
a = b = r in iz enačb (d )do(n )sledi<br />
Tedaj je<br />
ϕ = 1 2<br />
(<br />
r 2 − y 2 − z 2) (r)<br />
ϕ n = r2<br />
2<br />
(<br />
1 − k<br />
2 ) (s)<br />
I x = πr4<br />
2<br />
(<br />
1 − k<br />
4 ) (š)<br />
20
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
θ =<br />
M x<br />
Gπr 4 (1 − k 4 )<br />
2M x<br />
σ xy = −<br />
πr 4 (1 − k 4 ) z<br />
(t)<br />
(u)<br />
σ xz =<br />
2M x<br />
πr 4 (1 − k 4 ) y<br />
(v)<br />
M x<br />
ε xy = −<br />
Gπr 4 (1 − k 4 ) z<br />
(z)<br />
ε xz =<br />
M x<br />
Gπr 4 (1 − k 4 ) y.<br />
(ž)<br />
Iz enačbe (p ) pa sledi nekolikanj presenetljiva ugotovitev, da pri<br />
enakomerni torziji krožnega prereza ne pride do izbočitve (u x =0).<br />
Enakomerna torzija nosilca z ozkim pravokotnim prečnim prerezom<br />
Vprejšnjem zgledu smo ugotovili, da so izohipse napetostne funkcije<br />
nad eliptičnim prečnim prerezom tudi elipse. Predstavljajmo si, da<br />
eliptični prečni prerez postopoma preoblikujemo v pravokotnega, tega<br />
pa še naprej, tako da postane višina prereza h veliko večja od njegove<br />
širine oziroma debeline δ (slika Z-5.11 a). V tem primeru so izohipse<br />
praktično povsod razen v neposredni bližini krajših robov vzporedne z<br />
daljšo stranico prereza. To pomeni, da se napetostna funkcija v smeri<br />
višine prereza ne spreminja in v našem primeru lahko za pretežni del<br />
prereza vpeljemo poenostavitev<br />
∂ϕ<br />
∂z =0.<br />
(a)<br />
Prva od enačb (5.178) pove, da na omenjenem območju ni strižne<br />
napetosti σ xy<br />
σ xy = θG ∂ϕ<br />
∂z =0.<br />
(b)<br />
21
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Poissonova diferencialna enačba (5.179) postane ob poenostavitvi (a )<br />
navadna diferencialna enačba drugega reda<br />
ssplošno rešitvijo<br />
∂ 2 ϕ<br />
∂y 2 = −2<br />
ϕ = −y 2 + C 1 y + C 2 .<br />
(c)<br />
(č)<br />
Slika Z-5.11 a<br />
22
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Integracijski konstanti C 1 in C 2 določimo iz pogoja, da mora biti<br />
vrednost napetostne funkcije na robovih y = ±δ/2 enaka nič<br />
(<br />
ϕ y = − δ ) (<br />
= ϕ y = δ )<br />
=0 →<br />
2<br />
2<br />
C 1 =0<br />
C 2 = δ2<br />
4 . (d)<br />
Rešitev Poissonove diferencialne enačbe na pretežnem delu ozkega pravokotnega<br />
prereza je torej<br />
ϕ = −y 2 + δ2<br />
4 . (e)<br />
Torzijski vztrajnostni moment I x določimo z enačbo (5.194), kjer vzamemo<br />
dA x = hdy in dobimo<br />
∫<br />
I x =2<br />
A x<br />
ϕdA x =2h<br />
∫ δ/2<br />
−δ/2<br />
Specifični torzijski zasuk θ je po enačbi (5.190)<br />
)<br />
(−y 2 + δ2<br />
dy → I x = 1 4<br />
3 hδ3 .<br />
(f)<br />
θ = 3M x<br />
Ghδ 3 ,<br />
(g)<br />
strižna napetost σ xz pa po drugi od enačb (5.178)<br />
σ xz = 6M x<br />
y. (h)<br />
hδ3 Napetost σ xz je torej linearno razporejena po debelini prereza δ. Največje<br />
vrednosti doseže na robovih (y = ±δ/2) (slika Z-5.11 b)<br />
σ xz (y = ±δ/2) = ± 3M x<br />
hδ 2 . (i)<br />
Za kontrolo vstavimo dobljeno napetost σ xz venačbo (5.153). Ob predpostavki<br />
(b )dobimo<br />
23
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
∫<br />
M x =<br />
A x<br />
(yσ xz − zσ xy ) dA x = 6M x<br />
δ<br />
∫ 2<br />
hδ h y 2 dy = M x<br />
3 2 . (j)<br />
− δ 2<br />
Slika Z-5.11 b<br />
Rezultat je očitno protisloven,<br />
odgovor pa je skrit ravno v vplivu<br />
napetosti σ xy ,kismojihv<br />
dosedanjih izpeljavah zanemarili.<br />
Teh napetosti ob privzeti<br />
poenostavitvi ne znamo določiti,<br />
vendar je jasno, da sta<br />
ob krajših robovih ozkega pravokotnega<br />
prereza prvi odvod<br />
napetostne funkcije po z in s<br />
tem tudi strižna napetost σ xy<br />
različna od nič (slika Z-5.11 b).<br />
Kakor smo ugotovili že pri eliptičnem<br />
prerezu, so strižne napetosti<br />
na robovih, ki sta bolj<br />
oddaljena od težišča, manjše od<br />
tistih na “daljših” robovih in<br />
torej navadno niso merodajne za<br />
dimenzioniranje. Zaradi večje<br />
ročice glede na težišče prereza<br />
pa očitno ravno napetosti σ xy<br />
na krajših robovih prispevajo<br />
manjkajočo polovico torzijskega<br />
momenta v prečnem prerezu.<br />
24
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Enakomerna torzija nosilca s splošnim pravokotnim prečnim<br />
prerezom<br />
Pri nosilcu s splošnim pravokotnim prečnim prerezom, ki ne ustreza<br />
predpostavki o ozkem pravokotnem prerezu, analitične rešitve problema<br />
enakomerne torzije niso znane. V literaturi pa najdemo različne<br />
numerične rešitve, izpeljane na primer s Fourierovimi vrstami,<br />
zmetodokončnih diferenc ali z metodo končnih elementov. Na osnovi<br />
primerno natančnih numeričnih rezultatov so za praktično rabo<br />
pripravljene tabele koeficientov za razmeroma preprosto in hitro izvrednotenje<br />
najpomembnejših torzijskih količin v poljubnem pravokotnem<br />
prečnem prerezu.<br />
Preglednica T-1<br />
h/b η β γ<br />
1 0.423 1.603 1.000<br />
1.5 0.588 1.443 0.859<br />
2 0.687 1.355 0.795<br />
2.5 0.747 1.292 0.766<br />
3 0.789 1.248 0.753<br />
I x = η hb3<br />
3<br />
τ max = σ xz (A) =β 3 M x<br />
hb 2<br />
τ ∗ = σ xy (B) =γτ max<br />
4 0.843 1.182 0.745<br />
6 0.897 1.115 0.743<br />
8 0.921 1.086 0.742<br />
10 0.939 1.065 0.742<br />
∞ 1.000 1.000 0.742<br />
V Preglednici T-1 so podani koeficienti, s katerimi glede na dejansko<br />
razmerje stranic pravokotnega prereza določimo torzijski vztrajnostni<br />
25
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
moment I x ,največjo strižno napetost τ max , ki nastopa na sredini daljše<br />
starnice pravokotnika, in pripadajočo strižno napetost τ ∗ na sredini<br />
krajše stranice. Pri tem sta koeficienta η in β korekcijska faktorja<br />
za določitev torzijskega vztrajnostnega momenta in največje strižne<br />
napetosti glede na vrednosti, ki bi ju dobili z uporabo formul za ozek<br />
pravokotni prerez.<br />
Odprt prečni prerez, sestavljen iz pravokotnih podprerezov<br />
Pri praktičnem delu v konstrukcijski mehaniki imamo pogosto opraviti s<br />
prečnimi prerezi, sestavljenimi iz pravokotnih podprerezov. Kot primer<br />
vzemimo prečni prerez, sestavljen iz treh pravokotnih podprerezov, od<br />
katerih nobenega ne moremo obravnavati kot izrazito ozek pravokotnik<br />
(Slika T-9)<br />
Slika T-9<br />
Pri tem se postavi vprašanje, kako se celotni notranji torzijski moment<br />
M x porazdeli med posamezne podprereze. Odgovor poiščemo<br />
ob upoštevanju osnovne predpostavke, da se prerez pri torzijski obremenitvi<br />
v svoji ravnini vrti okrog vzdolžne osi nosica kot toga šipa. To<br />
26
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
pomeni,dasospecifični torzijski zasuki vsakega podprereza enaki torzijskemu<br />
zasuku prereza kot celote, torej so tudi enaki med seboj. Deleže<br />
celotnega torzijskega momenta, ki jih prevzamejo posamezni podprerezi,<br />
označimo z M x (1) , M x (2) in M x<br />
(3) , tako da je<br />
M x = M (1)<br />
x + M (2)<br />
x + M (3)<br />
x . (T.91)<br />
Če vzamemo, da so vsi podprerezi iz enakega materiala s strižnim modulom<br />
G, inzahtevamo,dasospecifični torzijski zasuki θ (1) ,θ (2) ,θ (3)<br />
enaki med seboj, sledi<br />
θ (1) = M x<br />
(1)<br />
GI x<br />
(1)<br />
θ (2) = M x<br />
(2)<br />
GI x<br />
(2)<br />
θ (1) = M x<br />
(3)<br />
GI x<br />
(3)<br />
= θ → M x (1) = θGI x<br />
(1)<br />
= θ → M x (2) = θGI x<br />
(2)<br />
= θ → M (3)<br />
x = θGI (3)<br />
Pri tem je θ specifični torzijski zasuk prereza kot celote<br />
x . (T.92)<br />
θ = M x<br />
GI x<br />
,<br />
(T.93)<br />
z I x (1) , I x (2) in I x<br />
(3) pa smo označili torzijske vztrajnostne momente<br />
posameznih pravokotnih podprerezov. S tem iz enačbe (T.91) sledi<br />
M x = θG<br />
(<br />
)<br />
I x (1) + I x (2) + I x<br />
(3) . (T.94)<br />
Primerjava z enačbo (T.93) pove, da je torzijski vztrajnostni moment<br />
sestavljenega prereza enak vsoti torzijskih vztrajnostnih momentov<br />
posameznih podprerezov<br />
I x = I (1)<br />
x + I (2)<br />
x + I (3)<br />
x . (T.95)<br />
27
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Enačbe (T.92) lahko sedaj zapišemo takole<br />
I x<br />
(1)<br />
x = M x<br />
M (1)<br />
I x<br />
I x<br />
(2)<br />
x = M x<br />
M (2)<br />
I x<br />
(T.96)<br />
I x<br />
(3)<br />
x = M x .<br />
I x<br />
M (3)<br />
Dobljene enačbe kažejo, da se torzijski moment porazdeli po posameznih<br />
podprerezih v razmerju njihovih torzijskih vztrajnostnih momentov.<br />
V primeru, da bi bili podprerezi iz različnih materialov s strižnimi<br />
moduli G (1) ,G (2) ,G (3) , bi s podobnim razmislekom kot zgoraj dobili<br />
M x = θ<br />
(<br />
)<br />
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x<br />
(3)<br />
(T.97)<br />
in porazdelitev torzijskega momenta M x<br />
njihovih torzijskih togosti<br />
po podprerezih v razmerju<br />
G (1) I x<br />
(1)<br />
x = M x<br />
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x<br />
(3)<br />
M (1)<br />
G (2) I x<br />
(2)<br />
x = M x<br />
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x<br />
(3)<br />
M (2)<br />
(T.98)<br />
G (3) I x<br />
(3)<br />
x = M x .<br />
G (1) I x (1) + G (2) I x (2) + G (3) I x<br />
(3)<br />
M (3)<br />
Praktični postopek pri določitvi torzijskih količin homogenega prereza,<br />
prikazanega na sliki T-9, bi torej začeli z določitvijo razmerij med daljšo<br />
in krajšo stranico za vsakega od podprerezov in odčitkom ustreznih<br />
koeficientov iz preglednice T-1<br />
28
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
podprerez 1 :<br />
h 1<br />
b 1<br />
→ η 1 ,β 1 ,γ 1<br />
podprerez 2 :<br />
podprerez 3 :<br />
h 2<br />
→ η 2 ,β 2 ,γ 2 (T.99)<br />
b 2<br />
h 3<br />
→ η 3 ,β 3 ,γ 3<br />
b 3<br />
Za razmerja, ki ne sovpadejo s podatki v preglednici, lahko z zadostno<br />
natančnostjo uporabimo linearno interpolacijo med podanimi vrednostmi.<br />
V nadaljevanju izračunamo torzijske vztrajnostne momente posameznih<br />
podprerezov in torzijski vztrajnostni moment prereza kot celote<br />
I (1)<br />
x = η 1<br />
h 1 b 3 1<br />
3<br />
I (2)<br />
x = η 2<br />
h 2 b 3 2<br />
3<br />
→ I x = I (1)<br />
x + I (2)<br />
x + I (3)<br />
x . (T.100)<br />
I (3)<br />
x = η 3<br />
h 3 b 3 3<br />
3<br />
S tem lahko iz enačbe (T.93) ali (T.97) izračunamo specifični torzijski<br />
zasuk θ, izenačb (T.96) ali (T.98) pa tudi deleže torzijskega momenta,<br />
ki jih prevzamejo posamezni podprerezi. V naslednjem koraku<br />
pa izračunamo še največje strižne napetosti na sredini daljše stranice<br />
ter ustrezne strižne napetosti na sredini krajše stranice vsakega od podprerezov<br />
τ (1)<br />
max = β 1<br />
τ (2)<br />
max = β 2<br />
τ (3)<br />
max = β 3<br />
3M (1)<br />
x<br />
h 1 b 3 1<br />
3M (2)<br />
x<br />
h 2 b 3 2<br />
3M (3)<br />
x<br />
h 3 b 3 3<br />
→ τ ∗(1) = γ 1 τ (1)<br />
max<br />
→ τ ∗(2) = γ 2 τ (2)<br />
max<br />
→ τ ∗(3) = γ 3 τ (3)<br />
max .<br />
(T.101)<br />
29
5.4 Enakomerna torzija ravnega linijskega nosilca<br />
Čistatorzijaravneganosilcazzaprtimenoceličnim tankostenskim<br />
prečnim prerezom<br />
Razporeditev strižnih napetosti pri čisti torziji votlega eliptičnega prereza<br />
kaže, da največje napetosti nastopajo na zunanjem robu prereza,<br />
material v notranjosti prereza pa je napetostno slabo izkoriščen. Zato je<br />
za prenašanje torzijske obtežbe ugodno izbirati zaprte tankostenske prereze,<br />
pri katerih je material nameščen čim bolj ob zunanjem robu prereza.<br />
O tankostenskem zaprtem prečnem prerezu govorimo v primeru,<br />
da je stena zaprtega prereza zelo tanka v primerjavi z drugimi dimenzijami<br />
prereza, na primer z njegovo višino ali širino. Na (sliki T-1) je<br />
prikazan tankostenski prerez A x ,kigadoločata zunanja in notranja<br />
mejna krivulja C z in C n . Votli del prereza je označen z A n .<br />
Slika T-1<br />
Pri poljubno oblikovanem zaprtem profilu z neenakomerno debelino<br />
stene δ je ugodno namesto kartezijskih prereznih koordinat (y, z) vpeljati<br />
“naravni” koordinati (η, ζ). Pri tem je ζ ločna dolžina tako ime-<br />
30
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
novane srednje črte prereza C s , ki poteka po sredini debeline stene in<br />
ograjuje srednjo ploskev A s .Koordinatiζ sta v vsaki točki srednje črte<br />
prirejena medsebojno pravokotna enotska bazna vektorja e η in e ζ ,prvi<br />
v smeri normale in drugi v smeri tangente na srednjo črto. Po analogiji<br />
z ozkim pravokotnim prerezom lahko tedaj vzamemo, da se napetostna<br />
funkcija ϕ vzdolž srednje krivulje C s , torej v odvisnosti od koordinate<br />
ζ, nespreminja<br />
∂ϕ<br />
∂ζ =0.<br />
(T.1)<br />
Pripadajoči strižni napetosti σ xη in σ xζ izrazimo z napetostno funkcijo<br />
ϕ po analogiji z enačbama (5.178)<br />
σ xη = θG ∂ϕ in σ xζ = −θG ∂ϕ<br />
∂ζ<br />
∂η . (T.2)<br />
Poissonova enačba čiste torzije se v koordinatah (η, ζ) glasi<br />
∂ 2 ϕ<br />
A x :<br />
∂η 2 + ∂2 ϕ<br />
∂ζ 2 +2=0.<br />
(T.3)<br />
Ob upoštevanju poenostavitve (T.1) iz prve od enačb (T.2) sledi, da je<br />
σ xη = 0 povsod na tankostenskem prerezu, Poissonova enačba pa preide<br />
v navadno diferencialno enačbo drugega reda glede na koordinato η<br />
Splošna rešitev te enačbe je<br />
∂ 2 ϕ<br />
∂η 2 = −2 .<br />
(T.4)<br />
ϕ = −η 2 + C 1 η + C 2 .<br />
(T.5)<br />
Integracijski konstanti C 1 in C 2 določimo iz pogoja, da mora biti vrednost<br />
napetostne funkcije na zunanjem robu prereza enaka nič, na notranjem<br />
robu pa enaka neki konstantni vrednosti ϕ n<br />
(<br />
ϕ η = − δ )<br />
⎧<br />
= ϕ n<br />
2<br />
⎪⎨ C 1 = − ϕ n<br />
δ<br />
(<br />
ϕ η = δ ) →<br />
⎪⎩<br />
=0<br />
C 2 =<br />
ϕ n<br />
2<br />
2 + δ2<br />
4<br />
(T.6)<br />
31
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Rešitev Poissonove diferencialne enačbejetorej<br />
ϕ = −η 2 − ϕ δ η + ϕ n<br />
2 + δ2<br />
4 . (T.7)<br />
Torzijski vztrajnostni moment I x določimo z enačbo (5.194), kjer<br />
upoštevamo, da imamo samo eno notranjo odprtino s ploščino A n ,kiji<br />
pripada konstantna vrednost napetostne funkcije ϕ n<br />
∫<br />
I x =2 ϕdA x +2ϕ n A n .<br />
(T.8)<br />
A x<br />
Vprvemčlenu vzamemo dA x = dη dζ ter integriramo po ζ vzdolž sklenjene<br />
srednje črte C s in po η vmejahod−δ/2 do+δ/2<br />
∮<br />
I x =2<br />
δ<br />
∫ 2<br />
C s − δ 2<br />
(<br />
−η 2 − ϕ δ η + ϕ )<br />
n<br />
2 + δ2<br />
dη dζ +2ϕ n A n .<br />
4<br />
(T.9)<br />
δdζ, (T.11)<br />
Po izvrednotenju integrala po debelini stene sledi<br />
I x = 1 ∮<br />
3<br />
∮<br />
δ 3 dζ + ϕ n δdζ+2ϕ n A n . (T.10)<br />
C s<br />
C s<br />
Integral v drugem členu predstavlja ploščino materialnega dela prereza<br />
A x ∮<br />
A x =<br />
C s<br />
zato lahko pišemo<br />
I x = 1 ∮<br />
(<br />
δ 3 dζ +2ϕ n A n + A )<br />
x<br />
.<br />
3<br />
2<br />
(T.12)<br />
C s<br />
Pri tankostenskem prerezu je izraz v oklepaju praktično enak ploščini<br />
A s srednje ploskve A s , vrednost integrala v prvem členu pa je odvisna<br />
od tretje potence majhne debeline stene δ in je zato zanemarljivo majhna<br />
v primerjavi z vrednostjo drugega člena<br />
32
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
A s = A n + A x<br />
2<br />
...<br />
∮<br />
1<br />
3<br />
δ 3 dζ ≪ 2 ϕ n A s . (T.13)<br />
C s<br />
Torzijski vztrajnostni moment zaprtega enoceličnega tenkostenskega<br />
prereza lahko torej dovolj natančno izračunamo s preprosto formulo<br />
I x =2ϕ n A s .<br />
(T.14)<br />
Seveda pa moramo najprej določiti vrednost napetostne funkcije ϕ n na<br />
notranji konturi C n . V ta namen uporabimo dodatni kompatibilnostni<br />
pogoj (5.186) za prerez z eno notranjo odprtino, ki pa ga tokrat ob<br />
upoštevanju tankostenske narave nosilca zapišemo za srednjo krivuljo<br />
C s in glede na koordinatno bazo (e η , e ζ )<br />
∮<br />
∂ϕ<br />
∂η ∣ dζ = −2 A s .<br />
(T.15)<br />
η=0<br />
C s<br />
Poudarili smo, da je pri integriranju po krivulji C s vseskozi η =0. Z<br />
odvajanjem enačbe (T.7) dobimo<br />
∂ϕ<br />
∂η = −2η − ϕ n<br />
δ<br />
→<br />
∂ϕ<br />
∂η ∣ = − ϕ n<br />
η=0<br />
δ .<br />
(T.16)<br />
Ker je ϕ n konstanta, iz enačbe (T.15) sledi<br />
ϕ n<br />
∮<br />
C s<br />
dζ<br />
δ =2A s → ϕ n = 2 A s<br />
∮<br />
dζ<br />
C s<br />
δ<br />
. (T.17)<br />
Zvstavitvijovenačbo (T.14) dobimo tako imenovano 2. Bredtovo formulo<br />
za določitev torzijskega vztrajnostnega momenta zaprtega enoceličnega<br />
tenkostenskega prereza<br />
I x = 4 A2 s<br />
∮<br />
C s<br />
dζ<br />
δ<br />
. (T.18)<br />
33
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Stemlahkoobupoštevanju enačbe (5.190) določimo specifični torzijski<br />
zasuk θ<br />
θ =<br />
M ∮<br />
x dζ<br />
4GA 2 s δ .<br />
(T.19)<br />
Glavni cilj naloge pa je seveda določitev napetosti. Iz druge od enačb<br />
(T.2) in prve od enačb (T.16) sledi<br />
σ xζ = M (<br />
x<br />
2η + ϕ )<br />
n<br />
. (T.20)<br />
I x δ<br />
Kakor vidimo, je strižna napetost σ xζ linearna funkcija koordinate η,<br />
ki se na območju stene prereza spreminja v mejah od −δ/2 do+δ/2.<br />
Največjo vrednost doseže na zunanjem, najmanjšo pa na notranjem<br />
robu prereza<br />
C s<br />
(<br />
σxζ max = σ xζ η = δ )<br />
= M x<br />
2<br />
I x<br />
( ϕn<br />
δ + δ )<br />
(<br />
σxζ min = σ xζ η = − δ )<br />
= M (<br />
x ϕn<br />
)<br />
2 I x δ − δ .<br />
(T.21)<br />
Pri tankostenskem prerezu je jasno, da se robni vrednosti napetosti<br />
le malo razlikujeta med seboj. Zato pri praktičnih nalogah dosledno<br />
računamo kar z enakomerno povprečno vrednostjo strižne napetosti ¯σ xζ ,<br />
za katero običajno vpeljemo tudi preprostejšo oznako τ s (slika T-1)<br />
τ s =¯σ xζ = σ xζ (η =0) → τ s = M x ϕ n<br />
δI x<br />
. (T.22)<br />
Za torzijski vztrajnostni moment I x vstavimo izraz (T.14) in dobimo<br />
1. Bredtovo formulo za strižno napetost v tanki steni zaprtega enoceličnega<br />
prereza<br />
τ s =<br />
M x<br />
. (T.23)<br />
2 δA s<br />
Dobljena formula pove, da je strižna napetost v steni zaprtega prereza<br />
največja tam, kjer je debelina stene najmanjša. Če enačbo (T.23)<br />
34
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
pomnožimo z δ, dobimo tako imenovani strižni tok q s ,kijeenakomeren<br />
vzdolž celotne srednje krivulje prereza C s<br />
q s = δτ s = M x<br />
2 A s<br />
= konst. (T.24)<br />
Opazimo lahko analogijo s tokom idealne tekočine po cevi spremenljivega<br />
prereza, pri čemer vlogo ploščine prereza prevzame debelina<br />
stene δ, vlogo hitrosti pa torzijska strižna napetost τ s .<br />
Čista torzija ravnega nosilca z zaprtim večceličnim tankostenskim<br />
prečnim prerezom<br />
Podobno kot pri nosilcu z enoceličnim prečnim prerezom ravnamo<br />
tudi pri določitvi mehanskega stanja nosilca z večceličnim zaprtim<br />
tankostenskim prerezom pri čisti torzijski obtežbi. Oglejmo si primer<br />
prečnega prereza s tremi notranjimi odprtinami (slika T-2.a).<br />
Sredinske črte obodne in notranjih sten tvorijo srednje krivulje C s1 , C s2<br />
in C s3 , ki obkrožajo srednje ploskve nad posameznimi odprtinami<br />
A s1 , A s2 in A s3 s ploščinami A s1 ,A s2 ,A s3 . Konstantne vrednosti<br />
napetostne funkcije nad konturami notranjih odprtin označimo s<br />
ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 .<br />
Poissonovo diferencialno enačbo čiste torzije torej rešujemo ob enakih<br />
predpostavkah kot v prejšnjem primeru in dobimo tudi enako splošno<br />
rešitev<br />
ϕ = −η 2 + C 1 η + C 2 .<br />
(T.25)<br />
Pri določanju integracijskih konstant C 1 in C 2 moramo tokrat upoštevati,<br />
da sta pri notranjih stenah obe robni vrednosti napetostne funkcije<br />
različni od nič (slika T-2.b)<br />
(<br />
ϕ η = − δ )<br />
= ϕ B<br />
2<br />
(<br />
ϕ η = δ ) →<br />
= ϕ A<br />
2<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
C 1 = ϕ A − ϕ B<br />
δ<br />
C 2 = ϕ A + ϕ B<br />
2<br />
+ δ2<br />
4<br />
(T.26)<br />
35
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Slika T-2<br />
Rešitev Poissonove diferencialne enačbejetorej<br />
ϕ = −η 2 + ϕ A − ϕ B<br />
δ<br />
η + ϕ A + ϕ B<br />
2<br />
+ δ2<br />
4<br />
(T.27)<br />
sprvimodvodompoη<br />
∂ϕ<br />
∂η = −2η + ϕ A − ϕ B<br />
δ<br />
→<br />
∂ϕ<br />
∂η<br />
∣ = ϕ A − ϕ B<br />
η=0<br />
δ<br />
. (T.28)<br />
Vrednosti napetostne funkcije nad notranjimi odprtinami ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3<br />
izračunamo iz dodatnih kompatibilnostnih enačb, ki jih zapišemo vzdolž<br />
36
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
sklenjenih srednjih črt C s1 , C s2 , C s3 okrog notranjih odprtin<br />
∮<br />
C s1<br />
∮<br />
C s2<br />
∮<br />
C s3<br />
∂ϕ<br />
∂η<br />
∂ϕ<br />
∂η<br />
∂ϕ<br />
∂η<br />
∣ dζ = −2 A s1<br />
η=0<br />
∣ dζ = −2 A s2<br />
η=0<br />
∣ dζ = −2 A s3 .<br />
η=0<br />
(T.29)<br />
Nastopajoči prvi odvodi napetostne funkcije očitno niso gladke funkcije<br />
vzdolž srednjih krivulj. Zato srednje krivulje razdelimo na odseke,<br />
vzdolž katerih so integrandi gladke funkcije in krivuljne integrale po<br />
sklenjenih krivuljah izračunamo kot vsote integralov po posameznih<br />
odsekih. Začnimo s prvo od enačb (29). Na odseku od točke 1 do točke<br />
3jeϕ A = ϕ z =0inϕ B = ϕ 1 ,naodseku32 je ϕ A = ϕ 3 in ϕ B = ϕ 1 ,<br />
na odseku 21 pa je ϕ A = ϕ 2 in ϕ B = ϕ 1 . Ob upoštevanju enačb (28)<br />
se prva od enačb (29) glasi<br />
∫ 3<br />
1<br />
0 − ϕ 1<br />
δ<br />
dζ +<br />
∫ 2<br />
3<br />
ϕ 3 − ϕ 1<br />
δ<br />
dζ +<br />
∫ 1<br />
2<br />
ϕ 2 − ϕ 1<br />
δ<br />
dζ = −2 A s1 . (30)<br />
Podobno zapišemo tudi preostali dve dodatni kompatibilnostni enačbi<br />
in dobimo<br />
∫ 1<br />
4<br />
∫ 4<br />
3<br />
0 − ϕ 2<br />
δ<br />
0 − ϕ 3<br />
δ<br />
dζ +<br />
dζ +<br />
∫ 2<br />
1<br />
∫ 2<br />
4<br />
ϕ 1 − ϕ 2<br />
δ<br />
ϕ 2 − ϕ 3<br />
δ<br />
dζ +<br />
dζ +<br />
∫ 4<br />
2<br />
∫ 3<br />
2<br />
ϕ 3 − ϕ 2<br />
δ<br />
ϕ 1 − ϕ 3<br />
δ<br />
dζ = −2 A s2<br />
dζ = −2 A s3 .<br />
(31)<br />
Ker so ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 konstantne vrednosti, po ureditvi in množenju z −1<br />
37
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
sledi<br />
ϕ 1<br />
∮<br />
C s1<br />
−ϕ 1<br />
∫ 2<br />
1<br />
−ϕ 1<br />
∫ 3<br />
Zvpeljavookrajšav<br />
a 11 =<br />
∮<br />
C s1<br />
2<br />
dζ<br />
δ<br />
∫ 2<br />
dζ<br />
a 21 = −<br />
1 δ<br />
∫ 3<br />
dζ<br />
a 31 = −<br />
2 δ<br />
dζ<br />
δ − ϕ 2<br />
dζ<br />
δ + ϕ 2<br />
dζ<br />
δ − ϕ 2<br />
∫ 1<br />
2<br />
∮<br />
C s2<br />
∫ 2<br />
4<br />
dζ<br />
δ − ϕ 3<br />
dζ<br />
δ − ϕ 3<br />
dζ<br />
δ + ϕ 3<br />
∫ 1<br />
dζ<br />
a 12 = −<br />
2 δ<br />
a 22 =<br />
∮<br />
C s2<br />
dζ<br />
δ<br />
∫ 2<br />
dζ<br />
a 32 = −<br />
4 δ<br />
∫ 2<br />
3<br />
∫ 4<br />
2<br />
∮<br />
C s3<br />
dζ<br />
δ =2A s1<br />
dζ<br />
δ =2A s2<br />
dζ<br />
δ =2A s3 .<br />
∫ 2<br />
dζ<br />
a 13 = −<br />
3 δ<br />
∫ 1<br />
dζ<br />
a 24 = −<br />
2 δ<br />
a 33 =<br />
∮<br />
C s3<br />
dζ<br />
δ<br />
(32)<br />
(33)<br />
ter<br />
b 1 =2A s1 b 2 =2A s2 b 3 =2A s3 (34)<br />
lahko sistem (32) zapišemo v pregledni obliki<br />
a 11 ϕ 1 + a 12 ϕ 2 + a 13 ϕ 3 = b 1<br />
a 21 ϕ 1 + a 22 ϕ 2 + a 23 ϕ 3 = b 2<br />
a 31 ϕ 1 + a 32 ϕ 2 + a 33 ϕ 3 = b 3 .<br />
Tako smo dobili sistem linearnih algebrajskih enačb, iz katerega brez<br />
težav določimo konstantne vrednosti napetostne funkcije ϕ 1 ,ϕ 2 in ϕ 3 .<br />
Dobljene ugotovitve lahko posplošimo za primer tankostenskega prereza<br />
z N notranjimi odprtinami. Tedaj lahko sistem kompatibilnostnih<br />
38
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
enačb na kratko zapišemo z enačbo<br />
N∑<br />
a ij ϕ j = b i (i =1, 2, ..., N) (35)<br />
j=1<br />
ali v matrični obliki<br />
[a ij ] {ϕ j } = {b i } (i, j =1, 2, ..., N) . (36)<br />
Koeficienti a ij in desne strani b i so podani z izrazi<br />
∮<br />
dζ<br />
a ii =<br />
δ<br />
C si<br />
∫<br />
dζ<br />
(i ≠ j) ... a ij = −<br />
δ = a ji (i, j =1, 2, ... ,N)<br />
l ij<br />
b i =2A si .<br />
(37)<br />
Pri tem smo z l ij označili skupni odsek srednjih krivulj C si in C sj ,torej<br />
dolžino skupne stene med celicama i in j.<br />
Zvstavitvijorešitve za napetostno funkcijo (27) in izračunanih vrednosti<br />
napetostne funkcije nad notranjimi odprtinami ϕ i v splošno<br />
enačbo za torzijski vztrajnostni moment (5.194) bi na podoben način<br />
kakor pri enoceličnem prerezu dobili<br />
I x = 1 3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∮<br />
C sz<br />
δ 3 dζ + ∑ ∫<br />
l ij<br />
⎞<br />
δ 3 ⎟<br />
dζ⎠ +2<br />
N∑<br />
ϕ i A si .<br />
i=1<br />
(T.38)<br />
Prvi integral v okroglem oklepaju izvrednotimo vzdolž sklenjene srednje<br />
krivulje C sz obodne stene. S tem prvi člen v enačbi (38) predstavlja<br />
prispevek obodne in notranjih sten kot odprtih ozkih profilov k torzijskemu<br />
vztrajnostnemu momentu prereza. Vendar lahko z enakim<br />
razmislekom kakor sicer pri tankostenskih zaprtih prerezih prvi člen v<br />
39
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
izrazu za I x zanemarimo v primerjavi z drugim in v praktičnih nalogah<br />
računamo s poenostavljeno formulo<br />
I x =2<br />
N∑<br />
ϕ i A si .<br />
i=1<br />
(T.39)<br />
Končno določimo še strižne napetosti. Iz druge od enačb (T.2) in prve<br />
od enačb (T.28) sledi<br />
σ xζ = M (<br />
x<br />
2η − ϕ )<br />
A − ϕ B<br />
. (T.40)<br />
I x δ<br />
Vpraktičnih nalogah je pri tankostenskih zaprtih prerezih umestno<br />
računati kar s povprečno vrednostjo strižne napetosti τ s<br />
τ s =¯σ xζ = σ xζ (η =0) → τ s = M x<br />
δI x<br />
(ϕ B − ϕ A ) .<br />
(T.41)<br />
Za dimenzioniranje oziroma kontrolo torzijske nosilnosti prereza je praviloma<br />
merodajna največja vrednost strižne napetosti τ s . Da bi ugotovili,<br />
kolikšna je ta napetost in kje nastopa, moramo vzdolž vsehsrednjih<br />
krivulj izvrednotiti razmerje med razliko napetostnih funkcij na<br />
robovih ϕ B − ϕ A in debelino stene δ.<br />
Prispevek torzijskega momenta k dopolnilnemu virtualnemu<br />
delu notranjih sil<br />
Vrazdelku5.4 smo po metodi napetosti obravnavali primer čiste torzije<br />
ravnega nosilca. Gre torej za primer, ko je notranji torzijski moment<br />
M x enakomeren po celotni dolžini nosilca, edina kinematična količina<br />
linijskega računskega modela, s katero imamo opraviti, pa je torzijski<br />
zasuk ω x . V praktičnih konstrukterskih nalogah gre v tem primeru<br />
praviloma za določanje razlik torzijskih zasukov na obeh konceh linijskega<br />
nosilca. Za boljše razumevanje si oglejmo linijski nosilec, ki je v<br />
40
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
krajiščih obtežen z momentom M T vsmerivzdolžne osi (slika ???).<br />
Slika ???<br />
V takem nosilcu nastopa le enakomeren notranji torzijski moment M x =<br />
M T . Vzemimo, da je torzijski zasuk v krajišču i enak ωx, i torzijski<br />
zasuk v krajišču j pa ωx. j Nosilec v krajiščih obtežimo z uravnoteženim<br />
virtualnim torzijskim momentom δM T in zapišimo izrek o dopolnilnem<br />
virtualnem delu<br />
δW ∗ = −ω i x δM T + ω j x δM T = δ ¯D ∗ (δM x ) , ()<br />
od koder sledi<br />
( )<br />
ω<br />
j<br />
x − ωx<br />
i δMT = δ ¯D ∗ (δM x ) . ()<br />
Pri tem je δM x notranji torzijski moment, ki pripada virtualni obtežbi<br />
δM T . Za razliko torzijskih zasukov vpeljemo oznako Δω x = ω j x − ω i x in<br />
dobimo<br />
Δω x δM T = δ ¯D ∗ (δM x ) . ()<br />
V obravnavanem primeru določata napetostno stanje poljubnega delca<br />
vprečnem prerezu strižni napetosti σ xy in σ xz , zato je pripadajoči delež<br />
dopolnilnega virtualnega dela notranjih sil določen s formalno enakim<br />
izrazom kot prispevek prečnih sil pri upogibu<br />
∫<br />
δ ¯D ∗ (δM x )= (2ε xy δσ xy +2ε xz δσ xz ) dV . ()<br />
V<br />
41
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Napetosti σ xy in σ xz smo izrazili z napetostno funkcijo čiste torzije<br />
ϕ(y, z)<br />
σ xy =<br />
M x ∂ϕ<br />
I x ∂z<br />
σ xz = − M x<br />
I x<br />
pripadajoči kotni deformaciji pa sta<br />
()<br />
∂ϕ<br />
∂y ,<br />
2ε xy = σ xy<br />
G = M x ∂ϕ<br />
GI x ∂z<br />
2ε xz = σ xz<br />
G = − M ()<br />
x ∂ϕ<br />
GI x ∂y .<br />
Virtualni napetosti δσ xy in δσ xz določimo analogno z enačbama ()<br />
δσ xy =<br />
δM x<br />
I x<br />
δσ xz = − δM x<br />
I x<br />
∂ϕ<br />
∂z<br />
()<br />
∂ϕ<br />
∂y .<br />
Izraze () in () vstavimo v enačbo () in po ureditvi dobimo<br />
∫<br />
δ ¯D ∗ (δM x )=<br />
0<br />
l<br />
∫ [ (∂ϕ ) 2<br />
M x δM x<br />
+<br />
GIx<br />
2 ∂y<br />
A x<br />
( ) ] 2 ∂ϕ<br />
dA x dx . ()<br />
∂z<br />
V Zgledu ??? pokažemo, da je integral po prečnem prerezu A x , ki<br />
nastopa v gornji enačbi, kar enak torzijskemu vztrajnostnemu momentu<br />
I x , kakor smo ga izpeljali v razdelku 5.4???. Prispevek torzijskega<br />
momenta k dopolnilnemu virtualnemu delu notranjih sil torej določimo<br />
zenačbo<br />
∫ l<br />
δ ¯D ∗ M x δM x<br />
(δM x )=<br />
dx . ()<br />
GI x<br />
42<br />
0
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Ker sta tako notranji torzijski moment M x kakor tudi δM x konstantna<br />
vzdolž nosilca, sledi<br />
δ ¯D ∗ (δM x )= M xδM x<br />
GI x<br />
∫<br />
0<br />
l<br />
dx =<br />
l<br />
GI x<br />
M x δM x . ()<br />
Vnašem primeru je M x = M T in δM x = δM T in prispevek enakomernega<br />
torzijskega momenta k dopolnilnemu virtualnemu delu nosilca<br />
lahko zapišemo z enačbo<br />
δ ¯D ∗ (δM x )=<br />
l<br />
GI x<br />
M T δM T . ()<br />
Zoznako<br />
k T = GI x<br />
()<br />
l<br />
vpeljemo tako imenovano torzijsko togost nosilca. Enačba () se s tem<br />
glasi<br />
δ ¯D ∗ (δM x )= M T δM T<br />
. ()<br />
k T<br />
Če za virtualno obtežbo izberemo enotski torzijski moment δM T =1,<br />
iz enačbe () sledi<br />
Δω x = M T<br />
. ()<br />
k T<br />
Pri reševanju praktičnih nalog v mehaniki nosilcev je pogosto tako, da<br />
poznamo torzijski zasuk v enem od krajišč nosilca. Če, na primer,<br />
poznamo zasuk ωx i ,izračunamo zasuk v krajišču j zenačbo<br />
ω j x = ωi x + Δω x = ω i x + M T<br />
k T<br />
. ()<br />
V primeru, da poznamo zasuk ω j x ,pavelja<br />
ω i x = ωj x − Δω x = ω j x − M T<br />
k T<br />
. ()<br />
43
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Prispevki linearno elastičnih vzmeti<br />
Vpraktičnih konstrukterskih nalogah imamo večkrat opraviti s podajnimi<br />
podporami oziroma s podajnimi vezmi med posameznimi deli konstrukcije.<br />
Podajne podpore in vezi v računskem modelu konstrukcije<br />
običajno predstavimo z vzmetmi. Računski modeli vzmeti so lahko linearno<br />
ali nelinearno elastični, v posebnih primerih pa lahko vključujejo<br />
tudi plastične in viskozne lastnosti podpor in vezi. V našem primeru<br />
se omejimo na tri najbolj preproste, a tudi najpogosteje uporabljane<br />
vrste linearno elastičnih vzmeti. To so: torzijska, osna ali linearna in<br />
spiralna ali polžasta vzmet, zavsepajeznačilno, da so vplivi, s katerimi<br />
vzmeti delujejo na elemente konstrukcije, proporcionalni značilnim<br />
deformacijam vzmeti.<br />
Torzijska vzmet (V T ) :<br />
Gre za primer, da se vpliv podpore ali sosednih delov konstrukcije<br />
prenaša na krajišče linijskega nosilca kot torzijski moment (slika DVD-<br />
T). Tedaj lahko torzijsko vzmet enakovredno nadomestimo z linijskim<br />
elementom, ki ima enako torzijsko togost kakor vzmet. Za ta primer<br />
smo dopolnilno virtualno delo, ki ga virtualna obtežba opravi pri deformiranju<br />
vzmeti, že določili v prejšnjem razdelku z enačbo ()<br />
δ ¯D ∗ (V T )= M T δM T<br />
k T<br />
. ()<br />
Pri tem je k T konstanta torzijske vzmeti, kijodoločimo z enačbo ()<br />
kot torzijsko togost veznega elementa, kakor smo pokazali v prejšnjem<br />
razdelku. Druga možnost je, da konstanto k T umerimo s poskusi ob<br />
upoštevanju enačbe ()<br />
44<br />
Δω x = M T<br />
k T<br />
. ()
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Slika ???<br />
Osna ali linearna vzmet (V L ) :<br />
Osna vzmet je vsakdanjemu razumevanju pojma vzmeti najbližji model<br />
podajne podpore ali vezi, pri katerem je sila, ki deluje v smeri osi<br />
vzmeti, proporcionalna njenemu raztezku ali skrčku. Podobno kakor<br />
torzijsko lahko tudi osno vzmet nadomestimo z linijskim elementom z<br />
enakovredno osno togostjo (slika DVD-O). V takem nosilcu nastopa le<br />
enakomerna osna sila N x = P . Gre torej za čisto osno obtežbo nosilca,<br />
ki je povezana zgolj z vzdolžnima pomikoma krajišč u i in u j . Nosilec<br />
vkrajiščih obtežimo z virtualnima vzdolžnima silama δP in zapišemo<br />
izrek o dopolnilnem virtualnem delu<br />
δW ∗ = −u i δP + u j δP = δ ¯D ∗ (V L ) , ()<br />
od koder sledi<br />
(u j − u i ) δP = δ ¯D ∗ (V L ) . ()<br />
Za razliko vzdolžnih pomikov vpeljemo oznako Δu = u j − u i in dobimo<br />
ΔuδP = δ ¯D ∗ (V L ) . ()<br />
45
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Slika ???<br />
V obravnavanem primeru vlada v nadomestnem nosilcu homogeno<br />
napetostno in deformacijsko stanje<br />
σ xx = N x<br />
A x<br />
, ε xx = N x<br />
EA x<br />
in δσ xx = δN x<br />
A x<br />
, ()<br />
pripadajoči delež dopolnilnega virtualnega dela notranjih sil pa je<br />
∫<br />
∫ l ∫ ∫ l<br />
δ ¯D ∗ N x δN x<br />
N x δN x<br />
(V L )= ε xx δσ xx dV =<br />
EA 2 dA x dx = dx .<br />
x<br />
EA x<br />
V<br />
0<br />
A x 0<br />
()<br />
Pri tem je δN x osna sila, ki pripada virtualni obtežbi δP. Ker sta<br />
dejanska in virtualna osna sila N x in δN x konstantni vzdolž nosilca,<br />
sledi<br />
δ ¯D ∗ (V L )= N ∫ l<br />
xδN x<br />
dx =<br />
l N x δN x . ()<br />
EA x EA x<br />
46<br />
0
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Izraz<br />
k L = EA x<br />
()<br />
l<br />
imenujemo konstanta osne ali linearne vzmeti. V našem primeru je<br />
N x = P in δN x = δP in prispevek osne vzmeti k dopolnilnemu virtualnemu<br />
delu konstrukcije lahko zapišemo z enačbo<br />
δ ¯D ∗ (V L )= PδP<br />
k L<br />
. ()<br />
Če za virtualno obtežbo izberemo enotsko virtualno silo δP =1,iz<br />
enačbe () sledi, da je skrček oziroma raztezek osne vzmeti proporcionalen<br />
delujoči sili P<br />
Δu = P k T<br />
, ()<br />
kar je v skladu s splošnim razumevanjem vloge vzmeti v konstrukciji.<br />
Spiralna ali polžasta vzmet (V S ) :<br />
Vpraktičnih nalogah s področja mehanike konstrukcij pogosto naletimo<br />
na problem, da konstrukcijska izvedba stika med posameznimi elementi<br />
konstrukcije sicer zagotavlja enakost pomikov, v pogledu medsebojnih<br />
upogibnih zasukov pa stik ni povsem tog (primer: vijačeni<br />
stiki jeklenih nosilcev, žebljani ali mozničeni stiki v lesenih konstrukcijah<br />
in podobno). V takih primerih lahko podajnost stika modeliramo<br />
zuvedbospiralne ali polžaste vzmeti. Pri linearno elastičnih stikih je<br />
lastnost vzmeti podana s konstanto k S , ki povezuje spremembo upogibnega<br />
zasuka z nastopajočimupogibnimmomentomvstiku. Da<br />
bi določili delež dopolnilnega virtualnega dela, ki ga prispeva linearno<br />
elastična spiralna vzmet, si oglejmo prostoležeč nosilec, sestavljen iz<br />
dveh absolutno togih elementov, ki sta med seboj povezana s spiralno<br />
vzmetjo (slika ???). Če se nosilec iz kakršnega koli razloga (na primer<br />
zaradi delovanja navpične sile P ) premakne, deluje vzmet na oba ele-<br />
47
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
menta nosilca s statičnim momentom M S .<br />
Slika ???<br />
Za oba absolutno toga dela nosilca velja, da so pripadajoče deformacije<br />
ε xx enake nič, zato je celotno dopolnilno virtualno delo notranjih sil<br />
prikazane konstrukcije zajeto zgolj v deležu spiralne vzmeti. Vzmet kot<br />
vezni element je v skladu z zakonom akcije in reakcije obtežena z enako<br />
velikima a nasprotno usmerjenima momentoma M S . Vzmet obtežimo<br />
z virtualnima momentoma δM S in zapišemo izrek o dopolnilnem virtualnem<br />
delu<br />
δW ∗ = −ω L y δM S + ω D y δM S = δ ¯D ∗ (V S ) , ()<br />
od koder sledi<br />
(<br />
ω<br />
D<br />
y − ωy<br />
L )<br />
δMS = δ ¯D ∗ (V S ) . ()<br />
48
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Za razliko zasukov vpeljemo oznako Δω y = ω D y − ω L y in dobimo<br />
Δω y δM S = δ ¯D ∗ (V S ) . ()<br />
Spiralno vzmet si lahko predstavljamo kot torzijsko vzmet z zelo majhno<br />
dolžino in s torzijsko togostjo k S , ki jo opazujemo v smeri njene vzdolžne<br />
osi. Kakor smo ugotovili v razdelku o torzijski osi, je tedaj razlika<br />
zasukov sorazmerna statičnemu momentu, ki v krajiščih deluje v smeri<br />
osi vzmeti. V našem primeru je to moment M S ,takodaje<br />
in enačba () preide v naslednjo obliko<br />
Δω y = M S<br />
k S<br />
()<br />
δ ¯D ∗ (V S )= M S δM S<br />
k S<br />
. ()<br />
Za vse tri obravnavane modele vzmeti smo torej ugotovili podobne zakonitosti:<br />
(i) sprememba značilne kinematične količine je sorazmerna<br />
ustrezni nastopajoči sili oziroma momentu, (ii) prispevek vzmeti k<br />
dopolnilnemu virtualnemu delu notranjih sil je določen s produktom dejanske<br />
in virtualne sile oziroma dejanskega in virtualnega nastopajočega<br />
momenta, (iii) materialne in geometrijske lastnosti vzmeti so zajete v<br />
togostnih koeficientih k T , k L in k S , ki so pri linearno elastičnem materialu<br />
konstante.<br />
Prispevek linearne spremembe temperature<br />
Vrazdelku??? smo izpeljali enačbe, s katerimi upoštevamo vpliv spremembe<br />
temperature na pomike in notranje sile linijskega nosilca. Vzeli<br />
smo, da se temperatura v poljubnem prečnem prerezu A x (x) spreminja<br />
linearno v odvisnosti od prereznih koordinat y in z<br />
ΔT (x, y, z) =ΔT x (x)+y ΔT y (x)+z ΔT z (x) . ()<br />
49
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Iz enačb (b) in (d) sledi, da lahko vzdolžno deformacijo ε xx zapišemo<br />
takole<br />
( ) ( ) ( )<br />
Nx<br />
Mz<br />
My<br />
ε xx = + α T ΔT x − y + α T ΔT y + z + α T ΔT z .<br />
EA x EI z EI y<br />
Vzdolžna normalna napetost δσ xx , ki pripada izbrani virtualni obtežbi,<br />
je določena z enačbo (1.117)<br />
()<br />
δσ xx = δN x<br />
A x<br />
− y δM z<br />
I z<br />
+ z δM y<br />
I y<br />
. ()<br />
Neumann-Duhamelove enačbe () povedo, da sprememba temperature<br />
vpliva le na normalne deformacije, v obravnavanem primeru torej le<br />
na deformacijo ε xx . Dopolnilno virtualno delo notranjih sil tedaj<br />
izračunamo z enačbo ( )<br />
∫<br />
δ ¯D ∗ (ΔT )= ε xx δσ xx dV . ()<br />
Vtoenačbo vstavimo izraza ( ) in ( )<br />
∫<br />
δ ¯D ∗ (ΔT )=<br />
V<br />
V<br />
[( ) ( )<br />
Nx<br />
Mz<br />
+ α T ΔT x − y + α T ΔT y<br />
EA x EI z<br />
( )] (<br />
My<br />
δNx<br />
z + α T ΔT z<br />
EI y A x<br />
− y δM z<br />
I z<br />
+<br />
+ z δM y<br />
I y<br />
)<br />
dV ,<br />
diferencial prostornine izrazimo s produktom diferenciala ploščine<br />
prečnega prereza in diferenciala dolžine (dV = dA x dx) in najprej<br />
opravimo integriranje po prečnem prerezu A x . Upoštevamo, da sta<br />
osi y in z težiščni in glavni vztrajnostni osi prereza A x ,zatosodeviacijski<br />
in oba statična momenta prereza enaki nič. Po nekoliko daljši,<br />
vendar preprosti izpeljavi dobimo<br />
50<br />
()
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
∫<br />
δ ¯D ∗ (ΔT )=<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
l<br />
l<br />
(<br />
Nx δN x<br />
EA x<br />
+ M yδM y<br />
EI y<br />
+ M )<br />
zδM z<br />
dx +<br />
EI z<br />
(α T ΔT x δN x − α T ΔT y δM z + α T ΔT z δM y ) dx . (55)<br />
Kakor vidimo, je vpliv spremembe temperature zajet v drugem členu<br />
izraza za dopolnilno virtualno delo notranjih sil, medtem ko smo prvi<br />
integral spoznali že v razdelku xxx. Opazimo lahko, da igrajo členi,<br />
ki vsebujejo parametre ΔT x , ΔT y , ΔT z , podobno vlogo kakor notranje<br />
sile N x ,M y ,M z , ki zajemajo vpliv dejanske mehanske zunanje obtežbe<br />
nosilca. To je razumljivo, saj temperaturne spremembe predstavljajo<br />
zgolj eno od možnih oblik zunanje obtežbe nosilca.<br />
Linijska konstrukcija, sestavljena iz n linijskih elementov<br />
V primeru, da je obravnavana linijska konstrukcija sestavljena iz več<br />
elementov, določimo celotno dopolnilno virtualno delo notranjih sil kot<br />
vsoto prispevkov posameznih elementov.<br />
δ ¯D ∗ =<br />
n∑<br />
e=1<br />
n∑<br />
e=1<br />
n∑<br />
e=1<br />
m∑<br />
i=1<br />
∫ l e<br />
0<br />
∫ l e<br />
0<br />
∫ l e<br />
0<br />
(<br />
Nx δN x<br />
(<br />
EA x<br />
κ y<br />
N y δN y<br />
GA x<br />
+ M yδM y<br />
EI y<br />
+ M )<br />
zδM z<br />
dx+<br />
EI z<br />
)<br />
N z δN z<br />
+ κ z dx +<br />
GA x<br />
n∑<br />
e=1<br />
∫ l e<br />
0<br />
M x δM x<br />
dx+<br />
GI x<br />
(α T ΔT x δN x − α T ΔT y δM z + α T ΔT z δM y ) dx+<br />
P i δP i<br />
k Li<br />
+<br />
p∑<br />
j=1<br />
M Sj δM Sj<br />
k Sj<br />
+<br />
r∑<br />
k=1<br />
M Tk δM Tk<br />
k Tk<br />
. ()<br />
Pri tem smo upoštevali, da je v konstrukciji m linearnih, p spiralnih in<br />
r torzijskih vzmeti.<br />
51
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
Zgled 5.6<br />
Dokaži, da integral<br />
∫ [ (∂ϕ ) 2<br />
J =<br />
+<br />
∂y<br />
A x<br />
( ) ] 2 ∂ϕ<br />
dA x ()<br />
∂z<br />
predstavlja torzijski vztrajnostni moment I x , kakor smo ga izpeljali v<br />
razdelku 5.4???.<br />
Ob upoštevanju pravila za odvajanje produkta lahko integral J zapišemo<br />
kot razliko dveh integralov<br />
∫<br />
J =<br />
(<br />
ϕ ∂ϕ )<br />
+ ∂ (<br />
ϕ ∂ϕ )] ∫ ( ∂ 2 )<br />
ϕ<br />
dA x − ϕ<br />
∂y ∂z ∂z<br />
∂y 2 + ∂2 ϕ<br />
∂z 2 dA x .<br />
A x<br />
[ ∂<br />
∂y<br />
A x<br />
()<br />
Člen v oklepaju v drugem integralu je zaradi enačbe (5.179) enak −2,<br />
prvi integral pa z Greenovim izrekom () prevedemo na krivuljni integral<br />
po mejni črti C x prečnega prereza. Tako dobimo<br />
oziroma<br />
∮ [(<br />
J = −ϕ ∂ϕ ) (<br />
dy + ϕ ∂ϕ ) ] ∫<br />
dz dx +2 ϕdA x ()<br />
∂z ∂y<br />
C x A x<br />
∫ ∮<br />
J =2 ϕdA x +<br />
A x<br />
C x<br />
(<br />
ϕ − ∂ϕ )<br />
∂ϕ<br />
dy +<br />
∂z ∂y dz . ()<br />
Pri (m +1)−krat sovisnem prerezu postopamo enako, kakor smo to<br />
naredili v razdelku 5.4???. Sklenjeno mejno krivuljo C x sestavimo iz<br />
več delov, tako da z njo zajamemo celotno območje prečnega prereza<br />
A x (slika 5.11). Integrali vzdolž ravnih odsekov integracijske poti, s<br />
katerimi pridemo z zunanje mejne krivulje na notranjo in nazaj, se<br />
odštejejo, saj integriramo isto funkcijo enkrat v eni, drugič pa v drugi<br />
smeri. Preostane nam torej integriranje po zunanji mejni krivulji C z ,<br />
52
Nosilec z zaprtim enoceličnim tankostenskim prečnim prerezom<br />
kjer ima napetostna funkcija konstantno vrednost ϕ z ,terponotranjih<br />
mejnih krivuljah C ni (i =1, 2,...,m), kjer ima napetostna funkcija<br />
konstantne vrednosti ϕ ni<br />
∫ ∮ (<br />
J =2 ϕdA x + ϕ z<br />
A x C x<br />
m∑<br />
∮<br />
ϕ ni<br />
i=1<br />
− ∂ϕ<br />
∂z<br />
C ni<br />
dy +<br />
∂ϕ<br />
∂y dz )<br />
+<br />
( )<br />
∂ϕ ∂ϕ<br />
dy −<br />
∂z ∂y dz . (4.666)<br />
Pri tem smo integralom, ki nastopajo v vsoti v tretjem členu, spremenili<br />
predznak, ker gre za integriranje v sourni, torej “negativni” smeri. Za<br />
napetostno funkcijo ϕ z na zunanji mejni krivulji C z praviloma privzamemo<br />
vrednost ϕ z = 0, krivuljni integral v tretjem členu pa je zaradi<br />
enačbe (5.182??) enak 2A ni . Tako dobimo<br />
∫<br />
J =2<br />
A x<br />
ϕdA x +2<br />
m∑<br />
ϕ ni A ni , ()<br />
to pa je izraz, ki smo ga v razdelku ??? izpeljali kot torzijski vztrajnostni<br />
moment I x prečnega prereza nosilca. S tem smo dokazali enakost<br />
∫ [ (∂ϕ ) 2<br />
+<br />
∂y<br />
A x<br />
kar je zahtevala naša naloga.<br />
i=1<br />
( ) ] 2 ∂ϕ<br />
dA x = I x , ()<br />
∂z<br />
53