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F
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⎧
⎪⎨ 1, n = 0
n = 1, n = 1
⎪⎩
F n−1 + F n−2 , n > 1
¾

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ÓÖ´¼½¼··µ´µ ÓÑÓÒÓØÓÖиÓ×Ñ×ÑÓ×Ö×ÙÐØÓ××ÓÓ¹ ½¾½ ØÓ×ÔÐÓÐÓÖØÑÓÒÓÖÙÖ×ÚÓÜÓ ½¾
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¿¾·½
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Ù×nÓÑÓÚÖ ÔÓÒÓÒØÖÖÙÑÖÑÙÐÔÖÓ×ÒÑÖÓ×ÓÒ¸ÓÙ׸ÙÑÖÑÙÐÕÙ ÙÑØÒÕÙ
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nÔÓÖÔÖ×ÒØÖÓÒÑÖÓ
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12º
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ÐÓºÇÙ׸×ÑÓ×ÕÙS 2
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nºÙÐ 12ºÓÑ
12 = 4
Ö×ØÖÓ×ØÒÑÖÓØÑÕÙÑÒÙÖ¸ÔÓÖØÒØÓ×ÑÓ×ÕÙS n ≤ 4
= 15º

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ÕÙÙÑÒÒØÔÓÓÑØÖ×ÖÔÒÓØÞÓÔÐÓ×ÒÑÖÓ׺ÈÓÖÜÑÔÐÓ¸ÐÔÓ×ÖÚÖ ÖÖÖÐÙÑÖÙÖ×ÓÓ×ØÙÑ×ÖÔÖØÑ×ÐÓØÖÓÖÖÓÑ×ÓÑÙÑ Ðº •ÈÓÑÓ×ÔÖÓÙÖÖS ÜÓ nÔÖÖÙÑÓÐØÖ Ó×ÚÐÓÖ× ÙÑÔÖÓÖÑÒ½ÔÖÓØÖÓ×ÔÖÑÖÓ×ÚÐÓÖ×S ÔÓ×××Ó¸ ÐÖÓÖ×ÑÒÒÓÓÑÓ×××ÒÑÖÓ×ÔÓÑ×ÓÑÒÖÔÖ
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ÔÖÓÙÞÖÓ×ÒÑÖÓ××ÙÒØ×ØÒØÖ×ÓÖÑ×Ñ××ØÖÒ×ÔÖÚÖ×ÙÒÓÒѺÁ××Ó
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ÔÖ×ÑÓ×ÓØÖÙÑÑÒ×ÑÓÔÖØÖÒ×ÓÖÑÖÙÑÔÖÓÐÑÙÑÖØÓØÑÒÓÑ ÐÙÑ×ÒØÑÒÓnÑÙÑÔÖÓÐÑÕÙØÖØ×Ò×ÑÒÓÖ× ÔÖÓÐÑ´×µØÑÒÓÑÒÓÖºÌÖÙÞÒÓ¸ÓÑÓÔÓÑÓ×ØÖÒ×ÓÖÑÖÙÑÔÖÓÐÑÕÙ ÎÑÓ×ÔÖÖÔÒ×ÖÒÓ×ÒÑÖÓ×ÔÒ×ÖÒÓÔÖÓÐÑ×ÕÙÖÑÓ×Ù×ÖÖÙÖ×Ó
ÐØÖ×ÓÑÑ×ÙÑÐØÖ¸Ü×ØÑÓÔ×ÔÖ××ÐØÑÐØÖ¸ÓÕÙÕÙÖÙÔÐÓ ÍÑÓÒÐÙ×Ó n ÐÕÙÙÑ×ÒnÐØÖ×ÓÑÒÓÙÑ×Òn −
ÕÙ×ØÑÓ×ÑÔÓ×ØÖ×ÐØÖ׺´ÎÓØÑÑÔÓÔÒ×ÖÙÑÔÓÙÓÑ×× Ú×ÖÐÖÓÕÙ×ØÖÓÖÖÒ×Ø ÖÖ¸ÔÓ×ÑÒÒÙÑÑÓÑÒØÓÓÒ×ÖÑÓ×
ÒÑÖÓ×Ò׺ËÓÖ××ѸØÑÓ×ÙÑÖÓÖÖÒÔÖS n¸ÓÕÙ ×ÑÓ×ÕÙÑ×Ó
ÔÖÓÐÑ׺ÈÓÖ××ÓØÑÓ×ÕÙÒÖÖÙ×ÐØÖÒØÚ× ÕÙ×ÑÓ×µºÒØÓ¸ÓÑÓÚÑÓ×ÚØÖÓ×Ó×Ò×ÕÙÒÐÙÑ ÇÔÖÓÐÑÕÙÒÓÔÓÑÓ××ÑÔÐ×ÑÒØÓÒÖÙÑÒÓÒÐÙÑ×ÒÓÑ
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1ÐØÖ×ÖÓÖÓ
n −
×Ù×ÓÖÑ×ÔÒ×ÖÔÓÑÐÚÖÖÙÖ××ÕÙÙÒÓÒÑÑÖÐ×Ô××Ó×ØÒØÑ ¾ºÖÒØÖÕÙÓÐÓÓÒÓÚ×ÐØÖ×ÒÓÖÓÔÖ¸ÒÔÒÒØÑÒØÓÕÙ
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×Ó¸ÙÔÒ×ÖÕÙÖÖÑÓ×ÙÒØÓÙÑÓÓÐÒÓÕÙÒÓÖÑ×ÐØÑÐØÖÓ¸
½ÈÖÙÒØÓÑÓÚÓÖ×ØÔÖÓÖÑ 4ÒÔÒÒØÑÒØÓÚÐÓÖbÔÓÖÕÙÒÓÚÐØÖÒØÖÓÖº
n,bÓÒbÓÓÓÐÒÓºÎÑÓ×ÙÒØÖÐÙÒ×ØÓ× ÒØÓ×ØÖÑÓ×ÐÙÐÒÓS •ËÑÓ×ÕÙS 1,b
=
1 = 4
S 2 = 15
S 3 = 57
S 4 = 216
{
4, n = 1
S n =
4 ∗ S n−1 , n > 1
1

•ËÑÓ×ÕÙ×b=TrueÒÓÔÓÑÓ×ÓÒÖÙÑÔÓÖÕÙÐØÑÐØÖÓÒ Ó×ØÑÓ×ÓÙØÖ×ØÖ×ÓÔ×ÐØÖ׺ÒØÓ¸ÔÖ×ÑÓ×ÙÑÖÖÔÖ ÓÑ
FalseÔÓÑÓ×ÓÒÖÕÙÐÕÙÖÐØÖ×ÑÑÓÖÖº
•ÈÖÙÒØÒØ××
•ËÑÓ×ÕÙ×b =
ÌÒØÒÓÙÒØÖ×Ô׸ÔÓÑÓ×ØÒØÖÐÓ××Ñ
n,FalseÓÙÓÕÙÈÒ×Ö×ÔØÓº
n,b×ÑÓ× ÚÑÓ×ÐÙÐÖS ÁÒÐÞÑÒØ ÐÓÖÖÓÓÑ×ØÑÒÖÔÒ×Ö¸ÔÓ×ÓØÒØÖÑÓ×ÐÙÐÖÓÕÙ
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12ÚÖ×ÖÓÒÑÖÓ×Ò×Ù×ÐØÖ×ÕÙÒÓÔÖÑÖÐØÖÓº××
16ÕÙÒÓ ×ÑÓ×ÕÙ ÓÒØÓÑÔÒ×¾ÐØÖ×ØÑÓ×S
ÔÓÒÖÓѸÓÙ¸ÔÓ××Ù¹×ÓÙØÖÐØÖÕÙÐÕÙÖ¸ÓÕÙ
2,True = 12S 2,False =
S 2,True
16×ÓÖÓÑ×ÑÓÔÖÓÐѸÔÓ××ÔÖÑÖ×ÒÒÓÒÓÑ× 3ºÇ
=
ÑÔÓ××ÚиÒØÓÔÒ׿×Ò××ÓÔÓ××Ú×´¸µºÇÖØÓ×ÖS 2,True¸ÖÖÚÖÖ ½¾×Ò×ÒÓØÓØк
=
×ÑÔÓÙÓÒØÙØÚ׺ÈÓÖÜÑÔÐÓ¸ÔÓÑÓ×ØÖÙÑ×ØÙÓÕÙÒÓÖÑÕÙÒØ××Ò× ÕÙÖÑÓ×ØÖÑÒÑÒ×××Ó¸ØÐÚÞÓ××ÑÐÓÖ×ÔÖÖÑÙ××ØÙ׸Ñ×ÑÓÕÙ
Ö×ÙÐØÓS 2,TrueÒ×ÓÒºÈÓÑÓ×ÔÖÓÙÖÖÙÑÒÓÚÖÖÔÖ×Ø×ØÙÓ¸Ñ×
2,False
1º×Ù×ÖÖ×
=
ÈÖÕÙÖÖÓÖÖØÔÖS 2,FalseÚÖ×ÖÖÖÙ×ÔÖS 3ºËØÒØÖÑÓ×××Ó¸ØÖÑÓ×
1ÓÙØÖÒÓÖÑÒÓÕÙÒØ××Ò×ÙÑÐØÖ
ÔÖS Ü×ØÙÑÐØÖÒØÚÑ×ÒØÖ××ÒØÒÐ×ÖÓ×ÓÚÓÑÕÙn =
ÙÑÐØÖØÖÑÒÑÓÑS 1,True =
ÒÓØÖÑÒÑÓÑS 1,False =
ÒÓ ÞÒÓ××ÓØÖÑÓ×ÙÑ×ÔÖÓÓÑÔÐØÒØÖÓ× ÐÓÒÚÒÖ¹×ÕÙÓÖÓÒÓ×Ø ÖØÓºÙÐÕÙ×ØÑÓ×ØÒØÒÓ
12ºÁÒÐÞÑÒØÙÓÓÙÓÒÙ× ÐÙÐÓ×ÓÖÓÓÑÓÚÐÓÖÓ
ÓÖØÙÓ××ÓÔÖÜÓÓØÔØØÒØÖÓÙØÖÐØÖÒØÚÖÒØÖÕÙÓÔÖ ËÓÑÓÓÖ¸ÓÙÑÓÓÐÒÓÜÓÙ×ØÙÓÑ×ÓÑÔкÌÐÚÞ×ÓÖ ÕÙÐÓÐØÑÐØÖÓÐÓÒ×ÒØÑÒÓn−1××ÓÒÓØÓ×ÑÔÐ×ÓÒ×ÙÖº
1¸Ñ×ÓÑ×ÑÓØÑÔÓÔÖ×ÑÓ×ÒÓÖÑÓ ÓÓÐÒÓ¸ÒÐÑÒØØÖÑÓ×S ÒÙÒ×ÓØÓÕÙÒÓ×ÓÒÓÙØÖÐØÖº
2,True = 3S 2,False =
××ÐØÖÒØÚÑÑ××ÑÔÐ××ÒÚÓÐÚÖºÁÑÒÙÑ×ÒÚ ÐÕÙØÑ
ÖÙÞÖÓÔÖÓÐÑnÐØÖ×ÔÖn −
½ºËÓÒÖÑÓ׸ÓÙØÖÑÓ×ÙÑÒÓÚ×ÒØÑÒÓn×ÑÔÖÓÐÑ׺
1ÐØÖ×ÔÒ×Ò×Ù××ØÙ×
n −
ÐÙÐÖS n,True¸ÓÙS
S n,b = 3 ∗ S n−1,b
S n,b = 4 ∗ S n−1,b
⎧
⎪⎨ 4, n = 1
S n,b = 3 ∗ S n−1,b , n > 1, b = True
⎪⎩
4 ∗ S n−1,b , n > 1, b = False
⎧
1, n = 1, b = True
⎪⎨ 3, n = 1, b = False
S n,b =
3 ∗ S n−1,b , n > 1, b = True
⎪⎩
4 ∗ S n−1,b , n > 1, b = False

¾ºËÓÒÖÑÓ׸ÔÖ×ÑÓ××ÖÕÙ×ÒÒØÒÓØÖÑÒÚÓѸ××Ó ÕÙÓÙÑÒÓÖÙÑÓѸÙÑØÓÓÐÓÖÙÑÐØÖÜØÖÒØ× Ó¸ÕÙÓÔÖÓØÒÓÜÕÙÐÒÓ×ØÒÓÕÙÚÒØ׺ËÕÙÒ×Ø×Ó ÓÔÖÓÐÑÓÖÑÒØÖÓÖ¸ÕÙÓÖÔÖ×ÑÓ×ÚØÖºÓÑÓÔÓÑÓ×ÖÒØÖ 1¸ÒÓ
ÙÖÜÓÐÙ×ØÖ××ØÙ×ÔÓ××Ú× ØÑÒÓnÓÑÓ× ÚÑÓ׺Á××ÓÔÓ×ÖÖ×ÓÐÚÓ×ÓÑÖÑÓ×ÓÑÙÑ×Ò
1º ×ØÑÓ×ÓÒÒÓÙ×ÐØÖ׸ÒÓÒÐØÑÓ×ÙÑ×ÒØÑÒÓn +
ØÑÒÓn − 2ÒÓn ÈÒ×ÒÓ××ÑÔÖÑÓ×ÕÙÜ×ØÑ××ÓÖÑ×ÖÖÙÑ×ÒÓÑØÑÒÓn
Ò¹½ ÓÙÓÙ Ò¹¾ ÓÙÓÙ
½ºÖØÞÕÙÒÒÙÑ×ÒÔÓ××ÚÐÓ×ÕÙ¸ÓÕÙÔÖÓÙÞÖÙÑÖ×ÙÐØÓ
2ºÓÖÔÖ×ÑÓ×ØÖÙ×ÖØÞ×
1ÓÙÓÐÓÖÙ×ÐØÖ×
¾ºÖØÞÕÙÒÒÙÑ×ÒÓÓÒØÐÞÙ×ÚÞ׸ÓÕÙÖÙÑÖ×ÙÐØÓ ÑÒÓÖÓÕÙÓÚÖÖÓº
ÓÐÓÖÙÑØÖ×ÐØÖ×´¸¸µÑÙÑ×ÒØÑÒÓn −
ÑÓÖº
´¸ÓÙµÑÙÑ×ÒØÑÒÓn −
ÑÒÓÖ×ÕÙÖÑÖÒØ׸ÔÓÑÓ×ØÖÖØÞÕÙÒÓ ÌÑÓ××Ø×ÖØÞ×ÔÓÖÕÙÒÓÚ×ÒØÑÒÓnØÑØÓ××ÐØÖ×Ò×ÔÓ××Ú× ÒÓ×ÓÒÚÒÖÕÙ×ÓÒÑÖÓÒÐÖÙÖ×Ó×Ø ¸¸¸ÔÓÖØÒØÓÒÒÙÑÓ×ÕÙºÓÑÓØÓÓ×Ó×Ò××ÓÓÐÓÓ×Ñ×Ò× ×ØÖÓÖØÓ׺ÒÓÚÖÙÖ×ÓÔÓÖ ÖÔØ׺ÒØÓÔÓÑÓ×
4µÓ×ÒÑÖÓ××ÙÒØ×
ÐÔÖÑÓÒÚÒÒØØÔÖÖÑÓ×ÕÙÒÔÓ×ÖÐÙÐÓÓØÒØÖÐÙÐÖ
ÓÖÖØÓ´S 1 =
ÒÖÙÖ×ÓÙ×ÓÖÑ××ÑÔÐ×ÓÒÖÓÒ×ÜØÖ××ØÓÜÓ
0¸ÕÙÒÓØÑÓ׺×Ø ÐØÒÓÑ×ÙÑÓÒÓÒÐ
S 2ÔÓÖÜÑÔÐÓÖÙÖ×ÓÔS Æ×Ø×Ó¸ÓÒÑÓ×Ó×Ón=2ÕÙ ØÖÔÖ×ÖÚ ÓÕÙ¾º ×ÑÓ׺ÖÖÖÐØÑÑÓй ÐÔÖÚÐÓÖ×ÑÓÖ× ÈÓÖÕÙÑÙØ×ÚÞ×ÙÑ×Ó×ÑÔÐ× ÓØÖºÈÒ×ÙÑÔÓÙÓÒØÒÔÓÖÕÙ
0½º 0ºÈÓÖÕÙ ÕÙÓÒÑÓ×Ó×Ón =
ÓÚÐÓÖÓÔÖn =
−
1S
⎧
⎪⎨ 4, n = 1
S n = 15, n = 2
⎪⎩
3 ∗ S n−1 + 3 ∗ S n−2 , n > 2
{
4, n = 1
S n =
3 ∗ S n−1 + 3 ∗ S n−2 , n > 1
⎧
⎪⎨ 1, n = 0
S n = 4, n = 1
⎪⎩
3 ∗ S n−1 + 3 ∗ S n−2 , n > 1

×Ñ ÉÙÐÕÙÖÙÑ×Ù×ÖÙÖ××ÔÓ×Ö
Ò×´Òµß ÔÖÓÖÑÐÑÒظÔÓÖÜÑÔÐÓ×¹ ½½ ÓÖ´¼½¾··µ×´µ
ÐÈÓÑÓ×ÐÙÐÖÚÐÓÖ׸ÓÑÓÞÑÓ×Ó
´Ò¼µÖØÙÖÒ½ ´Ò½µÖØÙÖÒ ÖØÙÖÒ¿×´Ò¹½µ·¿×´Ò¹¾µ ¾½ ½ ¿½¼
¾¾½½¾½º
12ÕÙ× ÚÑÓ× ½½¾ ¿½ ½¾¼ ½¾¼ ¾¿¾½ ¾¾½½¾½
ÁÑÒÕÙÜ×ØÙÑ×nÖÙ×ÚÓÔÓ×ÙÖ×Ø×ÖÙ×ÙÑÑÙѸ ×
ÐÓºÇÚÐÓÖS ÈÖÖÙÑÒÓÑÓÕÙ×ØÑÓ×ÔÖÓÙÖÒÓ¸ÚÑÓ×ÑÖÓÒÑÖÓÑÒÖ××ÙÖ ÔÓÑÓ××ÙÖ×ÈÓÖÜÑÔÐÓ¸ÙÑ׿ÖÙ×ÔÓ×Ö×ÙÚ ÑÒÖ×½·½·½ÖÙ׸½·¾ÖÙ׸¾·½ÓÙ¿ÖÙ׸ÓÑÔÐØÒÓÑÒÖ×ÒÓØÓØк Ó×ÑÓ×ÓÙØÖ×ÑØÖ׺ÔÖÙÒØÕÙÕÙÖÑÓ×Ö×ÔÓÒÖ×ÑÔÐ×ÕÙÒØ×ÓÖÑ×
n Ö×
ÖÙ׺ 1¸ÔÓ×× nÖÙ×M nºÇÕÙ×ÑÓ××ÓÖÓ×ÒÑÖÓ×ÖÔÖ×ÒØÓ×ÔÓÖM 2¸ÔÓ× Ù×ÓÖÑ××ÙÖÙÑ×¾ÖÙ×½·½¾ ÙÑÓÖÑ×ÙÖÙÑ×½ÖÙº
Æ×ØÑÓÑÒØÓÓÑÑÓ×ÖØÖÕÙÓ×ÒÑÖÓ×½¸¾ÒÓ×ÓÓÒÒºÌÐÚÞ
•Â
•ËÑÓ×ÕÙM 1
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=
•ËÑÓ×ÕÙM 2 =
ÚÞÒÓ××ÒÓÙÖØÓºÅ×ÑÓ××ѸÔÓÑÓ×ÙÖÖ××ÓÐÓ×Ó× 7Ñ ×ÑÓ×ÕÙM 3 =
ÙÑÐØÑÓÔ××Óº×ØÔ××ÓÔÓ×Ö½¸¾ÓÙ¿ÖÙ׸××ÓÖÙÞÓØÑÒÓ× ÔÖÔÖÓÐÑ×ØÑÒÓ×ÑÒÓÖ׺ ÍÑÒ×ÔÖÓ×ÙÖÕÙÒÓÔÖÑÓ×ÕÙ×ÙÖÙÑ×nÖÙ×ØÑ×ÑÔÖ
×ÚÖÕÙM n = 2 n−1ºÁÒÐÞÑÒØÙÑÔÓÙÓÜÔÐÓÖÓÓÒÖÑÕÙM =
ØÖÑÒÖ×ÙÖÓ×nÖÙ׸ØÓ×ÔÓ×ÖÓÒØÐÞ׺Á×ØÓ×ÙÖÖÓÖÖÒ
−3Ö×ÔØÚÑÒغÙÑ×Ø×ÓÖÑ×ÙÑÓÖÑÚ Ð
Ò×ØÒØÖÔÒ×ÖÑÙÑÖÖÖÐÙÓÓØÚÓÖÙÞÖÙÑÔÖÓÐÑØÑÒÓn
ÒØÖÓÖÔÖn −1¸n −2n ÈÓÑÓ×ÔÖÓÖÑÖÐÑÒØÓØÖÚÐÓÖ× ÈÖÕÙÐ ×Ø ÓÑ¿×Ó×Ò×ÔÓÖÕÙÖÖÖÐÔÖ×ÖÙÖØÖ×ØÖÑÓ׺
4
⎧
1, n = 1
⎪⎨ 2, n = 2
M n =
4, n = 3
⎪⎩
M n−1 + M n−2 + M n−3 , n > 3

ÒÑ´Òµß ´Ò½µÖØÙÖÒ½ ´Ò¾µÖØÙÖÒ¾ ´Ò¿µÖØÙÖÒ Ü×ØÙÑ×ÑÔÐÓÕÙÔÓ×ÖØÒ
½¾½¿
ÐÓÖ´½½¾··µÑ´µ ÖØÙÖÒÑ´Ò¹½µ·Ñ´Ò¹¾µ·Ñ´Ò¹¿µÐÓÖÚÖ×ÒÓÞÖÓÓÙÒØÚÓºÆ×Ø×
ÖÓÖÖÒѺÐ××ÑÔÒ×Ö×¹
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3¸ÒØÓ×ØÚ¹
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⎧
⎪⎨ 0, n < 0
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⎪⎩
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M
⎧
1, n = 1
⎪⎨ 2, n = 2
M n,k =
3, n = 3, k = 0
⎪⎩
4, n = 3, k > 0
0,
⎧
⎪⎨
M n,k =
⎪⎩
1, n = 1
2, n = 2
3, n = 3, k = 0
4, n = 3, k > 0
M n−1,k + M n−2,k n > 3, k = 0
M n−1,k + M n−2,k + M n−3,k−1 n > 3, k > 0
⎧
0, n < 0 ou k < 0
⎪⎨ 1, n = 0
M n,k =
M n−1,k + M n−2,k , n > 0, k = 0
⎪⎩
M n−1,k + M n−2,k + M n−3,k−1 , n > 0, k > 0
⎧
⎪⎨
n,k =
⎪⎩
0, n < 0 ou k < 0
1, n = 0
M n−1,k + M n−2,k + M n−3,k−1 , n > 0

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⎧
⎪⎨ 0, n < 0 ou k < 0
P(n, k) = 1, n = 0 e k = 0
⎪⎩
P(n − 1, k − 1) ∗ T −n+1 + P(n, k − 1) ∗ n T
T
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
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A n−1 + J n−1 , n > 1
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½ºÓÑÔÖ×ÖÓÖÖÒ×´¾µ´¿µÑ¸ÒÓÕÙÐ×Ù×Ñ×Òغ
x ⌊n/2⌋ ∗ x ⌈n/2⌉ , n > 1
ÐÙÒ×Ø×Ø×ÚÖÕÙ×Ó×Ö×ÙÐØÓ××ÓÖÒØ××ÓÙÒÓÒÑÒØÓÖÒغ
Æ×ØÒÓÚÖÓÖÖÒ¸⌈ ⌉⌊ ÜÑÔÐÓ½ ÈÖÔÖÖÓÑÓÖÓÖÖÒ×ÔÓÑ×ÙÖÖÑÔÐ×ÔÖ ØÖnÐÒ×ÓÖØÒÓÑÙÑÔÐÒÓ¸ÓÑÓÒÙÖÜÓ Ø׸ÓÒ×ÖÕÙÚÓÔÓ
x
{
1, n = 0
x ∗ x n−1 , n > 0
⎧
⎪⎨ 1, n = 0
x n = x, n = 1
⎪⎩
ÖØ׺ÚÒØÑÒظÔÐÓ×ÒÓ¸ØÑÓ×ÒØÓ Æ×Ø×Ó¸ÔÓÑÓ×ÑÖL nÓÑÓÖÒÑÖÓÔÓ××ÚÐÖ×Ò×ÔÐ×n
L 0 = 1
Zero retas Uma reta Duas retas Tres retas
L 1 = 2
L 2
½
= 4
L 3 = 7.

Ñ ØÑÓ×ÕÙ 1ÔÓÒØÓ׸ÓÑ××Ó×ÓÒ×nÒÓÚ× Ö׺ÔÖØÖ×ØÖÓÒÓ
n×ÓÑÔÓÖØÔÖÙÑ
1ÖØ×ÒØÖÓÖ×ÒÓ ÔÓ××ØÓÒÑÒØÓÒÐÔÓÑÓ×ÞÖÔÖÙÒØÓÑÓL nÕÙÐÕÙÖÈÓÑÓ×ÔÖÖÕÙÙÑÒÓÚÖØ´ÖØnµÓÖØ×n ÁÒÐÞÑÒØ×ØÖÓÖÖÒ×Ø
−
ÜÑÓÑn −
ØÖÑÒºÈÖÕÙ×ØÖÓÖÖÒ×ØÓÑÔÐظÒÓÒØÒØÓ¸×ØÓÒÖÙÑØÖÑÓ ÓÒÓ n−1¸ÕÙÔÖ×Ö n−2××Ñ×Ù××ÚÑÒØ×ÑÕÙ×ØÖÙÖ×Ó×
nÔÖØÖÐÔÖ¹
´µ
ÒÓÑÔÐظÔÓ××ØÒØÖÑÓ×ÐÙÐÖL ×ÖÑÓ×L L ÈÖÙÒØ×
7¸ÔÓÖÜÑÔÐÓ¸
L
½ºÆÖÓÖÖÒ´µÓÔÖ×ÓÓÒÖÙÑØÖÑÓÔÖÞÖÖÙÖ×ÓÔÖÖºÈÓÑ
ÓÑ×ØÒÓÚÒÓÖÑÓ×ÖÚÒÓÓÒÓÔÖ¸ÔÓÑÓ×ÐÙÐÖL ÚÖ×Ó×ÑÕÙ×Ò××
ÐÙÐÒÓÔÖ×ØÓL 6¸L nÓÒÑÖÓÑ ÖÓÓÒÖÑ×ØÖÑÓ×ÙÑÜÑÔÐÓº ÜÑÓÖ××Ò×ÔÐ×nÖØ׺
nÓÒÑÖÓÑ ÜÑÓÖ×ÖØ×¹
ÜÑÔÐÓ¾
¾ºÁÑÒÓÖÙ×ÒÓÚ×ÕÙÒØ×A nºÔÖØÖ×ØÓ×ÒÚÓÐÚÓ×ÚÐÓÖ×Ò××
ÇÙØÖÓÜÑÔÐÓÔÓ×ÖÓÒÑÖÓØÖ×ÑÙÑÑÒغÑÖиÑÙØÓ×ÑÖÓÓÖ¹
Ò×ÔÐ×nÖØ׸F Ò×ÑÓ××ÖÔÖÓÙÞÑÙÑØÜÓÒ×ØÒØ´ÔÓÖÜÑÔÐÓ¸ÙÔÐѾÑÒÙØÓ×ÓÙ
ÒØÓÚÒØÕÙL n = A n + F
ÖÑÙÐ×ÖÓÖÖÒÔÖA ÈÖ×Ø×ÓÑÓÐÑ×ØÒØ×ÑÔÐ׸ØÑÓ× ÓÖ¸ÒÕÙÒØÓ×ÓÒ×ÓÑÒØÓÖÑ×µºÈÓÑÓ××ÙÔÓÖÕÙØÑÓ×ÙÑ ÔÓÔÙÐÓØÖ×ÕÙÓÖÓÖ¸ÔÖØÖÙÑÔÓÔÙÐÓÒÐxºÆ×Ø×Ó¸
nF nº
ÈÖ×ØÙÒØ×ÒÓÖÑ
ÔÓÑÓ××ØÖÒØÖ××Ó×Ñ×ÖÕÙÒØ×ØÖÑÓ×ÒÓÖn¸ÑÒÓ×ØÒÑÖÓB Ô×××Ö ÆÓÒØÒØÓ¸×ÕÙ×ÖÑÓ×ÞÖÙÑÑÓÐÓÑ×ÓÑÔÐÓ¸ÙÑ×ÓÐÙÓÖØÑÑ× Ð×ÙÔÓÒÕÙÓÖÓÐÓÑÓ×ÓÙØÖ×yØÖ×ÒÓÑÒظÔÓÖØÒØÓÓÑÓÐÓ ØÒÓÚ×ÖÐØÖÑÒÖ×ÓÐÙÓÖÓÖÖÒѺ
ÖÓÖÖÒØÖÚ×ÙÑÓ×ÑØÓÓ×ÕÙÑÓ×ØÖÖÑÓ×ÜÓºÈÓÖѸ×ÓÖÑÓ×Ñ×ÐÓÒ ØÒØÖÑÓ×ÒÐÙÖÒÓÑÓÐÓÓØÓÕÙ×ØÖ×ÚÚÑÔÒ×ÓÖ׸ØÖÑÓ×ÙÑ ÓÑÓÕÙÚÓ ××ÓÑØÖÓ×´ÙÑÔÓÙÓÔÒµÒÔÓ××ÚÐÖ×ÓÐÚÖ×Ø
B
×ØÙÓÑ×ÓÑÔÐB n
½
=
L n = L n−1 + n
n =
0º
5¸L 4¸L 3¸L 2¸L 1L
{
1, n = 0
L n−1 + n, n > 0
{
x, n = 1
B n =
2B n−1 , n > 1 .
n =
{
x, n = 1
2B n−1 + y, n > 1 .
{
x, n = 1
2B n−1 + y − B n−4 , n > 1 .

ÖÓÖÖÒÑÔÖ×ÖÒ×ØÒØ×ÑÔÐ׸ÔÓ×ÔÒ×ÖØÖÓÑÒØ× ØÖ×ÕÙÜ×ØÑÐÙÑØÑÔÓØÖ ×ºÁÒÐÞÑÒØÖÓÖÖÒ×Ø 2¸ÔÓÖÜÑÔÐÓ´ÔÓÖÕÙÉÙ×ÚÐÓÖ×ÐÑ×× ÖÖ¸ÔÓ×ÒÓ
ÈÖÙÒØ× ÔÐÓÑÒÓ×Ù×ÑÒÖ׺ÉÙ××Óµº ÒÓÔÓÑ×ÖÓØÓ×µºÆ×Ø×Ó¸ØÑÓ×ØÖÑÒÖ×ÓÒØÓÖÒÖÓÔÖÓÐÑ´Ü×ØÑ ×ÖÑÓ×ÔÞ×ÐÙÐÖÓÚÐÓÖB ½ºÇÑÓÐÓÔÖÓÖ×ÑÒØÓ×ØÖ×ÔÖÚÕÙÐ×ÓÖÑÒÑÖÓÓÖº ¾ºÇÑÓÐÓØÑÑÔÖÚÕÙ×ØÖ×ÚÚÑ×ÑÔÖÓÖ׺ÇÕÙÓÒØ× ÇÕÙÓÒØ×ØÜÙÑÒØÓÒÓÓÖÓÓÖÓ×ÔÒ×ÖÑÓ×ÕÙÐ×ØÖÔÐÑ
×Ù×ÔØ×××ÓÖÒØ׸ÜÔÐÕÙ×ÖÒ׺ ÙÑÓÖÔÖ×ÙÒØÐØÖÓÑÓÐÓÔÖÖÔÖ×ÒØÖ×Ø×ØÙÓºÆÓØÕÙ Ù×ÖÑÓ×ÙÑÓÖÑÖÒØ××ÙÑÖÑÓ×ÕÙ±×ØÖ×ÓÒØÒÙÑÚÚ×
Ê×ÓÐÚÒÓÖÓÖÖÒ× ××ÙÑÕÙÚÓØÒÖÓÖÓÖÖÒÜÓ
ÓÐØÖÒÓÖÑ××ÓÖÓÓÑÔÓÖØÑÒØÓÖÓÖÖÒ¸ÓÑÓÒØÐ×ÙÖ ÐÙÐÖ×Ó××Ù××ÚÓ×ÓÑÓÔÖÖÓÖÖÒ´µºÖÐÑÒظÔÖÑÖÓ×ÞÖ ÔÖØÖÓÖÓÔÖÓÐÑØÒØÖÖ×ÓÐÚ¹ÐØÖÚ×ÙÑÖÑÙиÚØÒÓØÖ
P(n)¿½¼¾½½½¿¼½¾¿¼¾ ¼½¾¿ ×ÓÑÔÑÓ×ÚÐÓÖ׸ÔÓÑÓ×ÐØÖÖÐÙÒ×ØÖÑÓ×ÒÖÓÖÖÒØÖÒ×ÓÖÑ ÖÓÖÖÒÐÖ ÓÑÓÓÖÑÓÒ×ØÖÙÓ×ÔÖØÖÖÓÖÖÒÒкÈÖØÒØÖÓÖÑÖÙÑÕÙÖÓÓÑÓ Ç×ÚÐÓÖ×ÔÖÑÖ×ÖÒÓÚÓÚÐÓÖn¸Ñ×ÒÓÓÖÑÑÙÑÑÑÐÖ ¹ÐÑÙÑ
×ÒÚÓÐÚÒÓÑ×ÑØÐÔÖ×ØÒÓÚÖÓÖÖÒ¸ØÑÓ×Ó×ÚÐÓÖ×ÓÑÔÓ×ØÓ×
P(n)
n
P(n) =
{
3, n = 0
2 ∗ P(n − 1) + n − 2, n > 0
´µ
´µ
{
¼
a, n = 0
=
2 ∗ P(n − 1) + n + b, n > 0
n P(n) n P(n)
a 32a +31b +57
½2a +b +164a +63b +120
ÓÒÓÖÑÙÐÒ×ÐÖÓÒÖºÔÖØÖ×Ø×Ó× ÔÖØÖ×Ø×ÚÐÓÖ×Ñ× ÐÖÓÒÖÓ×ÓÒØ×ab¸ÑÓÖÓÒÑÖÓ
¾4a +3b +4128a +127b +247
ÔÓÑÓ×
¿8a +7b +11256a +255b +502
16a +15b +26512a +511b +1013
½ ´µ
ÒÓ××ÒØÖÓÒÒØ×ÕÙP(n)ÓÖÑÙÐÖÐ
P(n) = 2 n a + (2 n − 1)b + C(n),

ÓÒC(n)ÙÑÓÒ×ØÒØÒ×ÖØÖÑÒº´ÆÓÓÔÖÓÚÓÕÙ×ØÖÑÙй ÖÐ×Ø ÒØÑÓ××ÓÖÖÓÚÐÓÖC(n)¸ÕÙ×ÓÒÓºÐÞÑÒØÒÓÐÖÓ¹ ÓÖÖظÔÒ××ØÑÓ×ÖÞÓÚÐÑÒØÓÒÚÒÓ×Ô×ÜÑÒÖÓÖÑP(n)µº
Ö×ÓÐÙÓÒÓ××ÖÓÖÖÒÓÖÒиÒ×ÖÑÓ××Ù×ÚÐÓÖ×ÒØÓ×ab´ÓÙ׸ ×ÓÐÙÓÖÓÖÖÒ´µ¸ÓÙ׸ÒÔÒÒØÑÒØÓ×ÚÐÓÖ×ÕÙabÔÓ××ÑØÖºÈÖ
n+1¸ÓÑÙÑÚÐÓÖÔÒ×ÙÑÔÓÙÓÑÒÓÖº
2ºÓÑ×ØÖ×ÙÐØÓØÑÓ× ÒÖÕÙC(n)Ö×ÓÖÑ×ÑÐÒØ2 ÔÓ×ÐÙÑØÒØØÚÖÖÓ¸ÓØÑÓ×C(n) = 2 n+1 − n −
ÈÖÙÒØ ´µ ´µ ¿¾Ö×ÔØÚÑÒصP(n)
½ºØ×ØÑÓÑÒØÓÒÓÔÖÓÚÑÓ×ÕÙ×ÓÐÙÓÒÓÒØÖÑ´µÑ×ÑÓ×ÓÐÙÓ¸ ÔÒ×ÐÔÖÓÒÚÒÒغÓÑÓÔÓÑÓ×ÞÖÔÖÔÖÓÚÖÕÙØÑÓ×Ñ×ÑÓ
=
×ÓÐÙÓÓѸ×ØÑÓ××ÓÐÙÓÚÑÓ×ÔÓÖÒÜ
= 3 ∗ 2 n − n
ÓÙ׸Ѵµ¸ÐÚÙÒÓÒÖºÈÒ×ÑÓÑÓÞÖ×ØÓ×ÙÖÕÙÑÙØÓ ×ÑÔÐ׸ÑÑ×ÓÕÙÒÓÒØÖÖÖ×ÔÓ×غ ¹ÐÚÓÐØÒÓÔÖÓÐÑÓÖÒи
ËÒÓÑ××ÔÖØÓ
Ö×ÓÐÚÖÑ×ÑÖÓÖÖÒÓÑÓÑØÓÓØÖÓº ÖÓÖÖÒÔÓÖÖ×ÓÐڹкÌÒØÒÓ×ÖÑ×ÑØÓ×Ò×ÓÐÙÓÚÑÓ×ÜÔÖÑÒØÖ ÚÒØÑÒظÒÓ× ×ØÑØÓÓ×¹×ÑÚÐÖ×Ù××ÚÑÒØÖÓÖÖÒÔÖÐÙÒ×ÚÐÓÖ×n ÚÐÔÒÖÒØÙÓ×ÓÖØÔÖÖÓÒÖÓ×ØÖÑÓ×ÙÑ
ÖØÑظØÑÓ× ÕÙÙÑÔÓÙÓÑ×ØÖÐÓ׺ÊÞÒÓ×ÚÐ×P(n)×ÑÖÐÞÖÒÒÙÑÓÔÖÓ ÖÓÒÖÓÔÖÓÔÖÓÒظÑ×ÓÖÑÑ×ÑØ×ÔÐÒ¸Ñ×ÑÓ
P(0) = a
3 ∗ 2 n − 2 ∗ (2 n − 1) + 2 n+1 − n − 2
P(1) = 2a + b + 1
P(2) = 2 ∗ (2a + b + 1) + b + 2
= 4a + b + 2b + 2 ∗ 1 + 2
P(3) = 2 ∗ (4a + b + 2b + 2 ∗ 1 + 2) + b + 3
= 8a + b + 2b + 4b + 2 ∗ 2 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 3
×ÓÙÑÔÓÙÓÑ××ÒØÖ¸ÔÓÖÑÐÓÓ× ÒÓÚÚÐÓÓÓÒØÑÙÐØÔÐÓÔÓÖÓ׺ÇÓÒØbÓØÖÑÓÒÔÒÒØ
n¸ÔÓ×
P(4) = 2 ∗ (8a + b + 2b + 4b + 2 ∗ 2 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 3) + b + 4
= 16a + b + 2b + 4b + 8b + 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 1 + 2 ∗ 2 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 4
= 16a + b ∗ (1 + 2 + 4 + 8) + 2 3 ∗ 1 + 2 2 ∗ 2 + 2 1 ∗ 3 + 2 0 ∗ 4
ÔÖØÖ×Ø×ÔÖÑÖ×ÚÐ×ÐÖÓÕÙÓÓÒØaØÑ×Ö2 Ê×ÓÐÚÒÓÓ××ÓÑØÖÓ×ØÖÚ×ÓÑØÓÓÔÖØÙÖÓ¸ØÑÓ×ÐÑÒØÓÖÑÖÐ
P(n) = 2 n n−1 ∑
a + b 2 i n−1 ∑
ÐÖÓ¸ØÑÓ×Ñ×ÖØÞØÖÓØÓÖ×ÔÓ×ØÓÖÖØ×ÑÖÓÖÖÖÚÒÓº ÜØÑÒØÑ×ÑÖ×ÔÓ×ØÓØÒØÖÓÖÑÒغ×ØÚÞ¸Ô×ÖÓÑÓÖØÖÐÓ
+ 2 i (n − i).
i=0 i=0
½
P(n) = 2 n a + (2 n − 1)b + 2 n−1 − n − 2,

ÈÖÙÒØ× ¾ºÍ×ÓÑØÓÓÑÔÖÓØÖÙÑ×ÓÐÙÓÔÖÖÓÖÖÒ´µºÎÖÕÙ××ØÚÐÓÖ ½ºÎÖÕÙÓÑÓÙÑ×ÓÑØÖÓÔÓ×ÑÔÖ×ÖØÖÒ×ÓÖÑÓÑÙÑÖÓÖÖÒº
¿ºÍ×ÓÑ×ÑÓÑØÓÓÑÔÖÓØÖÙÑ×ÓÐÙÓÔÖÖÓÖÖÒ´µºÑ×Ù ÓÑ×ÑÓÓØÓÑ´µº
ÍÑÑØÓÓÑ×ÔÓÖÓ×Ó
nÔÖÙÒؾº
×ØÒØ×ÒØÖºÓÑÓÒÙ×ÓÒиÓÑØÓÓÖ×ÓÐÚÑÙØÓÑ×ÖÓÖÖÒ× ÙÐØÖÜÔÒÖÓ×ØÖÑÓ×ÖÓÖÖÒÔÖÔÖÓÙÖÖÔÖ×ÕÙÔÓÑ×Ö ÇÔÖÜÑÓÑØÓÓÖ×ÓÐÙÓÖÓÖÖÒ×Ñ××Ó×ØÓÑ×ØÖÐÓ×Ó¸Ñ×ÚØ
Ù×ÓÑ×ÑÓÑØÓÓÔÖÖ×ÓÐÚÖ×ÖÓÖÖÒ×ÔÖA
ÓÕÙÓ×ÒØÖÓÖ׸ÕÙÔÒÑÔÒ×ÔÖÔÓÓÙ×Ù ÑØÓÓ×¹×ÑÖÔÖØ××ÓÐÙÓØÖÚ×ÕÙ×ÕÙ×ÓÓØ×ÒØÖÓ ÖÓÖÖÒ¾ºÈÖÑÓÒ×ØÖÖÓÑÒ×ÑÓ¸ÚÑÓ×ÞÖÖ×ÓÐÙÓÖÓÖÖÒÜÓ¿
nF ÖÓº××ÒÐÑÒظ×ØÒÓÚÓ
ÚÐÒÓÓ×ÔÖÑÖÓ×ØÖÑÓ׸ØÑÓ×ØÐ×ÙÖ ´½¼µ
n½¾¿ ½¼ ½½ ½¾ ½
ÕÙÐÕÙÖÓ×ÒÓÚÓ×ØÖÑÓ׺×ØØÖÑÓÑÒÔÙÐÓÜÒÓ¹×ØÓÓ×Ó×ØÖÑÓ× ÔÖÑÖÓ×ÞÖØÖÐÖÓÑÓØÖÑÓÖÐÒÓ××ÖÓÖÖÒ¸ÓÙ׸ÓÑ
n¼¾½¿¿¾¼¼½¿½½½¾¿½¾¿¾½¼¾½½½
ÖÓÖÖÒÒÓÐÓ×ÕÙÖÓÓÙØÖÓ×ÓÑÔÓÒÒØ×ÒÓÐÓÖØÓ
R
×ØÕÙÓÑÕÙÓÔÖØÙÐÖÖÓÖÖÒºÈÖÓÑÖ×ÔÖÞÖ¹ ´½½µ ´½¾µ
ÓÑÓÒ¸ÓÙ׸ÓÑÓÐÓÖØÓÙÐÞÖÓ ÑÓ×ÓÑÔÐØÑÒØÓÐÓÖØÓÕÙÓѸÖÒÓÓÕÙÑÑÓ×ÕÙÓ
R n = 3R n−1 − R n−2 + n − 4
R n − 3R n−1 + R n−2
´½¿µ
= n − 4.
Ó×ÚÐÓÖ×aÓÙxÒ×ØÑÓÑÒØÓ¸ÚÑÓ×ÔÒ×ÔÒ×ÖÒÐ×ÓÑÓÒÑÖÓ××ÓÒÓ× ÆÓÑÓÑÒØÓ×ØÑÓ×ÒØÖ××Ó×ÑÖ×ÓÐÚÖ×ØÕÙÓºËÖÑÓ×ØÓØÐÑÒØÖØÖ ÖÓ×
ÚÐÓÖ×xÔÓÑÖ×ÓÐڹкÌÖÑÓ×
nÔÖÓÚÚÐÑÒØÖ×ÓÐÚÕÙÓºÆÓ×ØÑÓ×ÔÖÓÙÔÓ×ÓÑ
R n − 3R n−1
nÔÓÑÓ×Ö×ÖÚÖ´½¿µØÒØÖ×ÓÖÖÕÙ
+ R n−2 = 0.
ÖØÖÑÓ×ÕÙR n = ax
×ÙÖÑÖÒØÓÑ×ØÒÓÔÖR ÒØÖÔÖ×Ò×Ø×Óº ÔÓÖÓ×Ó¸Ñ×ÔÓÖ×ÖÑ×ÐÓ× ¾ØÓÖÕÙÜÔÐÓÑÓ×ØÑØÓÓÙÒÓÒÒÓ×Ö ¿×ØÖÓÖÖÒÑÑ×ÓÑÔÐÓÕÙ×ÒØÖÓÖ׸×ÖÚÖ ÐÙÐÓ×ØÑÑ×ÓÑ×ÓÑÔÐÓ׺ËÖÔÖØÑÒØÑÔÓ××ÚÐ ÜÔÐÒ×ØÔÓ×Øк ÔÖÑÓÒ×ØÖÖÓÑÓÓÑØÓÓ
¾¼
⎧
⎪⎨ 0, n = 1
R n = 2, n = 2
⎪⎩
3R n−1 − R n−2 + n − 4, n > 2.
R n − 3R n−1 + R n−2 = 0
ax n − 3ax n−1 + ax n−2 = 0
ax n−2 (x 2 − 3x + 1) = 0

Ü×ØÑ×ÙÑÑÒÖÖ×ÓÐÚÖÕÙÓÑÓÑa=0ÓÙx=0´ÐØÖÒØÚ× ÑÕÙÓÖØÖ×ØÖÓÖÖÒº×Ø×ÖÞ××Ó ×ÒØÖ××ÒØ×ÔÓÖÕÙÒÓÒÓ×ÐÚÑÑ×ÐÓÒµÓÙÓÑ×ÖÞ×x
Ö×ÔÓ×ظ×ÖÚÒÓ n¸ ØÑÓ×ÚÐÓÖ×ÔÖxÔÓÑÓ×ÑÐÓÖÖÒÓ××
2
´½µ ÓÑÓÚÑÓ×ÖØÓÕÙR n = ax
ÆÓع×ÕÙÔÓÖÕÙØÑÓ×Ó×ÚÐÓÖ×ÔÓ××Ú×ÔÖxÓÐÓÑÓ×Ó×Ó×ÒØÖÓÖ×ÔÓ×Ø ´½µ
R n = ax n )
ÔÖØÙÐÖ´½¾µºÕÙÓÔÖØÙÐÖØÑÙÑÔÕÙÒÓÔÓÐÒÑÓÒÓÐÓÖØÓ¸ÚÑÓ×´Ñ× ××ÙÑÑÚÐÓÖ×ÖÒØ׺ ÓÖÕÙÖ×ÓÐÚÑÓ×ÕÙÓÓÑÓÒ´½¿µÚÑÓ×ÒÓ×ÖÖ×ÓÐÙÓÕÙÓ
n
.
2¸ÔÖÑØÒÓÕÙÐ× ØÖÓÑÓ×ÓÒ×ØÒØaÙ×ÓÖÒÐÑÒØÔÓÖÙ×ÓÒ×ØÒØ×a ×Ù×ØØÙÒÓÑ´½¾µ 4×ØÔÓÐÒÑÓÒ×Ó×ÓÒÓ×ÒÓ××ØÖ×ÓÖ¹ÐÓ׸
1a 4º ÙÑÚÞµÖØÖÕÙÖ×ÔÓ×ØR nÙÑÔÓÐÒÑÓÑ×ÑÓÖÙ¸ÓÙ׸R n = a 3 n + a
Ç×ÓÒØ×a 3a R
×ØÙÑ×ØÔ×Ñ×Ð××ØÑØÓÓÔÖÕÙ×ÓÐÙÓ×ÒÔÒÒØ
n,ÚÑÓ×ØÖÓÒØÑÙÐÞÖÓºÇÙ׸ÔÖ×ÑÓ×ÖÒØÖÕÙ
3ºÍ×ÒÓ×Ø×ÚÐÓÖ×ÑÒÓ×××ÙÔÓ×Ó
×ÓÖÖ×ÓÐÙÓÒÐÖÓÖÖÒºÁ×ØÓØÓ×ÓÑÒÓ¹××Ù×Ö×ÔÓ×Ø×ÓØ׸´½µ
4¸ØÑÓ×
´½µ ÔÓ×Ö×ÓÐÚÖ×ÕÙ×ÓÑÓÒÔÖØÙÐÖÚÑÓ×ÓÑÒÖÓ×Ö×ÙÐØÓ×ÔÖ ´½µ ÓÑ×ØÓ¸ØÑÓ×ÑØÑÒØÕÙa 3 = −1a 4 =
ÕÙR n = a 3 n + a
´½µ
ÓÖÑÙ××ÔÖÒººº ×ÑÔÐ×ØÖÑÒ ¹Ð×Ù×ÒÓ×ÓÒ×Ò×ÒÓ××ÖÓÖÖÒºÒиÐ×ÒÒÓ
2ÕÙÚÑ×ÖÙØÐÞ׸Ñ×ÖÐØÚÑÒØ
)
0¸ØÖÑÓ×
n
R − n + 3.
ÒÒÓ×ÑÓ×ÕÙ××Ó×ÓÒ×ØÒØ×a Ë×ØÑÓ×ÒÔ×ØÖظ
1a ½ºÍ×ÒÓÔÖÑÖÓÒÓ¸R ÔÖÚÖÕÙ×ÓÐÙÓÒÓØÑÙÑÔÖÒ×ÑÔÐ׺ºº
1 =
¾½
R n
x = 3 ± √ 5
.
2
( √ ) n ( √
3 + 5 3 − 5
= a 1 ∗ + a 2 ∗
2
2
n − 3R n−1 + R n−2 = n − 4
a 3 n + a 4 − 3(a 3 (n − 1) + a 4 ) + a 3 (n − 2) + a 4 = n − 4
a 3 n + a 4 − 3a 3 n + 3a 3 − 3a 4 + a 3 n − 2a 3 + a 4 = n − 4
R
(−a 3 )n + (a 3 − a 4 ) = n − 4
(−1 − a 3 )n + (a 3 − a 4 + 4) = 0
−1 − a 3 = 0
a 3 − a 4 + 4 = 0.
n = −n + 3.
( √ ) n ( √
3 + 5 3 − 5
n = a 1 ∗ + a 2 ∗
2
2
( √ ) 1 ( √ ) 1
3 + 5 3 − 5
0 = a 1 ∗ + a 2 ∗
− 1 + 3.
2
2
−4 = 3 ∗ (a 1 + a 2 ) + √ 5(a 1 − a 2 ).
− 3x + 1 = 0¸ÕÙ

2¸ØÖÑÓ× ¾ºÍ×ÒÓ×ÙÒÓÒÓ¸R 2 =
Ê×ÓÐÚÒÓ×Ù×ÕÙ×ѸØÑÓ×
ÊÓÒ×ØÖÙÒÓÖÓÖÖÒ´½µÓÑ×Ø×ÚÐÓÖ׸ÓØÑÓ×
ÓÑÕÙÐÕÙÖ×ÓØÛÖÐÖÓÔÓÓÒÖÑÖÕÙ×ØÖÑÙÐÐÙÐÓ×Ñ×ÑÓ× ÈÓÖÑ×ÐÕÙÔÓ××ÔÖÖ¸×ØÖÐÑÒØ×ÓÐÙÓÖÓÖÖÒ´½¼µ¸ÙÑØ×Ø
5×ÔÖѸÜÒÓÔÒ×
ÈÖÙÒØ× ÒÓÒÓ×ØÖÐÚÓÐÓÒÒ×Ø×Óºµ ÒÑÖÓ×ÒØÖÓ׺ÓÑÖØÞ¸ÖØÒØÒÓÖÔÖ×ÓÑÓÒ×ÓÖÒ×ÒØÖÓÖ× ÚÐÓÖ×´ÒØÖ××ÒØÒÓØÖÓÑÓ×Ö×Ó×ØÖÑÓ×ÓÑ√ ½ºÙÑÔÖÓÖÑÕÙÐ×ØÐÙÒ×Ó×ÚÐÓÖ×ÖÓÖÖÒÚÐÓÖ×ÐÙÐÓ×ÔÐ ÖÑÙÐÓظÓÑÔÖÒÓ¹Ó׺ÆÓ×ÕÙÕÙÓ×ÚÐÓÖ×ÐÙÐÓ××ØÓ×ÙØÓ×
ÑÔÓÖØÒØÑÕÙnÖ׸ÒÕÙÒØÓÓ×ÙÒÓØÖÑÓÚÞÑÒÓ××Ò¹ ÖÖÓÖÖÓÒÑÒØÓ¸ÔÓÖØÒØÓÔÓÑÚÖÔÕÙÒ×ÖÒ׺
ØÚÓºÅÓ×ØÖÓÑÓØÚÓÙÞÕÙÔÖnÖÒÔÓÑÓ×ØÖÙÑÖÑÙÐÔÖÓÜÑ
n¸ÒÐ×¹ÚÖÕÙÕÙÓÔÖÑÖÓØÖÑÓØÓÖÒ¹×Ñ×Ñ× ¾º×ÓÐÙÓÔÖR ÑÒÙÖÔÑÒظØÓÖ Í×ÙÑ×ÓØÛÖÐÖÓÓÙ×ÙÐÙÐÓÖÚÖÕÙÕÙÖÒÒØÖ×Ù×ÜÔÖ×××
Ô×ÖÔÖÖ×ØÒØÓÑÔÐÓ¸ÓÑØÓÓÖÐØÚÑÒØ×ÑÔÐ×´ÖÓÖÖÒÕÙ ØÐ×ÓÑØÓÓ
ÓÒÔÖÑØÐ×ÕÙÔÓÑÖÖÔÖÓÐÑ׺üÑÕÙ×Ø××ØÙ×ÓÖÑ Ö×ÓÐÚÑÓ×ÕÙÖÓÑÔкººµºÓÖÖ×ÓÐÚÖÑÓ×ÓÙØÖÓ×ÜÑÔÐÓ׸Ñ××ÑÔÐ׸Ñ×
ÔÓÕÙÐÖ3 × 10 −6ÔÖn
ÓÓÖÖÒÓ¸ÑÓ×ØÖÖÑÓ×ÓÖÑÓÒØÓÖÒÖÙÑÐ׺ ÆÓØÓ×ÒÐ≈¸ÒÒÓÔÖÓÜÑÓº
¾¾
( √ ) 2 ( √ ) 2
3 + 5 3 − 5
2 = a 1 ∗ + a 2 ∗
− 2 + 3.
2
2
4 = a 1 ∗ (14 + 6 √ 5) + a 2 ∗ (14 − 6 √ 5)
2 = 7 ∗ (a 1 + a 2 ) + 3 √ 5(a 1 − a 2 )
a 1 = 8√ 5 − 10
15 + 5 √ 5 = 17√ 5 − 35
,
10
a 2 = 8√ 5 + 10
5 √ 5 − 15 = −17√ 5 + 35
.
10
R n = 17√ ( √ ) n
5 − 35 3 + 5
∗
− 17√ ( √ ) n
5 + 35 3 − 5
∗
− n + 3.
10 2 10 2
R n ≈ 17√ ( √ ) n
5 − 35 3 + 5
∗
− n + 3.
10 2
= 15º

ÜÑÔÐÓ½ ÎÑÓ×Ö×ÓÐÚÖÐÓ×ÑÔÐ×
Ä×ØÒÓÐÙÒ×ÚÐÓÖ׸ØÑÓ×
n¼½¾¿ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½
S
ÈÖÑÖÓ¸ÔÖÓÙÞÑÓ×ÕÙÓÔÖØÙÐÖ
n¼¿¾½¿½¿½½¿¿¿¼½½½¾¾¾¿½¿¼½
S
S n − 2S n−1 = 3.
×ØÖØÖÑÓ×ÕÙÓÓÑÓÒ¸ÕÙÖ×ÓÐÚ×ÙÔÓÒÓ¹×ÕÙS ´½¾µÖÙÑÔÓÐÒÑÓºÓÖ¸ÓÑÓÓÐÓÖØÓÔÒ×ÙÑÓÒ×ØÒظØÒØÖÑÓ×ÙÑ
nºÓÖÔÖØÑÓ×ÔÖÕÙÓÔÖØÙÐÖºÆ×Ø
n
×ÓÐÙÓx=2¸ÔÓÖØÒØÓS n
b¸
,ÔÓÖÕÙÓÐÓÖØÓ
= a2
ØÔÓÜÑÔÐÓ´½¼µÓØ×ÙÔÓ×ÓÕÙS n = a 3 n + a
−3ºËÓÑÒÓ×Ù××ÓÐÙ׸ØÑÓ×ÑØÑÒØ
4
ÓÒ×ØÒØØÑѺÈÓÖØÒØÓ¸××ÙÑÒÓS n =
ÈÖ×ÓÖÖÓÚÐÓÖaÚÑÓ×ØÖÐÖÓÑÓÒÓÒÐ
ÔÓÖØÒØÓS n =
ÜÑÔÐÓ¾ ÓØÓ×ÓÑ×ØÖÑÙÐÚÖÕÙÕÙÐ×ÓÒÑÓÑÓ×ÔÖ×ÒØÓ×ÒØк
1)ºÐÙÐÐÙÒ×Ó×ÚÐÓÖ×
×ØÚÞÚÑÓ×ÔÐÖÔÖÐÓÑ×ÓÑÔÐÓ
ÓÑ×ØÓØÑÓ××ÓÐÙÓÒØÚS n = 3 ∗ 2 n − 3 = 3 ∗ (2 n −
ÈÖÑÖÓÔÖÓÙÞÑÓ×ÕÙÓÔÖØÙÐÖ
¾¿
n =
⎧
⎪⎨
S n =
⎪⎩
{
0, n = 0
2S n−1 + 3, n > 0.
ax n − 2ax n−1 = 0
ax n−1 (x − 2) = 0.
b − 2b = 3
b = −3.
S n = a2 n − 3.
0 = a2 0 − 3
a = 3.
2, n = 0
1, n = 1
4S n−2 + n, n > 1.
S n − 4S n−2 = n.
= ax n

n ÊØÖÑÓ×ÕÙÓÓÑÓÒ¸ÕÙÖ×ÓÐÚ×ÙÔÓÒÓ¹×ÕÙS n = ax
ÓÑÓÒµºÓÖÚÑÓ×ÔÖ×ÓÐÙÓÔÖØÙÐÖÓÐÓÖØÓn¸×ÓÑÓ×ØÒØÓ×
.´Á×ØÓ×ÖÚÔÖÑÓ×ØÖÖÕÙØÓ××ÖÞ×ÒÓÒØÖ×ÚÑ×ÖÙ××Ò×ÓÐÙÓ
n ÈÖ×Ø×ÞÖÕÙÓx2 − 4 = 0¸ØÑÓ×x=±2ºÒØÓS nØÑÓÖÑS n = a 1 2 n +
a 2 (−2) n
××ÙÑÖØÑÑÕÙS n = a
ÓÒØÖÓÚÒغÈÖÚØÖÓÔÖÓÐѸØÑÓ×Ù×ÖÙÑÔÓÐÒÑÓÒ×ÓÓÑÓÐÓ ËÞÖÑÓ×××Ó¸ÒÐÞÑÒØÒÓØÖÑÓ×Ñ×ÔÖÓÒÖºÒиÕÙÒÓØÒØÑÓ×ÞÖÖ
3
4ÓØÑÓ× 0¸ØÖÑÓ×ÙÑ Ó×ÓÒØ×ØÖÑÓ×ÔÖÙÑÐ×ÕÙa 3 = −1/3¸ÔÖÓÓÙØÖÓa =
ÖØÓ´ÓÙ׸ÓÑØÓÓ×Ó×ÐÑÒØÓ×µºÞÑÓ×S
8/9ºÑ×Ù×ÓÑÑÓ××Ù××ÓÐÙ×ÒÓÒØÖ׸ÒÔÒÒÓ
n = a 3
−8/9ºÈÓÖØÒØÓ¸ØÑÓ×
n + a
×ÓÖÑÓ×Ó×ÔÖÑØÖÓ×Ù×ÒÓ×Ù×ÓÒ×Ò׸ÓÑÓØÓÒØÖÓÖÑÒØ ÔÖÑØÖÓ× ÁÙÐÒÓÓÒØÞÖÓ¸ØÑÓ×ÕÙa 3 = −1/3a 4 =
S n = −n/3 −
S
8/9¸Ö×ÔÓ×ØÒÐÓØ
×Ò×ÓÐÙÓÓÑÓÒÚÑÒØÖÖÒÖ×ÔÓ×ØÒкÑ×ÙÒÓÐÙÖ¸ÔÖÑÓ×ØÖÖ ÑÔÓÖØÒ×ÓÐÖÙÑÐÓÖØÓÓÖÒØÔÖÖ×ÓÐÚÖÕÙÓÔÖØÙÐÖº×Ô¹ ×ØÜÑÔÐÓÑÔÓÖØÒØÔÓÖÙ×ÖÞ×ÔÖÑÖÓ¸ÔÖÑÓ×ØÖÖÕÙØÓ××ÖÞ×¹
ÁÑØÑÒØØÑÓ×a 1 = 2a 2 =
ÐÑÒظÒÓ×ÓÓÐÓÖØÓ×ÖÙÑÔÓÐÒÑÓÚ¹×Ù×ÖÙÑÔÓÐÒÑÓÒ×ÓÓÑÓ ÓÖÒÐÖÑÙÐ nºÈÖÖÓÑÕÙ×ÕÙÖÚ×ÕÙÔÓ××ÑÓ×ØÖ¸ÙÑØ×ØÓÑÔÖÒÓÖÓÖÖÒ
n¼½¾¿ Ó×Ñ×ÑÓ×Ö×ÙÐØÓ×
½¼ ½¾ ½¿ ½ ½
S
n¾½½¼¿¿½¾½¿¿¾¾¾½½½¾¼¿¾¿¼¿
ÒØÖÓ׸Ñ×ÑÓØÒÓÓÒØ×ÖÓÒ ÌÐÚÞÓÑ×ÒØÖ××ÒØØÙÓ×ÓØÓÕÙ×ÓÐÙÓÖÔÒ×ÒÑÖÓ× ÖÓ׺
S
¾
a
ax n − 4ax n−2 = 0
ax n−2 (x 2 − 4) = 0.
3 n − 4a 3 (n − 2) = n
−(3a 3 + 1)n + 8a 3 = 0.
3
a 3 n + a 4 − 4(a 3 (n − 2) + a 4 ) = n
−(3a 3 + 1)n − 3a 4 + 8a 3 = 0.
n = a 1 2 n + a 2 (−2) n − n/3 − 8/9.
2 = a 1 + a 2 − 8/9
1 = 2a 1 − 2a 2 − 1/3 − 8/9.
S n = 2 n+1 + 8 9 (−2)n − n/3 − 8/9.

ÒØÖ××ÒØÒÓØÖÕÙÓÖÑ×ÓÐÙÓÔÖØÙÐÖÒÓØÑÒÚÖÓÑÓÖÑ ÖÓÖÖÒ¸ÔÒÒÓÔÒ×ÓÖÑÓÐÓÖØÓ×ÙÒÓØÐÜÓ ÓÖÑ×ÓÐÙÓÔÖØÙÐÖ
ÄÓÖØÓ ½´ÓÒ×ØÒص 3´ÔÓÐÒÑÓÑnµ ËÓÐÙÓÔÖØÙÐÖ
a´ÓÒ×ØÒص n´ÓÒ×ØÒØÒn¹×ÑÔÓØÒµ
2´ÔÓÐÒÑÓÑnµ 4´ÓÑÒÓÐÒÖµ c´Ñ×ÑÓÑÒÓÐÒÖµ
d´ÔÓÐÒÑÓÒ×Óµ
n´ÓÒ×ØÒØÒn¹×ÑÔÓØÒµa12
2 n + 12 n + n + b12 n +
ÜÑÔÐÓ¿
n´ÓÑÒÓµ
c)´ÓÑÒÓµ
12n 3 + bn 2 + cn +
×ØÜÑÔÐÓÕÙ×ÒØÓÓÒØÖÓÖ¸ÓÑÔÒ×ÙÑ×ÒÐØÖÓÓºÆÓÒØÒØÓ¸×Ø×ÒÐ
5n 3 − 3 + bn 2 + cn +
ØÖ ÑÙØ×ÓÒ×ÕÙÒ×
7n 2 5 5 n (an 2 + bn +
ÈÖÓÙÞÑÓ×ÓÙØÖÚÞÕÙÓÔÖØÙÐÖ
S
ÊØÖÑÓ×ÕÙÓÓÑÓÒ¸Ö×ÓÐÚ×ÙÔÓÒÓ¹×ÕÙS 0¸ØÑÓ×ÖÞ×ÓÑÔÐÜ×x=±2iºÅ×ÑÓÕÙ×Ø×ÖÞ××Ñ
.ÎÑÓ×ÔÖ×ÓÐÙÓÔÖØÙÐÖ
n
4 ÕÙÓÓÖx2 +4 =
ÓÑÔÐÜ׸S nÒØÑÓÖÑS n = a 1 (2i) n + a 2 (−2i) n
×ÑÓ×ÕÙÓÔÓÐÒÑÓÚ×ÖÒ×Ó¸ÞÑÓ×S n = a 3 n + a
×ÓÖÑÓ×Ó×ÔÖÑØÖÓ×Ù×ÒÓ×Ù×ÓÒ×Ò׸ÓÑÓØÓÒØÖÓÖÑÒØ
8/25ºÑ×Ù×ÓÑÑÓ××Ù××ÓÐÙ×ÒÓÒØÖ׸ÒÔÒÒÓÔÖÑØÖÓ× ÁÙÐÒÓÓÒØÞÖÓ¸ØÑÓ×ÕÙa 3 = 1/5a 4 = 8/25ºÈÓÖØÒØÓ¸ØÑÓ×S 3i)/25¸Ö×ÔÓ×ØÒÐÓØ
ÐÙ×Ò×ÓÐÙÓÒØÚºÔ×Ö×ØÔÖÒÑÓÖ¸ÓÐÙÐÖÑÓ×ÖÓÖÖÒ
ÄÓÓÓØÑÓ×a ×ÔÖØ×ÓÑÔÐÜ××ÒÐÑÖ×ÔÓ×Ø×ÑÔÖÙÑÒÑÖÓÖÐ ×ØÜÑÔÐÓÑÓ×ØÖÕÙÑ×ÑÓÖÞ×ÓÑÔÐÜ×ÕÙÓÖØÖ×ØÚÑ×ÖÒ¹
1 = (21 − 3i)/25a 2 = (21 +
¾
12
a2
an
an
⎧
⎪⎨
n =
⎪⎩
2, n = 0
1, n = 1
−4S n−2 + n, n > 1.
S n + 4S n−2 = n.
ax n + 4ax n−2 = 0
ax n−2 (x 2 + 4) = 0.
= ax n
a 3 n + a 4 + 4(a 3 (n − 2) + a 4 ) = n
(5a 3 − 1)n + 5a 4 − 8a 3 = 0.
S n = a 1 (2i) n + a 2 (−2i) n + n/5 + 8/25.
2 = a 1 + a 2 + 8/25
1 = 2a 1 i − 2a 2 i + 1/5 + 8/25.
21 − 3i
S n = (2i) n 21 + 3i
+ (−2i) n + n/5 + 8/25.
25 25
n = n/5+

n¼½ ¾ ¿ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½ ½
ÜÑÔÐÓ ÎÑÓ×ÓÑÔÐÖÑ×ÙÑÔÓÙÓ
S n¾½−6 −1¾−106 −29¿¾½¾−1718 −489½−27522 −7861
ÕÙÓÔÖØÙÐÖ ÕÙÓÓÑÓÒ
S
Ê×ÓÐÚÒÓÕÙÓÑ×ÙÑÚÞ¸×ÓÖÑÓ×ÕÙ×ÓÐÙÓx=2¸ÙÑÖÞÙÔк
S
ÈÖÖ×ÓÐڹи××ÙÑÑÓ×Ñ×ÙÑÚÞÕÙS ÖÞ×ÖÙÔиÐ×Ö n¸ÚÑÓ×ÑÖÒØ
n = ax
nº×ØÑÓ×ÔÖÓÒØÓ×ÔÖØÖÕÙÓÔÖØÙÐÖ¸ÓÑÓÓÐÓÖØÓ ÓÐÓÙ×ÚÞ×ÙÑÐ××Ö ÑÙÐØÔÐÔÓÖnºÒØÓ¸ nºÈÐ ÆÓ×ÓÖÞ×ÙÔÐ×´ÓÙÑÙÐØÔÐÑÓÖµ¸ÒÓÔÓÑÓ×ÞÖS n = a2
S
ÁÙÐÒÓÓ×ÓÒØ×ÙÑÐÓÓ×ÓÓÙØÖÓ´ÕÙ×ÓØÓÓ×ÞÖÓµØÑÓ×b=1¸c=8
n = a 1 2 n + a 2 2 n
ÙÑÔÓÐÒÑÓÖÙ¾¸××ÙÑÖÑÓ×ÓÑ×ÑÓØÔÓÚÐÓÖÔÖS
21ºËÓÑÒÓ×Ù××ÓÐÙ×ÒÓÒØÖ׸ØÖÑÓ× n¸ÓÙ׸S n
ÌÑÓ×bn 2
d =
2Ù×ÒÓ×ÓÒ×Ò×× Ñ×ÙÑÓ×Ó×ÚÐÓÖ×a 1a = −21a 2 = 13/2 ÔÓÑÓ×ÑÓÒØÖ×ÓÐÙÓÒØÚ
⎧
⎪⎨
S n =
⎪⎩
0, n = 0
1, n = 1
4S n−1 − 4S n−2 + n 2 + 1, n > 1.
n − 4S n−1 + 4S n−2 = n 2 + 1
n − 4S n−1 + 4S n−2 = 0.
ax n − 4ax n−1 + 4ax n−2 = 0
ax n−2 (x 2 − 4x + 4) = 0.
= bn 2 +cn+dº
+ cn + d − 4(b(n − 1) 2 + c(n − 1) + d) + 4(b(n − 2) 2 + c(n − 2) + d) = n 2 + 1
(b − 1)n 2 + (c − 8b)n + 12b − 4c + d − 1 = 0.
S n = a 1 2 n + a 2 2 n n + n 2 + 8n + 21.
0 = a 1 + 21
1 = 2a 1 + 2a 2 + 30.
ÑØÓÕÙa Æ×ØÜÑÔÐÓ¸ØÑÓ×ÒÓØÖÕÙÖÞ×ÙÔÐ×ÒÓÔÓÑ×ÖÙÒ×ÒÜÔÖ××ÓÔÖ
k×ØÚÒØÖÖÒ×ÓÐÙÓÓÑÓ
nºÆÚÖ¸Ð×ÓÖÑÑÙÑ×ØÙÓ×ÔÐ×ØÚÖÑÓ×ÙÑÖÞrÑÙÐØÔÐ
1
ÞÒÓØ×Ø×ÒØÖ×Ù×ÚÖ××ÖÓÖÖÒ¸ØÑÓ×Ó×Ñ×ÑÓ×ÚÐÓÖ×
S
¾
S n = −21 ∗ 2 n + 13 2 ∗ 2n n + n 2 + 8n + 21
( ) 13n
= 2 n 2 − 21 + n 2 + 8n + 21
= 2 n−1 (13n − 42) + n 2 + 8n + 21.
a 1 r n + a 2 r n n + a 3 r n n 2 + · · · + a k r n n k−1 = r n (a 1 + a 2 n + · · · + a k n k−1 ).

n¼½¾¿ n¼½¾½¿½¾¿¾¾¼½¿¾½¼¿¾¿¿¿¿ ½¼ ½½ ½¾
ÐÙÑ×ÖÓÖÖÒ×ÔÓÑÙ×ÖØÓÓ×Ó×ÚÐÓÖ×ÒØÖÓÖ׸ÒÓÔÒ×ÐÙÒ×Ð׺×Ø× ÊÓÖÖÒ××ØÖÓÑÔÐØ
S
ÖÓÖÖÒ××ÓÑ×ÖÓÖÖÒ××ØÖÓÑÔÐظÔÓ×ÔÖ×¹×ÓÒÖØÓ ×ØÖÖÓÖÖÒÔÖÐÙÐÖÙÑÒÓÚÓÚÐÓÖºÇ×ÑØÓÓ×ÔÖ×ÒØÓ×ÒÓ×ÖÚÑ ÔÖ×Ø××Ó׸ÔÓ× ÚÐÓÖ×Ò×´ØÓÓ×Ó× ÐÒÓØÖÕÙÚÐÓÖ×ÖÐÙÐÓØÑÙÑÒÑÖÓÖÒØ
ÐÙÒ×ÜÑÔÐÓ×ÕÙÔÓÑ´Úѵ×ÖÖ×ÓÐÚÓ× ÔÓÑ×ÖÖ×ÓÐÚ×ÓÑÙÑÔÓÙÓÑÒÔÙÐÓÑÒÓº×ÙÖ×ÓÑÓ×ØÖÓ× ÑÙØÓÓÑÔÐÜÙÓ×ÓÔÓ×Ø×ÔÐÒ¸ÐÙÑ×ÖÓÖÖÒ××ØÖÓÑÔÐØ ÐÙÐÓ×ØеºÑÓÖ×ÓÐÙÓÖÐ×Ø×ÖÓÖÖÒ××
ÈÖÙÒØ× ½ºÇÕÙÓÒØÓÑÕÙÓÖØÖ×Ø×ÖÓÖÖÒÙ×ÖØÖ׸ÕÙØÖÓ¸ÒÓÓÙ ¾ºÅÓÒØÖÓÖÖÒØÖÑÒÙÑÖÑÙÐÔÖÓ×ÒÑÖÓ×ÓÒ ××ØÖÑÓ×ÒØÖÓÖ×
ÔÖÓÜÑÓº
nµºÒÐ×¹ØÖÑÒÙÑÔÖÓÜÑÓÔÖÚÐÓÖ×ÖÒ×nºÌ×Ø×Ù ´F
nÓÒÑÖÓØ×½ÕÙÒÓn×ÖØÓÑÒ n ÖÓºÈÓÖÜÑÔÐÓ¸ÕÙÚÓÐÙÒ× ¿ºËU ÜÑÔÐÓ×ÚÐÓÖ×U
½½¼¼½½¿ ¾ ½¼¼½¾ ½¼½¾
n
n¸Ñ×ÒÓØÒØÖ×ÓÐÚ¹ÐÔÓ×
ºÊ×ÓÐÚÖÓÖÖÒÜÓ¸×ÒÓÕÙÜ×ØÑ×ÙÑÑÒÖÖ×ÓÐڹк ÖÖ×ÖÒØ××ØÙ×ÔÖÔÓÖ×Ö×Öغ ×ØÖÓÖÖÒÒÓØÑ×ÓÐÙÓºÈÓ×ÖÕÙ×ÙÖÓÖÖÒØÒÙ×Ö
ÈÒ×ÔÖÑÖÓÓÖÑÑ× Ðº
ÓÑ×Ø×Ó×ÑÓÒØÙÑÖÓÖÖÒÔÖÚÐÖU
T n =
T n =
{
1, n = 1
1 + ∑ n−1
i=1 T i n > 1
{
1, n = 1
k + ∑ n−1
i=1 T i n > 1
T n =
T n =
(n) 2 U n
{
1, n = 1
n 2 + ∑ n−1
i=1 T i n > 1
{
1, n = 1
1 + 2 ∑ n−1
i=1 T i n > 1
D n =
{
1,
¾
n = 0
4 − D n−1 , n > 0

ºËÑ×Ù×ÖÓÖÖÒ×ÜÓ
ºÊ×ÓÐÚÖÓÖÖÒÜÓR
{
1, n = 0
n =
2R n−1 + 2 n , n > 0
Ê×ÓÐÚ×Ù×ÖÓÖÖÒ×ÑÒÖÕÙÖÑ× −1´Ü×ØÑ×ÙÑÑÒÖÑÓ×ØÖÖ×ØØÓ¸ØÑ×ÑÓÔÒ×ÖÑÒ n nÓÖÒÓ×ÙÒÓÖÓÖÖÒÜÓ¸ÒØÓ ÖÓ Ð¸ÔÓ×ÑÓ×ØÖÕÙB ºÎÓØÑÙÑ×ÙÖÓØÒÕÙÖÙÑÒÑÖÓn×Ø2nÓÔÖ×ÖØÑØ׸ÔÖ
n
2 ÙºµºÑ×ÙÑÓ×ØÖÕÙ×D
D n = B n + C
1,Ò×Ø×Ó×Ó×Ø×¾½ÓÔÖ×ÖØÑØ׺ÔÖØÖ××Ó¸Ö×ÓÐÚ
1ºÖÙÖ×ÓØÖÑÒ
´µÊÓÔÖÓÐÑ×ÖÓØÒØÑ×ÖÑÓÔÖÑÖ×Ñ×ÑØÖ× ´µÅÓÒØÖÓÖÖÒØÖÑÒÙÑÖÑÙÐÔÖÓÒÑÖÓÓÔÖ× ÑÙÒÓn
Ñ×ÙÑÖ×Ñ×ÑÙ×ÚÞ×ÓÑÔÖÑØÖÓn −
ÚÞ×
ÕÙÒÓn =
´µÊÓÔÖÓÐÑ×ÓÖÖÓØÒÒÓ×ØÑ×2nÓÔÖ׸Ñ××ÑkÓÔÖ¹ ×Ô××Ó
ÖظØÒÓÑØÓÖÓ××Ñ×Ù××ÚÑÒغÙÖÜÓ¸ÔÓÖÜÑÔÐÓ¸
2ÓÑ×ÑÓÖÙÐÓ¸Ñ×ÓÑÓÙØÖÓ×Ó×ÒÜÓ×Ñ
1ÙÑ×ÑÔÐ× ºÊ×ÓÐÚÓÔÖÓÐÑÓØÕÙÓ×ÅÝ׺Æ×ØÔÖÓÐÑÓÅÝM 4º ÔÖØÖØÖÑÒ××ÙÒØ×ÕÙÒØ×
ÖÙÐÓÖÓ½ºÇÅÝM ÑÓ×ØÖM nº ´µC n¸ÕÙÓÔÖÑØÖÓ××Ñ×ÑÓÅݺ
n¸ÕÙ nº
n¸ÓÒÑÖÓÖÙÐÓ×ÕÙÓÑÔÑM ´µA ÖÓÅÝM ´µP
{ {
2, n = 1
1, n = 1
B n =
C
4 ∗ B n−1 + 2, n > 1
n =
4 ∗ C n−1 + 1, n > 1.
+C n =
{
3, n = 1
D n =
4 ∗ D n−1 + 3, n > 1.
2ÓÑ×ÑÓÖÙÐÓÓÑÓÙØÖÓ×ØÖ×ÖÙÐÓ×ÒÜÓ×ѸÖØ×ÕÙÖ¸
1
1ÒÙÑÖÙÐÓÖÓ½¸
¾
4º ºÊ×ÓÐÚÓÔÖÓÐÑÓØÕÙÓ×ÅÝ×ÅÙØÒØ×M Ñ×M ØÒÓÑØÓÖÓ××Ñ×Ù××ÚÑÒغÙÖÜÓÑÓ×ØÖM

ÔÖØÖØÖÑÒ××ÙÒØ×ÕÙÒ¹ Ø× n¸ÓÒÑÖÓÖÙÐÓ×ÕÙÓѹ
nº
Åݺ
´µC ÔÑM n¸ÕÙÓÔÖÑØÖÓ××Ñ×ÑÓ
n¸ÕÙ nº ´µA ÖÓÅÝM ½¼ºÎÓÖÙÙÑÓÖÖÒØÔÐÔÞÑÙÒÐÕÙÞ××ÑÅÒ×ØÑÒ×ÑÔÖ
´µP ÔÖ×Ù×Ñ×××ÔÐÓÑÙÒÓº´ÓÖÖÒØÓÒÔÐÓ×ÖØ ÓÙØÖ×ÒÓÔ××Ó×ÒØÖÓÒÓÑ ÜÑÓØÖ×׸ÒÚÙÑÖÐÔÖÇÆÍÔÓÖ
1
ÕÙ×ÓÖÙÕÙÓÓÖÑÒØÓ×Ø ÒÖÓµºÈÖØÒÓ¸ÓÒØÒÙ ÔÖØÓÑÒÓÙÔÖÑÖÖØÑÔÖÑÖÓ ÖÓÖÐÇÆ͸
´µÅÓÒØÙÑÒÓÚ×ØÙÓÓÒ×Ô××Ó×Ñ×ÑÔÖÖÒÓÑÑ ´µÅÓÒØÙÑÖÓÖÖÒÔÖÓÔÖÓÐѸÔÖÚÐÖÓÒÑÖÓÔ××Ó×ÕÙØÑ ÑÒ×ÑÒÙÑÓÒ×ØÒغ××ÙÑÕÙÒÒÙÑÖÑÒ×ÑÑ× ÙÑÚÞº
´µÐÙÑ×Ô××Ó×ÒÓÓÒ×ÙÑÐÑÖÖÒÓÑÓ×ÔÖÖÔ××ÖÓÖÖÒغ ÔÖÓÐÑÔÖÓ×ÚÐÓÖ×Ò׺ÜÔÐÕÙ¹Óº ÑÒ×Ò××Ù×ÑÓ׸ÓÒÓ׸ÚÞÒÓ׸غÎÓÚÔÖÖÙÑ
´µËÔÓÔÙÐÓÓÔÐÒغÐ×ØÒØ׸ÕÙÒØÓØÑÔÓÐÚÔÖ ÑÓ׺
´µÐÙÐÔÖÓÜÑÑÒØÕÙÒØÓÒÖÓÇÆÍÖÒÓ×Ó××Ó׸××ÙÑÒÓ ÕÙØÓÓ×ÖÑÓÖÖÒØÓ ÐÙÐÓÔÖ××ØÙ×´½¼µ´½¼µº ÊÖÓÖÖÒÑ´½¼µ×ÙÔÓÒÓÕÙ×Ô××Ó×ÑÑ×ÐÑÖÑk
´µË×ØÓÖÖÒØÓ××ÑÒÑÑÐ×ØÑÒÓ¾¸ÕÙÒØÓ×ÔÓ×ØÖ ÕÙ×Ô××Ó××ÑÒÑÒÖÓÙÑÚÞº
½½ºÎÓÓÑÒÓÔÐÖÓÔÖÓÐÓÒÞÖÓÔÐÒØÓÚÖÜÁÁÁ¸×ÙÒÚÖÙ À ×ÒÓÓÙÔÓÔÓÖÐÒ×ØÒØ´××ÙÑÕÙÓ×ÑÐ×ÒÓ×ÓÐØÓ׺µ
Ú ÖÓ×Ñ×××ÖØÐÞÒØ׺×Ø×Ñ××××ÖÑÑÔÐÒÓÖ×Ôѽ¾ÔÖѹ ÖÒÔÖÓ××Ó×´½¼µ´½¼µ
غµÜÒÓÓÔÐÒØÑÓÒ××Ù×ØÒØÖÚÚØÐÔÖÐÑÔÖÓÖ ÒÓ××ÓÖÓÔÐÒغ×ÑÒÓ×ÚÓÓÑÒÓØÙÓÓÕÙÒÓÒØÖÑ´ÖÓ¸Ö¸
ÓÙÚÖѾ¿º¾¼¼º¼¼¼ÑÒÓ×ÒÓÔÐÒغËÙÔÖÓÐÑÔÖÚÖÑÕÙÒØÓ×Ñ×××ØÓ ÖÑ×ÓÙØÖÑÒÓµºÖÓÖØÕÙÓÚÖÜÁÁÁ×ØØ ÚÓØÑÑ×ÕÙ×ÑÒÓ××ÖÔÖÓÙÞÑÑ×Ú´ÑÒÓ ÑÒØÖÙØÙÖÓ×ÓÐÓÒÞÓÖ׺ÇÔÐÒÓÑÒÖÙÑÑ××ÐÔÓÖÑ×ÔÖÓÔÐÒظÑ×
ÓÒØÖ ØÖÚ×ÔÖÓÖÑÓº ºÆÓÔÖÓÙÖ×ÓÐÙ×׸Ñ×ÓÖÑÙÐÓÕÙÖ×ÓÐÚ ÚÐÕÙÒÓ
½¾ºÎÓ×ÑÙÑÖÙÞÖÓÔÐÓÑÙÒÓÜÙÑ×ÐÓÚÓÖÊ°½º¼¼ÒÓ×ÙÖØÓ ÕÙÒØÓÚÓ×Ø ØÜÒÑÒ×ØÖÓÊ°¾º¼¼ÑÒ×׺ÓÚÓÐØÖÖÓÒÞÒÓÓ×ÒÓ×ÔÓ׸ ÖØÓºÑÒ×ØÖÓÖÓÖ±ÙÖÓ×ÓÑ××ÓÖÓ×ÐÓÚÓÖ¸Ñ×ÙÑ ÚÒÓ×ÚÓÓÙÑ×Ó×ÒÓ×ÒÒÔÖÑØÖ ¾

½¿º×ØÙÑ×ÓÖÐÙÑÔÖÓÖÑÓÑÔÙØÓÖÔÖ×ÚÖÑÞÒÖÙÑØÐ Ñ×½×ÓÑÒØÔÖÖÑÞÒÖ×Ø×ÒÑÖÓ׺ØÐÒÐÞÔÐÓ×ÙÒØ
1ÒÑÖÓ×ÒØÖÓ׸ÙÑÓѾÝØ׺×ØÓÖѸÓÔÖÓÖÑÔÖ×Ú
×ÓÖØÒØØÄÅ·½℄»»ÒØÖÓ×¾ÝØ× Ó
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ÑÑÖºËÚÓÞÑØÒÓ¸ÔÓÑÓ×ØÖÖØÑÑÕÙ×ÙÐÓÖØÑÓÔÓÖ ËÙÔÖÓÐÑÔØÖÓÓÔÖÖÓÖÑÙÑÑ 28×ÓÖÔÖ×Óº ÕÙÒÕÙØÒÔÒ×Å n× ØÑ×ÓÕÙ2 ½ºÊ×ÓÐÚÖÓÖÖÒÜÓ¸ÑÙÒÓcd¸ÔÖÓÚØÔÖÚÖÖÓÑÓS ½ºÎÓÒØÐÑÒØÒØÓÙÙÑÖÕÙÚÓÓÑÙÑÒÓÚÓÚÖÙ×ÓÑÔÙØÓÖ¸ÕÙ
ÓÑÔÓÖØÒÓ×Ó×ÔÐc =
ØÑÑÔÒÙÖ×ÙÑ ÑÒ×ÑÑÙØÓÑйÙÒØÐÑ×Ù××ÔÐÑÓÙØÖÓ×ØÖ×ÖÕÙÚÓ× ÓÖÑ×ØÖÒÙÖÒØØÖ××ÐÒÓÞÒºÆÓÕÙÖØÓÐ×ÖÚÙÑ ÒÒÓÓÒØÑÒÓ׺ÔÓ×ÞÖ××Ó¸Ð×ÖØÖÓÖÕÙÚÓÓÖÒÐÑ× Ù×Ö××ØÑ×ÕÙ×ÓÑÐØÓ×ÔÒÙÖÑÔÓÖÕÙÐÕÙÖÓ׺ÓÖÖ×ÔÓÒ ´µÉÙÒØÓ×ÖÕÙÚÓ×ÒØÓ××ØÖÓÔÓÖÔÓ×ÙÑÑ×´ÔÓÖ×ÙÙÐÔµ ÕÙÒ¸ÔÖÚÓ×ÖÑ×ÙÓ×ÓÔÖÜÑÚÞÜÖ
´µÙÖÒØ×ØÑ׸ÕÙÒØ×ÚÞ×ÐÙÑØÚÔÖÖ×ÙØÖÐÓÔÓÖÕÙ×Ù ´µÉÙÐÓÔÖÙÞÓÕÙÚÓÙ×ÓÙ×Ñ Ñ ÕÙÚÞÖÐÑÔÞÊ°½¼º¼¼»ÓÖÓÙ×ØÓÓØÖÐÓÒÓØÓÊ° ØÓÐÑÔÞÓÙ×ØÓÑ ÕÙÒÔÒÙÖÓÙ´ÒÓÚÓÔÓÖ×ÙÙÐÔµ
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⎧
⎪⎨ c, n = 1
S n = d, n = 2
⎪⎩
S n−2 + n, n > 2

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22 ÄÙ¸ÓÙ׸ÔÖØÓ7 × 10
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¿½
⎧
⎪⎨ α, n = 0
Q n = β, n = 1
⎪⎩
(1 + Q n−1 )/Q n−2 , n > 1